Сектор сингулярных задач математического отдела проводит фундаментальные исследования на стыке теории чисел и теории дифференциальных уравнений, а также выполняет работы, имеющие приложения в других научных дисциплинах. Тематика фундаментальных исследований сектора связана с разработкой некоторого общего подхода, основанного на вычислении одного или нескольких выпуклых многогранников, ассоциированных с задачей, для решения проблемы, содержащей один из трёх вариантов сингулярности: сингулярность уравнения, сингулярность возмущения, сингулярность краевой задачи. Для первого варианта сингулярности разработаны методы вычисления различных типов асимптотических разложений решений полиномиального обыкновенного дифференциального уравнения, таких как сложные, экзотические, экспоненциальные, а также разложения в трансряды. Особое внимание уделено получению формальных решений уравнений Пенлеве и доказательству их сходимости. Для второго варианта сингулярности разрабатывались методы поиска и продолжения семейств периодических решений сингулярно-возмущённой интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Эти методы были применены к исследованию семейств периодических решений задачи Хилла, находящей многочисленные применения в небесной механике и космодинамике. Для третьего варианта сингулярности разрабатываются улучшенные методы решения краевых задач для уравнения Гельмгольца с особенностями на границе.

Другим фундаментальным направлением является разработка многомерного обобщения цепной дроби. Здесь предложено такое обобщение, основанное на вычислении многоугольника Парусникова, которое позволяет вычислять как наилучшие диофантовые приближения, так и основные единицы числовых полей.