1-14 RAR 9864-6449 0000-0001-9224-769X Лахно Виктор Дмитриевич Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН lak@impb.ru Lakhno V.D. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS Трансляционно-инвариантная биполяронная теория теплоёмкости слоистых высокотемпературных сверхпроводников Translation-invariant bipolaron theory of heat capacity of layered high-temperature superconductors В работе рассмотрена термодинамика двумерного заряженного бозе-газа со щелевым спектром возбуждения трансляционно-инвариантных биполяронов. Получены аналитические выражения для температуры бозе-конденсации Т_с, химического потенциала μ(Т), внутренней энергии U(T), теплоёмкости C_V(T) и величины скачка теплоёмкости ΔC_V в критической точке. Проведено количественное согласование модели с классическими калориметрическими данными группы Лорама (Loram et al.1994) для оптимального допированного высокотемпературного сверхпроводника YBa₂Cu₃O_6.92 (T_с ≈ 91.5). Показано, что режим сильной энергетической щели (w₀ &gg; T_с, w₀ - частота оптического фонона) позволяет с хорошей точностью описать макроскопический λ-пик электронной теплоёмкости при участии лишь малой концентрации ТИ-биполяронов от полной концентрации плотности носителей в плоскостях CuO₂. In this paper, the thermodynamics of a two-dimensional charged Bose gas with a gap excitation spectrum of translation-invariant bipolarons is considered. Analytical expressions are obtained for the Bose condensation temperature Tc, the chemical potential μ(T), the internal energy U(T), the heat capacity C_V(T), and the magnitude of the heat capacity jump ΔC_V at the critical point. A quantitative agreement between the model and the classical calorimetric data of Loram et al. (1994) is carried out for the optimally doped high-temperature superconductor YBa₂Cu₃O_6.92 (T_с ≈ 91.5). It is shown that the regime of a strong energy gap (w₀ &gg; T_с, w₀ -optical phonon frequency) allows one to describe with good accuracy the macroscopic λ-peak of the electron heat capacity with the participation of only a small concentration of TI bipolarons from the total concentration of the carrier density in the CuO₂ planes. Введение Высокотемпературная сверхпроводимость в купратах на протяжении десятилетий остаётся одной из центральных проблем физики конденсированного состояния. Традиционно бозонные модели локальных пар (preformed pairs) неизбежно сталкивались с проблемой: полное спаривание свободных носителей тока привело бы к полному исчезновению поверхности Ферми и подавлению энергии Ферми (EF) в нормальном металлическом состоянии, что напрямую опровергается прецизионными данными фотоэлектронной спектроскопии с угловым разрешением (ARPES) [1]. Основная задача настоящей работы заключается в теоретическом разрешении концептуального противоречия, разделившего физику ВТСП на сторонников фермиевского и бозонного сценариев фазового перехода. С этой целью мы рассмотрим термодинамические свойства газа носителей тока слоистого сверхпроводника YBCO. Носителями тока в нём являются дырки, локализованные в CuO2 слоях YBCO, которые с хорошей точностью могут быть рассмотрены как двумерный газ. В данной работе развита концепция трансляционно-инвариантного (ТИ) биполяронного спаривания как модель анизотропного разреженного двумерного бозе-газа, сосуществующего с массивным фермиевским фоном. Ранее эта модель была эффективно использована автором в случае изотропного 3D газа для объяснения различных свойств ВТСП [2, 3]. Напомним основные положения этой концепции. В ней рассматривается трансляционно-инвариантный биполяронный газ как газ бозе-частиц, способный образовывать бозе-конденсат. Как показано в [2, 3], ТИ-биполярон представляет собой состояние двух электронов (дырок), связанных электрон-фононным взаимодействием (ЭФВ), которое остаётся делокализованным при любом значении константы ЭФВ. Согласно [2, 3], это состояние энергетически более выгодно, чем самозахваченное локализованное двухэлектронное состояние или биполярон Пекара, и радикально отличается от модели локальных пар [4]. Поскольку ТИ-биполяронный газ является газом заряженных бозонов, его бозе-конденсат соответствует сверхпроводящему состоянию. Как следствие, в настоящее время многочисленные экспериментальные и теоретические работы по ВТСП основываются на идее о биполяронах [2, 3]. Важно отметить, что теория ТИ-биполяронов опирается на тот же исходный гамильтониан Фрёлиха, что и теория БКШ [5, 6]. Единственное различие заключается в том, что в теории БКШ электроны взаимодействуют с акустическими фононами, тогда как в теории ТИ-биполяронов – с оптическими, поскольку большинство ВТСП являются ионными кристаллами. В случае допированного ВТСП почти все носители тока, как и в нормальном металле, не спарены, и только их небольшая часть (несколько процентов) находится в спаренном ТИ-биполяронном состоянии в узком энергетическом слое: [????+??????2/?????,????+?????? /2 +????,], 4 ????>0, Ebp – энергия ТИ-биполярона. Конденсация биполяронного газа приводит к бесконечной плотности состояний в этом слое. Таким образом, энергетическая поверхность ТИ-биполяронов повторяет в k-пространстве поверхность Ферми, в точности повторяя анизотропию фермиевского энергетического листа. Как будет показано ниже (§4), это приводит к наблюдаемой в эксперименте угловой зависимости СП щели и псевдощели в слоистых ВТСП. 2. Спектр трансляционно-инвариантного биполярона Трансляционно-инвариантные ТИ-биполяроны в ВТСП материалах образуются ниже температуры псевдощелевой фазы. Их спектр, согласно [2, 3, 6], имеет вид: ????(??? )={??????(??? ),??=0??????(??? )+??0(??? ,??? )+??22??/???? ??? ??????/,???0, (1) где ??? – полный импульс ТИ-биполярона с массой ?????? и энергией основного состояния ??????, ??0 – фононная частота, ??=2??, где m – эффективная масса зонного электрона (дырки), k соответствует волновым векторам возбуждённых состояний ТИ-биполярона. Использование спектра (1) лежит в основе биполяронной теории сверхпроводимости, результаты которой суммированы в книге [3]. Для описания термодинамических свойств ВТСП в (1) следует положить ??? равным нулю. В результате для спектра получим ????(0)=????=??0+??22??/, ??0(0)=0. (2) В (2) энергия отсчитывается от энергии основного состояния ТИ-биполярона ??????. Спектр (2) был впервые введён в работе Ландау [7] для описания ротонных возбуждений в теории сверхпроводимости. Ниже мы используем спектр (2) для описания термодинамики слоистых ВТСП, в которых СП реализуется в 2d CuO2 плоскостях. 3. Термодинамика 2d-газа ТИ-биполяронов а) температура конденсации ???? Мы рассматриваем идеальный двумерный бозе-газ ТИ-биполяронов со спектром (2) для моделирования бозе-конденсата в 2d плоскости слоистого ВТСП. Для плоскости с анизотропным спектром масс (YBCO) под величиной M будем понимать: ??=v???????? (3) – эффективную массу в главных осях (YBCO). 5 Найдём условия, при которых рассматриваемый бозе-газ испытывает конденсацию. При температуре ниже температуры бозе-конденсации химический потенциал ? становится равным энергии основного состояния, то есть ??=0 (отсчет энергии осуществляется от энергии биполярона ??????). Положим ??=??0+??', где ??0 – концентрация частиц в бозе-конденсате на единицу поверхности слоя, ??' – концентрация надконденсатных частиц, n – полная концентрация ТИ-биполяронов в слое. При ??=???? величина ??0 =0. Таким образом, уравнение для определения ???? имеет вид в) энергия и теплоёмкость Для вычисления энергии и теплоёмкости разобьём задачу на две области: ниже критической температуры (??<???? где ??=0) и выше (??>???? , где ??(??) определяется (10)). Энергия системы U(T) определяется интегрированием распределения Бозе-Эйнштейна с весом E: ??(??)=???????????(?????)??/?1???0. (13) В результате получим ??(??)=????2????????????1?????????+????????????????1?????????, (14) где ????????=(??0???)??/, второй интеграл здесь равен числу частиц в возбуждённых состояниях ??'. В области ??<???? предел интегрирования равен: ????????=??0??/ и ??=0, поэтому второе слагаемое обнуляется: ??(??)=????2????????????1?????????. (15) В области ??>???? все частицы находятся в надконденсатном состоянии (??=??'). Из уравнения (9) следует выражение для нижнего предела в (14): ????????=?????(1?exp (???0??/)). В результате для U(T) из (14) получим: ??(??)=????2????????????1??????(1?exp (???0??)/).+????(??). (16) Теплоёмкость находится как производная от энергии по температуре: ????=(??????/)??. Из (15), (16) при ??????? получим ????=2??????0????????????1???0????/+????02??0??1????0??/?1, ???????. (17) Соответственно, при ??>???? получим 7 ????=???????(?????)??/(???????2?1??•???????)(??(?????)??/?1)2???0????. (18) Найдём ????????/ из точного выражения (10) для ??(??): ????????=?????0?????0??•1????0??/?1. (19) В точке ????+ (со стороны высоких температур) ??>0, а ?????0????/=1??????0????/. В результате значение производной на пороге равно: ????????|????+=???0???????0????(????0????/?1). (20) После подстановки (20) в интеграл для ????(????+) и взятия по частям значение теплоёмкости справа от точки перехода принимает вид ????(????+)=????(?????)?????02??0????(????0????/?1)•[1+??0??0(????0????/?1)]2. (21) Скачок теплоёмкости определяется как разность значений при приближении к критической точке слева и справа ?????=????(?????)?????(????+). Из (21) следует, что ?????=????02??0????(????0????/?1)[1+??0??0(????0????/?1)]2. (22) Используя тождество для критической точки ????0????/?1=1(????0????/?1)/, формулу (22) можно упростить, сделав её симметричной: ?????=????02??0????(????0????/?1)(1+??0??0/????0????/?1)2. После возведения в квадрат окончательно получим: ?????=??(??0(????0????/?1)+??0)2??0????(????0????/?1). Рассмотрим предельные случаи. При ??0>0 температура перехода ????>0. Бозе-конденсация в чисто двумерном случае в отсутствие щели невозможна (теорема Мермина-Вагнера [8]). Скачок теплоёмкости в этом случае стремится к нулю. Для точного решения ??0=????: ????=??0????2/, ????0????/=2. Подставляя этог) число возбуждённых частиц Ниже критической температуры химический потенциал равен нулю и плотность возбуждённых частиц ??'=??'??/ ??=??'+??0, где ??0 – число частиц в конденсате, ??' – над конденсатом, определяется интегрированием по спектру с щелью ??0: ??'(??)=??2???2???????????/?1???0,???????, 8 или ??'??=?????0????(1???0??/), ??????? , соответственно: ??'??=??????•????(1??????0??/)????(1??????0????/), ???????, при стремлении щели к нулю (??0>0), критическая температура ????>0, и в соответствии с теоремой Мермина-Вагнера конденсат в системе исчезает при любой конечной температуре. 4. Сравнение с экспериментом Проведём сравнение полученных результатов с классическими экспериментами Лорама [9]–[11] по измерению скачка теплоёмкости в оптимально допированном кристалле YBa2Cu3O7. Сильной стороной этих экспериментов является измерение вклада в теплоёмкость именно спаренных носителей тока. В них удалось очистить полную теплоёмкость от фононного вклада и вклада неспаренных электронов. Для сравнения теории с экспериментом нами были выбраны следующие значения параметров: ??=4??0, где ??0 – масса свободного электрона, ??0?392 ?? (или 33,8 мэВ), ??3???4,6•1019 см-3 (что соответствует 0,008 бозонов на ячейку). Это значение составляет около 5% от полной измеряемой концентрации дырок в YBCO (~1021см-3) и соответствует концентрации ТИ-биполяронов в плоскости ?2,7•1012см-2. На рис. 1 приведено сравнение теоретической и экспериментальной температурных зависимостей для концентраций близких к оптимально допированному кристаллу YBa2Cu3O6+x с ???0,9. Отметим, что ранее в работе [12], в которой эффективная масса 3D случая бралась не масса (3), а эффективная масса ??=v????????????3, было получено для концентрации ТИ-биполяронов близкое значение ??3???1,4•1019 см-3Рис. 1. Сравнение теории (красная линия) с экспериментом [9] (кружки) Столь хорошее согласие с экспериментом, представленное на рисунке, может вызвать удивление в связи с изотропной величиной энергии возбуждённого состояния ТИ-биполярона ??0. Казалось бы, это противоречит эксперименту по измерению угловой зависимости щели. В действительности угловая зависимость щели в YBCO следует непосредственно[АС1] из рассмотренной модели. Дело в том, что поскольку энергия возбуждений ТИ-биполярона ????=??????+??0 не зависит от k, то в плоскости kx, ky эта величина является окружностью (см. рис. 2). Если считать, что ТИ-биполяроны в YBCO зарождаются в нодальном направлении, то условием их образования является выполнение равенства ??????=????, где ???? – значение энергии Ферми в плоскости (kx, ky), которому соответствует ??=????. Что касается других точек плоскости, то в них возникает щель ???, равная: ???=?????????. Использование реальной арочной структуры ???? в этой плоскости для YBCO с очень высокой точностью (примерно 1,5%) даёт ???=?0|?????????????????????????| с ?0?20?25мэВ, то есть экспериментально наблюдаемую зависимость щели от волнового вектора k. Отметим, что определяемая таким образом СП щель полностью соответствует представлению о псевдощели, которая, согласно экспериментальным наблюдениям, сохраняет свой вид и при ??>????, то есть в псевдощелевой фазе, когда сверхпроводимость уже отсутствует. Такое определение СП щели полностью соответствует определению щели по Боголюбову-де Жену, согласно которому спектр элементарных возбуждений ??(??) в СП имеет вид [13] 10 ??(??? )=±v??2(??? )+|?(??)|2, где ??(??? )=??(??? )???-энергия электрона в нормальном (несверхпроводящем) состоянии, отсчитанная от химического потенциала ? (энергия Ферми). Для окружности радиусом ??=???? по определению ??????=0 и ??(??? )=?(??? ). Рис. 2. На рисунке показано открытие щели YBCO (закрашена зелёным). Синим-связывающий лист, красным – антисвязывающий лист В рассматриваемой нами области пика ??<???? (82-91,5) K имеет место экспоненциальная тепловая активация. В этой фазе теплоёмкость нарастает с ростом температуры по закону, близкому к ~?????0??/. При фиксированном химическом потенциале ??=0 тепловая энергия тратится на переброс бозонов из макрозаселённого основного состояния (конденсата) в возбуждённые состояния через щель ??0=392 ?? (33,8 мэВ). Точное совпадение наклона красной линии на рис. 1 и экспериментальных кружков подтверждает корректность этого значения. В критической точке количество бозонов в конденсате ??0 обращается в ноль. Идеализированный расчёт даёт обрыв теплоёмкости при ??=????, который в реальном эксперименте сглажен в интервале ±1?? за счёт пространственных флуктуаций фазы параметра порядка и незначительной неоднородности распределения кислорода по образцу YBCO. В области ??>???? (91,5K-102K) сразу над ???? теплоёмкость бозонной подсистемы падает до фонового уровня ???????66,5 мДж/моль•К. Экспериментальный «хвост» затухает чуть медленнее теории, поскольку ТИ-биполяроны вследствие большой щели ??0 продолжают существовать в виде ближнего порядка (флуктуационных пар) вплоть до температуры псевдощели ???. 11 Это подтверждает гипотезу, что псевдощелевая фаза является областью зарождения преформированных связанных пар. 5. Обсуждение результатов Эксперименты Лорама [9]–[11] в своё время однозначно интерпретировались в пользу отсутствия связанных пар при ??>????. Это связано с тем, что температурная зависимость теплоёмкости при ??>???? практически совпадает с зоммерфельдовской теплоёмкостью металла, в котором никаких связанных электронных пар нет. Полученные нами результаты опровергают это утверждение. Действительно, в рассматриваемой нами ТИ-биполяронной модели ТИ-биполяроны остаются стабильными при ??>???? и, тем не менее, практически точно соответствующая им температурная зависимость теплоёмкости совпадает, согласно рис. 1, с фермионной теплоёмкостью. Это снимает возражение против существования спаренных состояний при ??>????. Отметим, что полученная частота ??0=33,8 мэВ в фазе оптимального допирования (YBa2Cu3O6,92-6,95, ????=92?93,5 К) попадает в область пика внутриплоскостных колебаний атомов кислорода О(2), О(3) в проводящих слоях CuO2. Они представляют собой синфазные или противофазные смещения атомов кислорода вдоль кристаллографических осей плоскости ab. Эта оптическая мода сильно связана с плоскостным дырочным газом электрон-фононным взаимодействием. При переходе в сверхпроводящее состояние она испытывает аномальное смягчение и асимметрию профиля (мода Фано) именно в районе 33-34 мэВ. В YBCO пик поглощения на этой частоте попадает в область СП-щели, максимум которой 2?0?40?50 мэВ лежит выше этой частоты, поэтому она отлично видна на эксперименте в СП-фазе. Иногда под псевдощелью понимается величина энергии биполярона ?????=|??????| или энергия температурного развала биполярона на отдельные поляронные состояния: ??|??????|=|???????2????|, где ???? – энергия поляронного состояния. Такая щель, естественно, не обладает никакой угловой зависимостью, поскольку является величиной, определяющей диссоциацию биполярона. В оптических экспериментах образование биполяронов при открытии псевдощелевой фазы сопровождается появлением пика поглощения в инфракрасном диапазоне: ?????~(0,06?0,2) эВ и слабого пика в диапазоне (0,01?0,02) эВ, наличие которого можно приписать величине ??|??????| [14]. Сравнение с экспериментом доказывает, что в бозе-конденсации участвует лишь 5% от общего числа дырок в плоскостях CuO2 (?????0.008 пар на ячейку при полном допировании ??~0.16). Таким образом малое число ТИ-биполяронов полностью обеспечивает необходимую амплитуду макроскопической аномалии. В работе мы рассмотрели термодинамику ВТСП вблизи оптимального допирования. В недодопированных ВТСП происходят кардинальные изменения описанной картины. Роль Ферми-поверхности при уменьшении допирования 12 убывает, СП-щель уходит вглубь под Ферми-поверхность, которая при сильном недодопировании исчезает, оставляя величину псевдощели неизменной, однако экспериментально её можно наблюдать только в диэлектрической фазе вблизи ??=0 (см. Рис. 3). Наличие псевдощели в диэлектрической фазе обусловлено существованием в ней ТИ-биполяронов, концентрация которых при этом столь мала, что недостаточна для образования бозе-конденсата. Рис. 3. Кроссовер из БКШ в БЭК: a) теория [16], b) теория [3], c) и d) ARPES эксперимент [15] для железосодержащего сверхпроводника FeSe1-xSx. Дано сравнение теоретического спектра ТИ-биполярона (правый верхний угол), изображенного на рис. 3 (формула (2)) с экспериментальным (правый нижний угол) [15] железосодержащего СП FeSe1-xSx. Показано, что при низкой концентрации носителей тока щель образуется при k=0 (режим бозе-конденсата). При высокой концентрации носителей тока (левый верхний угол, теория [16]) реализуется БКШ режим (левый нижний угол эксперимент [15]) и щель образуется при фермиевском импульсе. Это подтверждает двухщелевую модель купратов, в которой псевдощель – это высокоэнегетический масштаб, отражающий энергию связи ТИ-биполяронов, а низкоэнергетическая СП-щель открывается только при образовании их бозе-конденсата на фермиевских дугах в узловых направлениях. В заключение отметим, что наше рассмотрение было основано на использовании однозонной модели. В YBCO и других слоистых ВТСП ситуация несколько сложнее в силу того, что в элементарной ячейке YBCO имеется не одна, а две CuO2 СП-плоскости, параметры которых несколько различаются (рис. 2). Это приводит к тому, что рассматриваемый подход можно обобщить на 13 двухзонный случай, суммируя вклады от каждой плоскости независимо. Это приводит лишь к небольшим изменениям в полученных результатах. Introduction High-temperature superconductivity in cuprates has remained a central problem in condensed matter physics for decades. Traditionally, bosonic models of preformed pairs inevitably faced a problem: complete pairing of free charge carriers would lead to the complete disappearance of the Fermi surface and suppression of Fermi energy (EF) in the normal metallic state, which is directly refuted by precision angle-resolved photoelectron spectroscopy (ARPES) data [1]. The main aim of this paper is to theoretically resolve the conceptual contradiction that has divided high-temperature superconductor physics into proponents of the Fermi and bosonic phase transition scenarios. To this end, we examine the thermodynamic properties of the charge carrier gas of the layered superconductor YBCO. The charge carriers in this gas are holes localized in the CuO2 layers of YBCO, which can be considered with good accuracy as a two-dimensional gas. In this paper, the concept of translation-invariant (TI) bipolaron pairing is developed as a model of an anisotropic rarefied two-dimensional Bose gas coexisting with a massive Fermi background. Previously, this model was effectively used by the author in the case of an isotropic 3D gas to explain various properties of HTSC [2, 3]. Let us recall the main provisions of this concept. It considers a translation-invariant bipolaron gas as a gas of Bose particles capable of forming a Bose condensate. As shown in [2, 3], a TI bipolaron is a state of two electrons (holes) bound by electron-phonon interaction (EPI), which remains delocalized for any value of the EPI constant. According to [2, 3], this state is energetically more favorable than a self-trapped localized two-electron state or a Pekar bipolaron and differs radically from the local pair model [4]. Since the TI bipolaron gas is a gas of charged bosons, its Bose condensate corresponds to a superconducting state. As a consequence, numerous experimental and theoretical studies on HTSC are currently based on the idea of bipolarons [2, 3]. It is important to note that the TI bipolaron theory is based on the same initial FrГ¶hlich Hamiltonian as the BCS theory [5, 6]. The only difference is that in the BCS theory, electrons interact with acoustic phonons, whereas in the TI bipolaron theory, they interact with optical phonons, since most HTSCs are ionic crystals. In the case of doped HTSC, almost all current carriers, as in a normal metal, are unpaired, and only a small fraction of them (a few percent) are in a paired TI bipolaron state in a narrow energy layer: [E_F+E_bpвЃ„2-ОґE,E_F+E_(bp )/2 +ОґE,], ОґEв†’0, Ebp is the energy of a TI bipolaron. Condensation of the bipolaron gas leads to an infinite density of states in this layer. Thus, the energy surface of TI bipolarons repeats the Fermi surface in k-space, exactly repeating the anisotropy of the Fermi energy sheet. As will be shown below (В§4), this leads to the experimentally observed angular dependence of the SP gap and pseudogap in layered HTSCs. The spectrum of a translation-invariant bipolaron Translation-invariant TI bipolarons in HTSC materials are formed below the temperature of the pseudo-gapped phase. Their spectrum, according to [2, 3, 6], has the form: E_k (P вѓ— )={в–€(E_bp (P вѓ— ),k=0@E_bp (P вѓ— )+П‰_0 (P вѓ—,k вѓ— )+k^2вЃ„2M-(k вѓ—P вѓ—)вЃ„M_bp ,kв‰ 0)┤, (1) where P вѓ— is the total momentum of the TI bipolaron with the ground state mass M_bp and energy E_bp, П‰_0 is the phonon frequency, M=2m, where m is the effective mass of the band electron (hole), k corresponds to the wave vectors of the excited states of the TI bipolaron. The use of spectrum (1) is the basis of the bipolaron theory of superconductivity, the results of which are summarized in the book [3]. To describe the thermodynamic properties of HTSC, in (1) we should set P вѓ— equal to zero. As a result, for the spectrum we get: E_k (0)=E_k=П‰_0+k^2вЃ„2M, E_0 (0)=0. (2) In (2), the energy is calculated from the ground state energy of the TI bipolaron E_bp. Spectrum (2) was first introduced by Landau [7] to describe roton excitations in the theory of superconductivity. Below, we use spectrum (2) to describe the thermodynamics of layered HTSCs, in which superconductivity is realized in 2d CuO2 planes. Thermodynamics of a 2d-gas of TI bipolarons a) condensation temperature Tc We consider an ideal two-dimensional Bose gas of TI bipolarons with spectrum (2) to simulate a Bose condensate in the 2d plane of a layered HTSC. For a plane with an anisotropic mass spectrum (YBCO), the value M will be understood as: M=в€љ(M_a M_b ) (3) the effective mass in the principal axes (YBCO). Let us find the conditions under which the Bose gas under consideration undergoes condensation. At a temperature below the Bose condensation temperature, the chemical potential Ој becomes equal to the ground state energy, i.e., Ој = 0 (the energy is counted from the bipolaron energy Ebp). Let us assume n=n_0+n^', where n_(0 ) is the concentration of particles in the Bose condensate per unit surface area of the layer, n^' is the concentration of supracondensate particles, and n is the total concentration of TI bipolarons in the layer. For T=T_c, the quantity n_(0 )=0. In this case, the equation for determining T_c has the form: b) chemical potential. The total surface density of particles n at T>T_c is expressed through the integral over excited states, taking into account the chemical potential Ој: n=-M/(2ПЂв„Џ^2 ) ∫_(П‰_0)^в€ћв–’dE/(e^(((E-Ој))вЃ„T)-1) (8) using the characteristic temperature T_0=2ПЂв„Џ^2 nвЃ„M, we rewrite this equation as: T_0/T=-ln(1-e^(-((П‰_0-Ој))вЃ„T) ) (9) from which it follows: Ој(T)=П‰_0+Tln(1-e^(-T_0вЃ„T) ), T>T_c. (10) For Ој(T_c )=0, from (10) we obtain an equation for T_c of the form of (7). In the region of high temperatures (T≫T_0, П‰_0 ), from (10) we get: Ој(T)≈ω_0-Tln(T/T_0 ) (11) This corresponds to the classical limit (Boltzmann gas) corrected for energy shift П‰_0. Below the critical temperature (T<T_c), as in the classical Bose-Einstein condensate, the chemical potential is strictly fixed at the level of the ground state energy of the TI bipolaron: Ој(T)=0, T≤T_c (12) c) energy and heat capacity To calculate the energy and heat capacity, we divide the problem into two regions: below the critical temperature ( T<T_c where Ој=0) and above (T>T_c , where Ој(T) is determined (10)). The energy of the system U(T) is determined by integrating the Bose-Einstein distribution with the weight E: U(T)=∫_(П‰_0)^в€ћв–’гЂ–E gdE/(e^(((E-Ој))вЃ„T)-1)гЂ—. (13) As a result, we have: U(T)=gT^2 ∫_(x_min)^в€ћв–’xdx/(e^x-1)+gTμ∫_(x_min)^в€ћв–’dx/(e^x-1). (14) where: x_min=((П‰_0-Ој))вЃ„T the second integral here is equal to the number of particles in excited states n^'. In the region T<T_c the integration limit is equal to: x_min=П‰_0вЃ„T and Ој=0, therefore the second term is zeroed out: U(T)=gT^2 ∫_(x_min)^в€ћв–’xdx/(e^x-1) (15) In the region T>T_c all particles are in a supra-condensate state (n=n^'). From equation (9) follows the expression for the lower limit in (14): x_min=-ln(1-expвЃЎ(-T_0вЃ„T)). As a result, for U(T) from (14) we obtain: U(T)=gT^2 ∫_(-ln(1-гЂ–expвЃЎ(-TгЂ—_0вЃ„(T))).)^в€ћв–’xdx/(e^x-1)+NОј(T) (16) Heat capacity is found as a derivative of energy with respect to temperature: C_V=(∂UвЃ„T)_V. From (15), (16) at T≤T_c we obtain: C_V=2NT/T_0 ∫_(П‰_0вЃ„T_c )^в€ћв–’xdx/(e^x-1)+N (П‰_0^2)/(T_0 T) 1/(e^(П‰_0вЃ„T)-1), T≤T_c (17) Accordingly, at T>T_c we get: C_V=g∫_(П‰_0)^в€ћв–’гЂ–E (e^(((E-Ој))вЃ„T) ((E-Ој)/T^2 -1/T∙∂μ/Г°T))/(e^(((E-Ој))вЃ„T)-1)^2 гЂ— dE (18) Let us find ∂μ⁄∂T from the exact expression (10) for Ој(T): ∂μ/∂T=(Ој-П‰_0)/T-T_0/Tв€™1/(e^(T_0вЃ„T)-1) (19) At the point T_c^+ (on the high temperature side) Ојв†’0, and e^(-T_0вЃ„T_c )=1-e^(-П‰_0вЃ„T_c ). As a result, the value of the derivative at the threshold is: в”њ ∂μ/∂T┤|_(T_c^+ )=-П‰_0/T_c -T_0/T_c (e^(П‰_0вЃ„T_c )-1) (20) After substituting (20) into the integral for C_V (T_c^+ ) and taking it by parts, the value of the heat capacity to the right of the transition point takes the form: C_V (T_c^+ )=C_V (T_c^- )-N (П‰_0^2)/(T_0 T_c (e^(П‰_0вЃ„T_c )-1) )в€™[1+T_0/П‰_0 (e^(П‰_0вЃ„T_c )-1)]^2 (21) A jump in heat capacity is defined as the difference between the values when approaching the critical point on the left and on the right. From (21) it follows that: ∆C_V=N (П‰_0^2)/(T_0 T_c (e^(П‰_0вЃ„T_c )-1) ) [1+T_0/П‰_0 (e^(П‰_0вЃ„T_c )-1)]^2. (22) Using the identity for the critical point e^(П‰_0вЃ„T_c )-1=1вЃ„((e^(T_0вЃ„T_c )-1) ), formula (22) can be simplified by making it symmetric: ∆C_V=N (П‰_0^2)/(T_0 T_c ) (e^(T_0вЃ„T_c )-1) (1+(T_0вЃ„П‰_0 )/(e^(T_0вЃ„T_c )-1))^2 After squaring we finally get: ∆C_V=N (П‰_0 (e^(T_0вЃ„T_c )-1)+T_0 )^2/(T_0 T_c (e^(T_0вЃ„T_c )-1) ) Let us consider the limiting cases. At П‰_0в†’0 the transition temperature: T_cв†’0. Bose condensation in a purely two-dimensional case in the absence of a gap is impossible (Mermin-Wagner theorem [8]). The jump in heat capacity in this case tends to zero. For the exact solution П‰_0=T_c: T_c=T_0вЃ„ln2, e^(T_0вЃ„T_c )=2. Substituting this value for ∆C_V we obtain ∆C_V≈2,77N. d) number of excited particles Below the critical temperature, the chemical potential is zero and the density of excited particles n^'=N^'вЃ„S N=N^'+N_0, where N_0 is the number of particles in the condensate, N^'- above the condensate, is determined by integrating over the spectrum with a gap П‰_0: n^' (T)=M/(2ПЂв„Џ^2 ) ∫_(П‰_0)^в€ћв–’dE/(e^(EвЃ„T)-1),T≤T_c or: N^'/N=-T/T_0 ln(1-П‰_0вЃ„T), T≤T_c accordingly: N^'/N=T/T_c в€™ln(1-e^(гЂ–-П‰гЂ—_0вЃ„T) )/ln(1-e^(гЂ–-П‰гЂ—_0вЃ„T_c ) ) , T≤T_c it follows that when П‰_0в‰ЄT_c: N_0/N≈1-T/T_c ln(TвЃ„П‰_0 )/ln(T_cвЃ„П‰_0 ) as the gap tends to zero (П‰_0в†’0), the critical temperature T_cв†’0 and, in accordance with the Mermin-Wagner theorem, the condensate in the system disappears at any final temperature b) chemical potential. The total surface density of particles n at T>T_c is expressed through the integral over excited states, taking into account the chemical potential Ој: n=-M/(2ПЂв„Џ^2 ) ∫_(П‰_0)^в€ћв–’dE/(e^(((E-Ој))вЃ„T)-1) (8) using the characteristic temperature T_0=2ПЂв„Џ^2 nвЃ„M, we rewrite this equation as: T_0/T=-ln(1-e^(-((П‰_0-Ој))вЃ„T) ) (9) from which it follows: Ој(T)=П‰_0+Tln(1-e^(-T_0вЃ„T) ), T>T_c. (10) For Ој(T_c )=0, from (10) we obtain an equation for T_c of the form of (7). In the region of high temperatures (T≫T_0, П‰_0 ), from (10) we get: Ој(T)≈ω_0-Tln(T/T_0 ) (11) This corresponds to the classical limit (Boltzmann gas) corrected for energy shift П‰_0. Below the critical temperature (T<T_c), as in the classical Bose-Einstein condensate, the chemical potential is strictly fixed at the level of the ground state energy of the TI bipolaron: Ој(T)=0, T≤T_c (12) c) energy and heat capacity To calculate the energy and heat capacity, we divide the problem into two regions: below the critical temperature ( T<T_c where Ој=0) and above (T>T_c , where Ој(T) is determined (10)). The energy of the system U(T) is determined by integrating the Bose-Einstein distribution with the weight E: U(T)=∫_(П‰_0)^в€ћв–’гЂ–E gdE/(e^(((E-Ој))вЃ„T)-1)гЂ—. (13) As a result, we have: U(T)=gT^2 ∫_(x_min)^в€ћв–’xdx/(e^x-1)+gTμ∫_(x_min)^в€ћв–’dx/(e^x-1). (14) where: x_min=((П‰_0-Ој))вЃ„T the second integral here is equal to the number of particles in excited states n^'. In the region T<T_c the integration limit is equal to: x_min=П‰_0вЃ„T and Ој=0, therefore the second term is zeroed out: U(T)=gT^2 ∫_(x_min)^в€ћв–’xdx/(e^x-1) (15) In the region T>T_c all particles are in a supra-condensate state (n=n^'). From equation (9) follows the expression for the lower limit in (14): x_min=-ln(1-expвЃЎ(-T_0вЃ„T)). As a result, for U(T) from (14) we obtain: U(T)=gT^2 ∫_(-ln(1-гЂ–expвЃЎ(-TгЂ—_0вЃ„(T))).)^в€ћв–’xdx/(e^x-1)+NОј(T) (16) Heat capacity is found as a derivative of energy with respect to temperature: C_V=(∂UвЃ„T)_V. From (15), (16) at T≤T_c we obtain: C_V=2NT/T_0 ∫_(П‰_0вЃ„T_c )^в€ћв–’xdx/(e^x-1)+N (П‰_0^2)/(T_0 T) 1/(e^(П‰_0вЃ„T)-1), T≤T_c (17) Accordingly, at T>T_c we get: C_V=g∫_(П‰_0)^в€ћв–’гЂ–E (e^(((E-Ој))вЃ„T) ((E-Ој)/T^2 -1/T∙∂μ/Г°T))/(e^(((E-Ој))вЃ„T)-1)^2 гЂ— dE (18) Let us find ∂μ⁄∂T from the exact expression (10) for Ој(T): ∂μ/∂T=(Ој-П‰_0)/T-T_0/Tв€™1/(e^(T_0вЃ„T)-1) (19) At the point T_c^+ (on the high temperature side) Ојв†’0, and e^(-T_0вЃ„T_c )=1-e^(-П‰_0вЃ„T_c ). As a result, the value of the derivative at the threshold is: в”њ ∂μ/∂T┤|_(T_c^+ )=-П‰_0/T_c -T_0/T_c (e^(П‰_0вЃ„T_c )-1) (20) After substituting (20) into the integral for C_V (T_c^+ ) and taking it by parts, the value of the heat capacity to the right of the transition point takes the form: C_V (T_c^+ )=C_V (T_c^- )-N (П‰_0^2)/(T_0 T_c (e^(П‰_0вЃ„T_c )-1) )в€™[1+T_0/П‰_0 (e^(П‰_0вЃ„T_c )-1)]^2 (21) A jump in heat capacity is defined as the difference between the values when approaching the critical point on the left and on the right. From (21) it follows that: ∆C_V=N (П‰_0^2)/(T_0 T_c (e^(П‰_0вЃ„T_c )-1) ) [1+T_0/П‰_0 (e^(П‰_0вЃ„T_c )-1)]^2. (22) Using the identity for the critical point e^(П‰_0вЃ„T_c )-1=1вЃ„((e^(T_0вЃ„T_c )-1) ), formula (22) can be simplified by making it symmetric: ∆C_V=N (П‰_0^2)/(T_0 T_c ) (e^(T_0вЃ„T_c )-1) (1+(T_0вЃ„П‰_0 )/(e^(T_0вЃ„T_c )-1))^2 After squaring we finally get: ∆C_V=N (П‰_0 (e^(T_0вЃ„T_c )-1)+T_0 )^2/(T_0 T_c (e^(T_0вЃ„T_c )-1) ) Let us consider the limiting cases. At П‰_0в†’0 the transition temperature: T_cв†’0. Bose condensation in a purely two-dimensional case in the absence of a gap is impossible (Mermin-Wagner theorem [8]). The jump in heat capacity in this case tends to zero. For the exact solution П‰_0=T_c: T_c=T_0вЃ„ln2, e^(T_0вЃ„T_c )=2. Substituting this value for ∆C_V we obtain ∆C_V≈2,77N. d) number of excited particles Below the critical temperature, the chemical potential is zero and the density of excited particles n^'=N^'вЃ„S N=N^'+N_0, where N_0 is the number of particles in the condensate, N^'- above the condensate, is determined by integrating over the spectrum with a gap П‰_0: n^' (T)=M/(2ПЂв„Џ^2 ) ∫_(П‰_0)^в€ћв–’dE/(e^(EвЃ„T)-1),T≤T_c or: N^'/N=-T/T_0 ln(1-П‰_0вЃ„T), T≤T_c accordingly: N^'/N=T/T_c в€™ln(1-e^(гЂ–-П‰гЂ—_0вЃ„T) )/ln(1-e^(гЂ–-П‰гЂ—_0вЃ„T_c ) ) , T≤T_c it follows that when П‰_0в‰ЄT_c: N_0/N≈1-T/T_c ln(TвЃ„П‰_0 )/ln(T_cвЃ„П‰_0 ) as the gap tends to zero (П‰_0в†’0), the critical temperature T_cв†’0 and, in accordance with the Mermin-Wagner theorem, the condensate in the system disappears at any final temperature Comparison with the experiment Let us compare the results obtained with the classical experiments of Loram [9] – [11] on measuring the jump in heat capacity in an optimally doped YBa2Cu3O7 crystal. The strong point of these experiments is the measurement of the contribution of paired current carriers to the heat capacity. They succeeded in clearing the total heat capacity from the phonon contribution and the contribution of unpaired electrons. To compare the theory with the experiment, we chose the following values of the parameters: M=4m_0, where m_0 is the mass of a free electron, П‰_0≈392 K (or 33,8 meV), n_3D≈4,6в€™гЂ–10гЂ—^19 cm-3 (which corresponds to 0.008 bosons per cell). This value is about 5% of the total measured hole concentration in YBCO (~гЂ–10гЂ—^21cm-3) and corresponds to the concentration of TI bipolarons in the plane ≈2,7в€™гЂ–10гЂ—^12cm-2. Fig. 1 Comparison of the theory (red line) with the experiment [9] (circles) Figure 1 shows a comparison of the theoretical and experimental temperature dependences for concentrations close to the optimally doped YBa2Cu3O6+x crystal with x≈0,9. Note that earlier in [12], in which the effective mass of the 3D case was taken not as mass (3), but as the effective mass M=в€›(M_a M_b M_c ), a value close to n_3D≈1,4в€™гЂ–10гЂ—^19 cm-3 was obtained for the concentration of TI bipolarons. Fig. 2 The figure shows the opening of the YBCO gap (shaded green). The blue is the binding sheet, the red is the anti-binding sheet. Such a good agreement with the experiment, shown in Figure 1, may be surprising due to the isotropic value of the excited-state energy of the TI bipolaron П‰_0. It would seem that this contradicts the experiment on measuring the angular dependence of the gap. In fact, the angular dependence of the gap in YBCO follows immediately from the model considered. The fact is that since the excitation energy of a TI bipolaron E_k=E_bp+П‰_0 does not depend on k, this value is a circle in the kx, ky plane (see Fig. 2). If we assume that TI bipolarons in YBCO originate in the nodal direction, then the condition for their formation is the fulfillment of the equality E_(k_F )=E_F, where E_F is the Fermi energy in the (kx, ky) plane, which corresponds to k=k_F. As for other points in the plane, a gap О”_k arises in them equal to: О”_k=E_k-E_F. Using a real arched structure E_F in this plane for YBCO with very high accuracy (approximately 1.5%) yields: О”_k=О”_0 |cosk_x a-cosk_y a| with О”_0≈20Г·25 meV, that is, the experimentally observed dependence of the gap on the wave vector k. It should be noted that the superconducting gap defined in this way is entirely consistent with the concept of a pseudogap, which, according to experimental observations, retains its shape even at T>T_c in the pseudogap phase, when superconductivity is no longer present. This definition of the superconducting gap fully corresponds to the Bogolyubov-de Gennes definition of a gap, according to which the spectrum of elementary excitations Оµ(k) in the superconducting gap has the form [13]: E(k вѓ— )=В±в€љ(Оѕ^2 (k вѓ— )+|О”(k)|^2 ) where Оѕ(k вѓ— )=Оµ(k вѓ— )-Ој is the energy of an electron in the normal (non-superconducting) state, counted from the chemical potential Ој (the Fermi energy). For a circle of radius k=k_F by definition Оѕ_(k_F )=0 and E(k вѓ— )=О”(k вѓ— ). In the peak region T<T_c (82-91,5) K under consideration, exponential thermal activation occurs. In this phase, the heat capacity increases with temperature according to a law close to ~e^(-П‰_0вЃ„T). At a fixed chemical potential Ој=0, thermal energy is expended on the transfer of bosons from the macropopulated ground state (condensate) to excited states through the gap П‰_0=392 K (33,8 meV). The precise coincidence of the slope of the red line in Fig. 1 and the experimental circles confirms the correctness of this value. At the critical point, the number of bosons in the condensate N_0 vanishes. An idealized calculation yields a heat capacity cutoff at T=T_c, which in an actual experiment is smoothed out in the interval В±1K due to spatial fluctuations in the phase of the order parameter and a slight heterogeneity in the oxygen distribution throughout the YBCO sample. In the region T>T_c (91,5K-102K) just above T_c the heat capacity of the boson subsystem drops to the background level of NK_B≈66,5 mJ/mol K. The experimental "tail" decays slightly slower than the theory, since TI bipolarons, due to the large gap П‰_0, continue to exist as short-range order (fluctuation pairs) up to the pseudogap temperature T^*. This confirms the hypothesis that the pseudogap phase is the nucleation region of preformed bound pairs. Discussion of the results Loram's experiments [9]–[11] were once unambiguously interpreted as indicating the absence of bound pairs at T>T_c. This is due to the fact that the temperature dependence of the heat capacity at T>T_c practically coincides with the Sommerfeld heat capacity of a metal in which there are no bound electron pairs. Our results refute this statement. Indeed, in the TI-bipolaronic model we are considering, the TI-bipolarons remain stable even at T>T_c and, nevertheless, the temperature dependence of the heat capacity corresponding to them almost exactly coincides, according to Fig. 1, with the fermionic heat capacity. This removes the objection to the existence of paired states at T>T_c. It should be noted that the П‰_0=33,8 meV frequency obtained in the optimally doped phase (YBa2Cu3O6,92-6,95, T_c=92-93,5 Рљ) falls within the peak region of the in-plane oscillations of the Рћ(2), Рћ(3) oxygen atoms in the conducting CuO2 layers. These oscillations represent in-phase or out-of-phase displacements of the oxygen atoms along the crystallographic axes of the ab plane. This optical mode is strongly related to the planar hole gas by the electron-phonon interaction. Upon transition to the superconducting state, it experiences an anomalous softening and profile asymmetry (Fano mode) precisely in the region of 33-34 meV. Fig. 3 Crossover from BCS to BEC: a) theory [16], b) theory [3], c) and d) ARPES experiment [15] for the iron-containing superconductor FeSe1-xSx. A comparison is given of the theoretical spectrum of the TI bipolaron (upper right corner) shown in Fig.В°2 (formula (2)) with the experimental one (lower right corner) [15] of the iron-containing superconductor FeSe1-xSx. It is shown that at a low concentration of current carriers, a gap is formed at k=0 (Bose condensate regime). At a high concentration of current carriers (upper-left corner, theory [16]), the BCS regime is realized (lower-left corner experiment [15]) and a gap is formed at the Fermi momentum. In YBCO, the absorption peak at this frequency falls in the region of the SC gap, the maximum of which, 2О”_0≈40-50 meV, lies above this frequency, so it is clearly visible experimentally in the SC phase. Sometimes, the pseudogap is understood to be the bipolaron energy О”_pG=|E_bp |, or the energy of the temperature-induced dissociation of the bipolaron into individual polaron states: Оґ|E_bp |=|E_bp-2E_p |, where E_p is the energy of the polaron state. Such a gap, naturally, does not have any angular dependence, since it is the quantity that determines the dissociation of the bipolaron. In optical experiments, the formation of bipolarons upon the opening of the pseudogap phase is accompanied by the appearance of an absorption peak in the infrared range: О”_pG~(0,06Г·0,2) eV and a weak peak in the (0,01Г·0,02) eV range, the presence of which can be attributed to the quantity Оґ|E_bp | [14]. This confirms the double-gap model of cuprates, in which the pseudogap is a high-energy scale reflecting the binding energy of TI bipolarons, and the low-energy SC gap opens only when their Bose condensate is formed on Fermi arcs in the nodal directions. In conclusion, we note that our analysis was based on a single-band model. In YBCO and other layered HTSCs, the situation is somewhat more complex due to the fact that the YBCO unit cell contains not one, but two CuO2 superconducting planes, whose parameters differ slightly (Fig.В°2). This means that the approach under consideration can be generalized to the two-band case by summing the contributions from each plane independently. This leads to only minor changes in the results obtained. 538.945 ETHFUL преформированные пары бозе-конденсат псевдощель ротонный спектр эксперименты Лорама preformed pairs bose-condensate pseudogap roton spectrum Loram experiments Damascelli A., Hussain Z., Shen Z.-X. Angle-resolved photoemission studies of the cuprate, superconductors // Rev. Mod. Phys. 2003. 75. 473. DOI: https://doi.org/10.1103/RevModPhys.75.473 Lakhno V.D. Translational-invariant bipolarons and superconductivity // Condensed Matter. 2020. 5. 30. DOI: https://doi.org/10.3390/condmat5020030 Lakhno V.D. High Temperature Superconductivity. Bipolaron Mechanism // De Gruyter. Berlin. 2022. DOI: https://doi.org/10.1515/9783110786668 Solovjov A.G., Rogacki K. Local pairs in high-temperature superconductors: The concept of pseudogap // Low Temp. Phys. 2023. 49. 345–363. DOI: https://doi.org/10.1063/10.0017238 Bardeen J., Cooper L.N. Schrieffer J.R. Theory of superconductivity // Phys. Rev. 1957. 108. 1175. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRev.108.1175 Lakhno V.D. Translation-invariant bipolarons and charge density waves in hightemperature superconductors // Frontiers in Physics. 2021. 9. Art. 662926. DOI: https://doi.org/10.3389/fphy.2021.662926 Landau L.D. The theory of superfluidity of helium II // J. Phys. USSR. 1941. 5. 71. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRev.60.356 Mermin N. D., Wagner H. Absence of Ferromagnetism or Antiferromagnetism in One- or Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Models // Physical Review Letters. 1966. 17. (22). 1133–1136. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.17.1133 Loram J. W., Mirza K. A., Cooper J. R., Liang W. Y., Wade J. M. Electronic specific heat of YBa2Cu3O6+x from 1.8 to 300 K. // J Supercond. 1994. 7. 243–249. https://doi.org/10.1007/BF00730405 Loram J. W., Mirza K. A., Cooper J. R., Liang W. Y. Electronic specific heat of YBa2Cu3O6+푥 from 1.8 to 300 K // Physical Review Letters. 1993. 71. (11). 1740–1743. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.71.1740 Loram J. W., Luo J., Cooper J. R., Liang W. Y., Tallon J.L. Evidence for the pseudogap from electronic specific heat // Journal of Physics and Chemistry of Solids. 2001. 62. Issues 1–2. 59-64. DOI: https://doi.org/10.1016/S0022-3697(00)00101-3 Lakhno V.D. Superconducting Properties of 3D Low-density translation-invariant bipolaron, gas // Adv. Cond. Matt. Phys. 2018. 2018. ID1380986. DOI: https://doi.org/10.1155/2018/1380986 Jian-Xin Zhu, Lecture Notes in Physics, Springer International Publishing Switzerland. 2016. ISBN 978-3-319-31312-2. DOI: 10.1007/978-3-319-31314-6 Moob S.J., Lee Y.S., Schafgans A.A. et al., Infrared pseudogap in cuprate and pnictide high-temperature superconductors // Phys. Rev. B. 2014. 90. 014503. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevB.90.014503 Hashimoto T. et al. Bose-Einstein condensation superconductivity induced by disappearance of the nematic state // Sci. Adv. 2020. 6: eabb 9052. DOI: 10.1126/sciadv.abb9052 Bussmann-Holder A., Keller H. Evidence for polaron Formation in High-Temperature Superconducting Cuprates: Experiment and Theory // J. Supercond Nov Magn. 2009. 22. 123-129. DOI: https://doi.org/10.1007/s10948-008-0382-4 https://keldysh.ru/papers/2026/prep2026_36.pdf https://keldysh.ru/papers/2026/prep2026_36_eng.pdf