1-36 RAR 7471-0130 0000-0003-1416-5634 Колесниченко Александр Владимирович Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН kolesn@keldysh.ru Kolesnichenko A.V. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS Шланговая и зеркальная неустойчивости в анизотропной гравитирующей теплопроводящей плазме солнечного ветра с Каппа-распределением Hose and mirror instabilities in anisotropic gravitating heat-conducting Ppasma of the solar wind with a Kappa distribution В магнитосфере и на разных высотах в солнечном ветре часто наблюдаются протоны (и более тяжелые ионы) с анизотропным распределением скоростей и нетепловым отклонением от распределения Максвелла. В работе исследуется влияние сверхтепловых популяций на основные характеристики зеркальной и шланговой неустойчивостей в разреженной гравитирующей плазме в рамках уравнений CGL, модифицированных с учетом поправки на эффект теплопроводности. Анизотропия распределения плазмы, включая сверхтепловые популяции, моделируется при помощи би-каппа-функций, а новые дисперсионные соотношения для Каппа-распределений выводятся с использованием модифицированной функции дисперсии плазмы. Важной особенностью предложенного подхода является то, что некоторые члены, внесенные моментами более высокого порядка, имеют тот же порядок, что и члены в классических уравнениях CGL. Эти члены приводят к появлению модифицированных условий зеркальной и шланговой неустойчивостей. Однако в пределе исчезающего нулевого теплового потока условие шланговой неустойчивости в теплопроводящей плазме остается неизменным. Отклонения, связанные со сверхтепловыми хвостами, от стандартной дисперсии космической максвелловской плазмы, в конечном итоге, могут быть использованы для оценки наличия сверхтепловых популяций во время солнечных вспышек и в магнитосфере. In the magnetosphere and at various altitudes in the solar wind, protons (and heavier ions) with anisotropic velocity distributions and non-thermal deviations from the Maxwell distribution are often observed. This paper investigates the influence of suprathermal populations on the main characteristics of mirror and hose instabilities in rarefied gravitating plasma within the framework of CGL equations, modified to account for the heat conduction effect. The anisotropy of the plasma distribution, including suprathermal populations, is modeled using bi-kappa functions, and new dispersion relations for Kappa distributions are derived using a modified plasma dispersion function. An important feature of the proposed approach is that some terms contributed by higher-order moments are of the same order as the terms in the classical CGL equations. These terms lead to the emergence of modified conditions for mirror and hose instabilities. However, in the limit of vanishing zero heat flux, the hose instability condition in a heat-conducting plasma remains unchanged. Deviations associated with suprathermal tails from the standard dispersion of space Maxwellian plasma can ultimately be used to assess the presence of suprathermal populations during solar flares and in the magnetosphere. ВВЕДЕНИЕ Проблема неустойчивости гравитирующей разреженной плазмы в магнитном поле имеет важное астрофизическое значение. Анизотропия давления (температуры) и тепловых потоков является специфической характеристикой плазмы без столкновений в сильном магнитном поле и может быть присуща большинству астрофизических систем, таких как межзвездная среда, звездные (без столкновений) гравитирующие диски, звездный ветер на Солнце и в короне, обтекающий Землю и планетные магнитосферы Солнечной системы и т. д. В частности, анизотропное давление и тепловой поток имеют тенденцию развиваться в магнитооболочке и магнитохвосте Земли, что доказано прямыми измерениями космической плазмы в областях, доступных для космических аппаратов. В данной статье исследуются свойства гидромагнитных волн возмущения малой амплитуды и неустойчивости в гравитирующей плазме солнечного ветра в отсутствие столкновений и при наличии в ней анизотропных давления и потоков тепла. Для неограниченного межзвездного самогравитирующего однородного облака Джинс (Jeans, 1902) получил критерий гравитационной неустойчивости, согласно которому газовая среда становится неустойчивой при волновых числах где ? критическая длина Джинса, ? скорость звука в газе. В последующих многочисленных публикациях этот результат был распространен и на замагниченную плазменную среду: на основе уравнений МГД для идеальной плазмы, а также для плазмы без столкновений – на основе квазигидромагнитных уравнений Чу?Голдбергера?Лоу (CGL) (Chew и др., 1956) с анизотропным тензором давления и при использовании «двойного адиабатического» предположения (см., например, Gliddon, 1966; ] Kalra и др., 1970; Dzhalilov и др., 2008; Cherkos, Tessema, 2013; Kolesnichenko, 2023, 2024). Важно при этом подчеркнуть, что возможность описания разреженной замагниченной плазмы в рамках анизотропной магнитной гидродинамики (CGL) объясняется тем, что в сильном магнитном поле функции распределения для каждого вида заряженных частиц цилиндрически симметричны относительно направления поля магнитной индукции , поскольку оно задает четкое направление их движения. Эта асимметрия, или перекос относительно поля функции распределения, приводит к различию перпендикулярного и параллельного давления в плазме без столкновений. При этом квази-гидродинамическое описание оказывается возможным в силу того, что воздействие поля на заряженные частицы в ортогональной к нему плоскости по своему характеру вполне аналогично столкновениям. Различие уравнений CGL и МГД состоит в том, что в приближении CGL моментные уравнения кинетического уравнения Власова модифицируются заменой шарового тензора давления со столкновительным скалярным давлением на анизотропный тензор теплового давления , (1) который состоит из компонент и 1), параллельных и перпендикулярных к направлению вектора магнитной индукции соответственно (здесь ? единичный вектор вдоль направления поля , а ? единичный тензор). Компоненты диагонализированного тензора давления (1) подчиняются в приближении CGL законам двойной адиабаты , , которые являются обобщениями обычного уравнения состояния. Вo многих исследованиях замагниченная по ионам плазма без столкновений, имеющая малый параметр (равный величине отношения ларморовского радиуса вращения заряженной частицы вокруг магнитной силовой линии к характерному размеру течения ), моделировалась системой уравнений CGL в предположении двойной адиабаты, полученной с помощью кинетического уравнения Власова и уравнений Максвелла в нулевом приближении по при использовании существенного предположения о равенстве нулю тепловых потоков и вдоль и поперек магнитного поля . Однако условие двойной адиабаты не всегда является приемлемым предположением, например, для плазмы солнечного ветра, в которой, по данным космических наблюдений, практически все время присутствуют потоки ионного и электронного тепла (Axford, 1968). Эти потоки играют важную роль в энергетическом балансе плазменных систем, подобных плазме солнечного ветра, и приводят к появлению новых волновых мод распространения возмущений. По этой причине возникла необходимость в модификации классических уравнений CGL путем введения в них дополнительных членов, которые появляются в высших моментах кинетического уравнения Власова и соответствуют конечному значению протонного ларморовского радиуса . С другой стороны, типичной характеристикой разреженной плазмы солнечного ветра является негауссовоe распределение заряженных частиц по скоростям для некоторых важных структурных параметров, исключительной особенностью которых является появление сверхтепловых хвостов. Эти сверхтермические хвосты обычно моделируются с помощью семейства неэкстенсивных Каппа-распределений, которые варьируются от наиболее общих до нескольких специализированных версий (см., например, Summers, Thorne, 1996; Maksimovic и др., 1997; Livadiotis, McComas, 2009; Gallo M?ndez, Moya, 2022). Начиная с 1960-го года стали возможны измерения популяций заряженных частиц космическими аппаратами в плазменной среде солнечного ветра. Тогда было обнаружено, что наблюдаемые распределения скоростей частиц включают сверхтермическую компоненту с немаксвелловскими сверхтепловыми хвостами. В попытке подогнать измеренные распределения электронов Василюнас (1968) предложил эвристическую модель , известную как изотропное трехмерное Каппа-распределение, которое характеризуется высокоэнергетическим хвостом. Обычную стандартную изотропную трехмерную функцию распределения Каппа можно кратко записать так: , (2) где ? гамма-функция; ? числовая плотность частиц; ? эффективная тепловая скорость; и ? абсолютная температура и масса заряженных частиц; ? ? спектральный индекс (свободный параметр подгонки, характеризующий высокоэнергетическую составляющую квазиравновесной системы и их переходы из одного стационарного состояния в другое); ? функция распределения по скоростям , которая задается здесь как и представляет собой разность гидродинамических скоростей в двух точках, разделенных расстоянием . Когда параметр , модель (1) сводится к однородному максвелловскому распределению, для которого строго выполняется принцип равнораспределения энергий . (3) Каппа-распределение (1) обычно используется для обработки данных о частицах плазмы, полученных, например, в ходе экспериментов на спутниках. Оно описывает функцию распределения, имеющую ядро, подобное распределению Максвелла, и высокоэнергетическую составляющую, описываемую степенным законом вне термодинамического равновесия. Многочисленные измерения высокоскоростной турбулентной плазмы вблизи Земли показали, что плазма, создаваемая слабым электронным пучком, распространяющимся в фоновой плазме, характеризуется наличием нетермического хвоста в функции распределения скоростей электронов, который внешне напоминает Каппа-распределение (1) (см., например, Yoon и др., 2005). В одной из самых ранних теоретических работ Лейбнер (Leubner, 1982), исследуя поведение горячей анизотропной популяции электронов с числовой плотностью в присутствии большой холодной фоновой плазмы и в случае распространения электронов параллельно фоновому однородному магнитному полю , записал анизотропную функцию распределения в виде следующего би-Каппа-распределения , (4) где ? соответственно термические скорости, параллельные и перпендикулярные к направлению магнитного поля. Подобное состояние плазменной турбулентности описывает электроны, взаимодействующие между собой через дальнодействующие коллективные электростатические флуктуации, что характерно для неэкстенсивной системы заряженных частиц. С момента работы Василюнаса (1968) эмпирические распределения семейства Каппа успешно описывали разреженную космическую плазму во многих областях Солнечной системы, включая: внутреннюю гелиосферу и солнечный ветер (см., например, Chotoo и др., 2000; Maksimovic и др., 2005; Yoon и др., 2006; Pierrard, Lazar, 2010), планетарные магнитосферы (см., например, Collier, Hamilton, 1995; Schippers и др., 2008), внешнюю гелиосферу (Decker, Krimigis, 2003; Heerikhuisen и др. 2008; Livadiotis, McComas, 2011, 2012), а также области, связанные с пылевой плазмой (Tribeche, Bacha, 2010). В представленной здесь работе исследуется распространение гидромагнитных волн малой амплитуды в теплопроводящей плазме без столкновений с использованием модифицированных уравнений гидродинамики Чью–Голдбергера–Лоу первого порядка с учетом теплопроводности плазмы солнечного ветра и Каппа-распределения скоростей ионов нулевого порядка в разложении CGL. Заметим, что замыкание моментных уравнений для теплопроводной термически анизотропной плазмы впервые было выполнено Вэнгом (Whang, 1971), который предложил использовать особую форму цилиндрически симметричной относительно направления магнитного поля функции распределения, позволяющей получить замкнутую систему магнитогидродинамических уравнений для тепловой анизотропии и теплового потока протонов солнечного ветра. Здесь би-максвелловcкая функция распределения; параллельная компонента внутренней скорости; четная функция . Функция обладает важным свойством: ее четвертые моменты могут быть выражены как простые функции других младших моментов. В результате в моментных уравнениях нулевого (уравнение неразрывности), первого (уравнение движения), второго и третьего (уравнения Вэнга для и порядков не появляется в явном виде никаких членов высших моментов. Вместе с тем в случае отсутствия вектора теплового потока модифицированная система уравнений не сводится к обычным двойным адиабатическим уравнениям CGL. Это связано с тем, что в пределе нулевого теплового потока ) в полученных уравнениях присутствуют некоторые члены (обусловленные потоком тепла), которые имеют тот же порядок величины, что и другие члены в уравнениях CGL (Namikawa, Hamabata, 1981). Выведенные Вэнгом модифицированные уравнения CGL успешно используются в литературе при изучении малоамплитудных гидромагнитных волн возмущения и нахождения эффективных критериев нестабильности в астрофизической многовидовой плазме (усложненной, например, за счет вращения, учета тока Холла, пульсирующего тензора вязких и лучистых напряжений, эффектов радиационной теплопроводности, неоднородности магнитного поля и т.п.), что нашло отражение в целом ряде публикаций астрофизической направленности (см., например, Huahg и др., 1988; Ren и др., 2011). В данной работе в соответствии с выведенным наиболее общим дисперсионным соотношением обсуждаются критерии неустойчивости и распространение магнитогидродинамических волн с разной ориентацией относительно вектора магнитного поля. Исследуется влияние анизотропных тепловых потоков протонов (ионов) на распространение гидромагнитных волн. С целью выявления влияния самогравитации на косое распространение возмущающей волны в анизотропной плазменной системе проведен анализ этого случая, в результате которого получены модифицированные критерии шланговой (firehose instability) и зеркальной неустойчивостей (mirror instability) с учетом влияния тепловых потоков. Включение тепловых потоков приводит в случае косого распространения магнитогидродинамических волн к появлению двух дополнительных мод. Фазовая скорость быстрой моды с продольным распространением увеличивается в присутствии тепловых потоков, а критерий неустойчивости «садового шланга» модифицируется за счет анизотропии теплового потока. БАЗОВЫЕ УРАВНЕНИЯ Для изучения жидкоподобного поведения бесстолкновительной плазмы, такого как процесс расширения солнечного ветра и гидромагнитные волны, необходимо вывести набор уравнений, который адекватно описывает анизотропную плазму. В присутствии сильного магнитного поля возможность магнитогидродинамического описания плазмы была доказана в теории Чью-Голдбергера-Лоу. Приближение CGL включает разложение уравнений моментов уравнения Власова по малому параметру ?, который является мерой соотношения радиусов Лармора к интересующим масштабам длины или периодов Лармора к интересующим шкалам времени. Далее в статье рассматривается пространственно неограниченная плазменная система без столкновений, которая находится под влиянием сильного магнитного поля , направленного вдоль оси ,. Для ее описания использована замкнутая система моментных уравнений кинетического уравнения Власова для теплопроводной термически анизотропной плазмы, состоящая из следующих одиннадцати уравнений, включающих модифицированные уравнения CGL, уравнение Пуассона и уравнения Максвелла для бесконечно проводящей плазмы (Whang, 1971): , (5) , (6) , (7) , (8) , (9) . (10) , (11) , . (12) Здесь ? конвективная производная; , , ? гидродинамическая скорость, числовая и массовая плотности ионов; истинная скорость ионов; ? хаотическая скорость ионов (протонов); ? гравитационный потенциал, ? магнитное поле, направленное вдоль оси . Параметры , , (13) , (14) являются соответственно продольным и трансверсальным (перпендикулярным к магнитному полю ) давлением и тепловыми потоками ионов2); ? постоянная Больцмана; и ? соответственно продольные и трансверсальные составляющие хаотической скорости протонов. Угловые скобки в (13) и (14) определяются как , (15) где ? функция распределения хаотических скоростей протонов, которая в приближении самого низкого порядка является цилиндрически симметричной относительно направления поля . Указанный выше выбор функции распределения протонов позволяет получить замкнутую систему уравнений (5)-(12) для одиннадцати неизвестных величин , , , , и Для функции распределения в нулевом приближении по в работе (Whang, 1971) предложено следующее конкретное выражение: , где , (16) (17) ? би-максвелловская двухтемпературная функция распределения (здесь . Это выражение было получено Вэнгом (1971) на основе обработки спутниковых данных о протонах плазмы солнечного ветра на расстоянии 1 а.е. от Солнца. Выбор функции распределения протонов в виде (16)-(17) позволил получить замкнутую систему уравнений (5)-(12) для перечисленных выше одиннадцати неизвестных. Как было отмечено во Введении, система уравнений (7)-(10) без тепловых потоков нулевого порядка не сводится к классической системе CGL, записанных в предположении двойной адиабаты, поскольку при этом уравнения (9) и (10) не удовлетворяются тождественно. В рамках данной работы полученные из уравнений (9) и (10) соотношения , будем считать условиями, при выполнении которых (например, для двумерных движений в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, или при равенстве нулю производных вдоль магнитного поля от и ) функция распределения ионов по скоростям является би-максвелловской. При учете соотношений , уравнению движения (6) можно придать следующий используемый ниже вид: . (18) На основе уравнений (2)-(10) можно исследовать распространение магнитогидродинамических волн возмущения с разной ориентацией относительно вектора магнитного поля как для максвелловского распределения по скоростям (17), так и для анизотропного Каппа-распределения. В частности, можно рассчитать скорости роста различных магнитогидродинамических неустойчивостей (например, зеркальных3 и шланговых4), связанных с учетом влияния тепловых потоков на динамику плазмы солнечного ветра. АНИЗОТРОПНОЕ КАППА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Независимо от начального состояния космической плазмы, после термализации ее частицы стабилизируются в соответствии со равновесной функцией распределения, параметризованной температурой. В классических плазменных системах, находящихся в тепловом равновесии, распределение в фазовом пространстве стабилизируется в виде функции Максвелла. В отличие от них, космическая плазма ? это система частиц, находящаяся в стационарном состоянии, но не в тепловом равновесии, то есть ее распределение стабилизируется в виде функции, которая обычно описывается Каппа-распределением. При этом эффективная температура четко определена для систем, находящихся в стационарном состоянии и описываемых распределением Каппа. Для распределения Максвелла справедлива теорема о равнораспределении энергии, в то время как для распределения Каппа возможно нарушение указанной теоремы. Анизотропия между кинетическими степенями свободы частицы возникает, когда кинетическая энергия частицы не стабилизируется на равные части между всеми степенями свободы В качестве первой модификации термализированного максвелловского состояния плазмы рассмотрим простое аддитивное би-Каппа-распределение частиц в космических плазменных средах, для которого повсеместно наблюдаемые высокоэнергетические хвосты моделируются степенным законом зависимости от скорости частиц в виде . (19) Оно нормировано на единицу, , определено (с уникальным спектральным индексом ) относительно эквивалентных тепловых скоростей , ?, заданных следующим образом: , (20) . (21) Известно, что большое разнообразие астрофизических магнитных полей, таких как конфигурации магнитосферных магнитных полей, создает, помимо постоянно наблюдаемых сверхтепловых популяций плазменных частиц, также распределения скоростей типа «потерянного конуса», характеризующиеся отношением для определенного диапазона скоростей частиц. По аналогии с высокоэнергетическими популяциями предполагается, что такие распределения значительно снижают порог зеркальной нестабильности (см. Pokhotelov, Pilipenko, 1976). Для изучения влияния свойства «потерянного конуса» на динамику космической плазмы были введены различные распределения частиц типа потерянного конуса, например, обобщенное распределение Максвелла, записанное как (Dory и др.,1965) , (22) где обозначает индекс зоны потерь. Рассмотрим теперь, следуя работе (Leubner, Schupfer, 2001), наиболее общий случай распределения с конусом потерь, занятого популяцией сверхтермальных частиц, образованного путем объединения максвелловского распределения по скорости частиц типа (20) с анизотропным распределением из семейства Каппа: (23) где нормализация предоставляется для любого значения спектрального индекса и индекса потерь с помощью соотношения . (24) Смешанное распределение высокого энергетического хвоста с конусом потерь в (23) вместе с условием нормализации (24) сводится при к Каппа-распределению (19), при к распределению типа Дори-Гест-Харрис (22), а в случае и ? к двухтемпературному распределению Максвелла (17). Следовательно, функция распределения (23) обеспечивает вполне общую модель в пространстве скоростей, применимую в полном диапазоне наблюдений плазмы солнечного ветра, которые известны тем, что варьируются от изотропных и двухтемпературных распределений Максвелла до распределений типа «потерянный конус» или популяций сверхтермальных частиц вплоть до структуры «потерянного конуса», заполненного компонентой плазмы с высокой энергией. Таким образом, распределение в пространстве скоростей (23) обладает значительной общностью, поскольку представляет собой аналитическую модель, применимую для большинства или, по крайней мере, для значительного разнообразия наблюдаемых сред космической плазмы. Аналитические представления для параллельного и перпендикулярного давления, полученные с помощью соотношений (13) и (23), имеют вид: , , (25) обеспечивая связь с эффективными температурами, , , (26) где определяются стандартными (максвелловскими) тепловыми скоростями . Заметим, что интегралы, ведущие к (26), существуют, к сожалению, только при , создавая тем самым серьезное ограничение. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ. ОБЩЕЕ ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ Получим теперь дисперсионное соотношение для линеаризованных магнитогидродинамических уравнений для теплопроводной плазмы без столкновений на основе системы уравнений (5)-(12). Далее будем предполагать, что в первоначальном равновесном состоянии пространственно неограниченная анизотропная плазма является однородной. Одновременно будем считать, что магнитное поле, плотность плазмы, анизотропные газовые давления невозмущенной среды являются постоянными величинами. В этом случае можно пренебречь всеми пространственными производными в линеаризованных уравнениях. При их выводе ограничимся также малыми возмущениями (по сравнению с равновесными) каждой физической переменной, для чего запишем их в виде: , , , , . (27) Здесь слагаемые с индексом «0» описывают невозмущенные равновесные (равномерные как в пространстве, так и во времени) значения структурных параметров среды, а величины , , , и являются соответственно возмущениями первого порядка равновесных значений магнитного поля, гидродинамической скорости и массовой плотности плазменной жидкости, гравитационного потенциала и тензора давления. В этом случае при выполнении всех необходимых разложений, удержании членов только первого порядка относительно малых возмущений и с учетом сделанных выше упрощающих предположений уравнения (5)-(12) приводят к следующему набору линейных уравнений для возмущенных величин: , (28) , (29) , (30) , , (31) , (32 , (33) (34) , (35) (36) где , , , , . (37) Будем далее предполагать, что все возмущенные величины изменяются по закону гармонических колебаний . (38) Здесь – независимая от времени и пространства малая амплитуда пульсаций любого параметра ; ? действительный волновой вектор, а и ? волновые числа соответственно в и направлениях, так что ; ? комплексная частота гармонических колебаний. Очевидно, что если частота является чисто мнимой величиной, то имеет место растущий со временем режим и система представляет собой неустойчивую конфигурацию. С учетом предположения (38) линеаризованную систему дифференциальных уравнений (26)-(37) можно привести к следующему виду трех алгебраических уравнений относительно компонент пульсирующей скорости(Bora, Nayyar,1990): , , (39) где , , , , , , , . Здесь и далее использованы следующие обозначения: ? скорости звука соответственно в параллельном и перпендикулярном к магнитному полю направлениях; ? скорость Альфвена; ; . Подстрочный индекс «0» у невозмущенных величин далее для простоты формул опущен. Условием существования нетривиального решения однородной системы уравнений (39) является равенство нулю определителя ее коэффициентов, что приводит к следующему дисперсионному соотношению: , (40) . (41) Дисперсионное соотношение (40) идентично соотношению, которое получается в отсутствие вектора теплового потока. Это обычная нестабильность типа «пожарного шланга» (firehose), которая не зависит от коррекции теплового потока. Дисперсионное соотношение (41) учитывает коррекцию теплового потока. Заметим, что для членов этого соотношения, которые появляются в (41) из-за наличия вектора теплового потока, но не содержат его явно, использован индекс , который равен единице при наличии вектора теплового потока и нулю в противном случае. Соотношение (41) лежит в основе изучения магнитогидродинамических волн и получения наиболее эффективных критериев гравиротационной неустойчивости для замагниченной, самогравитирующей и теплопроводной анизотропной плазмы. Однако аналитически исследовать это сложное дисперсионное соотношение в общем случае произвольного направления распространения волн возмущения затруднительно. Вместе с тем дисперсионное уравнение (41) может быть существенно упрощено в различных предельных случаях, в частности, при рассмотрении по отдельности поперечных, продольных и косых волновых мод (см. Колесниченко, 2014). АНАЛИЗ ДИСПЕРСИОННОГО СООТНОШЕНИЯ При обсуждении дисперсионного соотношения (41) мы ограничимся далее следующими двумя особыми случаями: 1) поперечное распространение, и 2) параллельное распространение, , . Поперечное распространение. В случае колебательной волны возмущения, когда , дисперсионное соотношение (41) принимает более простой вид: . (42) Это уравнение, отражающее влияние магнитного поля на гравитационную неустойчивость астрофизической плазмы, имеет три корня: нулевой корень и два корня . (43) Условие существования мнимого корня, соответствующее неустойчивости волновой моды самогравитирующей плазменной системы с анизотропным давлением, имеет вид . Отсюда следует модифицированный критерий неустойчивости Джинса , (44) , (45) который совпадает при с полученным в работе (Gliddon,1966). В этом случае критическое волновое числа Джинса полностью совпадает с волновым числом, полученным в рамках классической системы уравнений CGL для плазмы без столкновений и теплопроводности (см., например, Колесниченко, 2023). Интересная особенность этого режима заключается в том, что, в отличие от классической неустойчивости Джинса , возникающей в однородной (и даже вращающейся) магнитоплазме, в рассматриваемом случае критическая длина волны зависит от напряженности магнитного поля и давления плазмы в поперечном направлении, но не зависит от наличия теплопроводности. Продольное распространение. В случае продольного распространения мелкомасштабной волны возмущения (когда , ) дисперсионное соотношение (41) сводится к следующей системе уравнений: , (46) , (47) . (48) Уравнение (46) является дисперсионным соотношением для фазовых скоростей распространяющихся звуковых волн, модулированных параллельным давлением . (49) Уравнение (47) описывает неустойчивый нераспространяющийся режим, являющийся неустойчивостью «пожарного шланга». В рассматриваемом случае на критерий шланговой неустойчивости (50) не влияют эффекты гравитации и переноса тепла. Здесь , . (51) Физический механизм этой неустойчивости связан с «вмороженностью» силовых линий магнитного поля в бесконечно проводящую плазму. Поскольку в этом случае частицы плазмы привязаны к силовым линиям, то при искривлении силовой линии возникает центробежная сила, пропорциональная энергии продольного движения частиц и стремящаяся увеличить искривление. Если продольное давление велико, то эта сила оказывается больше, чем возвращающие силы, связанные с натяжением силовых линий. В результате силовая линия будет еще больше искривляться по аналогии с поведением шланга, по которому подаётся сильная струя воды. Волновой режим, описываемый уравнением четвертой степени (48), отражает влияние на распространение звуковой волны продольных компонент давления и вектора теплового потока (Bora, Nayyar, 1990). В общем случае аналитическое решение уравнения (48) представляет известные трудности. По этой причине рассмотрим здесь два предельных случая этого уравнения. Но перед этим отметим еще раз, что при включении в рассмотрение анизотропного потока тепла модифицированная система уравнений CGL содержит не только члены, непосредственно связанные с тепловым потоком нулевого порядка , но и члены, не содержащие его в явном виде. Другими словами, даже в предельном случае, когда , дисперсионное соотношение (41) содержит члены, обусловленные возмущенным тепловым потоком . При этом вклад этих членов может быть очень значительным. Обсудим сначала возможность появления неустойчивости плазменной системы, описываемой уравнением (48), когда тепловой поток нулевого порядка отсутствует, , . В этом случае уравнение (48) сводится к биквадратному уравнению , (52) решение которого имеет вид . (53) Одна из волновых мод, описываемых соотношением (53), может быть монотонно неустойчивой в результате гравитации, если длина волны возмущения достаточно велика. Для пояснения этого утверждения перепишем уравнение (53) в виде: , (54) где , . Покажем теперь, что случай, соответствующий знаку минус в уравнении (54), может соответствовать неустойчивости. Действительно, если , то . Отсюда следует условие неустойчивости , (55) которое показывает, что из-за «дополнительных условий», вносимых вектором теплового потока в дисперсионное соотношение, гравитационная неустойчивость разреженного анизотропного плазменного облака возникает на сравнительно меньшей длине волны, чем это имеет место в случае классического критерия Джинса. Режим, соответствующий минусу в приведенном выше уравнении, может стать нестабильным. При этом роль дополнительных членов, которые сохраняются даже при , важна. Сравнение этого решения с решением для плазмы CGL , в которой вектор теплового потока не был учтен (см. Gliddon, 1966), показывает, что из-за “дополнительных членов”, введенных вектором теплового потока, гравитационная нестабильность возникает при сравнительно более короткой длине волны, а скорость роста также увеличивается. Рассмотрим теперь, как влияет на неустойчивость плазмы сохранение теплового потока нулевого порядка в уравнении (48). Это уравнение может быть решено численно (Bora, Nayyar, 1991), но здесь мы ограничимся аналитической оценкой приближенного изменения скорости роста волнового числа, возникающего из-за наличия вектора . Отметим, что в случае использования классической системы уравнений CGL () для исследования продольного распространения мелкомасштабной волны возмущения дисперсионное уравнение, соответствующее уравнению (52), имеет вид . (56) Для этого уравнения волновой режим является вырожденным и соответствует энтропийной волне классической CGL (Abraham-Shrauner, 1967). Однако в присутствии теплового потока нулевого порядка в уравнении (48) волновая мода модифицируется возмущением . Чтобы описать это видоизменение моды, запишем в виде , где члены с , включающие вклад теплопроводности, предполагаются малыми. В первом приближении модифицированная волновая мода может быть записана как (Singh, Kalra, 1986) , где , . (57) Это условие показывает, что неустойчивость в плазменном облаке может возбуждаться на сравнительно короткой длине волны, . Однако этот волновой режим не остается неустойчивым в том случае, когда . Аналогично другая волновая мода, описываемая уравнением (48), модифицируется при наличии потока следующим образом: , где . (58) Заметим, что при волновой режим устойчив в отсутствие , и на его устойчивость не влияет включение в анализ вектора теплового потока нулевого порядка . Однако в случае этот режим становится неустойчивым, причем его скорость роста, определяемая соотношением , (59) усиливается. Таким образом, при сохранении потока тепла нулевого порядка в уравнении (48) неустойчивость наступает на более короткой длине волны, а скорость роста увеличивается, как это было найдено при сохранении только дополнительных членов (не содержащих в явном виде), которые появились из-за включения в уравнение. Заметим также, что поскольку тепловая анизотропия кратковременна, то она не имеет существенного значения в таком долговременном процессе, как гравитационная неустойчивость. КОСОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛНЫ ВОЗМУЩЕНИЯ В однородной анизотропной плазме магнитогидродинамическая (МГД) сдвиговая волна Альфвена может стать неустойчивой при. Вместе с тем в работе (Hellinger, Matsumoto, 2000) был найден новый тип неустойчивости «огненного шланга», у которой максимальная скорость роста наблюдается при косом распространении и которая может развиваться быстрее, чем мода Альфвена. Эта новая мода является сжимающей и может быть более эффективной в разрушении анизотропии давления, чем стандартная неустойчивость «огненного шланга». В этом разделе показано, что при существуют два типа МГД-неустойчивостей «огненного шланга», и при подходящем выборе политропических показателей критерии линейной неустойчивости совпадают с критериями, основанными на теории Власова в гидромагнитном пределе. При рассмотрении поперечных и параллельных волн возмущения обращался в нуль последний член в общем дисперсионном соотношении (41), который может играть значительную роль при анализе косого распространения возмущенной волны и неустойчивости плазменной системы. Пусть ? угол между волновым вектором и вектором магнитного поля ; тогда , , , (60 где В этом случае дисперсионное соотношение (41) распадается на следующие два уравнения для фазовой скорости волновых мод: , (61) . (62) Уравнение (61) представляет собой дисперсионное соотношение для моды Альфвена в теплопроводящей анизотропной плазме. Уравнение (62) описывает сжимающие режимы распространения магнитогидродинамических волн в присутствии тепловых потоков. Дисперсионное соотношение (61), описывающее неустойчивость «шланга», совпадает (за исключением множителя , описывающего различные промежуточные режимы) с результатом, полученным из уравнений CGL в предположении двойной адиабаты (см., например, Kalra и др., 1985; Колесниченко, 2023). Это означает, что на шланговый режим не влияет наличие теплопроводности плазмы. Решение уравнения (62) для шланговых мод, имеющее вид , (63) где , , описывает волны (обозначаемые здесь метками), которые являются прототипами альфвеновских колебаний в обычной изотропной МГД. Если , (64) где , , то имеется положительный корень уравнения (64) и, следовательно, в этом случае развивается шланговая неустойчивость. Таким образом, критерий неустойчивости анизотропной плазменной системы при косом распространении волны возмущения совпадает с критерием (52), справедливым для продольного распространения волны. Вместе с тем решение (64) определяет всевозможные промежуточные режимы (при ) распространения волны для различных значений угла . При поперечном режиме распространения волны (когда это решение обращается в нуль. Инкремент неустойчивости имеет максимум при параллельном распространении, когда . Косое распространение волны возмущения без тепловых потоков Если отсутствует тепловой поток нулевого порядка ), то в уравнении (63) содержатся тем не менее члены, связанные с возмущением потоков тепла. В этом случае уравнение (63) состоит из членов только четного порядка по частоте и имеет следующий вид: . (65) Поскольку уравнение (65) при произвольном угле наклона может быть решено только численно, то аналитическое рассмотрение его возможно только в двух предельных случаях. В предельном случае, когда угол из (65) следует простое уравнение (Huahg и др.,1988) , (66) решением которого являются следующие четыре моды сжатия (Kalra и др.,1985): , (67) , (68) (69) Волновые моды (67) и (68) совпадают с теми, которые получаются из дисперсионного соотношения, соотнесенного с системой уравнений CGL при использовании закона двойной адиабаты. В присутствии возмущенных тепловых потоков эти две моды превращаются в четыре моды, включая две волны сжатия (69). Очевидно, что учет гравитационного члена в уравнении (66) изменяет аналогичные четыре моды гидромагнитных волн, найденные в работе (Ren и др., 2011). Если угол , то из уравнения (65) следует конечное решение (70) и три нулевых решения. Таким образом, в присутствии возмущенных тепловых потоков четыре волновые моды, описываемые уравнением (65), могут распространяться вдоль магнитного поля, и только одна волновая мода распространяется поперек магнитного поля. Зеркальная неустойчивость. Получим теперь критерий неустойчивости зеркала, пренебрегая для простоты эффектом гравитации в дисперсионном соотношении (65). С точностью до членов наименьшего порядка по из (65) получим следующее уравнение: . (71) Когда величина в скобке левой части (71) положительна (что справедливо, например, для параметров плазмы солнечного ветра (Kalraи др., 1985; Huahg и др., 1988), условие неустойчивости определяется следующим образом: (72) В пределе, когда угол , получаем следующий критерий зеркальной неустойчивости для плазмы, включающий возмущенные тепловые потоки: , (73) где , . Это условие неустойчивости зеркала отличается от аналогичного критерия , (74) полученного из двойных адиабатических уравнений CGL (см., например, Kulsrud, 2004), что указывает на существенное влияние тепловых потоков на неустойчивость зеркала. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В представленной работе исследовалась гравитационная неустойчивость Джинса для бесконечной намагниченной разреженной плазмы с анизотропным давлением и при наличии поправок на тепловой поток. Общая дисперсионная система уравнений была получена с помощью стандартного модового анализа путем построения линеаризованной системы уравнений. На ее основе обсуждались волновые решения и свойства неустойчивости в трех предельных случаях: для продольного волнового числа, для поперечного волнового числа и для наклонного распространения волновой моды. Существование анизотропного давления при учете поправок на тепловые потоки приводит к появлению новых неустойчивых режимов. В частности, было показано, что поправки к тепловому потоку увеличивают критическое число волны Джинса, оказывая дестабилизирующее влияние на плазменную систему. Было также показано, что учет тепловых потоков приводит к появлению двух новых волновых режимов в дополнение к альфвеновскому, медленному магнитозвуковому и быстрому магнитозвуковому режимам. Наличие тепловых потоков нулевого порядка также приводит к асимметрии скорости волн и возникновению новой МГД-неустойчивости. Новая неустойчивая волна распространяется в направлении тепловых потоков. Показано, что на альфвеновскую волну и связанную с ней шланговую неустойчивость наличие тепловых потоков не влияет, в то время как отсутствие тепловых потоков может подавить развитие зеркальной неустойчивости. Полученные результаты также применимы к теплопроводящему солнечному ветру. 523. 4852 XVOJGJ солнечный ветер гравитация анизотропные температуры и тепловые потоки зеркальная и шланговая неустойчивости Каппа-распределение solar wind gravity anisotropic temperatures and heat flows mirror and hose instabilities Kappa distribution Колесниченко А.В. Джинсовская гравитационная неустойчивость вращающейся намагниченной плазмы без столкновений с анизотропным давлением // Астрон. вестн. 2023. Т. 57. № 6. С. 595–604. Колесниченко А.В. Распространение магнитогидродинамических волн и гравитационная неустойчивость в астрофизической анизотропной теплопроводной плазме // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2024. №15. 36 с. https://doi.org/10.20948/prepr-2024-15 https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2024-15 Abraham-Shrauner B. Propagation of hydromagnetic waves through an anisotropic plasma // Plasma Physics. 1967. V 1. № 3. P. 361-378. Doi: 10.1017/ S0022377800003354. Axford W.I. Observations of the interplanetary plasma // Space Sci. Rev. 1968. V. 8. P. 331-365. Doi: 10.1007/BF00184740. Bora M.P., Nayyar, N.K. Gravitational instability of a heat-conducting plasma // J. Astrophys. Space Sci. 1991. V.179, P. 313-320. Doi: 10.1007/BF0064695. Cherkos A.M., Tessema S.B. Gravitational instability on propagation of MHD waves in astrophysical plasma // J. Plasma Physics. 2013. V. 79. № 05. P. 805-816. Doi:10.1017/S0022377813000512. Chew G.F., Goldberger M.L., Low F.E. 1956 The Boltzmann equation and the one-fluid hydromagnetic equations in the absence of particle collisions // Proc. R. Soc. Lond. A. 1956. V. 236. P. 112-118. Doi: 10.1098/rspa.1956.0116. Chotoo K., Schwadron N. A., Mason G. M., Zurbuchen T. H., Gloeckler G., Posner A, Fisk L. A.,. Galvin A. B, Hamilton D. C., Collier M. R. The suprathermal seed population for corotating interaction region ions at 1 AU deduced from composition and spectra of H+ , He++, and He+ observed by Wind // J. Geophys. Res., 2000. V. 105. P. 107-122. Doi:10.1029/1998JA000015. Collier M.R., Hamilton D.C. The relationship between kappa and temperature in energetic ion spectra at Jupiter // Geophysical Research Letters. 1995. V. 22, P. 303-306. Doi: 10.1029/94GL02997. Dzhalilov N.S., Kuznetsov V.D., Staude J. Wave instabilities in an anisotropic magnetized space plasma // Astronomy & Astrophysics. 2008. V. 489. № 2. P. 769-772. Doi: 10.1051/0004-6361:200809882. Decker R. B., Krimigis S. M. Voyager observations of low energy ions during solar cycle 23 //Adv. Space Res. 2003. V. 32. P. 597-602, Doi:10.1016/S0273-1177(03)00356-9. Dory R. A., Guest G. E., Harris E.G. Unstable electrostatic plasma waves propagating perpendicular to a magnetic field // Phys. Rev. Lett. 1965. V.14. P. 131- 133. Doi: 10.1103/PhysRevLett.14.131. Gallo Méndez I., Moya P.S. Langevin based turbulence model and its relationship with Kappa distributions // Sci Rep. 2022. V. 12. P. 2136-2143. Doi: 10.1038/s41598-022-05996-0. Gliddon J.E.C. 1966 Gravitational instability of anisotropic plasma. Astrophys. J. 1966. V.145. P. 583-588. Doi: 10.1086/148797 . Heerikhuisen J., Pogorelov N.V., Florinski V., Zank G.P., Le Roux J.A. The effects of a -distribution in the heliosheath on the global heliosphere and ENA flux at 1 AU // Astrophys. J. 2008. V. 682. P. 679-689. Doi: 10.1086/588248. Hellinger P., Matsumoto H, New kinetic instability: Oblique Alfve´n fire hose //J. Geophys. Res. 2000. V. 105. №10. P. 519-526. Doi: 10.1029/1999JA000297. Huang L., Lee L.C., Whang Y.C. Magnetohydrodynamic waves and instabilities in the heat-conducting solar wind plasma// Planet. Space Sci.1988. V. 36 . №. 8, P. 775-783. Doi: 10.1016/0032-0633(88)90083-9. Jeans J.H. The stability of a spherical nebula // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Containing Papers of a Mathematical or Physical Character. 1902. V.199. P. 1-53. Kalra G.L., Hosking R.J., Talwar, S.P. Effect of self-gravitation or finite ion mass on the stability of anisotropic plasma // Astrophysics and Space Science. 1970. V.9. P. 34-79. Doi: 10.1007/BF00649953. Kalra G.L., Singh B., Kathuria S.N. Firehose and mirror instabilities in a collisionless heat conducting plasma // J. Plasma Physics.1985. V. 34, Part 2. P. 313-318. Doi: 10.1017/S0022377800002889. Kolesnichenko A.V. Jeans Instability of an Astrophysical Self-Gravitating Medium in the Presence of High Radiation Pressure and Diffuse Radiative Transfer // 2023Solar System Research. 2023 V. 57. № 3. P. 249-260. Doi: 10.1134/ S0038094623030048. Kolesnichenko A.V. Propagation of Hydromagnetic Disturbance Waves and Gravitational Instability in a Magnetized Rotating Heat-Conducting Anisotropic Plasma // Solar System Research. 2024. V. 58. №5, P. 549-560. Doi: 10.1134/ S0038094624700382. Kulsrud R. M. Plasma Physics for Astrophysics/ Princeton University Press. 2004. 496 p. Leubner M.P., Schupfer N. A general kinetic mirror instability criterion for space applications // Journal of Geophysical Research. 2001. V. 106. № A7. P. 12993-12998. Doi: 10.1029/2000JA000425. Livadiotis G., McComas D.J. Beyond kappa distributions: exploiting Tsallis statistical mechanics in space plasmas // J. Geophys. Res., Atmos. 2009. V. 114. P. 11105 (14-21). Doi:10.1029/2009JA014352. Livadiotis G., McComas D.J. Invariant Kappa Distribution in Space Plasmas Out of Equilibrium Show affiliations Loading affiliationsaffiliations loading // The Astrophysical Journal. 2011. V. 741. № 2. article id. 88 28. Doi: 10.1088/0004-637X/741/2/88. Livadiotis G., McComas D.J. Non-equilibrium thermodynamic processes: space plasmas and the inner heliosheath // Astrophys. J. 2012. V. 749. P. 11 Doi:10.1088/0004-637X/749/1/11. Maksimovic M., Pierrard V., Lemaire J. A kinetic model of the solar wind with kappa distribution functions in the corona // Astronomy and Astrophysics. 1997. V. 324. P. 725-734. Namikawa T., Hamabata H. Propagation of hydromagnetic waves through a collisionless, heat-conducting plasma // J. Plasma Physics. 1981. V. 26. № 1. P. 95-121. Doi: 10.1017/S0022377800010576. Pierrard V., Lazar M. Kappa Distributions: Theory and Applications in Space Plasmas // Solar Phys. 2010. V. 267. P. 153-174. Doi:10.1007/s11207-010-9640-2. Pokhotelov O. A., Pilipenko V. A. Contributions to the theory of the drift-mirror instability of the magnetospheric // Geomagnetism and Aeronomy, 1976. V. 16, P. 296-299. Ren H., Ca J., Wu Z., Chu P.K. Magnetorotational instability in a collisionless plasma with heat flux vector and an isotropic plasma with self-gravitational effect // Physics of Plasmas. 2011. V. 18. № 9. P. 092117 (1-10). Doi: 10.1063/1.3641969. Schippers P., Blanc M., Andre N. et al., Multiinstrument analysis of electron populations in Saturn’s magnetosphere // J. Geophys. Res. 2008. V. 113. P. A07208. Doi:10.1029/2008JA013098. Singh B., Kalra G.L. Gravitational instability of thermally anisotropic plasma // Astrophysical Journal, 1986. V. 304: P. 6-10. Doi: 10.1086/164141. Sharma P., Quataert E., Hammett G.W., Stone J.M. Electron heating in hot accretion flows //Astrophys. J. 2007. V. 667. P. 714-723. Doi: 10.1086/520800. Summers D., Thorne M. Influence of Kappa Distributions on the Whistler Mode Instability // J. Geophys. Res. 1996. V. 101. P. 1-40. Doi: 10.1029/ 2020JA028276. Tribeche M., Bacha M. Nonlinear dust acoustic waves in a charge varying dusty plasma with suprathermal electrons // Phys. Plasmas. 2010. V. 17. P. 073701 Doi: 0.1063/1.3449806. Vasyliunas, V. M. A survey of low-energy electrons in the evening sector of the magnetosphere with OGO 1 and OGO 3 // J. Geophys. Res. 1968. V. 73. P. 2839-2884. Doi:10.1029/JA073i009p02839. Whang Y.C. Higher moment equations and the distribution function of the solar-wind plasma // J. Geophys. Res. 1971.V. A76. №1. P. 7503-7507. Doi: 10.1029/ JA076i031p07503. Yoon P.H., Rhee T., Ryu C.-M. Self-consistent generation of superthermal electrons by beam-plasma interaction // Phys. Rev. Lett. 2005, V. 95, P. 215003. Doi: 10.1103/ PhysRevLett.95.215003. Yoon P.H., Rhee T., Ryu C.M. Self-consistent formation of electron κ distribution, 1: theory // J. Geophys. Res. 2006. V. 111. P. A09106. Doi:10.1029/ 2006JA011681. https://keldysh.ru/papers/2026/prep2026_3.pdf