1-22 RAR 4772-7120 0000-0001-6511-5894 Бесчастнов Юрий Николаевич Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН Beschastnov Y.N. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS 5684-2049 0000-0001-6041-1926 Малинецкий Георгий Геннадьевич Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН gmalin@Keldysh.ru Malinetskii G.G. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS Эндогенное возникновение точек совпадения ожиданий участников рынка в стохастических моделях: от неявного уравнения к вычислительному методу Endogenous emergence of coincidence points of market participants' expectations in stochastic models: from implicit equation to computational method В работе предложена модель динамики двух уровней ожиданий цены крупных участников финансового рынка. Моменты совпадения этих уровней (точка бифуркации) возникают эндогенно как следствие неявного стохастического уравнения, управляемого винеровским процессом. Основной результат работы — вычислительный метод, позволяющий находить все возможные уровни ожиданий без аналитического разрешения исходного уравнения. Исходная задача сводится к детерминированному обыкновенному дифференциальному уравнению, для решения которого предложена комбинация методов стрельбы и Ньютона. Этот подход эффективно работает в точках бифуркаций и позволяет проследить неединственность решений. Дополнительно обсуждается применение модели для оценки рисков производных финансовых инструментов, в которых знание всех уровней ожиданий позволяет строить распределения будущих цен. The paper proposes a model for the dynamics of two price levels of \\ expectations of large financial market participants. The moments when these levels coincide (bifurcation) arise endogenously as a consequence of an implicit stochastic equation driven by a Wiener process. The main result is a computational method that allows finding all possible expectation levels without analytically solving the original equation. The original problem is reduced to a deterministic ordinary differential equation, for which a combination of shooting and Newton methods is proposed. This approach works efficiently at bifurcation points and allows tracing the non-uniqueness of solutions. The application of the model to risk assessment of derivative financial instruments is discussed, where knowledge of all expectation levels makes it possible to construct distributions of future prices. 1 Введение Моделирование финансовых временных рядов служит основой для прогнози­рования цен, оценки рисков и хеджирования деривативов. От того, насколь­ко точно модель отражает реальную динамику ожиданий участников, зави­сит эффективность управления капиталом. При моделировании рядов часто предполагается, что цена актива определяется единым уровнем ожиданий участников рынка или усреднением всех уровней. Однако это является упро­щением: распределение индивидуальных ожиданий участников может иметь несколько уровней — то есть разные группы трейдеров могут одновременно придерживаться существенно различных точечных прогнозов будущей цены. Под уровнем ожиданий мы понимаем детерминированную функцию от пуб­личного сигнала Wt (винеровского процесса — математической модели бро­уновского движения, обладающей непрерывными траекториями и независи­мыми нормальными приращениями [1]), которая интерпретируется как то­ чечный прогноз справедливой цены, разделяемый некоторой группой участ­ников. Многие модели используют либо один уровень (например, геометри­ческое броуновское движение [1]), либо модели с переключением режимов (regime-switching — класс моделей, где динамика процесса меняется в зави­симости от скрытого состояния [2]), но с экзогенными, заранее заданными правилами переключения, которые не выводятся из самой динамики ожида­ний [2, 3]. В реальной рыночной микроструктуре, в частности в книге заявок (order book — электронный список лимитных заявок на покупку и продажу, отра­жающий текущие намерения участников [4]), наблюдаемая цена формиру­ ется как результат конкуренции лимитных заявок (заявок с фиксированной ценой) крупных участников. Различные группы институциональных игро­ков выставляют свои уровни покупки и продажи, отражающие их оценку справедливой стоимости. При этом все участники наблюдают одни и те же публичные данные (например, поток сделок, макроэкономические индикато­ры), которые мы моделируем единым винеровским процессом Wt (описание в второй главе в начале). Однако, имея общую информационную базу, раз­ные группы могут по-разному интерпретировать сигналы, что приводит к нескольким сосуществующим уровням ожиданий. В любой момент времени наблюдаемая цена соответствует уровню той группы, чья лимитная заявка в данный момент является лучшей, но в глубине книги заявок существуют альтернативные уровни — ожидания других групп. Таким образом, множе­ственность уровней ожиданий является объективным свойством рынка [4]. Наглядной иллюстрацией множественности ценовых уровней служит ситуация исполнения крупной рыночной заявки в книге заявок с выражен­ной бимодальной структурой ликвидности. Когда трейдер отправляет рыноч­ную заявку на покупку (приказ купить немедленно по наилучшей доступной цене), он последовательно «съедает» лимитные заявки на продажу, начиная с самой низкой цены. Симметричная ситуация возникает при рыночной про­даже: заявка на продажу поглощает лимитные заявки на покупку, начиная с самой высокой цены, и так же может проходить через несколько ценовых уровней, отражающих ожидания различных групп покупателей. В реальных биржевых книгах заявок ликвидность часто распределена неравномерно: су­ществуют ценовые зоны концентрации крупных заявок (моды) и разделяю­щие их разреженные области с небольшими объёмами. Рассмотрим книгу заявок, представленную в таблице 1. Здесь первая мо­ да ликвидности сосредоточена на уровне 100.00 (объём 500), вторая — на уровне 100.20 (объём 1000). Между ними находится разреженный участок с мелкими заявками по ценам 100.05 и 100.10. Крупная рыночная заявка на покупку объёмом 700 единиц сначала полностью поглощает первую моду по цене 100.00, затем «проскакивает» промежуточные уровни с незначительным объёмом и, исчерпав их, начинает исполняться уже по цене 100.20, принад­лежащей второй моде. В результате одна сделка фактически проходит по четырём различным ценам, соответствующим разным группам участников с различными ожиданиями справедливой стоимости. Таблица 1: Исполнение рыночной заявки на покупку объёмом 700 Цена Объём на продажу Исполнено по цене Остаток заявки 100.00 100.05 100.10 100.20 100.25 500 50 30 1000 800 500 50 30 120 0 200 150 120 0 0 В этой ситуации цена последней сделки фиксируется на уровне 100.20, однако фактические затраты покупателя отражают цены всех затронутых уровней, включая промежуточные. С точки зрения ожиданий это означает, что в один и тот же момент времени рынок признаёт существование несколь­ких «справедливых» ценовых уровней, причём основная масса ликвидности сконцентрирована вокруг двух доминирующих оценок (двух мод), соответ­ствующих лимитным заявкам разных групп продавцов. Существующая литература по моделям с переключением режимов [2, 5] предполагает, что переход между состояниями управляется скрытой марков­ской цепью (цепью с дискретными состояниями и вероятностями перехода между ними [2]) с фиксированной матрицей вероятностей. Эти модели успеш­ но применяются в эконометрике, однако их экзогенность остаётся теоретиче­ски необоснованной. Альтернативные подходы, такие как пороговые модели (threshold models — модели, в которых динамика меняется при достижении переменной некоторого порога [6]) или модели с самоуправляемым перехо­ дом (self-exciting threshold models — пороговые модели, где порог зависит от прошлых значений процесса [7]), также требуют задания порогов или пра­ вил извне. В пороговых моделях момент переключения определяется дости­жением наблюдаемой переменной экзогенно заданного порога, но сам порог не выводится из динамики ожиданий и не связан с равенством двух конку­рирующих прогнозов. В микроструктурных моделях [8, 9] рассматривается влияние лимитных заявок на цену, но они обычно не порождают эндогенных моментов смены доминирующего уровня ожиданий. В данной работе мы предлагаем конструкцию, которая удовлетворяет сле­дующим требованиям: 1. Точки, в которых два уровня ожиданий участников совпадают (дискри­минант квадратного многочлена обращается в ноль), возникают эндо­генно — как следствие динамики винеровского процесса, а не задаются внешними вероятностными правилами. 2. Между такими точками каждый уровень ожиданий гладко следует сво­ей траектории. 3. Существует вычислительный метод для нахождения всех возможных уровней (всех ветвей решения), не требующий аналитического решения исходного неявного уравнения. Основная идея модели заключается в следующем. Пусть f1(Wt) и f2(Wt) — две различные бесконечно гладкие функции от одного и того же винеров­ского процесса Wt, определение которого описано кратко в начале второй aWt главы (например, f1(Wt)= e, f2(Wt)= ebWt ). Они интерпретируются как два уровня ожиданий справедливой цены актива двумя группами крупных участников. Все участники наблюдают один и тот же публичный сигнал Wt, но интерпретируют его по-разному, что и порождает расхождение уровней. Вместо того чтобы задавать правило, какой из уровней реализуется в цену, мы постулируем, что оба уровня одновременно удовлетворяют квадратно­му уравнению (Xt . f1(Wt))(Xt . f2(Wt)) = 0. Простейшей полиномиальной формулой, допускающей два различных уровня ожиданий и их эндогенное совпадение при обнулении дискриминанта (выражения (f1 . f2)2 под корнем квадратного уравнения), является квадратное уравнение. Раскрывая скобки, получаем неявное стохастическое уравнение (уравнение, связывающее слу­чайный процесс Xt и винеровский процесс Wt без явного разрешения отно­сительно Xt) F (Xt,Wt)= X2 . f1(Wt)+ f2(Wt) Xt + f1(Wt)f2(Wt)=0. (1) t Пока f1(Wt) . = f2(Wt), уравнение имеет два различных стохастических корня, то есть два различных уровня ожиданий. В моменты времени . , когда f1(W. )= f2(W. ), (2) дискриминант обращается в ноль, корни сливаются в один — уровни ожи­даний совпадают. Именно эти моменты являются эндогенно возникающими точками-кандидатами для возможной смены доминирующего на рынке уров­ня. Каждый уровень Xt (как функция от Wt) непрерывен, но не обязан быть гладким. В момент . траектория уровня может либо остаться на прежнем значении, либо перейти на значение другого уровня — это соответствует раз­личным сценариям эволюции цены. Модель не предопределяет сам переход, а лишь указывает моменты, когда он возможен — аналогично ситуации, когда в книге заявок два крупных уровня совпадают — тогда никто не заработает, что вынуждает менять стратегию [10]. В рамках данной работы мы остаёмся на уровне описания всех возмож­ных уровней ожиданий, а не выбора одного из них. Наблюдаемая цена Xt в каждый момент времени могла бы равняться любому из этих уровней, но в моменты их равенства возможен переход от одного уровня к другому. За­дача выбора конкретного сценария (например, по критерию максимальной ликвидности или стохастического переключения) остаётся открытой для бу­дущих исследований и калибровки по данным. Данная работа является первым этапом для решения значительно более общей задачи. Вместо квадратного многочлена мы будем использовать гради­енты элементарных форм катастроф Тома [11] (складка, сборка, ласточкин хвост и др.), которые будут выбираться с учётом временного ряда (обратная задача), а далее использоваться как инструмент хеджирования деривативов. В дальнейшем рассмотренный здесь двумерный многочлен можно интерпре­тировать как катастрофу типа «складка»; для этой формы будет решена обратная задача по симуляционным данным — восстановление параметров складки по смоделированным уровням ожиданий. Цель работы — построить теоретическую модель, в которой динамика двух конкурирующих уровней ожиданий крупных участников описывается единым неявным стохастическим уравнением и предложить вычислительный метод для нахождения всех возможных уровней (всех ветвей решения). Пер­спектива разрабатываемого метода связана с оценкой рисков производных финансовых инструментов (деривативов — контрактов, стоимость которых зависит от базового актива, например опционов и фьючерсов): зная все воз­можные сценарии эволюции уровней ожиданий, можно строить распределе­ния будущих цен и рассчитывать такие меры риска, как VaR (Value at Risk — максимальный ожидаемый убыток при заданном доверительном уровне, например 99% [12]), Expected Shortfall (ES — средний убыток в случае пре­ вышения VaR, также называемый условным VaR [12]), а также справедливую стоимость опционов — при условии, что дополнительно задано правило вы­бора конкретного уровня [12]. При этом если распределения будущих цен, соответствующие разным сценариям выбора уровня ожиданий, в какой-то мере близки, то неопределённость в управлении рисками мала, в противном случае она велика. Статья организована следующим образом. В разделе 2 даны необходимые определения из стохастического анализа и показано, как неявное уравнение (1) сводится к стохастическому дифференциальному уравнению с разрыв­ными коэффициентами, а затем — к детерминированному обыкновенному дифференциальному уравнению для каждого уровня ожиданий. Раздел 3 посвящён численному методу решения полученного ОДУ с учётом неедин­ственности (нахождение всех уровней). В разделе 4 приведён вычислитель­ный эксперимент. Раздел 5 содержит обсуждение результатов, раздел 6 — заключение, рассматривающее перспективы для оценки рисков деривативов. 2 Эквивалентные задачи Напомним основные понятия стохастического анализа. Подробное изложение можно найти в [1, 13, 14]. Стандартный винеровский процесс (броуновское движение) Wt (t . 0) обладает свойствами: W0 =0 почти наверное (с вероят­ностью 1); приращения независимы и нормальны: Wt .Ws .N (0,t.s) (нор­мальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией t . s) для 0 . s<t; траектории непрерывны, но нигде не дифференцируемы в обычном смысле [1]. Ключевым свойством, отличающим стохастическое ис­ числение от классического, является квадратичная вариация процесса: для n винеровского процесса [W ]t = limmax .ti>0 (Wti . Wti.1 )2 = t с вероятно­ i=1 стью 1, что в дифференциальной форме записывается как dWt · dWt = dt. Это свойство приводит к появлению дополнительного члена в формуле Ито. Процесс Ито Xt определяется как случайный процесс, который может быть представлен в интегральной форме (см. [1, гл. 4] или [14, гл. 3]): Z Z tt Xt = X0 + µ(Xs,s) ds + .(Xs,s) dWs. (3) 00 R t Здесь первый интеграл µ(Xs,s)ds — это обычный интеграл Лебега (или Ри­ 0 мана) по времени, понимаемый поточечно для каждой траектории. Второй R t интеграл .(Xs,s)dWs — стохастический интеграл Ито, который не может 0 быть определён как интеграл Римана-Стилтьеса из-за недифференцируемо­сти траекторий Wt. Его построение основано на аппроксимации ступенчаты­ми процессами и использовании изометрического свойства Ито R 2 R i tt E .sdWs = E .2 ds , где E -математическое ожидание. Подроб­ 00 s ное построение дано, например, в [13, гл. 5] и [14, гл. 3]. В дифференциальной форме (3) часто записывают сокращённо как dXt = µ(Xt,t)dt + .(Xt,t)dWt, (4) где µ называется сносом (drift — систематическая тенденция изменения про­цесса), а . — волатильностью (диффузией — случайная составляющая). Од­нако следует помнить, что (4) — это лишь символическая запись интеграль­ ного соотношения (3). Для гладкой функции f(t, x) от процесса Ито справедлива формула Ито (см. [1, теорема 4.1.2] или [13, §6]) — аналог цепного правила для стохастиче­ ских процессов, учитывающий ненулевую квадратичную вариацию: .f .f 1 .2f .f df(t, Xt)= + µ + .2 dt + . dWt. (5) .t .x 2 .x2 .x R t Эта формула учитывает, что квадратичная вариация Xt равна .2ds, то 0 есть в дифференциальной форме (dXt)2 = .2dt. Правила умножения диф­ференциалов в стохастическом исчислении таковы: dt · dt =0, dt · dWt =0, dWt · dWt = dt. Без учёта члена 1 .2fxx формула (5) переходила бы в обычное 2 цепное правило, но из-за негладкости траекторий Wt возникает дополнитель­ный член, называемый поправкой Ито. Вернёмся к уравнению (1). Вне точек совпадения уровней ожиданий (2) выполнено .F/.X . =0, и по теореме о неявной функции (теорема анализа, га­рантирующая локальное существование гладкой зависимости переменной от параметра, если частная производная по этой переменной не равна нулю [15]) существуют две гладкие ветви Xt = H1(Wt) и Xt = H2(Wt), соответствую­щие двум разным уровням (стохастическим корням). Гладкость этих ветвей (бесконечная дифференцируемость по . = Wt) следует из гладкости функ­ций f1,f2 и того, что знаменатель .F/.X отличен от нуля в окрестности любой точки, где f1 . = f2. Таким образом, вне моментов совпадения уровней каждый из процессов Hi(Wt) является сколь угодно гладкой функцией от броуновского движения. Дифференцируя тождество F (H(Wt),Wt)=0 по формуле Ито и прирав­нивая к нулю коэффициенты при dt и dWt, получаем стохастическое диффе­ренциальное уравнение dXt = µ(Xt,Wt)dt + .(Xt,Wt)dWt, (6) где коэффициенты выражаются через частные производные F : .F/.W .(Xt,Wt)= ., (7) .F/.X 11 .2F.2F 1 .2F µ(Xt,Wt)= . + . + .2 . (8) .F/.X 2 .W 2 .X.W 2 .X2 В точках, где уровни ожиданий участников совпадают (f1(Wt)= f2(Wt)), зна­менатель .F/.X обращается в ноль. Числитель также обращается в ноль, однако предельные значения . и µ зависят от того, по какой ветви (какому уровню) происходит приближение к критической точке. Если приближать­ ' 1 '' ся строго по ветви Hi, то . > H (Wt), µ > H (Wt). При любом другом i2 i способе приближения пределы могут быть иными. Следовательно, коэффи­циенты (7)-(8) не имеют однозначного непрерывного продолжения в точки совпадения уровней — они разрывны. Именно эта разрывность порождает множество возможных сценариев: в момент, когда оба уровня равны, цена (если мы решаем задачу выбора) может продолжить следовать любому из них. Для каждой отдельной ветви вне точек совпадения справедливо представ­ление Xt = Hi(Wt). Применяя формулу Ито к Hi(Wt), имеем ' '' dHi = H i(Wt)dWt +1 H i (Wt)dt. (9) 2 Сравнивая (9) с (6), получаем связь: ' '' . = H i(Wt),µ =1 H i (Wt). (10) 2 Эти соотношения верны вдоль каждой ветви вне точек совпадения. Они поз­воляют сформулировать эквивалентную детерминированную задачу. Теорема 1. Эквивалентная детерминированная задача (сведение исходно­го стохастического описания к решению обыкновенного дифференциального уравнения, что позволяет применять стандартные численные методы). Пусть {.k} — все корни уравнения дискриминанта (f1(.) . f2(.))2 =0 (точки бифуркации — моменты совпадения уровней). Рассмотрим интер­ .k+.k+1 вал (.k,.k+1) и выберем точку c = (середину интервала). Тогда 2 любая гладкая ветвь H(.), соответствующая одному из уровней ожида­ний (стохастических корней), удовлетворяет на левой половине интервала (.k,c] краевой задаче (системе, включающей дифференциальное уравнение и условие на границе) для обыкновенного дифференциального уравнения dH = .H(.),. , . . (.k,c], (11) d. с краевым условием на левом конце .F H(.k),.k =0, (12) .X где F из уравнения (1). Значение H(.k) определяется из этого условия и не задаётся априори. Решение этой краевой задачи даёт два возможных зна­чения .1,.2 = H(c) (соответствующие двум различным ветвям). Далее, на правой половине интервала (c, .k+1) для каждого найденного значения . решается задача Коши (начальная задача — дифференциальное уравнение с заданным значением в начальной точке) dH = .H(.),. , . . (c, .k+1),H(c)= .. (13) d. Полученное решение автоматически удовлетворяет условию .F 1 d. (H(.k+1),.k+1)=0. Соотношение µ = выполняется. .X 2 d. Доказательство. Вне точек бифуркации выполнено .F/.X . =0, и из неяв­ного уравнения F (H(.),.)=0 по теореме о неявной функции следует су­ществование гладких ветвей. Дифференцируя тождество F (H(.),.)=0 по . и учитывая, что Wt соответствует ., получаем dH = . (см. вывод (7)). В d. точке бифуркации .k, где f1(.k)= f2(.k), дискриминант обращается в ноль, что эквивалентно .F =0. Это и есть краевое условие (12). Поскольку на ин­ .X тервале (.k,.k+1) существуют две гладкие ветви, то на левой половине (.k,c] краевая задача (11)–(12) имеет два решения, которые дают два различных значения H(c). Для каждого такого значения задача Коши (13) имеет един­ ственное решение на (c, .k+1) в силу теоремы существования и единствен­ности для ОДУ (основной результат теории обыкновенных дифференциаль­ных уравнений, гарантирующий локальное существование и единственность решения при выполнении условий Липшица [16]). В силу непрерывности и того, что .k+1 — следующая точка бифуркации, автоматически выполняется .F 1 d. (H(.k+1),.k+1)=0. Соотношение µ = проверяется дифференцирова­ .X 2 d. нием . по . с использованием (7)-(8). Таким образом, исходная стохастическая задача (1) сводится к последо­ вательному решению двух детерминированных задач на каждом интервале между точками бифуркации: сначала краевой задачи на левой половине ин­тервала для определения всех возможных значений H(c), затем для каждого такого значения — задачи Коши на правой половине. Интервалы могут быть бесконечными (например, (.., 0) или (.m, +.)); в таких случаях выбирает­ся конечная точка c на расстоянии 1 от конечной границы, и решается только краевая задача. 3 Численный метод отыскания всех ветвей Для нахождения всех ветвей на интервале (.k,.k+1) реализуем метод, ос­.k+.k+1 нованный на теореме 1. Выберем точку c = (середину интервала). 2 Обозначим . = H(c). Решение задачи Коши для уравнения (11) с начальным условием H(c)= . при интегрировании справа налево (от c до .k) даёт функ­цию H.left(.; .), определённую на (.k,c]. Для её нахождения перейдём к обрат­ному времени, положив . = c . . или непосредственно используя численный метод с отрицательным шагом. В результате получим значение H.left(.k; .). Краевое условие (12) принимает вид скалярного нелинейного уравнения .F .(.) . H.left(.k; .),.k =0. (14) .X Функция .(.) непрерывна и, как правило, имеет ровно два корня .1 и .2, соответствующие двум различным ветвям. Для численного нахождения корней применим метод Ньютона (итераци­онный метод касательных, основанный на линеаризации функции в текущей точке [17]). Итерационная последовательность строится по формуле .(.n) .n+1 = .n . ,n =0, 1, 2,... . ' (.n) Производная . ' (.) аппроксимируется конечной разностью: .(. + .) . .(. . .) . ' (.) . , 2. где . — малое приращение (например, . = 10.6). Начальные приближения .0 выбираются, например, как .0 . f1(c) и .0 . f2(c), поскольку в середине интервала ожидается, что ветви близки к значениям f1 и f2. После того как все допустимые значения .. (корни) найдены, для каждого из них решается задача Коши на правой половине интервала: dH = .H(.),. , H(c)= . . ,. . (c, .k+1], d. с интегрированием вперёд по времени (стандартным методом Рунге-Кутты, например, четвёртого порядка — семейство одношаговых методов высокой точности для численного решения ОДУ [18]). Полученное решение H(.) ав­томатически удовлетворяет условию на правом конце .F (H(.k+1),.k+1)=0 .X в силу непрерывности ветви; это служит проверкой точности вычислений. Та­ким образом, количество найденных корней . определяет количество ветвей, и для каждой ветви отдельно решается задача Коши вправо. В случае бесконечного интервала, например (.k, +.), процедура анало­гична решению только краевой задачи. Выбирается конечная точка c = .k +1 (или любая другая). Уравнение (14) решается тем же способом (интегриро­ вание влево от c до .k). Для левого бесконечного интервала (..,.k+1) вы­бирается c = .k+1 . 1, интегрирование ведётся вправо до .k+1 с условием на правом конце. Предложенный метод (комбинация стрельбы и метода Ньюто­на) позволяет последовательно найти все ветви решения на каждом интер­вале между точками бифуркации, что даёт полную картину многозначного решения исходной стохастической задачи (1) [19]. 4 Вычислительный эксперимент Рассмотрим конкретный пример, моделирующий два различных уровня ожи­даний крупных участников. Пусть aWt bWt f1(Wt)= e, f2(Wt)= e, с параметрами a =0.5, b =1.0. Начальное условие: X0 =1. Обе функции a. и e Рис. 1: eb. (пунктир). Параметры: a =0.5, b =1.0. интерпретируются как два уровня в книге заявок, формируемые двумя груп­пами трейдеров, которые по-разному реагируют на один и тот же публичный сигнал Wt. Неявное стохастическое уравнение (1) принимает вид aWt bWt )Xt + e(a+b)Wt F (Xt,Wt)= X2 . (e + e =0. (15) t a. Аналитически известны две ветви: H1(.)= eи H2(.)= eb.. Вычислим коэффициент . по формуле (7): bea.(X . ea.(X . eb.) a.)+ ae .(X, .)= . 2X . ea. . eb. Коэффициент сноса µ получается из общей формулы (8) после подстановки частных производных: 12a.b. a. ae+ b2eX . 1 (a + b)2e(a+b). +(ae+ beb.). . .2 22 µ(X, .)= . 2X . ea. . eb. Тогда стохастическое дифференциальное уравнение (6) для процесса Xt за­писывается как dXt = µ(Xt,Wt) dt + .(Xt,Wt) dWt. (16) a. b. В точках, где e= e(т.е. . =0), коэффициенты терпят разрыв: при подходе по ветви H1 имеем . > a, µ > a2/2; при подходе по ветви H2 — . > b, µ > b2/2. Вспомогательная демонстрация: метод Эйлера–Маруямы Прежде чем перейти к основному эксперименту, кратко покажем, как можно численно моделировать траектории непосредственно по СДУ (16) с помощью метода Эйлера–Маруямы (простейший численный метод для СДУ, обобщаю­щий метод Эйлера на стохастический случай [20, 21]). Эта часть выполняется исключительно для наглядной иллюстрации того, как описанная модель поз­воляет генерировать сценарии развития уровня цен (каждый из корней по отдельности) из ожиданий участников. Весь последующий анализ, после ри­сунка 2, посвящён главному вычислительному эксперименту — применению детерминированного метода из раздела 3 для нахождения всех ветвей без использования аналитического вида решений. Метод Эйлера–Маруямы заключается в следующем. Пусть задано разби­ение временного интервала [0,T ] на N равных частей с шагом .t = T/N. Обозначим tn = n.t, Wtn — значения винеровского процесса в этих точках, причём приращения .Wn . Wtn распределены как N (0, .t). Метод = Wtn+1 Эйлера–Маруямы для уравнения (16) имеет вид Xn+1 = Xn + µ(Xn,Wtn ).t + .(Xn,Wtn ).Wn,X0 =1. (17) На каждом шаге используются текущие значения Xn и Wtn . Поскольку ко­эффициенты разрывны только при . =0, а в остальных точках гладкие, метод Эйлера–Маруямы сходится в смысле сильной сходимости порядка 0.5 при условии, что траектория не попадает точно в точку разрыва (вероятность этого события нулевая) [20]. Для эксперимента выбраны параметры: T =1, .t =0.001 (N = 1000). Сгенерирована одна реализация винеровского процесса Wt. Затем по фор­муле (17) численно найдены две траектории Xt, соответствующие двум раз­личным начальным условиям: в первом варианте на первом шаге выбирается ветвь H1, во втором — ветвь H2. На рисунке 2 представлены полученные численные траектории вместе с точными решениями eaWt и ebWt . Видно, что метод Эйлера–Маруямы с высокой точностью воспроизводит обе ветви, при­чём расхождение накапливается со временем, но остаётся в пределах 10.3 по абсолютной величине. Основной эксперимент: детерминированный метод нахож­дения всех ветвей Теперь применим метод, описанный в разделе 3, для отыскания всех ветвей без использования аналитического вида решений. Это и есть главный вычис­Рис. 2: Численное решение СДУ методом Эйлера–Маруямы (тонкая линия) aWt bWt в сравнении с точными аналитическими ветвями eи e(толстые линии) при заданной реализации Wt. Параметры: a =0.5, b =1.0, шаг .t =0.001. 0.5.. лительный эксперимент работы. В данном примере f1(.)= e, f2(.)= e. Уравнение f1(.)= f2(.) имеет единственный корень . =0 (поскольку a . = b и a,b > 0). Таким образом, положительная полуось представляет собой ин­тервал (.0, +.) = (0, +.) (бесконечный интервал). Согласно рекомендаци­ям раздела 3 для бесконечного интервала выбираем конечную внутреннюю точку, например c =1. Обозначим . = H(c) — значение искомой ветви в точке . = c. На левой половине (0,c] решаем краевую задачу, состоящую из уравнения (11) и краевого условия (12). Для этого для каждого пробного . интегрируем уравнение dH = .(H, .) справа налево от . = c до . =0 (например, мето­ d. дом Рунге–Кутты 4-го порядка с шагом .. =0.01 [18]), получая H.left(0; .). Краевое условие (12) в данном примере означает .F (H(0), 0) = 0, что экви­ .X валентно H(0) = 1 (поскольку при . =0 имеем f1(0) = f2(0) = 1, и условие обращения дискриминанта в ноль даёт единственное значение). Таким обра­зом, уравнение (14) принимает вид .(.) . H.left(0; .) . 1=0. Функция .(.) непрерывна и имеет два корня. Для их нахождения используем метод Ньютона с аппроксимацией производной разностью. Начальные при­ (1) (2) ближения выбираем как .= f1(c)= e0.5 . 1.648 и .= f2(c)= e1 . 2.718. 00 Итерации сходятся к значениям .1 .. 1.648, .2 .. 2.718, которые совпадают с 0.5 и e точными значениями e1 с точностью до 10.10 . Рис. 3: Результат применения метода стрельбы: найденные численно ветви H(.) (сплошные линии) в сравнении с точными аналитическими решениями a. и e eb. (пунктир). Параметры: a =0.5, b =1.0, c =1.0. Полученные решения H(.) с высокой точностью совпадают с аналитиче­a. и e скими ветвями eb. (результат представлен на рисунке 3). Таким образом, численный метод, основанный на решении краевой задачи, позволяет найти все возможные уровни ожиданий даже в отсутствие явного аналитического выражения. Именно этот подход является основным результатом вычисли­тельной части работы. 5 Обсуждение результатов Предложенный подход успешно решает задачу нахождения всех ветвей реше­ний неявного стохастического уравнения, соответствующих разным уровням ожиданий участников. Сведение к детерминированному ОДУ (11)–(13) поз­ воляет использовать стандартные численные методы, не прибегая к стохасти­ческому интегрированию. Комбинация метода стрельбы (численного метода для краевых задач, основанного на сведении к задаче Коши с подбираемыми параметрами [16]) и метода Ньютона эффективно обрабатывает неединствен­ ность и особенность в начальной точке, а также позволяет последовательно продолжать решение через все точки бифуркации. Целесообразно сопоставить нашу модель с двумя широко распространён­ными классами моделей смены режимов: моделями с марковскими переклю­чениями (Markov switching, MS) [2, 5] и пороговыми авторегрессионными мо­ делями (TAR/STAR) [6, 22]. Основные различия обобщены в таблице 2. Таблица 2: Сравнение подходов к моделированию смены режимов Характерис­тика Марковские переключе­ния (MS) Пороговые модели (TAR/STAR) Наш подход Механизм пере­ Экзогенный, Эндогенный, ос­ Эндогенный, ключений ненаблюдаемая цепь Маркова нован на поро­говой перемен­ной запускается бифуркациями при эволюции параметров системы Структура мо­дели Линейная (или нелинейная) внутри каждого режима Линейная (или нелинейная) внутри каждого режима Нелинейная динамика, заданная поли­номиальными формами Интерпретация Ненаблюдаемые Наблюдаемые Режимы со­ режимов «состояния ми­ра» режимы, ос­нованные на прошлых значе­ниях перемен­ной ответствуют различным корням сто­хастического многочлена Ключевой недо­статок Причина пере­ключений не моделируется Необходимо специфициро­вать пороговую переменную и её значение Требуется спе­цификация полиномиаль­ной формы; вычислитель­ная сложность Как следует из таблицы, модели с марковскими переключениями предла­гают гибкий вероятностный механизм, но не объясняют, почему и когда про­исходит смена режима: переходы управляются экзогенной скрытой цепью, не связанной с динамикой наблюдаемых переменных. Пороговые модели делают переключение эндогенным, зависящим от достижения некоторой переменной заданного порога, однако сам порог и выбор пороговой переменной остаются априорными допущениями, не выводимыми из структуры системы. Предлагаемый подход наследует эндогенность (точки совпадения уровней ожиданий возникают как следствие эволюции винеровского процесса, а не за­даются внешне) и одновременно даёт чёткую связь с теорией бифуркаций. В отличие от классических моделей переключения, мы не постулируем правила выбора ветви, а строим все возможные сценарии (все уровни ожиданий). Это позволяет в дальнейшем, при задании дополнительного правила (например, максимизации ликвидности), получать распределения цен и оценивать риски. Интерпретация модели в терминах книги заявок (order book) естественна: уровни f1(Wt) и f2(Wt) — это лимитные заявки двух групп крупных участни­ков, отражающие их ожидания; наблюдаемая цена в каждый момент может соответствовать одному из этих уровней, но модель не предрекает, какому именно — это отдельная задача, зависящая, например, от ликвидности или правил торговли [10, 4]. Моменты (2) — это ситуации, когда два уровня сбли­ жаются, создавая возможность пробоя и перехода цены на альтернативный уровень. Предложенный метод не требует устранения разрывов, а заменяет исходную задачу эквивалентной детерминированной, где ветвление проявля­ется в виде нескольких решений задачи Коши. Вычислительный эксперимент подтверждает работоспособность метода. 6 Заключение Вернёмся к мотивировке, изложенной во введении. Многие финансовые моде­ли исходят из предположения об одном уровне ожиданий и экзогенно задан­ном времени переключения между режимами. Однако реальный рынок, как это видно из книги заявок, характеризуется множественностью конкуриру­ющих уровней ожиданий, выставляемых крупными участниками. Наблюда­емая цена — это лишь один из возможных сценариев, в котором доминирует одна из групп, но в любой момент может возникнуть ситуация совпадения уровней, открывающая возможность перехода к другому уровню. Предло­женная в данной работе модель впервые позволяет сделать такое совпадение (обнуление дискриминанта квадратного многочлена) эндогенным, выведен­ным из динамики броуновского движения, а не заданным внешними вероят­ностями. Основные результаты работы заключаются в следующем. Построена тео­ретическая модель, в которой точки совпадения уровней ожиданий участни­ков возникают эндогенно из структуры неявного уравнения F (Xt,Wt)=0. Показано, что коэффициенты сноса и диффузии в соответствующем стоха­стическом дифференциальном уравнении разрывны в этих точках, что и по­рождает ветвление возможных сценариев. Исходная стохастическая задача сведена к эквивалентной детерминированной задаче Коши для обыкновен­ного дифференциального уравнения, что позволяет применять классические численные методы. Разработан вычислительный метод (комбинация стрель­бы и Ньютона), который находит все возможные уровни ожиданий (ветви) на всей числовой прямой, обходя проблему неединственности и особенности в начальной точке. Полученная модель имеет прямую перспективу для оценки рисков про­изводных финансовых инструментов. Поскольку она генерирует множество возможных сценариев эволюции уровней ожиданий с эндогенными точками совпадения, мы получаем полный набор альтернативных ожиданий (каждый уровень ожиданий по отдельности). На их основе можно вычислять распре­деление будущих цен (при дополнительном задании правила выбора конкрет­ного уровня в каждый момент), а следовательно, такие меры риска, как сто­имость под риском (VaR) и ожидаемый дефицит (Expected Shortfall) [12], а также справедливую стоимость опционов [12]. В отличие от моделей с экзо­ генными переключениями, здесь вероятности перехода от одного уровня к другому не задаются априорно, а могут быть определены через динамику винеровского процесса и дополнительные рыночные условия, что даёт более обоснованную калибровку по рыночным данным. Представленная в данной статье работа является первым этапом для ре­шения значительно более общей задачи. Вместо квадратного многочлена мы планируем использовать градиенты элементарных форм катастроф Тома (складка, сборка, ласточкин хвост и др.), которые будут выбираться с учё­том временного ряда (обратная задача), а затем применяться как инструмент хеджирования деривативов. В частности, уже рассмотренный здесь двумер­ный многочлен интерпретируется как катастрофа типа «складка»; для этой формы в дальнейшем будет решена обратная задача по симуляционным дан­ным — восстановление параметров складки по смоделированным уровням ожиданий, что позволит калибровать модель на реальные рыночные времен­ные ряды. Направления будущих исследований включают распространение подхо­да на случай большего числа типов ожиданий (полиномы высших степеней, что соответствует множеству уровней в книге заявок), калибровку модели на основе реальных временных рядов, учёт нескольких стохастических фак­торов, а также разработку эндогенных правил выбора ветви, основанных на микроструктурных характеристиках (например, сравнительной ликвидности уровней). 519.6 UVLDXS ожидания участников рынка дискриминант многочлена бифуркация метод стрельбы винеровский процесс неявное уравнение стохастическое дифференциальное уравнение market participants' expectations polynomial discriminant bifurcation shooting method Wiener process implicit equation stochastic differential equation Oksendal B. Stochastic differential equations: an introduction with applications. – Springer Science & Business Media, 2013. Hamilton J. D. A new approach to the economic analysis of nonstationary time series and the business cycle // Econometrica. – 1989. – С. 357-384. Hamilton J. D. Macroeconomic regimes and regime shifts // Handbook of macroeconomics. – 2016. – Т. 2. – С. 163-201. Gould M. D. et al. Limit order books // Quantitative Finance. – 2013. – Т. 13, № 11. – С. 1709-1742. Kim C. J., Nelson C. R. State-space models with regime switching: classical and Gibbs-sampling approaches with applications. – MIT press, 2017. Tong H. Non-linear time series: a dynamical system approach. – Oxford university press, 1990. Diebold F. X., Rudebusch G. D. Measuring business cycles: A modern perspective. – NBER, 1994. – Т. 4643. Easley D., O'hara M. Price, trade size, and information in securities markets // Journal of Financial Economics. – 1987. – Т. 19, № 1. – С. 69-90. Foucault T., Pagano M., Röell A. Market liquidity: theory, evidence, and policy. – Oxford University Press, 2023. Cont R. Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues // Quantitative Finance. – 2001. – Т. 1, № 2. – С. 223. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф: в 2 т. – М.: Мир, 1984. McNeil A. J., Frey R., Embrechts P. Quantitative risk management: concepts, techniques and tools. – Princeton university press, 2015. Ширяев А. Н. Вероятность. – М.: МЦНМО, 2007. Klebaner F. C. Introduction to stochastic calculus with applications. – World Scientific, 2012. Колмогоров А., Фомин С. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: ЛитРес, 2016. Ascher U. M., Mattheij R. M. M., Russell R. D. Numerical solution of boundary value problems for ordinary differential equations. – SIAM, 1995. Kelley C. T. Solving nonlinear equations with Newton's method. – SIAM, 2003. Butcher J. C. Numerical methods for ordinary differential equations. – John Wiley & Sons, 2016. Mattheij R., Molenaar J. Ordinary differential equations in theory and practice. – SIAM, 2002. Kloeden P. E., Pearson R. A. The numerical solution of stochastic differential equations // The ANZIAM Journal. – 1977. – Т. 20, № 1. – С. 8-12. Higham D. J. An algorithmic introduction to numerical simulation of stochastic differential equations // SIAM Review. – 2001. – Т. 43, № 3. – С. 525-546. Tsay R. S. Testing and modeling multivariate threshold models // Journal of the American Statistical Association. – 1998. – Т. 93, № 443. – С. 1188-1202. https://keldysh.ru/papers/2026/prep2026_26.pdf