1-25 RAR 0009-0002-1318-9650 Самаров Сергей Евгеньевич samarovserghey@yandex.ru Samarov S.E. 7046-4960 0000-0002-1747-6430 Широбоков Максим Геннадьевич Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН shirobokov@keldysh.ru Shirobokov M.G. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS Оптимизация весовых коэффициентов функции Ляпунова в задаче проектирования межорбитальных околоземных перелетов Optimization of the Lyapunov function weight coefficients in the problem of designing inter-orbital near-Earth flights Рассмотрена задача построения околоземных траекторий на основе прямого метода Ляпунова с функцией Ляпунова, зависящей от 15 числовых параметров. Доказана асимптотическая устойчивость построенной орбиты в случае, когда космический аппарат движется без отключения тяги, и определены оптимальные по функционалу затрат топлива значения параметров. The problem of constructing near-Earth trajectories based on Lyapunov's direct method with a Lyapunov function depending on 15 numerical parameters is considered. Asymptotic stability of the constructed orbit is proved for the case when the spacecraft moves without thrust cutoff, and the parameter values optimal with respect to the fuel cost functional are determined. Введение Космические аппараты (КА) с малой тягой имеют широкие области применения в научных исследованиях, связанных с изучением климата Земли, ее магнитосферы и ионосферы, поэтому задача построения траекторий околоземного перелёта остается актуальной и в наши дни. Межорбитальное околоземное движение КА с малой тягой, как правило, длится продолжительное время и является многовитковым, что приводит к необходимости решать задачи оптимального управления. Традиционно в орбитальной динамике это осуществляется с помощью принципа максимума Понтрягина. Однако при использовании этого метода возникают трудности, связанные с высокой чувствительностью процедуры оптимизации к начальному приближению, многоэкстремальностью задачи и осложнениями, вызванными большим временем полёта и числом витков. Предлагались различные способы решения этих проблем. Одним из них является метод продолжения по параметру [1, 2]. В работе [3] использовано разложение функции управления в ряды Фурье и последующее осреднение уравнений движения. В работе [4] нелинейная двухточечная задача решена с помощью модифицированного метода Ньютона. В работе [5] исследовано применение модели двигателя идеально регулируемой малой тяги для расчета и анализа траекторий перелета КА. В работе [6] предложена «лестница задач» для облегчения нахождения оптимальных траекторий перелёта с малой тягой. В книге В.В. Белецкого описан метод транспортирующей траектории КА с малой тягой [7]. В последнее время при проектировании многовитковых траекторий всё большую популярность приобретают методы, позволяющие в каждой точке траектории находить вектор управляющего реактивного ускорения с использованием функций Ляпунова. Такие исследования проводились А. Петропулосом, который ввёл для соответствующей функции Ляпунова термин «Q–закон» и применил для проектирования траекторий с пассивными участками коэффициент эффективности тяги [8, 9]. В работе [10] рассмотрено локально-оптимальное управление вектором тяги КА с малой тягой, совершающего многовитковый межорбитальный переход с эллиптической на геостационарную орбиту. В статье [11] для численного моделирования траекторий разработана база данных функций Ляпунова с весами, содержащая около 10000 весовых коэффициентов. В работе [12], посвящённой исследованию перспективного проекта легкого лунного буксира с малой тягой, большая часть траектории строится на основе метода Ляпунова. В работах [13] и [14] рассмотрены применения функций Ляпунова при проектировании многовитковых траекторий межорбитального перелёта в случае, когда КА движется без отключения тяги и когда проектирование траекторий осуществляется при наличии пассивных участков. В статье [15] на основе прямого метода Ляпунова разработана схема проектирования траекторий перелёта с Земли на окололунную гало-орбиту, выбранную для станции Gateway, с учётом строгого ограничения на длительность солнечных затмений. Во время затмений двигатель выключается. Для настройки параметров закона управления, даты прибытия на окололунную гало-орбиту и времени полёта используется метод роя частиц. При проектировании траекторий КА на основе прямого метода Ляпунова заранее неизвестно, какая из функций Ляпунова даст оптимальные траектории по заданному функционалу качества, что приводит к необходимости оптимизировать функции Ляпунова. На этом пути в работе [16] применена параметризация положительно определённых весовых матриц, что позволило рассматривать недиагональные матрицы и улучшило показатели эффективности в управлении ориентацией КА и оптимизации траекторий. Параметры матриц настраивались с помощью метода роя частиц. Целью данной работы является разработка методики построения траекторий межорбитального околоземного перелёта с пассивными участками на базе прямого метода Ляпунова. Для выполнения поставленной цели в работе решаются три задачи: оптимизация весовых коэффициентов функций Ляпунова по функционалу затрат топлива КА на траектории перелёта; введение пассивных участков траектории на основе коэффициента эффективности тяги, позволяющего отключать управление КА в случаях, когда производная функции Ляпунова мала по абсолютной величине по сравнению с её значениями на витке; демонстрация разработанной методики на конкретной задаче перелёта. Работа состоит из введения, двух разделов и заключения. В первом разделе описывается методика проектирования траекторий на базе прямого метода Ляпунова. Во втором разделе изложены результаты численного моделирования траекторий околоземного перелёта и оптимизации весовых коэффициентов функции Ляпунова. Каждый из разделов содержит четыре подраздела. В работу включено пять рисунков и одна таблица. Методика проектирования траекторий на базе прямого метода Ляпунова Уравнения орбитального движения КА Введём систему координат Ox_1 x_2 x_3 с началом в центре Земли, ось Ox_1 которой направлена в точку весеннего равноденствия, ось Ox_3 перпендикулярна плоскости экватора, а ось Ox_2 дополняет до правой тройки. Введём также классическую орбитальную систему координат с началом в центре масс КА и базисными векторами: ?(r/r, (r??r ??r?)/|r?[r ??r]| , (r?r ?)/|r?r ? | ,#(1) ) где r=(x_1,x_2,x_3 )^T и r ?=(x ?_1,x ?_2,x ?_3 )^T – радиус–вектор и вектор скорости КА. В формулах (1) первый вектор отвечает за направление вдоль радиус–вектора КА, второй – за трансверсальное направление, а третий – за направление вдоль орбитального момента КА. Будем использовать стандартные обозначения для орбитальных элементов: a – большая полуось, e – эксцентриситет, i – наклонение, ? – долгота восходящего узла, ? – аргумент перицентра, ? – истинная аномалия. Все аналитические и численные расчёты в работе проводятся в системе безразмерных модифицированных равноденственных (БМР) элементов ?(?=(h,e_x,e_y, i_x,i_y,L)#(2) ) связанных с орбитальными элементами по формулам [17]: h=?^(-1/2) ?(a(1-e^2 ) ),i_x=tg(i/2) cos??,e_x=e cos?(?+?),i_y=tg(i/2) sin??,(3) e_y=e sin?(?+?),L=?+?+?.Буквой L в (2) и (3) обозначена истинная долгота, а ? – гравитационная постоянная. Как показано в [17], орбитальное движение КА описывается в элементах (2) системой дифференциальных уравнений ?(?(?(dh/dt=h^2/??T,@(de_x)/dt=h{sin??L?S+[(1+ 1/?) cos??L+ e_x/?? ]?T- (e_y ?)/???W},@(de_y)/dt=h{ ?-cos???L?S+[(1+ 1/?) sin??L+ e_y/?? ]?T+ (e_x ?)/???W} )@?((di_x)/dt=h (? cos?L)/2??W,@(di_y)/dt=h (? sin?L)/2??W,@dL/dt=?^2/h^3 +h ?/??W,)),#(4) ) где ?(?(?=1 + e_x cos??L + e_y sin??L, ? ?@?= i_x sin??L- i_y cos??L,? ?@?=1 + i_x^(2 )+ i_y^(2 ).).) В правую часть системы (4) входят 3 числовых параметра – координаты вектора реактивного ускорения U в орбитальной системе координат (1): ?(U=(?(S,&T,&W))^T.) Другими словами, U =S r/r+T (r?[r ??r])/|r?[r ??r]| +W (r?r ?)/|r?r ? | , где S – радиальная, T – трансверсальная, а W – бинормальная компоненты вектора U в орбитальной системе координат. Вектор U связан с вектором реактивной тяги f и массой m КА по формуле ?(U=f/m,#(5) ) причём |f|?f_max, где f_max – максимальное значение силы тяги двигателя КА. Дополнив систему (4) уравнением ?(m ?=-|U|/V_ex ?m,#(6) ) описывающим динамику массы КА, получаем замкнутую систему уравнений (4), (6), где V_ex – эффективная скорость истечения газов КА [18]. Задача состоит в том, чтобы в каждой точке траектории найти вектор тяги f, позволяющий переместить КА, движение которого определяется системой уравнений (4), (6), с заданной исходной орбиты на заданную целевую орбиту. Построение функции Ляпунова Перепишем правую часть системы из первых пяти уравнений (4) в матричном виде: ?((?(?(dh/dt@(de_x)/dt)@(de_y)/dt@?((di_x)/dt@(di_y)/dt)))=(?(?(0@hsin?L )&?(h^2 ?^(-1)@h[(1+ 1/?) cos??L+ e_x/?? ] )&?(0@-h (e_y ?)/?)@?-hcos??L&h[(1+ 1/?) sin??L+ e_y/?? ]&h (e_x ?)/?@?(0@0)&?(0@0)&?(h (? cos?L)/2?@h (? sin?L)/2?)))(?(S@T@W)) .#(7) ) В системе уравнений (7) участвует истинная долгота L, удовлетворяющая шестому уравнению системы (4). Обозначим вектор-столбец из первых пяти равноденственных элементов (2) ?(P=(h,e_x,e_y,i_x,i_y )^T.#(8) ) Если обозначить A матрицу, входящую в правую часть системы уравнений (7), то систему (7) с помощью (4) и (8) можно записать в виде ?(P ?=A(P,L)?U.# (9) ) Рассмотрим вектор-функцию Q(P)=(q_1 (P),q_2 (P),q_3 (P),q_4 (P),q_5 (P))^T= ?(=(?(h-h^ц,&e_x-e_x^ц,&?(e_y-e_y^ц,&i_x-i_x^ц,&i_y-i_y^ц )))^T,#(10) ) имеющую 5 координат, где индекс «ц» указывает на целевую орбиту. Вектор–функция Q(P) удовлетворяет следующим условиям: Функция Q(P) обращается в нуль только в точках целевой орбиты Q(P(t))=0 ?P=P^ц, где P^ц – целевые модифицированные равноденственные элементы. Функции q_j (P) дифференцируемы при всех значениях j, т. ч. 1?j?5. Матрица Якоби (?((?q_1)/?h&?((?q_1)/(?e_x )&(?q_1)/(?e_y )&(?q_1)/(?i_x ))&(?q_1)/(?i_y )@?&?(?&?&?)&?@(?q_5)/?h&?((?q_5)/(?e_x )&(?q_5)/(?e_y )&(?q_5)/(?i_x ))&(?q_5)/(?i_y ))) является единичной матрицей. Введем функцию–кандидата на роль функции Ляпунова по формуле ?(V=V(Q(P))=1/2 Q^T (P)?B?Q(P)=1/2 ?_(i=1)^5??b_ii q_i^2 (P) ?+1/2 ?_?(i,j=1@i?j)^5??b_ij q_i (P)q_j (P) ?,##(11) ) где b_ij – элементы симметричной и положительно определённой весовой матрицы B. Заметим, что функция (11) для невырожденной матрицы B обращается в нуль только в точках целевой орбиты, а во всех остальных точках положительна. Покажем, что в каждый момент времени можно так выбрать тягу f так, что производная функции V по времени в силу системы уравнений (7) будет отрицательной или равной нулю. Действительно, для производной функции V по времени в силу системы (7) справедливо равенство ?(V ?=?_(i=1)^5??b_ii q_i (P) q ?_i (P)+1/2 ?_?(i,j=1@i?j)^5??b_ij [q ?_i (P) q_j (P)+q_i (P) q ?_j (P)] ?=?#) ?(=?_(i=1)^5??b_ii q_i (P) q ?_i (P)+? ?_?(i,j=1@i?j)^5??b_ij q_i (P) q ?_j (P) ?=?_Q V?Q ?(P)=Q^T (P)?B?Q ?(P).#(12) ) Воспользовавшись равенством Q ?(P)=P ?, преобразуем формулу (12) к виду ?(V ?=Q^T (P)?B?Q ?(P)=Q^T (P)?B?P ? ,) откуда с помощью равенства (9) получаем равенство ?(V ?=Q^T (P)?B?A?U.#(13) ) Формулу (13) можно переписать с помощью скалярного произведения векторов в виде ?(V ?=(A^T?B?Q(P),U).#(14) ) Минимизируя полученное выражение как функцию вектора U, при A^T?B?Q(P)?0 получаем вектор реактивного ускорения ?(U=-f_max/m?(A^T?B?Q(P))/|A^T?B?Q(P)| ,#(15) ) который противоположно направлен вектору A^T?B?Q(P), а его длина |U|=f_max/m . Отметим, что предлагаемый метод управления (15) относится к методам скоростного псевдоградиента [19] и учитывает ограничения на тягу. При A^T?B?Q(P)=0 производная функции V в силу системы (7) равна нулю и не зависит от U. В этом случае полагаем управление U=0. Таким образом, в случае, когда реактивное ускорение удовлетворяет равенству (15), формула (14) принимает вид ?(V ?=-f_max/m?|A^T?B?Q(P)|,#(16) ) причем функция V ? неположительна. Асимптотическая устойчивость целевой орбиты Докажем, что при проектировании траекторий на основе функции Ляпунова (11) целевая орбита под действием непрерывной тяги является асимптотически устойчивой. Поскольку на траектории истинная долгота L строго монотонно возрастает, совершим в системе (4) замену времени dL=(?^2/h^3 +h ?/??W)dt, в результате которой система примет вид ?(?(dh/dL=h^2/??T?(?^2/h^3 +h ?/??W)^(-1), @(de_x)/dL=h{sin??L?S+[(1+1/?) cos??L+e_x/?? ]?T-(e_y ?)/???W}?(?^2/h^3 +h ?/??W)^(-1) , @?((de_y)/dL=h{?-cos???L?S+[(1+1/?) sin??L+e_y/?? ]?T+(e_x ?)/???W}?(?^2/h^3 +h ?/??W)^(-1)@(di_x)/dL=h (? cos?L)/2??W?(?^2/h^3 +h ?/??W)^(-1), @(di_y)/dL=h (? sin?L)/2??W?(?^2/h^3 +h ?/??W)^(-1). ))#, (17) ) Система (17) удовлетворяет всем условиям теоремы 14.1 об асимптотической устойчивости траекторий неавтономных систем с периодическими правыми частями из книги Н.Н. Красовского [20]. Для применения этой теоремы докажем, что множество фазовых точек E, заданное соотношением dV/dL=0, не содержит целиком полутраекторий системы, отличных от целевой орбиты. С этой целью заметим, что на множестве E dV/dL=0 ? |A^T?B?Q(P)|=0. Введя обозначение Y=B?Q(P), докажем, что Y(L)?0. Поскольку равенство A^T?Y=0 эквивалентно системе {?(y_2 sin?L-y_3 cos?L=0; @y_1 h?^(-1)+ y_2 [(1+ 1/?) cos??L+ e_x/?? ]+y_3 [(1+ 1/?) sin??L+ e_y/?? ]=0;@-y_2 (e_y ?)/?+y_3 (e_x ?)/?+ y_4 (? cos?L)/2?+y_5 (? sin?L)/2?=0, )? а первое уравнение системы выполнено для любых L, то справедливы равенства y_2= y_3=0. Подставляя эти равенства во второе уравнение, получаем y_1=0. В результате третье уравнение принимает вид y_4 h (? cos?L)/2?+y_5 h (? sin?L)/2?=0. Так как это равенство должно выполняться для любых L, то y_4= y_5=0. Таким образом, справедливо равенство ?(B?Q(P)=Y=0,#(18) ) что и требовалось доказать. Поскольку матрица B является положительно определенной, то у нее существует обратная. Умножив равенство (18) на B^(-1) слева, получим Q(P)=0. Следовательно, dV/dL обращается в нуль только на целевой орбите, откуда по теореме Н.Н. Красовского следует асимптотическая устойчивость целевой орбиты. Релейная функция управления В данном подразделе описывается способ экономии топлива путём введения пассивных участков, чтобы не тратить топливо там, где это неэффективно. Для формализации критерия отключения тяги введем коэффициент эффективности тяги (КЭТ) на основе сравнения производной функции Ляпунова, характеризующей скорость стремления орбитальных элементов к целевым значениям, с ее максимальным по абсолютной величине значением на витке по формуле ?(?=V ?/min?L?[0,2?] ?V ? =((A^T?B?Q(P),U))/min?L?[0,2?] ?(A^T?B?Q(P),U) = |A^T?B?Q(P)|/?max ??L?[0,2?] ?|A^T?B?Q(P)| .#(19) ) Из (19) следует, что КЭТ определён в случае, когда величина |A^T?B?Q(P)| не равна 0 на целом витке, и удовлетворяет неравенству 0???1. Если же ?max ??L?[0,2?] ?|A^T?B?Q(P)|=0 , то будем считать ?=0 . Для проектирования траекторий в работе вводится параметр переключения тяги ? и исследуется релейная модель управления: если ?>?, то U=-f_max/m?(A^T?B?Q(P))/|A^T?B?Q(P)| ; если ??? или если |A^T?B?Q(P)|=0, то U=0. Введённая таким образом функция управления является разрывной, что негативно сказывается на точности интегрирования уравнения движения. Как правило, для решения подобных проблем разрывные функции сглаживаются. Проведённый анализ показал, что для достижения цели работы индикатор события ?>? удобно сглаживать с помощью функции ?(x, c,d)= 1/(1+e^(-(x-c)?d) ) с аргументом x, зависящей от двух числовых параметров c и d, причём параметр d?1. Эту функцию называют сигмоидой. Сигмоида монотонно возрастает на всей числовой прямой, стремится к 0 при x?-? , стремится к 1 при x?+? , и в точке x=c принимает значение 0.5 . Сглаженное управляющее ускорение имеет вид U=-?(?, c,d)?f_max/m?(A^T?B?Q(P))/|A^T?B?Q(P)| . В работе исследуется модель ограниченной нерегулируемой тяги: если ?< ?, то f=0, если ?? ?, то f=f_max?(A^T?B?Q(P))/|A^T?B?Q(P)| ??(?, ?, 160). Применение модели ограниченной нерегулируемой тяги, т.е. релейного управления, обосновывается тем, что согласно принципу максимума Понтрягина оптимальное управление ограниченной тягой является релейным. График зависимости силы тяги от КЭТ в случае модели ограниченной тяги изображен на рис. 1. Рис. 1. Зависимость тяги от КЭТ в случае сглаженного релейного управления Результаты численного анализа Параметры КА и орбиты околоземного перелёта Для демонстрации методики проектирования траекторий КА на основе прямого метода Ляпунова в качестве примера рассмотрим задачу межорбитального перелёта с исходной круговой солнечно-синхронной приполярной орбиты на целевую высокоэллиптическую орбиту, применяемую для исследования магнитосферы Земли [22]. Пусть масса КА m=5000 кг, максимальная сила тяги f_max=5,1 Н и скорость истечения газов V_ex=40 км/с. Тяжелый аппарат может быть блоком малых аппаратов, выводимых на целевую орбиту. Параметры исходной и целевой орбит приведены в табл.1. Таблица 1 Исходная и целевая орбиты в орбитальных элементах для демонстрации методики Исходная орбитаВысотаH^О= 800 кмРадиусa^О=800+6371 (радиус Земли)=7171 кмНаклонение i^О=98°Эксцентриситет e^О=0 ?^О,?^О, ?^О 0°Целевая орбитаВысота апоцентра?? H?_a?^ц=120000 кмВысота перицентра?? H?_p?^ц=12000 кмБольшая полуось a^ц=0.5?(?? H?_a?^ц+?? H?_p?^ц )+6371=72731 кмНаклонение? i?^ц=98°Эксцентриситет e^ц=(?? H?_a?^ц-?? H?_p?^ц ) (2a^ц )^(-1)=0.742462 ?^ц,?^ц, ?^ц 0° Две постановки оптимизационной задачи В работе оптимизационная задача для матрицы весовых коэффициентов функции Ляпунова по функционалу затрат топлива КА J=?-max?B???_0^T?|f|/V_ex ?(24&dt) , где T – время полета, решалась в двух постановках: в классе диагональных положительно определённых весовых матриц и во всем классе симметричных положительно определённых весовых матриц. При решении оптимизационной задачи в классе диагональных матриц в качестве начального приближения использовалась единичная матрица: H=E. В задаче оптимизировалось пять параметров. Оптимизация осуществлялась методом Нелдера–Мида. Критерием останова было достижение уровня точности в ?10?^(-4) между значениями оптимизируемой функции, а также вершинами симплексов в пространстве параметров. Был также предусмотрен останов по максимальному числу итераций, равному 1000 в случае, если требуемый уровень точности не достигался. Для решения оптимизационной задачи во всем классе симметричных положительно определенных матриц была использована байесовская оптимизация, реализованная в библиотеке Optuna [22] и основанная на методе случайных деревьев (TPE). В задаче оптимизировалось 15 параметров. Диагональные элементы исследовались в диапазоне [0.01, 3.0], а недиагональные элементы – в диапазоне [-0.01, 1.0]. Останов осуществлялся при выполнении 200 итераций. Как в задаче в классе диагональных матриц, так и в задаче во всем классе симметричных положительно определенных матриц расчеты проводились для параметра переключения тяги в диапазоне [0, 0.85]. Выбор метода Нелдера–Мида и байесовской оптимизации диктуется, с одной стороны, высокой чувствительностью решений к параметрам, а с другой стороны – невозможностью использования в решаемых задачах градиентных методов. При этом метод Нелдера–Мида хорошо работает в случае оптимизации диагональных матриц, когда оптимизируемых параметров немного. Байесовская оптимизация, специально созданная для задач оптимизации функций с долгими расчётами, минимизирует число обращений к целевой функции. Поэтому она хорошо работает во всем классе симметричных положительно определенных матриц, когда расчёт одной траектории занимает длительное время. В качестве критерия останова достижения целевой орбиты как для задачи в классе диагональных матриц, так и для задачи во всем классе симметричных положительно определенных матриц было использовано соотношение max?(i?[1,5] )?|q_i (P)-q_i^ц (P)|??, где q_i (P) – компоненты вектора (10), причем расчеты проводились для ?=0.01. Для большой полуоси это соответствует уровню 411 км, для наклонения орбиты – ?0.07?^0, для эксцентриситета орбиты – ?10?^(-3). При проведении численных расчетов в работе для построения симметричных положительно определенных матриц B применяется разложение Холецкого [23]: B=H?H^T где H – нижнетреугольная матрица, имеющая вид ?(H=(?(b_0&0&?(0 &0 &0)@b_1&b_2&?(0 & 0 &0)@?(b_3@b_6@b_10 )&?(b_4@b_7@b_11 )&?(?(b_5@b_8@b_12 )&?(0@b_9@b_13 )&?(0@0@b_14 )))).#(20) ) Поскольку при умножении весовой матрицы на произвольное число формула (15) не меняется, это позволяет уменьшить на единицу число оптимизируемых параметров. С этой целью в обеих оптимизационных задачах элемент b_0 матрицы (20) был положен равным единице. Оптимизация в классе диагональных матриц Графики полученных зависимостей затрат топлива от времени перелёта без оптимизации, а также после оптимизации методом Нелдера-Мида представлены на рис. 2 и 3 соответственно. Как видно из рис. 3, оптимизация в классе диагональных положительно определенных матриц даёт зависимость затрат топлива от времени перелёта типично похожую на гиперболическую зависимость затрат топлива от времени перелёта. Кроме того, на спроектированных траекториях с параметром переключения тяги ?=0.55, малые изменения затрат топлива соответствуют малым изменениям времени перелёта. При отдалении от точки ?=0.55 либо затраты топлива, либо времена перелёта меняются значительно. Рис. 2. График зависимости затрат топлива от времени перелёта при начальном приближении в виде единичной весовой матрицы Рис. 3. График зависимости затрат топлива от времени перелёта после оптимизации в классе диагональных положительно определенных матриц Как показали расчёты, в случае ограниченной нерегулируемой тяги для параметра ?=0.55 весовая матрица имеет вид B=(?(1.0&0&?(0 &0 &0)@0&3.267&?(0 &0 &0)@?(0@0@0)&?(0@0@0)&?(?(2.214@0@0)&?(0@2.442@0)&?(0@0@2.733)))). При проведении численного анализа было также обнаружено, что с ростом параметра переключения ? диагональный элемент матрицы, отвечающий за изменение БМР элемента e_x, увеличивается до наибольшего значения 13.825. Остальные диагональные элементы ведут себя нерегулярно, однако тенденция к увеличению с ростом параметра переключения ? все же наблюдается. Оптимизация в полном классе матриц В данном подразделе приведены полученные в работе результаты по оптимизации весовых коэффициентов функции Ляпунова в классе симметричных положительно определенных матриц. Численное исследование включало проведение 200 итераций байесовской оптимизации по функционалу затрат топлива КА (рис. 4). На рис. 5 изображены графики зависимостей затрат топлива от времени перелёта, полученные при решении оптимизационных задач в классе диагональных положительно определенных матриц и в полном классе симметричных положительно определенных матриц. Как показано на рис. 5, полученная при решении оптимизационной задачи в полном классе матриц зависимость затрат топлива от времени перелёта практически идентична зависимости затрат топлива от времени перелёта, полученной при решении оптимизационной задачи в классе диагональных матриц. Рис. 4. График зависимости затрат топлива от времени перелёта в случае оптимизации в классе симметричных положительно определенных матриц Рис. 5. Графики зависимостей затрат топлива от времени перелёта в случаях оптимизации в классах диагональных и общих весовых матриц Проведённый анализ показал, что решение оптимизационной задачи в полном классе матриц существенного выигрыша по затратам топлива не даёт, а в некоторых случаях незначительно повышает затраты. Например, при ?=0.4 затраты топлива, полученные при решении оптимизационной задачи в полном классе матриц, на 2.26 кг превышают затраты топлива, полученные при решении оптимизационной задачи в классе диагональных матриц. Проведённый в работе численный анализ также показал, что при ?=0.55 весовая матрица имеет вид B=(?(1.000& 0.004&?( 0.038& 0.058 &0.039)@0.004& 3.244& ?(0.088& 0.018 & 0.029)@?(0.038@0.058@0.039)&?( 0.088@ 0.018@ 0.029)&?(?( 0.480@ 0.032@ 0.011)&?( 0.032@ 2.610@-0.002)&?( 0.011@-0.002@ 3.887)))). Заключение Разработана методика построения траекторий межорбитального околоземного перелёта с пассивными участками на базе прямого метода Ляпунова. Исследована задача оптимизации по функционалу затрат топлива весовых коэффициентов функции Ляпунова, применяемой для управления вектором тяги КА с малой тягой. Задача оптимизации исследована в двух постановках: в классе диагональных положительно определённых матриц пятого порядка, что потребовало оптимизации по пяти параметрам, и в полном классе симметричных положительно определённых матриц пятого порядка, где оптимизация осуществлялась по 15 параметрам. Проведённый численный анализ показал, что в рассматриваемой задаче межорбитального околоземного перелёта решение оптимизационной задачи в классе диагональных матриц позволяет достичь практически тех же значений затрат топлива, что и решение оптимизационной задачи в более широком классе симметричных положительно определенных матриц. Проведённый теоретический анализ показал, что построенная функция Ляпунова обеспечивает асимптотическую устойчивость целевой орбиты КА в случае, когда КА движется с непрерывной тягой. Полученные результаты подтверждают эффективность применения прямого метода Ляпунова для построения многовитковых межорбитальных траекторий с малой тягой, позволяют существенно упростить процедуру настройки управления и снизить вычислительные затраты без существенной потери качества решения. УДК 629.78 VRLHBU функция Ляпунова оптимизация межорбитальный перелёт малая тяга Lyapunov function optimization interorbital transfer low thrust Петухов В.Г. Метод продолжения для оптимизации межпланетных траекторий с малой тягой // Космические исследования. 2012. Т. 50, №. 3. С. 258–258. Петухов В.Г. Оптимальные многовитковые траектории выведения космического аппарата с малой тягой на высокую эллиптическую орбиту // Космические исследования. 2009. Т. 47, № 3, С. 271–279. Suslov, K., Shirobokov, M., Trofimov, S. Approximate Finite Fourier Solution to the Periodically Perturbed Two-Body Problem // Journal of Guidance and Dynamics, 2024, Vol. 47, No. 8. DOI: https://doi.org/10.2514/1.G007900. Ивашкин В.В., Крылов И.В. Оптимизация траекторий космического аппарата с электроракетным двигателем малой тяги // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2020. 094, 32 с. DOI: https://doi.org/10.20948/prepr-2020-94. Ахметшин Р.З., Ефимов Г.Б., Энеев Т.М., Траектории экспедиций космических аппаратов с двигателем малой тяги по доставке образцов грунта с астероидов Главного пояса и Фобоса // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2008. 040, 23 с. Samokhin A., Samokhina M., Grigoriev I., Zapletin M. The optimization of interplanetary flight to Phobos with a jet engine of combined low and high limited thrust // Advances in the Astronautical sciences. 2020. Vol. 170, P. 213–227. Белецкий В.В. Очерки о движении космических тел. Изд. 3-е, испр. и доп. М.: Издательство ЛКИ, 2009. – 432 с., очерк десятый. Petropoulos, A.E. Low-thrust orbit transfers using candidate Lyapunov functions with a mechanism for coasting // AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit, Rhode Island, USA, August 16-19, 2004. Paper AIAA 2004-5089. https://doi.org/10.2514/6.2004-5089. Petropoulos, A.E. Refinements to the Q-law for Low-Thrust Orbit Transfers // AAS Space Flight Mechanics Conference, Copper Mountain, Colorado, USA, January 23–27, 2005. Paper AAS 05-162. Ельников Р.В. Использование функции Ляпунова для вычисления локально-оптимального управления вектором тяги при межорбитальном перелёте с малой тягой // Космические исследования. 2021. Т. 59, № 3, С. 255–264. DOI: 10.31857/S0023420621030043. Atmaca, D., and Pontani, M. Near-Optimal Feedback Guidance for Low-Thrust Orbit Transfers // Aerotecnica Missili & Spazio. 2024. Vol. 103, P. 245-253. DOI: https://doi.org/10.1007/s42496-023-00193-2. Широбоков М.Г., Суслов К.С., Овчинников М.Ю., Дронов П.А., Приданников С.Ю., Нестеренко А.Н., Толстель О.В., Анализ траекторий легкого лунного буксира с электрореактивной двигательной установкой // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2024. 28, 23 с. DOI: 10.20948/prepr-2024-28. Самаров С.Е. Применение функций Ляпунова для проектирования межорбитальных околоземных траекторий с малой тягой // Гагаринские чтения — 2025: Сборник тезисов докладов 51-й Международной молодёжной научной конференции «Гагаринские чтения». – М.: Издательство «Перо», 2025. – С. 154–155. – ISBN 978-5-00270-020-2. Самаров С.Е., Широбоков М.Г. Проектирование траекторий межорбитального перелета КА с электрореактивной двигательной установкой с использованием коэффициента эффективности тяги // Труды 67-й Всероссийской научной конференции МФТИ, 31 марта – 5 апреля 2025 г. Прикладная математика и информатика. – М.: Физматкнига, 2025. – С. 154–155. Nurre, N.P., and Taheri, E. End-to-End Lyapunov-Based Eclipse-Feasible Low-Thrust Transfer Trajectories to NRHO // Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2024, pp. 1–20. DOI: https://doi.org/10.48550/arXiv.2409.03196 Nurre, N.P., and Taheri, E. Eigendecomposition Parameterization of Penalty Matrices for Enhanced Control Design: Aerospace Applications // Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2024, pp. 1–39. https://doi.org/10.48550/arXiv.2504.16328 Walker, M.J.H., Ireland, B., & Owens, J. A set of modified equinoctial orbit elements // Celestial Mechanics. 1985. Vol. 36. № 4. P. 409–419. Суханов А.А. Астродинамика – М.: ИКИ РАН, 2010. С. 48 – 49. Фрадков А. Л. Адаптивное управление в сложных системах. – М.: Наука, 1990. 293 с. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. — 211 с. Suslov, K.S., Shirobokov, M.G., Bogachev, S.A. Ballistic Analysis of a Small Spacecraft Mission for Studying the Earth’s Magnetosphere // Cosmic Research. 2024. Vol. 62, P. 632–642. DOI: https://doi.org/10.1134/ S0010952524600987. Takuya Akiba, Shotaro Sano, Toshihiko Yanase, Takeru Ohta, Masanori Koyama. Optuna: A Next-generation Hyperparameter Optimization Framework. Proceedings of the 25th ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery & Data Mining (KDD), 2019. https://doi.org/10.1145/3292500.3330701 Адамов Б.И., Маслов А.Н., Осадченко Н.В. Применение основных матричных разложений в задачах механики и робототехники. — М.: Издательство МЭИ, 2019. — С. 13–15. (Раздел 1.2 «Разложение Холецкого»). https://keldysh.ru/papers/2026/prep2026_25.pdf