1-32 RAR 2580-1788 0000-0002-0649-1547 Жуков Виктор Тимофеевич Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН zhukov@kiam.ru Zhukov V.T. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS 9625-9253 0000-0002-3896-2956 Новикова Наталия Дмитриевна Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН nn@kiam.ru Novikova N.D. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS 3544-2509 0000-0003-1695-6202 Рыков Юрий Германович Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН rykov@keldysh.ru Персональная веб-страница: http://keldysh.ru/persons/254.html Rykov Y.G. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS 2467-7597 0000-0002-2792-9376 Феодоритова Ольга Борисовна Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН feodor@kiam.ru Feodoritova O.B. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS О некоторых особенностях численного решения эллиптических уравнений с сингулярным источником On certain aspects of the numerical solution of elliptic equations with a singular source Сингулярные источники в дифференциальных уравнениях создают проблемы для численного решения краевых задач в различных приложениях. Одним из эффективных подходов является регуляризация сингулярностей для их сеточного представления. Этот подход широко применяется в вычислительной физике, гидродинамике и механике сплошных сред. Он позволяет заменить сингулярные величины сглаженными функциями для расчетов на сетках. Нами с помощью численных экспериментов анализируется подход, основанный на построение приближенных регуляризаций с компактным носителем. Численное решение регуляризованных уравнений с приближенным источником получается с помощью сеточных дискретизации одним из стандартным способов. Приведены примеры решения модельных задач и проведен анализ сходимости численных решений на последовательности сгущающихся сеток. Singular sources in differential equations pose challenges for the numerical solution of boundary value problems in various applications. One effective approach is to regularize the singularities for their grid representation. This approach is widely used in computational physics, fluid dynamics, and continuum mechanics. It allows replacing singular values with smoothed functions for grid calculations. Using numerical experiments, we analyze an approach based on constructing approximate regularizations with compact support. The numerical solution of regularized equations with an approximate source is obtained with grid discretization using a standard method. Examples of solutions to model problems are given, and the convergence of numerical solutions on a sequence of refined grids is analyzed. 1. Введение Многие явления в физических науках моделируются уравнениями с частными производными с сингулярными источниками. Сингулярные члены в многомерных эллиптических дифференциальных уравнениях, например, источники типа многомерных дельта-функций, создают серьезные проблемы при численном решении таких уравнений на структурированных (декартовых) сетках и, в особенности, на неструктурированных сетках. Теоретические основы сингулярных задач и их конечно-элементных аппроксимаций детально представлены в [1]–[6]. Для решения сингулярных задач развиваются несколько подходов с целью корректного представления сингулярных членов. В ряде вычислительных подходов сингулярные источники представлены точно [3–6], без введения регуляризации или искусственного размазывания. Однако перспективным является подход, заключающийся в приближении исходного сингулярного источникового члена с помощью некоторой сглаженной (регуляризированной) функции. Численное решение регуляризованной задачи получается с помощью дискретизации уравнений с таким приближенным источником. Пример успешного использования сингулярных источников в приложениях – метод погруженной границы (Immersed Boundary Method), разработанный Ч. Пескиным в 1970-х годах [7]. В этом методе дельта-функция Дирака заменяется на непрерывное приближение, которое удовлетворяет ряду ограничений, гарантирующих определенные свойства аналитического и численного решений. Похожий подход также используется в связи с методом функций уровня (Level Set Method) [8]. Представителем этой группы методов является подход, сформулированный в работах [9–12] (А.К. Торнберг, Б. Энгквист). Их исследования показывают, что общие, не специализированные, методы регуляризации дельта-функций в приложениях могут быть неэффективны и приводить к неустранимым ошибкам. В работах этих авторов достаточно полно изложены теоретические основы использования регуляризации сингулярных источников при решении краевых задач на декартовых сетках методом конечных объемов. В данной работе мы представляем практический анализ этого подхода на основе конечно-разностных дискретизаций, а также конечно-элементных аппроксимаций с линейными и квадратичными элементами [13, 14]. Код тестирован на двумерных задачах, имеющих точное решение. Для краткости гладкие функции-«шапочки», используемые для регуляризации дельта-функции, будем называть сглаживающими ядрами, или ядрами регуляризации, или просто ядрами. 2. Математические аспекты решения эллиптических задач с сингулярной правой частью Без потери общности обсудим вопросы, связанные с сингулярным источником на примере задачи Дирихле для двумерного уравнения Пуассона: . Здесь — оператор Лапласа в , , — заданный сингулярный источник, — граничное условие Дирихле на границе области . Типичная оценка погрешности для дискретной схемы на сетке может быть записана в форме неравенства Здесь — характерный сеточный масштаб, обычно размер шага сетки в дискретизации (2) уравнения (1), — сеточный оператор Лапласа, — порядок аппроксимации, — аппроксимация источника. Например, для стандартной конечно-объемной дискретизации задачи достигается второй порядок сходимости, т.е. . Норма — это стандартная среднеквадратичная норма в пространстве обобщенных функций, интегрируемых с квадратом, а  — это норма в пространстве Соболева , включающем функции, которые вместе с их первыми производными принадлежат пространству . Если решение не ограничено в соболевской норме, то сходимости разностной схемы не будет. На практике большие или неограниченные решения в -норме возникают из локальных явлений, таких как сингулярности в источнике. В процессе регуляризации сингулярный источник заменяется гладкой функцией с компактным носителем, локализованным в окрестности сингулярности. Регуляризованная проблема может быть решена численно с помощью стандартной дискретной схемы. В этом состоит преимущество метода регуляризации. Приведем основную информацию об этом методе в многомерном случае для общности. Пусть — непрерывная и ограниченная гиперповерхность, параметризованная координатами . Определим , , как дельта-функцию с переменной плотностью на равенством , где . Введем в декартову сетку с постоянным по каждой координате шагом . Сеточные узлы обозначим как Мы предполагаем, что поверхность расположена относительно сетки произвольным образом. Принцип численной регуляризации [11, 12] означает, что построенная сетка и используемые методы дискретизации никак не адаптируются к поверхности . Сингулярность источника и его геометрическая форма полностью учитываются в процедуре регуляризации. В этой процедуре функция заменяется некоторой гладкой функцией с компактным носителем с помощью дискретного аналога определения . Класс используемых для регуляризации функций связан с введенным множеством декартовых сеток, параметризованных сеточным параметром . Класс функций строится на основе одномерной функция , носитель которой лежит на отрезке для , . Простейшая регуляризация одномерной дельта-функции — это кусочно-линейная функция-шапочка: где — регуляризирующий параметр. В вычислениях наиболее часто используется функция , определенная как Эта функция равна 1 в узле и убывает до 0 к соседним узлам. Обычно рассматривают следующие ядра с носителями шириной и , что соответствует значениям и : Такие ядра регуляризации изучались в [11, 12], где были рассмотрены важные понятия дискретных моментов. Определение 1. Одномерная регуляризация дельта-функции , заданная на равномерной декартовой сетке с постоянным шагом и сеточными узлами , обладает дискретным моментом порядка , если она удовлетворяет для всех значений системе из соотношений Моменты определяют точность приближений, а также носят физический смысл. Первый момент, , дает массу объекта, сосредоточенную в одной точке. Более высокие моменты полезны для математического описания нецентрированности источника. Например, первый момент описывает пару близко расположенных «источника» и «стока» тепла равной мощности. С вычислительной точки зрения важно, что чем больше порядок, тем выше точность, которую можно достичь для сеточного представления сингулярных источников, особенно для случая распределенной плотности. Выразим дискретные моменты ядра регуляризации на декартовой сетке через расстояние от точки до ближайшего узла слева. Нормируем это смещение на шаг сетки , т.е. введем безразмерный параметр Для четырех ядер и обозначим их моменты как , где целочисленный параметр принимает значения или — это относительная ширина носителя, а значения определяют в формуле нулевой, первый и второй моменты. Нулевые моменты для всех четырех ядер выполнены тождественно: для соответствующая сумма в равна 1. Первые моменты () линейной функции-шапочки для узкого и широкого носителей нулевые: и . В численных методах момент критически важен: он отвечает за точное сохранение импульса (центра масс) при переносе величин на сетку. Если регуляризирующая функция построена правильно, то дискретный 1-й момент должен быть равен строго 0 относительно положения самой точки , т.е. при любом значении . Дискретный момент линейной функции-шапочки для узкого и широкого носителей можно выразить через смещение . Имеем Легко вычислить средние по ячейке значения: Изменение ширины носителя влияет исключительно на величину второго и последующих моментов, увеличивая численную диффузию (вязкость) схемы при расширении шаблона. Для справки приведем формулы дискретных моментов для косинусного ядра с узким и широким носителями. Они отличны от нуля и равны соответственно Их средние значения по ячейке , . Справедливо следующее утверждение [12]. Предположим, что 1. Функция удовлетворяет уравнениям и ее компактный носитель лежит на отрезке . 2. Функция , все ее производные ограничены (или это финитная функция). Тогда и , если является константой. Доказательство этого утверждения следует из разложения функции в ряд Тейлора. Имеем Можно построить одномерные функции с любым количеством моментов в зависимости от ширины носителя. В [12] доказано, что существование функции с носителем ширины и моментом порядка возможно тогда и только тогда, когда . Это означает, что порядок дискретного момента важен для точности приближения одномерной дельта-функции. Контуры доказательства следующие. Каждому узлу сетки, попадающему в носитель ширины , соответствует одно неизвестное значение функции . Количество таких узлов примерно равно . Система уравнений будет иметь решение (вообще говоря, для любого положения относительно узлов сетки), только если количество узлов внутри носителя не меньше количества условий. Таким образом: . Это условие является фундаментальным при разработке численных методов, использующих регуляризацию сингулярных источников (например, в методах функций уровня или погруженных граничных условий). Поэтому для возможности обеспечения момента порядка носитель обычно выбирают шириной . Для всех функций, указанных в выражениях –, выполнен закон сохранения массы, т.е. функции имеют первый момент, отвечающий в формуле . Приближение дельта-функции в многомерном пространстве основано на декартовом произведении 1D дельта-функций в каждом координатном направлении (см. Пескин [7]): Здесь — регуляризация одномерной –функции, — точка на поверхности в пространстве . Точность дискретизации оценивается по параметру сетки , где — объем сеточной ячейки. Мы заменяем правый интеграл в дискретной суммой и определяем погрешность дискретизации как . Если в двумерном случае предположить, что и S — натуральный параметр кривой , то  — это погрешность расчёта длины кривой. Более общие функции могут характеризовать сингулярный источник переменной плотности в виде дельта-функции . Такой источник может моделировать физическую силу на контактной границе, например, упругость или поверхностное натяжение. Есть и другие способы распространения одномерного приближения для многомерного случая. Кроме вышеприведенного правила , пользуются функцией расстояния до кривой или поверхности, но такой подход может приводить к большим погрешностям, см. [12]. 3. Результаты вычислительных экспериментов Вычислительные эксперименты проведены для четырех двумерных задач. Многомерная аппроксимация дельта-функции основана на декартовом произведении одномерных дельта-функций в каждом координатном направлении. Первая тестовая задача заимствована из работ [11, 12] и носит ознакомительный характер. В рамках этой задачи рассмотрены различные формулы регуляризации, различные сетки и дискретизации. Следующая серия тестов (тесты 2–4) рассматривает поведение решений эллиптической задачи в зависимости от локализации сингулярности, процедур регуляризации и используемых сеток. 3.1. Тестовая задача 1 Рассмотрим двумерное уравнение Пуассона с сингулярной правой частью и краевым условием Дирихле , заданным в соответствии с точным решением уравнения В области мы введем квадратную сетку с числом узлов и шагом сетки . Определим подпространство сеточных функций, заданных на сетке и обращающихся в нуль на ее границе . Сеточную функцию записываем в безындексном виде: . Обычным образом введем скалярное произведение и сеточную –норму равенствами: Определим на сеточных функциях из подпространства разностный оператор , аппроксимирующий с точностью исходный дифференциальный оператор, в данном случае оператор Лапласа , на классе гладких функций, определенных на и обращающихся в нуль на . Конкретный вид оператора неважен. Мы записываем стандартную пятиточечную дискретизацию. Практика решения сингулярных задач – базируется на предварительной регуляризации правой части с помощью регуляризации одномерной дельта-функции в виде . Рассмотрены функции регуляризации (называем их ядрами) – с носителями шириной и , что соответствует значениям и . Для наглядности эти функции приведены ниже вместе с графиками. , , , , Сингулярный источник в этой задаче задан на окружности . Для расчета окружность разбита на 2000 участков. Такое разбиение представляется достаточным при работе с сетками в диапазоне числа узлов до по каждому координатному направлению. В результате дискретизации задачи – получается система линейных алгебраических уравнений, которая решается итерационным методом сопряженных градиентов, в котором в качестве предобусловливателя используется метод Зейделя. Критерий точности обычный: в итерациях контролируется норма невязки, и итерации прекращаются при уменьшении нормы текущей невязки в заданное число раз по отношению к норме начальной невязки. Во всех расчетах достигалась заданная относительная точность . На рис. 1 показано точное решение теста 1, графически не отличаемое от приближенного решения на сетке . Рис. 1. Точное решение. Тест 1 Ниже приведены результаты вычислительных экспериментов на декартовых и неструктурированных сетках. Наряду с оценками сходимости при в норме , мы изучаем сходимость в норме и чебышевской С норме. Выбор нормы важен для оценки сходимости не только самого решения, но и его градиента, особенно в перспективе перехода к трехмерным задачам (норма пригодна для задач в 2D и в 3D). Реальный порядок сходимости метода отражает именно норма , тогда как в -норме результаты зависят от того, попал ли узел сетки точно на или нет. Для задач с мерами в правой части (каковой является и дельта-функция) в -мерном пространстве часто доказывает сходимость именно в пространствах с показателем . Для трехмерного пространства это означает , то есть обе нормы формально подходят, но норма обеспечивает больший «запас» по гладкости. Чебышевская С-норма измерялась в двух вариантах: во всей области расчета и локально – в области гладкости (smoothness), в которой два слоя узлов сетки в окрестности окружности в измерении нормы не участвуют. В таблицах 1–4 приведены результаты расчетов на последовательности сгущающихся сеток. Показаны сеточные нормы , , погрешности, т.е. разности численного сеточного решения и проекции на сетку точного решения , см. формулу . Таблица 1 Поведение норм погрешности для ядра , сетка1.77e-044.47e-035.59e-043.99e-051.60e-033.13e-041.17e-051.66e-031.41e-042.87e-067.80e-045.75e-057.19e-074.17e-042.35e-052.08e-072.58e-041.28e-05 В табл. 1 приведены нормы , , погрешности для кусочно-линейной функции-шапочки на самом узком носителе шириной , т.е. для . По темпу уменьшения норм видно, что достигается второй порядок сходимости в и первый в сеточных нормах С и . Реальная ошибка в гладкой части области существенно меньше, чем ошибка в С–норме по всей области. На рис. 2 показаны результаты табл. 1 графически. Дополнительно красной прерывистой линией обозначено «правильное» поведение функции в случае первого и второго порядков сходимости. Рис. 2. Норма погрешности в зависимости от шага сетки для ядра . Тест 1 Таблица 2 Поведение норм погрешности при сетка8.47e-041.76e-025.67e-042.16e-048.56e-033.13e-045.67e-054.67e-031.41e-041.43e-052.35e-035.75e-053.62e-061.20e-032.27e-059.12e-076.03e-041.22e-05 Из таблицы 2 видно, что для кусочно-линейного ядра на расширенном носителе с реальная погрешность - и С-нормах больше в несколько раз, чем на самом узком носителе , что соответствуют оценкам . Но в гладкой части области ошибки одинаковы. Порядок сходимости второй в и близкий к первому в С и , как и в случае самого узкого носителя. Таблица 3 Поведение C- и -норм погрешности при сетка3.10e-043.35e-031.47e-031.07e-041.12e-036.94e-044.20e-051.29e-033.50e-041.54e-055.99e-041.91e-045.61e-063.46e-041.09e-042.02e-061.71e-046.30e-05Таблица 4 Поведение С- и -норм погрешности при сетка6.83e-041.63e-023.07e-041.76e-048.04e-031.42e-044.73e-054.05e-037.19e-051.25e-052.04e-033.96e-053.46e-061.04e-032.25e-051.03e-065.23e-041.75e-05 Из табл. 3 и 4 видно, что для косинусного ядра на расширенном вдвое носителе реальная погрешность в -норме становится меньше на подробных сетках начиная с сетки . В С-норме она на всех сетках больше в несколько раз, чем на узком носителе. Но в гладкой части области погрешность ядра меньше в несколько раз. На рис. 3 показана зависимость погрешности для всех 4 ядер вдоль линии y=0 на сетке 128х128. Обратим внимание на узкие высокие пики в случае ядра . Несмотря на различное поведение погрешности, сходимость в С-норме есть . Рис. 3. Профиль погрешности вдоль линии для ядер 3.2. Решение задачи 1 на неструктурированных сетках Дополнительно приведем параметры сходимости решений задачи 1 на неструктурированных сетках с использованием аппроксимаций по методу конечно-элементов (МКЭ) [13, 14]. Рассмотрим 3 варианта сеток. Фрагменты этих сеток приведены на рис. 4. а) б) в) Рис. 4. Фрагменты сеток: а) сетка 1, б) сетка 2, в) сетка 3 Сетки 1 и 2 построены модификацией декартовой сетки. В случае сетки 1 каждая ячейка декартовой сетки поделена диагональю на два треугольника, а в случае сетки 2 для деления на треугольники использовались обе диагонали декартовой ячейки. Ниже в таблицах 5–6 для сеток 1 и 2 приведен размер начальной декартовой сетки. Сетка 3 построена с помощью программного комплекса SALOME. Для регуляризации была выбрана функция с параметром регуляризации , который равен двум диаметрам сетки, где диаметр сетки — максимальная длина ребра, выбранная по всей сетке. В таблицах 5–7 приведены нормы погрешности для сеток 1, 2 и 3. Таблица 5 Поведение C– и –норм погрешности при . Сетка 1 сеткапорядок МКЭ10.23е-020.31е-010.89е-0320.20е-020.29е-010.17е-0310.69е-030.15е-010.56е-0320.52е-030.15е-010.11е-0310.28е-030.78е-020.46е-0320.15е-030.73е-020.88е-0410.15е-030.38е-020.42е-03 20.42е-040.37е-020.50е-04Таблица 6 Поведение C- и -норм погрешности при . Сетка 2 сеткапорядок МКЭ 10.12е-020.21е-010.38е-0420.10е-020.21е-010.28е-0510.29е-030.11е-010.38е-0420.26е-030.10е-010.11е-0510.75е-040.56е-020.23е-0420.64е-040.52е-020.79е-0610.19е-040.27е-020.11е-0420.16е-040.52е-020.52е-06Таблица 7 Поведение C- и -норм погрешности при . Сетка 3 сеткапорядок МКЭузлы 676 треугольники 127010.43е-020.43е-010.34е-0120.41е-020.41е-010.17е-03узлы 2615 треугольники 506810.13е-020.23е-010.16е-0120.12е-020.22е-010.76е-04узлы 10177 треугольники 2003210.36е-030.12е-010.55е-0220.31е-030.11е-010.68е-04 На рис. 5 приведен профиль погрешности на сетке 1, полученной из декартовой сетки 128х128, для МКЭ-дискретизаций 1 и 2 порядка. Рис. 5. Профиль погрешности на линии для МКЭ 1-го и 2-го порядка Результаты расчетов на неструктурированных сетках показывают, что регуляризация сингулярного источника обеспечивает успех данного подхода. 3.3. Задача 2 с сингулярным источником на отрезке Рассматривается двумерная задача с сингулярным источником . В качестве области источника берется отрезок прямой : — линейные функции, , . Точное решение имеет вид , = 1. Здесь — радиус окружности, на которой точное решение . В приведенных тестах . Заметим, что приведенная формула не ограничивается отрезком прямой и верна также и для кривой любой формы. В расчетной области решается задача Дирихле с краевым условием . Все численные эксперименты проведены на равномерной декартовой сетке с числом интервалов по каждому направлению. Геометрия теста представлена на рис. 6. Эллиптический оператор аппроксимирован со вторым порядком. В качестве регуляризирующей функции используется ядро . Результаты тестовой задачи 2 приведены на рис. 7 для сетки 1024х1024. Рис. 6. Геометрия тестовой задачи 2 Рис. 7. Результаты расчета тестовой задачи 2. Сетка 1024х1024 В таблице 8 приведены - и С-нормы погрешности. При этом добавлена оценка С-нормы в гладкой области smooth, в которой исключены часть узлов в окрестности отрезка сингулярности. На рис. 8 исключенные точки обозначены нулями. На рис. 9 показана структура погрешности для сетки 1024х1024. Как можно видеть, погрешность сосредоточена вдоль отрезка сингулярности. Таблица 8 Нормы погрешности. Тест 2 сетка64x641.68e-053.56e-031.12e-04128x1284.54e-061.82e-037.75e-05256x2561.35e-069.38e-045.17e-05512x5126.56e-074.83e-042.87e-051024x10245.13e-072.73e-042.72e-052048x20484.80e-071.72e-041.36e-05 Рис. 8. Негладкая область сетки (узлы отмечены нулями) для теста 2 Рис. 9. Структура погрешности тестовой задачи 2 В случае использования эллиптического уравнения в рамках более общей системы уравнений интерес может представлять градиент решения. Приведем графики частной производной для сетки 1024х1024 (см. рис. 10) и анализ ее сходимости, см. рис. 11. Показана норма разности производной на двух последовательных сетках с числом шагов в одном направлении и , т.е., для сеток с . Рис. 10. Производная тестовой задачи 2 Рис. 11. Норма разности производной на двух последовательных сетках с числом шагов в одном направлении и Прозводная на отрезке сингулярности терпит разрыв, что можно видеть на рис. 12, где приведены односторонние значения функции вдоль отрезка сингулярности и в системе координат, связанной с отрезком. Центр этой системы координат совпадает с серединой отрезка (p=0 в середине отрезка). Для определения и использованы односторонние конечные разности второго порядка. Рис. 12. Односторонние производные и вдоль отрезка сингулярности 3.4. Задача 3: два отрезка локализации сингулярности Рассматривается двумерная задача В качестве области источника рассматриваем составную кривую , где — отрезок и — отрезок — линейные функции, , . –– линейные функции, , , . В силу линейности задачи решение представляет собой сумму решений двух задач с правыми частями, заданными на и . Геометрия теста представлена на рис. 13. Все результаты представлены для функции (см. рис. 14 и табл. 9). На рис. 15 показана структура погрешности. Рис. 13. Геометрия тестовой задачи 3 Рис. 14. Решение . Тест 3. Сетка 1024х1024 Таблица 9 Нормы погрешности. Тест 3 сетка64x642.10e-051.35e-035.00e-04128x1285.79e-061.50e-032.46e-04256x2561.16e-065.00e-041.21e-04512x5125.52e-072.56e-046.99e-051024x10245.30e-071.17e-043.86e-05 Рис. 15. Структура погрешности тестовой задачи 3. Сетка 1024х1024 Дополнительно приведем графики численных производных и на сетке 1024х1024 (см. рис. 16). Рис. 16. Тест 3: Сеточная функция . — слева, — справа 3.5. Задача 4: локализация сингулярности — окружность и отрезок Рассматривается двумерная задача В качестве области источника рассматриваем составную кривую , где — окружность радиуса с центром в начале координат, — отрезок АВ и — отрезок CD. — линейные функции, , . — линейные функции, , , . В силу линейности задачи решение представляет собой сумму решений трех задач с правыми частями, заданными на , и соответственно. Геометрия теста представлена на рис. 17. Рис. 17. Геометрия тестовой задачи 4 Результат расчета представлен на рис. 18. В таблице 10 приведены нормы погрешности для теста 4. Рис. 18. Функция . Тестовая задачи 4. Сетка 1024х1024 Таблица 10 Нормы погрешности. Тест 4 сетка64x645.23e-053.42e-033.17e-05128x1281.48e-051.67e-031.73e-05256x2563.66e-068.01e-043.09e-06512x5129.31e-074.52e-042.05e-061024x10243.50e-072.25e-047.67e-07 На рис. 19 показана структура погрешности. Рис. 19. Структура погрешности тестовой задачи 4. Сетка 1024х1024 На рис. 20 показаны производные и на сетке 1024х1024. Рис. 20. Тест 4: Сеточная функция : — слева, — справа 4. Заключение В работе представлены результаты численного решения дифференциальных уравнений с сингулярными источниками. Нами изучен перспективный подход, основанный на замене сингулярных источников сглаженными функциями с компактным носителем. Проведенные расчеты модельных задач методами конечных разностей и конечных элементов, а также анализ сходимости численных решений продемонстрировали высокую эффективность метода регуляризации. Разработанная вычислительная методология может быть успешно применена для решения задач гидро-газодинамики, содержащих внешние или внутренние силы, потенциалы которых удовлетворяют сингулярным уравнениям, а также в других разделах механики сплошных сред — аэроакустике, геомеханике и фильтрации, динамике многофазных сред и др. Вычисления проведены с помощью гибридного суперкомпьютера Центра коллективного пользования ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 519.63 TSKOIH эллиптические уравнения сингулярные источники дельта-функции регуляризация методы конечных элементов и конечных объемов Elliptic equations singular sources delta functions regularization finite element and finite volume methods L. Veron, “Elliptic Equations Involving Measures,” in Handbook of Differential Equations. Stationary Partial Differential equations, Ed.by M. Chipot, P. Quittner, Vol. 1, (Elsevier, 2004), 593–712, https://doi.org/ 10.1016/S1874-5733(04)80010-X. hal-00326583 J.P. Agnelli, E.M. Garau, P. Morin, “A posteriori error estimates for elliptic problems with Dirac measure terms in weighted spaces,” ESAIM: Math. Model. Numer. Anal. 48, 1557–1581 (2014), https://doi.org/ 10.1051/m2an/2014010 C. D’Angelo, “Finite element approximation of elliptic problems with Dirac measure terms in weighted spaces: applications to one-and three-dimensional coupled problems,” SIAM J. Numer. Anal. 50(1) 194–215, (2012) https://www.jstor.org/stable/41582721. H. Li, X. Wan, P. Yin, L. Zhao. “Regularity and finite element approximation for two-dimensional elliptic equations with line Dirac sources,” J. Comput. Appl. Math. 393, (2021). https://doi.org/10.1016/j.cam.2021.113518 D. Boffi, L. Gastaldi, “A finite element approach for the immersed boundary method,” Comput. Struct. 81(8–11), 491–501 (2003), https://doi.org/ 10.1016/S0045-7949(02)00404-2 D. Boffi, L. Gastaldi, “Discrete models for fluid–structure interactions: the finite element immersed boundary method,” Discrete and Continuous Dynamical Systems 9(1) 89–107 (2016). https://doi.org/10.3934/ dcdss.2016.9.89 C.S. Peskin, “Flow patterns around heart valves: A numerical method,” J. Comput. Phys. 10(2), 252–271 (1972). https://doi.org/10.1016/0021-9991(72)90065-4 M. Sussman, P. Smereka, and S. Osher, "A level set approach for computing solutions to incompressible two-phase flow," J. Comput. Phys. 114 (1), 146–159 (1994). https://doi.org/10.1006/jcph.1994.1155 A.-K. Tornberg, “Multi-dimensional quadrature of singular and discontinuous functions,” BIT 42(3), 644–669 (2002). https://doi.org/10.1023/A:1021988001059. A.-K. Tornberg, B. Engquist, “Regularization techniques for numerical approximation of PDEs with singularities,” J. Sci. Comput. 19(1–3), 527–552 (2003). https://doi.org/10.1023/A:1025332815267 A.-K. Tornberg, B. Engquist, “Numerical approximations of singular source terms in differential equations,” J. Comput. Phys. 200(2), 462–488 (2004). https://doi.org/10.1016/J.JCP.2004.04.011 B. Engquist, A.-K. Tornberg, R. Tsai, “Discretization of Dirac delta functions in level set methods”, J. Comput. Phys. 207(1), 28–51 (2005). https://doi.org/10.1016/j.jcp.2004.09.018 V. T. Zhukov, N. D. Novikova, L. G. Strakhovskaya, R. P. Fedorenko, and O. B. Feodoritova, “Application of the finite superelement method for solving convection-diffusion problems,” Mat. Model. 14 (11), 78–92 (2002). V. T. Zhukov, L. G. Strakhovskaya, R. P. Fedorenko, and O. B. Feodoritova, “On an approach to constructfinite-difference schemes,” Comput. Math.Math. Phys. 42, 211–223 (2002). https://keldysh.ru/papers/2026/prep2026_21.pdf