1-27 RAR 7471-0130 0000-0003-1416-5634 Колесниченко Александр Владимирович Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН kolesn@keldysh.ru Kolesnichenko A.V. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS К теории турбулентной микрополярной жидкости с внутренней вихревой структурой To the theory of turbulent micropolar fluid with an internal vortex structure Рассматривается современный подход к термодинамическому моделированию развитых турбулентных течений микрополярной сжимаемой жидкости, базирующийся на применении формализма расширенной необратимой термодинамики. Описание турбулентного движения турбулентной жидкости проведено в рамках модели обобщенного континуума, состоящего из двух взаимосвязанных открытых подсистем - подсистемы осредненного движения и подсистемы турбулентного хаоса (связанной с мелкомасштабным вихревым движением жидкости). Это позволило с помощью обобщенного уравнения Гиббса и общего вида потока энтропии сконструировать эволюционную гиперболическую модель замыкания второго порядка, основанную на нелинейных конститутивных уравнениях переноса турбулентных потоков. Предложенная методология хорошо согласуются с идеей А.Н. Колмогорова о возможности представления псевдовектора угловой скорости в качестве внутреннего параметра для термодинамически открытой турбулентной системы, если масштаб дифференциальной сетки превышает размер мезовихрей. Именно это соображение позволило разработать континуальные уравнения турбулентности, которые отражают эффект внутреннего вращения турбулентных мезовихрей, а также случай турбулентной жидкости с анизотропией вихревого характера, которая соотносится с ненулевой антисимметричной частью тензора Рейнольдса. Полученные результаты могут быть использованы при изучении турбулентных движений микрополярных жидкостей в недрах звезд, планет-гигантов, а также в атмосфере Солнца и других космических телах. A modern approach to thermodynamic modelling of developed turbulent flows of micropolar compressible fluid based on the formalism of extended irreversible thermodynamics is considered. The description of the turbulent motion of a micropolar fluid is carried out in the framework of a generalised continuum model consisting of two interconnected open subsystems - the subsystem of averaged motion and the subsystem of turbulent chaos (associated with small-scale vortex motion of the fluid). This allowed us to construct a second-order evolutionary hyperbolic closure model based on nonlinear constitutive equations of turbulent flow transport using the generalised Gibbs equation and a general form of entropy flux. The proposed approach agrees well with the idea of A.N. Kolmogorov about the possibility of representing the angular velocity pseudovector as an internal parameter for a thermodynamically open turbulent system if the scale of the differential grid exceeds the size of mesovortices. It is this consideration that allowed us to develop continuum turbulence equations that reflect the effect of internal rotation of turbulent mesovortices, as well as the case of a turbulent micropolar fluid with aniso-tropy of vortex character, which correlates with the nonzero antisymmetric part of the Reynolds tensor. The results obtained can be used in the study of turbulent motions of micropolar fluids in the interior of stars, giant planets, as well as in the atmosphere of the Sun and other cosmic bodies. ВВЕДЕНИЕ Проблема замыкания является одной из фундаментальных в феноменологической теории турбулентности. Оценивая в целом ее состояние, следует признать, что в настоящее время фактически все еще не разработан универсальный подход к выводу замыкающих соотношений, предназначенных для описания широкого класса течений в турбулентной жидкости. Простые полуэмпирические схемы замыкания первого порядка, основанные на использовании градиентной гипотезы Буссинеска для вторых корреляционных моментов пульсирующих гидродинамических величин, не обладают достаточной общностью. В последние годы считается, что те практические задачи, которые не могут быть адекватно решены в рамках моделей замыкания первого порядка, могут быть успешно решены с помощью дифференциальных моделей более высоких порядков замыкания, поскольку в них ряд механизмов, ответственных за генерацию соответствующих корреляционных моментов, учитывается точно (см., например, сб. «Турбулентность: Принципы и применения»,1980). Однако и эти методы инвариантного моделирования, основанные на дифференциальных уравнениях переноса для моментов высоких порядков (в основе вывода которых лежит так называемый «принцип локального подобия» (см. Иевлев, 1975, 1990), далеко не всегда обеспечивают точные результаты расчетов широкого класса турбулентных течений. Именно по этой причине возникает необходимость рассмотрения и других универсальных подходов к проблеме замыкания осредненных гидродинамических уравнений, в частности с использованием термодинамических методов. Современная термодинамика включает в себя несколько относительно новых направлений, таких как: классическая неравновесная термодинамика (КНТ) (см., например, де Гроот, Мазур, 1964; Дьярмати, 1974); термодинамическая теория с внутренними переменными (см. Пригожин, Кондепуди, 2002); рациональная термодинамика (Truesdell,1984), основанная на кинетической теории газов теория, включающая флуктуации (Кайзер,1990); теория нелинейных динамических систем (см. Анищенко и др. 2003) и некоторые другие. Все эти научные направления опираются на общую идею, согласно которой модели механики сплошной среды и сопряженные им термодинамики разрабатываются параллельно и в близком соотнесении между собой. При этом термодинамические теории основаны на «принципе локального подобия» и отличаются одна от другой только выбранными независимыми переменными, определением энтропии (а также потока энтропии), интерпретацией второго закона и т.п. Вместе с тем в последние годы были выполнены интенсивные исследования в области так называемой расширенной необратимой термодинамики (РНТ), выходящей за пределы гипотезы о локальном равновесии за счет расширения числа базисных независимых переменных при рассмотрении неравновесных состояний системы, а также за счет модификации таких концептуальных понятий, как энтропия, температура, давление или химический потенциал (см. Keizer, 1983; Nettleton, Sobolev, 1995; M?ller, Ruggeri 1998; Jou и др. 2005; Жоу и др., 2006; Lebon и др.,1992, 1995, 2008). Эта теория вводит в рассмотрение в качестве дополнительных независимых переменных диссипативные термодинамические потоки, фигурирующие в уравнениях баланса массы, импульса и энергии. К ним, в частности, относятся: тензор напряжений (минус его гидростатическая часть), тепловой поток (полный поток энергии минус потоки, связанные с адвекцией и механической энергией) и т.п. Использование в качестве независимых переменных диссипативных термодинамических потоков позволяет получить при исследовании высокочастотных явлений (к которым относится и вихревая турбулентность) удовлетворительные, с практической точки зрения, результаты, которые не могут быть получены при использовании КНТ. В связи с этим следует отметить, что одной из побудительных причин для разработки расширенной необратимой термодинамики было разрешение следующего кардинального вопроса: вызывает ли возникшее возмущение мгновенный отклик во всех точках рассматриваемой системы? Формализм РНТ предназначен как раз для описания явлений с относительно длительным временем релаксации и большой длиной корреляций, а также высокочастотных и коротковолновых явлений (см. Casas-Vazquez, Jou, 2003). Он позволяет распространить область применения неравновесной термодинамики на случаи исследования эредитарных явлений, а также нелокальных и нелинейных эффектов. Наиболее полный список технологических применений РНТ, а также ее приложений к различным областям физики был приведен в монографии (Jou и др., 2001). Турбулентный перенос в этом списке отсутствовал. В более новой монографии этих же авторов (см. Lebon и др., 2008) приведен перечень важных проблем, которые нуждаются в рассмотрении методами РНТ. Среди них и проблема моделирования развитой турбулентности, которая, по мысли авторов, все еще является стимулирующей задачей. Цель данной работы состоит в том, чтобы, используя формализм РНТ, попытаться сконструировать новую термодинамическую модель турбулентности микрополярной жидкости, основанную на эволюционных причинно-следственных уравнениях переноса для одноточечных корреляционных моментов второго порядка (турбулентных потоков импульса и тепла), которые замыкают систему гиперболических осредненных уравнений турбулентной среды с переменной плотностью и переменными теплофизическими свойствами. В модели микрополярной жидкости наряду с классическим вектором скорости вводится кинематический вектор, называемый вектором микровращения и учитывающий вращение каждой частицы жидкости. Таким образом, при конструировании математической модели подобной среды приходится рассматривать частицу материала не как материальную точку, а как более сложный объект, наделенный дополнительными свойствами, описывающими микроструктуру материала. Материальная точка имеет при этом 6 степеней свободы, а именно: три трансляционные и три ротационные, характерные для поворота микрочастицы. В результате математическое описание гидродинамики сред с микроструктурой, учитывающих внутреннюю степень свободы, требует введения в рассмотрение нового уравнения баланса для внутреннего углового момента таким образом, чтобы сохранялся общий угловой момент. В серии работ (см., например, Grad,1952; Baranowski, Romotowski,1964; Eringen, 1966; Snider, Lewchuk, 1967; Born, Green, 1970; Cheng, 2006) была разработана термодинамика неравновесных микрополярных сред, введены понятия «спин» для угловой скорости, связанной с внутренним угловым моментом, и «микроинерция», связанная с моментом инерции частиц жидкости, а также показано, что тензор вязкого давления в общем случае является несимметричным. Кроме того, было показано, что в замыкающих соотношениях появляется новый коэффициент вязкости, соотнесенный с разницей между вихревостью (макроскопические вращения) и внутренними вращениями. Заметим также, что теория микрополярной асимметрической жидкости, называемая часто механикой Коссера, характеризуется несимметричным тензором вязких напряжений и наличием дополнительного тензора микромоментов. Модифицированные соответствующие замыкающие соотношения позволяют получить замкнутую систему гидродинамических уравнений, описывающих микрополярную среду, а в совокупности с граничными и начальными условиями дают возможность решать конкретные гидродинамические задачи в рамках несимметричной модели. Отметим еще раз, что одной из целей данной работы является исследование неизотропной турбулентности микрополярных жидкостей на основе РНТ для ситуаций, значительно удаленных от равновесия. При феноменологическом моделировании подобной среды учитывается асимметричность тензора напряжений Рейнольдса и, наряду с классическими гидродинамическими переменными, дополненными угловой скоростью микровращения, используются в качестве независимых переменных диссипативные термодинамические потоки. Полученные результаты исследования турбулентных микрополярных жидкостей могут способствовать пониманию распространения волн в атмосфере Солнца и других космических тел. Кроме этого, свойства микрополярных жидкостей позволяют описать турбулентность в недрах звезд и магнитосферах планет-гигантов. ОСРЕДНЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ Рассмотрим вначале вывод методом Онзагера-Казимира замыкающих соотношений для турбулентных потоков для простейшего случая изотропной сжимаемой турбулентности однокомпонентной жидкости (см. Колесниченко, 2017). Наряду с традиционным теоретико-вероятностным осреднением пульсирующих термогидродинамических параметров будем далее использовать весовое (средневзвешенное) осреднение Фавра (Favre, 1969), позволяющее в значительной степени упростить запись и анализ осредненных уравнений движения с переменными теплофизическими свойствами. Ниже для обозначения осредненных параметров турбулентной среды будем употреблять два символа: черта сверху означает традиционное теоретико-вероятностное осреднение пульсирующей величины по ансамблю возможных реализаций (Монин, Яглом, 1992), а угловые скобки означают весовое осреднение Фавра (Favre, 1969), задаваемое соотношением (здесь ; ,? соответствующие турбулентные пульсации, , ). Используемые в данной статье свойства весового осреднения Фавра можно найти в монографиях (Ван Мигем, 1977; Колесниченко, Маров, 1999, 2009). Осредненные гидродинамические уравнения, предназначенные для описания крупномасштабных сжимаемых турбулентных жидкостей с асимметричным тензором напряжений, могут быть получены путем осреднения по ансамблю возможных реализаций законов сохранения массы, импульса и энергии, записанных в дифференциальной форме. Эти уравнения при использовании средневзвешенного осреднения Фавра имеют вид (Kolesnichenko, 2023): , (), (1) , (2) , (3) (4) Здесь полная производная по времени относительно осредненного поля скоростей; ( оператор Гамильтона; , соответственно мгновенные значения скорости, давления, удельного объема () и удельной внутренней энергии жидкой частицы; , молекулярный тензор вязких напряжений и молекулярный поток тепла; внешняя сила, действующая на единицу массы; осредненная по Фавру гидродинамическая скорость среды; , соответственно турбулентные потоки удельного объема и тепла; несимметричный тензор напряжений Рейнольдса, для которого допускается возможность наличия антисимметричной части ; удельная скорость диссипации турбулентной кинетической энергии в тепло под влиянием молекулярной вязкости; газовая постоянная; символы и означают соответственно внутреннее произведение двух тензоров и внешнее произведение двух векторов (диада); символ означает обобщенную дивергенцию, поскольку не всегда является вектором. В рамках макроскопической модели турбулентности система (1)-(4) описывает крупномасштабную структуру турбулентного поля. Важно отметить, что энергетическое уравнение (3) записано с учетом уравнения (5) для энергии внутреннего вращения турбулентных мезовихрей (см. ниже), где ? эффективный момент инерции турбулентных вихрей, ? псевдовектор угловой скорости внутреннего вращения вихрей для части обобщенного континуума, соответствующей осредненному турбулентному течению. Далее для простоты мы ограничимся случаем развитой турбулентности, когда осредненными молекулярными потоками и можно пренебречь по сравнению с турбулентными потоками и . Следует также отметить, что уравнение притока тепла (3) в случае режима развитой турбулентности допускает значительное упрощение. В частности, это имеет место, когда в надструктуре хаотического поля скоростей устанавливается такое локальное стационарно-неравновесное состояние, при котором турбулентная энергия , удовлетворяющая уравнению (см., например, Колесниченко, Маров, 2009) , (1) , (2) (6) , (3) сохраняется как во времени, так и в пространстве, то есть, когда локальное производство (сток) турбулентной энергии равно нулю. Здесь ? турбулентно-диффузионный поток турбулентной энергии; величина представляет собой скорость перехода кинетической энергии среднего движения в кинетическую энергию турбулентных пульсаций). Если , то справедливо приближенное равенство и осредненное уравнение притока тепла (3) принимает вид . (7) При написании этого уравнения учтено разложение градиента осредненной скорости на симметричную и антисимметричную части: , а асимметричный тензор Рейнольдса записан в виде , где и ; ? девиационный тензор с нулевым следом; ? скалярное вязкое давление; верхний индекс «» означает транспонирование; аксиальный вектор, определяющий антисимметричную часть тензора Рейнольдса; единичный тензор. Тогда . (8) Угловой момент в турбулентной изотропной жидкости Важно иметь в виду, что антисимметричная часть тензора давления анизотропной турбулентности связана с внутренним угловым моментом, который компенсирует макроскопический момент количества движения. В основу предлагаемого здесь модельного подхода положена простая идея, что малые турбулентные вихри, составляющие турбулентную надструктуру обобщенного континуума, обладают своей собственной термодинамикой и гидродинамикой. Множество мезовихрей, вращающихся с собственной скоростью вращения , заполняют пространственную координатную ячейку (математическую точку потока), для адекватной характеристики которой необходимо привлекать к рассмотрению балансовое уравнение для углового момента количества движения. Подобный баланс нетривиален, только когда турбулентные напряжения асимметричны, как они, впрочем, и были изначально определены Рейнольдсом (Reynolds,1974). В результате асимметрия тензора напряжений Рейнольдса связана с дополнительным уравнением сохранения внутреннего момента количества движения, которое описывает спин малых турбулентных вихрей (Snider, Lewchuk, 1967; Нигматулин, Николаевский, 1970; Stokes,1984; Lukaszewicz, 1999). Таким образом, спин вихря (избыточная угловая скорость) является новой инвариантной переменной состояния в анизотропной турбулентности. Полный макроскопический угловой момент количества движения на единицу массы можно представить как аксиальный вектор , для которого уравнение эволюции имеет вид (де Гроот, Мазур, 1961; Дьярмати, 1974): , (9) где вектор есть вектор положения элемента массы жидкости по отношению к произвольной системе координат. Здесь введен полярный тензор третьего ранга (антисимметричный по двум внешним индексам), являющийся субстанциональной плотностью потока внутреннего момента количества движения (описывающего моменты распределения поверхностных пар). При нормальных условиях (см. Дьярмати, 1974) влиянием тензора в выражении для производства энтропии (см. (14)) можно пренебречь. Полный момент количества движения можно представить как сумму двух величин: «внешнего момента количества движения» и «внутреннего момента количества движения» , где средний момент инерции на единицу массы частиц, составляющих систему; средняя угловая скорость (одинаковая по предположению для всех частиц) в каждой точке жидкости (газа). Субстанциональная производная по времени от осредненного внешнего момента количества движения равна поскольку . Тогда при векторном умножении уравнения движения (2) на слева получим следующее уравнение баланса осредненного внешнего момента количества движения: (10) Здесь где аксиальный вектор, определяющий антисимметричную часть тензора Рейнольдса. Уравнение эволюции внутреннего момента количества движения можно полить тогда из разности уравнений (7) и (10): . (11) Соответственно, уравнение субстанционального баланса полной удельной энергии внутреннего вращения жидких частиц имеет вид (5). ПРОБЛЕМА ЗАМЫКАНИЯ ДЛЯ ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ Система уравнений (1), (2) и (7) является незамкнутой, поскольку содержит неопределенные пока турбулентные потоки и (одноточечные корреляционные моменты второго порядка), которые появляются при осреднении исходных нелинейных гидродинамических уравнений для мгновенного движения турбулентной среды. Рассматриваемая далее феноменологическая модель линейного замыкания основана на концепции обобщенного континуума, состоящего из двух взаимосвязанных термодинамических подсистем подсистемы осредненного движения, описываемой системой уравнений (1)-(4), и подсистемы турбулентного хаоса (так называемой турбулентной надструктуры), которая связана с вихревым мелкомасштабным движением жидкости. Постулирование для подсистемы турбулентного хаоса термодинамического тождества Гиббса позволяет (при использовании формализма КНТ) ввести в рассмотрение такие ее характеристики, как энтропия и температура турбулизации, а также пульсационное давление (см. Невзглядов,1945; Blackadar, 1955). Причем эти обобщенные параметры связаны с динамическими изменениями в квазистационарном состоянии хаоса точно таким же образом, как, например, равновесная энтропия связана с динамическими изменениями в состоянии локального равновесия. Тогда, определив явный вид величины производства энтропии из балансового уравнения для суммарной энтропии турбулентной жидкости, можно будет получить определяющие градиентные соотношения для турбулентных потоков. Сразу же следует подчеркнуть, что подобного рода «двухжидкостная модель» турбулентности, аналогично модели двух жидкостей в теории сверхтекучести гелия, является лишь удобным способом феноменологического описания такого сложного явления, как гидродинамическая турбулентность, и не претендует на полное объяснение физики этого процесса. Заметим, что впервые вывод замыкающих (градиентных) соотношений для системы (1)-(4) был проведен методом Онзагера-Казимира в рамках классической неравновесной термодинамики (КНТ) в работе (Колесниченко, 1998). В данной статье представлен ее модифицированный вариант в рамках формализма расширенной неравновесной термодинамики (РНТ), когда предположение о локальном состоянии равновесия подсистемы термодинамического хаоса больше не делается. Предполагается, что эта подсистема имеет инерцию, то есть ее поведение в заданный момент времени определяется не только характеристическими параметрами в этот же момент времени, но и ее предысторией. Уравнение баланса для средневзвешенной энтропии Напомним сначала методику вывода градиентных соотношений для величин и в рамках формализма КНТ. В работе автора (1998) было показано, что осреднение по ансамблю возможных реализаций справедливого для микродвижений турбулентной жидкости фундаментального тождества Гиббса (записанного вдоль траектории движения центра масс физического элементарного объема ) приводит к следующему уравнению для средневзвешенных удельной энтропии и удельной внутренней энергии турбулентной среды: . (12) Путем исключения из правой части этого тождества субстанциональных производных от параметров и с помощью осредненных уравнений (1) и (7) получается уравнение субстанционального баланса осредненной энтропии турбулентной жидкости в следующем явном виде: , (13) где положительная величина (14) определяет скорость локального производства осредненной энтропии жидкости, обусловленного необратимыми процессами переноса внутри подсистемы осредненного движения, а величина (15) отражает обмен энтропией между подсистемами турбулентного хаоса и осредненного движения. Так как величина может быть разной по знаку в зависимости от конкретного режима турбулентного течения, то энтропия подсистемы осредненного движения может как возрастать, так и уменьшаться, что свойственно любой термодинамически открытой системе (см., например, Эбелинг, 2004). По этой причине одной только осредненной энтропии недостаточно для адекватного термодинамического описания всех особенностей турбулентного поля, поскольку она не связана с параметрами состояния, характеризующими внутреннюю структуру подсистемы турбулентного хаоса, в частности с таким ключевым параметром, как энергия турбулентности Уравнения баланса энтропии подсистемы турбулентного хаоса Будем далее характеризовать физически элементарный объем подсистемы турбулентного хаоса следующими обобщенными параметрами состояния: экстенсивными переменными и (соответственно плотность внутренней энергии и энтропия подсистемы турбулентной надструктуры) и интенсивными переменными и (соответственно обобщенная температура, характеризующая степень интенсивности мелкомасштабных турбулентных пульсаций, и скалярное вязкое давление турбулизации) (см. Blackadar,1955). При всем этом важно ясно себе представлять, что величины и , рассматриваемые здесь в качестве первичных концепций, вводятся a priori и только для обеспечения связности предложенной теории; по этой причине они могут не иметь, вообще говоря, точной физической интерпретации (см. Жоу и др., 2006). Тем не менее далее будем полагать, что термодинамические соотношения общего характера, справедливые в состоянии локального равновесия для системы в целом, остаются в силе также и для квазиравновесного состояния подсистемы турбулентного хаоса. Перейдем теперь к следствиям из сделанных выше предположений. Выберем в качестве локальной характеристической функции, содержащей все термодинамические сведения о подсистеме турбулентного хаоса в равновесном состоянии, следующее фундаментальное (функциональное) соотношение Гиббса для обобщенной энтропии: . Примем теперь, как это делается обычно при формализованном построении классической локально-равновесной термодинамики, следующие определения сопряженных переменных и (считая, что все указанные производные положительны): , . (16) Тогда интенсивным переменным и можно приписать смысл соответственно обобщенной температуры и скалярного давления (турбулизации). Соответствующая дифференциальная форма фундаментального уравнения Гиббса, записанная вдоль траектории движения центра масс физически элементарного объема, принимает тогда вид . (17) Очевидно, что различного рода функциональные связи между переменными и , которые могут быть получены обычным для термодинамики способом из (17), допустимо интерпретировать как «уравнения состояния» рассматриваемой подсистемы. Далее будем отождествлять внутреннюю энергию турбулентного хаоса с энергией турбулентности и полагать, что подсистема турбулентного хаоса в термодинамическом смысле является совершенным классическим газом с тремя степенями свободы, по которым энергия распределена равномерно, ? это основополагающие гипотезы предложенной модели (Колесниченко, 1998). Тогда, в частности, имеем (18) Явную форму уравнения баланса для энтропии получим из (17) уже реализованным выше способом с помощью уравнения (1) для удельного объема и балансового уравнения (6) для турбулентной энергии ; в результате получим: (19) где , (20) (21) Здесь ? субстанциональный поток энтропии ; величины и имеют смысл, соответственно, скоростей локального производства и стока энтропии турбулентного хаоса . Балансовое уравнение для суммарной энтропии Введение двух энтропий и конкретизирует наше представление об исходном обобщенном континууме как о термодинамическом комплексе, состоящем из двух взаимно открытых подсистем: подсистемы осредненного турбулентного движения и подсистемы турбулентного хаоса. Из (13) и (19) следует уравнение баланса для суммарной энтропии турбулентной среды (22) где . (23) Согласно принципу Онзагера (де Гроот, Мазур, 1964) термодинамические силы и потоки в первом приближении пропорциональны друг другу, то есть . Если учесть принцип Пьера Кюри о совпадении ранга тензоров потоков и соответствующих термодинамических сил, то тензор Рейнольдса будет пропорционален скорости деформации, а турбулентный поток тепла пропорционален осредненному температурному градиенту: , (24) , . (25) Следует иметь в виду, что в отличие от коэффициентов молекулярной вязкости и теплопроводности, коэффициенты турбулентной вязкости и теплопроводности и характеризуются не физическими свойствами турбулентной жидкости, а статистическими свойствами ее пульсационного движения. Подставляя феноменологическое соотношение (24) в уравнение движения (2) и предполагая слабую зависимость коэффициентов переноса от пространственных координат, получим: . (26) С помощью (11) и (22) уравнение баланса внутреннего момента количества движения можно записать в следующей форме: . (27) Если предположить, что ротор имеет во всех точках приближенно одинаковое значение, а угловая скорость в начальный момент времени равна нулю, то из (27) получаем следующее выражение, описывающее изменение величины во времени: , где время релаксации скорости . Таким образом, по истечении небольшого времени величины и становятся равными друг другу и антисимметричная часть тензора Рейнольдса обращается в нуль. В заключение этого раздела сделаем следующее замечание: поскольку величина , описывающая производство энтропии внутри суммарного континуума за счет необратимого обмена энтропией между подсистемами турбулентного хаоса и осредненного движения, в силу второго закона термодинамики всегда положительна, то «направление» термодинамического потока определяется знаком функции состояния , которую следует рассматривать как сопряженную термодинамическую силу (макроскопическую причину), вызывающую этот поток энтропии. Известно, что подобный обмен энтропией между двумя взаимно открытыми подсистемами является непременным условием структурированного коллективного поведения частиц среды, то есть может быть источником самоорганизации в одной из них (см, например, Эбелинг, 2004). Термодинамический подход к замыканию осредненных уравнений микрополярной турбулентности, изложенный выше, позволяет получить линейные конститутивные уравнения, которые описывают изотропную турбулентную систему в условиях, близких к равновесию. Из вида замыкающих соотношений (24) и (25) видно, что они часто не описывают реальной физики процессов турбулентного переноса, поскольку не учитывают ее инерционных свойств: в соответствии с этими соотношениями внезапное возмущение турбулентного поля в какой-либо точке течения мгновенно приводит к соответствующим изменениям во всех других удаленных точках турбулентного течения, что, по-видимому, не всегда так. Это обстоятельство связано с параболическим типом полученных гидродинамических уравнений для микрополярной турбулентности, для которых, как и в классической ньютоновской среде, скорость распространения возмущений среды (в частности, завихренности) оказывается бесконечной. Этот недостаток, как известно, связан с неучетом релаксационных свойств развитой турбулентной среды. ПРОБЛЕМА 3АМЫКАНИЯ НЕИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ В РАСШИРЕННОЙ ТЕРМОДИНАМИКЕ Обобщенное тождество Гиббса для неравновесной подсистемы турбулентного хаоса В общем случае далекой от равновесия системы необходимо обобщить основное уравнение для энтропии, включая в качестве базовых переменных турбулентный тепловой поток и тензор вязкого давления Рейнольдса. Так же, как и в КНТ, энтропия и тождество Гиббса играют в расширенной необратимой термодинамике центральную роль. В контексте формализма РНТ будем постулировать существование обобщенной энтропии (28) для подсистемы турбулентного хаоса, зависящей как от турбулентной энергии , вязкого давления и удельного объема , так и от диссипативных потоков и , которые появляются теперь как новые и независимые переменные. Особенностью микрополярных жидкостей является то, что антисимметричная часть тензора Рейнольдса появляется теперь как новая переменная в функции энтропии (28). Соответствующее обобщенное тождество Гиббса для подсистемы турбулентного хаоса принимает следующий вид: . (29) Здесь использованы уравнения состояния, которые, по предположению, считаются линейными по потокам , , , (30) , , здесь коэффициенты и представляют собой скалярные функции от параметров и . Поток и производство энтропии для подсистемы турбулентного хаоса Эволюция неравновесной энтропии подсистемы турбулентного хаоса определяется законом баланса (19), и наша цель состоит в том, чтобы найти соответствующие выражения для потока энтропии и производства энтропии в общем неравновесном случае. Прежде чем перейти к нахождению обобщенного выражения для производства неравновесной энтропии турбулентного хаоса , определяемого равенством , необходимо установить вид потока обобщенной энтропии подсистемы турбулентного хаоса, который в рамках РНТ задается из некоторых эвристических соображений. Для неизотропных систем наиболее общим представлением для потока является следующее равенство (Жоу и др., 2006): , (31) где коэффициенты a, b и c являются скалярными функциями слабо зависящими от параметров и . Выражение (31) для потока энтропии турбулизации является естественным обобщением соотношения (20) на случай неизотропного турбулентного хаоса вдали от равновесия. Подставляя в (29) выражения и из уравнений (1) и (6) и используя (31), в результате получим . (32) Суммируя (13) и (32), получим следующее уравнение баланса для суммарной энтропии не изотропной турбулентной среды: . (33) Здесь производство энтропии ?_?=??_(??S?) ?+?_((S^turb)) определяется соотношением = . (34) Выражения (33) и (34) сходны с аналогичными выражениями (22) и (23), получаемыми при использовании формализма КНТ, с учетом наличия дополнительных членов, зависящих от времени и от пространственных производных для потоков. Эволюционные конститутивные уравнения для неизотропной турбулентности Ограничиваясь только членами не выше второго порядка и опуская ряд перекрестных эффектов в линейных конститутивных соотношениях, можно записать следующие выражения для термодинамических сил: , (35) , (36) , (37) . (38) В общем случае эти соотношения должны включать некоторые нелинейные члены (содержащие и ), которые описывают систему для ситуаций, далеких от равновесия. При линейном подходе феноменологические уравнения эволюции для потоков имеют следующий вид: , (39) , (40) , (41) . (42) В этих уравнениях материальные производные времени потоков отвечают за конечную скорость распространения тепловых и вязких сигналов. Например, из (42) можно получить уравнение Максвелла-Каттанео (Cattaneo, 1948), которое, в отличие от его классического аналога, закона Фурье, демонстрирует конечную скорость распространения тепла. Остаточные члены в (39)-(42) модифицируют феноменологические законы (24) и (25). Как можно видеть из (41) и (42), при втором порядке подхода эти уравнения связаны и, следовательно, различия между вихревостью и вращением приводят ко вторым порядковым составляющим теплового потока. Тем же образом градиенты температуры способны изменять и, следовательно, варьировать решение скорости и вращения. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В статье на основе формализма РНТ рассмотрен новый подход к выводу эволюционных уравнений для турбулентных потоков (одноточечных моментов второго порядка), который был продемонстрирован на простейшем примере турбулентной однокомпонентной микрополярной жидкости. Он представляется более адекватным существу проблемы феноменологического моделирования турбулентности по сравнению с ранее развитым термодинамическим подходом (в рамках КНТ) к выводу градиентных замыкающих соотношений (Колесниченко, 1998), поскольку не требует априорного предположения о локальном равновесии, или некоторого «внутреннего равновесия» в структуре турбулентности и дает средства для получения замыкающих дифференциальных уравнений для потоков, согласующихся со вторым законом термодинамики. В отличие от градиентных соотношений для турбулентных потоков, подобного рода дифференциальные уравнения пригодны для исследования как эредитарных явлений (явлений с предысторией, с памятью), так и нелокальных и нелинейных эффектов. Таким образом, модели турбулентности второго порядка, лежащие в основе так называемого инвариантного метода моделирования развитой турбулентности, получают в рамках РНТ термодинамическое обоснование. К сожалению, поскольку формализм РНТ, обеспечивающий наиболее глубокую связь между неравновесной термодинамикой и гидродинамикой, был развит относительно недавно, большинство разработанных чисто динамических моделей замыкания в турбулентности не нашло адекватного термодинамического обоснования. Проблемы, связанные с термодинамикой, при конструировании этих моделей просто игнорировались, и проводились в основном исследования только динамических аспектов поведения турбулентной среды. По этой причине, по мнению автора, большинство существующих полуэмпирических дифференциальных моделей турбулентности разнообразных сред (например, полуэмпирические модели турбулентного горения) нуждаются в проверке на соответствие второму закону термодинамики. Вместе с тем совершенно ясно, что изложенный в статье подход, основанный на выборе только лишь потоков первого порядка и в качестве переменных состояния, также является в какой-то степени ограниченным, поскольку не может быть использован для описания полного высокочастотного спектра турбулентности. В случае, когда частота турбулентных пульсаций становится слишком большой по сравнению с обратной величиной времени релаксации потоков первого порядка, потоки (моменты) высоких порядков ведут себя как независимые переменные и должны быть учтены при моделировании (Keller, Friedman, 1924). Другими словами, при наиболее полном описании быстрых высокочастотных явлений в качестве дополнительных переменных необходимо, вообще говоря, изначально включать в рассмотрение все множество потоков высоких порядков (потоки потоков) с последующим их исключением путем нахождения эффективных времен релаксации (позволяющих огрубленно учесть вклад этих исключаемых переменных в описание явления турбулентного переноса). Отметим попутно, что введение потоков высоких порядков открывает возможность для исследования более сложной эредитарной термодинамики, то есть термодинамики турбулентных сред с памятью, когда для описания процессов переноса необходимо использовать функционалы памяти, представляемые интегральными операторами (см., например, Учайкин, 2008). Работа поддерживалась постоянным институциональным финансированием. Никаких дополнительных грантов на проведение или руководство этим конкретным исследованием получено не было. 523. 4852 NYRWLM развитая турбулентность микрополярные жидкости асимметричный тензор рейнольдсовых напряжений расширенная необратимая термодинамика developed turbulence micropolar fluids asymmetric Reynolds stress tensor extended irreversible thermodynamics Anishchenko, V.S., Astakhov, V.V., Vadivasova, T.E., Nei man, A.B., Strelkova, G.I., and Shimanskii-Gaier, L., Nelineinye effekty v khaoticheskikh i stokhasticheskikh sistemakh (Nonlinear Effects in Chaotic and Stochastic Systems), Moscow–Izhevsk: Inst. Komp’yut. Issled., 2003. Baranowski, B. and Romotowski, T., Non-equilibrium thermodynamics of a multicomponent fluid system with an antisymmetric pressure tensor. I. Basic equa tions, Bull. Acad. Pol. Sci., 1964a, vol. XII, p. 71. Baranowski, B. and Romotowski, T., Non-equilibrium thermodynamics of a multicomponent fluid system with an antisymmetric pressure tensor. II. Cross effects, Bull. Acad. Pol. Sci., 1964b, vol. XII, p. 127. Blackadar, A.K., Extension of the laws of thermodynamics to turbulent system, J. Meteorol., 1955, vol. 12, no. 9, pp. 165–175. https://doi.org/10.1175/1520-0469(1955)0122.0.CO;2 Born, M.L. and Green, H.S., A General Kinetic Theory of Liquids, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1970. Casas-Vazquez, J. and Jou, D., Temperature in non-equi librium states: A review of open problems and current proposals, Rep. Prog. Phys., 2003, vol. 66, pp. 1937 2023. https://doi.org/10.1088/0034-4885/66/11/R03 Cattaneo, C., Sulla conduzione del calore, Atti Seminario Mat. Fis. Univ. Modena, 1948, no. 3, pp. 83–101. De Groot, S. and Mazur, P., Non-Equilibrium Thermodynamics, Amsterdam: North-Holland, 1962. Ebeling, W., Strukturbildung bei irreversiblen Prozessen: Eine Einführung in die Theorie dissipativer Strukturen, Leipzig: B.G. Teubner Verlag, 1976. Favre, A., Statistical equations of turbulents gases, in Prob lems of Hydrodynamics and Continuum Mechanics, Phil adelphia: SIAM, 1969, pp. 231–267. Frost, W. and Moulden, T., Handbook of Turbulence, vol. 1: Fundamentals and Applications, New York: Springer, 1977. Grad, H., Statistical mechanics, thermodynamics, and fluid dynamics of systems with an arbitrary number of integrals, Comm. Pure Appl. Math., 1952, vol. 5, pp. 455–494. Gyarmati, I., Non-Equilibrium Thermodynamics: Field Theory and Variational Principles, Berlin: Springer, 1970. Ievlev, V.M., Turbulentnoe dvizhenie vysokotemperaturnykh sploshnykh sred (Turbulent Motion of High-Tempera ture Continuous Media), Moscow: Nauka, 1975. Jou, D., Casas-Vazquez, J., and Lebon, G., Extended Irrevers ible Thermodynamics, Berlin: Springer, 2001, 3rd ed. Keller, L.V. and Friedman, A.A., Differentialgleichungen fur die turbulente Bewegung einer kompressiblen Flus- sigkeit, in Proc. I Int. Congress Appl. Mech., Delft, 1924, pp. 395–405. Keizer, J., Statistical Thermodynamics of Nonequilibrium Processes, Berlin: Springer, 1987. Kolesnichenko, A.V., Stefan–Maxwell relations and heat flux for turbulent multicomponent continuous media, in Problemy sovremennoi mekhaniki. K yubileyu L.I. Se dova (Problems of Modern Mechanics. On the Anni versary of L.I. Sedov) Moscow: Izd. Mos. Gos. Univ., 1998, pp. 52–76. Kolesnichenko, A.V. and Marov, M.Ya., Turbulentnost’ mnogokomponentnykh sred (Turbulence of Multicomponent Media), Moscow: MAIK “Nauka,” 1999. Kolesnichenko, A.V. and Marov, M.Ya., Turbulentnost’ i sa moorganizatsiya. Problemy modelirovaniya kosmicheskikh i prirodnykh sred (Turbulence and Self-Organiza tion: Problems of Modeling Cosmic and Natural Media), Moscow: BINOM. Laboratoriya znanii, 2009. Kolesnichenko, A.V., Kontinual’nye modeli prirodnykh kosmicheskikh sred. Problemy termodinamicheskogo modelirovaniya (Continuum Models of Natural Cosmic Media: Problems of Thermodynamic Modeling), Moscow: Lenand, 2017. Lebon, G., Casas-Vazquez, J., and Jou, D., Questions and answers about a thermodynamic theory of the third type, Contemp. Phys., 1992, vol. 33, pp. 41–51. https://doi.org/10.1080/00107519208219139 Lebon, G., Torrissi, M., and Valenti, A., A nonlocal ther modynamic analysis of second sound propagation in crystalline dielectrics, J. Phys.: Condens. Matter, 1995, vol. 7, pp. 1461–1474. https://doi.org/10.1088/0953-8984/7/7/025 Lebon, G., Jou, D., and Casas-Vazquez, J., Understanding Non-equilibrium Thermodynamics: Foundations, Applications, Frontiers, Berlin: Springer, 2008. Lukaszewicz, G., Micropolar Fluids: Theory and Applications, Basel: Birkhauser, 1999. Monin, A.S. and Yaglom, A.M., Statisticheskaya gidromekhanika (Statistical Hydromechanics), St. Petersburg: Gidrometeoizdat, 1992, vol. 1. Müller, I. and Ruggeri, T., Rational Extended Thermodynamics, Berlin: Springer, 1998, 2nd ed. Nettleton, R.E. and Sobolev, S.L., Applications of extend ed thermodynamics to chemical, rheological and trans port processes: A special survey. Part I. Approaches and scalar rate processes, J. Non-Equilib. Thermodyn., 1995a, vol. 20, pp. 200–229. Nettleton, R.E. and Sobolev, S.L., Applications of extend ed thermodynamics to chemical, rheological and trans port processes: A special survey. Part II. Vector trans- port processes, shear relaxation and rheology, J. Non Equilib. Thermodyn., 1995b, vol. 20, pp. 297–331. Nevzglyadov, V.G., On the phenomenological theory of turbulence, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1945, vol. 47, no. 3, pp. 169–173. Nigmatulin, R.I. and Nikolaevskii, V.N., Vortex diffusion and conservation of angular momentum in the dynamics of nonpolar liquids, Prikl. Mat. Mekh., 1970, vol. 34, no. 2, pp. 318–323. Prigogine, I. and Kondepudi, D., Modern Thermodynamics: From Heat Engines to Dissipative Structures, New York: John Wiley and Sons, 1998. Reynolds, A.J., Turbulent Flows in Engineering, London: Wiley, 1974. Snider, R.F. and Lewchuk, K.S., Irreversible thermodynamics of a fluid system with spin, J. Chem. Phys., 1967, vol. 46, pp. 3163–3172. https://doi.org/ 10.1063/1.1841187 Stokes, V.K., Theories of Fluids with Microstructure-An In troduction, New York: Springer, 1984. Van Mieghem, J., Atmospheric Energetics, Oxford: Claren don Press, 1973. Truesdell, C., Rational Thermodynamics, New York: Mc Graw-Hill, 1969. Uchaikin, V.V., Metod drobnykh proizvodnykh (Method of Fractional Derivatives), Ulyanovsk: Izd. Artishok, 2008. Publisher’s Note. https://keldysh.ru/papers/2026/prep2026_20.pdf