1-36 RAR 7471-0130 0000-0003-1416-5634 Колесниченко Александр Владимирович Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН kolesn@keldysh.ru Kolesnichenko A.V. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS Статистика Тсаллиса как теоретическая основа эмпирического распределения Каппа для систем в стационарном состоянии, находящихся вне термического равновесия Tsallis statistics as a theoretical basis for the empirical Kappa distribution for systems in a stationary state out of thermal equilibrium Каппа распределения, обеспечивающие эффективное моделирование наблюдаемых распределений частиц в космических и астрофизических плазменных средах по всей гелиосфере, получили в настоящее время широкое распространение. В данной статье обсуждаются физические основы и теоретическое обоснование Каппа распределений, которые естественным образом возникают в рамках неэкстенсивной статистической механики Тсаллиса. Подобные распределения осуществляют адекватное описание разреженных плазменных конфигураций в стационарных состояниях, находящихся вне термического равновесия. Приведены основные формулы для теоретических Каппа распределений, рассмотрен краткий обзор их применения в исследованиях затухающей мелкомасштабной турбулентности космической плазмы. Показано, что эти распределения, являющиеся следствием энтропийного функционала Тсаллиса в неэкстенсивной статистической механике, обеспечивают недостающее звено между эмпирическими Каппа распределениями Василюнаса и теоретическими степенными моделями сверхтепловых характеристик астрофизических плазменных сред. Kappa distributions, which enable effective modeling of observed particle distributions in cosmic and astrophysical plasma environments throughout the heliosphere, have now gained widespread use. This article discusses the physical foundations and theoretical justification of Kappa distributions, which naturally arise within the framework of Tsallis nonextensive statistical mechanics. Such distributions provide an adequate description of sparse plasma configurations in stationary states that are out of thermal equilibrium. Key formulas for theoretical Kappa distributions are presented, and a brief overview of their application in studies of decaying small-scale turbulence in cosmic plasma is given. It is shown that these distributions, resulting from the Tsallis entropy functional in nonextensive statistical mechanics, provide a missing link between the empirical Kappa distributions of Vasyliunas and the theoretical power-law models of suprathermal characteristics in astrophysical plasma environments. ВВЕДЕНИЕ Затухающая мелкомасштабная турбулентность астрофизических плазменных систем обладает некоторыми типичными особенностями. В частности, для подобной турбулентности без столкновений в так называемом инерционном диапазоне обычно наблюдается, как показал Колмогоров (см. Kolmogorov, 1991), типичный показатель масштабирования ?5/3 для спектра флуктуаций энергии (здесь – скорость диссипации энергии, а – волновое число, представляющее размер вихрей в инерциальной области). Однако на малых масштабах астрофизических сред наблюдаются функции распределения вероятностей флуктуаций (PDF) поля скоростей и энергии с нарушением законов масштабирования К41. Типичной характеристикой турбулентных систем для этих масштабов является негауссовоe PDF для некоторых важных структурных параметров, исключительной особенностью которых является появление сверхтепловых хвостов. Эти сверхтермические хвосты обычно моделируются с помощью семейства неэкстенсивных Каппа-распределений, которые варьируются от наиболее общих до нескольких специализированных версий (см., например, Decker и др., 1995; Summers, Thorne, 1996; Maksimovic и др., 1997; Milovanov, Zelenyi, 2000; Livadiotis, McComas, 2009; Gallo M?ndez, Moya, 2022). Начиная с 1960-го года стали возможны измерения популяций заряженных частиц космическими аппаратами в плазменной бесстолкновительной среде солнечного ветра. Тогда было обнаружено, что наблюдаемые распределения скоростей частиц включают сверхтермическую компоненту с немаксвелловскими сверхтепловыми хвостами. В попытке подогнать измеренные распределения электронов Василюнас (Vasyliunas, 1968) предложил эвристическую модель , известную как изотропное трехмерное Каппа-распределение (не путать с -распределением Каниадакиса (см. Kaniadakis, 2013)), которое характеризуется высокоэнергетическим хвостом. Обычную стандартную изотропную трехмерную функцию распределения Каппа можно кратко записать так: , (1) где – гамма-функция; – числовая плотность частиц; – эффективная тепловая скорость; и – абсолютная температура и масса заряженных частиц; ? – спектральный индекс (свободный параметр подгонки, характеризующий высокоэнергетическую составляющую квазиравновесной системы и их переходы из одного стационарного состояния в другое); – функция распределения по скоростям , которая задается здесь как и представляют собой разность гидродинамических скоростей в двух точках, разделенных расстоянием . Когда параметр , модель (1) сводится к максвелловскому распределению, для которого строго выполняется принцип равнораспределения энергий . (2) Каппа-распределение (1) обычно используется для обработки данных о частицах плазмы, полученных, например, в ходе экспериментов на спутниках. Оно описывает функцию распределения, имеющую ядро, подобное распределению Максвелла, и высокоэнергетическую составляющую, описываемую степенным законом вне термодинамического равновесия. Многочисленные измерения высокоскоростной турбулентной плазмы вблизи Земли показали, что плазма, создаваемая слабым электронным пучком, распространяющимся в фоновой плазме, характеризуется наличием нетермического хвоста в функции распределения скоростей электронов, который внешне напоминает Каппа-распределение (1) (см., например, Yoon и др., 2005). В одной из самых ранних теоретических работ Лейбнер (Leubner, 1982), исследуя поведение бесстолкновительной горячей анизотропной популяции электронов с числовой плотностью в присутствии большой холодной фоновой плазмы и в случае распространения электронов параллельно фоновому однородному магнитному полю , записал анизотропную функцию распределения в виде следующего би-Каппа-распределения: , (3) где . Подобное состояние плазменной турбулентности описывает электроны, взаимодействующие между собой через дальнодействующие коллективные электростатические флуктуации, что характерно для неэкстенсивной системы заряженных частиц. С момента работы Василюнаса (1968) эмпирические распределения Каппа (1) успешно описывали разреженную космическую плазму во многих областях Солнечной системы, включая: внутреннюю гелиосферу и солнечный ветер (см., например, Chotoo и др., 2000; Maksimovic и др., 2005; Yoon и др., 2006; Pierrard, Lazar, 2010), планетарные магнитосферы (см., например, Collier, Hamilton, 1995; Schippers и др., 2008), внешнюю гелиосферу (Decker, Krimigis, 2003; Heerikhuisen и др. 2008; Livadiotis, McComas, 2011, 2012), а также области, связанные с пылевой плазмой (Tribeche, и др., 2009; Tribeche, Bacha, 2010; Tribeche, Merriche, 2011). Хотя присутствующие в литературе разнообразные распределения для не гауссовых совокупностей взаимодействующих заряженных частиц достаточно хорошо описываются семейством эвристических Каппа-распределений для астрофизических плазменных и турбулентных сред, их применение часто подвергалось справедливой критике, поскольку не существовало до последнего времени достоверного вывода этих распределений в рамках фундаментальной физики (см., например, Treumann, 1999; Leubner, 2002, 2004; Livadiotis, McComas, 2009; Yoon, 2014). В многочисленных экспериментальных исследованиях часто использовались различные несогласованные, а иногда и неверные эвристические Каппа-распределения, что приводило к значительной путанице в понимании физического смысла температуры неравновесного состояния и спектрального Каппа-индекса как меры того, насколько состояние покоя, в котором находится система, отклоняется от равновесия. В частности, были предложены несколько модифицированных версий Каппа-распределения (например, Hawkins и др. 1998; Mauk и др., 2004), которые имели разные определения Каппа-индекса. Связанная с этим температура использовалась в еще более запутанных сценариях, и было много публикаций, определяющих различные параметры, подобные температуре (см. Таблицу 2 в статье Livadiotis, McComas, 2009). Вместе с тем обнаружение того факта, что функции распределения разреженной плазменной среды в устойчивом состоянии соответствуют Каппа-распределения (1), убедительно указывало на глубокую взаимосвязь с неэкстенсивным стационарным равновесием в статистике Тсаллиса. Апостериорный анализ проблемы, связанной со сверхтепловыми особенностями PDF был предложен в работах (Leubner, 2002; Pierrard, Lazar, 2010; Livadiotis, 2015), в которых были предложены теоретические подходы к обоснованию Каппа-распределений, дающие недостающую связь их использования с позиций неэкстенсивной статистической механики. В представленной обзорной работе доказано, что семейство Каппа-распределений возникает естественным образом в рамках подхода Тсаллиса-Мендеса-Пластино (Tsallis и др., 1998) в неэкстенсивной статистической механике (Tsallis, 2009), описывая тем самым сверхтепловые особенности состояний мелкомасштабной затухающей турбулентности и плазменных бесстолкновительных структур (заметим, что только столкновения в конечном счете разрушают корреляции) в астрофизической аномальной среде как в равновесном состоянии системы, так и вне ее равновесия. В работе поясняются фундаментальные физические концепции и приводятся последние разработки в области квазиравновесного статистического подхода к пониманию неэкстенсивной природы космической плазмы, приводятся математические формулировки изотропных и анизотропных Каппа-распределений и обсуждаются также некоторые новые достижения в этой области. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭНТРОПИИ ТСАЛЛИСА Покажем, что распределения, качественно схожие с эвристическим Каппа-распределением (1), предназначенные для подгонки спектров надтепловых частиц, являются следствием обобщенной неэкстенсивной статистики Тсаллиса, которая и обеспечивает недостающее теоретическое звено для степенных моделей фундаментальной физики. Как известно, неэкстенсивная статистическая механика и термодинамика Тсаллиса описывает физические системы, включающие силы дальнего действия или память дальнего действия, что делает их поведение неэкстенсивными. В частности, такая ситуация обычно встречается в затухающей мелкомасштабной турбулентной среде и в астрофизической разреженной плазме, где, например, диапазон взаимодействий отдельных частиц сопоставим с размером рассматриваемой системы. В деформированной статистической механике для непрерывных величин при вероятностной нормировке , , (4) для фазовой функции распределения энтропия Тсаллиса задается следующим функционалом: , (5) где – постоянная Больцмана. Здесь и далее везде область интегрирования совпадает со всем фазовым пространством, а безразмерный элемент 6N-мерного фазового пространства может быть записан в виде , где ? постоянная Планка, ? число степеней свободы (см., например, Колесниченко, 2019, 2024). Энтропийный индекс (параметр деформации) в определении энтропии Тсаллиса (5) представляет собой число, принадлежащее вещественной области . Такая деформация энтропии (в сравнении с классической энтропией Больцмана-Гиббса) позволяет учитывать важную особенность поведения аномальных систем с длинной памятью и/или дальнодействующими взаимодействиями, когда фазовая функция для больших вероятных значений состояния системы убывает (при не экспоненциально быстро, а степенным образом. Благодаря этому факту неэкстенсивная статистика Тсаллиса описывает совокупность явлений, практически недостижимых в простых системах, описываемых классической статистикой. Статистика Курадо-Тсаллиса. Энтропия Тсаллиса (5) может быть представлена в следующих эквивалентных формах: , (6) при написании которых использовано осреднение , (7) с ненормированным распределением для любой микроскопической физической величины , которое свойственно статистике Курадо-Тсаллиса (Curado, Tsallis, 1991), а также так называемый «деформированный логарифм» (). (8) Покажем, что в пределе слабой связи энтропия Тсаллиса (5) переходит в каноническую формулу для энтропии Больцмана-Гиббса . (9) Действительно, в пределе имеем: и энтропия Тсаллиса сводится к (9). Отметим, что статистическая теория на основе энтропии , обладающей обычными свойствами положительности, равновероятности, вогнутости и необратимости, расширяет надлежащим образом стандартную аддитивность классической статистики до неэкстенсивности. Важно также иметь в виду, что в дискретном случае нужно в приведенных формулах произвести замену (здесь – число возможных микросостояний системы,). В связи с определением (7) осредненного значения микроскопической величины сразу отметим следующее: в неаддитивной статистике Тсаллиса возможно осреднение микроскопических физических величин по трем распределениям: , , . Первое осреднение, соответствующее статистике Тсаллиса (Tsallis,1988), второе (ненормированное) – статистике Курадо-Тсаллиса (Curado, Tsallis, 1991) и третье – статистике Тсаллиса-Мендеса-Пластино (Tsallis и др., 1998). Эти способы осреднения, каждый из которых имеет, вообще говоря, свои преимущества и недостатки, определяют совершенно разные -термодинамики, соответствующие тем или иным термодинамически аномальным системам. По этой причине вопрос об использовании того или иного способа осреднения в физических приложениях носит принципиальный характер, поскольку различия в определении средних значениях могут оказаться существенными при обработке экспериментальных данных. В связи с имеющимися значительными расхождениями в разных подходах возникает вопрос об адекватности использования разнообразных -величин, связанных с различными способами осреднения. Получаемые при этом существенные несоответствия могут быть, по мысли ряда авторов, благополучно устранены путем использования статистики Тсаллиса-Мендеса-Пластино, когда осреднение производится по так называемому нормированному эскортному распределению вероятности , . (10) Неаддитивность -энтропии для независимых систем. Пусть состояние физической системы, состоящей из двух независимых систем и , описывается совместным мультипликативным распределением с , , , которое может зависеть от времени, а и относятся к двум независимым -системам. Тогда общая энтропия задается выражением , (11) где условие нормировки . После подстановки распределения в (11) получим свойство неаддитивности в статистике Тсаллиса для энтропии двух независимых систем . Таким образом, ключевым свойством энтропии является псевдоаддитивность. Экстремум энтропии. Стационарные состояния аномальных -систем характеризуются распределениями, которые мало меняются с течением времени. Каноническое квазиравновесное распределение Гиббса в статистике Курадо-Тсаллиса может быть определено, как и в классическом случае, из экстремума -энтропии при выполнении следующих дополнительных условий: сохранения нормировки (4) распределения вероятности и при заданном значении средней энергии , (12) где функция Гамильтона определяется математической моделью изучаемых физических процессов в системе. Следуя методу Гиббса-Джейнса, найдем безусловный экстремум лагранжиана (см. Колесниченко, 2024): , (13) где и есть множители Лагранжа. В соответствии с теоремой Лагранжа вероятное распределение , «экстремизирующее» энтропию Тсаллиса , определяется из условия . Отсюда следует деформированное каноническое распределение Гиббса с параметрами , : , (14) где (15) ? обобщeнный статистический интеграл, определяемый из условия нормировки (4); множитель Лагранжа (здесь так называемая лагранжева температура, которая определяется из уравнения, получаемого подстановкой (14) в (12)). При условии и из (14) и (15) следует каноническое распределение Больцмана-Гиббса , (16) для аддитивных систем, находящихся в термостате с температурой . Распределение (14) можно представить в классической форме , (17) выражая стоящую в (14) степенную функцию через -экспоненциальную функцию Тсаллиса, которая определяется следующим образом: Здесь выражение, стоящее в квадратных скобках, либо положительно, либо равно нулю, . В соответствии с формулой (14) легко получить для случая следующее равновесное изотропное распределение скоростей в трехмерном пространстве (Hasegawa и др., 1985): , (18) где использован спектральный индекс Каппа, 3), . (19) Здесь – гамма-функция; – тепловая скорость. Уравнение (18), соответствующее упрощенной форме стандартного Каппа-распределения (1), также часто используется в астрофизических приложениях. Например, близость распределений (1) и (18) (см. рис. 1) позволила К. Беку (Beck, 2000) применить неэкстенсивные методы статистики Курадо-Тсаллиса к статистическому анализу полностью развитой мелкомасштабной турбулентности, которая описывалась системой связанных уравнений Ланжевена на разных масштабах, и теоретически определить индекс . Рис. 1. Сравнение Каппа-распределения для спектрального индекса с соответствующим максвелловским распределением. При этом полученные функции распределения вероятности (PDF) колебаний скоростей на расстоянии хорошо согласуются с результатами экспериментов по изучению затухающей мелкомасштабной турбулентности. Вместе с тем следует отметить, что подобный выбор осреднения приводит к двум нежелательным последствиям, которые, несомненно, являются необычными с точки зрения устоявшихся классических физических оснований. (i) Первое необычное следствие состоит в том, что среднее значение константы отличается от самой константы, . Тот факт, что нормировка не равна единице, нелегко интерпретировать (если только мы не готовы принять, что энтропийная неаддитивность естественно должна приводить к потере нормы). Таким образом, несохранение нормы вызывает безусловное беспокойство. (ii) Второе нежелательное следствие состоит в том, что для двух независимых систем и , для которых справедливы условие мультипликативности и аддитивность микроэнергии совокупной системы, справедливо следующее псевдоаддитивное свойство для осредненной макроскопической энергии, которая не является аддитивной, как это должно быть для некоррелированных распределений. Отсюда следует, что первый принцип классической термодинамики (закон охранения энергии) не имеет место для макроскопических энергий, даже если он справедлив для микроскопических величин -системы. Разумеется, можно возразить: если мы рассматриваем неаддитивную энтропию, почему нужно считать нежелательным то же самое для макроскопической энергии? Дело в том, что энтропия представляет собой информационную величину, тогда как энергия является механической величиной. Поскольку формализм неаддитивной статистики не меняет основ механики, то указанное обстоятельство противоречит аддитивности средней энергии. Рассмотрим теперь способ осреднения, предложенный Тсаллисом, Мендесом и Пластино в работе (Tsallis и др.,1998; 2009), который позволяет избежать указанных нежелательных последствий. Статистика Тсаллиса-Мендеса-Пластино. Пусть среднее значение произвольной физической величины вычисляется с помощью нормированного эскортного распределения . (20) Стационарное распределение Гиббса в этой статистике может быть определено, как и в предыдущем случае, из экстремума лагранжиана при: i) сохранении нормировки эскортного распределения вероятности , и ii) при заданном значении осредненной энергии . Как известно, только при наличии этих ограничений получаемое каноническое распределение вероятностей уникально и физически значимо (Tsallis, 2009; Колесниченко, 2024). Здесь , , (21) . (22) Следуя приведенному выше методу Гиббса-Джейнса, найдем безусловный экстремум лагранжиана из условия . В результате получим следующее обобщенное каноническое распределение: , (23) . (24) Заметим, что условие нормировки приводит к соотношению , при использовании которого выражение (23) можно записать в виде: . (25) Можно показать, что этот модифицированный формализм также превращается в обычную теорию канонического ансамбля Больцмана-Гиббса в пределе . В соответствии с формулой (23) получим в случае, когда гамильтониан задается просто кинетической энергией и когда , следующее равновесное изотропное распределение скоростей в трехмерном пространстве: , (26) где , , – так называемая физическая температура, которая, являясь фактической неравновесной температурой для стационарных систем вне термодинамического равновесия, вырабатывается самой статистической механикой (см. например, Abe 2001; Livadiotis, McComas, 2009). Хотя осреднение по эскортному распределению дает физически наблюдаемые величины для скорости (и внутренней энергии), статистика Тсаллиса-Мендеса-Пластино не имеет в общем случае особых преимуществ в сравнении со статистикой Курадо-Тсаллиса, поскольку распределение вероятности неявно зависит от самого распределения (самозависимость), а функционал , фигурирующий в распределении (23), не является абсолютной обратной температурой , поскольку не сохраняет структуру Лежандра для термодинамически сложных систем (Колесниченко, 2019). Легко заметить, что оба теоретические Каппа-распределения (18) и (26) похожи на эвристическое Каппа-распределение Василюнаса (1). Однако модель (1) имеет асимптотический показатель степенного закона (?+1), и потому ни один из приведенных вариантов строго не воспроизводит исходную модель Василюнаса. Тем не менее для уравнения (1) и уравнений (18) и (26) выявляются очень похожие структуры при соответствующих значениях Каппа, что делает возможным использование двух последних для моделирования распределения скоростей в астрофизическом пространстве. Например, статистика Тсаллиса?Мендеса?Пластино была успешно применена к анализу полностью развитой турбулентности с помощью биномиального мультипликативного процесса в работе (Arimitsu T., Arimitsu N., 2000), в которой была получена формула для энергетического спектра, которая изменяет спектр Колмогорова с 5/3 на 5 (здесь – волновое число, соответствующее наибольшей шкале , например, размеру сетки, который вызывает турбулентность; ?? – показатель прерывистости, являющийся проявлением мультифрактальности размеров турбулентных вихрей). ВЫВОД ИЗОТРОПНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КАППА В РАМКАХ СТАТИСТИКИ ТСАЛЛИСА Экстремизация энтропии в каноническом ансамбле проводилась до сих пор, согласно формализму неэкстенсивных статистик Курадо-Тсаллиса и Тсаллиса-Мендоса-Пластино при ограничении по энергии, выраженной через распределение и распределение эскорта соответственно, и результат был представлен в равновесной PDF, записанной в терминах . Вместе с тем прочная основа неэкстенсивной статистики (Tsallis и др., 1998) требует, чтобы ожидаемое значение всегда задавалось через распределение вероятностей эскорта , и, следовательно, то же самое относится к представлению энтропийного функционала Тсаллиса (5). Изначально энтропия Тсаллиса (5) была представлена в терминах обычного распределения , но она может быть выражена также в терминах распределения эскорта: . (27) Из-за эквивалентности индексов и энтропия также может быть определена через индекс Каппа , который более популярен в космической физике, , где энтропия Больцмана–Гиббса восстанавливается при ???. Дискретное распределение. Когда система описывается дискретным энергетическим спектром , связанным с дискретным распределением вероятностей при (или , где ), то неэкстенсивная энтропия задается формулами , (28) или через индекс Каппа , (29) что приводит к формулировке Больцмана-Гиббса при (или ? ? ?). Отметим еще раз, что наиболее эффективный подход к моделированию космической плазмы состоит в использовании Каппа-распределений, полученных в рамках неэкстенсивной статистической механики Тсаллиса. Это связано с тем, что космические плазмы демонстрируют сильное коллективное поведение, характеризующее коррелированные частицы внутри сферы Дебая, без локальных явлений между отдельными частицами из-за взаимодействий или столкновений. Такое поведение приводит эти системы к аномальным статистическим состояниям, которые невозможно описать с помощью максвелловского подхода. Изотропное Каппа-распределение. Разнообразные космические наблюдения ясно указывают на повсеместное присутствие сверхтермических популяций частиц в астрофизических плазменных средах, которые наиболее эффективно моделируются с помощью Каппа-распределений. Рассмотрим сначала теоретический вывод этого распределения в предположении, что оно является изотропным в его флюидной системе отсчета. Если следовать приведенному выше методу множителей Лагранжа и , то можно найти точное вероятное распределение , экстремизирующее лагранжиан (30) при условии . Заметим, что в космической физике скорости иногда используются для описания фазового пространства вместо стандартного использования импульсов. Приближенное выражение для квазиравновесного распределения следует из соотношений (21) и (26) , (31) где спектральный индекс традиционно ограничен положительными значениями ? > 3/2 (отрицательные значения индекса ? никогда не рассматривались для приложений к космической плазме). В случае, когда энергия задается кинетической энергией в трехмерном пространстве скоростей, т.е. , точное одночастичное распределение скорости в трехмерном пространстве (), экстремизирующее лагранжиан (30), имеет вид . (32) Для -мерного пространства скорости имеем . В результате точное -частичное Каппа-распределение скорости имеет вид (Livadiotis, McComas, 2009): . (33) Из формулы (33) в случае следует одномерное Каппа-распределение (34) Более общее Каппа-распределение плазменных частиц системы в фазовом пространстве c гамильтонианом в виде имеет вид (Livadiotis, McComa, 2011): , (35) где , . (36) Распределение (35) обеспечивает точное моделирование плазмы и позволяет получать термодинамические параметры (например, полную энтропию системы) или математическое ожидание любой функции скоростей при использовании формулы . Заметим, значение индекса Каппа заключается, в частности, в его роли в определении неравновесных стационарных состояний и измерении их «термодинамического расстояния» до теплового равновесия. В работе (Livadiotisand, McComas, 2011) было показано, что индекс Каппа не является инвариантной физической величиной, а зависит от числа степеней свободы частиц плазменной системы. В этой работе был введен модифицированный индекс Каппа для описания многочастичного многомерного распределения Каппа, который инвариантен для любого числа степеней свободы. В формуле (35) потенциальная энергия считается, как правило, неотрицательной, . Случай отрицательной потенциальной энергии, однако, также возможен (Tribeche, Bacha, 2010). В этой работе исследовалась пылевая плазма, уникальность которой по сравнению с обычной электронно-ионной плазмой заключается в наличии сверхтермальных электронных и ионных структур, возникающих под воздействием внешних сил, действующих на природные космические плазмы. Семейство (35) Каппа-распределений скоростей признано крайне подходящим для моделирования отдельных электронных и ионных компонентов различных состояний космической плазмы. Многочисленные процессы взаимодействия и нестабильности в магнитосфере успешно изучались в рамках концепции Каппа-распределений (Chaston и др., 1997), начиная от спектров ионов и электронов плазменного листа (Christon и др.,1987) и заканчивая комбинированной электроно-протонно-водородной плазмой полярных сияний. АНИЗОТРОПНОЕ КАППА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Независимо от начального состояния системы, после термализации ее частицы стабилизируются в соответствии с равновесной функцией распределения, параметризованной температурой. В классических газовых системах, находящихся в тепловом равновесии, распределение в фазовом пространстве стабилизируется в виде функции Максвелла-Больцмана. В отличие от них космическая плазма – это система частиц, находящаяся в стационарном состоянии, но не в тепловом равновесии, то есть ее распределение стабилизируется в виде функции, которая обычно описывается Каппа-распределением. При этом температура четко определена для систем, находящихся в тепловом равновесии или в стационарном состоянии, описываемым распределением Каппа. Это основано на эквивалентности двух фундаментальных определений температуры: (i) кинетического определения Максвелла (1866) и (ii) термодинамического определения Клаузиуса (1862). Эта эквивалентность справедлива как для распределения Максвелла (что приводит к теореме о равнораспределении энергии), так и для распределения Каппа, для которого возможно нарушение указанной теоремы. Температура, плотность и индекс Каппа являются глобально независимыми параметрами, характеризующими функцию распределения. Хотя не существует уравнения состояния или какого-либо универсального соотношения, связывающего эти параметры, вдоль всей траектории движения космической плазмы, могут существовать различные локальные соотношения. Наблюдения выявили несколько типов таких локальных соотношений между тепловыми параметрами плазмы (Livadiotis, 1917). Анизотропия между кинетическими степенями свободы частицы возникает, когда кинетическая энергия частицы не стабилизируется на равные части между степенями свободы. Ниже представлены различные формулировки анизотропных распределений Каппы. 1. В качестве первой модификации термализированного плазменного состояния рассмотрим повсеместно наблюдаемые высокоэнергетические хвосты в распределении частиц в космических средах, моделируемые степенным законом по скорости частиц, представляющим семейство Каппа-распределений, (37) Подобное распределение впервые было введено в работе (Vasyliunas, 1968). Параметр в этом соотношении формирует сверхтермические хвосты этого распределения; ; – тепловые скорости вдоль и перпендикулярно направлению магнитного поля , где нормализация выполняется относительно плотности частиц N. 2. В работах (Lazar и др., 2010; Lazar и др., 2011a, b) была предложена новая функция Каппы, основанная на анизотропной функции произведения би-Каппа (Summers, Thorne, 1991), которая предназначена для моделирования кинетических анизотропий при учете избытка свободной энергии, который присутствует в сверхтеплых анизотропных плазмах, что обеспечивает лучшее соответствие наблюдениям: (38) В отличие от функции (37), которая кажется менее реалистичной, так как две степени свободы связаны и управляются одним и тем же показателем мощности , новая функция произведения би-Каппа демонстрирует повышенную гибкость в моделировании гиротропных распределений VDF с двумя различными температурами и двумя различными показателями мощности . При подобной концепции анизотропии частиц, учитывающей как анизотропии температур , так и индексов Каппа , анализ становится более эффективным, но и более сложным, что является, вероятно, причиной того, что эта модель используется лишь изредка и только в упрощенной форме Максвелла-Каппа (Hellberg и др., 2005). . (39) Функция распределения (38) сводится к функции распределения (39) в пределе очень больших значений Таким образом, обе формы этой модели, представленные общей функцией распределения (38) или частной формой (39), сводятся к одной и той же би-максовской функции в пределе очень больших показателей степени (). Модель распределения (39) и ее свойства рассеяния и устойчивости могут быть напрямую сопоставлены с наблюдениями в солнечном ветре и земной магнитосфере. 3. Если существует корреляция между тремя кинетическими степенями свободы , то Каппа-распределение скоростей в их собственной системе отсчета имеет вид (Livadiotis, 2015) , (40) где ; 4. Если существует корреляция между проекциями скорости в определенном направлении и на перпендикулярной ему плоскости (например, из-за наличия локального магнитного поля), то Каппа-распределение скоростей имеет вид , (41) где ; 5. Когда нет корреляции между кинетическими степенями свободы, то каждая проекция скорости самокоррелирует (то есть проекции скорости любых двух частиц коррелированы), Каппа-распределение скорости имеет вид , (42) где ; Заметим, что, как было показано в работе (Livadiotisand, McComas, 2011), индекс Каппа не является инвариантной физической величиной, а зависит от числа степеней свободы частиц системы. В этой работе был введен модифицированный индекс Каппа для описания многочастичного многомерного распределения Каппа, который инвариантен для любого числа степеней свободы. В распределении (43) экспоненты имеют индекс вместо Это связано с тем, что каждое направление описывается одномерным Каппа-распределением. Поскольку индекс зависит от степеней свободы, то есть . Таким образом, (здесь символом обозначен стандартный трехмерный Каппа-индекс). 6. Когда кинетические степени свободы коррелированы сами с собой, как указано выше, но каждая из трех степеней характеризуется разным коэффициентом корреляции (т.е. разным индексом Каппа), то Каппа-распределение скоростей , (43) где 7. Когда проекции скорости в определенном направлении и на его перпендикулярной плоскости коррелированы только сами с собой, то Каппа-распределение скоростей имеет вид , (44) где ; Заметим, что в соотношении (42), как уже было пояснено выше, показатель степенной функции Каппа с левой стороны равен ?, а с правой стороны равен . 8. Когда проекции скорости в определенном направлении и на его перпендикулярной плоскости только автокоррелированы, но каждая проекция имеет разный коэффициент корреляции (т.е. различный индекс Каппа), то (45) Приведенные распределения Каппа предоставляет собой обобщение распределения Максвелла при моделировании космических систем, находящихся в стационарных состояниях вне теплового равновесия, которые обычно встречаются в астрофизических плазмах. Эти распределения варьируются от наиболее общей до нескольких специализированных версий, которые могут быть непосредственно использованы при применении распределений Каппа в анализе с некоторыми типами космологических данных. Анизотропные Каппа-распределения скоростей являются, скорее всего, источником нетермических излучений в астрофизических источниках и флуктуаций магнитного поля в космической плазме. В случае, когда электроны и ионы моделируются с помощью анизотропного распределения типа би-Каппа, в работе (Summers, Thorne, 1991) были получены общее дисперсионное соотношение для параллельных циркулярно поляризованных электромагнитных мод, правосторонних (R-моды) и левосторонних (L-моды), с использованием модифицированной функции дисперсии плазмы. Влияние сверхтермических частиц на устойчивость этих мод сильно варьируется в зависимости от частоты мод, которая может соответствовать либо тепловому доплеровскому сдвигу частоты циклотронного движения электронов (нестабильность свистеров, вызванная циклотронным резонансом с электронами), либо частоте циклотронного движения ионов (электромагнитная ионная циклотронная нестабильность). КРАТКИЙ ОБЗОР МОДЕЛЕЙ РАЗРЕЖЕННОЙ ПЛАЗМЫ, ОСНОВАННЫХ НА КАППА-РАСПРЕДЕЛЕНИЯХ \ Звездная корона. В работах (Scudder, 1992a, b) было показано, что температурные инверсии в околозвездном пространстве, характерные для всех звезд, являются следствием процесса «скоростной фильтрации», согласно которому звездная оболочка горячее, чем нижележащие слои. Процесс фильтрации основан на теоретически предсказанных и экспериментально определенных немаксвелловских распределениях скоростей заряженных частиц в электрон-ионных популяциях астрофизической плазмы и в слоях переходной области. Наиболее непосредственным следствием этого является то, что температура и плотность квазинейтральной плазмы становятся антикоррелированными с увеличением радиуса в тонкой переходной области, в результате чего температурный профиль инвертирует на больших высотах в солнечном ветре и переходит в корону без передачи энергии магнитного поля в газ в слоях переходной области. В работе (Pierrard, Lamy, 2003) было установлено, что некоторые ключевые характеристики, наблюдаемые в короне, напрямую связаны с эффектом кинетической фильтрации, который объясняет нагрев короны в предположении, что функции распределения скоростей имеют усиленные сверхтепловые хвосты. Таким образом, нагрев является естественным следствием увеличения соотношения сверхтепловых и тепловых частиц в зависимости от высоты. Применительно к малым ионам это дает естественное объяснение более высокой температуры тяжелых ионов по сравнению с протонами. При достаточно высокой температуре ионы движутся быстрее протонов. Эти результаты хорошо согласуются с последними спектроскопическими наблюдениями солнечного ветра. Исследование спектров, излучаемых спокойной солнечной короной, показывает, что интенсивность большинства доплеровских линий, возникающих на низколежащих уровнях, соответствует изотермической плазме с температурой ~1,3?106 К. Тем не менее интенсивность некоторых линий, в частности принадлежащих ионам, типичным для более высоких температур, выше ожидаемой. В статье (Ralchenko, и др., 2007) показано, что избыточная яркость более горячих доплеровских линий может быть удовлетворительно объяснена двухмаксвелловской функцией распределения электронов. В работах (Anderson и др., 1996; Dzifcakova, 2006) были изучены изменения в балансе возбуждения FeVIII - FeXV в солнечной короне, вызванные надтепловым Каппа-распределением электронов. Форма распределения влияет на скорость возбуждения электронов и, следовательно, на относительную интенсивность спектральных линий, которые могут существенно отличаться от полученных в предположении их максвелловского распределения. Поскольку форма функции распределения электронов влияет также на баланс ионизации Fe, то оба эффекта изменяют конечную интенсивность доплеровских линий. При изучении теплового потока, переносимого Каппа-распределениями в солнечной короне, в работе (Meyer-Vernet, 2001) было продемонстрированно, что слабый степенной хвост в распределении скоростей электронов позволяет теплу течь вверх по радиально направленному градиенту температуры, что убедительно доказывает несостоятельность классического закона теплопроводности для космических плазменных сред. Каппа-распределение также согласуется со средними спектрами электронов, создающими жесткое рентгеновское излучение во время солнечных вспышек (Kasparova, Karlicky, 2009). Известно, что спектроскопические измерения во внутренней части солнечной короны показывают, что температура электронов слишком низкая для образования тех совокупностей ионов, которые наблюдаются в солнечном ветре. В работе (Esser, Edgar, 2000) авторы показали, что для согласования двух наборов измерений во внутренней короне должен существовать ряд условий: (i) функция распределения электронов должна быть максвелловской или близкой к максвелловской в основании короны, (ii) немаксвелловский характер распределения должен быстро развиваться в зависимости от высоты и должен достигать близких к межпланетным свойств в пределах нескольких солнечных радиусов, и (iii) ионы разных элементов должны течь со значительно разными скоростями, чтобы разделять расстояния их «вмораживания» настолько, чтобы они могли описываться различными функциями распределения. В частности, было показано, что низкие температуры электронов в короне и высокие значения зарядов ионов могут быть согласованны, если функция распределения корональных электронов способствует развитию значительной сверхтепловой оболочки. Солнечный ветер. В солнечном ветре преобладает кинетическая неустойчивость, поскольку это разреженная плазма, содержащая большое количество свободной энергии, локализованной в потоках, и подвергающаяся неравномерному нагреву. Кроме того, турбулентность электромагнитных волн приводит к ускорению, рассеянию по углу наклона и к диффузии, поэтому она должна играть важную роль в эволюции частиц плазмы в солнечном ветре и магнитосфере. Распределения скоростей плазменных частиц, наблюдаемые в солнечном ветре, как правило, показывают усиленные сверхтермальные хвосты, убывающие по степенному закону для скорости и хорошо описываемые семейством Каппа распределений. Наличие нетермических популяций на разных высотах в космических плазмах указывает на универсальный механизм их возникновения и важные последствия для флуктуаций плазмы, резонансного и нерезонансного ускорения частиц волнами нагрева плазмы (Katoh и др., 2008). Эти эффекты хорошо описываются кинетическими подходами, где не требуется, чтобы распределения были почти максвелловскими. Модель бесстолкновительной или слабо столкновительной Солнечной короны (Maksimovic и др., 1997) предсказывает высокие скорости солнечного ветра при разумных температурах в короне без дополнительного механизма ускорения, поскольку присутствие сверхтермальных электронов увеличивает разность электростатического потенциала между Солнечной короной и межпланетным пространством и ускоряет солнечный ветер. Эта модель со сверхтермальным хвостом способна описывать высокоскоростные потоки быстрого солнечного ветра, исходящие из корональных областей, где температура плазмы ниже, а также низкоскоростной солнечный ветер, происходящий из более горячих экваториальных областей солнечной короны. Экзосферная Каппа-модель (Lamy et al., 2003), расширенная на случай немонотонной потенциальной энергии для протонов, показала, что ускорение особенно велико, когда оно происходит на малых радиальных расстояниях в корональных дырах, где плотность частиц ниже, чем в других областях Солнечной короны. Ускорение тяжелых ионов солнечного ветра было исследовано в работе (Pierrard и др., 2004), в которой было установлено, что из-за различий в массе и заряде связанные ионы достигают разных скоростей. Даже если их отношение массы к заряду всегда больше, чем у протонов, они могут быть ускорены до скоростей, превышающих скорость протонов, если их температура в короне достаточно высока. Учитывая эффекты кулоновских столкновений, в работе (Pierrard, и др., 2001), выполненной в рамках кинетической модели солнечного ветра (основанной на решении уравнения Фоккера–Планка), было показано, что на нескольких радиусах Солнца сверхтермальные популяции электронов должны присутствовать в Солнечной короне. Эта модель продемонстрировала также преобразование функции распределения скоростей электронов в переходной области между областью, управляемой столкновениями в короне, и областью без столкновений на больших радиальных расстояниях. Эти распределения становились все более анизотропными в переходной области. Было также обнаружено, что кулоновские столкновения оказывают существенное влияние на угловое рассеяние электронов (т. е. на распределение по углу наклона), не изменяя при этом их среднюю плотность или распределение по средней радиальной температуре. В результате низкой частоты столкновений в межпланетной плазме электроны и ионы имеют анизотропную температуру, а их функции распределения скоростей становятся скошенными и формируют хвосты и тепловые потоки вдоль окружающего магнитного поля (Stverak и др., 2008). Более того, потоки сверхтермических частиц, ориентированные вдоль магнитного поля, могут встречаться на любой высоте в солнечном ветре, но они становятся особенно существенными в энергетических ударных волнах, таких как корональные выбросы массы или быстрый солнечный ветер у планетарных ударных волн, вызывая возникновение встречных потоков плазмы (Steinberg и др., 2005). Земная экзосфера. Существует множество приложений распределений Каппа в космических плазмах, включая радиационные пояса Земли (Xiao и др., 2009), ионосферу (Ogasawara и др., 2017), солнечный ветер (Maksimovic и др., 1997b). В работе (Pierrard, Lemaire, 1996) использовалась Каппа-модель ионо-экзосферы для изучения различных областей плазмы в магнитосфере Земли. Перепады потенциала ускоряют ионы и электроны вдоль силовых линий магнитного поля и создают токи, текущие в ионосферу и из нее. Кинетические экзосферные модели, аналогичные разработанным для полярного ветра, были использованы для определения плотности тока в зависимости от разности электростатических потенциалов. В области восходящего тока авроральной зоны зависимость тока от напряжения зависит от плотности и температуры горячей плазмы и является квазилинейной при 100 В <V< 10 кВ. В работах (Pierrard, 1996; Pierrard и др., 2007) были получены новые зависимости ток-напряжение в авроральных областях, когда предполагалось присутствие супертепловых частиц с Каппа и би-Каппа-распределениями. Введение Каппы модели позволяет устранить несоответствие между расчетами и наблюдениями резонансных плазменных эхо и излучений, использовавшихся для измерений локальной плотности электронов и напряженности магнитного поля в магнитосферных условиях (Vi?as и др., 2005). Трехмерная плазмосфера моделировалась с использованием Каппа-распределения скоростей для частиц в работе (Pierrard, Stegen, 2008): эта физическая динамическая модель плазмосферы показывает положение плазмо-паузы и число частиц внутри и за пределами плазменной сферы. В работе (Pierrard, Lemaire, 2001) была разработана трехмерная физико-динамическая модель плазмосферы, основанная на реальных данных. Ядро плазмосферы моделировалось с помощью кинетического экзосферного подхода, предполагающего использование функции распределения частиц по скоростям. Относительное количество захваченных частиц было ограничено таким образом, чтобы профили плотности соответствовали наблюдениям. Положение плазмопаузы определялось механизмом межцикловой неустойчивости, который формирует плазмопаузу в зависимости от уровня геомагнитной активности. Деформация плазмосферы в периоды спокойной и возмущённой геомагнитной активности проиллюстрирована и сопоставлена с результатами других моделей плазмосферы и наблюдений IMAGE и Cluster. Получены различия между максвелловскими гидростатическими барометрическими моделями и экзосферными гидростатическими моделями для различных значений индекса Каппа. Влияние супертепловых частиц на температуру в земной плазмосфере было проиллюстрировано с помощью функций Каппы (Pierrard, Lemaire, 2001). Полярный ветер – поток плазмы, вытекающий из ионосферы Земли вдоль открытых силовых линий геомагнитного поля, – стал предметом множества теоретических исследований. С тех пор как более 30 лет назад было выдвинуто предположение о его существовании, полярный ветер описывался с помощью различных подходов к теоретическому моделированию. В работе (Tam и др., 2007) были проведены усовершенствованные бесстолкновительные кинетические расчеты с учетом влияния кулоновских столкновений, которые показали возможность формирования двугорбого распределения скоростей H+ в полярном ветре. Земной полярный ветер в некотором смысле похож на уход солнечного ветра: наблюдаются сходные эффекты супертепловых частиц, приводящие к увеличению потока уходящих частиц. Вдоль открытых линий магнитного поля скорость ветра увеличивается за счет присутствия супертепловых частиц. Наряду с этим наблюдения за уходящими потоками O+ поспособствовали выходу в указанной работе за рамки классического описания полярного ветра. В ней авторами были разработаны модели, учитывающие различные неклассические эффекты, в том числе связанные с фотоэлектронами, которые также могут служить объяснением асимметрии дня и ночи, наблюдаемой со спутников, в дополнение к ускорению ионов O+. Электромагнитные волны (так называемые «свистуны» или свистящие атмосферики, которые издают свистящий звук при воспроизведении через динамик), переносящие энергию молний вдоль силовых линий магнитного поля Земли, из ионосферы в магнитосферу, также являются ключевым элементом физики магнитосферы. Ускорение электронов за счет циклотронного резонанса этих волн может генерировать релятивистские (MeV) электроны во внешнем радиационном поясe Земли (Summers и др., 2007a, 2007b; Summers, Omura, 2007; Thorne и др., 2013; Su и др., 2014; Jaynes и др., 2015; Omura и др., 2015). Резонансное рассеяние волнами режима свистуна также может вызывать потери электронов внешнего пояса через их выпадение в атмосферу (Summers и др., 2007a, b; Hikishima и др., 2010; Harid и др., 2014). Заметим, что лучшее понимание радиационных поясов и разнообразия электромагнитных волн, в том числе тех, которые возникают от наземных молний, жизненно важно для деятельности человека в космосе. Планетарные магнитосферы и экзосферы. Существует множество приложений Каппа-распределений в космических плазмах, включая планетарные магнитосферы (Nicholls и др.,2012), магнитослой (Ogasawara и др., 2013), магнитопаузу (Ogasawara и др., 2015), магнитный хвост (Grabbe, 2000), магнитосферы гигантских планет, таких как Юпитер (Mauk и др., 2004; Nicolaou и др., 2014), Сатурн (Carbary и др., 2014; Livi и др., 2014), Уран (Mauk и др., 1987), Нептун (Krimigis и др., 1989), а также магнитосферы планетарных спутников, таких как Ио (Moncuquet и др., 2002) и Энцелад (Jurac и др., 2002), и кометные магнитосферы (Broiles и др., 2016). Индекс Каппа дает дополнительный параметр для подгонки наблюдений по данным Кассини. В работе (Pierrard, 2009) для моделирования экзосферы планет-гигантов Юпитера и Сатурна использовалась теория экзосферы, основанная на функции распределения скоростей Каппа. Полярный ветер и плазмосферы Юпитера и Сатурна недавно моделировались также с использованием функций Каппа (Pierrard, 2009): супертермальные частицы существенно увеличивают поток уноса из этих гигантских планет, так что ионосфера может стать важным источником для их внутренней магнитосферы. Надтепловые частицы оказывают значительное влияние на профиль потока, плотности и температуры частиц в экзосфере планет-гигантов. Поток полярного ветра становится на несколько порядков больше, если учитывать надтепловые электроны, так что планетарная ионосфера становится важным источником для внутренней магнитосферы. Более того, при использовании распределения Каппа, а не распределения Максвелла, числовая плотность частиц уменьшается медленнее в зависимости от высоты. Для типичных значений температуры в этой работе были рассчитаны двумерные карты плотности. Экзосферный формализм применялся для изучения потока частиц из экзосфер Ио и Титана, спутников Юпитера и Сатурна соответственно. Окружения, связанные с заряжением космических аппаратов на Земле, Юпитере и Сатурне, также были исследованы в работе (Garrett, Hoffman, 2000) с использованием Каппа-распределений для теплых электронов и протонов. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Самые ранние наблюдения солнечный плазмы в пространстве оказались аномальными по Максвеллу, демонстрируя явные признаки сверхтермических популяций. Было выявлено интересное явление: квазиравновесная турбулентность, создаваемая слабым электронным пучком, распространяющимся в фоновой плазме, характеризуется наличием нетермического хвоста в функции распределения скоростей заряженных частиц, который внешне напоминает эмпирическое Каппа-распределение, введенное Василюнасом (1968). С учетом этого распределения были успешно исследованы многочисленные процессы взаимодействия и нестабильности в магнитосфере: от спектров ионов и электронов до комбинированной электронно-протонно-водородной атомной авроры. Вместе с тем их применение часто подвергалось справедливой критике, поскольку не существовало до последнего времени достоверного вывода этих распределений в рамках фундаментальной физики. В связи с этим возникла необходимость в привлечении неэкстенсивной статистики Тсаллиса, которая смогла обеспечить недостающую теоретическую основу при использовании Каппа-распределений для анализа и моделирования турбулентных и астрофизических плазменных систем. В то время как распределение Больцмана-Гиббса применимо только при тепловом равновесии, теоретически полученное Каппа-распределение, являющееся каноническим распределением в обобщенной статистической механике Тсаллиса, применимо как в условиях теплового, так и вне теплового равновесия. В представленном здесь кратком обзоре рассматривается связь семейства Каппа-распределений с неэкстенсивной статистической механикой посредством максимизации обобщенной -энтропии с учетом ограничений канонического ансамбля в рамках как дискретного, так и непрерывного описания системы, а также вывод функции распределения из основных принципов, характеризующих космическую плазму, в частности неаддитивность обобщенной энтропии Тсаллиса. После установления связи между эмпирическим Каппа-распределением и неэкстенсивной стататистической механикой стали доступными эффективные возможности подхода Тсаллиса для анализа Каппа-подобных свойств различных распределений частиц плазмы в космическом пространстве. В представленном в данной работе исследовании разъясняются фундаментальные физические концепции неравновесного статистического подхода к пониманию неэкстенсивной природы разреженной космической плазмы, приводятся математические формулировки как для изотропных, так и для анизотропных Каппа-распределений, а также обсуждаются некоторые новые достижения. 523. 4852 WORVIL неэкстенсивная энтропия Тсаллиса распределение Каппа аномальные астрофизические плазменные среды Tsallis nonextensive entropy Kappa distribution astrophysical anisotropic plasma environments Колесниченко А.В. Статистическая механика и термодинамика Тсаллиса. неаддитивных систем: Введение в теорию и приложения // М.: ЛЕНАНД. 2019. Колесниченко А.В. Неаддитивная термодинамика: элементы теории и приложения.М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2024. Abe, S. General pseudoadditivity of composable entropy prescribed by the existence of equilibrium // Phys. Rev. E. 2001. V. 63. P. 061105. doi:10.1103/Phys RevE.63.061105. Anderson S.W., Raymond J.C., van Ballegooijen A. Ultraviolet Emission-Line Intensities and Coronal Heating by Velocity Filtration: Collisionless Results //: Astrophys. J. 1996, V. 457. P. 939. doi: 10.1086/176787 Arimitsu T., Arimitsu N. Analysis of fully developed turbulence in terms of Tsallis statistics // Physical Review E (Statistical Physics, Plasmas, Fluids, and Related Interdisciplinary Topics) 2000. V. 61. № 3. P. 3237-3240. doi: 10.48550/arXiv.cond-mat/0109132 . Beck C. Application of generalized thermostatistics to fully developed turbulence // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2000. V. 277. № 1. P. 115-123. doi: 10.1016/S0378-4371(99)00508-7. Beck C. Scaling exponents in fully developed turbulence from nonextensive statistical mechanics // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2001. V. 295. № 1. P. 195-200. doi: 10.1016/S0378-4371(01)00073-5. Broiles T. W., Burch J. L., Chae K., et al. Statistical analysis of suprathermal electron drivers at 67P/Churyumov-Gerasimenko // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2016. V. 462. P. S312-S322. doi: 10.1093/mnras/stw2942. Carbary J. F., Kane M., Mauk B. H., Krimigis, S. M. Using the kappa function to investigate hot plasma in the magnetospheres of the giant planets // JGR. 2014. V. 119. P. 8426-8447. doi: 10.1002/2014JA020324. Chaston C. C., Hu Y. D., Fraser B. J. Non-Maxwellian particle distributions and electromagnetic ion cyclotron instabilities in the near-Earth magnetotail // Geophys. Res. Lett. 1997. V.22. P. 2913. doi: 10.1029/97GL02972. Christon S. P. A comparison of the Mercury and Earth magnetospheres: Electron measurements and substorm time scales, Icarus,1987. V. 71. P.448–471, doi:10.1016/0019-1035(87)90040-6. Chotoo K., Schwadron N. A., Mason G. M., Zurbuchen T. H., Gloeckler G., Posner A, Fisk L. A.,. Galvin A. B, Hamilton D. C., Collier M. R. The suprathermal seed population for corotating interaction region ions at 1 AU deduced from composition and spectra of H+ , He++, and He+ observed by Wind // J. Geophys. Res., 2000. V. 105. P. 107–122. doi:10.1029/1998JA000015. Collier M.R., Hamilton D.C. The relationship between kappa and temperature in energetic ion spectra at Jupiter // Geophysical Research Letters. 1995. V. 22, P. 303–306. doi: 10.1029/94GL02997. Curado E.M.F, Tsallis C. Generalized statistical mechanics: connection with thermodynamics // J. Phys. A : Mathematical and General.1991. V. 24. № 2. P. L69-72 . doi: 10.1088/0305-4470/24/2/004. Decker R. B., Krimigis S. M. Voyager observations of low energy ions during solar cycle 23 //Adv. Space Res. 2003. V. 32. P. 597-602, doi:10.1016/S0273-1177(03)00356-9. Decker R. B., Krimigis S. M., Roelof E. C., Hill M. E., Armstrong T. P., Gloeckler G., Hamilton D. C., Lanzerotti L. J. Voyager 1 in the foreshock, termination shock, and heliosheath //Science. 2005. V. 309. P. 2020–2024. doi:10.1126/science.1117569. Dzifcakova E. Abstract Changes in the excitation equilibrium of Feviii - Fe xv in the solar corona due to the electron non-thermal κ-distribution are studied.// Solar Phys. 2006. V. 234, P. 243-256. doi: 10.1007/s11207-006-1615-y. Esser R., Edgar R.J. Reconciling Spectroscopic Electron Temperature Measurements in the Solar Corona with In Situ Charge State Observations // Astrophys. J. Lett. 2000. V. 532. P.L71-L74. d0i: 10.1086/312548. Harid V., Golkowski M., Bell T., Inan U.S. (2014). Theoretical and numerical anal ysis of radiation belt electron precipitation by coherent whistler mode waves // Journal of Geophysical Research: Space Physics. 2014. V. 119. P. 4370-4388. doi: 10.1002/2014JA019809 Hasegawa A.K., Mima K., Duong-van M. Plasma Distribution Function in a Superthermal Radiation Field // Physical review letters . 1985. V. 54. № 24. P. 2608-2610. doi: 10.1103/PhysRevLett.54.2608. Hawkins S. E., Cheng, A. F., Lanzerotti, L. J. Bulk flows of hot plasma in the Jovian magnetosphere: A model of anisotropic fluxes of energetic ions // J. Geophys. Res A. 1998. V. 103, P. 20031-20054. doi: 10.1029/98JE01253. Heerikhuisen J., Pogorelov N.V., Florinski V., Zank G.P., Le Roux J.A. The effects of a -distribution in the heliosheath on the global heliosphere and ENA flux at 1 AU // Astrophys. J. 2008. V. 682. P. 679-689. doi: 10.1086/588248,. Hikishima M., Omura Y., Summers D. Microburst precipitation of energetic electrons associated with chorus wave generation // Geophysical Research Letters. 2010. V. 37. P. L07103. Doi : 10.1029/2010GL042678. Hellberg M.A., Mace R.L., Cattaert T. Effects of superthermal particles on waves in magnetized space plasmas // Space Sci. Rev. 2005. V. 121. P. 127-139. Doi: 10.1007/s11214-006-5024-1. Gallo Méndez I., Moya P.S. Langevin based turbulence model and its relationship with Kappa distributions // Sci Rep. 2022. V. 12. P. 2136-2143. doi: 10.1038/s41598-022-05996-0. Garrett H.B., Hoffman, A.R. Comparison of spacecraft charging environments at the Earth, Jupiter, and Saturn // IEEE Transactions on Plasma Science. 2000. V. 28. № 6. P. 2048-2057. doi: 10.1109/27.902232. Grabbe C. Generation of Broadband Electrostatic Waves in Earth's Magnetotail // Physical Review Letters 2000. V.84, P.3614-3617. Doi: 10.1103/PhysRevLett. 84.3614. Jaynes A.N., Baker D.N., Singer H.J., Rodriguez J.V., Loto’aniu T.M., Ali A.F., et al. Source and seed populations for relativisitic electrons: Their roles in radiation belt changes // Journal of Geophysical Research: Space Physics,. 2015. V. 120 (9) doi:10.1002/2015JA021234 Jurac, S., McGrath, M. A., Johnson, R. E., et al. Saturn: Search for a missing water source // Geophysical Research Letters. 2002. V. 29, № 24 P. 2172. Doi: 10.1029/2002GL015855 Kasparova J., Karlicky M. Kappa distribution and hard X-ray emission of solar flares // Astron. Astrophys. Lett. 2009. V. 497, L.13=L16. doi: 10.1051/0004-6361/200911898. Katoh Y., Omura, Y., Summers D. Rapid energization of radiation belt elec trons by nonlinear wave trapping // Annales Geophysicae, 2008. V.26. P. 3451-3456. doi : 10.5194/angeo-26-3451-2008. Kolmogorov A. N. The local structure of turbulence in incompressible viscous fluid for very large reynolds numbers // Proc. R. Soc. London Ser. A Math. Phys. Sci. 1991. V. 434. P. 9-13. doi: 10.1098/rspa.1991.0075. Krimigis S. M., et al. Hot plasma and energetic particles in Neptune’s magneto sphere // Science. 1989. V. 246 P. 1483. Doi: 10.1126/science.246.4936.1483. Lazar M., Schlickeiser R., Posts S. Is the Weibel instability enhanced by the suprathermal populations or not ?// Phys. Plasmas. 2010. V. 17. P. 062112. Doi: 10.1063/1.3446827 . Lamy H., Maksimovic M., Pierrard V., Lemaire J. Solar wind kinetic exospheric models with typical coronal holes exobase conditions // Proceedings of the Tenth International Solar Wind Conference, AIP Conference Proceedings. 2003.V. 679. P. 367-370. Doi: 10.1063/1.1618615. Lazar M., Poedts S. Schlickeiser R. Instability of the parallel electromagnetic modes in Kappa distributed plasmas- I. Electron whistler-cyclotron modes // Mon. Not. R. Astron. Soc., 2011a. V. 410, P.663. doi: 10.1051/0004-6361/201116982 Lazar M., Poedts, S., Schlickeiser R. Proton firehose instability in bi-Kappa distributed plasmas // Astron. Astrophys. 2011b. V. 534. P. A116. doi: 10.1051/0004-6361/201116982. Leubner M.P. On Jupiter's Whistler Emission // J. Geoph. Res. 1982. V. 87 P. 6335-6338. doi:10.1029/JA082i013p01889. Leubner M.P. A. Nonextensive Entropy Approach to Kappa-Distributions // Astrophysics and Space Science. 2002. V. 282. № 3. P. 573-579. doi:10.1023/A: 1020990413487. Leubner M.P. Fundamental issues on kappa-distributions in space plasmas and interplanetary proton distributions // Phys. Plasmas. 2004. V.11. P. 1308-1316. doi: 10.1063/1.166750. Livadiotis G. The concept of temperature in space plasmas // American Geophysical Union, Fall Meeting 2017. abstract № SH31C-2741. Livadiotis G., McComas D.J. Beyond kappa distributions: exploiting Tsallis statistical mechanics in space plasmas // J. Geophys. Res., Atmos. 2009. V. 114. P. 11105 (14-21). doi:10.1029/2009JA014352. Livadiotis G., McComas D.J. Invariant Kappa Distribution in Space Plasmas Out of Equilibrium Show affiliations Loading affiliationsaffiliations loading // The Astrophysical Journal. 2011. V. 741. № 2. article id. 88 28. doi: 10.1088/0004-637X/741/2/88. Livadiotis G., McComas D.J. Non-equilibrium thermodynamic processes: space plasmas and the inner heliosheath // Astrophys. J. 2012. V. 749. P. 11 doi:10.1088/0004-637X/749/1/11. Livadiotis G. Introduction to special section on Origins and Properties of Kappa Distributions: Statistical Background and Properties of Kappa Distributions in Space Plasmas // Journal of Geophysical Research: Space Physics. 2015. V. 120, № 3. P. 1607-1619. doi: 10.1002/2014JA020825. Livi R., Goldstein J., Burch J.L., Crary F., Rymer A.M., Mitchell D.G., et al. Multi-instrument analysis of plasma parameters in Saturn’s equatorial inner magneto sphere using corrections for spacecraft potential and penetrating background radiation // Journal of Geophysical Research. 2014. V. 119. P. 3683-3707. doi : 10.1002/2013JA019616. Mauk B. H., Krimigis S.M., Keath E.P., Cheng A.F., Armstrong T.P, Lanzerotti, L.J., et al. The hot plasma and radiation environment of the Uranian magnetosphere // Journal of Geophysical Research. 1987. V. 92. P. 15283. doi: 10.1029/ JA092iA13p15283. Mauk B. H., Mitchell D. G., McEntire R. W., et al. Energetic ion characteristics and neutral gas interactions in Jupiter's magnetosphere // J. Geophys. Res. A. 2004. V. 109. P. A09S12. doi: 10.1029/2003JA010270. Moncuquet M., Bagenal F., Meyer-Vernet N. Latitudinal structure of outer Io plasma torus // Journal of Geophysical Research (Space Physics). 2002. V. 107. № A9. P. 1260. doi: 10.1029/2001JA900124 . Nicholls, D. C., Dopita M. A., Sutherland R. S. Resolving the Electron Temperature Discrepancies in H II Regions and Planetary Nebulae: κ-distributed Electrons // ApJ. 2012. V. 752. P.148 (12). doi: 10.1088/0004-637X/752/2/148 Maksimovic M., Pierrard V., Lemaire J. A kinetic model of the solar wind with kappa distribution functions in the corona // Astronomy and Astrophysics. 1997. V. 324. P. 725-734. Maksimovic M., Zouganelis I., Chaufray J.Y. et al., Radial evolution of the electron distribution functions in the fast solar wind between 0.3 and 1.5 AU // J. Geophys. Res. 2005. V. 110. P. A09104. doi:10.1029/2005JA011119. Mauk, B. H., Mitchell, D. G., McEntire, R. W., et al. Energetic ion characteristics and neutral gas interactions in Jupiter's magnetosphere // JGRA. 2004. V. 109, P A09S12. doi: 10.1029/2003JA010270. Meyer-Vernet N. Large scale structure of planetary environments: the importance of not being Maxwellian // Planet. Space Sci. 2001. V.49, P. 247. doi: 10.1016/S0032-0633(00)00146-X. Milovanov A.V., Zelenyi L.M. Functional background of the Tsallis entropy: “coarse-grained” systems and “kappa” distribution functions // Nonlinear Process. Geophys. 2000. V. 7. P. 211-221. doi: 10.5194/npg-7-211-2000. Moore L., Mendillo M. Ionospheric contribution to Saturn's inner plasmasphere // J. Geophys. Res. 2005. V.110. P. A05310. doi: 10.1029/2004JA010889 Nicolaou, G., McComas D. J., Bagenal F., Elliott H. A. Properties of plasma ions in the distant Jovian magnetosheath using Solar Wind Around Pluto data on New Horizons // J. GRA, V. 119. P. 3463- 3479. Doi : 10.1002/2013JA019665 Ogasawara, K., Dayeh, M. A., Funsten, H. O., et al. Interplanetary magnetic field dependence of the suprathermal energetic neutral atoms originated in subsolar magnetopause // Journal of Geophysical Research: Space Physics. 2015. V. 120. № 2. P. 964-972. Doi: 10.1002/2014JA020851. Ogasawara K., Angelopoulos V., Dayeh M. A., et al. Characterizing the dayside magnetosheath using energetic neutral atoms: IBEX and THEMIS observations // Journal of Geophysical Research: Space Physics. 2013. V. 118. № 6. P. 3126-3137 . doi: 10.1002/jgra.50353 Ogasawara K., Livadiotis G., Grubbs G.A., Jahn J.-M., Michell R., Samara, M., et al. Properties of suprathermal electrons associated with discrete auroral arcs // Geophysical Research Letters. 2017. V. 44. P. 3475-3484. doi : 10.1002/ 2017GL072715. Omura Y., Miyashita Y., Yoshikawa M., Summers D., Hikishima,M., Ebihara Y., Kubota Y. Formation process of relativistic electron flux through interaction with chorus emissions in the Earth’s inner magnetosphere, Journal of Geophysical // Research: Space Physics. 2015. V. 120. P. 9545-9562. doi :10.1002/2015JA021563. Pierrard V. New model of magnetospheric current-voltage relationship // J. Geophys. Res. 1996. V. 101. P. 2669-2676. doi: 10.1029/95JA00476 Pierrard V., Lemaire J. Lorentzian ion exosphere model // J. Geophys. Res. 1996. V. 101 P. 7923-7934. doi: 10.1029/95JA03802. Pierrard V., Maksimovic M., Lemaire J.F. Self-consistent model of solar wind electrons // J. Geophys. Res. 2001. V. 106. P. 29305-29312. doi: 10.1029/ 2001JA900133 Pierrard V., Lamy H. The Effects of the Velocity Filtration Mechanism on the Minor Ions of the Corona // Solar Phys. 2003. V. 216 P. 47-58. doi: 10.1023/ A:1026157306754. Pierrard V., Lamy H., Lemaire J. Exospheric distributions of minor ions in the solar wind // J. Geophys. Res. 2004. V.109. CiteID. A02118. doi: 10.1029/ 2003JA010069. Pierrard V., Khazanov G.V., Lemaire J. Current voltage relationship // Journal of Atmospheric and Solar-Terrestrial Physics 2007. V.69. P. 2048-2057. doi: 10.1016/j.jastp.2007.08.005ю Pierrard V., Lemaire J. Exospheric model of the plasmasphere // J. Atmos. Solar-Terr. Phys. 2001. V. 63. P.1261-1265. Doi: 10.1016/S1364-6826(00)00227-3 Pierrard V., Stegen K. A three-dimensional dynamic kinetic model of the plasmasphere // J. Geophys. Res. 2008. V. 113. P.A10209. doi : 10.1029/2008JA013060 Pierrard V. Kinetic models for the exospheres of Jupiter and Saturn // Planet. Space Sci. 2009. V. 57. P. 1260-1267. doi: 10.1016/j.pss.2009.04.011. Pierrard V.,· Lazar M. Kappa Distributions: Theory and Applications in Space Plasmas // Solar Phys. 2010. V. 267. P. 153-174. doi:10.1007/s11207-010-9640-2. Ralchenko,Yu., Feldman U., Doschek G.A. Is There a High-Energy Particle Population in the Quiet Solar Corona? // Astrophys. J. 2007. V. 659 P. 1682-1692. doi: 10.1086/512536. Stverak S., Travnicek P., Maksimovic M., Marsch E., Fazakerley A.N., Scime E.E. Radial Evolution of Non-thermal Electrons in the Low-latitude Solar Wind: Helios, Cluster and Ulysses Observations // Journal of Geophysical Research: Space Physics. 2008. V.113, № A3, CiteID A03103. Doi: 10.1029/2007JA012733. Steinberg J.T., Gosling J.T., Skoug R.M., Wiens R.C.F. Suprathermal electrons in high-speed streams from coronal holes: Counterstreaming on open field lines at 1 AU // Journal of Geophysical Research: Space Physics. 2005. V. 110. № A6, CiteID A06103. Doi: 10.1029/2005JA011027/ Summers D., Ni B., Meredith N.P. Timescales for radiation belt electron ac celeration and loss due to resonant wave-particle interactions: 1. Theory // Journal of Geo physical Research. 2007a. V. 112. P. A04206. Doi: 10.1029/2006JA011801 Summers D., Ni B., Meredith N.P. Timescales for radiation belt electron ac celeration and loss due to resonant wave-particle interactions: 2. Evaluation for VLF cho rus, ELF hiss, and electromagnetic ion cyclotron waves // Journal of Geophysical Research. 2007b. V.112. P. A04207. Summers, D., Omura Y. Ultra-relativistic acceleration of electrons in planetary magnetospheres // Geophysical Research Letters, 2007. V.34, P. L24205. doi: 2007GeoRL3424205S. Summers D., Thorne R.M., 1991. The modified plasma dispersion function // Phys. Fluids B 3. 1991. 1835. doi: 10.1063/1.859653. Summers D., Thorne M. Influence of Kappa Distributions on the Whistler Mode Instability // J. Geophys. Res. 1996. V. 101. P. 1-40. doi: 10.1029/ 2020JA028276. Schippers P., Blanc M., Andre N. et al., Multi-instrument analysis of electron populations in Saturn’s magnetosphere // J. Geophys. Res. 2008. V. 113. P.A07208. doi:10.1029/2008JA013098. Scudder J.D. On the Causes of Temperature Change in Inhomogeneous Low-Density Astrophysical Plasmas // Astrophys. J. 1992a. V. 398 P. 299-317. doi: 10.1086/171858 Scudder, J.D. Why All Stars Should Possess Circumstellar Temperature Inversions //Astrophys. J. 1992b. V. 398 P. 319-349. doi: 10.1086/171859. Su Z., Zhu H., Xiao F., Zheng H., Wang Y., He Z., et al. Intense duskside lower band chorus waves observed by Van Allen Probes: Generation and potential acceleration effect on radiation belt electrons // Journal of Geophysical Research: Space Physics. 2014. V. 119. P. 4266-4273. Doi: 10.1002/2014JA019919. Tam, S.W.Y., Chang, T., Pierrard, V.: Kinetic modeling of the polar wind // Journal of Atmospheric and Solar-Terrestrial Physics. 2007. V. 69, P. 1984-2027. doi: 0.1016/j.jastp.2007.08.00. Thorne R.M., Li W., Ni,B., Ma Q., Bortnik J., Chen L., et al. Rapid local accel eration of relativistic radiation belt electrons by magnetospheric chorus // Nature. 2013 V. 504. P. 411- 414. Doi: 10.1038/nature12889. Treumann, R. A. (1999), Generalized-Lorentzian thermodynamics// Phys. Scr.,1999. V. 59. P. 204-214. doi:10.1238/Physica.Regular.059a00204. Tsallis C., Mendes R.S., Plastino A. The role of constraints within generalized nonextensive statistics // Physica A.1998. V.261. P. 524-554. doi:10.1016/S0378-4371(98)00437-3. Tsallis C. Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics // J. Stat. Phys. 1988. V. 52. P. 479-487. doi:10.1007/BF01016429. Tsallis C. Introduction to Nonextensive Statistical Mechanics // Springer. 2009. New York, NY, USA. Tribeche M., Bacha M., Nonlinear dust acoustic waves in a charge varying dusty plasma with suprathermal electrons // Phys. Plasmas. 2010. V. 17. P. 073701 doi: 0.1063/1.3449806 . Tribeche M., Mayout,S., Amour R. Effect of ion suprathermality on arbitrary amplitude dust acoustic waves in a charge varying dusty plasma // Phys. Plasmas. 2009. V. 16. P. 043706. doi: 10.1063/1.3118592. Vasyliunas, V. M. A survey of low-energy electrons in the evening sector of the magnetosphere with OGO 1 and OGO 3 // J. Geophys. Res. 1968. V. 73. P. 2839-2884. doi:10.1029/JA073i009p02839. Viñas A.F., Mace R.L., Benson R.F. Dispersion characteristics for plasma resonances of Maxwellian and Kappa distribution plasmas and their comparisons to the IMAGE/RPI observations // J. Geophys. Res. 2005. V. 110. P. A06202. doi: 10.1029/2004JA010967. Xiao F., Su Z., Zheng H., Wang S. Modeling of outer radiation belt electrons by multidimensional diffusion process // J. Geophys. Res. 2009. V. 114,.P. A03201. doi:10.1029 /2008JA013580. Yoon P. H. Electron kappa distribution and quasi-thermal noise // J. Geoph. Res.: Space Physics. 2014. V. 119. № 9. P. 7074-7087 doi:10.1002/2014JA020353. Yoon, P.H.; Rhee, T.; Ryu, C.-M. Self-consistent generation of superthermal electrons by beam-plasma interaction // Phys. Rev. Lett. 2005, V. 95, P. 215003. doi: 10.1103/ PhysRevLett.95.215003. Yoon P.H., Rhee T., Ryu C.M. Self-consistent formation of electron κ distribution, 1: theory // J. Geophys. Res. 2006. V. 111. P. A09106. doi:10.1029/ 2006JA011681 https://keldysh.ru/papers/2026/prep2026_2.pdf