1-30 RAR 0009-0004-0085-3545 Сафонов Иван Андреевич Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН safonov.ia@phystech.edu Safonov I.A. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS Параллельный алгоритм для расчета взаимодействий разноматериальных нанокластеров при создании композитных металлических материалов The parallel algorithm for modeling heterogeneous molecular nanocluster interactions during creation of composite materials В данной работе представлены результаты разработки параллельного алгоритма и комплекса программ для расчета взаимодействий разноматериальных нанокластеров при создании композитных металлических материалов. Численная методика алгоритма основана на методах молекулярной динамики (МД). Параллельная программная реализация алгоритма использует метод пространственной декомпозиции расчетной области и интерфейс передачи сообщений MPI. Для описания межатомных взаимодействий разноматериальных нанокластеров использован потенциал погруженного атома (EAM), оптимизированный с помощью интерполяции кубическими сплайнами. В работе подробно описаны методики построения списков соседей взаимодействующих атомов, механизмы межпроцессорного обмена отдельными частицами, а также реализация термостатов и баростатов. Алгоритм апробирован на задаче взаимодействия нанослоев никеля и меди. Результаты расчетов подтвердили работоспособность разработанного вычислительного подхода. This work presents the development and software implementation of a high-performance framework for molecular dynamics (MD) simulation of metallic nanostructures. A parallel algorithm based on the spatial decomposition method using the Message Passing Interface has been implemented. The embedded atom method (EAM) is used to describe interatomic interactions, optimized through cubic spline interpolation. The work provides detailed descriptions of neighbor list construction algorithms, inter-processor particle exchange mechanisms, as well as the implementation of thermostats and barostats. Algorithm has been used for modelling of nanolayered composite Ni/Cu and results proved good alignment with anticipated behaviour and similar researches. Введение Моделирование наноразмерных композитных материалов является одной из актуальных задач современной физики конденсированного состояния. Уникальные механические и теплофизические свойства таких систем, определяемые высокой долей поверхностных атомов и наличием межфазных границ, требуют детального изучения на атомарном уровне. Метод молекулярной динамики (МД) [1, 2, 3] зарекомендовал себя как эффективный инструмент для исследования эволюции наноструктур, позволяющий наблюдать процессы, труднодоступные для прямого экспериментального контроля, такие как образование дефектов упаковки, фазовые переходы и диффузия на границах зерен. Однако корректное описание металлических систем невозможно в рамках простейших парных потенциалов; оно требует применения многочастичных потенциалов, таких как модель погруженного атома [4, 5], что существенно увеличивает вычислительную сложность задачи. В связи с этим возникает необходимость разработки оптимизированных параллельных алгоритмов, способных эффективно использовать ресурсы современных вычислительных кластеров. Целью данной работы является создание собственного программного комплекса для МД-моделирования, реализующего параллелизм на уровне пространственной декомпозиции области. Основное внимание уделено алгоритмической оптимизации вычисления сил (с использованием сплайн­интерполяции потенциалов), эффективной организации обменов данными между процессорами (MPI) [6] и реализации критериев установления термодинамического равновесия. Научная новизна и практическая значимость работы заключаются в детальной проработке и тестировании алгоритмов параллельного кода молекулярной динамики (МД) и анализе с его помощью разноматериальных нанокластеров. В работе рассматриваются гомогенные кластеры никеля (Ni) и меди (Cu), а также биметаллический композит Ni—Cu. Продемонстрировано, что напряжения, возникающие из-за несоответствия кристаллических решеток на интерфейсе, инициируют пластическую деформацию в более мягкой фазе (меди) через образование дефектов упаковки, что может служить механизмом деформационного упрочнения нанокомпозита. Визуализация атомистических структур и анализ дефектов кристаллической решетки проводились с использованием программного пакета OVITO (Open Visualization Tool) [7]. 4 Модель Математическая постановка При использовании метода молекулярной динамики, система определяется как совокупность взаимодействующих частиц, движение которых описывается с помощью классической ньютоновской механики, при этом, в зависимости от постановки, может учитываться вклад внешних сил. В общем случае уравнения системы выглядят следующим образом [1]: ..v.. = F...... + F...... .... , .. .. .... (1) ..r.. v.. = , .. =1 . . . .., .... где .. – количество частиц в системе, .... – масса, r.. – радиус-вектор, v.. – скорость ,F...... ..-й частицы; F...... – внешняя и внутренняя силы соответственно, действующие .. .. на ..-ю частицу. В общем случае потенциальная энергия системы .. частиц определяется как скалярная функция, зависящая от совокупности координат всех атомов: .. = ..(r1,..., r.. ). Внутренние силы F...... , действующие на ..-ю частицу, находятся как .. отрицательный градиент потенциальной энергии по координатам данной частицы: F...... = ....... (2) .. Полная потенциальная энергия системы представляется в виде суммы вкладов .... отдельных атомов: .. = ...., где .... — потенциальная энергия ..-го атома. .. В работе рассматриваются металлы, поэтому в качестве потенциала, описывающего внутреннее взаимодействие в системе, был выбран многочастичный потенциал погруженного атома (EAM) [4, 8]. Он учитывает как парные взаимодействия, так и характеристику области, окружающую частицу, посредством расчёта электронной плотности. Используется параметризация потенциала, основанная на работе [5]. Потенциальная энергия частицы вычисляется по формуле: .. .. .... = ...(....)+ 1 ...... '(..), (3) 2 ...=.. где .. – количество частиц системы, .. = |r.. . r.. |, ., .., .. – функциональные части потенциала EAM, смысл которых будет определен далее, ..,.. ' – типы частиц соответственно. Функция ...... ' описывает парные взаимодействия частицы, зависит от расстояний. Число .... выражает плотность электронного облака, окружающего частицу ... Вычисляется по следующей формуле: .. .. .... = ....(..), (4) ... =.. 5 где .. – тип ..-й частицы. Функция ... – энергия встраивания – описывает количество энергии, необходимое затратить для погружение в электронное облако заданной плотности ... Формула, по которой рассчитывается энергия погружения ... имеет вид: . 3(. )... .. .. ....,.. . 1.. < 0.85....,.., ....,.. . .. . 3(. )... .. .. ...(..)= ....,.. . 1....,.. . .. < 1.15....,.., ....,.. .. [.(.)..... ].(. )..... .. .. . . .... 1 . ln 1.15....,.. . .., ....,.. ....,.. где .. – тип частицы, ....,.., ....,.., ....,.., ....,.., ....,.., .... (.. =0 ... 3) – коэффициенты, соответствующие конкретному материалу, значения которых приведены в Таб. 3, a также можно найти в работе [5]. Аналитический вид функций электронной плотности и парного взаимодействия: ....,.. exp[.....(../....,.. . 1)] ....(..)= , 1+(../....,.. . ....)20 .... exp[.....(../....,.. . 1)] .... exp[.....(../....,.. . 1)] ......(..)= . , 1+(../....,.. . ....)20 1+(../....,.. . ....)20 где ..,..,..,..,.. – эмпирические коэффициенты потенциала, конкретные значения которых также взяты из работы [5] . Указанная функция парного взаимодействия корректна для гомогенных систем. В случае работы в разнородной, в качестве функции парного взаимодействия используется линейная комбинация из .. для однотипных систем: [.]. 1 .... '(..) ....(..) ...... ' = ......(..)+ .... ' .. ' (..), 2 ....(..) .... '(..) где ..,.. ' – типы материалов. Для интегрирования уравнений движения (1) используется разностная схема Верле в скоростной форме [1, 9, 10]. Один шаг интегратора описывается следующей последовательностью действий: ..,...... ..,...... a+ a ..+1/2 .... .. v = v .. +..., .. 2 ..+1 .. ..+1/2 r = r + v ..., (5) .. .... ..+1,...... ..+1,...... a + a ..+1 ..+1/2 .. .. v = v .. +..., .. 2 6 ..,...... ..,...... ..,...... ..,...... где a= F/...., a= F/.... – ускорения, порожденные внутренними .... .... и внешними силами соответственно, ... – шаг по времени. Данный метод интегрирования имеет глобальную погрешность порядка ..(...2), что обеспечивает баланс между точностью траекторий и вычислительными затратами. Начальные и граничные условия Каждая задача в рамках работы формулируется для системы материальных точек, наделенных массой и расставленных согласно некоторой геометрической конфигурации. Основной структурой в данной работе выступает гранецентрированная кубическая (ГЦК) решетка. В элементарной ячейке такой решетки узлы расположены в вершинах куба и в центрах всех его граней, что дает 4 атома на одну ячейку и обеспечивает плотную упаковку структуры. Константа решетки зависит от материала, температуры и давления, при которых происходит моделирование. Начальные скорости частиц генерируются согласно распределению Максвелла для заданной температуры. Сразу после этого производится коррекция скоростей: для предотвращения дрейфа и вращения системы как целого в начальный момент времени принудительно обнуляются суммарный импульс (скорость центра масс). В качестве граничных условий были выбраны периодические граничные условия (ПГУ), которые позволяют аппроксимировать систему как бесконечный материал. Такая постановка дает возможность изучать макроскопические свойства вещества, работая с конечной вычислительной областью. Для моделирования изотермо-изобарического (NPT) и канонического (NVT) ансамблей используются алгоритмы термостатов и баростатов Берендсена [11], позволяющие контролировать целевые термодинамические параметры. При моделировании объемного материала в ансамбле NPT алгоритм Берендсена обычно реализуется в изотропном варианте. Однако возможен и анизотропный подход, когда для каждого из направлений ПГУ устанавливается собственный баростат, регулирующий нормальное напряжение вдоль соответствующей оси. В случае микроканонического ансамбля (NVE) термодинамические характеристики не контролируются искусственно, и система остается консервативной. Расчёт термодинамических характеристик Кинетическая энергия системы E.. и тепловая энергия E.. вычисляются как суммы энергий каждой частицы следующим образом: 7 .... .. .. ....|v..|2 ....|v.. . v.. |2 E.. = , E.. = , 22 .. .. .. .. 1 v.. = ....v.., .. =1 . . . .., .. .. где |v..| – модуль вектора скорости ..-го атома, ....|v..|2 – кинетическая энергия 2 ..-го атома, v.. – радиус-вектор центра масс системы, ....|v.. . v.. |2 – тепловая .... 2 энергия ..-го атома, .. = .... – масса системы. Тогда температура системы .. при предложенных формулах для тепловой энергии: .. .. 21 T= E.. = ....|v.. . v.. |2 , 3...... 3...... .. где .... – константа Больцмана. Для описания механического состояния системы на макроскопическом уровне используетсятензордавления .. [1,12,13],связывающегокинетическую(тепловую) энергию системы с потенциальной (действующие силы). Тогда ...... для объема .. : .... .. .... 11 ...... = ................ + r....,..F....,.., ..,.. .{.., .., ..}, .. .. ..=1 ..=1 ..>.. где индексы .. и .. обозначают компоненты декартовых координат, .... – масса ..-го атома, и ...... – компонент вектора скорости частицы .., .. .{..,..,..}; r.... – вектор расстояния между атомами, а F.... – сила взаимодействия между ними. Данное выражение позволяет сформировать симметричную матрицу давлений 3 . 3: .. ...... ...... ...... .. .. .. = .. . ...... ...... ...... .. ...... ...... ...... Мгновенное значение гидростатического давления P в системе рассчитывается как среднее нормальных давлений: 11 P = tr(..)= (...... + ...... + ......). 33 8 Алгоритмы В основе метода молекулярной динамики лежит расчет эволюции ансамбля взаимодействующих частиц, что требует существенных вычислительных ресурсов. Для организации параллельных вычислений на центральных процессорах применяются стратегии декомпозиции по атомам, силам или пространству. Первые два подхода, не учитывающие геометрическую локализацию частиц, неизбежно приводят к интенсивному обмену данными и дублированию информации о топологии системы, что ограничивает их масштабируемость. Оптимальным решением является пространственная декомпозиция, распределяющая вычислительную нагрузку по геометрическим подобластям, что обеспечивает квазинезависимость процессов и минимизирует коммуникации. Данная схема выбрана в качестве базисной в текущей работе и реализована в совокупности с эффективными алгоритмами поиска соседей – списками связных ячеек и списками Верле [9]. Для реализации пространственной декомпозиции должна быть определена область пространства, воспринимаемая как расчётная. Представление расчётной области В общем случае расчётная область представляется тройкой векторов, которые задают трёхмерный параллелепипед. Размер моделируемой области зависит от размера системы и величины радиуса обрезания. Радиусом обрезания называется величина, характеризующая расстояние между атомами, при превышении которой взаимодействиями можно пренебречь. Обычно конкретное значение зависит от используемого в модели потенциала и рассматриваемых материалов. Внедрение такой характеристики позволяет ускорить расчёт систем, не теряя общности. В общем случае расчетная область представляется тройкой векторов, которые задают трехмерный параллелепипед. Размер моделируемой области зависит от размера системы и величины радиуса обрезания. Радиусом обрезания называется величина, характеризующая расстояние между атомами, при превышении которой взаимодействиями можно пренебречь. Обычно конкретное значение зависит от используемого в модели потенциала и рассматриваемых материалов. Рис. 1. Визуализация Внедрениетакойхарактеристикипозволяетускорить пространственной расчёт систем, не теряя общности. декомпозиции Далее, расчётная область равномерно распределяется между параллельными процессами, таким образом разбиваясь на множество локальных поддоменов. На рис. 1 показана организация локальных поддоменов для наночастицы, состоящей из 100.100.100 ГЦК элементарных ячеек. Разные цвета показывают принадлежность частиц к 1 2 3 4 5 6 9 конкретному процессу. На изображении представлена декомпозиция системы на 72 процесса. Алгоритм должен поддерживать корректность расчёта. Данные системы распределяются между процессами, основываясь на их пространственном расположении. При этом, очевидно, найдутся частицы, которые должны взаимодействовать с атомами соседних процессов. Для этого текущему процессу необходимо иметь представление о некоторой части данных своих пространственных соседей. Проблема решается введением фиктивных частиц. По сути, каждый процесс получает от своих соседей частицы, которые находятся на расстоянии от границы, зависящим от радиуса обрезания, таким образом формируя некоторое окружение для локального домена. Это позволяет каждому процессу работать со своей локальной областью как с замкнутой системой. Списки Верле Списки Верле – подход, позволяющий ускорить вычисление сил для частиц [9]. Для каждой частицы системы строится список, состоящий из атомов, находящихся на расстоянии не большем, чем радиус обрезания. Такой список позволяет снизить сложность алгоритма вычисления сил с квадратичной до линейной, поскольку для расчёта суммарной силы для конкретного атома нужно пройти константное количество соседей. Явный вид структуры, описывающей элемент списка соседей, приведен на лис. 1. Списки содержат атомы, находящиеся как в локальном, так и в смежных доменах. Затем, с помощью проверки индекса частицы, фиктивные частицы могут быть идентифицированы. struct Neighbour{ uint32 _t index_ ; uint32 _t type_ ; double dist _ ; array <3, double > diff _; }; Листинг 1: Реализация структуры Neighbour Для оптимизации вычислительных затрат алгоритм использует эвристический механизм обновления: списки соседей сохраняются и корректируются до тех пор, пока суммарное смещение частиц удовлетворяет критерию. Полная реконструкция списков инициируется лишь тогда, когда условие актуальности перестает выполняться. Ввиду квадратичной сложности стандартного алгоритма построения списков Верле, прямое его применение для крупномасштабных систем вычислительно неэффективно. В настоящей работе для ускорения процедуры поиска соседей и оптимизации работы с памятью использован метод списков связных ячеек (Cell 10 Lists) [14, 15], сводящий задачу к локальному поиску и обеспечивающий линейную масштабируемость алгоритма Cписки связных ячеек Данный подход используется для оптимизации поиска соседей внутри локального поддомена посредством пространственной дискретизации. Пространственная область, закрепленная за процессом, расширяется на буферную зону (размером в одну ячейку) по каждому из направлений для размещения фиктивных частиц, затем разбивается на ячейки фиксированного размера, который обычно выбирается чуть большим, чем используемый для потенциала радиус обрезания. Далее все частицы распределяются по своим ячейкам, согласно их положениям в пространстве. Так же, как и для списков Верле [9], для рассматриваемого алгоритма необходимо реализовать процедуру обновления. Поскольку расчетная сетка не привязана к атомистической структуре кластера, границы ячеек могут проходить в непосредственной близости от положений равновесия атомов. С другой стороны, часты ситуации, при которых атомы оправданно покидают свою ячейку. Для того чтобы минимизировать количество перестроений, при этом сохраняя корректность алгоритма, вводится массив-счетчик, фиксирующий длительность пребывания (число шагов интегрирования) частицы за пределами исходной ячейки. Дополнительной оптимизацией является классификация (маркировка) ячеек на: внутренние, граничные и фиктивные. Идея основана на пространственном расположении ячеек и, соответственно, напрямую коррелирует с частицами, которые будут в них находиться. На рис. 2 темным цветом выделены атомы, принадлежащие граничным ячейкам, а светлым — находящиеся во внутренних. Использование алгоритма списков связанных ячеек снижает вычислительную сложность Рис. 2. Визуализация поиска соседей с квадратичной до линейной. маркировки ячеек Поиск кандидатов ограничивается частицами, находящимися в текущей и 26 соседних ячейках, исключая полный перебор. Организация обмена данными между процессами В параллельной реализации молекулярной динамики с пространственной декомпозицией эффективное межпроцессорное взаимодействие обеспечивается системойасинхронныхMPI-вызовов[16],позволяющихперекрыватькоммуникации и вычисления. Архитектура обмена данными базируется на шестиступенчатом алгоритме [1, 17], который за три итерации по координатным осям обеспечивает 11 корректное распространение информации: частицы, полученные как граничные на первых этапах, на последующих шагах передаются дальше, формируя полное окружение для ребер и углов домена даже между непрямыми соседями. Данная схема применяется для трех ключевых процессов: обмена координатами фиктивных частиц, синхронизации электронных плотностей и глобальной миграции. В случае потенциала EAM, помимо координат, требуется второй проход обмена для электронных плотностей, где их соответствие конкретным фиктивным частицам строго контролируется через глобальные идентификаторы атомов. Алгоритм также контролирует миграции: система отслеживает выход реальных частиц за границы домена, сохраняет их полные физические характеристики (координаты, скорости, типы) и интегрирует их в структуры данных соседних процессов. Для ускорения выборки граничных частиц во всех процедурах обмена применяются оптимизированные маркированные клеточные списки. При этом при миграции частиц списки соседей и списки связных ячеек в общем случае требуют полного перестроения. Для того чтобы этого избежать, используется счётчик активныхатомов,которыйсохраняетиндексациючастицвнутрилокальногодомена неизменной при добавлении или удалении атомов. Использование интерполяции для расчёта сил Применение интерполяции в вычислениях потенциала EAM возможно благодарякороткодействующемухарактерумежатомныхвзаимодействий.Введение радиуса обрезания ........, за пределами которого взаимодействием пренебрегают, ограничивает область определения функций, зависящих от расстояния. Это позволяет заменить ресурсоемкие вычисления табличной интерполяцией, существенно снижая вычислительные затраты при сохранении точности. В алгоритме применяются кубические сплайны Эрмита, обеспечивающие баланс между простотой реализации и точностью. Пусть определена некоторая функция .. (..), .. . [........, ........]. Введем число .... – количество узлов сетки для данной функции, ... =(........ . ........)/.... – шаг. ' Вычислим значения функции .. в узлах .... и обозначим .... = .. (....),а .. = .. ' (....). .. Накаждомотрезке[...., ....+1] аппроксимируемфункцию.. сплайном.... следующего вида: .. . .... ....(..)= .... + ...... + ......2 + ......3 , .. = , (6) ... где ....,....,....,.... – коэффициенты сплайна ...., .. . [0, .... ]. Производная .... по .. имеет вид: Стоит отметит ...... .... ь, что р = асч ...... .... .... .... ет прои = зв 1 [.]. .... + 2...... + 3......2. ... одной не требует дополнительных табличных (7) данных или пересчета базисных функций. Поскольку коэффициенты полинома (...., ...., ...., ....) уже известны, вычисление сил сводится к трем умножениям 12 и двум сложениям. Это обеспечивает высокую производительность метода, сопоставимую с простой линейной интерполяцией, но при существенно более высокой гладкости. Такое представление гарантирует порядок точности аппроксимации ..(...4) для значений функций и ..(...3) для первой производной. Рассмотрим сплайн .... на некотором интервале [...., ....+1]. Коэффициенты ....,....,....,.... определяются из граничных условий: . . . . . ....(0) = ...., ' .. ' ....., ..(0) = .. (8) ....(1) = ....+1, ' .. ' ..+1..., ..(1) = .. где множитель ... добавляется в силу перехода от .. к безразмерному переменному ... При этом, если подставить выражения сплайна .... и его производной .. ' при .. .. = {0,1}, получим: . . . . . ....(0) = ...., .. ' ..(0) = ...., (9) ....(1) = .... + .... + .... + ...., .. ' ..(1) = .... +2.... +3..... Приравнивая правые части (8) и (9) и решая полученную систему линейных уравнений относительно коэффициентов, получим: . . . . . .... = ...., ' .... = .. ....., (10) '' .... =3....+1 . 3.... . (2.. .. + .. ..+1)..., '' .... =2.... . 2....+1 +(.. .. + .. ..+1).... Таким образом, на каждом отрезке [...., ....+1], .. . [0,.... ] сплайн .... однозначно ' определяется значениями функции .. и ее производной .. в узлах ....,....+1. Для вычисления производных во внутренних узлах сетки используется пятиточечная схема четвертого порядка точности: ... (....+2)+8.. (....+1) . 8..(.....1)+ .. (.....2) .. ' (....)= + ..(...4), 12... шаблон которой приведен на рис. 3. На границах, где нет достаточного количества точек, применяются схемы пониженного порядка: .. (..2) . .. (..0) ..(.... ) . ..(.... .2) .. ' (..1)= + ..(...2), .. ' (.... .1)= + ..(...2), 2... 2... .. (..1) . .. (..0) .. (.... ) . .. (.... .1) .. ' (..0)= + ..(...), .. ' (.... )= + ..(...). ... ... 13 18 81 .. 12... 12... 0 12... 12... .....2 .....1 .... ....+1 ....+2 Рис. 3. Шаблон пятиточечной схемы для первой производной Выбор кубических сплайнов обусловлен необходимостью качественной аппроксимации экспоненциальных компонент потенциала EAM и требованием гладкости сил (непрерывности производных). Перед началом расчёта, в алгоритм загружаются файлы, содержащие сетки для всех типов материалов, которые участвуют в моделировании. Затем происходит вычисление производных функций ..,..,., формирование массива сплайнов ...., которые на каждом интервале однозначно определяются набором коэффициентов (10). Для вычисления значения функций ..,.. или . или в некоторой точке .. применяется следующий алгоритм: 1. Определяется интервал [....,....+1], такой что .. . [....,....+1]. .. . .... 2. Вычисляется безразмерная переменная .. = . ... 3. Вычисляется значение сплайна .... в точке ... ' Для расчета производных .. ' ,.. ' ,. по соответствующим переменным в алгоритме на шаге 3 безразмерная переменная .. подставляется в аналитическую производную сплайна ...., получаемую по формуле (7). Применение интерполяции к EAM Для численной реализации метода функции электронной плотности ....(..) и парные потенциалы ...... '(..) дискретизируются на равномерной сетке из .... узлов в интервале [0, ........], где .., .. ' — типы взаимодействующих атомов. Следует отметить, что нижняя граница интервала может быть смещена от нуля, так как на малых расстояниях доминирует сильное отталкивание, исключающее сближение атомов. Значениерадиусаобрезания........ выбираетсяединымдлявсейсистемыкакмаксимум из соответствующих параметров всех компонентов. Далее, исходя из величины ........ и параметров кристаллической решетки материалов, определяется верхняя граница электронной плотности ......... Это позволяет построить сетку для функций энергии погружения ...(..), состоящую из .... узлов на отрезке [0, ........]. Значение ........ также унифицируется, принимаясь равным наибольшему из возможных значений плотности в системе. Рассмотрим применение интерполяционной схемы для вычисления межатомных сил. Подставляя сумму потенциальных энергий частиц из (3) в 14 определение внутренней силы (2), действующей на ..-й атом, получим: (.). .. .. .. 1 F.. = .... ...(..)+ ..(..).... ' . 2 .. .. После дифференцирования получаем явное выражение для силы F..: ..(.). .. ..... ...... ' ..... ' ...... ........ ' r F.. = . ++ . (11) ...... .... ...... .... .... .. .. Выражение в скобках является скалярной частью производной потенциала взаимодействия: .... ..... ...... ' ..... ' ...... ........ ' =++ . (12) .... ...... .... ...... .... .... Важно отметить структуру полученного выражения: оно содержит два слагаемых, связанных с энергией погружения, которые, вообще говоря, асимметричны относительно типов атомов. Первое слагаемое описывает изменение энергии атома .. за счет изменения его электронной плотности, создаваемой атомом ... Второе слагаемое, симметрично, отражает вклад атома .. в электронную плотность и энергию атома ... Такая форма записи подчеркивает многочастичный характер взаимодействия в методе погруженного атома. Реализуем полученное выражение для сил, используя описанную ранее схему интерполяции сплайнами Эрмита. Для компактности записи введем следующие обозначения для сплайнов: • .... ..(....) — сплайны, аппроксимирующие парную часть потенциала .. и ..(....) и .... функцию электронной плотности .. на некотором интервале [...., ....+1]; • ... (....) — сплайн, аппроксимирующий энергию погружения . на некотором .. интервале [...., ....+1]. Здесь .... =(.. . ....)/... и .... =(.. . ....)/... – соответствующие безразмерные локальные координаты внутри ячеек сетки, .. . [0,....], .. . [0,... ]. Тогда, подставляя введенные обозначения в выражение (12) и учитывая выражение для производной сплайна(7),получаемитоговуюформулудляприближенноговычисленияскалярной части производной потенциальной энергии: .... 1 (.).' 1 = .... . )(.... .. ) ' (...... )(.... (...... ..) ' (....)+(... ..) ' (....)+ .... ...... ... (13) .. + 1(..) ' (....)+ ..(max(...3 , ...3)). .. ... Погрешность данной аппроксимации соответствует третьему порядку точности. Коэффициенты для сплайнов определяются динамически на каждом шаге интегрирования в зависимости от текущих значений модуля межатомного расстояния .. и плотностей ...., ..... 15 Моделирование NPT ансамбля Моделирование в изотермо-изобарическом ансамбле (константный по числу частиц, давлению и температуре) требует одновременного поддержания заданной температуры и давления в системе. Для этого применяются специальные алгоритмы термо-и баростатирования, которые модифицируют скорости частиц и координаты системы соответственно. Для поддержания заданной температуры в системе используется термостат Берендсена [11]. Данный алгоритм имитирует тепловую ванну, в которую помещена система, через масштабирование скоростей всех частиц системы на каждом шаге интегрирования с помощью коэффициента .., который рассчитывается на основе разности между текущей и целевой температурой. ..+1/2 Термостатирование применяется после вычисления новых скоростей v в .. половинном шаге по времени в схеме Верле (5). Алгоритм расчёта скоростей, с учетом применения термостатирования, следующий: 1. Длякаждойчастицырассчитываетсяноваяскорость,сучетомсил,массычастицы и внешних сил. 2. Полученная скорость масштабируется с коэффициентом ..: v. ... T0 . T .. = 1+ ..T T+ .. где ... – шаг интегрирования, ..T – параметр релаксации термостата, T0 и T – целевая и текущая температуры соответственно, .. – небольшая положительная константа, предотвращающая деление на ноль при T=0. 3. Масштабирование скоростей обеспечивает экспоненциальную релаксацию температуры системы к целевому значению с характерным временем ..T. Такой подход эффективно поддерживает среднюю кинетическую энергию системы близкой к желаемой, что соответствует поддержанию заданной температуры в NPT или NVT ансамблях. Для контроля давления в системе используется баростат Берендсена, который периодическимасштабируеткоординаты частиц относительно центра масс системы, а также изменяет размер моделируемой области. Алгоритм поддерживает как изотропное, так и анизотропное баростатирование. В первом случае баростат ориентируется на значение гидростатического напряжения. Во втором: на каждое из замкнутых ПГУ направлений устанавливается собственный баростат, который масштабирует систему, основываясь на значении компоненты тензора напряжения .., соответствующей направлению. В большинстве постановок значения указанных величин усредняются, что помогает минимизировать флуктуации моментальных значений. Баростатирование применяется после вычисления новых радиус-векторов r.., перед вычислением сил в схеме Верле (5). Алгоритм работы баростата следующий: 1. На каждом шаге интегрирования аккумулируются текущие значения давления и 16 объема системы. 2. Вычисляется коэффициент масштабирования ..: .. =1 . ..P ... (P0 . P), ..P где .. – сжимаемость материала, .... – параметр релаксации баростата, P0 и P – целевое и текущее давление. 3. Все координаты частиц масштабируются относительно центра масс системы: v r.. = R.... +(r.. . R.... ) 3 ... Для анизотропного баростата .. – вектор, компоненты которого вычисляются: ... (.). .... =1 . ..P ...... . ......0 , .. = ..,..,.., ..P где ..0 – целевое, a ...... – текущее значения нормального давления по некоторому .... направлению. Данный механизм позволяет системе адаптировать свой объем для поддержания заданного давления, обеспечивая корректное моделирование в условиях постоянного внешнего давления, что необходимо для NPT-ансамбля. Критерии стационарности В молекулярно-динамическом моделировании критическое значение имеет определение момента достижения системой равновесного состояния. Для этой цели реализована система композитных критериев останова, которые отслеживают различные термодинамические параметры системы. Каждый критерий использует скользящее окно статистических данных для анализа устойчивости соответствующих величин. Основусистемысоставляюттри типакритериев:целевой сходимости,контроля стандартного отклонения и контроля дрейфа. Эти критерии комбинируются в зависимости от выбранного термодинамическогоансамбля, формируякомплексную оценку состояния равновесия системы. Для моделирования NVE-ансамбля используется только критерий дрейфа энергии, что отражает фундаментальное требование сохранения энергии в изолированной системе. В NPT-ансамбле применяется наиболее комплексный критерий, включающий контроль давления (относительное стандартное отклонение), температуры (целевое значение), объема (стабильность) и дрейфа энергии. Размеры статистических окон варьируются от 4 пикосекунд для температуры и давления до 20 пикосекунд для дрейфа энергии, что соответствует физическим временам релаксации этих параметров. Комбинированный критерий считается удовлетворенным только тогда, когда все составляющие его проверки возвращают положительный результат. Система также предоставляет детализированную информацию о прогрессе каждой проверки, что позволяетотслеживатьпроцессустановленияравновесияпоотдельнымпараметрам. 17 Тестирование алгоритма Численные эксперименты проводились на вычислительном кластере K60, состоящем из 86 узлов. Каждый узел оснащен процессором Intel Xeon E5-2690 (14 физических ядер, базовая частота 4.00 ГГц) и 128 ГБ оперативной памяти. Узлы объединены высокоскоростнойсетью 10 ГБ/c. Программныйкод былскомпилирован с использованием компилятора IntelLLVM 2024 и библиотеки Intel-MPI 2021.17.2. Для функций .., .., зависящих от .., были сгенерированы сетки, состоящие из 20 тыс. узлов, ... =3.75 · 10.5, для функции энергии встраивания . была сгенерирована сетка по .., состоящая из 10 тыс. узлов, ... =3.5 · 10.3. Оценка точности и ускорения Для валидации численной схемы с интерполяцией потенциала были проведены тесты, направленные на определение погрешности вычисления компонент потенциала и сил, а также на сопоставление времени выполнения операций при аналитическом и табличном способах нахождения значений функций. В качестве тестируемой постановки был рассмотрен кристалл никеля, размером 24 . 24 . 24 элементарных ГЦК ячеек, замкнутый по всем направлениям периодическими граничными условиями. Количество атомов в такой системе – 56 тыс. Для количественной оценки точности интерполяции использовалась метрика средней абсолютной ошибки (MAE): .. .. 1 MAE = |.... . .....|, .. .. где .... и ..... — точное (аналитическое) и приближенное (интерполированное) значения соответственно, а .. — объем выборки. Сбор статистики осуществлялся Таблица 1 MAE для функций .., ., .. и их производных Функция Порядок ошибки .. Порядок ошибки .. ' .. . .. ...14 ...13 ...14 ...10 ...10 ...11 непосредственно в ходе моделирования. На каждом временном шаге для текущей конфигурации системы вычислялись значения функций потенциала EAM (.., ., ..) и их производных (..../...., .../...., ..../....) двумя способами: аналитически и с использованием интерполяции. Полученные массивы данных сопоставлялись 18 согласно приведенной выше метрике. Результаты расчета ошибок, усредненные по нескольким независимым итерациям, представлены в Таблице 1. Для сравнения времени, необходимого для аналитического и интерполяционного расчёта функций, использующихся в потенциале EAM, и их производных, все части, относящиеся расчёту, изолировались, измерялось суммарное время их выполнения и количество их вызовов. Используя количество вызовов и суммарное время определялось среднее время выполнения. Также вычислялось отношение времени, затраченного на аналитическое вычисление, к времени интерполяционного расчёта. Для проведения этих вычислений использовалась система, описанная выше, результаты приведены в Таблице 2. Затем предложенная в работе схема расчёта сил с помощью интерполяции Таблица 2 Ускорение при использовании интерполяции Функция Время расчета .., нс Время расчета ..., нс Ускорение (раз) .. . .. ..../.... .../.... ..../.... 51 37 68 79 30 118 29 23 46 33 22 45 1.8 1.6 1.5 2.4 1.4 2.62 кубическими сплайнами была внедрена в расчётный комплекс. Далее были проведены сравнительные расчёты, в которых оценивалось быстродействие программы с аналитическим вычислением сил и программы, использующей интерполяции. Для тестирования использовался кристалл никеля, замкнутый ПГУ по всем направлениям, количество атомов – 55296. Измерялось время выполнения одной итерации расчёта сил, результаты приведены на рис. 4. Проведенный анализ демонстрирует эффективность использования кубических сплайнов для интерполяции компонент EAM потенциала. Их использование никак не сказывается на точности, в то же время ускорение вычислений очевидно. Оценка эффективности и ускорения параллельного алгоритма Для тестирования были выбраны системы, представляющие собой кристаллы, размерами 24, 40 и 100 элементарных ГЦК ячеек по всем направлениям, на границах использовались периодические граничные условия. Системы содержат 19 Рис. 4. Сравнение времени аналитического/интерполяционного расчёта 56 тыс., 256 тыс., 4 млн атомов никеля соответственно. Результаты измерения ускорения и эффективности приведены на рис. 5 и рис. 6 соответственно. Графики демонстрируют, что с увеличением размера системы масштабируемость алгоритма значительно улучшается: для наиболее крупной задачи (1003) эффективность параллелизации остается выше 50% даже при использовании 72 ядер, обеспечивая ускорение более чем в 42 раза. На малых системах (243 и 403) наблюдается более резкое падение эффективности уже после 16–32 процессов, что объясняетсядоминированиемнакладныхрасходовнакоммуникациинадполезными вычислениями в малых поддоменах. Заметный излом на графиках в районе перехода от внутриузловых вычислений к использованию нескольких машин (при числе процессов > 6-12) косвенно указывает на влияние сетевых задержек межмашинного обмена, которое становится критичным при уменьшении вычислительной нагрузки на ядро. Таким образом, разработанная программа демонстрирует хорошую слабую масштабируемость, эффективно утилизируя вычислительные ресурсы кластера при достаточной загрузке каждого ядра. Тестирование алгоритма для NPT-ансамбля Для тестирования корректности работы реализации вычисления потенциала, обмена частицами, баростата и термостата был предпринят расчёт объемного материала. В качестве типов был выбран никель и медь. Системы задавались как кристаллы размером 24 элементарных ГЦК ячеек по всем направлениям. Скорости были сгенерированы из распределения Максвелла для температуры 273.15K.В качестве константы решетки для никеля была взята величина 3.5196 . A, для меди – 3.615 A. Термостат был настроен на температуру .T0 = 273.15K, баростат – на P0 =0MPa давления. Моделирование в ансамбле NPT было запущено с шагом 2 фс 20 Рис. 5. График ускорения Рис. 6. График эффективности по времени. Такой шаг был выбран в силу умеренной динамичности постановки. Моделирование продолжалось в течение 200 пс. Затем для оценки состояния системы был проведен расчёт микроканонического ансамбля NVE с аналогичным шагом в течение 25 пс. В ходе моделирования обоих ансамблей наблюдались моментальные значения температуры, объема, тензора напряжения, потенциальной, кинетической и суммарной энергий системы. Результаты измерений приведены на рис. 7, 8. Для анализа температуры и давления были рассчитаны бегущие средние для заданных величин. Для удобства демонстрации графики для температуры и давления систем объединены. Верхнее изображение соответствует гомогенной системе никеля, нижнее – медной системе. Как видно на графиках, системы Рис. 7. Профиль температуры Рис. 8. Профиль давления после начальных 25 пс нашли стабильное положение для заданной температуры и давления, затем на протяжении оставшегося времени расчёта NPT-ансамбля находились в окрестности данного положения. Средние температура и давление соответствуют целевым, а моментальные имеют размах ±3K для температуры и ±10MPa для давления. Такие значения согласуются с заданным размером системы, шагом интегрирования, ансамблем. 21 Моделирование одноосной пластической деформации композитов Ni/Cu различных структур Нанослойные металлические композиты привлекают значительный исследовательский интерес благодаря своим выдающимся механическим и физическим свойствам [18, 19, 20]. В частности, прочность таких систем может достигать 1/2 от теоретического предела. Однако существенным ограничением для их широкого инженерного применения остается крайне низкая пластичность при растяжении (обычно менее 4%). Основной причиной низкой пластичности является деформационная несовместимость между компонентами с высоким механическим контрастом. В гомогенных структурах с одинаковой толщиной слоев это приводит к локализации сдвига или экструзии мягких слоев относительно твердых. Одним из перспективных подходов к решению данной проблемы является создание гетерогенных нанослойных структур, сочетающих слои существенно разной толщины. В такой архитектуре тонкие интерфейсные слои могут выступать в роли катализаторов дислокационной активности, способствуя более равномерному распределению дислокаций в твердой фазе (никеле), что обеспечивает когерентную деформацию всего композита [21]. При помощи метода молекулярной динамики и изложенных алгоритмов будут исследованы два типа структур, состоящих из слоев никеля и меди. Первая модель представляетсобойгомогеннуюструктуру,состоящуюизчередующихсяслоевмеди и никеля толщиной 24 нм. Вторая модель реализует гетерогенную, в которой между 22 основными слоями (24 нм) интегрированы тонкие сдвоенные слои Cu/Ni толщиной 5 нм. Описанные модели приведенные на рис. 9. Кристаллографическая ориентация расчетной ячейки была выбрана таким образом, чтобы направления [1.10], [112], [1..11] были сонаправлены с осями .., .., .. соответственно. Геометрические размеры расчетной области составили 19.43 . 21.7 нм по осям .. и ... Для генерации атомных конфигураций использовался программный пакет ATOMSK [22]. Взаимодействие между атомами описывалось с помощью потенциала EAM. Для приведения систем в состояние локального минимума использовался алгоритм наискорейшего спуска. Затем проводилось установление термодинамического равновесия в течение 700 пс в изотермо-изобарическим ансамбле (NPT) при температуре 300 К и нулевом нормальном давлении по всем направлениям. Для контроля термодинамических параметров применялись алгоритмы термостата и баростата Берендсена. После этапа релаксации проводилось одноосное сжатие вдоль оси .. с постоянной скоростью деформации .109/с. При этом по осям .. и .. поддерживались условия отсутствия напряжений. Рис. 10. Интерфейс Ni/Cu Временной шаг интегрирования был выбран равным после релаксации 1 фс. Визуализация микроструктурных изменений и анализ эволюции дислокаций осуществлялись с помощью пакета OVITO и алгоритма анализа дефектов (DXA). По завершении этапа релаксации на интерфейсах {111} во всех исследуемых моделях формируются периодические треугольные дислокационные сетки. Как показано на рис. 10, эта сеть разделяет поверхность раздела на две основные структурные области: зоны с сохраненной ГЦК-укладкой атомов и зоны внутренних дефектов упаковки (ISF). Согласно алгоритму анализа дефектов DXA, области дефектов упаковки характеризуются локальным ГПУ-упорядочением атомов (красный цвет), в то время как границы этих областей и их узлы (белый цвет) представляют собой дислокации, где атомная структура не соответствует ни одной из стандартных решеток. Большая часть дислокационной сети представлена частичными дислокациями Шокли 1/6.112., однако также наблюдается небольшое количество идеальных дислокаций 1/2.110. и дефектов других типов. Характерная треугольная форма областей ГЦК и ГПУ обусловлена тем, что в плоскости {111} дислокации несоответствия распространяются под углом 60. друг к другу. Формирование такой конфигурации является основным механизмом релаксации упругих напряжений, возникающих из-за несоответствия констант решеток меди и никеля. Поскольку данное состояние интерфейса обладает минимальной избыточной энергией по сравнению с идеальным сопряжением решеток, она 23 остается стабильной после завершения процесса полной релаксации системы. По завершении процесса релаксации обе исследуемые системы подвергаются одноосному сжатию вдоль оси .. с постоянной скоростью деформации .109/с. Сравнения состояния структур при одинаковых степенях деформации приведены на рис. 11, 12. На начальном этапе нагружения, вплоть до уровня деформации .. =0.048, дислокации остаются локализованными в плоскостях раздела фаз, сохраняя периодическую треугольную сетку, сформированную после релаксации. В этой стадии материал деформируется упруго, а напряжения концентрируются в узлах дислокационной сети интерфейса. При дальнейшем увеличении нагрузки в обеих моделях начинается процесс нуклеации и выхода дислокаций из плоскостей раздела в объем более мягкой фазы – меди. В гомогенной структуре пластическая деформация вплоть до уровня сжатия в 8% практически полностью обеспечивается за счет развития системы дефектов упаковки исключительно в слоях меди, в то время как слои никеля остаются в состоянии упругой деформации. Такое значительное запаздывание активации пластичности в твердой фазе является характерным признаком деформационной несовместимости слоев с высоким механическим контрастом. Гетерогенная система демонстрирует принципиально иной механизм перехода к пластическому течению. Благодаря интеграции тонких интерфейсов толщиной 2.5 нм, процесс генерации дефектов в никеле активируется значительно раньше 24 – уже при уровне сжатия около 7%. Присутствие тонких слоев меди способствует ускоренной эволюции дислокационной сети на интерфейсах и формированию новых узлов, которые становятся эффективными источниками нуклеации дислокаций в слоях никеля. Это позволяет как тонким прослойкам, так и объемным слоям никеля включаться в процесс пластической деформации почти одновременно с медью. При достижении высоких степеней деформации в 8.4% и 9.6% различия в поведении двух типов структур становятся еще более выраженными. В гомогенном образце сохраняется значительный градиент плотности дефектов между слоями, что указывает на локализацию деформации преимущественно в мягкой фазе и риск потери механической устойчивости границ раздела. В гетерогенном же случае при аналогичных нагрузках наблюдается практически полная синхронизация дислокационной активности в Cu и Ni. Визуальный анализ микроструктур подтверждает достижение когерентной совместной деформации компонентов. Качественная оценка эволюции дефектов позволяет заключить, что внедрение дополнительных прослоек эффективно сглаживает влияние высокого механического контраста между металлами. Такой подход способствует более равномерному распределению деформации по всему объему композита, обеспечивая высокую совместимость слоев, что критически важно для предотвращения преждевременного разрушения материала. Количественное подтверждение выявленных закономерностей представлено на рис. 13. На графике для гомогенной структуры отчетливо виден значительный 25 разрыв в моменте активации пластического течения: плотность дислокаций в слое меди начинает расти значительно раньше, чем в никеле. Существенная разница в возникновении первых дефектов и итоговой плотности (где значения для Cu почти в два раза превышают показатели Ni при максимальных нагрузках) является индикатором деформационной несовместимости компонентов в стандартных нанослоях. В то же время данные для гетерогенной структуры демонстрируют качественное изменение поведения системы. Кривые плотности дислокаций для меди и никеля практически совпадают на начальном этапе пластической деформации и остаются максимально сближенными на протяжении всего процесса нагружения. Результаты эксперимента показывают, что внедрение тонких прослоек в нанокомпозит, содержащий мягкие и твердые фазы, позволяет добиться равномерности распределения дислокаций при пластической одноосной деформации. Дислокации, зародившиеся в тонких слоях меди, взаимодействуют с границами раздела, создавая дополнительные узлы нуклеации для твердой фазы никеля. В результате материалы с высоким контрастом твердости начинают деформироваться синхронно, что является ключевым фактором для повышения пластичности и прочности современных металлических композитов. Константы Таблица 3 Параметризация потенциала EAM Параметр Ni Cu .... 0.2488746 0.2556162 .... 2.007018 1.554485 .... 27.562015 21.175871 .... 23.42771275 17.99949035 .. 8.383453 8.12762 .. 4.471175 4.334731 .. 0.429046 0.39662 .. 0.633531 0.548085 .. 0.443599 0.308782 .. 0.820658 0.756515 .. 20 20 .. 20 20 ..0 -2.693513 -2.170269 ..1 -0.076445 -0.263788 ..2 0.241442 1.088878 ..3 -2.375626 -0.817603 ..0 -2.7 -2.19 ..1 0 0 ..2 0.26539 0.56183 ..3 -0.152856 -2.100595 .. -2.699346 -2.186568 .. 0.469 0.31049 Таблица 4 Характеристики материалов Параметр Ni Cu ..0 0.35196 0.3615 ........ 0.75 0.75 .. 97.46 105.52 ..P 50 50 ..P 0.1 0.1 ..T 1 1 Заключение На основе модели, использующей метод молекулярной динамики, алгоритмов связных клеточных списков [15], списков Верле [9], а также интерполяции кубическими сплайнами был реализован параллельный программный комплекс, способный выполнять указанные задачи моделирования. Оптимизирован алгоритм списков связных ячеек, что позволило ускорить межпроцессорный обмен данными, который реализован на основании алгоритма шестиступенчатого обмена данными [1, 17], минимизирующего объем передаваемой информации. Реализованы алгоритмы термостата и баростата Берендсена [11], позволяющие моделировать изотермо-изобарический (NPT) статистический ансамбль. Проведены сравнения точности/времени выполнения для аналитического и интерполяционного расчёта сил, которые подчёркивают корректность используемого метода, как и необходимость его использования для крупномасштабных систем. Проведены расчёты релаксации объемного однородного материала,состоящегоизатомовNi,Cu,встатистическомансамблесподдержанием заданной температуры и давления (NPT). Затем на основании полученных данных системы рассчитаны в ансамбле с сохранением полной энергии (NVE). Сравнительные графики, приведенные на рис. 6, 7 показали, что системы нашли свои квазистационарные состояния. Проведено моделирование композитного материала Ni-Cu двух геометрий, состоящих из 1.8 · 106 и 2.3 · 106 атомов. Расчёт проводился в ансамбле NPT, давление и температура контролировались с помощью баростата и термостата Берендсена.Послеуравновешиваниямоделировалосьодноосноесжатие.Результаты работы подтверждают, что использование гетерогенных прослоек способствует достижениюсопоставимогоуровняплотностидислокацийвмягкойитвердойфазах. Это обеспечивает высокую деформационную совместимость слоев, что находится в соответствии с выводами работ [21, 23, 24, 25, 26]. 28 519.688 QZWBNA Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, проект № 25-71-20016, https://rscf.ru/project/25-71-20016/ МД металлические нанокомпозиты параллельность MD metalic nanolayered composites parallelism Allen M.P., Tildesley D.J. Computer Simulation of Liquids. Second edition. Oxford: Oxford University Press, 2017. Allen M. P. Introduction to Molecular Dynamics Simulation // Computational Soft Matter: From Synthetic Polymers to Proteins / Ed. by N. Attig, K. Binder, H. Grubmüller, K. Kremer. Jülich: John von Neumann Institute for Computing, 2004. Vol. 23 of NIC Series. P. 1–28. Sutmann G. Classical Molecular Dynamics // Quantum Simulations of Complex Many-Body Systems: From Theory to Algorithms / Ed. by J. Grotendorst, D. Marx, A. Muramatsu. Jülich: John von Neumann Institute for Computing, 2002. Vol. 10 of NIC Series. P. 211–254. Daw M.S., Foiles S.M., Baskes M.I. The embedded-atom method: a review of theory and applications // Materials Science Reports. 1993. Vol. 9, no. 7-8. P. 251–310. Zhou X.W., Wadley H.N., Filhol J.-S., Neurock M.N. Modified charge transfer-embedded atom method potential for metal/metal oxide systems // Physical Review B. 2004. Vol. 69, no. 3. P. 035402. Message Passing Interface Forum. MPI: A Message-Passing Interface Standard Version 4.0: Tech. rep.: High Performance Computing Center Stuttgart (HLRS), 2021. — June. URL: https://www.mpi-forum.org/docs/mpi-4.0/mpi40-report.pdf. Stukowski A. Visualization and analysis of atomistic simulation data with OVITO-the Open Visualization Tool // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. 2010. Vol. 18, no. 1. P. 015012. Frenkel D., Smit B. Understanding Molecular Simulation: From Algorithms to Applications. 1 edition. San Diego: Academic Press, 1996. ISBN: 978-0122673702. L. Verlet. Computer "experiments"on classical fluids. I. Thermodynamical properties of Lennard-Jones molecules // Physical Review. 1967. Vol. 159, no. 1. P. 98–103. Swope W.C., Andersen Hans C., Berens Peter H., Wilson Kent R. A computer simulation method for the calculation of equilibrium constants for the formation of physical clusters of molecules: Application to small water clusters // The Journal of Chemical Physics. 1982. Vol. 76, no. 1. P. 637–649. Berendsen H.J.C., Postma J.P.M., van Gunsteren W.F. et al. Molecular dynamics with coupling to an external bath // The Journal of Chemical Physics. 1984. Vol. 81, no. 8. P. 3684–3690. Fan Zh., Pereira L.F.C., Wang H.-Q. et al. Force and heat current formulas for many-body potentials in molecular dynamics simulations with applications to thermal conductivity calculations // Physical Review B. 2015. — Sep. Vol. 92, no. 9. P. 094301. Gabourie A.J., Fan Zh., Ala-Nissila T., Pop E. Spectral decomposition of thermal conductivity: Comparing velocity decomposition methods in homogeneous molecular dynamics simulations // Physical Review B. 2021. — May. Vol. 103, no. 20. P. 205421. Quentrec B., Brot C. New method for searching neighbors in molecular dynamics computations // Journal of Computational Physics. 1973. Vol. 13, no. 3. P. 430–432. Griebel M., Knapek S., Zumbusch G. Numerical Simulation in Molecular Dynamics: Numerics, Algorithms, Parallelization, Applications. Berlin, Heidelberg: Springer, 2007. Vol. 5 of Texts in Computational Science and Engineering. ISBN: 978-3-540-68094-9. Gropp W., Lusk E., Skjellum A. Using MPI: Portable Parallel Programming with the Message-Passing Interface. 3 edition. MIT Press, 2014. Plimpton S. Fast parallel algorithms for short-range molecular dynamics // Journal of Computational Physics. 1995. Vol. 117, no. 1. P. 1–19. Zhu X.Y., Liu X.J., Zong F. et al. Microstructure and mechanical properties of nanoscale Cu/Ni multilayers // Materials Science and Engineering: A. 2009. Vol. 527, no. 4-5. P. 1243–1248. Lin Zh., Pang W., Xin K. et al. The effect of loading strain rates on deformation behavior of Cu/Fe composite // Physics Letters A. 2021. Vol. 388. P. 127070. An M.R., Song H.Y., Deng Q. et al. Influence of interface with mismatch dislocations on mechanical properties of Ti/Al nanolaminate // Journal of Applied Physics. 2019. Vol. 125, no. 16. P. 165307. Wang Y., Li J., Lu W. et al. Enhanced co-deformation of a heterogeneous nanolayered Cu/Ni composite // Journal of Applied Physics. 2019. Vol. 126, no. 21. P. 215111. Hirel P. Atomsk: A tool for manipulating and converting atomic data files // Computer Physics Communications. 2015. Vol. 197. P. 212–219. Li B., Li J., Su X., Cui Y. Molecular dynamics study on structural and atomic evolution between Au and Ni nanoparticles through coalescence // Research Square. 2021. Preprint. Diao J., Gall K., Dunn M. L. Yield strength of gold nanowires // Nature Materials. 2003. Vol. 2, no. 10. P. 656–660. Wu H.A. Molecular dynamics study of the mechanics of metal nanowires // European Journal of Mechanics-A/Solids. 2006. Vol. 25, no. 2. P. 370–377. Yashiro K., Naito M., Tomita Y. Atomic-scale characterization of misfit dislocation networks in Cu/Ni interface // International Journal of Mechanical Sciences. 2017.Vol. 133. P. 593–599. https://keldysh.ru/papers/2026/prep2026_19.pdf