1-20 RAR 0009-0003-1429-1187 Калиничев Никита Игоревич Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН roklefit@mail.ru Kalinichev N.I. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS Моделирование процесса засыпки объёма реактора гранулами катализатора Modeling the process of filling a reactor volume with catalyst granules В работе рассматриваются основные подходы к решению задачи моделирования поведения гранулированных сред с использованием метода дискретных элементов. Рассмотрены различные подходы к реализации контактных моделей, видов представления гранул, видов представления границ, разностных схем, а также способы оптимизации вычислений. Результатом данной работы является моделирование засыпки объёма гранулами со сложной геометрией, что позволяет утверждать о применимости выбранного подходя для последующего моделирования засыпки гранулами нужных форм. This paper overviews the main approaches of modeling the behavior of granular solids using the discrete element method. Various approaches to implementing contact models, granule representation, boundary representation, difference schemes, and computational optimization methods are considered. The result of this work is the modeling of filling a volume with granules of complex geometry, which allows us to confirm the applicability of the chosen approach for subsequent simulation of granule fills of desired shapes. 1. Введение В настоящее время существует большая потребность в продуктах переработки нефти как источнике экономичной энергии. Ввиду их экономических и качественных преимуществ они являются незаменимой частью многих производственных и поставочных цепей [1]. Для переработки углеводородов в нефтяной промышленности используются реакторы, наполненные гранулами катализаторов [2]. Примером может выступить дизельное топливо. Эксплуатация реактора происходит по следующему алгоритму: в реактор засыпаются гранулы катализатора, реактор закрывается, реактор работает, на катализаторе нарастают насаждения, производительность ректора начинает падать, реактор открывают, меняют катализатор и цикл повторяется снова. В изложенном выше процессе единственной доступной информацией для инженеров является состояние гранул на момент начала и конца их жизненного цикла, что значительно затрудняет исследование их промежуточного состояния [3]. Ввиду невозможности прямого наблюдения за протекающими процессами, связанной с непрозрачностью и высокой агрессивностью углеводородов, а также высоких затрат на открытие и перезапуск реактора в процессе его работы, единственным экономически обоснованным способом исследования переходных процессов является их компьютерное моделирование. При помощи физической модели возможно изучить механизм деградации гранул для последующий модификации их формы и/или метода засыпки, с целью увеличения срока службы катализатора. Чтобы изучать процессы деградации помимо обобщенного представления гранул, следует построить физическую модель для симулирования засыпки гранул, что позволит найти физически обоснованные параметры: функцию изменения пористости в процессе деградации, функцию изменения давления и скорости потока жидкости через гранулы – для последующей подстановки их в усреднённую модель. Основой физической модели засыпки гранул является метод дискретных элементов, который успешно используется для решения подобных задач [4, 5]. В данной работе исследованы основные подходы, связанные с реализацией метода дискретных элементов, а также изложены результаты применения данного метода для задачи засыпки гранул катализатора различной формы. 2. Метод дискретных элементов 2.1. Общее описание метода Метод дискретных элементов (МДЭ) основан на втором законе Ньютона и методах динамики частиц [6]. Таким образом, для каждой частицы решается 4 система уравнений: ..v.. ..r.. .... = F.., = v.., .... .... (1) ..L.. ..R.. = M.., =[....]R.., .. =1...., .... .... . где .... – масса i-й частицы, v.. – вектор скорости i-й частицы, F.. – вектор силы действующий на i-ю частицу, r.. – центр масс i-й частицы, L.. = I...... – момент углового импульса, .... – угловая скорость i-й частицы, I.. – тензор инерции i-й частицы, M.. – вращающий момент, R.. – матрица поворота i-й частицы, вида: . . R.. = .... ....,.... ....,.... ....,.... ....,.... ....,.... ....,.... .... , ....,.... ....,.... ....,.... [....]– матрица векторного произведения угловой скорости, такая, что: . . . [....] . = .... 0 .....,.. ....,.. ....,.. 0 .....,.. .... . .....,.. ....,.. 0 Сила и момент могут быть рассчитаны как: .. .. F.. = F..............,.... + F................,.., M.. = M..............,.... + M..............,.., (2) .. .. где F..............,.... – сила контактного взаимодействия между i-й и j-й частицами, F................,.. – внешняя сила (вес; сила лобового сопротивления и др.), M..............,.... – момент, полученный при взаимодействии между i-й и j-й частицами, M..............,.. – момент, образованный внешней силой, действующей на i-ю частицу. Отметим, что i-я частица описывается следующими динамическими характеристиками: положение центра масс частицы r..(..), матрица поворота R..(..), линейная скорость v..(..) и угловая скорость ....(..) гранулы (рис. 1). Данный подход позволяет рассматривать множество гранул как облако материальных точек. Однако для учета формы при определения действующих контактных сил необходимо выбрать модель столкновений между парами частиц. 2.2. Модели столкновений Итак, главной особенностью МДЭ является то, что объекты имеют геометрическую форму. Это приводит к необходимости описания модели 5 Рис. 1. Динамические характеристики частицы A. взаимодействий между частицами при их пересечении. Основными моделями столкновений являются следующие: • Подход с использованием непрерывных функций для разрешения пересечений (Метод мягких частиц) [7]. В данном подходе, при разрешении пересечений, частицы могут быть аппроксимированы при помощи упругих пружин. Таким образом, частицы могут проникать в друг друга на небольшое расстояние в процессе моделирования. Пример эволюции системы гранул в методе мягких частиц изображен на рис. 2; Рис. 2. Пример эволюции системы гранул в методе мягких частиц • Подход с использованием разрывных функций для разрешения пересечений (Метод жестких частиц) [8, 9]. В данном подходе, при разрешении пересечений, гранулы не могу проникать друг в друга. Для обеспечения непререкаемости на каждом шаге моделирования необходимо попарно раздвигать пересекающиеся гранулы. Это может быть интерпретировано как скачкообразное изменение силы. Таким образом, особенно важно задать алгоритм для определения порядка попарного разрешения пересечений. Это позволит обеспечить одинаковые результаты моделирования при повторных расчетах. Пример эволюции системы гранул в методе жестких частиц изображен на рис. 3. 6 Рис. 3. Пример эволюции системы гранул в методе жестких частиц На рис. 4 синей линией изображен возможный вид функции силы для метода мягких частиц. Данная сила возрастает до максимального значения в малой области с увеличением расстояния перекрытия между гранулами. Красная линия описывает функцию силы для метода жестких частиц. В отличие от метода мягких частиц данная функция изменяется скачком. Рис. 4. Функция возрастания силы в зависимости от модели столкновений В табл. 1 приведено сравнение описанных моделей столкновения. Таким образом, если требуется гарантировать непересекаемость частиц, необходимо задать порядок разрешения пересечений для использования негладкой модели столкновений. Если небольшое пересечение является приемлемым, то можно использовать гладкую модель пересечений с произвольным порядком разрешения пересечений. Также существуют гибридные методы, комбинирующие изложенные выше [10]. В подобных методах метод жестких частиц используется для разрешения пересеченийвподобластяхсмалойплотностьюгранул,посколькувданныхобластях столкновения редки и парное разрешение является устойчивым и быстрым. В иных случаях выгоднее использовать метод мягких частиц ввиду его стабильности при разрешении множественных пересечений. Таблица 1 Характерные особенности моделей столкновений Особенность Метод мягких частиц Метод жестких частиц Разрешение пересечений Все со всеми Парное Порядок вычисления столкновений Произвольный Необходим алгоритм определяющий порядок до вычисления Возможность пересечения частиц Могут пересекаться Не могут пересекаться 2.3. Классификация видов представлений гранул После выбора модели столкновений необходимо выбрать тип описания формы гранул. Основными являются следующие: • Сферический МДЭ, преимуществом которого является быстрота вычислений: – Гранулы являются сферами (рис. 5а) [11]; – Гранулы приближаются множеством сфер (рис. 5б) [12]; • Блочный МДЭ / не сферический МДЭ, преимуществом которого является более точное определение формы: – Использование поверхностных сеток (рис. 5) [13]; – Использование фигур (не включая сферу), для которых известно аналитическое представление – граничное представление объемов (рис. 5г) [11]; – Объединение нескольких выпуклых фигур для представления вогнутой (рис. 5д) [11]; – Использование знаковых полей дальностей для описания гранул (риc. 5e) [11]. Использование знаковых полей для описания форм является наиболее общим подходом позволяющим описывать гранулы с различной геометрией, включая вогнутые. Стоит отметить, что для точного описания сложной геометрии с помощью множества сфер или выпуклых фигур может потребоваться использование большого ихчиславобластяхсмелкойгеометрией,чтоприводитувеличениювычислительных затрат [11]. Также существуют подходы, объединяющие гранулы с различными представлениями формы [13]. Применение различных типов позволяет ускорять 8 вычисления пересечений. Например, при одновременном моделировании движения сфер и ковша; первые можно описывать аналитически, а ковш – при помощи поверхностной сетки. а) Сфера б) Множество сфер г) Граничное в) Поверхностные сетки фигур представление е) Использование знакового поля дальностей Рис. 5. Примеры представлений гранул 9 2.4. Классификация граничных условий Основными видами являются следующие: • Периодические границы: – Использование в системах, где необходимо моделирование эволюции плотно заполненной системы [14]; – Использование в системах, где необходимо моделирование постоянного потока гранул внутри некоторого объёма [15]; • Твёрдые границы: – Представление границ через аналитически заданные геометрические формы – геометрически заданные граничные условия [16, 17]; – Использование неподвижных частиц в качестве границ – граничные условия в виде фиксированных частиц [18]. В зависимости от постановки задачи, в модели системы может потребоваться введение ограничений на положение гранул. Данное ограничение реализуется посредством введения границ, описание которых может отличаться от моделей описания гранул. 3. Численные методы 3.1. Методы интегрирования уравнения Ньютона Для численного интегрирования системы уравнений (1) может использоваться схема Верле в скоростной постановке. Для расчета скоростей и центра масс системы элементов она имеет следующий вид: F.. F..+1 + F.. .. ...2 .. ..+1 .. ....+1 .. .. r .. = r .. + v .. ... + , v .. = v .. +..., .. =1,...,.., (3) .... 22.... где ... – шаг интегрирования (по времени), n – номер шага. Схема Верле обеспечивает второй порядок точности при интегрировании и требует только одно вычисление сил на одну итерацию. Таким образом, данная схема интегрирования часто используется совместно с МДЭ ввиду хорошего баланса между вычислительной точностью, устойчивостью и малыми затратами на вычисление [15]. Помимо схемы Верле также существует большое количество устойчивых методов интегрирования уравнений Ньютона, такие как: • Полушаговая схема [19]: F0 F.. 1/20 .. ..+1/2 ...1/2 .. v = v ..., v .. = v +..., .. .. + .. 2.... .... ..+1 .. ..+1/2 r .. = r .. + v .. ..., .. =1,...,.. ; 10 • Схема интегрирования с аппроксимацией в конечном узле [19]: F.. ..+1 .... ..+1 .. ..+1 v = v +..., r = r + v ..., .. =1,...,... .. .. .. .... .... Описанные выше схемы являются условно устойчивыми и имеют ограниченную по модулю величину ошибки интегрирования [19]. Стоит также отметить, что выбор слишком большого шага по времени может привести к неустойчивости системы, поэтому необходимо выбирать его достаточно малым [15]. Поскольку частицы отличны от материальных точек, помимо скорости и положения, необходимо вычислять изменения угловой скорости и угла поворота (1). Вычислительный алгоритм на основе схемы Верле в этом случае может быть записан как: [.{.}.]. R..+1 = R.. (I.. .1 L.. + M.. ... R.. + .. ..., .. .... ).. .. 2 . (4) M..+1 + M.. L..+1 = L.... .. +..., .... =(I.... ).1L.. .. =1,...,... .... .. .. , 2 Здесь [ · ]обозначена матрица векторного произведения, по аналогии с . представленной в (1). Тензор инерции для i-й гарнулы определяется по формуле: . . ...... I.. = ..(.., .., ..) V .... ..2 + ..2 ..... ..... ..... ..2 + ..2 ..... .... .... .... ...., (5) ..... ..... ..2 + ..2 где V –областьпространства,занимаемая гранулой, ..(.., .., ..) –плотность вгранулы. Значение тензора инерции для гранулы определяется по формуле (5) в начальный момент времени. При дальнейших поворотах актуальное значение тензора инерции может быть рассчитано с помощью матрицы поворота так: I.. = R.. .. I..(R.... ).. . .. Итоговый вычислительный алгоритм предполагает обновление положений и скоростей элементов по расчетным формулам (3), с учетом угловых скоростей и поворотов, полученных по формулам (4). 3.2. Методы оптимизации расчета парных взаимодействий Введём допущение, что гранулы взаимодействуют локально, что справедливо для незаряженных гранул катализатора. Локальность взаимодействий позволяет ввести следующие оптимизации [20]: 11 Список ячеек. Он основан на разбиении пространства на ячейки размером порядка 2-х размеров гранулы и последующего записывания в них индексов гранул, находящихся в них. Данная оптимизация гарантирует, что пересечение гранул возможно, только когда они находятся либо в одной ячейке, либо в соседних. Построениеспискаячеекпроисходитвдваэтапа.Вначалепространстворазбивается на структурированную сетку, далее при помощи оператора целочисленного деления положение частицы преобразуется в координату ячейки сетки: .. .. g = .(r .. =1,...,.., .. .. . r..)/s., .. где g– координата ячейки в которой находится i-я частица, s – вектор с длинами .. сторон сетки, r.. – положение левого нижнего узла сетки. На рис. 6. красным цветом изображены частицы находящееся в одной ячейке сетки. Рис. 6. Список ячеек Списки Верле. Относительно центра масс каждой гранулы формируется область пространства радиуса .... + skin (где .... – радиус взаимодействия частицы i, skin– некотораяположительная величина). Для гранулы некоторой формы радиусом взаимодействия является радиус ограничивающей сферы с центром в центре масс сложенной с радиусом наибольшей из ограничивающих сфер (рис. 7, 8). Рассмотрим частицу n. Если в сферу (далее ... ) с радиусом .... + skin и центром r.. попадаетцентрмассгранулыm,еёномер(m) добавляетсявсписок(списокВерле) гранулы n. Если частица m покидает ..., то её номер убирается из списка Верле. Далее при нахождении пересечений рассматриваются только гранулы, находящиеся в данном списке на расстоянии не больше ..... 12 Параметр skin имеет смысл некоторого расстояния, на которое гранула может перемещаться без необходимости перестройки всех списков Верле. При смещении любой гранулы на расстояние больше skin относительно положения при предыдущей перестройки списков Верле, данные списки необходимо пересчитать для каждой гранулы. Для ускорения вычислений следует сначала формировать список ячеек и после этого на его основе формировать списки Верле. Рис. 7. Ограничивающие сферы для эллипсов Рис. 8. Радиусы взаимодействия для эллипсов 13 4. Программная реализация и численные эксперименты 4.1. Расчёт сил В данной работе был программно реализован метод мягких частиц. Внешние силы и моменты определены как: F................,.. = ....g, M..............,.. = 0, где g = {0, . 9.8, 0}.. м/c2 – ускорение свободного падения. Для описания форм гранул было выбрано табличное представление знаковых полей дальностей. Расчет воздействующих сил формулы (2) (модель парных взаимодействий описывается законом Гука для упругой пружины): F..............,.... = ........n..,...., M..............,.... = r.... . F..............,...., где ...... – расстояние перекрытия между i-й и j-й гранулами, .. – коэффициент жёсткости, n..,.... – направление действия силы между i-й и j-й гранулами, r.... – расстояние от точки приложения силы F..............,.... до r..... Прежде чем приступить к описанию алгоритма вычисления расстояния перекрытия, обозначим, какие данные можно получить из геометрии гранулы до начала вычислений. Далее будем предполагать, что имеется аппроксимация формы гранулы с использованием поверхностной сетки (рис. 9). В дальнейшем нам потребуются следующие параметры: 1. Положения вершин в локальной системе координат с началом в центре масс гранулы (рис. 10); 2. Нормали вершин (рис. 11); 3. Знаковое поле дальностей, определённое с некоторым шагом сетки в окрестности гранулы (рис. 12). Знаковое поле дальностей хранит в себе информацию о расстоянии до ближайшей границы. Если некоторая точка находится снаружи гранулы, то дальность до границы гранулы считается отрицательной. Если на границе, то дальность равна нулю. Если точка находится внутри, то дальность считается положительной. 14 Рис. 9. Поверхностная сетка Рис. 10. Облако точек Описания алгоритма расчёта силы отталкивания рассмотрим на примере, изображённом на рис. 13. Вычисление расстояния перекрытия между гранулой A и B происходит по следующему алгоритму: 1. Находим все вершины гранулы A, находящиеся внутри гранулы B. Обозначим данные вершины как V... Для гранулы B аналогично находим V..; 2. Находим центр масс для множества V... Обозначим его O... Для множества V.. аналогично находим O..; 3. Находим общий центр масс для множеств V.. и V... Обозначим его как O... Данная точка является точкой приложения силы; 4. Проецируя O.. на поле дальностей гранулы A, находим расстояние до границы ..... Для гранулы B аналогично находим ....; 5. Расстояние перекрытия таким образом определим как: .. = ......(....,....). 15 Нормаль n.. силы отталкивания, действующей на гранулу A, определим следующим образом: 1. Для каждой вершины из V.. возьмём соответствующую нормаль. Обозначим их множество как N... Для множества V.. аналогично находим N..; 2. Усредняя по координатам все нормали из множества N.., получим нормаль n... Для множества N.. аналогично находим n..; 3. Обозначаем n.. = .n..; 4. Направление силы отталкивания, действующей на гранулу A, определяем как: ....,.. . ....,.. .... = , .. = ..,..,.., n.. = (1 .|..|)n.. + |..|n.., n.. = .n.. . ....,.. . ....,.. Здесь направление силы отталкивания, действующей на гранулу B, обозначено как n.. . Изложенный выше алгоритм позволяет получать одинаковые модули и направления сил невзирая на порядок обработки гранул. 4.2. Параметры моделирования При генерации данных, их предобработке и моделировании использовались следующие программы и программные библиотеки: Eigen3 [21], igl [22], Blender 5.1.0 [23]. Для оптимизации потребляемой памяти для хранения информации о парных взаимодействиях, ввиду их локальности, были использованы разреженные матрицы. Для описания гранул использовалось табличное представление знаковых полей дальностей. Границами являются плоскости, образующие параллелепипед заданного размера. Код программы для моделирования написан на языке программирования С++. 16 В данной работе в качестве численного эксперимента рассматривается моделирование эволюции случайной сформированной начальной конфигурации гранул, изображённой на рис. 14. Центры масс каждой из гранул были случайно равномерно расположены в кубе со стороной 5 м. Данная конфигурация состоит из 25 торов и 25 моделей головы обезьяны «Suzanne». Для получения достаточно плотного облака точек на границе геометрий к каждой из моделей был дважды применён модификатор «Subdivision» в программе Blender 5.1.0. Поля дальностей были построены при помощи программного пакета igl с использованием функции «signed_distance» в квадрате со стороной 4 м и шагом сетки 0.08 м. На рис. 12, 15 изображены их значения в плоскости z = 0 м, чёрными пикселями обозначены значения, которые по модулю меньше, чем 0.045 м. Моделирование происходило с шагом по времени 0.00003 сек в течение 5000 итераций. Коэффициент жёсткости .. = 30 кН/м. Граничными условиями являются плоскости, образующие параллелепипед, расположенный на координате (0,0,0), размером (5 м, 5 м, 10 м). 4.3. Результаты моделирования На рис. 16 изображено равновесное распределение гранул в конце моделирования. В конце моделирование угловые и линейные скорости гранул стали 17 равнынулю,и пересечение между гранулами и границами сталопренебрежимо мало, что свидетельствует о корректной реализации модели. Отметим, что для разрешения пересечений потребовалось большое количество равномерно распределенных точек на всей геометрии. Поскольку были 18 использованы граничные представления с изначально хорошей топологией, увеличениеплотности облакаточек могло бытьдостигнуто при помощи применения модификатора «Subdivision». Под хорошей топологией в данном случае понимается выполнение следующих условий: • Плотность точек приблизительно равна на всём граничном представлении; • Все грани являются треугольникам. В программе «Blender 5.1.0» все грани могут быть автоматически преобразованы в треугольники при помощи модификатора «Triangulate»; • Нет граней с нулевой площадью. В программе «Blender 5.1.0» данные грани могут быть убраны при помощи инструмента «Degenerate Dissolve»; • Граничное представление является замкнутым и герметичным (без дыр). Для гранул с нехорошей топологией необходимо перед применением модификатора «Subdivision» обеспечить выполнение свойств, изложенных выше, иначе вычисление сил будет происходить неверно ввиду смещения вектора контактных сил к области с большей плотностью точек. 5. Заключение В данной работе были рассмотрены основные варианты реализации метода дискретных элементов. Они включали в себя методику описания моделей столкновений, способов описания форм гранул и граничных условий, а также были рассмотрены численные методы, используемые в программной реализации метода дискретных элементов. Приведенные классификации не являются полными, однако могут послужить основанием для понимания базовых возможностей данного метода. Был исследован метод, основанный на описании элементов с помощью знакового поля дальностей. Также разработаны вычислительный алгоритм и его программная реализация. С их помощью численно проанализирован процесс засыпки гранул сложной формы в реактор. Проведены вычислительные эксперименты, которые подтвердили применимость выбранного подхода для моделирования засыпки гранулированного катализатора. Дальнейшее развитие подхода связано с оптимизацией вычислений и решением основной гидродинамической задачи. 519.688 RDDGVG метод частиц метод дискретных элементов методы оптимизации гранулированные среды particle method discrete element method optimization methods granular media Robinson Paul R. Petroleum and Its Products // Handbook of Industrial Chemistry and Biotechnology, Ed. by J. A. Kent. Boston, MA: Springer US, 2012. P. 699–747. ISBN: 978-1-4614-4259-2. URL: https://doi.org/10.1007/978-1-4614-4259-2_18.19 John Wiley Sons Ltd. Frontmatter // Modeling and Simulation of Catalytic Reactors for Petroleum Refining. John Wiley Sons, Ltd, 2011. P. i–xii. ISBN: 9780470933565. URL: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/9780470933565.fmatter. Myronov Anton, Ilchenko Mariia, Gaponova Olena et al. Mathematical and Simulation Modelling of an Ideal Plug-flow Chemical Reactor for Catalyst Loading Value Optimizing // Bulletin of the National Technical University KhPI Series Chemistry Chemical Technology and Ecology. 2025. — 11. P. 20–26. Studenik Ondřej, Isoz Martin, Kotouĉ Ŝourek Martin, Koĉi Petr. OpenHFDIB-DEM: An extension to OpenFOAM for CFD-DEM simulations with arbitrary particle shapes // SoftwareX. 2024. Vol. 27. P. 101871. Rangel Rafael L. DEMLab: A Discrete Element Method development environment // Software Impacts. 2024. Vol. 21. P. 100670. Gray Gary G., Morgan Julia K., Sanz Pablo F. Overview of continuum and particle dynamics methods for mechanical modeling of contractional geologic structures // Journal of Structural Geology. 2014. Vol. 59. P. 19–36. Li Zonglin, Chen Ju, Tian Qiang, Hu Haiyan. Three-dimensional soft discrete element method for large-scale simulations of soft spheres // Journal of Computational Physics. 2026. Vol. 551. P. 114681. Stratton R.E., Wensrich C.M. Modelling of multiple intra-time step collisions in the hard-sphere discrete element method // Powder Technology. 2010. Vol. 199, no. 2. P. 120–130. Radjai Farhang, Richefeu Vincent. Contact dynamics as a nonsmooth discrete element method // Mechanics of Materials. 2009. Vol. 41, no. 6. P. 715–728. Advances in the Dynamics of Granular Materials. Buist K.A., Seelen L.J.H., Deen N.G. et al. On an efficient hybrid soft and hard sphere collision integration scheme for DEM // Chemical Engineering Science. 2016. Vol. 153. P. 363–373. Lai Zhengshou, Zhao Shiwei, Zhao Jidong, Huang Linchong. Signed distance field framework for unified DEM modeling of granular media with arbitrary particle shapes // Computational Mechanics. 2022. Vol. 70, no. 4. P. 763–783. Chen Likuan, Ma Huaqing, Zhou Lianyong et al. Discrete Element Modeling of Irregular-Shaped Particles Using an Automatic Generation Algorithm-Based Multi-Sphere Model // International Journal of Computational Methods. 2025. Vol. 22, no. 01. P. 2450047. https://doi.org/10.1142/S0219876224500476.20 Liu Guang-Yu, Xu Wen-Jie, Zhou Qian. DEM contact model for spherical and polyhedral particles based on energy conservation // Computers and Geotechnics. 2023. Vol. 153. P. 105072. Ali Usman, Kikumoto Mamoru, Ciantia Matteo et al. Importance of Periodic Boundaries or Frictionless Walls in Simulating Elementary Response of Angular Particles // VIII International Conference on Particle-Based Methods. 2023. — 11. Pezo Milada, Pezo Lato, Loncar Biljana et al. A Comprehensive Review of Discrete Element Method Studies of Granular Flow in Static Mixers // Processes. 2025. Vol. 13, no. 11. Zhou Qian, Xu Wen-Jie, Liu Guang-Yu. A contact detection algorithm for triangle boundary in GPU-based DEM and its application in a large-scale landslide // Computers and Geotechnics. 2021. Vol. 138. P. 104371. Xia Ming, He Liu, Dong Longjun et al. An efficient dense discs packing method in complex domains for DEM simulations // Computers and Geotechnics. 2025. Vol. 178. P. 106947. Gupta Prashant, Sun J., Ooi J.Y. DEM-CFD simulation of a dense fluidized bed: Wall boundary and particle size effects // Powder Technology. 2016. Vol. 293. P. 37–47. Cromer Alan. Stable solutions using the Euler approximation // American Journal of Physics. 1981. Vol. 49, no. 5. P. 455–459. Schaller Matthieu, Borrow Josh, Draper Peter W. et al. SWIFT: A modern highly-parallel gravity and smoothed particle hydrodynamics solver for astrophysical and cosmological applications // American Journal of Physics. 2023. Vol. 530, no. 2. P. 2378–2419. arXiv:2305.13380. Guennebaud Gael, Jacob Benoit et al. Eigen. https://libeigen.gitlab.io. 2010. Jacobson Alec, Panozzo Daniele et al. libigl: A simple C++ geometry processing library. 2018. https://libigl.github.io/. Community Blender Online. Blender - a 3D modelling and rendering package. Blender Foundation, Blender Institute, Amsterdam, 2025. URL: http://www.blender.org. https://keldysh.ru/papers/2026/prep2026_18.pdf