1-28 RAR 5319-3321 0000-0001-9211-9057 Повещенко Юрий Андреевич Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН hecon@mail.ru Персональная веб-страница: http://keldysh.ru/persons/101.html Poveschenko Y.A. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS 3995-0615 0000-0001-7874-6978 Подрыга Виктория Олеговна Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН pvictoria@list.ru Podryga V.O. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS 1740-8041 0000-0002-9271-5956 Рагимли Парвин Ильгар кызы Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН pervin@rehimli.info Rahimly P.I. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS Двумерное математическое моделирование изотропной фильтрации флюидов с законом Форхгеймера при наличии газогидратных включений Two-dimensional mathematical modeling of isotropic fluid filtration with Forchheimer's law in the presence of gas hydrate inclusions В работе рассматривается задача диссоциации газовых гидратов в пористой среде при высокоскоростных режимах фильтрации. Представлена математическая модель изотропной фильтрации с использованием двучленного закона Форхгеймера. Полная система уравнений расщепляется по физическим процессам на два блока: конвективный перенос параметров насыщения (водо-, газо- и гидратонасыщенности) и уравнение диссипативной пьезопроводности с учетом тепломассопереноса. Предложена численная схема на основе метода опорных операторов с согласованной аппроксимацией градиента и дивергенции для учета перетока между узловыми доменами сетки, включая нелинейные квадратичные члены закона фильтрации. Применение неявных схем на нерегулярных сетках позволяет моделировать пласты сложной геометрии и литологии. Проведены расчеты для различных конфигураций пластов, результаты согласуются с физикой процессов. The work considers the problem of gas hydrate dissociation in a porous medium under high-speed filtration conditions. A mathematical model of isotropic filtration using the two-term Forchheimer law is presented. The complete system of equations is splitted by physical processes into two blocks: convective transfer of saturation parameters (water, gas, and hydrate saturation) and the dissipative piezoconductivity equation taking into account heat and mass transfer. A numerical scheme based on the support operator method with a consistent approximation of the gradient and divergence is proposed to account for the flow between nodal domains of the grid, including nonlinear quadratic terms of the filtration law. The use of implicit schemes on irregular grids allows for the modeling of reservoirs with complex geometry and lithology. Calculations for various reservoir configurations are performed, and the results are consistent with the physics of the processes. Введение Газогидратные месторождения представляют собой перспективный энергетический ресурс природного газа. Газовые гидраты являются кристаллическими клатратными соединениями льдоподобной структуры, где газовые молекулы заключены в каркасе из молекул воды с водородными связями [1]. Их устойчивость обеспечивается только при специфических термобарических условиях. Такие параметры характерны для донных отложений континентальных шельфов, склонов окраинных и внутренних морей Мирового океана, где происходит аккумуляция значительных объемов газогидратов. На континентах образование и сохранение гидратов возможно в криолитозоне. Нарушение термобарического равновесия инициирует разложение гидратов с интенсивным газовыделением. Высвобождающийся газ мигрирует через поровое пространство и трещиноватость вмещающих пород к поверхности (атмосфере на суше или водной толще в акваториях) либо концентрируется под непроницаемыми слоями. В последнем случае формируются зоны аномально высоких пластовых давлений. При критическом накоплении газ преодолевает флюидоупор в виде просачивания по системе пор и трещин или в виде резкого взрывного разрушения породы с образованием канала прорыва. В природе наблюдаются оба случая, а также всевозможные промежуточные варианты. На дне океанов выявлены значительные выделения газа, называемые газовыми сипами, визуализирующимися как фонтаны пузырьков. Их типичные размеры варьируются от метров до десятков метров в поперечнике, отдельные структуры достигают сотен метров. Сипы формируют площадные скопления или линейные системы, приуроченные к тектоническим нарушениям, и они были обнаружены в различных областях Мирового океана. Систематизация данных по состоянию на 2007 год представлена в работе [2]. Последующие исследования конкретных регионов существенно расширили географию обнаружения газовых сипов, их характеристики и предложили различные механизмы, объясняющие их происхождение. Репрезентативные примеры региональных исследований газовых потоков приведены в работах [3–5]. В этих и многих других публикациях в качестве одного из механизмов образования метановых сипов рассматривается диссоциация газогидратов. В поддержку данной гипотезы приводятся геологические, геофизические и другие свидетельства, хотя существуют и альтернативные интерпретации, что поддерживает дискуссионность вопроса и актуализирует применение математического моделирования для верификации гипотез. К природным феноменам, вероятно обусловленным выделением газа из земных недр, относятся многочисленные воронкообразные депрессии (покмарки, pockmarks) на дне морских акваторий и озер, под которыми прослеживаются субвертикальные геологические образования. Доминирующая гипотеза связывает их формирование с импульсивными газовыми выбросами, источником которых во многих случаях считается распад газогидратов. Проблематика покмарков широко освещена в научной литературе, где часто рассматривается совместно с метановыми сипами — как в фундаментальной монографии [2], так и в современных региональных исследованиях, постоянно выявляющих новые поля покмарков в озерно-морских системах. Типичными примерами служат публикации [6–8] и многие другие. Даже упомянутые работы демонстрируют глобальное распространение этих структур, составляя лишь фрагмент общей картины. Многочисленные аналогичные объекты идентифицированы в континентальных условиях. В криолитозоне Ямала зафиксировано свыше 20 крупномасштабных кратеров, происхождение которых большинство специалистов ассоциирует с газовыми выбросами. Это согласуется с геологическим строением северо-западной Сибири, где выявлены тысячи зон интенсивной подводной дегазации, термокарстовые озерные системы и проявления грязевого вулканизма [9]. Ведется изучение источников выделяющегося газа, при этом рассматривается возможная роль газогидратов. Разрабатываются концептуальные модели влияния талых озер на разложение гидратов и взрывные выбросы газа [10]. Создаются вычислительные методики для моделирования процессов, приводящих к взрывному газовыделению и кратерообразованию [11]. Представленные данные свидетельствуют о высокоскоростном характере газового потока при разложении газогидратов. В таких условиях классический закон Дарси, традиционно применяемый для описания фильтрационных процессов, теряет применимость. Движение флюидов при высоких скоростях в порово-трещиноватых средах описывается нелинейными фильтрационными зависимостями. Существует множество работ по определению таких закономерностей. Поскольку отклонение от линейности определяется множеством факторов — скоростью течения, турбулентными эффектами, морфологией порового пространства — универсальная формулировка закона не выработана. Обзор различных вариантов, предлагавшихся на протяжении десятилетий, представлен в работе [12]. Критический анализ методологических подходов и современных исследований выполнен в работе [13]. Разработки в данном направлении продолжаются. Наибольшее распространение получил двучленный закон Форхгеймера [14], сформулированный в 1901 году. С момента появления он активно обсуждается в научном сообществе и широко применяется в практических приложениях, особенно при моделировании высокоскоростных течений в призабойных зонах газовых скважин. Это актуально и для скважин в газогидратосодержащих коллекторах. При этом в контексте задач диссоциации газогидратов аналогом призабойной зоны служат области притока газа к вертикальным каналам миграции. Традиционно нелинейность фильтрации учитывается лишь в прискважинной области. Работа [15] показывает необходимость ее учета в масштабе всего коллектора, что подтверждает важность разработки вычислительной модели для таких расчетов, в том числе с включением газогидратной компоненты. Для изотропной однофазной фильтрации закон Форхгеймера записывается в форме [12] ?P-?gk= -?/k_a V-?_F ?|V|V,(1)где P — давление, k — вертикальный координатный орт, направленный вниз, g — ускорение свободного падения, V — скорость фильтрации, ka — абсолютная проницаемость, ?, ? –– плотность и вязкость флюида, ?_F — некоторый дополнительный параметр пористой среды, зависящий от ее структуры. Для определения числовых значений коэффициентов, входящих в закон (1), а также для исследования их взаимосвязи со структурными характеристиками пористой среды применяются методы физического и математического моделирования, а также анализируются данные, накопленные в процессе эксплуатации месторождений и проведения скважинных исследований. Поскольку пористые среды существенно различаются по своему внутреннему строению — степени неупорядоченности расположения и размеров частиц скелета, а также извилистости порового пространства — для различных типов сред формируются специфические зависимости, которые тем не менее во многих случаях обладают единой структурой, обусловленной анализом размерностей и фундаментальными физическими принципами. Данная тематика нашла отражение в значительном числе научных публикаций. Значения коэффициентов определяются как экспериментальным путём [16], так и теоретически — посредством исследования микромоделей пористых сред и течения в отдельных поровых каналах с последующим переходом к макроуровню через процедуры осреднения, реализуемые как аналитическими методами, так и численным моделированием с использованием инструментов механики сплошных сред (в частности, работы [17, 18]). Нелинейные режимы фильтрации также исследуются применительно к трещиновато-пористым средам [19]. Обобщение ряда результатов, касающихся установления характера зависимости коэффициентов от параметров пористой среды, представлено в монографии [12]; актуальные данные по более поздним исследованиям систематизированы в работах [16, 20]; в работе [21] приведена сводная таблица значений коэффициентов закона Форхгеймера, полученных экспериментально в различных исследованиях. Помимо этого, в ряде публикаций применяется промежуточное соотношение между законами Дарси и Форхгеймера, впервые предложенное в работе [22]. Закон Форхгеймера допускает обобщение на случай многофазной фильтрации, при этом рассматриваются различные модификации основных уравнений. В частности, существует подход, основанный на непосредственном распространении уравнения (1) на многофазный случай по аналогии с введением фазовых проницаемостей в закон Дарси [23]. При данном подходе закон фильтрации для изотропной среды в предположении пренебрежимо малых капиллярных сил принимает вид [24]: ?P-?_f gk= -?_f/(k_a k_rf ) V_f-?_Ff ?_f |V_f | V_f,(2)где индекс f = g, w обозначает соответствующую фазу — газ и воду; ?f(P,T) — динамическая вязкость; ?f(P,T) — плотность фаз; T — температура; Sw — водонасыщенность; krf(Sw) — относительные фазовые проницаемости; ?_Ff (S_w) — параметры, отражающие влияние насыщенности на коэффициент при квадратичном члене в законе Форхгеймера для каждой из фаз, обусловленное как изменением доли порового пространства, доступной для её течения, так и возможным межфазным взаимодействием. Определение указанных параметров осуществляется на основе экспериментальных данных и теоретического анализа, опирающегося на представления о геометрии порового пространства, а также о влиянии насыщенности одной фазой на конфигурацию и объём каналов, доступных как для неё самой, так и для другой фазы. При решении задач подземной флюидодинамики, включая случаи с учётом газовых гидратов, как правило, применяются методы механики сплошной среды, базирующиеся на законах сохранения массы и энергии, а импульс выражается в подобных задачах через закон фильтрации. В задачах многофазной многокомпонентной фильтрации с фазовыми переходами формируются сложные нелинейные системы уравнений в частных производных смешанного типа, которые являются параболическими по давлениям и гиперболическими по водо- и гидратонасыщенностям на фоне фиксированного поля скоростей, определяемого градиентом давления. Для численного решения таких систем применяется метод расщепления по физическим процессам, предполагающий разделение на уравнения относительно насыщенностей одной или нескольких фаз и уравнение для давления [25–27]. В целях разработки эффективных численных алгоритмов и корректного описания каждого типа переменных в настоящей работе также используется данный подход расщепления по физическим процессам, разностные аналоги результатов которого эквиваленты исходным массово-энергетическим балансам. Ввиду того что геологическое и литологическое строение регионов, в которых осуществляется движение подземных флюидов, как правило, отличается значительной сложностью — неоднородностью пород по коллекторским свойствам, искривлённостью пластов, наличием зон с существенно различающимися характерными масштабами (от скважины или трещины до пласта в целом), возникает необходимость в разработке численных методов, способных адекватно воспроизводить фильтрационные процессы с учётом указанной сложности. Одним из таких инструментов служит метод опорных операторов (МОО) [28], позволяющий производить численное моделирование на нерегулярных сетках, детально отражающих геометрию и литологическую структуру пластов. Принципиальным достоинством данного метода является сохранение в дискретной модели законов сохранения, лежащих в основе описания фильтрационных процессов, что достигается посредством специально разработанных алгоритмов дискретизации дифференциальных операторов градиента и дивергенции. Результатом применения данного подхода является метрическая взаимосвязь сеточных аппроксимаций массово-энергетических потоков в дискретной среде с их циркуляционным представлением на ребрах нерегулярной разностной сетки. Данная взаимосвязь обеспечивает включение в единую расчётную схему законов фильтрации, которые могут различаться для каждого узла сетки, а в условиях анизотропии — и для каждого направления. Данный подход уже был апробирован при моделировании процессов разложения газовых гидратов в низкопроницаемых коллекторах, в которых реализуется закон фильтрации с предельным градиентом давления [29]. Математическая постановка задачи и система основных уравнений Система уравнений, описывающая процесс диссоциации газового гидрата в пористой среде в гидратно-равновесной зоне, формируется на основе законов сохранения массы и энергии и при пренебрежении капиллярными силами принимает следующий вид: (3)(4)(5)где ? — гидратонасыщенность, S?= 1-? — растепленность, ?w — массовая доля воды в гидрате, m(r,P) — пористость, r — радиус-вектор, t — время, ?l(P,T) — плотности фаз, ?l(P,T) — внутренние энергии фаз, индекс l = g, w, ?, s указывает фазу: соответственно газ, вода, гидрат, скелет пористой среды. Уравнения (3), (4) представляют собой уравнения неразрывности для воды и газа соответственно, тогда как уравнение (5) описывает баланс энергии системы. Энтальпия единицы массы газового гидрата может быть представлена как сумма энтальпий составляющих его компонентов — газа и воды — с учётом скрытой теплоты фазового перехода, что выражается следующим соотношением: ?wiw+(1- ?w)ig=i?+h, где h — скрытая теплота фазового перехода для единицы массы гидрата. Энтальпия каждой фазы il выражается через внутреннюю энергию и работу давления: il=?l+P/?l. Условие фазового равновесия для газового гидрата записывается в виде ,(6)где A и B — эмпирические константы. Использование соотношения (6) позволяет заменить температурные зависимости в гидратно-равновесной зоне на барические в силу наличия только одной термодинамической степени свободы. Таким образом, в качестве независимых переменных выбираются P, Sw, S?. Замыкание системы уравнений (3)-(5) осуществляется посредством соотношения (2), соответствующего закону Форхгеймера. Для численного решения сформулированной системы уравнений применяется метод расщепления по физическим процессам, реализуемый посредством преобразований, аналогичных описанным в работе [26]. В результате исходная система разделяется на два блока: диссипативно-пьезопроводный, описывающий поведение давления P, и конвективный, отвечающий за перенос водонасыщенности Sw и растепленности S?, при этом скорости фильтрации в обоих блоках определяются соотношениями (2). Блок, описывающий диссипативные процессы — в данном случае распространение давления в пористой среде, получается из уравнения энергии (5) путём исключения из-под знака производной по времени водонасыщенности Sw и растепленности S? с использованием уравнений неразрывности (3)-(4). Результирующий пьезопроводный блок принимает следующий вид: .(7)Коэффициенты уравнения (7) представляют собой дифференциальные операторы или алгебраические выражения от исходных переменных. Здесь DP – коэффициент бароемкости гидратной системы: (8)где выражение ( )P обозначает полное дифференцирование по P с учетом зависимости (6), и — возникающие при фазовом переходе неотрицательные скачки (на единицу массы) удельного объема и удельной внутренней энергии: , , ,(9) Операторы DIG и DIG? имеют вид ,(10)(11) В уравнении (7) с коэффициентами (8)–(11) водонасыщенность Sw и растепленность S? уже не содержатся под знаком дифференцирования по времени. Второй блок формируется из уравнений (3) и (4) и носит гиперболический характер; он описывает перенос водо- и гидратонасыщенностей на фоне фиксированного поля скоростей фильтрации. Монотонизация законов фильтрации Форхгеймера для водной и газовой фаз При численном решении задачи в случае ?_Ff ? 0 в профилях водо- и гидратонасыщенностей разностного решения могут проявляться вычислительные неустойчивости. С целью устранения указанного недостатка осуществляются линеаризация закона Форхгеймера и наветренная (предполагающая выбор схемы upwind или downwind, что отличает её от классического подхода, применяемого в законе Дарси) аппроксимация относительных и абсолютных проницаемостей, тем самым обеспечивая соблюдение принципа максимума и монотонизацию разностных профилей насыщенностей. Соответствующие аналитические преобразования изложены ниже. Закон Форхгеймера, описывающий скорости фильтрации воды и газа в изотропном случае (2), можно записать следующим образом: [1+?_f/?_f ?_Ff (k_a k_rf )| V_f |] V_f=-1/?_f (k_a k_rf )(?P-?_f gk), f=w,g.(12) Оценка модуля скорости определяется из следующего уравнения, получаемого из (12): [1+?_f/?_f ?_Ff ?_fo | V_f |] ?|V?_f |=1/?_f ?_f |?P-?_f gk|,(13)где ?_fo и ?_f обозначают одно и то же произведение k_a k_rf, по-разному аппроксимируемое в дискретной задаче. Из формулы (13) получаем следующее квадратное уравнение: [?_f/?_f ?_Ff ?_fo ] ?|V?_f |^2+1?| V_f |-1/?_f ?_f |?P-?_f gk|=0. Решая квадратное уравнение следующего вида ?a_fo |V?_f |^2+b_f?| V_f |+c_f=0, где a_fo=[?_f/?_f ?_Ff ?_fo ], b_f=1, c_f=-1/?_f ?_f |?P-?_f gk|<0, получаем | V_f |=1/(2a_fo ) {-1+(1-4a_fo c_f )^(1/2) }.(14) При малых ?_Ff можем учитывать следующее линейное приближение для выражения (14): | V_f |_(?_Ff?0)=1/(2a_fo ) {-1+1-1/2?4a_fo c_f+…}=-c_f+…=1/?_f ?_f |?P-?_f gk|+…. (15) Для определения скорости получаем из (13) закон Форхгеймера в следующей форме: V_f=-{[1+?_f/?_f ?_Ff ?_fo | V_f |]^(-1)?1/?_f ?_f }(?P-?_f gk), f=w,g.(16) Для оценки монотонности по водонасыщенности S_w и растепленности S_? в (16) полагаем ?_Ff?0 и с учетом (15) получаем: V_f=-{[1+?_f/(?_f^2 ) |?P-?_f gk|?_Ff ?_fo ?_f ]^(-1)?1/?_f ?_f }(?P-?_f gk)+…. (17) Перепишем выражение (17) в более удобной форме: V_f=-?_f (?P-?_f gk)+…, ?_f={[1+?_f/(?_f^2 ) |?P-?_f gk|?_Ff ?_fo ?_f ]^(-1)?1/?_f ?_f }.(18)Если ?_Ff=0, то выражение (18) преобразуется в классический закон Дарси. Вычислим производную ??(??_f)'?_S, где S={S_w |S_?}: ??(??_f)'?_S=[1+?_f/(?_f^2 ) |?P-?_f gk|?_Ff ?_fo ?_f ]^(-2) {[1+?_f/(?_f^2 ) |?P-?_f gk|?_Ff ?_fo ?_f ]?1/?_f ?(?_f )^'?_S-?_f/(?_f^2 ) |?P-?_f gk|?_Ff (?(?_fo )^'?_S ?_f+??_fo (?_f )^'?_S )?1/?_f ?_f }. Получаем итоговое выражение следующего вида: ??(??_f)'?_S=[1+?_f/(?_f^2 ) |?P-?_f gk|?_Ff ?_fo ?_f ]^(-2)?{1/?_f ?(?_f )^'?_S-?_f/(?_f^3 ) |?P-?_f gk|?_Ff (?_f )^2 ?(?_fo )^'?_S }. Если для ?(?_f )^'?_s выбирается аппроксимация «вверх по потоку» при S=S_w и «вниз по потоку» при S=S_?, то из-за знака минус в последнем слагаемом в выражении ?(?_fo )^'?_s, наоборот, выбираем аппроксимацию «вниз по потоку» при S=S_w и «вверх по потоку» при S=S_?. Численные методы решения задач многофазной фильтрации с газогидратными включениями на нерегулярных сетках в рамках закона Форхгеймера В рамках метода опорных операторов [28] для двумерных метрических сеток рассматриваются структуры, включающие четырёхугольные и треугольные ячейки () (см. рис. 1а и 1б). Указанные ячейки формируются узлами () и соединяющими их рёбрами () с соответствующими ориентированными векторами (см. рис. 1а и 1в). Отличительной чертой подобных сеток является наличие замкнутой центроидной «сдвинутой» сетки, образованной доменами вокруг узлов () (см. рис. 1б). При этом центроидные точки ячеек () вычисляются как средние арифметические радиус-векторов образующих их узлов. Необходимо отметить, что двумерные ячейки рассматриваемой сетки по своей сути представляют собой упрощённые трёхмерные призматические элементы с единичной высотой и соответствующими основаниями. (а) (б) (в) Рис. 1. Метрические сетки. Символом «*» обозначены центроидные точки ячеек (), соединенные через середины ребер () замкнутой пунктирной линией. (а) пример части одной ячейки , сформированной узлами , и , соединяющими их ребрами и с соответствующими ориентированными векторами и ; (б) пример структуры из ячеек () вокруг узла с узловым доменом , ограниченным пунктирной линией; (в) пример ребра с ориентированным вектором Рассмотрим сетку , образованную множеством ребер ?, каждому из которых соответствует ориентированный вектор . Данные векторы образуют упорядоченную систему локальных базисов , определяющую геометрические характеристики сетки. Дискретная форма уравнений (3)-(5) для сохранения массы водной и газовой компонент и полной внутренней энергии системы (вода, газ, гидрат, скелет) может быть представлена следующим образом: ,(19),(20),(21)Здесь величины и соответствуют объему порового домена , схематически изображенного на рис. 1б, и объему скелета. Временная дискретизация реализуется через разностные производные , где — значения функции на соседних временных слоях t и t ?=t+? (? — временной шаг). Выражение с верхним индексом «волна» обозначает произвольную интерполяцию по времени, при этом под выражением понимается линейная интерполяция функции во времени с весовым коэффициентом и определяется как , где Нижний индекс «up» означает, что функция берется в узле ячейки, расположенном вверх по потоку (up), на неявном слое по времени t ?. При аппроксимации в базисе сетки с использованием оператора градиента , потоковые величины для воды и газа могут быть представлены дискретной формой уравнений Форхгеймера (16) на неявном временном слое следующим образом: ???(??_f V?_f)?_?^~=-{??_f [1+?_f/?_f ?_Ff ?_fo | V_f |]?^(-1)?1/?_f ?_f }_(? )^~ (GRADP-?_f gk)^~, f=w,g.(22)В приведенных выражениях обозначение {?}_(? )^~ используется для представления сеточных аппроксимаций соответствующих величин в базисе ? с учетом выбранной схемы временной интерполяции. Дискретные операторы DIN и GRAD являются численными аналогами дифференциальных операторов дивергенции (div) и градиента (grad) соответственно, реализация которых подробно описана в работе [27]. Здесь | V_f | берется согласно (14). При построении вычислительной схемы полная разностная система уравнений (19)-(21) расщепляется по физическим процессам. Получаются блок уравнений переноса насыщенностей (19)-(20) при фиксированных скоростях фильтрации и пьезопроводно-диссипативное уравнение, представленное ниже: (23)(24)(25)(26)(27)В выражении , входящем в уравнение (27), применяется монотонная схема «вверх по потоку», обеспечивающая энергетически согласованное приближение параметров и в дивергентных членах. Таким образом, разработанная численная схема состоит из двух взаимосвязанных блоков уравнений. Первый блок, носящий гиперболический характер (19)-(20), описывает перенос водонасыщенности Sw и растепленности Sv с применением различных направлений аппроксимации потока: схемы вверх по потоку для Sw при вычислении относительных проницаемостей и схемы вниз по потоку для Sv при определении абсолютной проницаемости. Второй блок, являющийся параболическим (23)-(27), представляет собой уравнение пьезопроводности для давления и комплексно учитывает массоперенос, энергетические составляющие системы (внутренние энергии фаз и скелета пористой среды), а также работу, совершаемую силами давления. Результаты расчетов В качестве модельного примера выбрана двумерная задача о разложении газового гидрата вблизи малого отверстия, соответствующего скважине или каналу прорыва газа, рассмотренному во введении. Именно в окрестности подобных отверстий могут возникать высокие скорости течения, при которых необходим учет нелинейности закона фильтрации, поэтому при изучении течения вблизи скважин широко применяется двучленный закон фильтрации [30]. В работе вычисления проводятся на неравномерной двумерной сетке, сгущающейся к отверстию. Подобная модель позволяет выявить основные физические свойства процесса, а также показать возможности метода для расчета процессов с использованием сеток с резко меняющимися размерами ячеек. Поскольку рассматривается модельный пример, газ принимается идеальным, вода несжимаемой: ?_g=PM/RT , ?_w=const.(29)Здесь M — молярная масса газа, R — универсальная газовая постоянная. Выбираются характерные значения параметров [27]: Здесь –– удельные теплоемкости, . Для фазовых проницаемостей берутся следующие зависимости типичного вида [27]: Рассматриваются две модели: а) с законом фильтрации Форхгеймера; б) с законом движения Дарси. Во введении было отмечено, что для функции ?_Ff (S_w) в законе Форхгеймера различными авторами предлагаются разные зависимости, связанные с особенностями учета геометрии пористой среды. Поскольку расчеты в данной работе методические, принимается, что ?_Ff (S_w) = const= . Рис. 2. Расчетная область Расчетная область (рис. 2) состоит из кругового кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями, где радиус внутреннего круга составляет 0.1 м, а внешнего круга — 10 м. Кольцевая область разделена симметрично на 720 четырехугольных ячеек. Эта тонкая дискретизация гарантирует, что численное моделирование может улавливать пространственную изменчивость термодинамических и насыщенных переменных с высоким разрешением. Начальные условия: P = 300 атм, Sw= 0.6, S? = 0.5. Температура выражается через давление по формуле (6). Эти условия соответствуют глубине около 3000 м, на которой при соответствующих условиях могут существовать стабильные газогидраты высокой водо- и гидратонасыщенности. Граничные условия. На каждом узле внутренней круговой границы, начиная с момента времени t=0, задается условие Дирихле для давления: P = 15 атм. Для водонассыщенности Sw и растепленности S? граничные условия в каждом узле внутренней круговой границы следующие: Sw= 0.6, S? = 0.5. На внешней круговой границе задаются условия непротекания для всех параметров. Расчеты проводились с постоянным шагом по времени =0.025 с. Анализ полученных результатов расчетов Возникающие перепады давления и связанной с ним температуры являются движущей силой для образования гидрата и его потенциальной диссоциации. Поскольку в рассматриваемой модельной задаче перепад давлений большой, а область маленькая, процессы протекают быстро. (а) (б) Рис. 3. Распределение давления при t = 12.37 с для моделей с законами фильтрации а) Форхгеймера, б) Дарси. Правые изображения — увеличенный центр с кольцами разного давления На рис. 3 показано распределение давления при t = 12.37 с для фильтрации по законам Форхгеймера и Дарси. На правых изображениях показан увеличенный центр с концентрическими кольцами разного давления. Качественные картины похожи. Они остаются похожими и при возрастании времени. Для определения количественного различия рассматриваются изменения параметров вдоль радиального сечения, выбор которого показан на рис. 4. Там же указаны сеточные узлы с номерами 516, 483, 448, 412, 376 и 154, для которых производится детальное изучение детальное изучение динамики процесса, отраженное на рис. 5–7. Рис. 4. Общая область моделирования (сверху) и выбор радиального сечения и сеточных узлов, по которым строятся графики (снизу). Синими кружками выделены сеточные узлы с номерами 516, 483, 448, 412, 376 и 154 На рис. 5–7 показаны распределения давления, температуры, водонасыщенности и растепленности по радиусу и разность между распределением параметров для моделей Форхгеймера и Дарси. А на рис. 8–11 — изменение по времени этих параметров для выбранных на радиальном сечении узлов. Рис. 5. Распределения давления, температуры, водонасыщенности и растепленности по радиусу для моделей Форхгеймера и Дарси для момента времени t=750.02 c Рис. 6. Распределения давления, температуры, водонасыщенности и растепленности по радиусу для моделей Форхгеймера и Дарси для момента времени t=1250.51 c Рис. 7. Распределения давления, температуры, водонасыщенности и растепленности по радиусу для моделей Форхгеймера и Дарси для момента времени t=2499.51 c Рис. 8. Зависимость давления от времени в выбранных узлах (516, 483, 448, 412, 376 и 154) для моделей Форхгеймера (пунктирная линия) и Дарси (сплошная линия) Рис. 9. Разность между зависимостью давления от времени в выбранных узлах (516, 483, 448, 412, 376 и 154) для моделей Форхгеймера и Дарси Из рис. 3, 8, 9 видно характерное для подобных задач резкое падение давления вблизи зоны стока. При фильтрации по закону Форхгеймера давление падает медленнее, чем при фильтрации по закону Дарси, что отражает влияние инерционных эффектов на динамику потока. Наибольшее отличие давлений в рассмотренных вариантах расчета наблюдается на внутренней границе, где скорость течения самая высокая, причем различие там давлений между моделями Форхгеймера и Дарси изначально увеличивается, но стабилизируется или немного уменьшается на более поздних временных шагах. На рис. 10 показаны распределения температуры (рис. 10а), растепленности (рис. 10б) и водонасыщенности (рис. 10в) по времени для выбранных в радиальном сечении узлов. На врезках рис. 10б и 10в представлены фрагменты общей картины в увеличенном масштабе. (а) (б) (в) Рис. 10. Распределения температуры Т (а), водонасыщенности Sw (б) и растепленности S? (в) в узлах (516, 483, 448, 412, 376, 154) для моделей Форхгеймера (пунктирная линия) и Дарси (сплошная линия) Из рис. 10б и 10в видно, что водонасыщенность (Sw) уменьшается со временем как для модели Дарси, так и для модели Форхгеймера, причем модель Форхгеймера предсказывает немного более высокое значение Sw по сравнению с моделью Дарси в промежуточных узлах. Например, в узле 483 значение Sw падает в указанном интервале времени с 0.6 до 0.587 в модели Дарси, в то время как модель Форхгеймера показывает немного более медленное снижение до того же значения 0.587. Это, вероятно, связано с тем, что инерционные эффекты замедляют миграцию воды в модели Форхгеймера. Аналогично растепленность (S?) уменьшается со временем для обеих моделей, что указывает на прогрессирующее образование гидратов. В узле 483 значение S? уменьшается с 0.5 до 0.4731 для модели Дарси и до 0.4732 для модели Форхгеймера. Небольшие различия в S? между двумя моделями позволяют предположить, что модель Форхгеймера учитывает более медленное образование гидратов из-за учета инерционных эффектов. В целом результаты расчетов демонстрируют взаимодействие между градиентами давления, перераспределением воды и динамикой гидратов при различных режимах потока. Оказалось, что при заданных условиях влияние нелинейности закона фильтрации на динамику процесса невелико. Однако возникающая в результате отличия законов фильтрации разница давлений в окрестности скважины порядка 20 атм может оказаться существенной для устойчивости призабойной зоны и выноса из нее частиц породы. Для выяснения полной картины влияния нелинейности закона фильтрации на процессы, связанные с подземными газовыми гидратами, нужны дальнейшие исследования. Заключение В работе представлена математическая модель и выполнено численное моделирование многофазных многокомпонентных процессов в газогидратосодержащих пористых средах. Разработан подход к интеграции высокоскоростных течений, описываемых нелинейным законом Форхгеймера, в единую вычислительную схему на основе метода опорных операторов. Данный метод позволяет совместить в одном расчете крупный масштаб, относящийся ко всему региону, и малый, соответствующий узкой области интенсивных процессов. Применяемая дискретизация дифференциальных операторов сохраняет на сеточном уровне фундаментальные свойства, связанные с законами сохранения массы и энергии. Построены вычислительные алгоритмы с учетом нелинейности фильтрационных зависимостей, что критично для моделирования интенсивных газовых потоков, способных вызывать разрушение породы. Актуальность методики обусловлена высокими скоростями фильтрации при при возникновении природных выбросов газа из земных недр, требующими учета отклонений от закона Дарси. Дальнейшее развитие работы предполагает, во-первых, включение анизотропии фильтрационных характеристик пласта в формулировку закона Форхгеймера, во-вторых, применение созданного инструментария к решению геологических, экологических и инженерных задач, связанных с газогидратными системами в земной коре. 519.6 ODHZRQ математическое моделирование многофазная фильтрация закон Форхгеймера метод опорных операторов газовые гидраты mathematical modeling multiphase filtration Forchheimer's law support operator method gas hydrates Rahimpour M.R., Makarem M.A., Meshksar M. (Eds.) Advances in Natural Gas: Formation, Processing, and Applications. Vol. 3. Natural Gas Hydrates — Elsevier, 2024. Judd A., Hovland M. Seabed Fluid Flow: The Impact on Geology, Biology and the Marine Environment — Cambridge Univ. Press, Cambridge, U.K., 2007, 475 p. Baranov B.V., Lobkovsky L.I., Dozorova K.A., Tsukanov N.V. The fault system controlling methane seeps on the shelf of the Laptev Sea // Doklady Earth Sciences, 2019, v.486, p. 571-574. 4. Ruppel C.D., Skarke A.D., Miller N.C., Kidiwela M.W., Kluesner J., Baldwin W. Methane seeps on the US Atlantic margin: An updated inventory and interpretative framework // Marine Geology, 2024, v.471(C). Urgeles R., León R., Pérez L.F., García-Crespo J., Bartolomé R., Marín-Moreno H., Garcia X. Dynamics of the Gas Hydrate System of the Pacific Margin of the Antarctic Peninsula // SSRN, 2024, №4948116. El-Naby A.A.A., Khalil A.E., Talaat A., Ismail A. Gas channels and chimneys detection using post-stack seismic attributes, simian field, offshore west Nile Delta, Egypt // Journal of Umm Al-Qura University for Applied Sciences, 2024, p. 1-19. Li X., Guo X., Tian F., Fang X. The Effects of Controlling Gas Escape and Bottom Current Activity on the Evolution of Pockmarks in the Northwest of the Xisha Uplift, South China Sea // Journal of Marine Science and Engineering, 2024, v.12, №9, p. 1505. De Falco G., Conforti A., Di Martino G., Innangi S., Simeone S., Tonielli R., Budillon F. Geohazard features of the western Sardinia // Journal of Maps, 2024, v.20, №1, p. 2347890. Богоявленский В.И., Никонов Р.А., Богоявленский И.В. Новые данные об интенсивной дегазации Земли в Арктике на севере Западной Сибири: термокарстовые озера с кратерами выбросов газа и грязевыми вулканами // Арктика: экология и экономика, 2023, т.13, №3, С. 353-368. DOI: 10.25283/2223-4594-2023-3-353-368. Chuvilin E., Sokolova N., Davletshina D., Bukhanov B., Stanilovskaya J., Badetz C., Spasennykh M. Conceptual Models of Gas Accumulation in the Shallow Permafrost of Northern West Siberia and Conditions for Explosive Gas Emissions // Geosciences, 2020, v.10, №5, p. 195. DOI: 10.3390/geosciences10050195 Schurmeier L.R., Brouwer G.E., Fagents S.A. Formation of the Siberian Yamal gas emission crater via accumulation and explosive release of gas within permafrost // Permafrost and Periglac Process, 2023, p. 1-13. DOI: 10.1002/ppp.2211 Bear J. Dynamics of Fluids in Porous Media — American Elsevier, New York, 1972. Govindarajan S.K., Pavan T.N.V., Devarapu S.R., Kumar G. Critical review on challenges in the application of Darcy's law for multi-phase fluid flow in petroleum reservoirs // Discover Applied Sciences, 2025, v.7, №3, p. 201. Forchheimer P. Wasserbewegung durch Boden // Z. Ver. Deutsch. Ing., 1901, v.45, p. 1782-1788. (in German). Saboorian-Jooybari H., Pourafshary P. Significance of non-Darcy flow effect in fractured tight reservoirs // Journal of Natural Gas Science and Engineering, 2015, v.24, p. 132-143. Elsanoose A., Abobaker E., Khan F., Rahman M.A., Aborig A., Butt S.D. Estimating of non-Darcy flow coefficient in artificial porous media // Energies, 2022, v.15, №3, p. 1197. Arbabi S., Sahimi M. The transition from Darcy to nonlinear flow in heterogeneous porous media: I—Single-phase flow // Transport in Porous Media, 2024, v.151, №4, p. 795-812. Śnieżek D., Naqvi S.B., Matyka M. Inertia onset in disordered porous media flow // Physical Review E, 2024, v.110, №4, p. 045103. Owusu R., Sakyi A., Dontwi I.K., Amoako-Yirenkyi P. A new macro-scale volume averaged transport model for diffusive dominated non-Darcian flow problem in multi-scaled naturally fractured reservoirs // Journal of Petroleum Exploration and Production Technology, 2022, v.12, №9, p. 2511-2522. Huang T., Du P., Peng X., Wang P., Zou G. Pressure drop and fractal non-Darcy coefficient model for fluid flow through porous media // Journal of Petroleum Science and Engineering, 2020, v.184, p. 106579. Zolotukhin A.B., Gayubov A.T. Analysis of nonlinear effects in fluid flows through porous media // Journal of Petroleum Exploration and Production Technology, 2022, v.12, №8, p. 2237-2255. Barree R.D., Conway M.W. Beyond Beta Factors: A Complete Model for Darcy, Forchheimer, and Trans-Forchheimer Flow in Porous Media // SPE Annual Technical Conference and Exhibition, Houston, Texas, USA, 26-29 September 2004, SPE-89325-MS. Evans E.V., Evans R.D. Influence of an immobile or mobile saturation on non-Darcy compressible flow of real gases in propped fractures // J. Petrol. Technol., 1988, v.40, №10, p. 1343-1351. Wu Y.-S. Multiphase Fluid Flow in Porous and Fractured Reservoirs — Gulf Professional Publishing, Houston, TX, USA, 2016 Азиз Х., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем — М.: Недра, 1982. Рагимли П.И., Повещенко Ю.А., Рагимли О.Р., Подрыга В.О., Казакевич Г.И., Гасилова И.В. Использование расщепления по физическим процессам для моделирования диссоциации газовых гидратов // Математическое моделирование, 2018, т.29, №7, С. 133-144. Poveshchenko Yu.A., Rahimly P.I., Rahimly O.R., Podryga V.O., Gasilova I.V. A Numerical Approach to Study the Thermal Influence on Gas Hydrates by Physical Process Splitting // International Journal of Numerical Analysis and Modeling, 2020, v.17, №3, p. 404-433. Самарский А.А., Колдоба А.В., Повещенко Ю.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Разностные схемы на нерегулярных сетках — Минск: ЗАО «Критерий», 1996. Бакир А.Э., Повещенко Ю.А., Подрыга В.О., Рагимли П.И. Об одной пространственной фильтрационной модели с неклассическим законом движения в гидратосодержащей среде // Математическое моделирование, 2024, т.36, №2, С. 77-98. Wang X., Economides M. Advanced Natural Gas Engineering — Gulf Publishing Company, Houston, Texas, 2009, 417 p. https://keldysh.ru/papers/2026/prep2026_17.pdf