1-16 RAR 0000-0002-2589-6638 Барчев Николай Борисович РЭУ им. Г.В. Плеханова nickolay.barchev@yandex.ru Barchev N.B. Plekhanov Russian University of Economics 0009-0004-4985-6763 Мациюк Даниил Юрьевич Московский авиационный институт daniil.matsiyuk@yandex.ru Matsiyuk D.Y. Moscow Aviation Institute 1614-4760 0000-0002-1658-1941 Судаков Владимир Анатольевич Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН sudakov@ws-dss.com Персональная веб-страница: http://keldysh.ru/persons/sudakov.html Sudakov V.A. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS О подходах к модификации нелинейных функций принадлежности нечетких множеств On approaches to modifying nonlinear fuzzy set membership functions Использование функций принадлежности нечетких множеств является распространенной практикой учета предпочтений экспертов в различных ситуациях неопределенности. Выбор конкретного типа функций принадлежности позволяет адекватно работать с экспертными суждениями в рамках решаемых прикладных задач, а применение процедур модификации позволяет получать новые функции на основе существующих без дополнительного обращения к экспертам. В работе обсуждаются и предлагаются новые подходы к модификации нелинейных функций принадлежности, а также изучаются вопросы, возникающие при применении таких подходов. The use of fuzzy set membership functions is a common practice of expert preferences accounting in various situations of uncertainty. The choice of specific type of membership functions allows to adequately work with expert opinions according to the applied tasks being solved, and the use of modifying procedures allows to obtain new functions based on existing ones without additional involvement of experts. The work discusses and suggests new approaches to modifying of nonlinear membership functions, as well as examines the issues arising from their usage. Введение В ситуациях неопределенности, возникающих при решении различных прикладных задач, широкое распространение получило применение аппарата теории нечетких множеств [1, 2, 3, 4]. Использование данного аппарата предполагает необходимость формализации понятий соответствующих предметных областей при помощи функций принадлежности, отражающих суждения экспертов относительно этих понятий. Адекватность такой формализации и трудоемкость сопутствующих ей процедур часто являются критически важными факторами, оказывающими влияние на качество получаемых результатов. Кроме того, для лиц, задействованных в сценариях формирования результатов, весьма существенным представляется удобство визуализации используемых понятий. Таким образом, при практической работе желательным является применение функций принадлежности некоторого унифицированного в том или ином смысле вида. Стандартизация процедур их построения также в целом положительно сказывается на качестве выявления, структурирования и последующей интеграции экспертного опыта [5]. Часто используемые и в соответствующем контексте обсуждения типичные варианты функций принадлежности хорошо известны [3, 4, 5]. Выбор конкретных вариантов функций принадлежности для формализации и визуализации нечетких экспертных суждений определяется спецификой учитываемых неопределенностей и особенностями решаемых задач [3, 4, 5]. Так, весьма распространенной является практика выражения нечетких понятий при помощи кусочно-линейных функций треугольного, трапецеидального и S-образного вида (с различной ориентацией графика функции) [4, 5, 6]. Процедуры их построения экспертным путем весьма просты, поскольку предполагают задание всего нескольких точек концентрации экспертной уверенности (от двух до четырех, если речь идет о кусочно-линейных функциях, обозначенных выше), соединяемых впоследствии отрезками на координатной плоскости [5]. Данный подход минимизирует трудоемкость экспертного оценивания, и, как показывает опыт использования таких функций, вполне применим к понятиям различной природы, позволяя с приемлемым качеством получать наглядные и достаточно легко интерпретируемые результаты [5]. Подход применим также и в часто встречающихся ситуациях дефицита исходной информации, допуская при необходимости простую модификацию получаемых функций со стороны экспертов [3, 4]. Помимо этого, обработка кусочно-линейных функций принадлежности может осуществляться относительно несложными алгоритмами, позволяющими четко разделять работу с фрагментами функций, соответствующими различным вариантам экспертных суждений, что часто является желательным в реальных практических задачах [5]. Вместе с тем, несмотря на многочисленные положительные моменты, сопровождающие использование кусочно-линейных функций принадлежности, приемлемое в условиях конкретной задачи отражение суждений экспертов с их помощью может быть достигнуто далеко не всегда. Это в особенности относится к ситуациям необходимости учета суждений, касающихся понятий, которые не могут быть формализованы с необходимым качеством указанием лишь нескольких точек концентрации экспертной уверенности и требуют применения более сложных процедур построения функций принадлежности. Такие процедуры могут включать различные варианты аппроксимации получаемых экспертным путем оригинальных дискретных значений и приводить к появлению функций, не являющихся кусочно-линейными. Усложнение моделей, используемых в конкретных задачах, с целью повышения степени их адекватности и, как следствие, качества получаемых решений, также может требовать использования нелинейных функций. Дополнительно следует заметить, что кусочно-линейные функции лишь частично удовлетворяют набору аксиом Шваба для интуитивных функций принадлежности [3], которыми по своей сути являются функции, выражающие экспертный опыт. В частности, для кусочно-линейных функций не выполняются на всей области их определения аксиоматические требования гладкости и минимальной кривизны, что в общем случае может затруднять алгоритмизацию обработки функций данного вида [3, 4]. Вне зависимости от выбора вида функций принадлежности их построение при классическом подходе требует проведения значительного числа экспертиз, предполагающих применение не всегда простых и дешевых процедур выявления предпочтений экспертов, влекущих обычно также определенные организационные сложности, что временами неприемлемо в условиях решения реальных прикладных задач. Указанные обстоятельства делают весьма актуальным вопрос автоматизации построения функций принадлежности, позволяющей снизить степень непосредственного экспертного участия в соответствующих процессах и сократить в целом число экспертиз [5]. Автоматизированные способы построения функций принадлежности являются предметом давнего интереса авторов и изучаются ими в течение длительного времени. Соответствующие промежуточные результаты ранее были опубликованы в [7, 8]. Изложение и обоснование авторского подхода к автоматизации построения функций принадлежности, базирующегося на идее получения новых функций при помощи модификации имеющихся и реализованного для кусочно-линейных функций, приведено в [5]. В данной работе выполнено обобщение этого подхода и его применения для работы с функциями принадлежности, не являющимися кусочно-линейными. Состояние исследований Идея автоматизации построения функций принадлежности путем модификации уже существующих (ранее полученных) функций предложена достаточно давно и обсуждается с различных позиций во множестве источников. Реализация этой идеи обычно предполагает применение к имеющимся функциям некоторых преобразований, именуемых в большинстве случаев логико-лингвистическими модификаторами [6, 7, 8, 9] (либо просто лингвистическими [3]). Данная терминология отражает смысловую связанность понятий, формализуемых нечеткими множествами и отвечающими им функциями принадлежности. Более конкретно такая связанность выражается лингвистически посредством содержательно понятных смысловых переходов типа «очень / не очень», «более / менее» и им подобных [5, 6, 7]. Функции принадлежности соответствующих понятий, как правило, имеют совпадающие области определения. В настоящее время в профильной литературе рассматриваются два основных подхода к построению процедур модификации функций принадлежности. Один из них предполагает применение к существующим функциям некоторых формальных математических преобразований, определенных однократно на основе различных эвристических рассуждений. Такие рассуждения касаются предполагаемого либо желательного поведения модифицированных функций принадлежности по отношению к исходным при реализации того или иного смыслового перехода и выполняются в предположении об универсальности смысла конкретного перехода вне зависимости от рассматриваемой предметной области. Вопрос возможности применения логико-лингвистических модификаторов и исследуемых процедур для обработки понятий, относящихся к различным предметным областям, в настоящее время фактически не отражен в известных авторам источниках. По нашему мнению, его изучение может быть перспективным как с теоретических, так и с практических позиций, поскольку универсальность смыслов лингвистических переходов, используемых при экспертных оценках в различных предметных областях, в значительной степени подтверждается практикой такого оценивания [5]. Однако полная универсальность смыслов конкретных переходов, которая позволяла бы аргументированно применять упомянутые выше рассуждения для стереотипной работы с этими переходами независимо от предметных областей решаемых задач, до сегодняшнего дня не имеет, на наш взгляд, весомых обоснований ни теоретического, ни практического характера. Дополнительным содержательным недостатком данного подхода является отсутствие учета предпочтений (мнений) экспертов относительно поведения модифицированных функций принадлежности по отношению к исходным при реализации определенного смыслового перехода в условиях конкретной задачи, решаемой в конкретных условиях той или иной предметной области. Тем не менее методы, использующие обозначенный подход, весьма широко представлены в литературных источниках ([2, 3]), что, по-видимому, обусловлено очевидной простотой их применения, которая, по существу, является единственным достоинством таких модификаций [5]. В качестве конкретных преобразований, формализующих лингвистический переход типа «очень / не очень», в большинстве случаев для варианта «очень» рекомендуется применять операции возведения значений исходной функции принадлежности в различные степени (операции концентрации (концентрирования) или усиления). Вариант «не очень» при этом формализуется путем извлечения корней различных степеней из значений исходной функции (операции растяжения или ослабления) [2, 3]. Некоторые источники ([3, 4, 5]) справедливо обращают внимание на тот факт, что выполнение манипуляций подобного рода содержательно более отвечает изменению степени уверенности эксперта относительно того или иного понятия (изменению степени нечеткости описания), нежели изменениям, отражаемым в реальных предметных областях при помощи лингвистических переходов. Также нами ранее фиксировалось серьезное расхождение результатов применения таких преобразований и соответствующих им экспертных оценок, получаемых в реальных практических задачах [5]. Кроме того, применение обсуждаемых преобразований ведет в общем случае к изменению вида получаемых функций принадлежности по отношению к исходным функциям. Изменение вида результирующей функции, в свою очередь, может означать потерю некоторых свойств, присущих исходной функции конкретного вида, что обычно нельзя оценить положительно. Данный эффект также может оказывать негативное влияние на дальнейшую единообразную обработку получаемых результатов и их интерпретацию [5]. Другой подход к построению процедур модификации функций принадлежности состоит в формализации конкретного лингвистического перехода, выражающего предпочтения экспертов, выявленные в условиях конкретной задачи, при помощи пары некоторых функций. Функции, определяющие переход, предполагаются найденными экспертным путем (известными) и выступают в качестве некоторого образца (прототипа, эталона) для выполнения последующих модификаций. По соображениям практического характера функции прототипа целесообразно выбирать относящимися к одному и тому же виду. При этом исходную функцию в практических целях удобно называть прообразом, а результирующую – образом [5]. Подход такого типа представляется нам гораздо более содержательным, поскольку позволяет опираться на предпочтения конкретных экспертов в конкретных ситуациях решения тех или иных задач. Помимо сказанного, построение процедур модификации в рамках этого подхода предоставляет возможность сохранения вида результирующих функций принадлежности по отношению к исходным функциям [5]. Вариант определения перехода типа «очень» с использованием пары эталонных функций принадлежности S-образного вида, построенных при участии экспертов, приведен на рисунке 1 (прообраз отражает понятие «высокая температура атмосферного воздуха», образ – понятие «очень высокая температура атмосферного воздуха»). Рис. 1. Вариант определения лингвистического перехода Получение модифицированных функций принадлежности с использованием имеющегося эталона (прототипа) также может выполняться различными способами. Одна из процедур модификации ([6]) предполагает использование автоморфных функций и применение к ним преобразований дробно-линейного типа. К сожалению, описанная процедура не имеет достаточного обоснования, а проводившаяся экспериментальная проверка возможностей применения данного механизма продемонстрировала весьма высокую зависимость результатов выполняемых модификаций от выбора исходных функций принадлежности. Кроме того, соответствие получаемых результатов реальным экспертным оценкам было зафиксировано лишь в некоторых частных случаях [7, 8]. Иная процедура модификации функций принадлежности, использующая прототипы (эталоны), была аргументирована нами в [7] и конкретизирована в [5]. В основу поддерживающих рассуждений положена трактовка процесса модификации преимущественно как перехода от одной динамики изменения суждений экспертов относительно степени соответствия конкретных значений области определения функции принадлежности некоторому понятию, задаваемой прообразом прототипа, к другой динамике, задаваемой образом. Развитие и детализация данного положения были выполнены нами по отношению к кусочно-линейным функциям принадлежности треугольного, трапецеидального и S-образного вида. Преимущества и недостатки применения таких функций при формализации мнений экспертов обсуждались выше. Базовой идеей предлагаемого метода при этом выступает требование сохранения в процессе модификации соотношения динамики изменения исходной и преобразованной функций, определяемого используемым прототипом. Данное соотношение, по существу, выступает в роли инварианта изменения экспертного суждения при смысловом (лингвистическом) переходе конкретного типа от исходного понятия к модифицированному [5]. Упомянутое требование при использовании кусочно-линейных функций означает необходимость раздельного выполнения модификаций для участков кусочной линейности, на которых динамика изменения суждений экспертов остается постоянной [7]. Это, в свою очередь, подразумевает, что имеющаяся пара эталонных функций (прототип) определяет совокупность модифицирующих преобразований, относящихся к попарно соответствующим участкам кусочной линейности функций прототипа (эталона). Далее найденные преобразования должны применяться также к соответствующим участкам исходных функций принадлежности, вид которых аналогичен виду эталонных функций [5]. При использовании функций принадлежности треугольного вида и задании пары эталонных функций принадлежности (прототипа) ?_A (x) и ?_B (x), первая из которых является исходной (прообразом прототипа), а вторая – результирующей (образом прототипа), в их областях определения тройками различающихся чисел, являющихся абсциссами точек концентрации экспертной уверенности: {x_(A_i )?X; i=1, 3}: ?_A (x_(A_1 ) )=?_A (x_(A_3 ) )=0, ? ??_A (x_(A_2 ) )=1 , (1) {x_(B_i )?X; i=1, 3}: ?_B (x_(B_1 ) )=?_B (x_(B_3 ) )=0, ? ??_B (x_(B_2 ) )=1, (2) реализация обозначенных принципов предполагает нахождение пары линейных преобразований: f_j (x)=a_j x+b_j; j=1, 2, (3) выполняющих операции переноса (смещения вдоль оси абсцисс) и трансформации (сжатия / растяжения) графиков исходных функций в процессе модификаций [7]. Каждое из искомых преобразований осуществляет перевод одного из фрагментов исходной функции принадлежности (прообраза) в соответствующий фрагмент результирующей функции (образа) [5]. Значения a_j и b_j для преобразований (3) определяются соотношениями: a_1=(x_(B_2 )- x_(B_1 ))/(x_(A_2 )-? x?_(A_1 ) ); a_2=(x_(B_3 )-? x?_(B_2 ))/(x_(A_3 )- x_(A_2 ) ); (4) b_1=(x_(A_2 ) x_(B_(1 ) )- x_(A_1 ) x_(B_(2 ) ))/(x_(A_2 )-? x?_(A_1 ) ); b_2=(x_(A_3 ) x_(B_(2 ) )- x_(A_2 ) x_(B_(3 ) ))/(x_(A_3 )- x_(A_2 ) ). (5) После нахождения пары преобразований (3) модификация некоторой исходной функции принадлежности (прообраза) ?_C (y), также задаваемой тройкой различающихся чисел: {y_(C_i )?Y; i=1, 3}: ?_C (y_(C_1 ) )=?_C (y_(C_3 ) )=0, ? ??_C (y_(C_2 ) )=1, (6) выполняется применением каждого из полученных преобразований к соответствующим участкам области определения данной функции. Результатом модификации является получение тройки чисел, определяющей искомую функцию (образ) ?_D (y) ([5]): {y_(D_i )?Y; i=1, 3}: ?_D (y_(D_1 ) )=?_D (y_(D_3 ) )=0, ? ??_D (y_(D_2 ) )=1. (7) При этом абсциссы крайних точек концентрации экспертной уверенности y_(D_1 ) и y_(D_3 ) искомой функции ?_D (y) находятся очевидным образом однозначно: ?y_(D_1 )=f?_1 (y_(C_1 ) )=a_1 y_(C_1 )+b_1, (8) ? y_(D_3 )=f?_2 (y_(C_3 ) )=a_2 y_(C_3 )+b_2, (9) для абсциссы же средней точки y_(D_2 ) функции ?_D (y) применение преобразований (3) в общем случае позволяет получить два различных значения: ?y_(D_2)^((1))=f?_1 (y_(C_2 ) )=a_1 y_(C_2 )+b_1, (10) ?y_(D_2)^((2))=f?_2 (y_(C_2 ) )=a_2 y_(C_2 )+b_2. (11) Вопрос возможной интерпретации неоднозначности такого рода, экспертно-приемлемые способы ее устранения, а также экспериментальные результаты применения этих способов достаточно подробно обсуждаются в [8]. Проведенные рассуждения могут быть использованы и для работы с функциями принадлежности трапецеидального вида, когда две эталонные функции принадлежности ?_A (x) и ?_B (x) задаются в их областях определения четверками различающихся чисел: {x_(A_i )?X; i=1, 4}: ?_A (x_(A_1 ) )=?_A (x_(A_4 ) )=0, ? ??_A (x_(A_2 ) )=?_A (x_(A_3 ) )=1, (12) {x_(B_i )?X; i=1, 4}: ?_B (x_(B_1 ) )=?_B (x_(B_4 ) )=0,? ??_B (x_(B_2 ) )=?_B (x_(B_3 ) )=1. (13) В данном случае соотношения (4) и (5) предполагают необходимость коррекции вычисления значений a_2 и b_2: a_2=(x_(B_4 )-? x?_(B_3 ))/(x_(A_4 )- x_(A_3 ) ), (14) b_2=(x_(A_4 ) x_(B_(3 ) )- x_(A_3 ) x_(B_(4 ) ))/(x_(A_4 )- x_(A_3 ) ). (15) Дальнейшее применение найденных преобразований для модификации исходной функции принадлежности ?_C (y), также задаваемой четверкой чисел: {y_(C_i )?Y; i=1, 4}: ?_C (y_(C_1 ) )=?_C (y_(C_4 ) )=0, ? ??_C (y_(C_2 ) )=?_C (y_(C_3 ) )=1, (16) по аналогии с описанным выше приводит к получению четверки чисел, определяющей модифицированную функцию ?_D (y): {y_(D_i )?Y; i=1, 4}: ?_D (y_(D_1 ) )=?_D (y_(D_4 ) )=0, ? ??_D (y_(D_2 ) )=?_D (y_(D_3 ) )=1, (17) где ??{y_(C_i ), y_(D_i ); i=1, 2}: y?_(D_i )=f?_1 (y_(C_i ) )=a_1 y_(C_i )+b_1, (18) ??{y_(C_i ), y_(D_i ); i=3, 4}: y?_(D_i )=f?_2 (y_(C_i ) )=a_2 y_(C_i )+b_2. (19) Модификацию кусочно-линейных функций принадлежности S-образного вида в аспекте обсуждаемого логично трактовать как частный случай рассмотренных вариантов. При этом задание функций осуществляется с помощью пар различающихся чисел и требует определения только одного линейного преобразования типа (3). Метод и его применение Учитывая относительную простоту выполнения рассуждений применительно к модификациям функций принадлежности ?(x) S-образного вида, рассмотрим более общий вариант функций данного типа. Для исключения разночтений будем относить к этим функциям принадлежности те непрерывные в их области определения функции, по отношению к которым справедливо существование двух различных точек концентрации экспертной уверенности {x_i?X; i=1, 2}, таких, что в зависимости от ориентации графика функции: ?x?x_1: ?(x)=0; ?x?x_2: ?(x)=1 (20) либо ?x?x_1: ?(x)=1; ?x?x_2: ?(x)=0, (21) при том, что на интервале (x_1; x_2) производная функции всюду существует, не имеет разрывов и нигде не обращается в ноль (функция на указанном интервале является гладкой и строго монотонной): ?x?(x_1; x_2 ): ??^' (x)?0. (22) Легко видеть, что кусочно-линейные функции S-образного вида (см., в частности, рисунок 1) также удовлетворяют перечисленным условиям. Пример функций принадлежности S-образного вида, не являющихся кусочно-линейными, приведен на рисунке 2. Рис. 2. Примеры функций принадлежности S-образного вида, не являющихся кусочно-линейными Имея в виду, что формальные операции, определяемые модификаторами, сводятся, по существу, к переносу и трансформации (сжатию / растяжению) графиков исходных функций и могут быть реализованы в большинстве случаев при помощи достаточно простых линейных преобразований, имеет смысл, как и прежде, эвристически ориентироваться на использование преобразования вида (3). Дополнительно следует заметить, что все рассуждения, выполнявшиеся нами ранее по отношению к предлагаемым процедурам модификации функций принадлежности, выполнялись в предположении об определенной универсальности смыслов обсуждаемых лингвистических переходов, упомянутой выше и позволяющей в некоторых ситуациях применять получаемые модификаторы по отношению к понятиям различных предметных областей. При этом рассматриваемые пары функций принадлежности имеют также различные области определения, обозначавшиеся ранее X и Y. Исторически данное обстоятельство было обусловлено спектром практических задач, для решения которых нами были предприняты попытки задействовать соответствующие процедуры. Однако весьма часто функции принадлежности, используемые в реальных задачах и подвергаемые модификации в соответствии с некоторым образцом (эталоном, прототипом), имеют общую с функциями прототипа область определения. Например, прообраз прототипа, на основе которого формализуется лингвистический переход типа «очень», может быть определен для понятия «теплая вода» (вариант – «комфортная заработная плата»), а образ – для понятия «очень теплая вода» («очень комфортная заработная плата»). При этом далее с помощью данного формализованного перехода может предполагаться модификация некоторой исходной функции (прообраза), соответствующей термину «горячая вода» («хорошая заработная плата») с целью получения функции-образа, отвечающего термину «очень горячая вода» («очень хорошая заработная плата»). Принимая во внимание сказанное и полагая при проведенных ранее рассуждениях Y=X, можно несколько упростить полученные в процессе этих рассуждений результаты. В частности, когда модифицируемая и получаемая при модификации функция принадлежности являются функциями аргумента x?X (?_C (x) и ?_D (x) соответственно), выражения (6) – (11), (16) – (19), обсуждавшиеся ранее и касающиеся кусочно-линейных функций, становятся естественным образом зависимыми лишь от соответствующих значений x?X. Также ранее описание и экспериментальные проверки применимости рассматриваемого способа модификации функций принадлежности выполнялись нами в предположении об использовании кусочно-линейных функций ([7, 8]), причем свойство их кусочной линейности выступало в качестве существенного момента соответствующей аргументации ([7]). Рассматривая для определенности функции S-образного вида, удовлетворяющие условиям (20) и (22), учтем, что кусочно-линейная функция принадлежности ?(x) на отрезке ? ?[x?_1; x_2]? с учетом граничных соотношений ?(x_1 )=0; ?(x_2 )=1 (23) задается выражением ?(x)= (x -? x?_1 )/(x_2-? x?_1 ). (24) При этом обсуждаемый способ преобразования не использует явным образом информацию о конкретном виде функций принадлежности, заданных на интервалах областей определения, где значения функций не являются постоянными, и технически оперирует лишь данными о длинах и границах этих интервалов. Таким образом, он не имеет ограничений формального характера для применения к модификациям функций принадлежности, поведение которых на соответствующих интервалах нелинейно. Временно оставляя за рамками рассуждений содержательные доводы в пользу упомянутого применения, учитывая сказанное и, кроме того, частичную эвристическую справедливость аргументации [7] по отношению к функциям, кусочно-линейными не являющимся, следует признать, что экспериментальная проверка возможностей применения рассматриваемого метода для работы с такими функциями также представляется эвристически обоснованной. Упомянутая проверка была проведена по отношению к функциям принадлежности S-образного вида ?_N (x) (x?X; N={A,B, C, D}), удовлетворяющим условиям (20), (22) и являющимся на соответствующих отрезках ? [x_(N_1 ); x_(N_2 )]? квадратичными, задаваемыми с учетом граничных зависимостей ?_N (x_(N_1 ) )=0; ?_N (x_(N_2 ) )=1 (25) выражениями типа ?_N (x)= (x -? x?_(N_1 ) )^2/?(x_(N_2 )-? x?_(N_1 ))?^2 . (26) Работа с такими функциями во многих ситуациях формализации предпочтений экспертов позволяет обеспечить результат, более точно отражающий экспертные суждения, нежели использование функций линейного характера. Вместе с тем подобные функции часто вполне удовлетворительно могут выступать в роли аппроксимирующих при обработке дискретных значений, получаемых экспертным путем, являясь также не слишком сложными для практического использования. Проведенные эксперименты обнаруживают в большинстве случаев экспертно-приемлемое поведение модифицированных функций при отсутствии явных противоречий между получаемыми результатами и соответствующими мнениями экспертов. Пример одной из использованных пар функций прототипа, определяющих преобразование типа (3) для функций принадлежности S-образного вида, приведен на рисунке 3. Рис. 3. Пример прототипа, определяющего модифицирующее преобразование Пример исходной функции S-образного вида и ее модификации, выполненной на основе полученного преобразования, приведен на рисунке 4. Рис. 4. Пример исходной и модифицированной функции Заключение Актуальное состояние исследований оставляет достаточно широкое дискуссионное поле для дальнейшего обсуждения рассматриваемого подхода и продолжения вычислительных экспериментов. В частности, несмотря на получение в целом приемлемых результатов применения соответствующих преобразований к функциям, не являющимся кусочно-линейными, такие результаты получены нами пока лишь для функций определенного типа. Кроме того, принимая во внимание приводившиеся ранее соображения, касающиеся необходимости сохранения в процессе модификации эталонного в определенном смысле соотношения динамики изменения прообраза и образа, устанавливаемого выбранным прототипом, следует иметь в виду, что отношение длин отрезков оси абсцисс, на которые опираются соответствующие фрагменты графиков функций, в полной мере отражает данное соотношение только в случае линейного характера изменения этих функций. Предположительно, более корректное и аргументированное применение рассматриваемых процедур при работе с нелинейными функциями должно учитывать некоторую дополнительную информацию, относящуюся к динамике изменения экспертных предпочтений. Такая дополнительная информация может быть получена путем введения в рассмотрение производных функций на участках их кусочной гладкости. В данном направлении планируется продолжение исследований. Дискуссионными также остаются вопросы, относящиеся к определению границ возможностей применения предлагаемых алгоритмов модификации. В их круг входят как вопросы общего характера, связанные с пределами предполагаемой инвариантности выполняемых преобразований по отношению к понятиям различной природы, так и специализированные, относящиеся к конкретике реализации таких преобразований при помощи функций принадлежности различного вида. Вопросы приемлемой сочетаемости пар эталонных функций (прототипов) и модифицируемых функций также требуют дополнительного обсуждения как с позиций технически корректного применения соответствующих механизмов, так и с позиций содержательного экспертного анализа. 004.827 MIXMSC нечеткое множество функция принадлежности эксперт модификатор fuzzy set membership function expert modifier Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях: Монография. – Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2000. Батыршин И.З., Недосекин А.О., Стецко А.А., Тарасов В.Б., Язенин А.В., Ярушкина Н.Г. Нечеткие гибридные системы. Теория и практика. / Под ред. Н.Г. Ярушкиной. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. Чернов В.Г. Нечеткие множества. Основы теории и применения: учеб. пособие. – Владимир: Изд-во ВлГУ, 2018. Барчев Н.Б., Судаков В.А. Исследование методов модификации функций принадлежности нечетких множеств на основе эталонов // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша, 2024, № 6. https://doi.org/10.20948/prepr-2024-6 https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2024-6 Борисов А.Н., Крумберг О.А., Федоров И.П. Принятие решений на основе нечетких моделей: Примеры использования. – Рига: Зинатне, 1990. Barchev N., Sudakov V. On the Question of Modifying Membership Functions. In: R. Silhavy, P. Silhavy, Z. Prokopova (eds). Software Engineering Perspectives in Intelligent Systems. CoMeSySo 2020. Advances in Intelligent Systems and Computing, vol. 1295. Springer, Cham, 2020. Barchev N., Sudakov V. On Determining the Position of Expert Confidence Concentration Points When Modifying Membership Functions. In: Data Science and Intelligent Systems; CoMeSySo 2021. Lecture Notes in Networks and Systems. R. Silhavy, P. Silhavy, Z. Prokopova, Eds., vol. 231. Springer, Cham, Switzerland, 2021. Dombi J., Csiszár O. Modifiers and Membership Functions in Fuzzy Sets. In: Explainable Neural Networks Based on Fuzzy Logic and Multi-criteria Decision Tools. Studies in Fuzziness and Soft Computing, vol. 408. Springer, Cham, 2021. https://keldysh.ru/papers/2026/prep2026_13.pdf