1-18 RAR 9864-6449 0000-0001-9224-769X Лахно Виктор Дмитриевич Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН lak@impb.ru Lakhno V.D. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS О максимальном размере нейтронной капли в ультрахолодном нейтронном газе On the Maximum Size of a Neutron Droplet in an Ultracold Neutron Gas Развито представление о нейтроне как трансляционно-инвариантном поляроне в мезонном поле. При этом динейтроны рассматриваются как спаренные состояния таких нейтронных поляронов. Подчеркнута роль мезонного поля в формировании столкновительного механизма образования динейтронов в бесстолкновительном нейтронном УХН газе. Теоретически подтверждена оценка времени образования динейтрона (27 часов), полученная ранее из сравнения времени жизни нейтрона в пучковых и бутылочных экспериментах. Рассмотрен бозе конденсат из динейтронов, существование которых в свободном виде невозможно. Проведено моделирование динамики образования спаренных состояний в ловушке с УХН. Характерный размер капли из спаренных нуклонных состояний составляет 10 нанометров. Обсуждаются возможности экспериментальной проверки теории. The concept of the neutron as a translationally invariant polaron in a meson field is developed. Dineutrons are considered as paired states of such neutron polarons. The role of the meson field in the formation of the collisional mechanism of dineutron production in collisionless neutron UCN gas is emphasized. The estimate of the dineutron formation time (27 hours), obtained earlier from a comparison of the neutron lifetime in beam and bottle experiments, has been theoretically confirmed. A Bose condensate of dineutrons, which cannot exist in free form, is considered. The dynamics of paired state formation in a trap with ultracold neutrons is simulated. The characteristic size of a droplet of paired nucleon states is 10 nanometers. Potential for experimental verification of the theory is discussed. Введение В настоящее время поляронные модели, первоначально использованные в физике конденсированных сред, с большой эффективностью начинают использоваться в физике элементарных частиц. Так, например, кварковая поляронная модель [1], в основе которой лежит теория трансляционно-инвариантных (ТИ) поляронов [2], позволила успешно объяснить причину большой массы нуклонов, состоящих из кварков, масса которых на несколько порядков меньше нуклонной массы. Поляронная теория в состоянии объяснить природу конфайнмента кварков, поскольку приводит к представлению о невозможности разделения частиц, находящихся в связанном биполяронном состоянии на отдельные поляроны [3]. ТИ теория экситонов в фононном поле [4] дает объяснение природе асимптотической свободы кварков, поскольку увеличение силы взаимодействия с фононным полем приводит к пределу свободного экситона, то есть к пределу слабой связи. Ранее [5], [6] мы подробно рассмотрели случай возможного существования нейтронного бозе-конденсата в ультрахолодном нейтронном газе (УХН), в котором роль бозонов играли динейтроны, рассматриваемые как биполяронные связанные состояния двух нейтронов с отличной от нуля положительной энергией связи Eb. В этом случае размер динейтрона и динейтронного бозе-конденсата определяется величиной энергии связи, связанной с их размером ? и массой М соотношением E_b??^2??M??^2 . Наличие даже слабо связанных свободных, но устойчивых нейтронных образований, сильно повлияло бы на время существования вселенной и, по-видимому, в природе в обычных условиях они не реализуются. Такие образования, однако, реализуются нейтронных звездах и в гало некоторых ядер. В работах [5], [6] была таже рассмотрена возможность образования динейтронов в ультрахолодном нейтронном газе с целью объяснения аномалии во времени хранения такого газа в ловушке УХН. В данной статье мы более подробно обсудим образование связанных нейтронных состояний и формирование динейтронного бозе-конденсата в ловушках в случае Eb=0, то есть когда, согласно общепринятому мнению, в свободном виде стабильный динейтрон не существует. Нейтронная капля в случае отсутствия связанных динейтронных состояний Рассматриваемая проблема аналогична проблеме образования мультиполяронных состояний в конденсированной среде. В конденсированных средах образование мультиполяронных состояний осложняется существованием у полярона заряда, наличие которого препятствует образованию в них поляронных капель (в качестве примера мультиполярона, составленного из магнитных поляронов, можно привести возможность образования ферромагнитных областей в антиферромагнетиках, стабилизируемых электронными каплями, с учетом поляронного эффекта [7], которые рассматривалась в работах Нагаева [8]). Поскольку нейтроны не обладают зарядом, образование мультиполяронных капель из нейтронов в мезонном поле может быть облегчено (к этому же кругу проблем относится возможность образования пионного конденсата в ядрах, рассмотренная Мигдалом [9]). Если рассмотреть нейтроны как невзаимодействующие с мезонным полем (и другими полями), то по этим полям гамильтониан системы будет аддитивен. Формально в этом случае можно убрать мезонное поле, положив мезонные частоты и константу взаимодействия равными нулю (мезонные частоты полагаются равными нулю, поскольку их вклад в спектр ТИ-полярона не равен нулю даже при g=0, где g – константа нуклон-мезонной связи [2]). Это случай свободного нейтронного поля. Если в таком поле рассматривать спаренные нейтронные состояния как бозоны, то их бозе - конденсат имеет эйнштейновскую температуру бозе – конденсации: Тс = Tc (0). При ненулевом (сколь угодно малом) g температура бозе конденсата радикально меняется. Это связано с тем, что при неравном нулю g обе подсистемы становятся неравновесными относительно образования поляронов (биполяронов) с Тс их бозе-конденсата равной [5], [6]: T_c (f)=((F_(3?2) (0))?(F_(3?2) (f) ))^(2?3) T_c (0) (1) F_(3?2) (f)=2/?? ?_0^??(t^(1?2) dt)/(e^(t+?(f^2+2Mf t??))-1), T_c (0)=3,31 n^(2?3)/M, ?=?/T_c , где f=??(T_c=1,566??10?^12 ) K/Tc, ? – масса мезона, M – масса бинуклона (полагается ?=1, скорость света с=1, температура Т измеряется в Кельвинах: K). При таком объединении Ферми и Бозе систем в пределе сверхнизких температур всегда образуется бозе-конденсат, поскольку основное состояние бозе – конденсата при Т=0 будет обладать нулевой, то есть наинизшей, энергией. Частицами, составляющими такой бозе-конденсат, будут ТИ биполяроны (в дальнейшем мы будем вместо слов нейтронный полярон или биполярон опускать слово нейтронный). Это будет так, даже если образование биполярона менее выгодно по энергии, чем образование двух несвязанных поляронов, поскольку только биполяроны (в общем случае мультиполяроны, например тетранейтроны или гексанейтроны, с целым спином) способны образовывать бозе-конденсат. В случае плотной нейтронной среды (нейтронные звезды) как поляроны, так и биполяроны имеют размер порядка комптоновской длины мезона (размер мезонной шубы полярона). В нейтронных звездах характерное расстояние между нейтронами также порядка комптоновской длины. То есть нейтронный газ в звезде является сверхплотным. Совершенно иная ситуация реализуется в случае ультрахолодного нейтронного газа, удерживаемого в материальной ловушке. Расстояние между нейтронами в реальных ловушках порядка 0,1 см и больше, в то время как характерный размер биполяронного бозе-конденсата очень мал и, как будет показано ниже, составляет величину порядка десятков нанометров. Это означает, что возможен совершенно новый тип нейтроннного бозе конденсата низкой плотности, который может образоваться в ультрахолодном нейтронном газе, находящимся в материальной ловушке. Как показано в [5], [6] формула (1) дает очень высокую Тс даже для сверхнизких концентраций спаренных нейтронов. В реальности, согласно [5], [6], Тс будет ограничена глубиной оптического потенциала ловушки ?, то есть максимальное значение Тс= ? и примерно будет равно ?10?^(-3) К. В случае отсутствия стабильных динейтронов спаривание невзаимодействующих друг с другом нейтронов будет происходить при температуре их бозе – конденсата равной: T_c=0.218E_F, (2) при условии, что Тс не превосходит ?. Величина Тс, определяемая (2), соответствует температуре нейтронного Ферми газа, в котором все нейтроны перешли в спаренное состояние, образовав бозе-газ. В действительности, фигурирующая в (2) энергия Ферми EF для тех концентраций, какие можно получить в ловушке настолько мала, что вырожденный нейтронный газ невозможно реализовать экспериментально и тем более его бозе-конденсат. Ситуация может радикально измениться, если в нейтронном газе образовалась нейтронная капля с концентрацией нейтронов на много порядков выше концентрации нейтронов в ловушке с УХН. Этот случай мы рассмотрим ниже. Длина когерентности ТИ-биполяронного бозе-конденсата Взаимодействие между двумя нейтронами, каждый из которых находится в делокализованном состоянии и описывается плоской волной, приводит не к их локализации, а к их скоррелированному движению, которое описывается корреляционной длиной ?, на которой они чувствуют друг друга. Скоррелированное движение двух ТИ поляронов представляет собой ТИ-биполярон. Для этого необходимо, чтобы среднее расстояние между нейтронами было меньше ?. Это возможно, если концентрация нейтронов в ловушке достаточно высока. Описанная ситуация может реализоваться при образовании в УХН газе нейтронной капли. Можно сказать, что такая капля будет образована ТИ- биполяронами из нейтронов. По этой причине нам необходимо рассмотреть бозонный газ, состоящий из ТИ- биполяронов, формирующих нейтронную каплю. В квантовой механике многочастичное и полевое описание газа ТИ-биполяронов эквивалентны. Многочастичная матрица плотности для n частиц имеет вид: g(R_1, …R_n; R_1^',…R_n^' )=?_k??n_k ?_k^* ? (R_1,…R_n ) ?_k (R_1^',…R_n^' ). (3) В случае идеального Бозе газа в отсутствие взаимодействия его волновая функция имеет вид: ?_k (R_1,…R_n )=?_i^n???_k (R_i ) ? (4) и расчёт многочастичной матрицы сводится к расчету одночастичной матрицы: g(R_1,R_2 )=?_k??n_k ?_k^* (R_1 ) ?_k (R_2 ) ?. (5) При полевом описании матрица плотности имеет вид: g(R,R^' )=?? ?(R),? ?^+ (R^' )?, (6) где ? ?(R) – полевой оператор рассматриваемой системы, скобки ?…? в (6) означают усреднение по большому каноническому ансамблю. Разлагая полевой оператор в ряд по плоским волнам: ? ?(R)=1/?V ?_k??a ?_k e^ikR,? (7) где a ?_kоператор уничтожения частицы в состоянии k, V- объем системы, из (6), (7) получим: g(R,R^' )=g(R-R^' )=1/?V ?_k???n ?_k ? e^(ik(R-R^')),? (8) где ?n ?_k ?=n_k функция распределения Бозе газа. Таким образом, описание квантового поля эквивалентно описанию, основанному на одночастичной матрице плотности, которая дает представление о пространственном и временном поведении конденсата. В случае газа ТИ-биполяронов делокализованы как волновые функции отдельных нейтронов (ТИ-поляронов), так и волновые функции самих ТИ-биполяронов, описываемых как частицы, координаты которых определяются положением их центров масс R_i. В этом случае длина корреляции ? определяет характерный размер распределения биполяронов в газе ТИ-биполяронов. В квантовой статистической механике недиагональные элементы матрицы плотности определяют степень когерентности между различными квантовыми состояниями. В рассматриваемом случае Бозе-газа его состояние описывается плоскими волновыми функциями частиц с импульсом k: ?_k (R_i )=e^(ikR_i )/?V, где? R?_i– координаты i-ой частицы. Соответственно, недиагональный элемент матрицы плотности, который является ключевым параметром для понимания дальнего порядка, определяется выражением g(R_1,R_2 )=?_k??n_k ?_k^* (R_1 ) ?_k (R_2 ) ?, n_k={exp[(E_k-?_chem )/T]-1}^(-1), (9) где n_k – бозевская функция распределения частиц газа, ?_chem- химический потенциал. Отделяя вклады конденсата с k=0 от температурной компоненты, можно переписать это выражение в виде g(R_(1,) R_2 )=N_0/V+1/(2??)^3 ???d^3 k exp[ik(R_1-R_2 )/?]/(exp[(E_k- ?_chem )/T]-1)?, (10) где? N?_0 – число частиц в Бозе-конденсате. Входящая в (10) энергия ТИ-биполярона? E?_k, согласно [5], имеет вид E_k=[?_k+E_bp+k^2/2M], k>0, (11) где E_bp – энергия основного состояния биполярона, ?_k – имеет смысл величины сверхпроводящей щели: ?_k=?. (12) Как было отмечено выше, в рассматриваемом нами случае нейтронного газа в ловушке роль такой щели играет величина оптического потенциала ловушки ?. С использованием (10)-(11) для g_R получим: g(R)=N_0/V+1/(l_T^3 ) ?_(j=1)^???exp[-j(E_bp+?-?_chem )/T-?R^2/jl_T^2 ] j^(-3?2) ?, (13) l_T=?(2?/MT)^(1/2), (14) где R=|R_1-R_2 |. В случае R?l_T: g(R)=N_0/V+2/(l_T^2 (2??R)^(1?2) ) K_(1/2) (R??), (15) где K_? – модифицированная функция Бесселя, ?=l_T?((?2??^(1?2) ?((E_bp+?-?_chem )/T)) ). (16) Величина ? имеет смысл длины когерентности. С учётом (16) выражение для ? может быть представлено в виде: ?=???(2M(?+ E_bp-?_chem ) ). (17) Из (17) следует, что длина когерентности ТИ-биполяронного газа при T?T_c не зависит от Т. При T?T_c температурная зависимость длины когерентности, согласно (17), определяется температурной зависимостью химического потенциала ?_chem (T). При T=T_c, когда ?_chem=E_bp, длина когерентности ? идеального бозе-газа (ИБГ), соответствующая ?=0, обращается в бесконечность и остаётся таковой при T?T_c. В отличие от ИБГ, длина когерентности газа ТИ-биполярона конечна при T?T_c и равна: ?=???2?M. (18) При T?T_c длина когерентности остаётся конечной и определяется (17) вплоть до температуры существования псевдощелевой фазы T^*, при которой происходит распад ТИ-биполяронов. Отметим, что при R?? величина g(R), согласно (15), имеет вид g(R)=1?(l_T^2 R) exp(-R??). (19) Для материальной ловушки, оптический потенциал которой равен ?=?10?^(-3) К, M=2m_n, где m_n- масса нейтрона, для длины когерентности ? при T?T_(c ) из (18) получим: ??10 нм. Полученный результат соответствует расчетам характерного размера состояния одного нейтрона (?10нм), захваченного оптическим потенциалом ловушки [10]. Авторы [10] предложили использовать их подход для конструирования нейтронных молекул. Проведенный нами расчет корреляционной длины позволяет сделать вывод, что размер простейшей молекулы из двух нейтронов, то есть динейтрона будет иметь характерный размер ? и энергию связи ??10?^(-7) эВ. В работе [6] нами было определено время образования динейтрона в ловушке с УХН. Ясно, что для такого образования необходимо, чтобы частота «столкновений» в нейтронном газе было больше обратной величины времени образования. Будем считать, что образование динейтрона может происходить только, если расстояние между нейтронами не превышают длину корреляции ?. Для частоты столкновений ?=?vn, где n??10?^4см-3–концентрация нейтронов в УХН, v?5 м?сек, ???4???^2 и ?=40нм, соответствующее гелиевой ловушке (см. приложение), получим ???10?^(-4) ?сек?^(-1) . Таким образом, соответствующее время столкновений ??2.8 часа на порядок меньше времени образования динейтрона 27 часов, полученное в [6] на основе сравнения экспериментальных данных времени хранения в пучковых и бутылочных экспериментах (см. также приложение). Отсюда следует, что указанное выше условие образования спаренного состояния выполняется с хорошим запасом. При образовании в нейтронном газе динейтронов последние не находятся в равновесии и, под действием гравитационного поля, падают на дно ловушки, скапливаясь там в самом глубоком месте рельефа потенциала ловушки. Динейтронная капля начнет образовываться, когда концентрация динейтронов на дне достигнет величины 1??^3 , то есть при концентрации порядка ?10?^18 динейтрон/?см?^3. Результаты моделирования динамики образования нейтронных пар в УХН газе приведены в Приложении. В случае, если свободный динейтрон является стабильной частицей, можно оценить время образования из нейтронной капли размером ? нейтронной точечной капли размером ?=?/mc – мезонной комптоновской длины волны. Вышеприведённая оценка для ? в этом случае изменится на выражение для ?_?, где ?_? - частота столкновений нейтронов в точечной капле, которая будет равна: ?_?=?^2/?^2 ?n_?/n ? где n_?- концентрация динейтронов в капле: n_???10?^26н/см3, ?=1,46??10?^(-13)см. оценка ?_? для вышеприведённых значений параметров даёт ?_???10?^8сек-1. Таким образом, если бы существовал стабильным компактный динейтрон размером ?, его образование в капле было бы очень быстрым: порядка сотой доли микросекунды. Таким образом, лимитирующим временем в этом случае было бы время образования протяжённой нейтронной капли. Обсуждение В данной работе рассмотрен вопрос о максимальном размере капли нейтронного бозе-конденсата, который определяется корреляционной длиной ?. При большем размере капли диаметрально противоположно отстоящие нейтроны в капле уже не будут скоррелированы и могут свободно покидать каплю, сохраняя размер капли. Центр тяжести такой капли будет совпадать с центром тяжести каждого из динейтронов, входящих в ее состав и будет располагаться в точке минимума оптического потенциала на дне ловушки. Время существования такого сгустка нейтронной материи в ловушке может превышать время бета-распада нейтрона (аргументы для такого утверждения приведены в [6]). Особенностью рассматриваемой нейтронной Ферми системы по сравнению с электронной, формирующей бозе-конденсат в сверхпроводниках, является невозможность сверхпроводящего конденсата в электронной Ферми системе собраться в точечную каплю, поскольку этому будет препятствовать кулоновское отталкивание куперовских пар или биполяронов, образующих конденсат. Ближе всего к рассматриваемому вопросу относится случай образования бозе – конденсатных капель, экспериментально наблюдавшихся в ловушках с ультрахолодными атомами [11],[12]. Представление о динейтроне как о ТИ-биполяроне, то есть о двух нейтронах, связанных друг с другом мезонным полем, отличается радикально от бытовавшего представления о нем как о компактной элементарной частице. В отсутствие внешнего потенциала оба нейтрона в таком образовании полностью делокализованы, хотя их движение и скоррелировано, как в куперовской паре. По этой причине детекторами нейтронов, составляющие динейтрон нейтроны будут восприниматься как отдельные. В экспериментах по распаду ядер их фиксируют как пары частиц, импульсы которых имеют близкое направление. При распаде покоящихся в ловушке динейтронов, образующиеся вследствие распада нейтроны, будут иметь противоположные импульсы и спины. В этом случае следует использовать системы детекторов, окружающие мишень (ловушку) со всех сторон. Когда два датчика, расположенных противоположно друг к другу, срабатывают одновременно – это сигнал о регистрации антипараллельной пары. Этот вывод будет справедлив только в рассмотренном здесь случае отсутствия стабильного связанного динейтронного состояния в свободном виде. Рассмотренный сценарий образования связанных состояний нейтронов аналогичен образованию куперовских пар. При толковании куперовского спаривания обычно используют качественное представление об электроне в кристалле, который при своем движении оставляет за собой фононный хвост, то есть область кристалла, деформированную электроном. Эту область чувствует другой электрон, что и приводит к их взаимному притяжению. В рассматриваемом нами случае газа нейтронных ТИ биполяронов, входящие в их состав нейтроны, делокализованы по всему объему ловушки и коррелируют друг с другом только на расстояниях не превышающих ?. В случае ловушек с магнитным удержанием нейтронов, роль ?, играет энергия магнитного момента нейтрона в магнитном поле, удерживающая нейтроны в ловушке. При классическом рассмотрении нейтронного газа как бесстолкновительного, еще в 1906 году Пуанкаре было показано, что в таком газе, помещенном в прямоугольный ящик с зеркальными стенками, независимо от его начального распределения с течением времени последний будет равномерно заполнен этим газом [13]. Образование динейтронов в магнитной ловушке при этом будет затруднено, поскольку связано с необходимостью переворота спина для образования синглетного состояния. Образование нейтронной капли, как показано в [6], в этом случае невозможно. Если свободный динейтрон будет стабильным (то есть обладать положительной энергией связи), а его корреляционная длина будет порядка комптоновской, то конденсат схлопнется в каплю с размером порядка этой длины. Образование такого конденсата скорее всего приведет к его стабилизации относительно бета распада и датчики ничего не зафиксируют. В этом случае, однако, нейтронная капля может покинуть ловушку [6]. По этой причине такие эксперименты лучше проводить в условиях микрогравитации. Образование плотной нейтронной капли возможно и в случае, когда между нейтронными парами существует притягивающее взаимодействие, не приводящее к их связанному состоянию (отрицательная энергия связи) вследствие неустойчивости бозе конденсата с таким взаимодействием. При наличии в ловушке большого числа нейтронов, ввиду конечности корреляционной длины, нейтроны уже не смогут помещаться в одной капле, образуя фрагментированный бозе газ из отдельных капель, каждую из которых можно рассматривать как единую массивную бозе-частицу. При установлении фазовой когерентности между такими массивными бозонами они так же могут образовывать единый бозе-конденсат. В земных условиях описанная картина вряд ли реализуема, однако может представлять интерес при описании бозе-конденсата в нейтронных звездах. В настоящее время в Гейтерсберге (США) планируется проведение эксперимента (BL3) по определению времени жизни нейтрона в пучковом эксперименте с существенно более высокой точностью, чем предыдущие. Если это подтвердит значение времени жизни нейтрона, полученное в предыдущих пучковых экспериментах, то решение проблемы нейтронной аномалии в бутылочных экспериментах будет связано необходимостью выбора между уходом нейтронов из ловушки в темную материю или образованием в ней динейтронов. После фиксации результатов, однозначно подтверждающих существование нейтронной аномалии, самым актуальным будет фиксация существования динейтронов в бутылочных экспериментах. Приложение. Кинетика образования динуклонов в УХН газе Рассмотрим УХН газ в ловушке. Нейтроны имеют конечное время жизни ?. При столкновении двух нейтронов с вероятностью p образуется связанная пара. Если нейтроны в динуклоне не изменяют своё время жизни, то время жизни динуклона составит ?_d=??2. Изменение концентрации нейтронов и динейтронов n_d описывается системой: {?(dn/dt=-n/?-?pn^2@(dn_d)/dt=1/2 ?pn^2-(2n_d)/?)? где ?=?v – константа скорости бинарных столкновений. Для разряженного газа, где скорость распада доминирует над скоростью столкновений, решение для числа динейтронов имеет вид (рис. 1): n_d=1/2 ?pn_0^2 t?e^(-2t/?), n(t)?n_0 e^(-t/?) Максимальное число динейтронов n_(d max) достигается в момент времени: ?t_max=??2, n?_(d max)=(?n_0^2 ?)?2e, e=2,718 Для нейтронного газа в гелиевой ловушке с параметрами ?=4??^2=2??10?^4нм2 - сечение рассеяния нейтрона на нейтроне, v=5 м/сек, концентрации n_0=?10?^4см-3, ?=?v=?10?^(-7) см3/сек (одно столкновение каждые 2,7 часа), ?n_0=?10?^(-4)сек-1, вероятности образования динейтрона в каждом столкновении p=1, получим: ? n?_(d max)/n_0 =(?n_0^2 ?)/2e ?16.25% Критическая плотность n_crit состояния, при которой в момент максимума ровно половина нераспавшихся нейтронов находится в спаренном состоянии (2n_d=n) составит n_crit=1/2p?? Для указанных параметров: n_crit?5.68??10?^4см-3. Таким образом, в системе с конечным временем жизни компонентов, максимум в спаривании всегда наступает через время, равное половине среднего времени жизни частицы, а амплитуда этого максимума линейно зависит от плотности газа и вероятности спаривания. Если p?1, то время достижения максимума не изменится. Относительное число динейтронов уменьшится в 1/p раз. Если при p=1 у нас было для n_(d max)/n_0=16,26%, то при вероятности p доля составит n_(d max)/n_0=0,1626p. Например, если спаривается каждая десятая пара (р=0.1), то максимум составит всего 1,626% Рис.1 Нейтроны в ловушке убывают со временем по экспоненте (синяя линия); в начальной момент динейтронов нет, но высокая плотность нейтронов заставляет их быстро образовываться (красная линия). Максимальная концентрация динейтронов достигается в момент t_max=??2=440 сек и равна ?813 динейтронов/см3 общая доля динейтронов в максимуме ?16%. Introduction Currently, polaron models, originally used in condensed matter physics, are beginning to be used with great effectiveness in elementary particle physics. For example, the quark polaron model [1], which is based on the theory of translationally invariant (TI) polarons [2], has successfully explained the reason for the large mass of nucleons consisting of quarks whose mass is several orders of magnitude smaller than the nucleon mass. The polaron theory can explain the nature of quark confinement, since it leads to the idea that it is impossible to separate particles in a bound bipolaron state into individual polarons [3]. The TI theory of excitons in a phonon field [4] provides an explanation for the nature of the asymptotic freedom of quarks, since an increase in the force of interaction with the phonon field leads to the limit of a free exciton, that is, to the limit of weak coupling. Earlier [5], [6] we examined in detail the case of the possible existence of a neutron Bose condensate in an ultracold neutron gas (UCN), in which the role of bosons was played by dineutrons, considered as bipolaron bound states of two neutrons with a non-zero positive binding energy Eb. In this case, the size of the dineutron and the dineutron Bose condensate is determined by the magnitude of the binding energy associated with their size Оѕ and mass M by the relation E_b≈ℏ^2вЃ„гЂ–MОѕгЂ—^2 . The presence of even weakly bound free but stable neutron formations would greatly affect the lifetime of the universe and, apparently, they do not occur in nature under ordinary conditions. Such formations, however, are realized in neutron stars and in the halos of some nuclei. In [5], [6], the possibility of dineutron formation in an ultracold neutron gas was also considered in order to explain the anomaly in the storage time of such a gas in a UCN trap. In this paper, we will discuss in more detail the formation of bound neutron states and the formation of a dineutron Bose condensate in traps in the case of Eb=0, that is, when, according to the generally accepted opinion, a stable dineutron does not exist in a free state. A neutron droplet in the absence of bound dineutron states The problem under consideration is similar to the problem of the formation of multipolaron states in a condensed medium. In condensed media, the formation of multipolaron states is complicated by the existence of a polaron charge, the presence of which prevents the formation of polaron droplets in them (as an example of a multipolaron composed of magnetic polarons, one can cite the possibility of the formation of ferromagnetic regions in antiferromagnets stabilized by electron droplets, taking into account the polaron effect [7], which was considered in the works of Nagaev [8]). Since neutrons do not possess a charge, the formation of multipolaron droplets from neutrons in a meson field can be facilitated (the possibility of the formation of a pion condensate in nuclei, considered by Migdal [9], also belongs to this range of problems). If we consider neutrons as non-interacting with the meson field (and other fields), then the Hamiltonian of the system will be additive with respect to these fields. Formally, in this case, the meson field can be removed by setting the meson frequencies and the interaction constant equal to zero (the meson frequencies are assumed to be zero because their contribution to the TI polaron spectrum is not zero even at g=0, where g is the nucleon-meson coupling constant [2]). This is the case of a free neutron field. If paired neutron states in such a field are considered as bosons, then their Bose condensate has the Einstein temperature of Bose condensation: РўСЃ = Tc (0). For nonzero (arbitrarily small) g, the temperature of the Bose condensate changes radically. This is due to the fact that, for nonzero g, both subsystems become nonequilibrium with respect to the formation of polarons (bipolarons) with the РўСЃ of their Bose condensate equal to [5], [6]: T_c (f)=((F_(3вЃ„2) (0))вЃ„(F_(3вЃ„2) (f) ))^(2вЃ„3) T_c (0) (1) F_(3вЃ„2) (f)=2/в€љПЂ ∫_0^Оів–’(t^(1вЃ„2) dt)/(e^(t+в€љ(f^2+2Mf tвЃ„Ој))-1), T_c (0)=3,31 n^(2вЃ„3)/M, Оі=Оє/T_c , where f=ОјвЃ„(T_c=1,566в€™гЂ–10гЂ—^12 ) K/Tc, Ој is the meson mass, M is the mass of a binucleon (it is assumed that в„Џ=1, the speed of light is СЃ=1, the temperature T is measured in Kelvin: K). With such a combination of Fermi and Bose systems, a Bose condensate is always formed in the ultra-low temperature limit, since the ground state of the Bose condensate at T=0 will have zero, that is, the lowest, energy. The particles that make up such a Bose condensate will be TI bipolarons (from now on, we will omit the word "neutron" in the terms "neutron polaron" or "bipolaron"). This will be the case even if the formation of a bipolaron is less energetically advantageous than the formation of two unbound polarons, since only bipolarons (generally multipolarons, such as tetraneutrons or hexaneutrons, with integer spin) are capable of forming a Bose condensate. In the case of a dense neutron medium (neutron stars), both polarons and bipolarons have a size of the order of the Compton length of a meson (the size of the meson coat of a polaron). In neutron stars, the characteristic distance between neutrons is also of the order of the Compton length. This means that the neutron gas in a star is ultradense. A completely different situation occurs in the case of an ultracold neutron gas confined in a material trap. The distance between neutrons in real traps is about 0.1 cm or more, while the characteristic size of a bipolaron Bose condensate is very small and, as will be shown below, is of the order of tens of nanometers. This means that an entirely new type of low-density neutron Bose condensate is possible, which can arise in an ultracold neutron gas confined in a material trap. As shown in [5], [6], formula (1) yields a very high РўСЃ even for ultra-low concentrations of paired neutrons. In reality, according to [5], [6], РўСЃ is limited by the depth of the optical potential of the trap, i.e., the maximum value is РўСЃ= Оє and is approximately equal to 10-3 Рљ. In the absence of stable dineutrons, the pairing of neutrons that do not interact with each other will occur at a temperature of their Bose condensate equal to: РўСЃ= 0.218EF, (2) provided that РўСЃ does not exceed Оє. The value of РўСЃ, determined by (2), corresponds to the temperature of a neutron Fermi gas in which all neutrons have passed into a paired state and formed a Bose gas. In fact, the Fermi energy EF for the concentrations attainable in a trap is so low that a degenerate neutron gas, much less its Bose-Einstein condensate, cannot be experimentally realized. The situation can change radically if a neutron droplet with a neutron concentration many orders of magnitude higher than the neutron concentration in a UCN trap were to form in the neutron gas. We will consider this case below. Coherence length of the TI bipolaron Bose condensate The interaction between two neutrons, each occurring in a delocalized state and described by a plane wave, does not result in their localization, but rather in their correlated motion, which is described by the correlation length Оѕ, over which they sense each other. The correlated motion of two TI polarons is a TI bipolaron. For this, it is necessary that the average distance between the neutrons be less than Оѕ. This is possible if the concentration of neutrons in the trap is sufficiently high. This situation can be realized with the formation of a neutron droplet in the UCN gas. Such a droplet can be said to be formed by TI bipolarons from neutrons. For this reason, we need to consider a boson gas consisting of TI bipolarons forming a neutron droplet. In quantum mechanics, the many-particle and field descriptions of a gas of TI bipolarons are equivalent. The many-particle density matrix for n particles has the form: g(R_1,…R_n; R_1^',…R_n^' )=∑_kв–’гЂ–n_k ОЁ_k^* гЂ— (R_1,…R_n ) ОЁ_k (R_1^',…R_n^' ). (3) according to (17), is determined by the temperature dependence of the chemical potential Ој_chem (T). At T=T_c, when Ој_chem=E_bp, the coherence length Оѕ of the ideal Bose gas (IBG), corresponding to k=0, becomes infinite and remains so at T≤T_c. Unlike IBG, the coherence length of the TI bipolaron gas is finite at T≤T_c and is equal to: Оѕ=в„ЏвЃ„в€љ2ОєM . (18) At T≥T_c the coherence length remains finite and is determined by (17) up to the temperature of the existence of the pseudogap phase T^*, at which the decay of TI bipolarons occurs. Note that for R≫ξ according to (15), g(R) has the form: g(R)=1вЃ„(l_T^2 R) exp(-RвЃ„Оѕ). (19) For a material trap whose optical potential is Оє=гЂ–10гЂ—^(-3) Рљ, M=2m_n, where m_n- is the neutron mass, for the coherence length Оѕ at T≤T_(c ) from (18) we obtain: ξ≈10 nm. The result obtained corresponds to the calculations of the characteristic size of the state of one neutron (≈10nm), trapped by the optical potential of the trap [10]. The authors of [10] suggested using their approach to construct neutron molecules. Our calculation of the correlation length allows us to conclude that the size of the simplest molecule of two neutrons, that is, a dineutron, will have a characteristic size Оѕ and a binding energy ≈〖10гЂ—^(-7) eV. In [6], we determined the dineutron formation time in a UCN trap. Clearly, for such formation to occur, the "collision" frequency in the neutron gas must be greater than the inverse of the formation time. We assume that the formation of a dineutron can occur only if the distance between neutrons does not exceed the correlation length Оѕ. For the collision frequency ОЅ=Пѓvn, where n〖≈10гЂ—^4cm-3 the neutron concentration in UCN, v≈5 m/sec, σ≈〖4ПЂОѕгЂ—^2 and Оѕ = 40 nm, corresponding to the helium trap (see Appendix), we obtain ν≈〖10гЂ—^(-4) sec-1. Thus, the corresponding collision time τ≈2.8 hours is an order of magnitude shorter than the time of formation of a dineutron equal to 27 hours, obtained in [6] based on a comparison of experimental data on the storage time in beam and bottle experiments. It follows that the above-mentioned condition for the formation of a paired state is satisfied with a good margin. When dineutrons are formed in a neutron gas, they are not in equilibrium and, under the influence of the gravitational field, fall to the bottom of the trap, accumulating there at the deepest point of the trap potential relief. A dineutron droplet will begin to form when the dineutron concentration at the bottom reaches 1вЃ„Оѕ^3 , that is, at a concentration of about гЂ–10гЂ—^18 dineutron/cm3. The results of modeling the dynamics of the formation of a neutron pair in UCN gas are presented in the Appendix. If a free dineutron is a stable particle, we can estimate the time it takes for a neutron droplet of size Оѕ to form a neutron point droplet of size О»=в„Џ/mc which is the meson Compton wavelength. In this case, the above estimate for ОЅ will change to the expression for ОЅ_О», where ОЅ_О» is the frequency of neutron collisions in a point droplet, which will be equal to: ОЅ_О»=О»^2/Оѕ^2 в€™n_Оѕ/n ОЅ where n_Оѕ- is the concentration of dineutrons in a droplet: n_ξ≈〖10гЂ—^26n/cm3, О»=1,46в€™гЂ–10гЂ—^(-13)cm. The estimate of ОЅ_О» for the above parameter values yields ОЅ_λ≈〖10гЂ—^8sec-1. Thus, if a stable compact dineutron of size О» existed, its formation in the droplet would be very fast: of the order of a hundredth of a microsecond. Thus, the limiting time in this case would be the time of formation of an extended neutron droplet. Discussion In this paper, we consider the maximum size of a neutron Bose-Einstein condensate droplet, which is determined by the correlation length Оѕ. For larger droplets, the diametrically opposed neutrons in the droplet are no longer correlated and can freely escape, maintaining the droplet's size. The center of gravity of such a droplet will coincide with the center of gravity of each of the dineutrons in it and will be located at the point of the minimum optical potential at the bottom of the trap. The lifetime of such a clump of neutron matter in the trap may exceed the beta decay time of a neutron (the arguments for this assertion are presented in [6]). The peculiarity of the considered neutron Fermi system in comparison with the electron one, which forms a Bose condensate in superconductors, is the impossibility of the superconducting condensate in the electron Fermi system to assemble into a point droplet, since this will be prevented by the Coulomb repulsion of Cooper pairs or bipolarons forming a condensate. The closest case to the issue under consideration is the formation of Bose-Einstein condensate droplets, experimentally observed in traps with ultracold atoms [11], [12]. The concept of a dineutron as a TI bipolaron, that is, two neutrons bound together by a meson field, differs radically from the previously held view of it as a compact elementary particle. In the absence of an external potential, both neutrons in such a formation are completely delocalized, although their motion is correlated, as in a Cooper pair. For this reason, neutron detectors will perceive the neutrons that make up the dineutron as separate ones. In nuclear decay experiments, they are detected as pairs of particles whose momenta have a similar direction. During the decay of trapped dineutrons, the neutrons formed as a result of the decay will have opposite momenta and spins. In this case, detector systems surrounding the target (trap) on all sides should be used. When two detectors located opposite each other are triggered simultaneously, this signals the detection of an antiparallel pair. This conclusion is valid only in the case considered here, where a stable bound dineutron state in a free form is absent. The considered scenario of the formation of bound neutron states is similar to the formation of Cooper pairs. When interpreting Cooper pairing, one usually uses a qualitative representation of an electron in a crystal, which, when moving, leaves behind a phonon tail, that is, a region of the crystal deformed by an electron. This region is sensed by another electron, leading to their mutual attraction. In the case of a gas of neutron TI bipolarons under consideration, the neutrons in them are delocalized throughout the entire volume of the trap and correlate with each other only at distances not exceeding Оѕ. In the case of magnetic neutron traps, the role of Оє is played by the energy of the magnetic moment of the neutron in the magnetic field, which holds the neutrons in the trap. In the classical consideration of a neutron gas as collisionless, as early as 1906 Poincare showed that in such a gas placed in a rectangular box with mirrored walls, regardless of its initial distribution, the box will be uniformly filled with this gas over time [13]. The formation of dineutrons in a magnetic trap will be difficult in this case, since it is associated with the need to flip the spin to form a singlet state. The formation of a neutron droplet, as shown in [6], is impossible in this case. If the free dineutron is stable (i.e., has a positive binding energy) and its correlation length is of the order of the Compton length, then the condensate will collapse into a droplet with a size of the order of this length. The formation of such a condensate will likely lead to its stabilization relative to beta decay, and the detectors will detect nothing. In this case, however, the neutron droplet may escape the trap [6]. For this reason, it is better to conduct such experiments under microgravity conditions. The formation of a dense neutron droplet is also possible when an attractive interaction exists between neutron pairs that does not lead to their bound state (negative binding energy) due to the instability of the Bose condensate with such an interaction. If there are a large number of neutrons in the trap, due to the finiteness of the correlation length, the neutrons will no longer fit into one droplet, forming a fragmented Bose gas from individual droplets, each of which can be considered as a single massive Bose particle. If phase coherence is established between such massive bosons, they can also form a single Bose condensate. This scenario is unlikely to be realized under terrestrial conditions, however it may be of interest for describing the Bose condensate in neutron stars. Currently, an experiment (BL3) is planned in Gaithersburg (USA) to determine the lifetime of a neutron in a beam experiment with significantly higher accuracy than previous experiments. If this confirms the value of the neutron lifetime obtained in previous beam experiments, then the solution to the problem of the neutron anomaly in bottle experiments will require a choice between neutrons escaping the trap into dark matter or the formation of dineutrons within it. If this confirms the value of the neutron lifetime obtained in previous beam experiments, then the solution to the problem of the neutron anomaly in bottle experiments will be related to the need to choose between the escape of neutrons from the trap into dark matter or the formation of dineutrons in it. After recording the results that unequivocally confirm the existence of the neutron anomaly, the most pressing task will be to record the existence of dineutrons in bottle experiments. Appendix. Kinetics of dinucleon formation in UCN gas Let us consider a UCN gas in a trap. Neutrons have a finite lifetime П„. When two neutrons collide with probability p, a bound pair is formed. If the neutrons in a dinucleon do not change their lifetime, then the dinucleon lifetime will be П„_d=П„вЃ„2. The change in the neutron and dineutron concentration n_d is described by the system: {в–€(dn/dt=-n/П„-Оєpn^2@(dn_d)/dt=1/2 Оєpn^2-(2n_d)/П„)┤ where Оє=Пѓv is the rate constant for binary collisions. For a rarefied gas, where the decay rate dominates the collision rate, the solution for the number of dineutrons is (Fig. 1): n_d=1/2 Оєpn_0^2 tв€™e^(-2t/П„), n(t)≈n_0 e^(-t/П„) The maximum number of dineutrons n_(d max) is reached at the moment: гЂ–t_max=П„вЃ„2,nгЂ—_(d max)=(Оєn_0^2 П„)вЃ„2e, e=2,718 For a neutron gas in a helium trap with parameters Пѓ=4ПЂОѕ^2=2в€™гЂ–10гЂ—^4nm2 - neutron-neutron scattering cross-section, v=5 m/sec, concentration n_0=гЂ–10гЂ—^4cm-3, Оє=Пѓv=гЂ–10гЂ—^(-7) cm3/sec (one collision every 2.7 hours), Оєn_0=гЂ–10гЂ—^(-4)sec-1, the probability of dineutron formation in each collision p=1, we obtain: гЂ– nгЂ—_(d max)/n_0 =(Оєn_0^2 П„)/2e ≈16.25% Fig.1 Neutrons in the trap decrease exponentially with time (blue line); initially, there are no dineutrons, but the high neutron density causes them to form rapidly (red line). The maximum dineutron concentration is reached at t_max=П„вЃ„2=440 sec and is equal to ≈813 dineutrons/cmВі, the total fraction of dineutrons at maximum ≈16%. The critical density of the state at which, at the moment of maximum, exactly half of the undecayed neutrons are in the paired state (2n_d=n) will be n_crit=1/2pОєП„ For the specified parameters: n_crit≈5.68в€™гЂ–10гЂ—^4cm-3. Thus, in a system with a finite lifetime of the components, the maximum in pairing always occurs after a time equal to half the average lifetime of a particle, and the amplitude of this maximum depends linearly on the gas density and the pairing probability. If pв‰ 1, then the time to reach the maximum will not change. The relative number of dineutrons will decrease by a factor of 1/p. If at p=1 we had n_(d max)/n_0=16,26%, then with probability p the proportion will be n_(d max)/n_0=0,1626p. For example, if every tenth pair pairs (p=0.1), then the maximum will be only 1,626% 538.945 GQOCQD мезонная шуба полярона термодинамическое равновесие в УХН датчики динейтронов нейтронный бозе-конденсат УХН нейтронная молекула polaron meson coat thermodynamic equilibrium in UCNs dineutron detectors UCN neutron Bose condensate neutronic molecule Afonin S. S., Tulub A. V., Quark model of nucleon based on an analogy with polaron // Eur. Phys. J. C, 2025, v.85, 784. https://doi.org/10.1140/epjc/s10052-025-14518-x Lakhno V.D., Pekar’s ansatz and the strong coupling problem in polaron theory // Phys. Usp., 2015, v.58, p.295-308. https://doi.org/10.3367/UFNe.0185.201503d.0317 Lakhno V.D., High – Temperature Superconductivity. Bipolaron mechanism, De Gruyter, 2022 Lakhno V.D., Translation-invariant excitons in a phonon field // Condens. Matter, 2021, v.6 (2), p.20, https://doi.org/10.3390/condmat6020020 Лахно В.Д. О возможности образования бозе-конденсата в ультрахолодном нейтронном газе // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. 2024, № 85. 17 с. https://doi.org/10.20948/prepr-2024-85 https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2024-85 Лахно В.Д. О возможности создания нейтронной материи в земных условиях // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. 2025. № 54. 20 с. EDN: IFDQSH https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2025-54 Lakhno V.D., Nagaev E.L. Ferron-polaron carrier states in antiferromagnetic semiconductors // Fizika tverdogo tela, 1976, v.18, p.3429–3432 Нагаев Э.Л. Физика магнитных полупроводников, М: Наука, 1979 Мигдал А.Б., Теория конечных ферми-систем и свойства атомных ядер, Москва, Наука, 1983 Tang H., Wang G., Cappellaro P., μeV - Deep Neutron Bound States in Nanocrystals // ACSNano, 2024, v.18 (12), p.906363 – 9070; DOI: 10.1021/acsnano.3c12929 Petrov D.S. Quantum Mechanical Stabilization of a Collapsing Bose-Bose Mixture // Phys. Rev. Lett., 2015, 155302 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.115.155302 Cabrera C. R., Tanzi L., Sanz J., Naylor B., Thomas P., Cheiney P., and Tarruell L., Quantum liquid droplets in a mixture of Bose-Einstein condensates // SCIENCE, 2017, v.359, Issue 6373, p. 301-304 DOI: 10.1126/science.aao5686 Козлов В.В., Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре, Москва-Ижевск, 2002, ISBN 5-93972-187-7 https://keldysh.ru/papers/2026/prep2026_11.pdf https://keldysh.ru/papers/2026/prep2026_11_eng.pdf