1-14 RAR 2491-2244 0000-0001-7324-1823 Варин Виктор Петрович Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН varin@keldysh.ru Персональная веб-страница: http://keldysh.ru/persons/258.html Varin V.P. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS Критерии иррациональности типа Бруна и Дирихле Irrationality criteria of the Brun and Dirichlet types Успешные доказательства иррациональности фундаментальных констант крайне редки и исчисляются несколькими примерами. Все эти примеры основаны на свойствах делимости числителей и знаменателей полученных рациональных приближений, а также на критерии иррациональности Дирихле. Этот критерий также неявно лежит в основе других малоизвестных критериев иррациональности, например, критериев Бруна и Ламберта-Лежандра. Здесь мы даем два критерия иррациональности, которые обобщают критерии Бруна и Дирихле, а также даем примеры их применения. Successful proofs of irrationality of some fundamental constants are extremely rare and count only a few examples. All these examples are based on the properties of divisibility of numerators and denominators of the obtained rational approximations as well as on the Dirichlet criterion. This criterion also implicitly underlies other less known criteria of irrationality such as, for example, the Brun and Lambert-Legendre criteria. Here we give two irrationality criteria, which generalize the Brun and Dirichlet criteria, and give some examples of their application. 1. ВВЕДЕНИЕ Доказательство иррациональности (и трансцендентности) фундаментальных математических постоянных - это классический раздел аналитической теории чисел. Иррациональность числа e была известна еще Эйлеру, а иррациональность числа п была доказана Ламбертом (и более подробно Лежан-дром, см. [1]). Однако несмотря на ряд фундаментальных теоретических результатов, полученных за более чем два столетия, следующий значительный успех (помимо доказательств трансцендентности) был достигнут Апери только в 1978 году, когда он доказал иррациональность «константы Апери» ((3). Апери изложил свое доказательство в короткой заметке [2] весьма схематично. Более подробное доказательство можно найти в статье [3] вместе с обсуждением его исключительности в том смысле, что это доказательство не вписывается в какой-либо метод, а является скорее счастливой случайностью, которая пока что никак не обобщается. В разд. 2 мы приводим три примера доказательства иррациональности для констант ln(2), ((2) и ((3), которые имеют явное сходство и, казалось бы, далеко идущие аналогии. Однако эти аналогии (по крайней мере, некоторые из них) были давно замечены, и попытки их обобщить предпринимались неоднократно (и безуспешно). Все три данных примера существенно опираются на свойства делимости числителей p и знаменателей q полученных рациональных приближений, а также на классический критерий иррациональности Дирихле. Этот критерий весьма прост: Пусть последовательность рациональных чисел {p/q} стремится к пределу а и при этом тогда а иррационально, так как иначе, т.е. если а = a/b, a, b G Ъ, получим последовательность натуральных чисел, \bp — aq\ -^-0, что невозможно. Этот критерий иррациональности, насколько нам известно, чаще всего применяется на практике, причем случаи его успешного применения крайне редки (см. ниже). Однако и два других, значительно менее известных критерия иррациональности, а именно: критерий Ламберта Лежи!при и критерии Вруна (см. обзор в [4]) опираются в своих доказательствах (см. [1] и [5]) на сведение к противоречию, которое выражается в построении последовательности натуральных чисел, стремящихся к нулю. Таким образом, свойство (1) лежит в основе и этих двух малоизвестных критериев и поэтому является базовым. Очевидно, критерий Дирихле, если он выполнен, можно легко нарушить, p/q pq то критерий Дирихле может быть бесполезен, даже если полученная последовательность рациональных приближений сходится очень быстро. Насколько нам известно, все усилия по доказательствам иррациональности (например, константы ((5)) укладываются в ту же парадигму, что и для данных выше констант. А именно, доказательство иррациональности всегда предполагает построение достаточно быстро сходящейся последовательности рациональных приближений, для которой выполняется критерий Дирихле. В данной статье делается попытка взглянуть на эту проблему под другим углом, т.е. попытаться как-то расширить имеющийся скудный набор критериев иррациональности. Например, в работе [4] показано, что для доказательства иррациональности некоторой константы достаточно построить последовательность рациональных приближений, которая стремится к ней быстрее, чем последовательность подходящих дробей ее обыкновенной цепной дроби (см. также [6]). Разумеется, этот «критерий» абсолютно не практичен, так как свойства нужной цепной дроби заранее не известны. а но связана с существованием асимптоты для последовательности гауссовых целых, ассоциированной с последовательностью ее рациональных приближений. Это свойство гауссовых целых дает возможность ослабить критерий (1), в котором теперь достаточно потребовать ограниченности величин \p — aq\. 2. ПРИМЕРБ1 ПРИМЕНЕНИЯ КРИТЕРИЯ ДИРИХЛЕ Приведем примеры успешного применения критерия Дирихле, которые p q Рассмотрим цепную дробь которая соответствует диагональной 11иде аппроксимации степенного ряда функции ln(x + 1) в нуле при подстановке в нее x = 1 (см. [7]). Заметим, что классическая цепная дробь константы Эйлера Гомпортим весьма похожа на предыдущую: 2+ п=2 2 п и она так же соответствует диагональной 11иде аппроксимации асимптотического ряда функции exp(1/x)Ei(1,1/x) в нуле, но для нее найденные аналогии (см. ниже) не применимы. Дробь (2) можно получить с помощью г алгоритма Винна (Wynn) (см. 4, 8]). А именно: положим n W (n,k) = 0,k< 0; W (п, 0) = s(n)= Е(—1)k—1A; k=i W(n,k + l) = W(n + l,k-l) + 1 , k>0, W (n + 1,k) — W (n,k) тогда величины W(0, 2 ri), n G N - это последовательность подходящих дробей дроби (2). Последовательность рациональных приближений W(0, 2 п) удовлетворяет критерию Дирихле, но это эмпирический результат, так как алгоритм приводит дроби автоматически. Последовательности числителей pn и знаменателей qn подходящих дробей разложения (2) вычисляются по стандартным формулам, которые можно также записать одной формулой для последовательности гауссовых целых 9n = qn + ipn, i2 = —1: g—i = i, go = 1,gn = bn gn—i + an gn—2,n> 0, (3) где an,bn G Z это частные числители и знаменатели дроби (2). Получаем: {pn} = {2,18, 262, 5340,139988,4486104,169918488, 7426512864,...}, {qn} = {3, 26, 378, 7704, 201960, 6472080, 245140560,10714193280,...}. pn qn так как эти величины растут слишком быстро. Можно проверить, что (Pn+i _Рп\ = Г2 l_ _2 1 2 Л \qn+1 qnj \3'39'2457'40446'2701215'"'J ' П °' Обозначим n c1(n) = C (n,k) C (n + k,k),dn = lcm(1, 2,...,n),n G N, k=o где С() - это биномиальный коэффициент, a lcm() - это наименьшее общее кратное. Тогда получим разложение, эквивалентное цепной дроби (2): оо 0 1п(2) = J2 n=1 nci(n) а(п - 1у Положим теперь Pn I 1 Qn I n! n! Тогда можно проверить, что [pn] = [2,18, 262, 2670,69994, 373842,14159874,154719018, 2554703978,...}, [qn] = {3, 26, 378, 3852,100980, 539340, 20428380, 223212360,3685658760,...}, т.е. эти последовательности состоят из целых чисел и для них критерий Дирихле выполнен. Доказательства сделанных выше утверждений далеко не очевидны. Они почти зеркально воспроизводят доказательства иррациональности констант Z(2) и ((3), данных Апери (см. [2], а также более подробно [3, 9]). Перейдем к следующему примеру. Рассмотрим цепную дробь (см. [3, 4]) С(2) = — К {П~1)А = — — — ™- (4) Uj 3+ n=2lln2-lln + 3 3+ 25+ 69+ 135+ 223+"" U Эта дробь соответствует последовательности рациональных приближений, полученных Апери в [2], но в явном виде там она не приводилась. Дробь (4) можно получить с помощью р-алгоритма Винна, который идентичен алгоритму Тиле построения интерполяционной рациональной аппроксимации в виде цепной дроби (см. [4]). А именно: положим n T (n,k) = 0,k< 0; T (п, 0) = s(n)^1/fc2; k=i ^ Т(п, к) = Т(п + 1, к - 2) + — t(~n + к} ~ ^ -, к > 0, v ' ; v ' ; Т(п + 1,к-1)-Т(п,к-1) где t(n)= n это вспомогательная последовательность (подбираемая эмпирически). Тогда величины T(0, 2 n)= pn/qnj n G N - это последовательность подходящих дробей дроби (4). Пусть gn = qn + ipn это последовательность гауссовых целых (3) для цепной дроби (4). Тогда можно проверить, что \Рп+\ Рп\ = [5 -5 5 -5 1 -5 1 \qn+1 qn) \3'228'25137'2942352'70387515'42519730572''"J ' П °' Обозначим п c2(n) = ^ C2(n, k) C(n + k,k). k=0 Тогда получим разложение, эквивалентное цепной дроби (4) 00 / -^п-l С(2) = 5^ (^ 1 П2 C2(n) C2(n - 1) Положим теперь d P dn qn Pn / , \ о 1 Qn / , ч о • Тогда можно проверить, что [Pn] = {5,125,8705,296325,66637595,621542285,291416115945,...}, {qn} = {3, 76, 5292,180144,40510800,377852400,177159754800,...}, т.е. эти последовательности состоят из целых чисел и для них критерий Дирихле выполнен. Доказательства можно найти в [2] (схематично) и в [3] более подробно. Наконец, приведем последний (известный нам) пример. Рассмотрим цепную дробь ,т_6 К -(п-1)6 _ 6 1 64 729 Uj 5+ n=2 34n3-51n2 + 27n + 5 5- 117- 535- 1463-"" U Это (весьма известная) цепная дробь Апери (см. [4], а также [2, 3, 9]). Дробь (6) можно получить с помощью алгоритма Тиле-(Винна) так же, как и дробь (4). Для этого в формулах (5) следует положить n 1 s(n) = S^3' t{n) = n{n + l). k=l Заметим, что Апери использовал в [2] специальный алгоритм ускорения сходимости (о чем редко пишут). При этом Апери исходил из (весьма неочевидной) формулы CIZ) 5Т ("1Г' (7) n=l v ' Но результат был тот же: две линейные формы, т.е. две голономных последовательности, эквивалентные дроби (6). Существование двух линейных форм весьма существенно, так как это позволило оценить асимптотику роста голономных последовательностей, т.е. Pq Последовательности числителей рп и знаменателей qn подходящих дробей разложения (6), вычисляемых по формуле (3), имеют вид {pn} = {6, 702,375186, 548385360,1701199780944, 9628728237797760,...}, {qn} = {5, 584, 312120,456205824,1415240640000,8010210009600000,...}, и для них, разумеется, критерий Дирихле нарушается. Однако можно проверить, что для n ? N0, Pn+i Pnl [632 3 6 1 qn+i qn) [5 1460 949365 1525966240 3378498000625 632754827248500' Обозначим n cs(n) = C2(n, k) C2(n + k,k). k=0 со) = ? 6 Тогда получим разложение, эквивалентное цепной дроби (6): 00 -f n3 СЗ(П) СЗ(П - 1)' Положим теперь Рп 7 ГГч' Чп 7 ГГч' (n!)3 (n!)3 Тогда можно проверить, что {pn} = {6,702,375186, 68548170, 212649972618, 5572180693170, 52037240544974502,...}, {qn} = {5,584,312120, 57025728,176905080000, 4635538200000, 43290164058120000,...}, т.е. эти последовательности состоят из целых чисел и для них критерий Дирихле выполнен. Доказательства можно найти в [2] (схематично) и в [3] более подробно. Аналогии в доказательствах иррациональности констант ln(2), ((2) и ((3) очевидны (особенно в нашем изложении). Разумеется, эти аналогии были замечены многими авторами, и попытки их обобщить для констант ((n), 5 < n, неоднократно предпринимались ранее (см., например, [9]). Однако эти усилия ни к чему не привели (см. также [4]). По-видимому, между ((2) ((3) и последующими значениями ((n), 4 < n, существует некий барьер, природа которого пока не ясна. 3. КРИТЕРИИ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ ТИПА БРУНА И ДИРИХЛЕ Пусть имеется ограниченное множество рациональных чисел, а = {p/q}7 p, q ? N, имеющее единственную предельную точку. Эта точка является ве- а делению вещественных чисел как пополнения множества рациональных, са-а а Неприводимость дробей p/q, входящих в множество а, не предполагается. Но условие, что предельная точка единственна, либо исключает случай, когда множество а содержит бесконечное множество приводимых дробей вида np*/nq*, n G N либо чиело а = p*/q* заведомо рационально. Этот случай а число сократимых дробей, равных друг другу. qp аа циональным числом при этих ограничениях, по-прежнему открыт. Наряду с рациональными числами p/q G а рассмотрим также множество гауссовых целых q + ip G C Очевидно, одному и тому же рациональному числу r = p*/q* G а может соответствовать много гауссовых целых, но лишь конечное число, согласно наложенному ограничению. Есть еще один тривиальный случай (включающий предыдущий), который а если бесконечное множество гауссовых целых q + ip лежит на одной прямой: p = аq + в. (8) Тогда, очевидно, пи в рациональны и находятся явно. Например, Pi -Р2 о Р2 qi ~ Pi (12 , п qi - q2 qi - q2 Рассмотрим последовательность гауссовых целых gn = qn + ipnj n G N, и определим ее асимптоту (если она существует) как прямую (8), такую, что для любого .: > О существ)'от N, такое, что все члены последовательности <j„. n>N. лежат внутри полосы Б? = {p = аq + в ± s},gn G B?,n>N. (9) Очевидно, если гауссовы целые соединить некоторой гладкой кривой (или просто ломаной), то это определение асимптоты совпадает с тем, который дают в курсах анализа, за исключением того, что обычно требуют, чтобы кривая не пересекала асимптоту. Данные определения позволяют сформулировать критерий иррациональности, который обобщает критерии Бруна (см. [5, 6]). Теорема 1. Если последовательность гауссовых целых q + ip имеет асимптоту p = аq + в, то либо число а = lim p/q является иррациональным, либо начиная с некоторого номера все q + ip принадлежат этой а Доказательство. Если на асимптоте лежит более одного из гауссовых ав а ту можно рассмотреть также как замкнутую обмотку на торе. Поэтому в достаточно узкой полосе, содержащей асимптоту, вообще не содержится целочисленных точек, что противоречит определению асимптоты. Ч.Т.Д. Приведем сперва пример, когда теорема 1 не работает, т.е. либо не дает возможности сделать вывод об иррациональности предела p/q — а, либо а рационально. Пусть p = n + 1, q = n тогда p = q + 1, т.е. все гауссовы целые gn лежат на одной прямой, на =1 рационально. Это же справедливо, например, для последовательности p = n2 + 1, q = n2. p = n2 + n +1 q = n2 теперь v = q + Vq +1, т.е. асимптоты не существует, и теорема 1 не применима. Теперь приведем пример, как теорема 1 работает. Рассмотрим последовательность чисел Фибоначчи {Fn,n G N}, которую запишем в виде у/Ъ Fn = фп-(1- ф)\ ф = « 1.61803, где ф - это золотое сечение. Разумеется, отношение Fn+i/Fn - это последовательность подходящих ф иррациональному пределу. Но если бы мы этого не знали, то, обозначив p=y/5Fn+1, q = VbFn, после некоторых преобразований получим: p = фq~+(2 ф - - Ф)П, что влечет иррациональность ф согласно теореме 1, так как |1 - ф\ < 1 Теорема 1 обобщает критерий Бруна (см. [5]), так как этот критерий (или его зеркальное отражение (см. [4, 6])) как раз и гарантирует существование асимптоты. В самом деле, выпуклая вверх кривая или ломаная, соединяющая гауссовы целые, (стремящаяся к бесконечности) точка на которой видна из некоторой точки на мнимой оси, лежащей со стороны выпуклости кривой, под углом, который монотонно возрастает и ограничен величиной arctan а, - такая кривая очевидно имеет асимптоту (8). и Как показано в [4], все последовательности четных (нечетных) подходящих дробей обыкновенных цепных дробей иррациональных чисел удовлетворяют критериям Бруна. Теорема 1 позволяет отказаться от условия монотонности и/или выпуклости в критериях Бруна и рассматривать произвольные последовательности. Перейдем к классическому критерию иррациональности Дирихле, который, насколько нам известно, чаще всего применяется на практике, причем случаи его успешного применения крайне редки (см. выше). Покажем, что требование стремления к нулю в критерии Дирихле (1) является, на самом деле, слишком ограничительным и его можно ослабить. Теорема 2. Пусть последовательность рациональных чисел {p/q} стремится к пределу а. И пусть множество чисел \p — aq\ ограничено, т.е. |p — aq\ <C = const. Тогда, либо число а иррационально, либо найдется рациональное число в, такое, что бесконечное число гауссовых целых q + ip лежит на прямой p = aq + в, и тогда а рационально. Доказательство. Ограниченное бесконечное множество вещественных чисел p — aq имеет хотя бы одну предельную точку. Возьмем любую из них и обозначим ее в- Тогда прямая p = aq + в является асимптотой некоторой подпоследовательности гауссовых целых q + ip, и применима теорема 1. ч.т.д. Приведем пример, когда теорема 2 работает, в то время как критерий { p/q} p = eГ(п + 1,1),q = Г(п + 1),n G N, Как показано в [5], для этой последовательности применим критерий Бру-pq p/q Применим сперва теорему 1. Вспоминая интегральное представление Гамма-функций, имеем: p что дает асимптоту для гауссовых целых, а условия выпуклости и монотонности можно не проверять. pq (p + cn)/(q + dn), где cn,dn - это произвольные ограниченные последовательности целых, то критерий Дирихле очевидно нарушается, в то время как теорема 2 дает иррациональность предела. Правда, мы опустили проверку условия, что гауссовы целые не лежат на одной прямой. Однако такой случай (как правило) тривиален и легко проверяется. Теоремы 1 и 2 имеют простую, но не вполне очевидную геометрическую интерпретацию. Рассмотрим комплексную плоскость q + ip = z G Си семейство прямых (8) на ней, где в G R - это параметр. Очевидно, при изменении в прямая (8) пройдет через любое гауссово целое. Однако для a G Q и для a G Q прямая (8) пересекает гауссовы целые принципиально различным образом. Предложение. Если a G Q, то прямая (8) либо содержит бесконечное число гауссовых целых, либо она лежит в некоторой полосе (9), где нет гауссовых целых. Если же a G Q, то прямая (8) либо содержит только одно гауссово целое, либо их не содержит, и она всегда является асимпто- (8) Доказательство. Первая часть очевидна, так как плоскость можно свернуть в тор, т.е. компактный объект. Для a G Q такой трюк не проходит. (8) a, в G Q (см. выше). Поэтому надо доказать, что прямая (8) не может лежать внутри полосы (9), где нет целочисленных точек. Предположим противное. Тогда возьмем верхнюю границу этой полосы для некоторого в = в + ?- Эта прямая содержит единственную целочисленную точку, пусть zo = qo + ip0-Но тогда можно сделать замену координат и переместить точку z0 в начало координат. a a этом четные подходящие дроби монотонно возрастают. Значит, гауссовы целые неизбежно появятся внутри полосы. Ч.Т.Д. Как очевидное следствие получаем, что элементы любой группы {p + aq, p,q G Z,a G Q} всюду плотны на вещественной оси. Пример: -588 + 418^/2 ~ п с погрешностью ~ 0.000323581. 4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Как мы показали, теорема 1 является естественным обобщением критерия в=0 Теорема 2 является прямым следствием теоремы 1, но может быть удобнее в применении. Основное ее отличие от теоремы 1 - это возможность существования нескольких (или даже бесконечного количества) асимптот. Многие затраченные усилия математиков, направленные на применение классического критерия Дирихле в доказательствах иррациональности, и которые не привели к успеху, возможно, изначально были напрасными. Ряды для констант ln(2), ((2) и ((3), полученные в разд. 2, сходятся быстрее, чем экспоненциальный ряд, и даже быстрее, чем последовательности подходящих дробей соответствующих обыкновенных цепных дробей этих констант. Кроме того, эти разложения весьма напоминают ряды Энгеля (см. [10]), но, к сожалению, таковыми не являются. Как нам представляется, поиск новых менее ограничительных критериев иррациональности может быть весьма перспективным направлением исследований. В этой связи уместно упомянуть (хорошо забытую) книгу [10], где приведен ряд малоизвестных разложений, которые гарантируют иррациональность нужной константы. 521.1+531.314 KMUBSC критерии иррациональности гауссовы целые асимптотика последовательностей irrationality criteria Gaussian integers asymptotics of sequences Legendre A.M. Èlements de Gèomètrie. (2em. ed). (Chez Fermin Didot Père et Fils. Paris. 1823). Apéry R. Irrationalité de ζ(2) et ζ(3) // Astérisque, V. 61, p. 11-13. (1979). van der Poorten A. A proof that Euler missed... Apery's proof of the irrationality of ζ(3) // The mathematical Intelligencer, Berlin. V. 1. p. 195-203. (1978). Варин В.П. Преобразование последовательностей в доказательствах иррациональности некоторых фундаментальных констант // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 62. №10. С. 1587-1614. (2022). Brun V. Ein Satz über Irrationalität // Arkiv for Mathematik og Naturvidenskab (Kristiania), V. 31. N. 3. p. 3-6. (1910). Варин В.П. Рациональная арифметика с округлением // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 64. №6. С. 895-913. (2024). Варин В.П. Аппроксимация дифференциальных операторов с учетом граничных условий // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 63. №8. С. 1251-1271. (2023). Wynn P. On the Convergence and Stability of the Epsilon Algorithm // SIAM Journal on Numerical Analysis. V. 3. №1. pp. 91-122 (1966). Belabas K., Cohen H. Numerical Algorithms for Number Theory. Mathematical Surveys and Monographs, V. 254. Amer. Math. Soc. (2021). Perron O. Irrazionalzahlen. (Göschens Lehrbücherei. Berlin, Leipzig. 1921). https://keldysh.ru/papers/2025/prep2025_68.pdf