1-29 RAR 7168-0065 0000-0003-4113-1130 Гусев Андрей Олегович Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН aogus@mail.ru Gusev A.O. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS 8751-5083 0000-0002-0043-5261 Мажорова Ольга Семеновна Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН magor@keldysh.ru Mazhorova O.S. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS Численное исследование осесимметричного движения жидкости в модельной системе Чохральского Numerical study of axisymmetric fluid motion in the model of the Czochralski system В работе исследуются структуры осесимметричных течений, формирующихся во вращающемся цилиндре, верхняя граница которого состоит из двух участков -вращающегося диска и свободной поверхности. Физические и геометрические параметры рассмотренной системы соответствуют развитой стадии процесса выращивания монокристаллов методом Чохральского. Изучено влияние естественной и вынужденной конвекции на теплоперенос в системе. В расчетах используется полностью консервативная разностная схема, гарантирующая выполнение закона изменения импульса, кинетической и внутренней энергии. The structures of axisymmetric flows formed in a rotating cylinder are studied. The upper boundary of the cylinder consists of a rotating disk and a free surface. The physical and geometrical parameters of the system under consideration align with advanced stage of Czochralski single-crystal growth. The influence of natural and forced convection on heat transfer within the system is investigated. The fully conservative numerical scheme which ensures the validity of momentum, kinetic, and internal energy balances is employed in computations. 1 Введение В настоящее время одним из основных способов получения объемных моно­кристаллов из расплава является метод Чохральского. Свойства выращиваемых материалов формируются в результате сложного взаимодействия различных физико–химических процессов, протекающих в расплаве, на поверхности кри­сталла и внутри него. Важную роль здесь играет тепломассоперенос в расплаве, обусловленный естественной и вынужденной конвекцией. Поэтому исследова­нию гидродинамических процессов, протекающих в системе, уделяется особое внимание при разработке технологических режимов, обеспечивающих получе­ние материалов с заданными свойствами. Теоретическое и экспериментальное исследование движения жидкости в областях с подвижными границами сопря­жено со значительными трудностями. Вместе с тем изучение упрощенных моде­лей, отражающих основные особенности технологического процесса, позволяет получить полезные сведения, которые могут быть использованы при разработке и оптимизации режимов выращивания монокристаллов. Применительно к методу Чохральского параметрические исследования кон­вективного теплопереноса, как правило, проводятся в осесимметричном при­ближении. Предполагается, что расплав находится во вращающемся цилиндре, верхняя граница которого состоит из двух участков — вращающегося диска и свободной поверхности. Температура на диске фиксирована и равна температу­ре фазового перехода. В указанной постановке задача рассматривается многими авторами. Так, в работе [1] изучается взаимодействие течений, вызванных вращением диска и контейнера. Естественная конвекция во вращающемся цилиндре рассматрива­ется в работах [2–4]. Анализ влияние конвекции Марангони на общую структу­ру течения проводится в работах [5,6]. Устойчивость осесимметричных течений изучается в рамках аналогичной трехмерной постановки в работах [7,8]. В данной работе рассмотрено влияние естественной и вынужденной конвек­ции, вызванной вращением кристалла и тигля, на общую структуру течения и тепловой поток, протекающий через межфазную границу. В расчетах использо­валась полностью консервативная разностная схема, гарантирующая выполне­ние законов изменения импульса, кинетической и внутренней энергии. 2 Постановка задачи Математическое моделирование строится в предположении, что расплав яв­ляется вязкой несжимаемой жидкостью, теплоперенос в нем осуществляется механизмами конвекции и теплопроводности. Задача рассматривается в цилин­дрической системе координат, при этом предполагается, что поля скорости жид­кости .. ., давления .. .и температуры .. .не зависят от угловой координаты .., т.е. .. .=(.. ..(.., .., ..), .. ..(.., .., ..), .. ..(.., .., ..)), .. .= ...(.., .., ..), .. .= .. .(.., .., ..). Расчет ведет­ся в области ..(.., ..) = [0, ..cruc] . [0, ..] (см. рис. 1). Фронт кристаллизации .1 и свободная поверхность расплава .2 предполагаются плоскими и неподвижными, фазовый переход происходит при температуре ..ph. Боковая стенка тигля имеет постоянную температуру ..cruc. Тигель и кристалл вращаются с постоянными угловыми скоростями ..cruc и ..cryst соответственно. Рис. 1. Расчетная область Математическая модель процесса записывается в безразмерном виде. Про­странственный масштаб ..0 определяется радиусом тигля ..cruc. Характерные времена процессов переноса приведены в таблице 1, где .. — кинематическая вязкость, . — температуропроводность, .... — коэффициент температурного рас­ширения. В зависимости от постановки задачи в качестве масштаба времени ..0 используется одно из времен — .... , ..cruc или ..cryst. Отклонение температуры от температуры фазового перехода определим как .. =( .. .. .....)/(..cruc . ..ph). Безразмерная скорость .. .. = .. .../..0, .. = .., .., .., где ..0 = ..0/..0 — характер­ная скорость движения жидкости. Давление .. = ../(2..0), здесь ..0 .... 02 /2 — .= характерное динамическое давление, .. — плотность жидкости. Безразмерные параметры, характеризующие процессы переноса в рассматриваемой системе, приведены в таблице 2. Таблица 1. Временные масштабы Величина Определение Значение Характерное время вязкой диссипации, с Характерное время температуропроводности, с .... = ..2 /.. 0... = ..2 /. 0 . 10000 . 1000 Характерные времена конвективных процессов, с 1 2 ..nat = [..0/(...... (..cruc . ..ph))] ..cryst = ..1 cryst ..cruc = ..1 cruc . 1 . 1 . 1 Таблица 2. Безразмерные параметры Величина Определение Физический смысл Значение Число Грасгофа Число Рейнольдса Число Ричардсона Число Прандтля Число Пекле Gr = ...... (..cruc . ..ph)..3 0/..2 Re = ..0..0/.. Ri = Gr/Re2 Pr = ../. Pe = Re Pr Подъемные силы Вязкие силы Инерционные силы Вязкие силы Естественная конвекция Вынужденная конвекция Диссипация импульса Диссипация внутренней энергии Перенос за счет движения Теплопроводность . 107 . 5000 . 1 . 0.08 . 500 Основные уравнения. Для описания движения жидкости используются уравнения Навье — Стокса в приближении Обербека — Буссинеска. В цилин­ дрической системе координат имеем [.]. (.). .... .. 1 ..(.... .... ..) ..(.... .... ..) .... 1 .. .. ++ .(.. ..)2=. +... ... , (1) .... .. .... .... .... Re ..2 [.].(.). .... .. 1 ..(.... .... ..) ..(.... .... ..)1 .. .. + ++.. .... ..=... ... , (2) .... .. .... .... Re ..2 [.]. .... .. 1 ..(.... .... ..) ..(.... .... ..) .... 1 Gr ... .. . + +=. + .., (3) .... .. .... .... .... Re Re2 [.]. 1 ..(.... ..) ..(.... ..) + =0. (4) .. .... .... Конвективный теплообмен в расплаве описывается уравнением [.]. .... 1 ..(.... .... ) ..(.... .... )1 + +=.... (5) .... .. .... .... Re Pr Граничные условия. На оси тигля в силу симметрии .. ..|..=0 =0, .. ..|..=0 =0, .... ../....|..=0 =0. На фронте кристаллизации и поверхности тигля выполнены условия прилипа­ния и непротекания .. ..|.1..3 =0, .. ..|.1 = ...cryst, .. ..|.3 = ...cruc, .. ..|.1..3 =0. (6) Здесь .cryst = ..cryst..0, .cruc = ..cruc..0. Условие Марангони на плоской свободной границе имеет вид 1 Mn .... .... ../....|.2 = , .... ../....|.2 =0, .. ..|.2 =0. (7) .. Pe .... В том случае, когда свободная поверхность покрыта слоем вязкого флюса число Марангони изменяется в диапазоне 10.4 < Mn < 104, и капиллярное течение, обусловленное перепадом температуры на свободной поверхности, имеет малую интенсивность [6,9,10]. Предварительные расчеты показали, что для Gr = 105 . 107 и Mn = 104 интенсивность естественной конвекции увеличивается менее чем на 10 процентов по сравнению со случаем Mn = 0. Поэтому положим число Марангони в условии (7) равным нулю: .... ../....|.2 =0, .... ../....|.2 =0, .. ..|.2 =0. (8) Анализ экспериментальных данных показывает, что вблизи свободной поверх­ности жидкость движется только в азимутальном направлении [11,12]. Поэтому в работе основные расчеты проводились с граничным условием .. ..|.2 =0, .... ../....|.2 =0, .. ..|.2 =0. (9) Граничные условия для уравнения конвективного теплопереноса имеют сле­дующий вид. Из условий симметрии на оси .... /....|..=0 =0. На границе .1 температура равна температуре фазового перехода .. |.1 =0. На боковой поверхности тигля поддерживается постоянная температура =1. .. |..=1 Дно тигля теплоизолированно .... /....|..=0 =0. .. |.2 =(.. . ..cryst/..cruc)/(1 . ..cryst/..cruc). 3 Вычислительный алгоритм Алгоритм для численного решения уравнений (1)–(4) построен на основе описанной в работе [13] полностью консервативной разностной схемы для трех­мерных уравнений Навье — Стокса в цилиндрической системе координат. Эта схема гарантирует выполнение закона изменения импульса и закона сохране­ния массы. Уравнение, описывающее закон изменения кинетической энергии, является прямым следствием из разностных уравнений движения. Для расчета осесимметричных течений производные по .. в сеточных уравнениях для трех­мерного случая нужно положить равными нулю. В уравнении конвективного теплообмена диссипативные члены аппрокси­мируются стандартным образом. Для аппроксимации конвективных членов ис­пользуется схема Аракавы, гарантирующая, что члены переноса не вносят вклад в баланс внутренней энергии и квадрата температуры [14]. Система сеточных уравнений, полученная в результате аппроксимации ис­ходной дифференциальной задачи, решается методом расщепления по физиче­ским процессам. На каждом шаге по времени совместно решаются сеточные уравнение неразрывности и уравнения движения для радиальной и осевой ком­понент вектора скорости, затем вычисляется распределение азимутальной ком­поненты скорости. На следующем этапе с использованием полученного распре­деления скоростей решается уравнение конвективной теплопроводности. 4 Результаты расчетов Течение в расплаве формируется в результате нелинейного взаимодействия механизмов тепловой и вынужденной конвекции, связанной с вращением тигля и кристалла. Проиллюстрируем влияние каждого из указанных факторов на структуру течения и результат их совместного действия. Физические и геометрические параметры расчетов соответствуют развитой стадии выращивания соединения GaAs методом Чохральского. Расплав запол­няет область с отношением сторон ../..cruc =0.5, отношение радиусов кри­сталла и тигля ..cryst/..cruc =0.5. В безразмерной форме перепад температуры между фронтом кристаллизации и боковой стенкой тигля определяет значение числа Грасгофа, а скорости вращения кристалла и тигля — значение числа Рей­нольдса. Численное моделирование осуществлялось на прямоугольной равномерной сетке, состоящей из 200 узлов в радиальном и 100 узлов в вертикальном на­правлении, шаг по времени .. =0.1..0. Расчеты показали, что во всех рассмот­ренных случаях дальнейшее увеличение пространственного разрешения сетки не приводило к существенному уточнению результата. Перенос тепла механизмом теплопроводности (.cruc =0, .cryst =0, .. =0.) Рассмотрим случай, когда теплоперенос в жидкости осуществляется исклю­чительно механизмом теплопроводности. В этих расчетах в качестве масштаба времени выбран ..0 = .... Полученное в расчете стационарное распределение температуры приведено на рисунке 2. В покоящейся жидкости наблюдается пе­репад температуры между стенкой тигля и фронтом кристаллизации, который приводит к возникновению термогравитационной конвекции при .. . Рис. 2. Распределение температуры в области при .cruc =.cryst =0 и .. =0 радиусу тепловой поток на границе кристалл/расплав в движущейся жидкости: .. ..c .. =2 ....(..) ......, ....(..)= ... ..../...., ..2 c0 ... — поток, сформировавшийся механизмом теплопроводности в неподвижной среде. Естественная конвекция (.cruc =0, .cryst =0) В этом случае в качестве масштаба времени используется ..0 = .... , тогда Re = ..02 /(...... )=1 и уравнения (1)–(5) описывают термогравитационную кон­векцию [15]. Под влиянием перепада температуры между фронтом и более го­рячей стенкой в расплаве возникает конвективное движение. На рисунке 3 представлены стационарные распределения температуры и функции тока .., полученные в расчетах при Gr = 103 , Gr = 105 , Gr= 107 . Компоненты вектора скорости и функция тока связаны соотношениями .... .. = ..../...., .... .. = ...../..... Во всех рассмотренных случаях в расплаве формиру­ется крупный тороидальный вихрь, локализованный в области под свободной поверхностью. Жидкость поднимается вдоль горячей стенки тигля, затем дви­жется к центру контейнера и опускается у его оси. (a) (b) Рис. 3. Естественная конвекция. Распределение температуры (слева) и функции тока (справа) при Gr = 103 (.. . 1) (a); при Gr = 105 (.. . 0.87) (b); при Gr = 107 (.. . 1.85) (c) Интенсивность гидродинамических процессов при Gr = 103 . 104 мала, тепло­передача в системе преимущественно осуществляется механизмом теплопровод­ности и .. = ../... . 1. Развитие конвективного движения в расплаве приводит к уменьшению теплового потока в центре кристалла по сравнению со случаем чистой теплопроводности: ....(0)/..... (0) . 0.68 при Gr = 105 и ....(0)/..... (0) . 0.76 для Gr = 107. При умеренных значениях числа Грасгофа уменьшается и ин­тегральный поток: ../... . 0.87 для Gr = 105 . С ростом интенсивности кон­вективного движения (Gr > 106) увеличивается поступление тепла от горячей стенки тигля к фронту кристаллизации и интегральный поток превосходит со­ответствующий поток в покоящейся жидкости: для Gr = 107 параметр .. . 1.85. Вблизи значений числа Грасгофа Gr . 5 · 107 в расплаве развиваются нестаци­онарные течения. В расчетах, результаты которых представлены на рисунке 3, использова­лись граничные условия (9), полученные в предположении, что под флюсом отсутствует радиальное течение жидкости. Для сравнения была проведена се­рия расчетов с граничными условиями (7) и (8). Их результаты показали, что в случае плоской границы условия на свободной поверхности не оказывают су­щественного влияния на общую структуру течения и теплоперенос в системе. На рисунке 4 изображено стационарное распределение температуры и функции тока для Gr = 107, полученное при Mn = 0. Рис. 4. Естественная конвекция. Распределение температуры (слева) и функции тока (справа) при Gr = 107 и .... ../....|.2 =0 (.. . 1.7) Вынужденная конвекция (.. =0) Изучим теперь течения, которые возникают в расплаве под влиянием враще­ния кристалла и тигля. Расчеты проводились при различных значениях чисел Рейнольдса Recruc = ..2 .cruc/.., Recr = ..2 .cryst/.. и Росби Ro = .cryst/.cruc. cruccryst Естественная конвекция в расплаве отсутствует. Вращение кристалла (.cruc =0). Структура течения в этом случае опре­деляется только угловой скоростью вращения кристалла .cryst. В качестве мас­штаба времени ..0 здесь выбирается ..cryst =..1 cryst. Результаты расчетов при различных значениях Recr представлены на ри­сунке 5. В азимутальной плоскости движение жидкости сосредоточено в погра­ничном слое у поверхности кристалла. Наибольшее значение скорости враще­ния наблюдается вблизи точки контакта кристалла и свободной поверхности. Центробежная сила, возникающая в результате вращения, переносит жидкость вдоль свободной поверхности к боковой стенке тигля. Расплав опускается у стен­ки контейнера, а затем движется к центру области, где поднимается вдоль ее оси (рис. 5a). С увеличением скорости вращения пограничный слой вблизи по­верхности кристалла становится тоньше, растет интенсивность течения в ме­ридиональной плоскости, центр основного вихря смещается к боковой стенке тигля (рис. 5b, с). При Recr = 1000 у оси наблюдается слабый вторичный вихрь, характерный для течений жидкости в цилиндрических областях с неподвижной боковой поверхностью и вращающейся крышкой [16]. Во всех рассмотренных случаях движение расплава играет существенную роль в формировании поля температуры (Рис. 6). Для Recr = 4000 распределе­ние температуры в области под кристаллом становится практически однород­ным по радиусу, параметр .. . 4.2. (a) (b) Рис. 5. Вращение кристалла. Распределение азимутальной скорости (слева) и функции тока (справа) при Recr = 250 (a); при Recr = 1000 (b); при Recr = 4000 (c) (a) (b) (c) Рис. 6. Вращение кристалла. Распределение температуры при Recr = 250 (.. . 1.3) (a); при Recr = 1000 (.. . 2.3) (b); при Recr = 4000 (.. . 4.2) (c) Вращение тигля (.cryst =0). Рассмотрим вращение тигля при неподвиж­ном кристалле. В этом случае ..0 = ..cruc. На рисунке 7 представлены установив­шиеся распределения азимутальной скорости и функции тока при различных значениях Re. Расчеты показывают, что вблизи боковой стенки тигля расплав вращается как твердое тело. В меридиональной плоскости под неподвижным кристаллом формируется течение, сходное по структуре со столбиком Тейло­ра — Праудмена [17], в котором жидкость практически с постоянной скоростью поднимается к фронту кристаллизации, движется вдоль него к центру тигля и затем опускается у оси. Увеличение скорости вращения приводит к уменьшению радиуса столбика. При Re . 4000 его ширина практически совпадает с радиу­сом кристалла, а в слое между свободной поверхностью и дном тигля жидкость вращается с постоянной угловой скоростью, равной .cruc (рис. 7с). (a) (b) Рис. 7. Вращение тигля. Распределение азимутальной компоненты вектора ско­рости (слева) и функции тока (справа) при Re = 250 (.. . 0.98) (a); при Re = 1000 (.. . 0.96) (b); при Re = 4000 (.. . 0.94) (c) Во всех рассмотренных случаях распределение температуры в области незна­чительности отличается от полученного в рамках модели чистой теплопровод­ности: 0.94<../... < 0.98 Результаты моделирования, представленные выше, показывают, что в вих­рях, образующихся под влиянием кристалла и тигля, жидкость движется в про­тивоположных направлениях. Вращение кристалла и тигля в противоположных направлениях. Рассмотрим движение жидкости, вызванное противовращением кристалла и тигля при различных значениях отношения угловых скоростей Ro = .cryst/.cruc. В качестве масштаба времени выберем ..0 = ..cruc. Медленное вращение кристалла (Ro = .0.5) при Re = 250 практически не влияет на структуру течения — как и в случае .cryst =0, в расплаве формиру­ется стационарный столбик Тейлора и .. . 1. (a) (b) Рис. 8. Вращение тигля и кристалла при Ro = .0.5. Распределение .. .. (слева) и .. (справа) при Re = 1000 (.. . 0.96) (a); при Re = 4000 (.. . 0.95) (b) Увеличение числа Рейнольдса приводит к тому, что рядом со столбиком в центре области под кристаллом образуется небольшой вихрь «треугольного» сечения, в котором жидкость поднимается вдоль оси к межфазной границе (рис. 8 a, b). Под свободной поверхностью распределение азимутальной скорости линейно по радиусу, жидкость вращается c постоянной угловой скоростью. Такой харак­тер движения обусловлен существенно большей площадью контакта расплава с тиглем по сравнению с кристаллом. Распределение температуры в расплаве для Re = 4000 представлено на ри­сунке 9a. Расчеты показали, что противовращение тигля и кристалла приводит к увеличению теплового потока в центре кристалла по сравнению со случаем непо­движного кристалла: при Ro = 0 параметр ....(0)/..... (0) . 0.6, при Ro = .0.5 отношение потоков ....(0)/..... (0) . 0.86. (a) (b) Рис. 9. Вращение кристалла и тигля при Re = 4000. Распределение темпера­туры: Ro = .0.5 (.. . 0.95) (a); Ro = .1.0 (.. . 0.97) (b); при Ro = .2.0 (.. . 1.58) (c) Если кристалл и тигель вращаются с равными угловыми скоростями, интен­сивность течения увеличивается по сравнению со случаем Ro = .0.5 (рис. 10). «Треугольный» вихрь в подкристальной области наблюдается уже при Re = 250. Для Re = 4000 распределение азимутальной скорости вблизи фронта кри­сталлизации имеет структуру пограничного слоя; вихрь, обусловленный враще­нием кристалла, смещается от оси контейнера к свободной поверхности и не влияет на перенос тепла в центре области (рис. 10c). В этом случае, как и при Ro = 0, отношение потоков ....(0)/..... (0) . 0.6 (см. рис. 9b). Дальнейшее увеличение числа Росби приводит к тому, что интенсивности течений, вызванных вращением кристалла и тигля, становятся сопоставимыми (рис. 11). Верхний вихрь деформирует столбик Тейлора, вытесняя его из обла­сти под кристаллом. При Re = 4000 размер подкристаллического вихря зна­чительно увеличивается по сравнению со случаем Ro = .1, его интенсивность превосходит интенсивность вихря, обусловленного вращением тигля (рис. 11с). Распределение температуры вблизи оси становится существенно неоднородным (рис. 9c). Естественная и вынужденная конвекция Относительный вклад естественной и вынужденной конвекции в формирова­ние структуры течения определяется значением числа Ричардсона Ri = Gr/Re2 . Для определенности зафиксируем значение числа Грасгофа и изучим влияние числа Рейнольдса на характер течения в расплаве. Известно, что в задачах кри­сталлизации характерное значение числа Грасгофа велико (Gr > 106.) В наших расчетах использовалось значение Gr = 107 . (a) (b) (a) (b) Естественная конвекция и вращение кристалла. Результаты модели­ рования для неподвижного тигля (.cruc =0) и различных значений скорости вращения кристалла приведены на рисунке 12. При больших значениях чис­ла Ричардсона (Ri . 100 при Recryst = 250) структура течения определяет­ся преимущественно естественной конвекцией (рис. 12a). Увеличение скорости вращения (рис. 12b) приводит к тому, что у оси контейнера формируется еще один вихрь [18]. Течение, обусловленное естественной конвекцией, смещается к боковой стенке тигля, его интенсивность уменьшается. В центре области дви­жение жидкости практически не влияет на распределение температуры. При Recryst = 4000 число Ричардсона близко к единице, и в расплаве образуется па­ра вихрей близкой интенсивности, вращающихся в противоположных направ­лениях (рис. 12с); в области под кристаллом горячая жидкость поступает со дна контейнера к межфазной границе, .. . 2.7. Дальнейшее увеличение Recryst позволяет подавить естественную конвекцию практически во всей области. При Recryst = 16000 параметр .. . 4, и картина течения близка к представленной на рисунке 5c (расчет с Gr = 0 и Recryst = 4000). Естественная конвекция и вращение тигля. Структуры течений, по­лученных при различных значениях числа Ri, приведены на рисунке 13. Расче­ты показывают, что медленное вращение тигля увеличивает скорость движения жидкости вблизи оси (рис. 13a), в этом случае ....(0)/..... (0) . 0.5 и .. . 1.95. С ро­стом .cruc вращение тигля создает в расплаве центробежную силу, снижающую интенсивность естественной конвекции, вихрь, обусловленный радиальным гра­диентом температуры, смещается к боковой стенке (рис. 13b). При Re = 4000, как и ранее, под неподвижным кристаллом формируется течение, по структу­ре сходное со столбиком Тейлора (рис. 13с), тепловая конвекция наблюдается лишь в тонком слое вблизи стенки тигля. Вторичное течение между присте­ночным вихрем и стационарным столбиком имеет низкую интенсивность. При Re . 8000 термогравитационная конвекция практически не влияет на перенос тепла в расплаве, .. . 0.95. (a) (b) (a) (b) Естественная конвекция, вращение тигля и кристалла. Рассмотрим теперь случай Ri . 1, когда естественная и вынужденная конвекция в рав­ной степени определяют структуру течения. Для этого положим Re = 4000, Gr = 107 и изучим влияние числа Росби на теплоперенос в расплаве. Медлен­ное вращение кристалла (Ro = .0.5) создает дополнительный отвод тепла от центра межфазной границы: ....(0)/..... (0) . 0.15. (рис. 14a). Среднее значение теплового потока .. в этом случае практически не отличается от ..., получен­ного в рамках модели теплопроводности, .. . 1. При увеличении .cryst структура течения усложняется: вблизи оси контей­нера образуется вихрь, который переносит горячую жидкость со дна области к фронту кристаллизации (рис. 14b). В результате интегральный тепловой поток через фронт кристаллизации увеличивается, и параметр .. становится больше единицы: .. . 1.1 и .. . 1.5 при Ro = .1 и Ro = .2 соответственно. В случае быстрого вращения кристалла (Ro = .2) горячая жидкость под действием цен­тробежной силы движется вдоль межфазной границы (рис. 14с) и вблизи грани­цы кристалл/свободная поверхность формируется вихрь, ранее наблюдавшийся в расчетах без естественной конвекции. Вторичное течение между пристеноч­ным вихрем и столбиком Тейлора — Праудмена имеет низкую интенсивность. Дальнейшее увеличение скорости вращения кристалла приводит к тому, что течение становится существенно нестационарным. 5 Заключение В модельной системе, отражающей характерные особенности процесса выра­щивания монокристаллов методом Чохральского, изучено влияние естественной и вынужденной конвекции на формирование структуры течения и условий теп­лопереноса в расплаве. Расчеты проведены в диапазоне физических и геомет­рических параметров, соответствующем процессу выращивания монокристал­лов GaAs. Полученные результаты позволяют выявить некоторые общие зако­номерности формирования структур течения и их эволюции в зависимости от параметров технологического процесса. (a) (b) 519.6 XZJMHV естественная конвекция вынужденная конвекция вращающаяся жидкость метод Чохральского численное моделирование natural convection forced convection rotating fluid Czochralski crystal growth numerical simulation Langlois W.E. Digital simulation of Czochralski bulk flow in a parameter range appropriate liquid semiconductors // J. Crystal Growth. 1977. Vol. 42. Pp. 386–399. https://doi.org/10.1016/0022-0248(77)90222-6. Chan Y.T., Gibeling H. J., Grubin H. L. Numerical simulations of Czochralski silicon growth // Journal of Applied Physics. 1988. Vol. 64. P. 1425. https://doi.org/10.1063/1.341815. Xiao Q., Derby J. Bulk-flow versus thermal-capillary models for Czochralski growth of semiconductors // J. Crystal Growth. 1993. Vol. 129. Pp. 593–609. https://doi.org/10.1016/0022-0248(93)90495-I. Polezhaev V.I., Bessonov O.A., Nikitin N.V., Nikitin S.A. Convective interaction and instabilities in GaAs Czochralski model // J. Crystal Growth. 2001. Vol. 230, no. 1. Pp. 40–47. https://doi.org/10.1016/S0022-0248(01)01317-3. Смирнов В.А., Старшинова И.В., Фрязинов И.В. Математическое моделирование процессов выращивания монокристаллов по Чохральскому. // Математическое моделирование. Получение металлов и полупроводниковых структур. Москва: Наука, 1986. С. 142–158. Geng X., Wu X.B., Guo Z.Y. Numerical simulation of combined flow in Czochralski crystal growth // J. Crystal Growth. 1997. Vol. 179, no. 1. Pp. 309–319. https://doi.org/10.1016/S0022-0248(97)00109-7. Бессонов О.А., Полежаев В.И. Карта режимов и пространственные эффекты конвективных взаимодействий в гидродинамической модели метода Чохральского // Изв. РАН. МЖГ. 2014. № 2. С. 16–28. Бессонов О.А. Влияние вращения кристалла и тигля на устойчивость течения в модели метода Чохральского при низких числах Прандтля // Изв. РАН. МЖГ. 2016. № 4. С. 33–43. Li M., Hu W., Chen N., et. al. Numerical analysis of LEC growth of GaAs with an axial magnetic field // Int. J. Heat and Mass Transfer. 2002. Vol. 45, no. 13. Pp. 2843–2851. https://doi.org/10.1016/S0017-9310(01)00355-6. Faiez R., Najafi F., Rezaei Y. Convection interaction in GaAs/LEC growth model // Int. J. Computational Engineering Research. 2015. Vol. 5. Pp. 12–23. Kakimoto K., Eguchi M., Watanabe H., et. al. Direct observation by X-ray radiography of convection of boric oxide in the GaAs liquid encapsulated Сzochralski growth // J. Crystal Growth. 1989. Vol. 94, no. 2. Pp. 405–411. https://doi.org/10.1016/0022-0248(89)90015-8. Биберин В.И., Освенский В.Б., Смирнов В.А. Исследование гидродинамики расплава в процессе выращивания арсенида галлия по Чохральскому из-под слоя флюса // Кристаллография. 1985. Т. 30. С. 980–985. Гусев А.О., Мажорова О.С. Полностью консервативная разностная схема для трехмерных уравнений Навье–Стокса в цилиндрической системе координат // Дифференциальные уравнения. 2025. Т. 61, № 7. С. 919–940. https://doi.org/10.31857/S0374064125070057. Arakawa A. Computational design for long-term numerical integration of the equation of fluid motion: Two dimensional incompressible flow // J. Comput. Phys. 1966. Vol. 1. Pp. 119–143. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. Москва: Наука, 1972. 392 стр. Tan B., Liow K., Mununga L., et. al. Simulation of the control of vortex breakdown in a closed cylinder using a small rotating disk // Phys. Fluids. 2009. Vol. 21. P. 24104. http://dx.doi.org/10.1063/1.3073747. Гринспен Х. Теория вращающихся жидкостей. Л.: Гидрометеоиздат, 1975. 304 стр. Langlois W.E. Buoancy-driven flows in crystal-growth melts // Annual Review of Fluid Mechanics. 1985. Vol. 17. Pp. 191–215. http://dx.doi.org/10.1146/annurev.fl.17.010185.001203. https://keldysh.ru/papers/2025/prep2025_64.pdf