1-22 RAR 0000-0002-8924-9392 Городничев Кирилл Евгеньевич ФГУП «ВНИИА им. Н.Л. Духова» cyrgo85@gmail.com Gorodnichev K.E. Dukhov Research Institute of Automatics 4285-0823 0000-0002-1287-8940 Урвачев Егор Михайлович ФГУП «ВНИИА им. Н.Л. Духова»; Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН urvachevyegor@gmail.com Urvachev E.M. Dukhov Research Institute of Automatics; Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS 0009-0006-6685-8757 Куратов Сергей Евгеньевич ФГУП «ВНИИА им. Н.Л. Духова» ser.evg.kuratov@gmail.com Kuratov S.E. Dukhov Research Institute of Automatics Нелинейное взаимодействие ударной волны с анизотропным энтропийным полем возмущений Nonlinear interaction of a shock wave with an anisotropic entropy disturbance field С учётом квадратичных поправок к гидродинамическим величинам решена задача о взаимодействии ударной волны с анизотропным энтропийным полем возмущения. Показано, что нелинейные взаимодействия между звуковыми волнами приводят к локализации звуковых возмущений за фронтом ударной волны. Указанный эффект наблюдается в условиях, когда в линейном приближении затухание звука отсутствует. Предложен аналитический подход, позволяющий избежать возникновения секулярных слагаемых при описании взаимодействия звуковых волн с учетом квадратичных поправок. The nonlinear interaction between a shock wave and an anisotropic entropy disturbance field is investigated with second-order corrections to the hydrodynamic variables taken into account. It is demonstrated that nonlinear coupling between acoustic modes leads to the localization of sound perturbations behind the shock front. This effect occurs under conditions where, in the linear approximation, no acoustic attenuation is present. An analytical framework is developed that eliminates secular terms in the description of acoustic–acoustic interactions when second-order effects are included. 1. Введение Исследованию взаимодействия плоских ударных волн с различными поля­ми возмущений в среде за последние пятьдесят лет посвящено большое количе­ство теоретических и экспериментальных работ (см., например, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]). В частности, в линейном приближении было рассмотрено взаи­ модействие ударной волны с звуковыми волнами [2, 11], изотропными полями турбулентной завихренности [8] и возмущениями плотности [9, 12]. Во всех перечисленных случаях за фронтом ударной волны возникают дополнительные к первоначальным полям звуковые и энтропийно-вихревые возмущения. В цикле работ [13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20] рассмотрены задачи о времен­ ной эволюции различных систем, обладающих возмущениями плотности, при протекании ударно-волновых процессов или наличии ускоренного движения. В линейном приближении было показано, что режим распространения звука в зафронтовой области зависит от угла между осью анизотропии поля возмущения и вектором скорости ударной волны. В случае относительно малых углов .0 между осью анизотропии и внутренней нормалью к фронту ударной волны n0 проекция скорости звуковой волны cx на ось Ox k n0 положительная. С ростом = ... (... .0 проекция cx уменьшается и при .00 определяется параметрами среды 0 за и перед фронтом ударной волны [13]) становится равной скорости среды. В интервале углов ... <.0 звуковая волна двигается вслед за ударной. Когда угол .0 достигает пороговой величины .0. , проекция скорости cx сравнивается со ско­ростью ударной волны. При дальнейшем увеличении угла .0 (.0 >.0. ) звуковые возмущения за ударной волной описываются поверхностными звуковыми вол­нами [2]. Как следует из перечисленных результатов, в случае .0 = .0 . скорость звука равна скорости ударной волны и пространственное затухание звуковых возмущений отсутствует. Поэтому амплитуда этих возмущений за фронтом ударной волны должна равняться нулю. Для корректного описания простран­ственной структуры звукового поля в рассматриваемых условиях необходимо выйти за рамки линейного приближения. Ниже задача о взаимодействии ударной волны с анизотропным полем возмущения плотности решена с учётом квадратичных поправок к гидродинами­ческим величинам. В этом приближении гидродинамические величины подчи­няются неоднородным волновым уравнениям [21]. Использование стандартной теории возмущений при решении уравнения для давления приводит к возникно­вению секулярных слагаемых. В работе предложен новый аналитический метод решения уравнений подобного типа. Он основан на обобщении подхода, исполь­зуемого в теории обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений [22], и заключается во введении дополнительной фазы в линейном решении. Используя этот метод, показано, что при .0 = .0 . за фронтом ударной волны существуют затухающие звуковые возмущения. 2. Взаимодействие ударной волны с полем возмущения плотности. Линейное приближение Рассмотрим столкновение двух полубесконечных пластин, одна из ко­торых покоится (см. рис. 1). В налетающей пластине (ударнике) изначально присутствует пространственно-анизотропное поле возмущения плотности. В результате столкновения в обеих пластинах возникают расходящиеся от кон­тактного разрыва ударные волны. Рис. 1. Постановка задачи Скорость ударника предполагается достаточно большой (порядка 5 км/с). Поэтому упруго-пластическими свойствами сталкивающихся пластин можно пренебречь и взаимодействие ударной волны с полем возмущения плотности в ударнике описывать с помощью уравнений гидродинамики: dv . dt + rP = 0, (1) .. .t + r (.v) = 0, (2) d. P d. dt . .2 dt = 0. (3) Уравнение (3) предполагает, что движение среды изоэнтропное. Систему (1)-(3) надо дополнить условиями Рэнкина–Гюгонио на фронте где v1. , v1n и v2. , v2n – тангенциальные и нормальные компоненты скорости перед и за фронтом, j = v1.1 = v2.2 и .1, .2 – поток вещества и удельная внут­ренняя энергия по разные стороны ударной волны. ударной волны [23]: s 1 1 v1. = v2. , v1n . v2n = (P2 . P1) .1 . .2 , (4) P2 . P1 j2 = .1.2 , .2 . .1 1 .1 . .2 = 2 1 1 . .2 .1 (P1 + P2) , (5) Следуя [24], представим удельную внутреннюю энергию . в виде суммы . = .el + ., где .el – упругая составляющая внутренней энергии, . – удельная тепловая энергия. В этом случае уравнение (3) можно записать в виде d. .. d. . =0. (6) dt .dt В качестве уравнения состояния среды будем использовать уравнение Ми­Грюнайзена [24] с холодной частью в форме Тэйта-Мурнагана [25]: n 2 . .0c0 P = . 1 +..., (7) n.0 где .0, c0 – плотность и скорость звука несжатого («холодного») вещества; . – текущая плотность; . – коэффициент Грюнайзена; n – константа. Предположим, что начальное поле возмущения плотности в ударнике описывается выражением ..1 = A..1 cos (k0xx + k0yy) , (8) причём A..1 /.1 . . 1. Ось анизотропии для такого возмущения направлена вдоль вектора k0 (см. рис. 1). Справа на возмущение со скоростью (d1 . v1), направленной против оси x (d1 . v1 < 0), набегает ударная волна. Угол между вектором k0 и осью Ox равен .0 (tg .0 = k0y/k0x). Решение задачи будем искать с использованием разложения в ряд по малости .: f = f0 + f1. + f2.2 + ..., (9) где f – любая гидродинамическая функция. В линейном приближении система (1) – (3) за фронтом ударной волны приобретает вид (см., например, [13]) ..v2x ..v2x 1 ..P2 + v2 = . , (10) .t .x .2 .x ..v2y ..v2y 1 ..P2 + v2 = . , (11) .t .x .2 .y ...2 ...2 ..v2x ..v2y + v2 + .2 + =0, (12) .t .x .x .y ...2 ...2 ..2 ...2 ...2 + v2 . + v2 =0, (13) .t .x .2 .t .x где .v2, .P2 и ..2 – линейные поправки к начальным значениям скорости, дав­ления и внутренней энергии соответственно. Для нахождения возмущений гид­родинамических величин в зафронтовой области систему (10) – (13) надо до­ полнить записанными в линейном приближении условиями Рэнкина–Гюгонио (4), (5) и УРС (7) (подробнее, см., например, [13]). Решение полученной системы ищется в виде гармонической функции .f = A.f cos (kxx + kyy . .t) , (14) где f – любая гидродинамическая функция. В дальнейшем для удобства будем использовать обозначение . = kxx + kyy . .t. (15) Согласно [23] решение представимо в виде совокупности звуковых и энтропийно­ вихревых волн. После подстановки (14) в (4), (5), (7), (10) – (13) мы получим систему алгебраических уравнений. Аналитические выражения для её решений достаточно громоздки, поэтому в данной работе мы их не приводим. Наибольший интерес для исследования представляет зависимость проек­ции волнового вектора звуковой волны в зафронтовой области от начального угла падения. Из (10) – (13) следует, что x-проекция волнового вектора звуковых волн равна: q 2 (d1 . v1)(v2 . d1) ± c2k2 (v1 . d1)2 . (c. (v2 . d1)2) k2 k0x0x20y k(s) x = 2 ,(16) ± c. (v2 . d1)2 2 а соответствущая частота: q (s) .(s) = kx (s) v2 + c2(kx )2 + k02 y. (17) Тогда проекция скорости звука на ось x (s) d.(s) kx c2 c2x == v2 + q. (18) (s) (s) dkx (kx )2 + k02 y Согласно (16) при углах падения, принадлежащих интервалу v1 . d1 0 <.0 <. .. ,. .. = arctg , (19) 00 c2 (s) решение kx соответствует «падению» звуковых волн справа на фронт . ударной волны для любых значений k0x. Источники звука за фронтом удар­ной волны, ответственные за возникновение таких волн, отсутствуют. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать звуковое поле с проекцией волнового век­ (s)(s) ... (s) тора kx . kx . В случае .0 = 0 проекция kx =0 и звуковые волны + распространяются параллельно фронту ударной волны. При больших углах «падения» . 0 . <.0 < ., (20) 2 (s) проекция волнового вектора kx имеет положительную мнимую часть и, со­гласно (18), |c2x|> |d1|, из чего следует, что звуковые возмущения описываются поверхностными волнами [2]. Наиболее интересной является область углов . .. <.0 <. 0. ,. . 00 = arctg . .. . .. . (21) v1 . d1 q 2 2 c. (v2 . d1) 2 (s) В этом интервале проекция kx является отрицательной действительной ве­ (s) личиной, мнимая часть kx равна нулю, и звуковая волна, в отличие от углов падения (19), должна распространяться в сторону фронта ударной волны [13]. В следующем разделе решение системы (1), (2), (4) – (6) найдено в квадратичном приближении, учитывающем взаимодействие звуковых волн между собой. По­казано, что учёт нелинейных эффектов приводит к качественному изменению поведения решения в зафронтовой области. 3. Нелинейное взаимодействие звуковых волн Неоднородные уравнения для квадратичных поправок к гидродинамиче­ским величинам можно получить из системы (1), (2), (4) – (6) с помощью стан­ дартной теории возмущений [21]. Аналогично рассмотрению первого порядка будем предполагать, что возмущения гидродинамических величин в зафрон­товой области ударника являются гармоническими функциями, тогда можно записать: 0000 00 .f = A.f cos (kxx + kyy . .t)+ A.00f(i) cos kx + ky . .t , (22) xy где под f подразумевается любая гидродинамическая переменная, соответству­ющая звуковым или энтропийно-вихревым волнам. Символом . обозначаются 0000 00 величины первого порядка малости, .00 – второго. Величины k , k и . являются xy x и y проекциями волнового вектора и частотой для квадратичной поправки соответственно. Отметим, что они не являются малыми величинами. Тогда во втором порядке разложения по малости система уравнений гид­родинамики (1) – (3) запишется в виде C11 + C12 + C13 =0, (23) C21 + C22 + C23 =0, (24) C31 + C32 + C33 =0, (25) C41 + C42 =0. (26) Явный вид для коэффициентов Cik представлен в приложении A. Уравнение (23) следует из (1). Уравнение (24) получено из x-компоненты уравнения (2) , а (25) – из его y-компоненты. Уравнение (26) следует из (3). Слагаемые C11, C21, C31, C41 отвечают за взаимодействие звуковых волн между собой, и соответствующие гидродинамические величины второго порядка обозначаются верхним индексом (1). Слагаемые C12, C22, C32, C42 отвечают за взаимодействие звуковых волн с энтропийно-вихревыми, и соответствующие гидродинамические величины второго порядка обозначаются верхним индексом (2). Слагаемые C13, C23, C33 соответствуют взаимодействию энтропийно-вихревых волн между собой, и соответствующие гидродинамические величины второго порядка обозначаются верхним индексом (3). При записи (26) учтено, что слагаемые, соответствующие самодействию энтропийной волны, сократятся. Из анализа уравнений, представленных в приложении A, следует, что учёт источников второго (звук–энтропия) и третьего (энтропия–энтропия) типов не приводит к качественному изменению в решении. Для источника первого (звук– звук) типа ситуация отличается. Как следует из дальнейшего рассмотрения, учёт взаимодействия звуковой волны с самой собой может приводить к качественно­му изменению решения (появлению затухания) при определённых значениях углов .0. 4. Метод дополнительной фазы Из уравнений (23) – (26) следует, что для первого типа взаимодействия (звук–звук) уравнения в зафронтовой области имеют вид (1) (1) (1) ..00v..00v1 ..00P 2x 2x 2 + v2x = . , (27) .t .x .2 .x (1) (1) (1) ..00v..00v1 ..00P 2y 2y 2 + v2x = . , (28) .t .x .2 .y ! (1) (1) (1) (1) ..00...00...00..00v v 22 2x 2y + v2x + .2 += .t .x .x .y = A2 .(s) . v2k(s) sin 2., (29) ..2 x ! (1) (1) (1) (1) ..00...00...00...00. ..2 22 22 + v2x . + v2x = .t .x .2 .t .x A2 ..2 ..2 k(s) = .(s) . v2x(1 . .) sin 2., (30) x 2.22 где .00v2, .00.2, .00.2 – квадратичные поправки к скорости, плотности и удель­ной внутренней энергии соответственно. Правые части уравнений (29) и (30) соответствуют квадрату возмущений гидродинамических величин линейного приближении. Согласно (27) – (30) уравнение для квадратичной поправки к давлению .00P2 выглядит следующим образом: 2 F.1.00P2 A..2 = . cos 2., (31) .2 где 2 (s) " # .(s) . kn.1 x v2 2 .2 . = . nc 0 + .(. + 1)2.2 .2, 2 c2 .0 ! 2 1 .2 v2 .2 v2 .2 .2 F.1 = 2 . 1 . +2 2 . . c.t2 c2 .x2 c.x.t .y2 22 Поскольку значение удельной внутренней энергии и константы n и . – неотри­цательные величины, то из выражения (31) для . следует, что .> 0. Если, следуя стандартной теории возмущений [21], искать решение урав­ нения (31) в виде плоской волны, то в .00P2 возникнут секулярные (растущие со временем) слагаемые [21]. Аналогичная проблема может возникать при ис­ пользовании стандартной теории возмущений для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений [22]. Метод, позволяющий избежать появления секулярных слагаемых в таких уравнениях, давно известен (см., например, [22]). Обобщим этот метод для решения уравнения (31). Представим возмущение давления за фронтом ударной волны .P2 в виде суммы P2 + .00 . .P2 = . .P2. (32) Первое слагаемое в (32) отличается от поправки первого порядка к давлению .P2, F.1.P2 =0, .P2 = A.P2 cos (.(x, y, t)) ,.(x, y, t)= kx (s) x + k0yy . .(s)t, (33) фазовой поправкой .P.2 = A.P2 cos (. + g(x, y, t)) . (34) Частота .(s) в (33) подчиняется дисперсионному уравнению (17), а амплитуда A.P2 определяется из решения системы (10) – (13), дополненной линеаризован­ ными граничными условиями (4), (5) и УРС (7), с начальным условием (14) [18]. Величина g выбирается таким образом, чтобы функция .P.2 удовлетворяла неоднородному уравнению (31) 2 A..2 F.1.P.2 = . cos 2.. (35) .2 Функция .00 P.2 в этом случае подчиняется однородному волновому уравнению F.1.00 . P2 =0 (36) и секулярных слагаемых в квадратичной поправке к давлению не возникает. Следуя [22], предполагаем, что дополнительная фаза g мала по сравнению с величиной . (34), |g| |.|. Граничное условие к уравнению (35) на фронте ударной волны имеет вид g(d1t, y, t)=0. (37) Для нахождения квадратичных поправок к скорости, плотности и удельной энергии (а также величины .00 P.2) к системе (27) – (30) надо добавить уравнения, учитывающие взаимодействие энтропийно-вихревых волн между собой и с звуковыми волнами (см. приложение A). Решения этих неоднородных уравне­ ний не содержат секулярных слагаемых. Поэтому искомые гидродинамические величины удаётся вычислить в рамках стандартной теории возмущений [21]. 5. Стандартное определение дополнительной фазы Используя регулярный способ поиска решения уравнения (35), получим следующее решение, содержащее секулярные слагаемые: .P2 = A.P2 [cos . + . (x . d1t) cos . sin .]+ A.00P2 cos 2.. (38) Поскольку при поиске решения используется разложение по малости, то по­лученный секулярный член является не чем иным, как первым слагаемым при разложении в ряд Тейлора некоторой функции. Тогда согласно [22] для поправки к фазе можем использовать выражение g(x, y, t)= ..(x . d1t) cos ., .A..2 . = 2 . (39) 2.2 [(. . kxv2)(v2 . d1)+ kxc] .2 2 Отметим, что подобное выражение для фазы звуковой волны при учёте нели­нейных взаимодействий для звуковых волн представлено в [26]. Следовательно, взаимодействие звуковой волны с самой собой приводит к появлению поправки в её фазе: .P.2 = A.P2 cos (. . . (x . d1t) cos .) . (40) Ситуация изменяется, если .0 > .0. . В этом случае выражение в квадратных скобках в знаменателе (39) стремится к нулю. 6. Дополнительная фаза вблизи порога возникновения поверхностных волн Исследуем пространственную структуру поля возмущений давления за фронтом ударной волны вблизи порога возникновения поверхностных волн, т.е. при |... .0| .0. . Будем предполагать, что вариация угла .0 происходит только 0 за счёт увеличения x-проекции начального волнового вектора k0x (k0y = const). В рассматриваемом случае из регулярного способа поиска решения для уравнения (35) следует hi 2 ... P2 = A.P2 cos . + . (x . d1t) cos . sin . + µ (x . d1t)cos 2. + + A..00P2 cos 2.. (41) Появление дополнительного слагаемого в (41) относительно выражения (39) объясняется следующими соображениями. Поскольку при .0 > .0 . выра­жение в знаменателе (39) стремится к нулю, то при подстановке (41) в (35) вклад от всех слагаемых, пропорциональных (x . d1t), будет также стремиться к нулю. Следовательно, для того чтобы (41) было решением (35), необходимо учесть также слагаемое, пропорциональное (x . d1t)2 с коэффициентом µ . .. Более высокие степени для (x . d1t) нет необходимости рассматривать, т.к. в исследуемое уравнение входят производные не выше второго порядка. В рассматриваемой области для значения x-проекции волнового вектора – 12 – звуковой волны в зафронтовой области и поправки к нему справедливо v2 . d1 . . k(s) (. 0. )= . x k0y, 2 vuut q 2 2 c. (d1 . v2) 2 v1 . d1 .k0x .. = k(s) . . = c2 x k0y. (42) 3/2 k0y 2 2 c. (v2 . d1) 2 Следовательно, область применимости решения (39) .k0x & k. . Вне этой обла­ 0x сти порядок малости величины . будет превышать .. Отметим также, что в исследуемой области значение проекции скорости звука на ось x c2x близко к скорости ударной волны c2k02 y c2x = d1 + .2 + k2 0y а в точке .0 = .0 . строго равна ей. Следовательно, область присутствия звуковой .., (43) 3/2 волны должна быть ограничена. В общем случае поправка к фазе, обусловленная нелинейными взаимодей­ствиями, имеет достаточно сложную структуру (см., например, [26]), поэтому определение её точной функциональной зависимости представляет из себя се­бя сложную, часто неразрешимую, задачу. По этой причине восстановить её полную функциональную зависимость с использованием первых порядков тео­рии возмущений невозможно. Но можно обнаружить появление качественных изменений в решении, что и продемонстрировано в данном разделе. Поиск решения в рассматриваемой области начнём с рассмотрения случая . = .0. . Далее исследуем, как изменяется полученное решение при удалении от точки .0. . В случае .0 = .0 . знаменатель выражения (39) строго равен нулю, (s) = .. Тогда величина . > и решение (41) необходимо рассматривать при k x q В этом случае в поправке фазы присутствуют слагаемые . необходимо учесть наличие поправки в фазе самой поправки (см. (40)). Кроме этого, должны присутствовать члены, соответствующие слагаемому .(x . d1t)2 в (41). В итоге для .P.2 можно записать ...(x.d1t) .P.2 = A.P2 cos {. . + .. .} e, (44) .. . = .. . (x . d1t) + .(x, y, t) . . . (x . d1t) . ...(x.d1t) . cos {. . + .. . (x . d1t) + .(x, y, t) . . . (x . d1t) cos . .} e, 22 2 .(x, y, t)= . 1 . (x . d1t)+ . 2 . (x . d1t)cos . . + . 3 . (x . d1t)cos . . sin . . . .. .2 + k2 0y = .x + kyy . .t, где согласно (17) .= .v2 + c2 . v ., и поэтому Здесь ... , .. , .. , .1 . , .2 . , .3 . – значения соответствующих величин при .0 = .0. . Далее подробно рассмотрим необходимость присутствия каждого из слагаемых в .P.2. С учётом квадратичного порядка разложения в ряд по ... выражение (44) должно перейти в (41). Для этого необходимо учесть в ... слагаемое .(x, y, t) . .. Как уже упоминалось выше, появление этого слагаемого связано с невозможностью определения точного вида функциональной зависимости для гидродинамических величин без нахождения всех членов ряда разложения по ... . Отметим также, что из разложения (44) в ряд следует, что µ . ...... .. Следовательно, предполагая, что порядки малости ... и .. одинаковы, получим .. .. . ..v .. (45) Необходимость присутствия затухающей экспоненты в (44) объясняется следующими соображениями. Из разложения в ряд функции cos (.. + ...) с точностью до квадратичных слагаемых следует, что в качестве множителей при cos .. могут выступать только слагаемые из ... , порядок малости которых не v превышает .. Из условия .(x, y, t) . . следует, что слагаемые, входящие в данную функцию, могут присутствовать только в виде множителя перед sin .. . Это означает, что в итоговом выражении для .P2 слагаемые второго порядка малости, пропорциональные cos .. , не могут взаимно уничтожаться ни с ка­ким слагаемым функции .(x, y, t). Для решения данной проблемы необходимо учесть, что в общем случае поправка к фазе может содержать мнимую часть. Наличие мнимой части в фазе приводит к появлению затухающей экспоненты (растущую отбрасываем). В итоге, используя разложение по малости в выражение (44), из равенства . P.2 = .P.2 получим 2 . . = .. . . . ,.2 = .2. . . . ,. 3 . =(. . )/2, 1 2 22 . (. . )=(.. . )+(. . ),µ = . . .. . . (46) Из (45) и (35) следует, что: h vuut .A.P2 . . . i. (47) 2 22 c.2 (d1 . v2). c 22 2 Поскольку c2 > (d1 . v2) (см., например, [23]) и .< 0 (см. (31)), то .. – действительное число. Из (45) и (46) следует, что ... .... .. , следовательно, полученное решение справедливо для .. и ... . При удалении от точки .0 . в фазе возмущения необходимо дополнительно (s) учесть изменение проекции волнового вектора kx = . + .. и частоты .(s) = .+... Отметим, что поправка . ... , полученная при .0 = .0. , сохранится и при .0 60. Следовательно, решение (44) можно распространить на . окрестность = .. точки .0. , поскольку в ней величина .. < ... . При этом в полученном решении для .P .(см. (44)) необходимо учитывать, что . > .. , ..> .(..), ..> .(..), ..> .1(..), ..> .2(..), ..> .3(..). 123 Также отметим, что выражение (39) с учётом (45) и kx (s) = . + .. + ... сводится к (47) при приближении значения .0 к .0. . Наличие поправки ...(x . d1t) в фазе приводит к тому, что при .0 > .. 0 не происходит бесконечного роста коэффициента . (см. (39)). Предполагая, что . . ., получим следующее выражение для . в области .0 & .0 . (kx = . + ..): .A.P2 . = D hi , (48) 2 22 c.2 (d1 . v2). c(... + ..) 22 2 где D – некоторая константа. Значение D можно определить, например, путем проведения численного моделирования. Для связи выражения (41) с (38) необходимо, чтобы при приближении к ... углов падения .00 величинами .., .1, .2, .3 можно было пренебречь в рамках рассмотрения второго порядка малости. Данное предположение также согласуется с фактом ослабления затухания при приближении значения угла .0 к величине .0 .. . Отметим, что при .. =0 (.0 = .0. ) выражение (48) совпадает с (47), а при увеличении значения .0 с учётом разложения для волнового вектора переходит в выражение (39). Также наблюдается уменьшение . и, как следствие, затухания при приближении значения .0 к ... . 0 7. Заключение В работе в квадратичном приближении исследовано взаимодействие удар­ной волны с анизотропным полем возмущения плотности. Для решения возника­ющих в этом приближении неоднородных уравнений предложен новый аналити­ческий метод, позволяющий избежать возникновения секулярных (нарастающих со временем) слагаемых. Этот метод является обобщением подхода, исполь­зуемого в теории обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений [22]. Он заключается во введении дополнительной фазы в решение линейного приближения. С использованием этого метода получено, что при определён­ных углах «набегания» ударной волны на пространственно-анизотропное поле возмущений плотности за её фронтом возникает затухающее звуковое поле, которое не описывается поверхностными волнами. A. Приложение Коэффициенты в уравнениях (23)–(23) имеют вид (1) ..00. 2 + .2 5 .00 (1) + v2(5.00.(1) (s)(s) = v)+ ..5 .v+ C11 2222 .t (s)(s) +.v(5..), (49) 22 (1) (1) (1) (s)(s) ..00v..00v1 ..00P ..v..v 2x 2x 2(s)2x (s)2x C21 =+ v2x ++ .v2x + .v2y . .t .x .2 .x .x .y (s)(s) ....P 22 . , (50) .2 .x 2 (1) (1) (1) (s)(s) ..00v..00v1 ..00P ..v..v 2y 2y 2(s)2y (s)2y C31 =+ v2x ++ .v2x + .v2y . .t .x .2 .y .x .y (s)(s) ....P 22 . , (51) .22 .x ! (1) (1) (1) (1) ..00...00...00...00. 22 ..22 2 C41 =+ v2x . + v2x . .t .x .2 .t .x !! (s)(s)(s)(s) ..2(s) ...2(s) ...2(s) ...2(s) ...2 . .v+ .v+ .v+ .v. 2x 2y 2x 2y .2 .x .y .x .y !! (s)(s)(s)(s) .....2........ 222 2 .. + v2x , (52) .2 .2 .t .x 2 (2) ..00. 2 + .2 5 .00 (2) + v2(5.00.(2) (e)(s) C12 = v)+ ..5 .v+ 2 222 .t (e)(s)(s)(e) +.0 v(5..)+ .0 v(5..), (53) 22 22 (2) (2) (2) (e)(s) ..00v..00v1 ..00P ..v..v 2x 2x 2(s)2x (e)2x =+ v2x ++ .0 v+ .v+ C22 2x 2x .t .x .2 .x .x .x (e)(s)(e)(s) ..v..v....P (s)2x (e)2x 22 +.0 v+ .v. , (54) 2y 2y .y .y .2 .x 2 (2) (2) (2) (e)(s) ..00v..00v1 ..00P ..v..v 2y 2y 2(s)2y (e)2y C32 =+ v2x ++ .v+ .v+ 2x 2x .t .x .2 .y .x .x (e)(s)(e)(s) ..v..v....P (s)2y (e)2y 22 +.v+ .v. , (55) 2y 2y .y .y .2 .y 2 ! (2) (2) (2) (2) ..00...00...00...00. ..2 22 22 C42 =+ v2x . + v2x . .t .x .2 .t .x !! (e)(e)(e)(e) ..2(s) ...2(s) ...2(s) ...2(s) ...2 . .v2x + .v2y + .v+ .v2y 2x . .2 .x .y .x .y !! (e)(e)(s)(s) .....2..2 ......2 22 .. + v2x , (56) .2 .2 .t .x 2 (3) ..00. 2 + . 5 .00 (3) + v2(5.00.(3) (e)(e) C13 = v)+ ..5 .v+ 2 222 .t (e)(e) +.v5 .., (57) 22 (3) (3) (3) (e)(e) ..00v..00v1 ..00P ..v..v 2x 2x 2(e)2x (e)2x C23 =+ v2x ++ .v+ .v, (58) 2x 2y .t .x .2 .x .x .y (3) (3) (3) (e)(e) ..00v..00v1 ..00P ..v..v 2y 2y 2(e)2y (e)2y C33 =+ v2x ++ .v2x + .v2y . (59) .t .x .2 .y .x .y Используя в (7) разложение до второго порядка включительно, для зафронтовой области получим следующее: ! n.1 2 .00P .2 .2 .00.. (n . 1)c0.2 n.2 . 2 = c +..2 +..2.00.. + ... + 20 222 2.n.1 .00 +...2. ...2 . (60) Здесь и далее верхний индекс . в возмущении гидродинамической величины (.f.) обозначает следующее выражение .f. . .f(s) + .f(e). Взаимодействие звуковых волн между собой подробно изложено в основ­ном тексте статьи, из взаимодействия энтропийно-вихревых волн между собой (57) – (59) следует k(3) .00 (3) + k(3) .00 (3) vv=0, (61) x 2xy 2y .00P (3) 2 =0, (62) (3) (e) (3) где kx =2kx , ky =2ky. Из уравнений (53) – (56) для взаимодействия звуко­ вых волн с энтропийно-вихревыми следует (2) (e) k...P2 k(2) . .(2) .00 (2) x (2) = k(s)2 v2xv+ .P . x 2x 2 x .2 .22 (s)(s) (.(s) . kx v2x).P2.v 2x ., (63) 2 .2c2 (2) k(2) . .(2) .00 (2) ky .00P (2) v2xx v2y + 2 = .2 (e)(e)(s)(s)(s)(e) k(s) = . .v.v.v. k(e) .v.v.v, (64) x 2x + ky2y 2yx 2x + ky2y 2y k(2) . .(2) .00.(2) .(2) .00 (2) + .(2) .00 (2) + .2 v= v2xx 2 x 2xy v2y (s) .(s) . v2xkx (e)(e) k(e)(s)(s) = ..2 .P2 . ..x .v. ky.v2y . 2 22x .2c2 (s)(e)(e) k(s) ....v. ky.v, (65) 2 x 2x 2y k(2) . .(2) .00.(2) ..2 k(2) . .(2) .00.(2) v2xx v2x2 = 2 . x .2 (s)(s)(e) k(e) = x .v2x + ky.v2y ..2 . (66) " !# (e)(e) ..2 k(e)(s)(s) k(s) ..2 ..2(s) . ..(e) .v+ ky.v. .(s) . v2x. ... x 2x 2yx 2 .2 .2 .2 Отметим, что для координаты фронта ударной волны (УВ) xsw = d1t (d1 – ско­рость фронта УВ). Для дальнейших вычислений нам понадобятся выражения для касательного и нормального вектора к поверхности фронта УВ. Возмуще­ 00 ние фронта УВ можно представить в виде . = A.. exp {i..} + A.00. exp i. , . где использованы обозначения .. = kyy . ..t, .. =2kyy . . . 00 t. Тогда для касательного вектора t (|t|= 1) и нормального n (|n|= 1) можно записать 00 .. . 2 t = ikyA..e +2ikyA.00.e . ; 1+ 1(kyA..e .. ), (67) 2 00 1 .. )2 .. . . n = 1+ (kyA..e ; .ikyA..e . 2ikyA.00.e. (68) 2 С учетом вышесказанного во втором порядке условия Рэнкина-Гюгонио выгля­ – 18 – дит следующим образом: .00v1y v1x . .00. v2y . v2x .v. 2x .00. = iky + i.yv1x . .v1x .., . v2x (69) .00. . .00v2x v1x 2 . .00P . 2 . .00P1 . .1 .00.. 2 .2 .2 .00.1 . .1 = v2x . v1x P2 . P1 .2 . .1 = 1 . 1 .P2 . .P1 2 P2 . P1 .P2 . .P .1 .2 ... . ..1 2 .2 .1 .2 . .1 .2 2 ..1 . 1 1 .1 . .. . 2 . (..).1 ... .2 k2 y 2 . .. + . 2iky..(.v1y . .v. ) 2yv1x . v2x 2 .2 2 .1 (..1). ... .2 .2 1 2 . . 2 2 (70) , P2 . P1 .2 . .1 .2 . .1 4 4 n .00.. n .00.1 2 0 .0c 2 0 .0c.2 .1 .00.. . .00.1 + 2 . 1 2 . . 1 . .2 2 .2 1 . .0 .1 .2 .00.. .00.1 2 . .00P1 + .00P . .2 .12 .0 n n . P1 + P2 1 .. 1 .. . . (71) + = .2 . .1 2 .1 .2 P1 + P2 n n 2 0 ..22 1 .0c(...2 )2 n . 2 .1 n . 2 .2 .0c 0 +1 . +1 + = .3 1 .3 2 2 .0 2 .0 n n . .. ..1 . .. 2 .22 .1 .1 .2 ...2 ... . (..1) . 2 .P1 + .P2 .2 .1 .2 1 .2 2 P1 + P2 11 . + + , 2 .1 .2 .2 . .1 P1 + P2 .2 . .1 .1 .2 .00.. .00.1 00 2.00.1 2i. . .00..00P . . .00P1 .22 . .1 2iky.v2. y.. + . 2 + =+ .1 v1x . d1x P2 . P1 .2 . .1 v1x . d1x .1 .2 22 ... . ..1 k2 k22 d1x (..)y v1xy (..).P2 . .P1 .2 .1 2..1 (.v1x . i....) + .. . . v1x . d1x v1x . d1x .2 . .1 .1(v1x . d1x) . .. 2(P2 . P1) .1 .2 . .. 2 2 .22 .1 ..2. ...2 2 . . ..1 (..1) 1 .P2 . .P1 3 .2 .1 .1 .2 . . . (72) + 4 P2 . P1 .2 . .1 .2 . .1 4 Здесь использовано выражение для удельной «холодной» энергии во втором порядке в зафронтовой области: . 2 n 2 n .00..2 .0c.2 .0cn . 1 .2 ... .00..020 2 = . 1+ +1 с n.0 .2 n 2 .0 .3 22 = .00f(1) + .00f(2) и обозначение .00f. + .00f(3), где f – любая гидродинамическая величина. Отметим, что рассмотрение взаимодействия звуковых волн с энтропийно­вихревыми приводит к системе уравнений (63) – (67), следующей из уравнений гидродинамики. Дополняя её УРСом (60), можно определить соответствующие амплитуды возмущений второго порядка без использования условий Рэнкина– Гюгонио. Для нахождения амплитуд возмущений, обусловленных взаимодей­ствием звуковых или энтропийно-вихревых волн между собой, необходимо совместно рассматривать соответствующие гидродинамические уравнения (27) – (30), (61), (62), условия Рэнкина–Гюгонио (69) – (72) и УРС (60). 1. Introduction A large number of theoretical and experimental studies over the past fifty years have been devoted to the interaction of planar shock waves with various perturbation fields in a medium (see, for example, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]). In particular, within the linear approximation, the interaction of a shock wave with acoustic waves [2, 11], isotropic fields of turbulent vorticity [8], and density perturbations [9, 12] has been considered. In all these cases, behind the shock front additional acoustic and entropy–vorticity perturbations arise on top of the initial fields. In a series of works [13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20], the problems of the temporal evolution of various systems with density perturbations under shock-wave processes or accelerated motion have been investigated. Within the linear approximation, it was shown that the sound wave propagation regime in the post-shock region depends on the angle between the axis of anisotropy of the perturbation field and the shock-wave velocity vector. For relatively small angles .0 between the anisotropy axis and the inward normal to the shock front n0, the projection of the sound wave velocity cx onto the axis Ox k n0 is positive. As .0 increases, the projection cx decreases and, at .0 = .0 (where .0 is determined by the medium parameters behind and ahead of the shock front [13]), it becomes equal to the flow velocity. In the interval of angles ... <.0, the acoustic wave propagates behind the shock wave. When the angle .0 reaches the threshold value .0. , the projection of the velocity cx equals the shock velocity. For larger angles (.0 >.0. ), the acoustic perturbations behind the shock front are described by surface acoustic waves [2]. According to these results, in the case .0 = .0 . the sound velocity coincides with the shock velocity, and spatial attenuation of acoustic perturbations is absent. Therefore, the amplitude of these perturbations behind the shock front must vanish. To correctly describe the spatial structure of the acoustic field under these conditions, it is necessary to go beyond the linear approximation. In this paper, the problem of the interaction of a shock wave with an anisotropic density perturbation field is solved with the inclusion of second-order corrections to the hydrodynamic quantities. In this approximation, the hydrodynamic variables satisfy inhomogeneous wave equations [21]. Applying the standard perturbation theory to the pressure equation leads to the appearance of secular terms (growing with time). A new analytical method for solving equations of this type is proposed in the present work. It is based on a generalization of the approach used in the theory of ordinary nonlinear differential equations [22] and consists in introducing an additional phase into the linear solution. Using this method, it is shown that for .0 = .0 . there exist decaying acoustic perturbations behind the shock front. 2. Interaction of a shock wave with a density perturbation field. Linear approximation Let us consider the collision of two semi-infinite plates, one of which is at rest (see Fig. 1). The incident plate (the impactor) initially contains a spatially anisotropic field of density perturbations. As a result of the collision, shock waves propagating outward from the contact discontinuity arise in both plates. Figure 1. The problem statement. The impactor velocity is assumed to be sufficiently large (on the order of 5 km/s). Therefore, the elastic–plastic properties of the colliding plates can be neglected, and the interaction of the shock wave with the density-perturbation field in the impactor can be described using the equations of hydrodynamics: dv . dt + rP = 0, (1) .. .t + r (.v) = 0, (2) d. P d. dt . .2 dt = 0. (3) Equation (3) assumes that the motion of the medium is isentropic. The system (1) – (3) must be supplemented with the Rankine–Hugoniot condi­ tions at the shock front [23]: s 1 1 v1. = v2. , v1n . v2n = (P2 . P1) .1 . .2 , (4) P2 . P1 j2 = .1.2 , .2 . .1 1 .1 . .2 = 2 1 1 . .2 .1 (P1 + P2) , (5) where v1. , v1n and v2. , v2n – the tangential and normal components of the velocity upstream and downstream of the shock front, the mass flux j = v1.1 = v2.2 and .1, .2 – the mass flux and the specific internal energy on both sides of the shock wave. Following [24], we represent the specific internal energy . as a sum . = .el + ., where .el is the elastic part of the internal energy and . is the specific thermal energy. In this case, equation (3) can be written as: d. .. d. . =0. (6) dt .dt We will employ the Mie-Gruneisen equation of state (EOS) for the medium [24], using the cold-compression curve in the form given by the Tait-Murnaghan model [25]: n 2 . .0c0 P = . 1 +..., (7) n.0 where .0, c0 – density and speed of sound for uncompressed («cold») medium; . – the current density; . – the Gruneisen coefficient; n – constant. Assume that the initial densityperturbation field in the impactor is described by the expression: ..1 = A..1 cos (k0xx + k0yy) , (8) while A..1 /.1 . . 1. The anisotropy axis for such a perturbation is aligned with the vector k0 (see Fig. 1). The shock wave with velocity (d1 . v1), that is directed opposite to the axis x (d1 . v1 < 0), overtakes the perturbation from the right. The angle between the vector k0 and the Ox axis is .0 (tg .0 = k0y/k0x). The solution of the problem will be sought using a series expansion in the small parameter .: f = f0 + f1. + f2.2 + ..., (9) where f is an arbitrary hydrodynamic quantity. In the linear approximation, the system (1) – (3) behind the shock front takes the form (see, e.g., [13]) ..v2x ..v2x 1 ..P2 + v2 = . , (10) .t .x .2 .x ..v2y ..v2y 1 ..P2 + v2 = . , (11) .t .x .2 .y ...2 ...2 ..v2x ..v2y + v2 + .2 + =0, (12) .t .x .x .y ...2 ...2 ..2 ...2 ...2 + v2 . + v2 =0, (13) .t .x .2 .t .x where .v2, .P2 and ..2 are the first-order corrections to the initial values of velocity, pressure and internal energy, respectively. To determine the perturbations of the hydrodynamic quantities in the post-shock region, the system (10) – (13) must be supplemented by the Rankine–Hugoniot conditions written in the linear approximation, (4), (5), and by the EOS condition (7) (see, e.g., [13] for details). The solution of the resulting system can be sought in the form of a harmonic function .f = A.f cos (kxx + kyy . .t) , (14) where f denotes any hydrodynamic quantity. For convenience we will further use the notation . = kxx + kyy . .t. (15) According to [23], the solution can be represented as a superposition of acoustic and entropy–vorticity waves. Substituting (14) into (4), (5), (7) and (10) – (13) yields a system of algebraic equations. The analytical expressions for its solutions are rather cumbersome, and therefore are not given here. Of greatest interest for the study is the dependence of the projection of the acoustic wave vector in the post-shock region on the initial angle of incidence. From (10) – (13) it follows that the x-projection of the acoustic wave vector is equal to: q 2 (d1 . v1)(v2 . d1) ± c2k2 (v1 . d1)2 . (c. (v2 . d1)2) k2 k0x0x20y k(s) x = 2 ,(16) ± c. (v2 . d1)2 2 and the corresponding frequency is q .(s) = k(s)(s) )2 + k2 v2 + c2(kx . (17) x 0y Then the projection of the sound speed onto the x-axis is d.(s) kx (s) c2 c2x == v2 + q. (18) (s) dkx (k(s) )2 + k2 x 0y According to (16), for incidence angles that belong to the interval v1 . d1 0 <.0 <. .. ,. .. = arctan (19) 00 c2 (s) the solution kx corresponds to the «incidence» of acoustic waves from the right . onto the shock front for any values of k0x. Since there are no acoustic sources behind (s)(s) theshockfrontresponsibleforthegenerationofsuchwaves,inwhatfollowswewill . kkconsideronlytheacousticfieldwiththewavevectorprojection .In xx .k=0thecase ,theprojection ,andtheacousticwavespropagateparallel 00 x <.(20) <, 00 + = ... (s) to the shock front. For large incidence angles . . . 2 (s) the projection of the wavevector kx acquires a positive imaginary part, and according to (18), |c2x|> |d1|. It follows that the acoustic perturbations are described by surface waves [2]. The most interesting region of angles is . .. <.0 <. 0. ,. . 00 = arctan . .. . .. . (21) v1 . d1 q 2 2 c. (v2 . d1) 2 (s) In this interval, the projection kx is a negative real quantity, while the imaginary (s) part of kx vanishes. Thus, unlike in the case of incidence angles (19), the acoustic wave must propagate toward the shock front [13]. In the next section, the solution of the system (1), (2), (4) – (6) is obtained by incorporating second-order corrections that account for the interaction of acoustic waves with each other. It is shown that the inclusion of nonlinear effects leads to a qualitative change in the behavior of the solution in the post-shock region. 3. Nonlinear interaction of acoustic waves The inhomogeneous equations for the second-order corrections to the hydrody­namic quantities can be obtained from the system (1), (2), (4) – (6) using the standard perturbation theory [21]. Similar to the first-order analysis, we assume that pertur­ bations of the hydrodynamic variables in the post-shock region of the impactor are harmonic functions. In this case, one can write: 0000 00 .f = A.f cos (kxx + kyy . .t)+ A.00f(i) cos kx + ky . .t , (22) xy where f denotes any hydrodynamic variable corresponding to acoustic or entropy–vor­ticity waves. The symbol . indicates first-order quantities, while .00 corresponds to 0000 00 second-order ones. The parameters k x, k y , and . are the x-and y-components of the wave vector and the frequency for the second-order correction, respectively. It should be noted that these are not small quantities. Thus, in the second-order of the perturbation expansion, the system of hydrody­namic equations (1) – (3) takes the form: C11 + C12 + C13 =0, (23) C21 + C22 + C23 =0, (24) C31 + C32 + C33 =0, (25) C41 + C42 =0. (26) The explicit form of the coefficients Cik is given in Appendix A. Equation (23) follows from (1). Equation (24) is obtained from the x-component of (2), while (25) comes from its y-component. Equation (26) follows from (3). The terms C11, C21, C31, C41 correspond to the interaction of acoustic waves with each other, and the corresponding second-order hydrodynamic quantities are denoted by the superscript (1). The terms C12, C22, C32, C42 describe the interaction of acoustic waves with entropy–vorticity waves, with the corresponding second-order quantities denoted by the superscript (2). The terms C13, C23, C33 correspond to the interaction of entropy–vorticity waves with each other, with the associated second-order quantities denoted by the superscript (3). In writing (26), it is taken into account that terms corresponding to the self-action of the entropy wave cancel out. Analysis of the equations presented in Appendix A shows that taking into account sources of the second type (acoustic-entropy) and third type (entropy-entropy) does not lead to a qualitative change in the solution. The situation is different for the first type of source (acoustic-acoustic). As will be shown below, accounting for the interaction of an acoustic wave with itself can lead to a qualitative change in the solution (the emergence of attenuation) for certain values of the angle .0. 4. Additional-phase method From equations (23) – (26), it follows that for the first type of interaction (acoustic–acoustic), the equations in the post-shock region take the form: (1) (1) (1) ..00v..00v1 ..00P 2x 2x 2 + v2x = . , (27) .t .x .2 .x (1) (1) (1) ..00v..00v1 ..00P 2y 2y 2 + v2x = . , (28) .t .x .2 .y ! (1) (1) (1) (1) ..00...00...00v..00v 22 2x 2y + v2x + .2 += .t .x .x .y = A2 .(s) . v2k(s) sin 2., (29) ..2 x ! (1) (1) (1) (1) ..00...00...00...00. ..2 22 22 + v2x . + v2x = .t .x .2 .t .x A2 ..2 ..2 k(s) = .(s) . v2x(1 . .) sin 2., (30) x 2.22 where .00v2, .00.2, .00.2 – second-order corrections to the velocity, density, and specific internal energy, respectively. The right-hand sides of equations (29) and (30) represent the squares of the perturbations of the hydrodynamic quantities in the first-order approximation. According to (27) – (30), the equation for the second-order correction to the pressure .00P2 takes the following form: 2 F.1.00P2 A..2 = . cos 2., (31) .2 where (s) 2 " # .(s) . kn.1 x v2 2 .2 . = . nc + .(. + 1)2.2 .2, 20 c2 .0 ! 2 1 .2 v2 .2 v2 .2 .2 F.1 = 2 . 1 . +2 2 . . c2 .t2 c2 .x2 c.x.t .y2 2 Since the specific internal energy and the constants n and . are non-negative, it follows from expression (31) for . that .> 0. If, following the standard perturbation theory [21], one seeks a solution of equation (31) in the form of a plane wave, secular terms (growing with time) appear in .00P2 [21]. A similar problem arises when applying standard perturbation theory to ordinary nonlinear differential equations [22]. A method to avoid the emergence of secular terms in such equations has long been known (see, e.g., [22]). Here, we generalize this method to solve equation (31). We represent the pressure perturbation behind the shock front .P2 as a sum: P2 + .00 . .P2 = . .P2. (32) The first term in (32) differs from the first-order pressure correction .P2 F.1.P2 =0, .P2 = A.P2 cos (.(x, y, t)) ,.(x, y, t)= kx (s) x + k0yy . .(s)t (33) by a phase correction .P.2 = A.P2 cos (. + g(x, y, t)) . (34) The frequency .(s) appearing in (33) obeys the dispersion relation (17), and the amplitude A.P2 is obtained from the solution of the system (10) – (13) supplemented with the linearised boundary conditions (4), (5) and the EOS (7), together with the initial condition (14) [18]. The parameter g is chosen so that the function .P.2 satisfies the inhomogeneous equation (31): 2 A..2 F.1.P.2 = . cos 2.. (35) .2 The function.00 P.2 in this case satisfies a homogeneous wave equation: F.1.00 . P2 =0 (36) and no secular terms arise in the second-order correction to the pressure. Following [22], we assume that the additional phase g is small compared to . (34), i.e., |g| |.|. The boundary condition for equation (35) at the shock front takes the form g(d1t, y, t)=0. (37) To determine the second-order corrections to the velocity, density, and specific internal energy (as well as .00 P.2), one must supplement the system (27) – (30) with equations accounting for the interaction of entropy–vorticity waves with each other and with acoustic waves (see Appendix A). The solutions of these inhomogeneous equations do not contain secular terms. Therefore, the desired hydrodynamic quantities can be computed within the framework of the standard perturbation theory [21]. 5. Standard definition of the additional phase Using the regular method to seek a solution of equation (35), we obtain the following solution containing secular terms: .P2 = A.P2 [cos . + . (x . d1t) cos . sin .]+ A.00P2 cos 2.. (38) Since the solution is obtained via a perturbation expansion, the resulting secular term is essentially the first term in the Taylor series expansion of some function. Therefore, according to [22], for the phase correction we can use the expression g(x, y, t)= ..(x . d1t) cos ., .A..2 . = 2 . (39) 2.2 [(. . kxv2)(v2 . d1)+ kxc] 2.2 It should be noted that a similar expression for the phase of an acoustic wave, taking into account nonlinear interactions among acoustic waves, is presented in [26]. Consequently, the self-interaction of an acoustic wave leads to a correction in its phase: .P.2 = A.P2 cos (. . . (x . d1t) cos .) . (40) The situation changes when .0 > .0. . In this case, the expression in the square brackets in the denominator of (39) tends to zero. 6. Additional phase near the surface wave excitation threshold We investigate the spatial structure of the pressure perturbation field behind the shock front near the surface wave excitation threshold, i.e., for |... .0| .0. . 0 We assume that the variation of the angle .0 occurs solely due to an increase in the x-component of the initial wave vector k0x (k0x (k0y = const). In this case, the regular method for seeking a solution of equation (35) yields i h 2 ... P2 = A.P2 cos . + . (x . d1t) cos . sin . + µ (x . d1t)cos 2. + + A..00P2 cos 2.. (41) The emergence of the additional term in (41) compared to expression (39) can be explained as follows. As .0 > .0. , the expression in the denominator of (39) tends to zero. Therefore, when substituting (41) into (35), the contribution of all terms proportional to (x . d1t) also tends to zero. Consequently, for (41) to satisfy (35), it is necessary to include a term proportional to (x . d1t)2 with a coefficient µ . .. Higher powers of (x . d1t) do not need to be considered, since the equation under study involves derivatives of at most second order. In the considered region, for the x-component of the acoustic wave vector in the post-shock region and its correction, the following holds: v2 . d1 . . k(s) (. 0. )= . x k0y, vuut q 2 2 2 c. (d1 . v2) 2 v1 . d1 .k0x .. = k(s) . . = c2 x k0y. (42) 3/2 k0y 2 2 c. (v2 . d1) 2 Thus, the applicability region of solution (39) corresponds to .k0x & k. . Outside 0x this region, the order of smallness of the parameter . exceeds .. It should also be noted that in the considered region, the x-component of the sound velocity c2x is close to the shock velocity: c2k02 y c2x = d1 + .., (43) 3/2 .2 + k2 0y and at the point .0 = .0. , it exactly equals the shock velocity. Therefore, the region of existence of the acoustic wave must be limited. In general, the phase correction caused by nonlinear interactions has a rather complex structure (see, e.g., [26]), so determining its exact functional dependence is a difficult, often intractable, problem. For this reason, it is impossible to reconstruct its full functional form using only first-order perturbation theory. However, one can still identify the emergence of qualitative changes in the solution, as demonstrated in this section. The search for a solution in the considered region begins with the case . = .0. . Then, we investigate how the obtained solution changes when moving away from .0. . For .0 = .0. , the denominator in expression (39) is exactly zero, and the solution (41) must be considered for kx (s) = .. In this case . > .. = .x + kyy . .t, where, q according to (17), .= .v2 + c2.2 + k02 y. v In this situation, the phase correction contains terms of order . . and it is therefore necessary to account for the phase correction of the phase itself (see (40)). In addition, terms corresponding to the .(x .d1t)2 contribution in (41) must be included. As a result, for .P.2 one can write ...(x.d1t) .P.2 = A.P2 cos {. . + .. .} e, (44) .. . = .. . (x . d1t) + .(x, y, t) . . . (x . d1t) . ...(x.d1t) . cos {. . + .. . (x . d1t) + .(x, y, t) . . . (x . d1t) cos . .} e, 22 2 .(x, y, t)= . 1 . (x . d1t)+ . 2 . (x . d1t)cos . . + . 3 . (x . d1t)cos . . sin . . . Here, ... , .. , .. , .1 . , .2 . , .. denote the values of the corresponding quantities at 3 .0 = .0. . Next, we examine in detail the necessity of including each of the terms in .P.2. Taking into account the second-order in the expansion in ... , expression (44) must reduce to (41). To achieve this, it is necessary to include in ... a term .(x, y, t) . .. As mentioned above, the emergence of this term is related to the impossibility of determining the exact functional form of the hydrodynamic quantities without including all terms of the expansion in ... . It should also be noted that from the series expansion (44) it follows that µ . ...... .. Therefore, assuming that the orders of smallness of ... and .. are the same, we obtain .. .. . ..v .. (45) The necessity of including a decaying exponential in (44) can be explained as follows. Expanding cos (.. + ...) to the second-order shows that only terms from v ... whose order of smallness does not exceed . can appear as multipliers of cos .. . From the condition .(x, y, t) . ., it follows that terms contained in this function can only appear as multipliers of sin .. . This means that in the final expression for .P2, second-order terms proportional to cos .. cannot cancel with any term from .(x, y, t). To resolve this issue, one must account for the fact that, in general, the phase correction may contain an imaginary part. The presence of an imaginary part in the phase leads to a decaying exponential (the growing part is discarded). Thus, using the expansion in small parameters in expression (44), from the equality . P.2 = .P.2 we obtain: 2 . . = .. . . . ,.2 = .2. . . . ,. 3 . =(. . )/2, 1 2 22 . (. . )=(.. . )+(. . ),µ = . . .. . . (46) From (45) and (35) it follows that: h vuut .A.P2 . . . i. (47) 2 22 c.2 (d1 . v2). c 22 2 Since c2 > (d1 . v2) (see, e.g., [23]) and .< 0 (see (31)), .. is a real number. From (45) and (46), it follows that ... .... .. , so the obtained solution is valid for .. and ... . When moving away from the point .0. , the phase of the perturbation must ad- (s) ditionally account for changes in the wave vector projection kx = . + .. and the frequency .(s) = .+... Note that the correction . ... , obtained at .0 = .0. , persists for .0 6.0. . Therefore, solution (44) can be extended to an .-neighborhood of .0. , = where .. < ... . In the resulting solution for .P .(see (44)), it is necessary to account for the substitutions . > .. , ..> .(..), ..> .(..), ..> .1(..), ..> .2(..), 12 .3 .> .3(..). Moreover, expression (39) with (45) and kx (s) = . + .. + ... reduces to (47) in the limit .0 > .0. . The presence of the correction ...(x . d1t) in the phase prevents the coefficient . from diverging as .0 > .0 . (see (39)). Assuming . . ., we obtain the following expression for . in the region .0 & .0 . (kx = . + ..): .A.P2 . = D h i , (48) 2 22 c.2 (d1 . v2). c(... + ..) 22 2 where D is a constant that can, for example, be determined via numerical simulation. To relate expression (41) to (38), it is necessary that, when the incidence angle .0 approaches ... , the quantities .., .1, .2 and .3 can be neglected within the second­ 0 order approximation. This assumption is also consistent with the observed weakening of the attenuation as as .0 approaches ... . 0 Note that for .. =0 (.0 = .0. ), expression (48) coincides with (47), and for increasing .0, using the expansion of the wave vector, it transitions into expression (39). A decrease in . and, consequently, in the attenuation is also observed as .0 approaches ... . 0 7. Conclusion In this work, the interaction of a shock wave with an anisotropic density pertur­bation field is investigated in the second-order approximation. To solve the inhomo­geneous equations arising in this approximation, a new analytical method is proposed that allows one to avoid the appearance of secular (time-growing) terms. This method generalizes the approach used in the theory of ordinary nonlinear differential equations [22] and is based on introducing an additional phase into the solution of the linear approximation. Using this method, it is shown that for certain angles of incidence of the shock wave on the spatially anisotropic density perturbation field, a decaying acoustic field arises behind the shock front, which cannot be described by surface waves. A. Appendix The coefficients in the equations (23) – (23) have the form: (1) ..00. 2 + .2 5 .00 (1) + v2(5.00.(1) (s)(s) = v)+ ..5 .v+ C11 2222 .t (s)(s) +.v(5..), (49) 22 (1) (1) (1) (s)(s) ..00v..00v1 ..00P ..v..v 2x 2x 2(s)2x (s)2x C21 =+ v2x ++ .v+ .v. 2x 2y .t .x .2 .x .x .y (s)(s) ....P 22 . , (50) .22 .x (1) (1) (1) (s)(s) ..00v..00v1 ..00P ..v..v 2y 2y 2(s)2y (s)2y C31 =+ v2x ++ .v2x + .v2y . .t .x .2 .y .x .y (s)(s) ....P 22 . , (51) .2 .x 2 ! (1) (1) (1) (1) ..00...00...00...00. 22 ..22 2 C41 =+ v2x . + v2x . .t .x .2 .t .x !! (s)(s)(s)(s) ..2(s) ...2(s) ...2(s) ...2(s) ...2 . .v+ .v+ .v+ .v. 2x 2y 2x 2y .2 .x .y .x .y !! (s)(s)(s)(s) .....2........ 222 2 .. + v2x , (52) .2 .t .x .22 (2) ..00. 2 + .2 5 .00 (2) + v2(5.00.(2) (e)(s) = v)+ ..5 .v+ C12 2222 .t (e)(s)(s)(e) +.0 v(5..)+ .0 v(5..), (53) 22 22 (2) (2) (2) (e)(s) ..00v..00v1 ..00P ..v..v 2x 2x 2(s)2x (e)2x C22 =+ v2x ++ .0 v+ .v+ 2x 2x .t .x .2 .x .x .x (e)(s)(e)(s) ..v..v....P (s)2x (e)2x 22 +.0 v+ .v. , (54) 2y 2y .y .y .2 .x 2 (2) (2) (2) (e)(s) ..00v..00v1 ..00P ..v..v 2y 2y 2(s)2y (e)2y C32 =+ v2x ++ .v+ .v+ 2x 2x .t .x .2 .y .x .x (e)(s)(e)(s) ..v..v....P (s)2y (e)2y 22 +.v+ .v. , (55) 2y 2y .y .y .2 .y 2 ! (2) (2) (2) (2) ..00...00...00...00. ..2 22 22 C42 =+ v2x . + v2x . .t .x .2 .t .x !! (e)(e)(e)(e) ..2(s) ...2(s) ...2(s) ...2(s) ...2 . .v2x + .v2y + .v+ .v2y 2x . .2 .x .y .x .y !! (e)(e)(s)(s) .....2..2 ......2 22 .. + v2x , (56) .2 .22 .t .x (3) ..00. 2 + . 5 .00 (3) + v2(5.00.(3) (e)(e) = v)+ ..5 .v+ C13 2222 .t (e)(e) +.v5 .., (57) 22 (3) (3) (3) (e)(e) ..00v..00v1 ..00P ..v..v 2x 2x 2(e)2x (e)2x C23 =+ v2x ++ .v2x + .v2y , (58) .t .x .2 .x .x .y (3) (3) (3) (e)(e) ..00v..00v1 ..00P ..v..v 2y 2y 2(e)2y (e)2y C33 =+ v2x ++ .v2x + .v2y . (59) .t .x .2 .y .x .y Using in (7) an expansion up to (and including) second-order, for the region behind the shock front we obtain the following: ! n.1 2 .00P .2 .2 .00.. (n . 1)c0.2 n.2 . 2 = c +..2 +..2.00.. + ... + 20 222 2.n.1 .00 +...2. ...2 . (60) Here and throughout the following text, the superscript . on the perturbation of a hydrodynamic variable (.f.) denotes the expression .f. . .f(s) + .f(e). The interaction of acoustic waves with one another is described in detail in the main text of the article; from the interaction of entropy-vorticity waves with each other (57) – (59) it follows: k(3) .00 (3) + k(3) .00 (3) vv=0, (61) x 2xy 2y .00P (3) 2 =0, (62) (3) (e) (3) where kx =2kx , ky =2ky. From equations (53) – (56) for the interaction of acoustic waves with entropy-vorticity waves, it follows: (2) (e) kx ...P2 k(2) . .(2) .00 (2) (2) = k(s)2 v2xv+ .P . x 2x 2 x .2 .22 (s)(s) (.(s) . kx v2x).P2.v 2x ., (63) 2 .2c2 (2) k(2) . .(2) .00 (2) ky .00P (2) v2xx v2y + 2 = .2 (e)(e)(s)(s)(s)(e) k(s) k(e) = . .v+ ky.v.v2y . .v+ ky.v.v2y , (64) x 2x 2yx 2x 2y k(2) . .(2) .00.(2) .(2) .00 (2) + .(2) .00 (2) v2x+ .2 vv= x 2 x 2xy 2y (s) .(s) . v2xkx (e)(e)(s)(s) k(e) = ...P2 . ...v. ky.v. 22 2 x 2x 2y .2c 2 (s)(e)(e) k(s) ....v. ky.v, (65) 2 x 2x 2y k(2) . .(2) .00.(2) ..2 k(2) . .(2) .00.(2) v2xx v2x2 = 2 . x .2 (s)(s)(e) k(e) = x .v2x + ky.v2y ..2 . (66) " !# (e)(e) ..2 k(e)(s)(s) .(s) . v2xk(s) ..2 ..2(s) . ..(e) .v+ ky.v.. ... x 2x 2yx 2 .2 .2 .2 Note that the coordinate of the shock-wave (SW) front is xsw = d1t (d1 is the speed of the SW-front), and for the subsequent calculations we will need the expressions for the tangent and normal vectors to the SW-front surface. The perturbation of the 00 SW-front can be represented in the form . = A.. exp {i..} + A.00. exp i. . , where the following notations are used .. = kyy . ..t, .. =2kyy . . . 00 t. Then, for the tangent vector t (|t|= 1) and the normal vector n (|n|= 1) one can write: 00 .. . 1 .. )2 t = ikyA..e +2ikyA.00.e . ;1+ (kyA..e, (67) 2 00 1 .. )2 .. . . n = 1+ (kyA..e ; .ikyA..e . 2ikyA.00.e. (68) 2 Taking the above into account, the Rankine–Hugoniot conditions expanded to second order take the following form: .00. .00. v1y v2y .v2. x . .v1x + i.y.00. = iky .., (69) v1x . v2x v1x . v2x .1 .2 .00.. .00.1 .00. . .00.00P . . .00P12 . vv1x .2 .1 2 2x . 2 . = v2x . v1x P2 . P1 .2 . .1 .1 .2 ... . ..1 2 1 .P2 . .P1 .2 .12 2iky..(.v1y . .v2. y) = . (..)ky 2 + . (70) 2 P2 . P1 .2 . .1 v1x . v2x . .2 .1 . 2 .22 .1 . 2 2 ..1 . ... (..1). ... 2 .2 .22 1 .P2 . .P1 1 . .1 .2 . .. .. . 12 , 4 P2 . P1 4 .2 . .1 .2 . .1 n 2 .00..2 n .00.1 .00.. . .00.1 + .0c0 .22 .0c0 .1 2 . 1 .. 1 . n.0 .2 n.0 .12 . 2 . .1 .2 .00.. . .00.1 2 .00P1 + .00P . P1 + P2 11 . .1 . .22 .. . + .= (71) 2 .1 .2 .2 . .1 P1 + P2 nn 22 .0cn . 2 .1 ..2 .0cn . 2 .2 (..2. )2 0 10 = +1 . +1 + n 2 .0 .13 n 2 .0 .23 .. . 2 .22 .1 .1 .2 (..1). ... ... . ..1 22 P1 + P2 11 . .2 .2 .P1 + .P2 .2 .1 . + . . 12 + ., 2 .1 .2 .2 . .1 P1 + P2 .2 . .1 00 .00..1 .00.. . .2 .00.1 2.00.1 2i. .00P . . .00P12 2iky.v. .. . 2 .2 .12y + . + =+ .1 v1x . d1x P2 . P1 .2 . .1 v1x . d1x .1 .2 22 ... . ..1 k2 k22 d1x (..)y v1xy (..).P2 . .P1 .2 .1 2..1 (.v1x . i....) + .. . v1x . d1x v1x . d1x 2(P2 . P1) .2 . .1 .1(v1x . d1x) . .1 .2 . 2 .22 .1 . 2 2 ... . ..1 (..1). ... 22 1 .P2 . .P1 3 . .2 .1 . .1 .2 . + .. . (72) 4 P2 . P1 4 .2 . .1 .2 . .1 Here we have used the expression for the specific «cold» energy to second-order in the postshock region: . 2 nn 2 .00..2 .00.. .0c0 .22 .0cn . 1 .2 ... с = . 1+ 0 +1 2 n.2 n 2 .3 .02 .02 .00f(1) + .00f(2) and the notation .00f. =+ .00f(3), where f denotes an arbitrary hydrodynamic quantity. It should be noted that considering the interaction of acoustic waves with entropy­vorticity waves leads to the system of equations (63) – (67), which follows from the hydrodynamic equations. By supplementing this system with the EOS (60), the corresponding second-order perturbation amplitudes can be determined without using the Rankine–Hugoniot conditions at the front. To find the amplitudes of perturbations caused by the interaction of acoustic or entropy-vorticity waves with themselves or with each other, it is necessary to consider jointly the corresponding hydrodynamic equations (27) – (30), (61), (62), the Rankine–Hugoniot conditions (69) – (72), and the EOS (60). 534.222.2 UINHVK нелинейное взаимодействие звуковые волны ударные волны метод дополнительной фазы nonlinear interaction acoustic modes shock waves additional phase method Diakov S. V. Ob ustoichivosti udarnykh voln // Zh. Eksperim. Teor. Fiz. — 1954. — Vol. 27, no. 3(9). — P. 288 [in Russian]. Kontorovich M. I. Otrazenie i prelomlenie zvuka udarnoy volnoy // Zh. Eksperim. Teor. Fiz. — 1959. — Vol. 3. — P. 314 [in Russian]. Kuznetsov N. M. Stability of shock waves // Soviet Physics Uspekhi. — 1989. — Vol. 32, no. 11. — P. 993. Keller J., Merzkirch W. Interaction of a normal shock wave with a compressible turbulent flow // Mineralium Deposita. — 1994. — Vol. 29, no. 1. — Pp. 241–248. Yang Y., Zhang Q., Sharp D. H. Small amplitude theory of Richtmyer–Meshkov instability // Physics of Fluids. — 1994. — Vol. 6, no. 5. — Pp. 1856–1873. Wouchuk J. G. Growth rate of the linear Richtmyer-Meshkov instability when a shock is reflected // Physical Review E. — 2001. — Vol. 63, no. 5. — P. 056303. Shock front distortion and Richtmyer-Meshkov-type growth caused by a small preshock nonuniformity / A. L. Velikovich, J. G. Wouchuk, C. Huete Ruiz de Lira et al. // Physics of plasmas. — 2007. — Vol. 14, no. 7. Wouchuk J. G., Huete Ruiz de Lira C., Velikovich A. L. Analytical linear theory for the interaction of a planar shock wave with an isotropic turbulent vorticity field // Physical Review E—Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. — 2009. — Vol. 79, no. 6. — P. 066315. Huete Ruiz de Lira C., Velikovich A. L., Wouchuk J. G. Analytical linear theory for the interaction of a planar shock wave with a two-or three-dimensional random isotropic density field // Phys. Rev. E. — 2011. — Vol. 83, no. 5. — P. 056320. Richtmyer–Meshkov instability: theory of linear and nonlinear evolution /K. Nishihara, J. G. Wouchuk, C. Matsuoka et al. // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 2010. — Vol. 368, no. 1916. — Pp. 1769–1807. Huete Ruiz de Lira C., Wouchuk J. G., Velikovich A. L. Analytical linear theory for the interaction of a planar shock wave with a two-or three-dimensional random isotropic acoustic wave field // Physical Review E—Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. — 2012. — Vol. 85, no. 2. — P. 026312. Analytical linear theory for the shock and re-shock of isotropic density inhomogeneities / C. Huete Ruiz de Lira, J. G. Wouchuk, B. Canaud, A. L. Velikovich // Journal of fluid mechanics. — 2012. — Vol. 700. — Pp. 214–245. Gorodnichev K. E., Kuratov S. E. Razvitie vozmusheni v sisteme stalkivayushikhsya plastin // VANT. Ser. Metodiki i programmy chislennogo resheniia zadach matematicheskoi fiziki. — 2013. — no. 2. — Pp. 37–47 [in Russian]. Gorodnichev K. E., Kuratov S. E., Serezhkin A. A. Evolution of Perturbations of Shock Wave Fronts and a Contact Surface at the Decay of Discontinuity at the Interface Between Two Media // Nuclear physics and engineering. — 2015. — Vol. 6, no. 3-4. — Pp. 158–158 [in Russian]. Hydrodynamic instability at the interface between colliding inhomogeneous mediums / K. Gorodnichev, S. Kuratov, P. Zakharov, E. Gorodnichev // Journal of Physics: Conference Series / IOP Publishing. — Vol. 941. — 2017. — P. 012051. Disturbance evolution in the shock impact of a density non-uniform medium / K. E. Gorodnichev, S. E. Kuratov, I. S. Menshov et al. // Matematicheskoe modelirovanie. — 2017. — Vol. 29, no. 3. — Pp. 95–112 [in Russian]. Theoretical and numerical analysis of density perturbation development induced by high velocity impact / K. Gorodnichev, P. Zakharov, S. Kuratov et al. // Physics of Fluids. — 2020. — Vol. 32, no. 3. Influence of Density Perturbations on the Stability of the Inner Ice Boundary in ICF Targets / K. E. Gorodnichev, S. I. Glazyrin, D. K. Ilnitsky, S. E. Kuratov // Physics of Atomic Nuclei. — 2022. — Vol. 85, no. 11. — Pp. 1793–1801. The interface instability development induced by the bulk density perturbations in accelerated media / K. E. Gorodnichev, P. P. Zakharov, S. I. Glazyrin, S. E. Kuratov // Physics of Fluids. — 2024. — Vol. 36, no. 1. On the effect of initial internal roughness in ICF targets on their compression / S. I. Glazyrin, P. P. Zakharov, K. E. Gorodnichev, S. E. Kuratov // Physics of Plasmas. — 2024. — Vol. 31, no. 6. Isakovich M. A. Obschaya acustika. — M.: Nauka, 1973 [in Russian]. Nayfeh A. H. Perturbation methods. — New York: Wiley, 1973. Landau L. D., Lifshitz E. M. Landau and Lifshitz Course of Theoretical Physics Fluid Mechanics. — Elsevier, 1987. Anderson W. W., Cherne F. J., Zocher M. A. Material properties under intensive dynamic loading. — Springer Science & Business Media, 2007. Murnaghan F. D. The compressibility of media under extreme pressures // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 1944. — Vol. 30, no. 9. — Pp. 244–247. Rudenko O. V., Soluyan S. I. Theoretical foundations of nonlinear acoustics. — 1977. https://keldysh.ru/papers/2025/prep2025_63_rus.pdf https://keldysh.ru/papers/2025/prep2025_63_eng.pdf