1-12 RAR 4729-3946 0009-0005-4894-817X Лапик Мария Александровна Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН mashalapik@gmail.com Lapik M.A. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS Векторные задачи равновесия на пересекающихся компактах Vector equilibrium problems on intersecting compacts В работе рассмотрена векторная задача равновесия на пересекающихся компактах с неположительными членами вне главной диагонали матрицы взаимодействия. Для таких задач доказаны результаты аналогичные результатам для задач на непересекающихся компактах. In this paper we consider the vector equilibrium problems on intersecting compacts with nonpositive members outside main diagonal in matrix of interaction. We shall prove same resembling results we got in the previous papers for nonintersecting case. Введение В настоящей работе будет рассмотрена векторная задача равновесия ло­гарифмического потенциала на отрезках с непустым пересечением. Такие примеры часто встречались в приложениях, но не подходили под требо­вания теорем, для решения прямой и обратной задач, изложенных в [6], [7], [1]. Напомним основные понятия теории логарифмического потен­циала в векторном и скалярном случаях, подробное введение читатель найдет в классических книгах [8], [10]. Пусть Mx (.) . множество конечных положительных борелевских мер µ массы x с носителями Sµ на замкнутом множестве . . R. Для интересующих нас приложений достаточно рассматривать непрерывные внешние поля Q :. > R. В случае неограниченного . . R дополни­тельно потребуем, чтобы поле росло на бесконечности достаточно быст­ро: Q(z) lim =+.. |z|>.,z.. log |z| Это обеспечит компактность носителя равновесной меры. Логарифмиче­ским потенциалом меры µ .Mx с компактным носителем называют функцию . 1 Uµ(z) = log dµ(y), |z . y| где интегралы понимают в смысле Лебега, он всегда определен, но мо­жет принимать значение +.. Эта функция супергармоническая в C и гармоническая вне носителя меры ([8], гл. 4, Теорема 1.2 ): . Uµ . SpH (C) H (C\Sµ) . (1) Нам понадобятся два факта о логарифмическом потенциале меры, для удобства читателя мы приведем их. Tеорема 1. Принцип непрерывности.([8], гл. 4, Теорема 1.2 ) Пусть µ – мера с компактным носителем Sµ. Если Uµ непрерывен на Sµ, то он непрерывен на C. Определим энергию меры µ во внешнем поле Q выражением .. . IQ(µ)= log1 dµ(y) dµ(z)+2 Q dµ. (2) |z . y| Tеорема 2. Принцип ограниченности.([10], Теорема II.3.2) Пусть µ, . – меры с компактными носителями в C и масса меры . не превосходит массу µ, которая имеет конечную энергию (при Q . 0). Если неравен­ство Uµ(z) . U.(z)+ c имеет место µ-почти всюду для некоторой константы c, то оно верно и на всем C. Равновесной или экстремальной мерой в поле Q называют меру . = .x с минимальной энергией в своем классе: Q IQ(.x Q) = inf IQ(µ). (3) µ.Mx(.) Экстремальная мера существует и единственна (в случае конечных энер­гий). Отметим существование условий равновесия, которые однозначно характеризуют равновесную меру: { = w на S.x , Q U. + Q (4) . w на ., где w есть некоторая константа. Чтобы найти носитель S., оказалось полезно рассмотреть функци­онал FQ(K) на регулярных компактах K . ., введенный Машкаром и Саффом в [9]. Пусть .K -мера Робена компакта K (т.е. .K = .0, где .0 есть равновесная мера задачи (3) при Q(y)=0 и .= K)и через cap(K) обозначена логарифмическая емкость компакта K (т.е. cap(K) = exp(.w) из (4) при Q(y)=0 и .= K). По определению . FQ(K) := . log cap(K)+ Q(y) d.K (y). (5) Оказывается (см. [9], [10], [3]), что носитель равновесной меры S. мини­мизирует этот функционал, точнее, для любого компакта K справедливо F (K) . FQ(S.)= w. (6) В [1], [6] предложен аналог этого функционала для векторных задач рав­новесия логарифмического потенциала с непересекающимися пластина­ми конденсатора. Целью настоящей работы является рассмотрение задач на пластинах с непустым пересечением, что очень часто имеет место в различных приложениях, и обобщение результатов работ [1], [6], [7] на этот случай. 2 Постановка экстремальной задачи для векторного потенциала во внешнем поле на пересекающихся компактах Для простоты изложения мы ограничимся случаем размерности d =2. Пусть . = {.1, .2} суть замкнутые множества в R, обозначим Mx множество ограниченных векторных (в смысле прямого произведения) борелевских мер µ =(µ1,µ2) с носителями Sµi . .i, i =1, 2 и компонен­тами веса x, т.е. µi(.i)= x> 0. Обозначим Q =(Q1,Q2) непрерывную вектор-функцию Qi :.i .> R,i =1, 2. В качестве матрицы взаимодействия C =(cij) рассмотрим веществен­нозначную симметричную невырожденную матрицу с неположительны­ми величинами вне главной диагонали, удовлетворяющую (2.2) в [6]. Учитывая нормировку, максимально общий вид для такой матрицы есть () C = a .1 ,a . 1,b . 1, ab .=1. (7) .1 b Вектор-функцию Wµ =(W µ ,W µ ): QQ,1Q,2 2 . W µ (z)= cijUµj (z)+ Qi(z) (8) Q,ij=1 называют векторным логарифмическим потенциалом меры µ .M во внешнем поле Q с матрицей взаимодействия C. Соответственно, энер­гия во внешнем поле для векторных мер µ .M задается функционалом QQ IQ(µ)= I(µ)+ I(µ), (9) 12 где 2. .(). W µ IQ (µ)= (z)+ Qi(z)dµi(z)= cijIij +2 Qi(z) dµi(z). i Q,ij=1 Экстремальная задача во внешнем поле : найти меру . = .Q .Mx(.): IQ(.)= IQ = inf IQ(µ). (10) µ.Mx В [2] рассматриваются задачи минимизации энергии для векторных мер с менее строгими условиями на матрицы взаимодействия, веса и геометрию множеств ., чем рассматривались до сих пор. В настоящей работе нас интересуют задачи с пересекающимися интервалами и отри­цательными соответствующими членами в матрице взаимодействия: .i . .j .cij < 0,i = j. = ., . В [2] доказано, что если IQ < +., то существует единственная мера . = .Q .Mx(.), такая что IQ(.)= IQ. Там же приведены условия равновесия для векторной задачи во внешнем поле, а именно: существу­ют и единственны такие константы wi,i =1, 2, что . . . { . w1 .1-почти всюду на .1, . w1 квази-всюду на .1, . w2 .2-почти всюду на .2, . w2 квази-всюду на .2. (11) aU.1 (z) . U.2 (z)+ Q1(z) { . . .U.1 (z)+ bU.2 (z)+ Q2(z) для экстремальной меры .Q =(.1,.2). И обратно, если для некоторой меры имеют место условия (11) то это экстремальная мера для задачи (10). Равновесие векторных логарифмических потенци­алов во внешнем поле на пересекающихся компак­тах Введем обозначение .(K)=(.1(K),.2(K)) := .0 для вероятностной равновесной меры векторного компакта K =(K1,K2) в отсутствие внеш­него поля. Утверждение 1. Носитель равновесной меры .(K)=(.1(K),.2(K)) компакта K =(K1,K2) совпадает с K с точностью до множества нулевой емкости. Если K есть регулярный компакт, то он совпадает с носителем (S.1 ,S.2 )=(K1,K2). Доказательство. Запишем условия равновесия (11) для констант рав­новесия .i,i =1, 2. Используем одновременно принцип ограниченности логарифмического потенциала (Теорему 2) и условия на матрицу взаи­ модействия (7) . .1 на C, = .1 квази-всюду на K1, (12) . .2 на C, = .2 квази-всюду на K2. . . . { aU.1(K)(z) . U.2(K)(z) { . . .U.1(K)(z)+ bU.2(K)(z) По свойству (1) логарифмического потенциала aU.1(K) . U.2(K) . SbH(C\S.1 ), следовательно, на этом множестве можно применить принцип максиму­ма для субгармонических функций. Если a> 1, то для z . C\S.1 aU.1(K)(z) . U.2(K)(z) < sup C\S.1 ( aU.1(K) . U.2(K) ) . .1. Следовательно, принимая во внимание (12), cap(K1\S.1 )=0. Аналогич­но для второй пластины cap(K2\S.2 )=0. . Если a =1, то на бесконечности векторный потенциал равен констан­те. Применим принцип максимума к области {z, |z| <R} C\S.1 . Для достаточно больших R верно следующее aU.1(K)(z) . U.2(K)(z) < aU.1(K) . U.2(K) . .1. . sup {z,|z|<R} C\S.1 Как и выше, получаем требуемое утверждение; аналогично для второй пластины, если b =1. Утверждение 2. Мера Робена .(K)=(.1(K),.2(K)) регулярного ком­пакта K =(K1,K2) однозначно характеризуется условиями равнове­сия, причем (S.1 ,S.2 )=(K1,K2): . . . aU.1(K)(z) . U.2(K)(z) . . . . . . .1 на C < .1 на C\ K1, = .1 на K1 \ K2, = .1 квази-всюду на K1 . K2, (13) . .2 на C < .2 на C\ K2, = .2 на K2 \ K1, = .2 квази-всюду на K1 . K2. 7 . . . . . .U.1(K)(z)+ bU.2(K)(z) . . Доказательство. При доказательстве предыдущего утверждения мы по­лучили все неравенства . Для доказательства равенства на K1 \ K2 рас­смотрим произвольную точку x0 . K1 \ K2. По теореме отделимости существует отрезок . содержащий x0: . . K2 = .. Отрезок . можно выбрать каким образом, чтобы . . K1 было регулярным компактом. На . . K1 потенциал второй меры непрерывен, следовательно, мы можем применить Теорему 4.1, главы 5 монографии [8]. Получим равенство aU.1(K)(x0) . U.2(K)(x0)= .1 в произвольной точке x0, что доказывает требуемое. Аналогично для второй пластины. Утверждение 3. Экстремальная мера . = .Q .Mx(.) удовлетво­ряет условиям равновесия: . . . aU.1 (z) . U.2 (z)+ Q1(z) . . . . . = w1 на S.1 \ .2, = w1 квази-всюду на S.1 . .2, . w1 на .1 \ .2, . w1 квази-всюду на .1 . .2, = w2 на S.2 \ .1, = w1 квази-всюду на S.2 . .1, . w1 на .2 \ .1, . w2 квази-всюду на .1 . .2. (14) .U.1 (z)+ bU.2 (z)+ Q2(z) . . . . . . . где wi,i =1, 2 суть некоторые константы. Доказательство. Нестрогое неравенство на .1\.2 получаем с помощью Теоремы 4.1, гл. 5 [8] и рассуждений, аналогичных оным, использован­ным в доказательстве предыдущего Утверждения. Следовательно, aU.1 (z) . U.2 (z)+ Q1(z)= w1 .1 . почти всюду на .1 \ .2. Вне носителя .2 это выражение не может быть строго большим w1 из-за непрерывности снизу логарифмического потенциала U.1 . Это дает нам требуемые равенства. Для компакта .2 рассуждения аналогичны. Экстремальное свойство векторного функционала Машкара-Саффа В этом пункте мы дадим определение векторного аналога функционала (5) и докажем, что он обладает аналогичными экстремальными свой­ ствами. Определение 1. Векторным функционалом Машкара-Саффа называ­ется функционал F (K) на регулярных векторных компактах K, опре­деленный выражением .. F (K)= x.1 + x.2 + Q1 d.1(K)+ Q2 d.2(K), (15) где .(K)= .0 есть равновесная мера без поля для векторной задачи на компакте K, .i, i =1, 2 суть константы равновесия для .. Напомним, что носитель векторной меры µ в этой работе обозначается Sµ =(Sµ1 ,Sµ2 ). Для равновесной меры . векторное множество равнове­сия будем обозначить S., т.е множество, где в условиях равновесия имеет место равенство (14). Очевидно, что S. . S. с точностью до множества нулевой емкости. Tеорема 3. Для любого регулярного векторного компакта K . . спра­ведливо F (K) . F (S.Q )= w1 + w2, где wi i =1, 2 – константы равновесия для экстремальной меры .Q массы x. Равенство достигается, только если верно S. . K . S. с точностью до множества нулевой емкости. Доказательство. Мы пользуемся тем фактом, что интеграл по множе­ству нулевой емкости меры, имеющей конечную энергию, равен нулю. Интегрируя каждое из выражений (14) по мере .1(K) и .2(K), соот­ветственно получаем .(){ = w1 если S.1 . K1, aU.1 (z) . U.2 (z)+ Q1(z)d.1(K) >w1 иначе, при K1 . .1, .(){ = w2 если S.2 . K2, .U.1 (z)+ bU.2 (z)+ Q2(z)d.2(K) >w2 иначе, при K2 . .2. Далее складываем полученные выражения для i=1,2. Используя тео­рему Фубини, получаем w1 + w2 . .().() aU.1 (z) . U.2 (z) ± .1d.1 + .U.1 (z)+ U.2 (z) ± .2d.2 .. + Q1 d.1(K)+ Q2 d.2(K)= .().() aU.1 (z) . U.2 (z) . .1d.1 + .U.1 (z)+ bU.2 (z) . .2d.2+ +F (K) . F (K). (16) В первом неравенстве в (16) равенство достигается тогда и только тогда, когда с точностью до множества нулевой емкости S.(K) . S. (так как .i(C \ S.i )=0 .. S.i(K) . S.i ), а во втором – тогда и только тогда, когда .().() aU.1 (z).U.2 (z)..1d.1 + .U.1 (z)+bU.2 (z)..2d.2 =0. (17) Все интегралы в (17) меньше либо равны нулю, рассмотрим только пер­вый из них .() 0= aU.1 (z) . U.2 (z) . .1d.1 = .. ()() = aU.1 (z).U.2 (z)..1d.1+ aU.1 (z).U.2 (z)..1d.1. S.1 (K)C\S.1 (K) Первый интеграл в последнем равенстве равен нулю, второй равен нулю только если S.1 . K1. Теорема доказана. 517 TZNEXW векторная задача равновесия логарифмического потенциала vector logarithmic potential problem A.I. Aptekarev, М.А. Lapik, V.G. Lysov Direct and inverse problems for vector logarithmic potentials with external fields, Anal. Math. Phys.,9:3 (2019), 919-935. B. Beckermann, V. Kalyagin, A. Matos, F. Wielonsky Equilibrium problems for Vector Potentials with Semidefinite Interaction Matrices and Constraind Masses, Constr. Approx.,37, (2013), 101-134. В.С. Буяров, Е А. Рахманов, О семействах мер, равновесных во внешнем поле на вещественной оси, Мат. сб. N5 190(1999), 11-22. А.А. Гончар, Е.А. Рахманов, Равновесная мера и распределение нулей экстремальных многочленов, Мат. сб. 1984 Т.125(167), N1, с.117-127. А.А. Гончар, Е.А. Рахманов, О задаче равновесия для векторных потенциалов, УМН, Том 40, вып. 4, 1985. М.А. Лапик, О носителе экстремальной меры в векторной задаче равновесия, Матем. сб.,197:8, (2006), 101-118. М.А. Лапик, О семействах векторных мер, равновесных во внешнем поле, Матем. сб.,206:2, (2015), 101-118. Е.М. Никишин, В.Н. Сорокин, Рациональные аппроксимации и ортогональность, Москва "Наука". Главная редакция физико-математической литературы. 1988. H.N. Maskar, E.B. Saff, Where does the sup norm of a weighted polynomial live? Constr. Approx(1985), 1, 71-91. E.B. Saff, V. Totik, Logarithmic Potentials with External Fields. Grundlehren Math. Wiss. 316, Springer, Berlin, 1997. https://keldysh.ru/papers/2025/prep2025_59.pdf