1-17 RAR 0000-0002-6918-2397 Волков Юрий Александрович Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН Volkov_yuri@inbox.ru Volkov Y.A. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS 0000-0003-2649-0469 Воронин Федор Николаевич Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН raveaprouch@mail.ru Voronin F.N. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS 4673-1997 0000-0002-6330-1332 Косарев Олег Сергеевич Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН kosabrikos@yandex.ru Kosarev O.S. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS 1106-3970 0000-0002-3428-9688 Марков Михаил Борисович Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН m_b_markov@imamod.ru Markov M.B. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS О применении метода частиц для моделирования дрейфа электронов в ионизированном воздухе On the particle method application for electron drift modeling in ionized air Рассмотрено формирование электрического разряда между электродами с противоположными зарядами в воздушной среде. Предложена математическая модель, описывающая эволюцию разряда на основе дрейфовых уравнений для плотностей свободных носителей заряда — электронов и ионов — в заданном электромагнитном поле. Модель формулируется в терминах обобщённых функций. Получено обобщённое решение, пригодное для использования в численных алгоритмах, основанных на методе частиц. The formation of an electric discharge between electrodes with opposite charges in an air environment is considered. A mathematical model is proposed that describes the evolution of the discharge based on drift equations for the densities of free charge carriers — electrons and ions — in a given electromagnetic field. The model is formulated in terms of generalized functions. A generalized solution is obtained that is suitable for use in numerical algorithms based on the particle method. Введение Метод частиц [1] зарекомендовал себя как эффективный подход к численному решению кинетических уравнений [2-4] для многих задач моделирования разреженной плазмы, ионизованных сред и т.д. Основой метода является рассмотрение обобщенного решения кинетического уравнения [1]. В статье [5] авторы работы применили метод частиц для моделирования дрейфа ионов в нейтральном воздухе под действием самосогласованного электрического поля. Большинство практических задач предполагает моделирование совместного дрейфа электронов и ионов в ионизованном воздухе под действием электрического поля. Это требует отдельного рассмотрения всех типов заряженных частиц с учетом их взаимодействия: процессов ионизации, рекомбинации и прилипания электронов к молекулам кислорода [6, 7]. Примером является пробой воздуха, который может развиваться, например, в линиях электропередач [8, 9]. Данная работа представляет математическую модель электрического разряда в воздушной среде, основанную на приближении дрейфа электронов и ионов в ионизованном воздухе под действием электрического поля. Особенность модели заключается в необходимости рассмотрения рекомбинации. 1. Частоты столкновений электронов Рассмотрим два металлических электрода в воздухе. Между электродами током во внешней цепи создается электрическое поле. Ионизованная среда инициируется эмиссией электронов с поверхности электродов, а также внешними источниками ионизации, например, радиацией естественного фона. Если электрическое поле имеет достаточную напряженность, то свободные электроны набирают в нем энергию, превышающую порог ударной ионизации молекул, развивается лавинный процесс и электрический разряд между электродами. Электроны испытывают упругое рассеяние, возбуждение атомов среды, ударную ионизацию. Помимо этого, для них существенны процессы рекомбинации с положительными ионами с образованием нейтральных молекул, а также прилипания к молекулам кислорода с образованием отрицательных ионов. АзотКислородРис. 1. Зависимость полного сечения упругого рассеяния вторичного электрона на молекуле (10-16 см2) от энергии (эВ) Сечения столкновений электронов включены в базу данных программы Радиационное и ЭлектроМагнитное Поле (РЭМП), разрабатываемой в ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. Они также собраны в работах [10, 11]. Зависимость полного сечения упругого рассеяния электронов от энергии иллюстрирует рис. 1. Далее представлена зависимость полного сечения ударной ионизации вторичных электронов от энергии (рис. 2). азоткислородРис. 2. Зависимость полного сечения ионизации молекуле (10-16 см2) от энергии (эВ) вторичного электрона Электрон с энергией 10 эВ, соответствующей порогу ионизации верхних уровней молекул, имеет скорость между столкновениями порядка 108 см/с. Из графиков (рис. 1 и рис. 2) следует, что время жизни электрона относительно упругого рассеяния составляет 1/c, где  1/ см3 – число Лошмидта;  – сечение упругого рассеяния. Время жизни электрона между столкновениями с ударной ионизацией по меньшей мере на порядок больше. 2. Кинетические уравнения для заряженных частиц ионизованной среды и их гидродинамические следствия Распределения заряженных частиц описываются кинетическими уравнениями для функций распределения: ;(1);(2),(3)где , ,  – функции распределения вторичных электронов, положительных и отрицательных ионов соответственно; и  – источники электронов и положительных ионов в фазовом пространстве координат и импульсов, обусловленные эмиссией электронов с электродов, естественной радиацией и т.д. Рассмотрим интегралы столкновений в кинетических уравнениях. Интеграл столкновений есть сумма интегралов упругого и ионизационного рассеяния, а также возбуждения. Интегралы столкновений и описывают процессы электрон-ионной и ион-ионной рекомбинации [6, 7, 12]. Приведем вывод уравнения дрейфа заряженных частиц из кинетических уравнений. Для этого рассмотрим квазилинейное уравнение типа Больцмана относительно функции распределения частиц массы , движущихся в поле сил : .(4) Данное уравнение по структуре соответствует кинетическим уравнениям (1-3). Индексные обозначения скорости и координаты введены для удобства выкладок. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Квазилинейность уравнения (4) состоит в том, что поле сил может линейно зависеть от функции распределения Рассмотрим систему нейтральных молекул воздуха как максвелловский газ. При рассмотрении слабоионизованного газа это означает следующее. Билинейное уравнение Больцмана для функции распределения молекул имеет стационарную точку , обращающую в ноль интеграл столкновений молекул. -функция Больцмана здесь достигает минимума, что означает единственность стационарного состояния [13]. Будем считать, что функция является максвелловским распределением, соответствующим идеальному газу [13]. Упругое рассеяние электронов на молекулах газа превалирует над всеми остальными видами столкновений. Будем считать, что их функция распределения стремится к равновесию с газом и также достигает максвелловского распределения. После этого на существенно больших временах свободные электроны вступают в реакции прилипания и рекомбинации. Эти факты имеют место и для функций распределения ионов. Таким образом, распределение описывает локальное равновесие в рамках уравнения (4). Стационарное состояние устойчиво. Малые отклонения от равновесия затухают со временем, если удалить источники возмущений. Пусть некоторая физическая величина ассоциирована с заряженной частицей. Макроскопическое среднее значение величины есть среднее по характеристикам отдельных частиц, т.е. . (5)Здесь – концентрация, т.е. число частиц в единице объема. Умножим обе части уравнения (4) на и проинтегрируем по . Получим (6) Частные случаи , , определят плотность числа частиц , среднюю скорость и плотность энергии : : , : , : .(7) Рассмотрим правую часть (6), полагая, что упругое рассеяние сохраняет число частиц, импульс и энергию, то есть система представляет собой идеальный газ Максвелла. Тогда (8)(9)(10) Выбор равновесной функции распределения в виде (11)превращает соотношения (8-10) для , , в тождества. Использование формулы (11) фактически эквивалентно пятимоментному приближению Грэда [14-16]. В левой части (6) имеем следующее. Сохранение числа частиц : .(12) Сохранение импульса : .(13) Сохранение энергии : .(14) Векторы и тензоры в левых частях (12-14) вычислим, используя (11). Введем хаотическую скорость , полагая (15)где, по определению, . Тогда входящие в уравнение (13) члены преобразуются следующим образом: ,(16)где  – тензор внутренних напряжений ,  – давление идеального газа. Используя (11), получим .(17) Подставляя (16-17) в уравнение (13), получим .(18) Пользуясь уравнением непрерывности (12), уравнение (18) можно привести к уравнению Эйлера: .(19) Преобразование уравнения (14) для энергии идеального газа сложнее. Используя (11, 15), получим, что энергия единицы объема газа (20)состоит из динамической части, обусловленной движением газа как целого, и внутренней энергии , где теплоемкость . Далее преобразуем поток энергии .(21) Второй член в правой части (21) представляет собой тепловой поток, т.е. составляющую потока энергии, которая связана с градиентом температуры и термической проводимостью газа. Вычисления термической проводимости проводятся в тринадцатимоментном приближении Грэда. В пятимоментном приближении (11) тепловой поток равен нулю. Третий член, согласно (15) и (17), отличен от нуля только при и равен Учитывая (20), для потока энергии в газе без вязкости и термической проводимости окончательно получим формулу .(22) Подставляя выражения для энергии и потока энергии (20), (22) в (14), получим .(23) Исключим из уравнения (23) кинетическую энергию. Используем соотношение .(24) Умножим (18) на : .(25) Сравнивая (23-25), получим уравнение для кинетической энергии газа .(26) После исключения из (23) уравнения (24) с учетом термической проводимости получим для внутренней энергии: .(27) Термическая проводимость классического электронного газа определяется законом Видемана–Франца [17] , где  – электропроводность газа, а  – константа Лоренца. В невырожденном электронном газе с максвелловским распределением по скоростям . Соответственно, температуропроводность невырожденного электронного газа .(28) Уравнение (28) можно теперь переписать в более удобном виде: .(29)3. Уравнения дрейфа заряженных частиц в электромагнитном поле Рассмотрим гидродинамические уравнения для заряженных частиц в слабоионизованном воздухе как следствия кинетических уравнений (1-3). Сохраним эффект их дрейфа под действием электрического поля, пренебрегая нагревом среды. Усредняя времена жизни по равновесным распределениям, получим: ,(30) ,(31) (32)с однородными начальными условиями. Будем рассматривать решения уравнений (30-32) в пространстве финитных обобщенных функций [18-19] переменной аналогично [5]. Принципиальное отличие уравнений (30-32) от рассмотренных в [5] заключается в слагаемых, содержащих произведения искомых функций. Поэтому во избежание перемножения обобщенных функций , и в уравнения (30-32) введены бесконечно-дифференцируемые функции (33) (34) (35)полученные как действия обобщенных решений уравнений (30-32) на интерполяционную функцию ,, из основного пространства. Данная функция удовлетворяет условиям , для любой бесконечно дифференцируемой функции из основного пространства. Обобщенные решения уравнений (30-32) имеют вид (36) (37) (38)где функции , и являются решениями следующих задач Коши для уравнений движения: (39) (40) (41) Электроны и ионы захватываются электрическим полем и создают дрейфовый ток. Сторонний ток они создать не могут, поскольку низкоэнергетические электроны и ионы при образовании не имеют выделенного направления движения. Их направленное движение обусловлено только электрическим полем. В соответствии с гидродинамической моделью ионизованной среды плотность дрейфового тока выражается следующим образом: (42) Величина (43)представляет собой радиационную проводимость газовой среды. Электромагнитное поле с компонентами , определяется уравнениями Максвелла [20]: , ,(44)где  – диэлектрическая проницаемость,  – магнитная проницаемость. Диэлектрическая и магнитная проницаемости в газовой среде, в том числе ионизованной, равны единице. Нетривиальные значения эти электрофизические величины могут иметь в конструкциях электродов и внешней цепи. Там же отлична от нуля функция – распределение исходной проводимости среды. 4. Баланс концентраций Рассмотрим прямую подстановку решений (36-38) в уравнения (30-32) с учетом уравнений движения (33-35). Для этого учтем следующие промежуточные выкладки: (45)(46) Рассмотрим действие обобщенных функций (45), (46) на функцию из основного пространства: Выполним интегрирование по частям Поскольку обобщенная функция (36) является обобщенным решением уравнения (30). Аналогичные выкладки подтверждают, что обобщенные функции (37) и (38) являются обобщенными решениями уравнений (31) и (32) соответственно. Вычислим основные функции (33-35): (47)(48)(49) Проверим баланс. Обобщенные функции, выражающие уход электронов и положительных ионов за счет электрон-ионной рекомбинации в уравнениях (30) и (31), должны быть равны. Для доказательства этого факта рассмотрим следующее вычисление: (50) Соотношение (50) подтверждает баланс электрон-ионной рекомбинации. Заключение Задача Коши для уравнений дрейфа электронов и ионов в слабоионизованной среде под действием самосогласованного электромагнитного поля допускает решение в обобщенных функциях. Для этого необходимо рассматривать «сглаженные» представления компонент решения для коэффициентов уравнений для слагаемых, моделирующих электрон-ионную и ион-ионную рекомбинацию. Представление решения в виде финитных обобщенных функций позволяет использовать для численного решения уравнений дрейфа метод частиц. Дальнейшая работа в этом направлении нацелена на построение и реализацию эффективного численного алгоритма и его отладку на задачах моделирования электрического разряда в воздухе. 519.6 BSVOTM разряд электрон ионизованный газ ударная ионизация кинетическое уравнение электрическое поле функция распределения метод частиц discharge electron ionized gas impact ionization kinetic equation electric field distribution function particle method Braun W., Hepp K. The Vlasov Dynamics and Its Fluctuations in the 1/N Limit of Interacting Classical Particles // Commun. Math. Phys. 1977. № 56. Власов А.А. Теория многих частиц. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. Власов А.А. Макроскопическая электродинамика. М.: ГИТТЛ, 1955. Власов А.А. Статистические функции распределения. М.: Наука, 1966. Воронин Ф.Н., Марков М.Б., Паротькин С.В. Релаксация заряда потока электронов в воздушной среде // Математическое моделирование. 2022. № 34:4. С. 83-99. Смирнов Б.М. Физика слабоионизованного газа: В задачах с решениями. М.: Наука, 1985. Мак Даниэль И. Процессы столкновений в ионизированных газах. М.: Мир, 1964. Базелян Э.М., Райзер Ю.П. Физика молнии и молниезащиты. М.: Физматлит, 2001. Александров Г.Н., Иванов В.Л., Кизеветтер В.Е. Электрическая прочность наружной высоковольтной изоляции. Ленинград: Энергия, 1967. Березин А.В., Воронцов А.С., Духанин А.С., Марков М.Б., Паротькин С.В., Сысенко А.В. Электронно-фотонный каскад в газе. Часть 2. Сечения столкновений // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2012. № 7. 24 с. https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2012-7 Воронин Ф.Н., Марков М.Б., Паротькин С.В. Релаксация объемного заряда, создаваемого потоком электронов в воздушной среде // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2020. № 102. 20 с. https://doi.org/10.20948/prepr-2020-102 https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2020-102 Мэсси Г., Бархоп Е. Электронные и ионные столкновения. М.: МИР, 1958. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: ИЛ, 1960. Силин В.П. Введение в кинетическую теорию газов. М.: Либроком, 2019. 344 с. Румер Ю.Б., Рывкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. М.: Наука, 1977. 552 с. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982. 608 с. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. 792 с. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Добросвет, 2000. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Изд-во МГУ, 1984. Максвелл Дж.К. Трактат об электричестве и магнетизме. В 2-х т. М.: Наука, 1989. https://keldysh.ru/papers/2025/prep2025_50.pdf