1-40 RAR 9643-1869 0000-0003-4997-2954 Трифонова Екатерина Евгеньевна Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН etrifonova@keldysh.ru Персональная веб-страница: http://keldysh.ru/persons/268.html Trifonova E.E. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS О возможности построения произвольной пятеричной дроби с помощью индуцированных вероятностных функций On the possibility of constructing an arbitrary quinary fraction using induced probability functions В данной работе исследуются преобразования независимых в совокупности бернуллиевских случайных величин с рациональными вероятностями с помощью булевых функций. Такие преобразования случайных величин индуцируют преобразования рациональных вероятностей, соответственно, можно рассматривать задачи порождения вероятностей посредством данных преобразований. В работе изучается вопрос конечной порожденности для множества пятеричных дробей. Доказывается, что бесповторно замкнутый класс 5-несократимых функций и объединение бесповторно замкнутых классов 5-сократимых булевых функций двух типов являются конечно порождающими для множества всех пятеричных дробей. In this paper we study transformations of independent Bernoulli random variables with rational probabilities using Boolean functions. Such transformations of random variables induce transformations of rational probabilities, hence the tasks of generating probabilities through these transformations can be considered. In the paper we study the issue of finite generation for the set of quintuple fractions. We prove that the read-once closed class 5-irreducible functions and union of 5-reducible read-once closed classes of Boolean functions are finitely generative for the set of all quintuple fractions. Введение Преобразования бернуллиевских случайных величин привлекали внимание многих исследователей. Будем рассматривать преобразо­вания следующего вида: есть множество независимых в совокупности бернуллиевских случайных величин, будем подставлять их в качестве переменных в булеву функцию, тогда на выходе булевой функции по­лучим новую бернуллиевскую случайную величину с каким-то другим распределением. Очевидно, что вероятность того, что бернуллиевская случайная величина .... принимает значение 1, определяет распре­деление случайной величины .... полностью. Если мы рассматриваем в качестве подставляемых в булеву функцию бернуллиевские случай­ные величины с рациональными вероятностями, то одним из важных вопросов, привлекающих внимание исследователей, является вопрос конечной порожденности: можем ли мы из бернуллиевских случай­ных величин с вероятностями из конечного множества рациональных вероятностей, принадлежащих какому-то классу рациональных вероят­ностей, получить бернуллиевскую случайную величину с произвольной рациональной вероятностью из этого же класса? Преобразования бернуллиевских случайных величин с рациональ­ными вероятностями посредством булевых функций рассматривались в работах Р. Л. Схиртладзе, Ф. И. Салимова и Р. М. Колпакова (см. [1, 2, 3], а также обзор в [4]). Р. Л. Схиртладзе [1] показал, что преобразования с помощью конъюнкций и дизъюнкций (& и .) позволяют породить все множества двоично-рациональных и троично-рациональных распре­делений, используя конечное множество распределений. Ф. И. Салимов в [2] показал, что для простого .. . 5 множества ..-ично-рациональных распределений конечно порождены при преобразованиях операциями системы {..1..2 . ...1..3, 0, 1}. В работе Р. М. Колпакова [3] установлена ко­ нечная порожденность относительно преобразований системой {&, .}множеств рациональных бернуллиевских распределений, у которых в разложении знаменателя на простые множители могут встречаться простые числа из заданного конечного множества мощности не менее 2. Ранее автором было получено, что преобразования случайных вели­чин с распределениями из конечного множества с помощью функции голосования не позволяют выразить все вероятности, записываемые пятеричными дробями [5]. Этот результат можно также распростра­ нить на все ..-ичные дроби для произвольного простого .., .. . 5. Кроме того, в статье [6] сформулированы некоторые свойства, кото­ рыми должны обладать функции из конечно порождающего множества при условии, что функции индуцируют ..-несократимые вероятностные функции. Вероятностные функции, не являющиеся ..-несократимыми, будем называть ..-сократимыми. Подробные определения ..-несокра­тимых и ..-сократимых функций будут даны позже. Вопрос, какова доля ..-сократимых вероятностных функций среди всех вероятностных функций, индуцированных булевыми функциями без фиктивных пе­ременных, был подробно изучен в работе [7]. Следует отметить, что универсальная функция, входящая в состав конечно порождающей си­стемы, описанной Ф. И. Салимовым, индуцирует ..-сократимую функ­цию. Ранее автором было получено, что классы ..-сократимых индуциро­ванных вероятностных функций разных типов и ..-несократимых ин­дуцированных вероятностных функций и соответствующие им классы булевых функций являются замкнутыми относительно бесповторной суперпозиции [8]. Данная работа посвящена доказательству того, что класс 5-несократимых булевых функций является конечно порождаю­щим для множества всех пятеричных дробей и объединение классов 5-сократимых булевых функций двух типов также является конечно порождающим для множества всех пятеричных дробей. Основные определения Пусть .. — случайная величина, принимающая значение 1 и 0 c веро­ятностью .. ..и 1 . .. ..соответственно. Тогда распределение этой случайной величины однозначно определяется значением ..... Будем считать, что каждой случайной величине .., принимающей значения 0 и 1, сопостав­лено число .. ... [0; 1]. Будем рассматривать преобразования, осуществляемые в результа­те подстановки независимых в совокупности случайных величин со значениями 0 и 1 вместо переменных булевых функций. Такие преоб­разования описываются с помощью вероятностных индуцированных функций. Определение 1. Пусть задана булева функция .. (..1, . . . , ....): {0, 1}.. > {0, 1}, тогда вероятностная функция ....(....1, . . . , ......): [0; 1].. > [0; 1], индуци­рованная булевой функцией ..(..1, . . . , ....), определяется соотношением: .. .. .. .. .. (....1, . . . , ......)= (.......... + (1 . ....)(1 . ......)). (..1,...,....): ..=1 .. (..1,··· ,....)=1 Из определения 1 следует, что если булева функция .. задана своей СДНФ, то индуцированная функция может быть построена формальной заменой дизъюнкции на сложение, конъюнкции — на умножение, пе­ременной .... — на ......, переменной ..... — на 1 . ....... После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получаем вероятностную функцию, записанную в виде суммы одночленов с целыми коэффициентами. В общем виде эта запись выглядит так: .. ......1 ...... ..(....1, . . . , ......)= ....1....... ..1 · ... · .... , ..1,...,....:.{0;1} ...... где ..— возведение в степень в обычном смысле, т. е. ....0 =1, ....1 = ....... 1 .. .. Далее, если не оговорено иное, будем подразумевать, что .. — про­стое число, .. . 5. Будем рассматривать индуцированные вероятност­ные функции, построенные по булевым функциям без фиктивных пе­ременных. Определение 2. Классифицируем вероятностные функции, построен­ные по булевым функциям без фиктивных переменных, по значению коэффициента ..1...1 перед самым длинным одночленом ....1 · ... · ...... сле­дующим образом: • если ..1...1 =0, то функцию .. ..будем называть ..-сократимой первого типа; • если ..1...1 = ......, где .. . 1, .. . Z, .. mod .. ... будем =0, то функцию ..называть ..-сократимой второго типа; • если ..1...1 = .., где .. . Z, .. mod .. .0, то функцию .. .. = будем называть ..-несократимой. Заметим, что ..-сократимые функции первого типа являются ..-сок­ратимыми для любого простого .. . 5, а ..-сократимые функции второго типа и ..-несократимые являются таковыми для одних .. и не являют­ся для других. Оценки числа ..-сократимых функций приведены в [7]. Будем также обозначать коэффициент ..1...1 перед самым длинным од­ночленом индуцированной функции .. ..как ..( ....). Пример 1. Булева функция ..(..1, ..2, ..3, ..4, ..5)= ..1..2..3..4..5 . ...1 ...2..3..4..5 . ..1..2 ...3 ...4..5 ...1 ...2 ...3..4..5 ...1..2..3 ...4 ...5 индуцирует вероятностную функцию .. ..(....1, ....2, ....3, ....4, ....5)= ....1....2....5+....1....2....3+....1....4....5+....3....4....5.....1....3....4....5.....2....3....4....5+ +2....1....2....3....5 +2....1....2....4....5 + ....1....2....3....4 . ....2....3....4....5 +5....1....2....3....4....5. Коэффициент ..( ....)=5, соответственно, функция .. ..является 5-сок­ратимой 2-го типа и ..-несократимой для любого простого .. . 7, напри­мер, она является 7-несократимой. Пример 2. Булева функция ..(..1, ..2, ..3)= ..1..2 . ...1..3 индуцирует вероят­ностную функцию ....(....1, ....2, ....3)= ....3 . ....1....3 + ....1....2. Коэффициент ..( .. ..)=0, соответственно, функция .. ..будет являться ..-сократимой 1-го типа для любого простого .. . 5. Множество правильных дробей со знаменателем .. обозначим как 2(...1) ..(..)= {1 , ..., }, .. . N, множество чисел, выразимых правильны­ .... .. .. ми ..-ичными дробями, обозначим как .[..]= ..(....), а с помощью ...N ..(....) обозначим всевозможные правильные несократимые дроби со знаменателем .... . Очевидно, ..(....)= ..(....) . ..(.....1). В работе [6] определение ..-несократимой функции было введено следующим образом. Определение 3. Пусть ..(..1, . . . , ....) . ..2 , ....(....1, . . . , ......) — индуцирован­ная .. вероятностная функция, .. — простое, .. . 5. Тогда если ...... . .. ..(...... ), .. .{1, . . . , ..}, то значение функции .. можно представить как .. ....(....1, . . . , ......)= .... , .. mod .. = .0. При этом если .. = ..1 + ··· + .... для за­ данного .., любых ...... . ..(...... ), а также любых .... . N, .. .{1, . . . , ..}, то .. ..будем называть ..-несократимой функцией. Покажем, что определение 3 эквивалентно определению 2 в части, относящейся к ..-несократимым функциям. Лемма 1. Пусть ....(....1, . . . , ......)— индуцированная вероятностная функ­ция, тогда неравенство ..( ....) mod .. .=0 выполнено тогда и только то­ .. гда, когда ....... . ..(...... ) для .. .{1, . . . , ..} выполнено .. ..(....1, . . . , ......)= .... , .... .. = ..=1 ...., .. mod .. =0.. .... Доказательство. Пусть ...... = , где .. .{1, . . . , ..}, .... mod .. = .0, т. е. ...... ...... . ..(...... ). Подставим значения ...... в индуцированную функцию .., ..записанную в виде суммы одночленов с целыми коэффициентами и преобразуем, приведя к общему знаменателю: .. .... ..( .. ..) .. .. ..(....1, . . . , ......)= + .... · .... = , .... ..=1 .... .... .. ..=1 .... где ..< ...., .. mod .. =0.. ..=1 Если ..( ....) mod .. =0., то при подстановке вместо переменных значе­ .... ний ....... . ..(...... ) в функцию ....(....1, . . . , ......) получаем, что .. = ..... ..=1 Если при подстановке вместо переменных значений ....... . ..(...... ) в .... функцию ....(....1, . . . , ......) получаем, что .. = ...., то это значит, что ..=1 ..( ....) mod .. =0.. Будем классифицировать булевы функции с точки зрения индуциро­вания ими ..-сократимых или ..-несократимых вероятностных функций. Для каждой из булевых функций сначала удалим фиктивные перемен­ные, для булевой функции без фиктивных переменных построим инду­цированную функцию. И по тому, какой тип индуцированной функции получился, классифицируем исходную булеву функцию. Будем считать, что после удаления фиктивных переменных в каждой из булевых функ­ций останется хотя бы одна существенная переменная, т. е. константы 0 и 1 не будем относить ни к какому из вышеперечисленных классов. Обозначим как .. множество всех булевых функций, которые ин­дуцируют ..-сократимые функции первого типа, ... — множество всех булевых функций, которые индуцируют ..-сократимые функции второ­го типа, .... — множество всех булевых функций, которые индуцируют ..-несократимые функции. Множества всех вероятностных индуциро­ванных функций, которые являются ..-сократимыми функциями пер­вого типа, ..-сократимыми функциями второго типа, ..-несократимыми функциями будем обозначать как ...., ........ соответственно. ..., Лемма 2. Пусть ..(..1, . . . , ....) . ..2 не содержит фиктивных перемен­ных, .. ..— индуцированная .. вероятностная функция. Вместо переменных в .. ..будем подставлять значения ...... . ..(...... ) для .. .{1, . . . , ..}. Представим .. значение индуцированной функции ....(....1, . . . , ......)= .... , .. mod .. .=0. Тогда • если найдутся такие значения ...... . ..(...... ), .. .{1, . . . , ..}, что выпол­няется .. = ..1 + ··· + ...., то .. ... ......; • если найдутся такие значения ...... . ..(...... ), .. .{1, . . . , ..}, что выпол­няется .. < ..1 + ·· .. . ..... · + ...., то ..... . .. Доказательство. При подстановке в ....(....1, . . . , ......) значений ...... . ..(...... ) .. (для .. .{1, . . . , ..}) для результирующего выражения .. ..(....1, . . . , ......)= .... , .. mod .. .0, степень знаменателя .. зависит от коэффициента ..( .. = ..) следующим образом: если ..( .. ..) кратен .., то .. < ..1 + ···+ ...., если ..( ....) не кратен .., то .. = ..1 + ··· + ..... Таким образом, если вместо переменных в .. ..подставим несократимые дроби со знаменателями вида ...... , то по степени знаменателя получившейся несократимой дроби можно определить, кратен коэффициент ..( ....) числу .. или нет. Соответственно, .. . .. когда .. < ..1 +···+...., то ..( ....) либо равен 0, либо кратен .., т. е. ..... ...... А когда .. = ..1 + ··· + ...., то ..( .. ..) не равен 0 и не кратен .., т. е. .. ... ....... В работе [8] было показано, что классы булевых функций .., ..., ...., а также классы соответствующих индуцированных вероятностных .... функций ...., ..., .... являются замкнутыми относительно бесповторной суперпозиции. О конечной порожденности Пусть задано множество булевых функций .. и множество правиль­ных дробей ... Определим множество выразимых вероятностей .... (..) итерационно. Положим .. 1 (..)= ... Для .. . 1 положим .. ..+1 (..)= .. .. (..). .. .... ... .. .. .{ ....(....1, . . . , ......)|.. . .., ...... . .. .. (..)}. Тогда .... (..)= (..). .. ..=1 .. Будем говорить, что для простого .. . 5 множество булевых функций .. является конечно порождающим в .[..], если найдётся такое конечное множество .. . .[..], что .... (..) = .[..]. Ранее был получен результат с необходимыми условиями того, что множество булевых функций, индуцирующих ..-несократимые функ­ции, конечно порождающее [6]. В данной работе доказывается, что классы ..5 и .. ..5 являются конечно порождающими в .[5]. Напомним, что для булевой функции ..(..1, . . . , ....) единичными на­борами называются совокупности значений переменных ..1, . . . , ...., на которых функция .. принимает единичное значение. Пусть ....(..) — чис­ло наборов с нечетным числом нулей среди единичных наборов бу­левой функции ..(..1, . . . , ....), ....(..) — число наборов с четным числом нулей среди единичных наборов булевой функции ..(..1, . . . , ....). Тогда для соответствующей индуцированной функции ....(....1, . . . , ......) справед­ливы следующие леммы. Лемма 3 [7]. Для булевой функции .. (..1, . . . , ....) и индуцированной ей функции ....(....1, . . . , ......) выполняется ..( ....)= ....(.. ) . ....(..). Лемма 4 [7]. Для булевой функции .. выполнено ....(..)= ....(..) тогда и только тогда, когда .. содержит не менее одной фиктивной переменной или .. . ... Следствие 1. Пусть ..(..1, . . . , ....)— булева функция, возможно, с фик­тивными переменными, .. ..— индуцированная .. вероятностная функция. Вместо переменных в .. ..будем подставлять значения ...... . ..(5). Предста­вим значение индуцированной функции .. ..(......)= 5.. , .. mod 5 .0. ..1,..., .... = Тогда если найдутся такие значения ...... . ..(5), что выполняется .. < ..1 + ··· + ...., то ..( .. ..)=5.., где .. . ... Доказательство. Следует из лемм 2, 3, 4. Лемма 5. Пусть для индуцированной функции .. ..найдутся такие зна­ .. чения ...... . ..(...... ) для .. .{1, . . . , ..}, что выполнено .. ..(....1, . . . , ......)= .... , .... .. mod .. ...... Тогда .. (..1, . . . , ....) не содержит фиктивных пере­ =0, .. = 1 менных. Доказательство. Из условия леммы следует, что ..( ....)=0., следователь­но, согласно лемме 3 выполнено ....(..) . ....(..) .. =0, т. е. ....(.. )= ....(.. ) и по лемме 4 булева функция ..(..1, . . . , ....) не содержит фиктивных перемен­ных. Лемма 6. Если булева функция .. принадлежит одному из классов .., ..., . ...., то функция .. принадлежит тому же классу. Доказательство. Будем рассматривать .. после удаления фиктивных .. переменных. Построим индуцированную функцию .. и классифици­ . руем .. по величине ..( .. ..). Пусть ..1(..1, . . . , ....)= .. (..1, . . . , ....), тогда ....1(....1, . . . , ......)=1 . .. ..(....1, . . . , ......). Представим ....(....1, . . . , ......) и ....1(....1, . . . , ......) в виде суммы одночленов с целыми коэффициентами, тогда выпол­нено ..( ....)= ...( ....1). Отсюда по определению классов получаем, что ..1 принадлежит тому же классу, что и ... Лемма доказана. Следствие 2. Если правильная дробь вида ../5.. принадлежит одному из классов ....5 (..), ...5... (..), то дробь вида 1 . ../5.. принадлежит этому же классу. Лемма 7. Для множества 5-несократимых функций ..5 выполняется ..(53) . ....5 (..(52)). Доказательство. Введем обозначения для некоторых вероятностных функций, индуцированных булевыми функциями из ..5. Будем обозна­чать как &(......1, . . . , ......) функцию, индуцированную конъюнкцией .. пе­ременных ..1& ... &...., как ...1(....1, ....2) — функцию, индуцированную ..1..2 . ...1 ...2, и наконец обозначим как ...2(....1, ....2, ....3) функцию, индуцирован­ную ...1 ...2 ...3 . ..2..3. Запишем выражения для индуцированных функций: ...... &(....1, . . . , ......)= ....1 . . . ......,.1(....1, ....2)=1 . ....1 . ....2 +2....1....2,.2(....1, ....2, ....3)= 1 . ....1 . ....2 . ....3 + ....1....2 + ....1....3 +2....2....3 . ....1....2....3. Рассмотрим различные правильные дроби ../53 . ..(53). Возможно несколько вариантов. 1. Если числитель .. у правильной дроби ../53 кратен 5, т. е. предста­вим в виде .. =5.., то получаем, что ../53 =5../53 = ../52 , а любая правильная дробь ../52 . ..(52). Следовательно такая дробь уже принадлежит ....5 (..(52)), так как .. ..1 5 (..(52)) = ..(52). 2. Если числитель .. у правильной дроби ../53 представим в виде .. = ...., где 1 . .. . 24, .. . N, .. mod 5 . =0, .. .{1, 2, 3, 4}, то такая дробь может быть получена следующим образом: ..== &(../52, ../5) ..../53 ../53 , где ../52 . ..(52), ../5 . ..(5). Следовательно, ../53 . ....5 (..(52)). 3. Если числитель .. у правильной дроби ../53 может быть представлен как .. = 125 . ...., где 1 . .. . 24, .. mod 5 .0, .. . N, .. .{1, 2, 3, 4}, = то в силу того, что ..../53 . ....5 (..(52)), как показано в предыдущем пункте, и следствия 2 получаем, что поскольку ../53 = (125.....)/53 = 1 . ..../53 , то выполнено ../53 . ....5 (..(52)). Приведенными выше способами можно выразить все числите­ли правильных дробей из ..(53), кроме числителей из множества {31, 43, 47, 58, 67, 78, 82, 94}. 4. Дроби ../53 с числителями 31, 43, 47, 58 могут быть получены следу­ющим образом: .. .2(3/5, 1/5, 3/5) = 31/125, .. .2(2/5, 2/5, 2/5) = 47/125, .. .1(4/5, 6/25) = 43/125, .. .1(2/5, 17/25) = 58/125. Таким образом, эти дроби принадлежат ....5 (..(52)). 5. Дроби ../53 с числителями 94, 82, 78, 67 в силу следствия 2 и того, что 31/125, 43/125, 47/125, 58/125 . ....5 (..(52)), также будут принад­лежать ....5 (..(52)). Таким образом, показали, что все правильные дроби со знаменателем 53 из множества ..(53) принадлежат множеству ....5 (..(52)). Лемма доказана. Определение 4. Пусть натуральное число .. выражается как ...1 .. .. = (3.... +2....)4.. , (1) ..=0 где ...., .... — числа от 0 до ...... .1, .. .{0, . . . , .. . 1}. Будем называть подоб­ное выражение числа .. представлением, число .. — номером разряда представления, .. — числом разрядов представления и записывать сле­дующим образом: .....1.....1. . . . ...3..3...2..2...1..1...0..0. Теорема 1. Представление, определенное выше, с .. . 4 разрядами поз­воляет выразить все числа от 10 до 5.. . 2/3 ·(4.. .1). При этом для такого представления дополнительно выполняется следующее свойство: либо ... :2 . .. . .. . 1, что для любых таких .., что 0 < .. < .., выполнено (0 < .... < ...... .1) . (0 < .... < ...... .1), а для всех таких .., что .. . .. . .. . 1, выполнено (.... = 0)&(.... = 0), либо ... :1 . .. < .. . 1 выполнено (0 < .... < ...... .1) . (0 < .... < ...... .1) и (.....1 = 1)&(.....1 = 0) . (.....1 = 0)&(.....1 = 1). Доказательство. Покажем, что для .. . 4 подобным образом можно представить все числа, начиная с 10 вплоть до 5.. . 2/3 · (4.. . 1). Представление для 10 выглядит как 00.....00.01.01. Очевидно, что свойство для него выполняется. Покажем, как будем строить представления для чисел, больших 10, и что для каждого вновь построенного представления свойство будет выполняться. Будем вести доказательство по индукции. Представление для пер­вого числа 10 мы построили, и свойство для него выполняется. Пред­положим, у нас есть представление для какого-то числа .. и свойство для него выполняется. Покажем, как построить представление для чис­ ' ла .. = .. +1 и что для этого представления свойство также будет выполняться. Элементы представления числа .. будем обозначать как ...., ...., а элементы представления числа .. ' будем обозначать как .. ' , .. ..' , где .. .. .{0, . . . , .. . 1}. ' Тогда значения элементов .. ' .., .. .. ' для числа .. определим следующим образом. 1. Попытаемся прибавить единицу к 0-му разряду. Тогда возможны следующие варианты: • ..0 =0, ..0 =1, тогда .. ' =1, .. ' =0, а для остальных .. . 0 00 ' положим .. ' .. = ...., .. ' = ...., построение представления для .. .. закончено. Запишем формулу для получившегося числа: ...1...1...1 .... .. ' .. = (3.. ' +2.. ' )4.. = (3.... +2....)4.. +3= (3.... +2....)4..+ .. ....=0 ..=1 ..=1 +(2+1) = .. +1. • ..0 =1, ..0 =0, тогда .. ' 0 =0, .. ' 0 =0 и прибавляем единицу к 1-му разряду. Запишем формулу для произведенной операции: ...1...1 .. .. ' .. = (3.. ' .. +2.. ..' )4.. = (3.... +2....)4.. + (3..1 +2..1 + 1) · 4= ..=0 ..=2 ...1...1 .. .. = (3.... +2....)4.. +3+1= (3.... +2....)4.. +1= .. +1. ..=1 ..=0 • ..0 =0, ..0 =0, тогда .. ' 0 =1, .. ' 0 =1 и в зависимости от значений в 1-м разряде возможны следующие варианты: – ..1 . 1, ..1 . 2, тогда .. ' = ..1 +1, .. ' = ..1 . 2, а для остальных 11 .. > 1 положим .. ' .. = ...., .. ' = ...., построение представления .. ' для .. закончено (после этой операции 0 < .. ' < ..1 ). 1 ...1 Запишем формулу получившегося числа: ...1...1 .. .. ' .. = (3.. ' +2.. ' ..)4.. = (3....+2....)4..+(3(..1+1)+2(..1.2))·4+ ....=0 ..=2 ...1...1 .. .. +3+2 = (3.... +2....)4.. .4+5= (3.... +2....)4.. +1 = .. +1. ..=1 ..=0 – ..1 =1, ..1 . 1, тогда .. ' = ..1 . 1, .. ' = ..1 +1, а для остальных 11 .. > 1 положим .. ' = ...., .. ' = ...., построение представления .. .. ' для .. закончено (после этой операции 0 < .. ' < ..1 ). 1 ...1 Запишем формулу получившегося числа: ...1...1 .. .. ' .. = (3.. ..' +2.. ' ..)4.. = (3....+2....)4..+(3(..1.1)+2(..1+1))·4+ ..=0 ..=2 ...1...1 .. .. +3+2 = (3.... +2....)4.. .4+5= (3.... +2....)4.. +1 = .. +1. ..=1 ..=0 – 1 < ..1 . ....1 .1, ..1 < ....1 .1, тогда .. ' = ..1 . 1, .. ' = ..1 +1, а 11 для остальных .. > 1 положим .. ' = ...., .. ' = ...., построение .. .. ' представления для .. закончено (после этой операции 0 < .. ' 1 < ..1 ). Запишем формулу получившегося числа: ...1 ...1...1 .. .. ' .. = (3.. ' ..+2.. ..' )4.. = (3....+2....)4..+(3(..1.1)+2(..1+1))·4+ ..=0 ..=2 ...1...1 .. .. +3+2 = (3.... +2....)4.. .4+5= (3.... +2....)4.. +1 = .. +1. ..=1 ..=0 – 1 < ..1 < ....1 .1, ..1 = ....1 .1, тогда .. ' = ..1 +1, .. ' = ..1 . 2, 11 а для остальных .. > 1 положим .. ' = ...., .. ' = ...., построение .. .. ' представления для .. закончено (после этой операции 0 < .. ' 1 < ..1 ). Запишем формулу получившегося числа: ...1 ...1...1 .. .. ' .. = (3.. ' ..+2.. ..' )4.. = (3....+2....)4..+(3(..1+1)+2(..1.2))·4+ ..=0 ..=2 ...1...1 .. .. +3+2 = (3.... +2....)4.. .4+5= (3.... +2....)4.. +1 = .. +1. ..=1 ..=0 Заметим, что случай, когда ..1 =0 и ..1 =1 не рассматривается сознательно, обоснование того, что не может быть такого представления числа, у которого ..0 =0, ..0 =0, ..1 =0 и ..1 =1, будет приведено далее. • ..0 =1, ..0 =1, тогда .. ' 0 =0, .. ' 0 =1 и прибавляем единицу к 1-му разряду. Запишем формулу для произведенной операции: ...1...1 .. .. ' .. = (3.. ' .. +2.. ..' )4.. = (3.... +2....)4.. + (3..1 +2..1 + 1) · 4= ..=0 ..=2 ...1...1 .. .. = (3.... +2....)4.. +3+1= (3.... +2....)4.. +1= .. +1. ..=1 ..=0 Далее, в зависимости от того, что произошло на данном этапе, либо построение представления закончено, либо прибавляем 1 к 1-му разряду. Определим операцию прибавления к ..-му разряду для .. . 1. 2. Операцию прибавления 1 к ..-му разряду (0 < .. < .. . 1) определим так: • 0 . .... < .... . 1,> 0, тогда .. ' = .... +1, .. ' = .... . 1, а ...1 .... .... для остальных .. >.. положим .. ' = ...., .. ' .. = ...., построение .. ' представления для .. закончено (после этой операции 0 < .. ' < .... ). .. ...1 • .... = .... . 1, .... > 1, тогда .. ' = .... +1, .. ' = .... . 1, а для остальных ...1 .. .. .. >.. положим .. ' = ...., .. ' = ...., построение представления для .. .. ' .. закончено (после этой операции 0 < .. ' .. < .... ). ...1 Для двух вышеприведенных случаев запишем формулу, пока­зывающую, что происходит в ходе данного преобразования с частью числа .. ', соответствующей ..-му разряду: (3.. ' .. +2.. ' ..)4.. = (3(.... + 1) + 2(.... . 1)) · 4.. = (3.... +2.... + 1) · 4.. , т. е. выполнение данного действия действительно позволяет добавить единицу к ..-му разряду. • 0 < .... . .... .... =0, тогда .. ' = .... . 1, .. ' = .... +2, а ...1 . 1, .. .. для остальных .. >.. положим .. ' = ...., .. ' = ...., построение .. .. ' представления для .. закончено (после этой операции 0 < .. ' < .... ). .. ...1 • .... = .... . 1, .... =1, тогда .. ' = .... . 1, .. ' = .... +2, а для остальных ...1 .. .. .. >.. положим .. ' = ...., .. ' = ...., построение представления для .. .. ' .. закончено (после этой операции 0 < .. ' .. < .... ...1, 0 < .. ' .. . .... ...1 ). • .... = ...... .1, .... =0, тогда .. ' = .....1, .. ' = ....+2, а для остальных .. >.. .. .. ' положим .. ' = ...., .. ' = ...., построение представления для .. .. .. закончено (после этой операции 0 < .. ' .. < ...... .1, 0 < .. ' .. < .... ). ...1 • .... = ...... .1, 0 < .... < ...... .1 . 1, тогда .. ' = .... . 1, .. ' = .... +2, а .. .. для остальных .. >.. положим .. ' = ...., .. ' = ...., построение .. .. ' представления для .. закончено (после этой операции 0 < .. ' < .... ). .. ...1 Для четырех вышеприведенных случаев запишем формулу, показывающую, что происходит в ходе данного преобразова­ния с частью числа .. ', соответствующей ..-му разряду: (3.. ' .. +2.. ' ..)4.. = (3(.... . 1) + 2(.... + 2)) · 4.. = (3.... +2.... + 1) · 4.. , т. е. выполнение данного действия действительно позволяет добавить единицу к ..-му разряду. • .... = ...... .1, .... = .... .1, ....+1 .=0 или ....+1 .=0 тогда .. ' = .... .1, .. ' = ...1 .. .. ...., прибавляем 1 к (.. + 1)-му разряду (после этой операции 0 < .. ' < ...... .1, 0 < .. ' < .... ). Запишем формулу, показывающую, .. .....1 что происходит в ходе данного преобразования с частью числа .. ', соответствующей ..-му и (.. + 1)-му разрядам: (3.. ' ..+1 +2.. ..' +1) · 4..+1 + (3.. ' .. +2.. ..' ) · 4.. = (3....+1 +2....+1 + 1) · 4..+1+ ·4..+1 +44.. +(3(.... .1)+2....)·4.. = (3....+1 +2....+1)·4.. +(3.... +2.... .3)·= = (3....+1 +2....+1) · 4..+1 + (3.... +2.... + 1) · 4.. . • .... = ...... .1, .... = ...... .1 . 1, ....+1 =0, ....+1 =0, тогда .. .. ' = .... . 1, .. ' .. = .... . 2, .. ' ..+1 =0, .. ' ..+1 =1, а для остальных .. >.. +1 ' положим .. ' = ...., .. ' = ...., построение представления для .. .. .. закончено (после этой операции 0 < .. ' < ...... .1, .. ' =1, .. ' = .. ..+1 ..+1 0). Запишем формулу, показывающую, что происходит в ходе данного преобразования с частью числа .. ', соответствующей ..-му и (.. + 1)-му разрядам: (3.. ' ..+1+2.. ..' +1)·4..+1+(3.. ' ..+2.. ..' )·4.. =2·4..+1+(3(.....1)+2(.....2))·4.. = = (3.... +2.... . 3 . 4 + 8) · 4.. = (3.... +2.... + 1) · 4.. . Таким образом, после добавления 1 к ..-му разряду (0 < .. < .. . 1) свойство не перестает выполняться. 3. Проведем операцию прибавления 1 к (.. . 1)-му разряду: • .....1 =0, .....1 =1, тогда после добавления единицы получаем, ' что .. ' ...1 =1, .. ' =0, построение представления для .. за­ ...1 кончено. Запишем формулу, показывающую, что происходит в ходе данного преобразования с частью числа .. ', соответ­ствующей (.. . 1)-му разряду: (3.. ' ...1+2.. ' ...1)4...1 =3·4...1 = (2+1)·4...1 = (3.....1+2.....1+1)·4...1 , т. е. выполнение данного действие действительно позволяет добавить единицу к (.. . 1)-му разряду. • .....1 =1, .....1 =0, тогда не можем построить представление ' для числа .. , число .. является максимально возможным для представления с .. разрядами. Очевидно, что после прибавления единицы к (.. . 1)-му разряду свойство не перестает выполняться. Таким образом, по индукции можем построить представление для чисел начиная с 10 вплоть до максимального, при этом свойство будет выполняться. Докажем, что в процессе построения представления для чисел, на­чиная с 10, не возникнет такая ситуация, что в первом и нулевом разряде будут содержаться 01 и 00, то есть ни для какого числа не возникнет представления вида ....01.00. Произведем доказательство от противного. Пусть у нас есть представление вида ....01.00, после­довательно построенное согласно приведенному выше алгоритму, для какого-то числа. Обозначим число с подобным представление как .., поскольку все числа, как описано выше, могут быть получены пу­тем последовательного прибавления 1 к представлению числа 10, рас­смотрим, как выглядит представление для числа, равного .. . 1, из которого прибавлением 1 по приведенному выше алгоритму можно получить ... Будем обозначать элементы представления числа .. как .. ' =0, .. ' =1, .. ' =0, .. ' =0. Очевидно, что (.. ' = 0) . (.. '.0), иначе .= 1100 22 .. было бы меньше 10 или не выполнялось бы свойство представле­ния. Пусть элементы числа .. . 1 будем обозначать как ...., ...., тогда очевидно, что для них справедливо ..0 =1, ..0 =0, посмотрим, ка­ковы могут быть значения ..1, ..1. Поскольку ..0 =1, ..0 =0, то после прибавления единицы к числу имеем .. ' 0 =0, .. 0 ' =0 и добавляем 1 к первому разряду. Запишем, какое соотношение должно выполняться для 1-го разряда:(3.. ' 1 +2.. 1' ) · 4 = (3..1 +2..1 + 1) · 4. Отсюда следует, что (3..1 +2..1) · 4=4, т. е. 3..1 +2..1 =1, откуда не могут быть получены целые значения для ..1, ..1. Таким образом, получили противоречие в том, что число .. может быть получено с помощью прибавления 1 из представ­ления какого-то числа. Следовательно, .. не является представлением и, следовательно, не может быть ситуации, когда в первом и нулевом разрядах содержатся соответственно 01 и 00. Посчитаем, какова будет величина .. — максимального числа, для которого можем записать подобное представление с использованием только .. разрядов. Согласно представленному алгоритму, это число будет равно: ...1 .. .. = (3...... .1 + 2(...... .1 . 1))4.. =5.. . 2/3 · (4.. . 1). ..=0 Таким образом, с помощью данного представления с помощью .. разрядов можно выразить все числа в диапазоне от 10 до 5.. .2/3·(4.. .1), при этом будет выполняться сформулированное свойство. Следствие 3. С помощью представления можем для .. . 4 выразить все числа от 10 до 5../2. Доказательство. Следует из теоремы 1 и того, что 5../2 . 5.. .2/3·(4...1) для .. . 4. Лемма 8. По представлению с помощью .. . 4 разрядов для числа .. : 10 . .. < 5../2 можно построить семейство таких булевых функций, что каждая из этих функций индуцирует вероятностную функцию .., ..для ко­торой ....... . ..(5) : ....(....1, . . . , ......)= ../5.., .. .{1, . . . , ..}. Доказательство. Построенное представление для числа .. будет соот­ветствовать семейству булевых функций ..(..1, . . . , ....), построенных сле­дующим образом: каждый ..-й разряд соответствует части СДНФ в сле­дующей форме: .... — число слагаемых, представимых в виде ...1 ....2 . . . ...... , 2 .. . . .. отрицаний где .... .{0; 1}, ..0 = ....., ..1 = ...., .... — число слагаемых, представимых в ви­ .. .. де ..1 ....2 . . . ...... , где .... .{0; 1}, ..0 = ....., ..1 = ..... Целиком булеву функцию 2 .. .... . . .. отрицаний будем записывать как дизъюнкцию всех таких частей, записанных для каждого разряда. Очевидно, что подобный алгоритм с учетом свойств представления, сформулированных в теореме 1, позволяет построить не одну, а целое семейство булевых функций. Запишем по СДНФ одной из построенных булевых функций индуци­рованную вероятностную функцию. Дизъюнкцию заменяем на сложе­ние, конъюнкцию — на умножение. Вместо переменной .... записываем ......, вместо переменной ..... записываем 1 . ....... Рассмотрим значение по­лученной индуцированной функции ....(....1, . . . , ......) при подстановке 2/5 вместо переменной ....1, и значения 1/5 вместо переменных ....2, . . . ....... В этом случае значение индуцированной функции будет равно: ...1 .. ....(2/5, 1/5,..., 1/5)= (3/5 · .... +2/5 · ....)(4/5)..(1/5)...1... = ../5.. , ..=0 где ..— число от 10 до 5../2. Тем самым мы показали, как для любой дроби вида ../5.. , где .. . 4, 10 . .. < 5../2 можно построить инду­цированную функцию, которая позволяет выразить ../5.., используя значения переменных из ..(5). Пример 3. Покажем, как с помощью индуцированной функции можно получить дробь 311/54 . Представление, введенное в теореме 1, для чис­ лителя 311 выглядит как 01.21.32.10. Это соответствует семейству буле­вых функций, определяемых согласно лемме 8 следующим образом: • один единичный набор вида (1, 0, 0, 0), что соответствует элемен­тарной конъюнкции ..1 ...2 ...3 ...4 в СДНФ, • два единичных набора вида (0, ..1, ..2, ..3 ), где .... .{0, 1}. . . 2 нуля • один единичный набор вида (1, ..1, ..2, ..3 ), где .... .{0, 1}. . . 2 нуля • три единичных набора вида (0, ..1, ..2, ..3 ), где .... .{0, 1}. . . 1 нуль • два единичных набор вида (1, ..1, ..2, ..3 ), где .... .{0, 1}. . . 1 нуль • один единичный набор вида (0, 1, 1, 1), что соотвествует элемен­тарной конъюнкции ...1..2..3..4 в СДНФ функции. Выберем, на каких конкретных наборах, удовлетворяющих запи­санным выраженим, функция будет принимать единичное значение. Запишем СДНФ получившейся функции: ..(..1, ..2, ..3, ..4)= ..1 ...2 ...3 ...4 . ...1 ...2 ...3..4 . ...1..2 ...3 ...4 . ..1 ...2 ...3..4 . ...1 ...2..3..4. . ...1..2 ...3..4 . ...1..2..3 ...4 . ..1 ...2..3..4 . ..1..2 ...3..4 . ...1..2..3..4. Тогда индуцированная функция равна: .. ..(....1, ....2, ....3, ....4)= ....1(1 . ....2)(1 . ....3)(1 . ....4) + (1 . ....1)(1 . ....2)(1 . ....3)....4+ + (1 . ....1)..2(1 . ....3)(1 . ....4)+ ....1(1 . ....2)(1 . ....3)....4 + (1 . ....1)(1 . ....2)....3....4+ + (1 . ....1)....2(1 . ....3)....4 + (1 . ....1)....2....3(1 . ....4)+ ....1(1 . ....2)....3....4 + ....1....2(1 . ....3)....4+ + (1 . ....1)....2....3....4. Значение индуцированной функции после подстановки значений из ..(5) равно: (.). 2111 2 · 43 +2 · 3 · 42 +1 · 2 · 42 +3 · 3 · 4+2 · 2 · 4+3 311 .. .. ,,, == . 555554 54 Теорема 2. Класс булевых функций ..5 является конечно порождающим в .(5). В качестве начального множества можно взять ..(52). Доказательство. Очевидно, что если дробь ../5.. является несократи­мой, то в результате операции 1 . ../5.. = (5.. . ..)/5.. также полу­чим несократимую дробь. Возьмем произвольную правильную дробь ../5..0 . .[5], ..0 . 1, ..0 . N. Представим её в виде несократимой дроби ../5.. . .[5], .. . 1, .. . N. Тогда для показателя степени знаменателя .. возможны следующие варианты: 1. Если .. . 2, то по определению ../5.. . ..(52), т. е. ../5.. . ....5 (..(52))). 2. Если .. =3, то по доказанному в Лемме 7 получаем, что ../5.. . ....5 (..(52)). .. 3. Если .. . 4 и 1 . .. < 25, то ../5.. = &(../52 , 1/5,..., 1/5) = ../5.. , где & —(.. . 1)-местная конъюнкция. Тогда получаем, что ../5.. . ....5 (..(52))). 4. Если .. . 4 и 5.. .25 < .. . 5.. .1, то ../5.. = (5.....)/5.. =1.../5.. , где 1 . .. < 25 и по доказанному выше выполнено ../5.. . ....5 (..(52))). Тогда согласно следствию 2 имеем, что ../5.. . ....5 (..(52))). 5. Если .. . 4 и 25 <.. < 5../2, то по доказанному выше в теореме 1 и лемме 8 для числителя дроби ../5.. можем записать представ­ление, позволяющее построить ..-местную булеву функцию .., чья индуцированная порождает указанную дробь из ..(5). Поскольку дробь ../5..— несократимая, а у булевой функции .. переменных, то по лемме 5 у булевой функции .. все переменные существенные и по лемме 2 выполнено .. ... ....5. Следовательно, ../5.. . ....5 (..(52))). 6. Если .. . 4 и 5../2 <.. < 5.. . 25, то ../5.. =1 . ../5.. , где 25 < .. < 5../2, и по доказанному выше выполнено ../5.. . ....5 (..(52))). Тогда согласно следствию 2 имеем, что ../5.. . ....5 (..(52))). Таким образом, для любой правильной дроби из .[5] показали, что она принадлежит множеству ....5 (..(52))), т. е. ....5 (..(52))) = .[5]. Лемма 9. Для любой булевой функции .., построенной по представле­нию числа .. : 10 . .. < 5../2 с помощью .. . 4 разрядов выполнено [ ...1 [ ...1 ]] 22 .. .. ..( ....)= (..2.. + ..2..+1) . (..2..+1 + ..2..). ..=0 ..=0 Доказательство. Согласно лемме 3 имеем, что ..( ....)= ....(..) . ....(.. ). Из леммы 8 следует, что ..2.. и ..2..+1 будут соответствовать единичным наборам с нечетным числом нулей, а ..2..+1 и ..2.. будут соответствовать единичным наборам с четным числом нулей, где 1 . .. . [...1 ]. Отсюда 2 непосредственно выводится требуемая формула. Следствие 4. Если в формулировке леммы 9 величина .. кратна пяти, то дополнительно выполнено [ ...1 [ ...1 ]] 22 .. .. (..2.. + ..2..+1) . (..2..+1 + ..2..)=5.., ..=0 ..=0 где .. . Z. Доказательство. Следует из леммы 9 и следствия 1. Лемма 10. Для любой дроби ../5.. , у которой 20 . .. < 5../2, .. . 4, .. mod5 = 0, можем построить ..-местную булеву функцию ..(..1, . . . , ....) без фиктивных переменных, которая индуцирует вероятностную функ­цию ....(....1, . . . , ......), для которой найдутся ...... . ..(5) : ....(....1, . . . , ......)= ../5.. , .. .{1, . . . , ..}. Доказательство. Для числа .. построим представление согласно опре­делению 4. Напомним, что переменная .... называется существенной [9], если найдутся такие два набора (..1, . . . , .....1, 1, ....+1, . . . , ....), (..1, . . . , .....1, 0, ....+1, . . . , ....), что .. (..1, . . . , .....1, 1, ....+1, . . . , ....) .= ..(..1, . . . , .....1, 0, ....+1, . . . , ....), где .... .{0; 1}. Покажем, что можно так определить функцию по представлению (согласно описанному в лемме 8), что каждая из .. переменных будет существенной. Для 0-го разряда представления возможны следующие варианты: 1. ..0 =0, ..0 =0. Это соответствует тому, что .. (0, 1,..., 1, 1) = 0, ..(1, 1,..., 1, 1) = 0. Для 1-го разряда представления возможны сле­дующие варианты: (a) 0 < ..1 < .. . 1= ....1 .1, ..1 =0. Справедливость равенства ..1 =0 означает, что на любом наборе вида (0, ..2, . . . , .... ), где . . 1 ноль .... .{0; 1}, выполнено ..(0, ..2, . . . , ....)=0, в том числе выполне­но ..(0, 0, 1,..., 1)= 0. Выполнение неравенства 0 < ..1 < .. . 1 означает, что среди наборов вида (1, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, . . 1 ноль есть хотя бы один набор, на котором функция равна нулю, и ещё хотя бы один, на котором функция равна единице. Опре­делим ..(1, 0, 1,..., 1) = 1, ..(1, 1,..., 1, 0) = 0. Отсюда следует, что переменные ..1 и ..2 являются существенными. (b) 0 < ..1 < .. . 1, ..1 =0. Выполнение соотношения ..1 =0 озна­чает, что на любом наборе вида (1, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, . . 1 ноль .. (1, ..2, . . . , ....)=0, в том числе ..(1, 0, 1,..., 1) =0. Справедли­вость неравенства 0 < ..1 < .. . 1 означает, что среди наборов вида (0, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, есть хотя бы один набор, . . 1 ноль на котором функция равна нулю, и хотя бы один, на кото­ром функция равна единице. Определим ..(0, 1,..., 1, 0) = 0, .. (0, 0, 1,..., 1) =1. Отсюда следует, что переменные ..1 и ..2 являются существенными. (c) 0 < ..1 < .. . 1, ..1 = .. . 1. Равенство ..1 = .. . 1 означает, что на любом наборе вида (0, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, выполнено . . 1 ноль .. (0, ..2, . . . , ....)=1, в том числе ..(0, 1,..., 0) = 1 Поскольку .. (0, 1,..., 1) = 0 (в силу ..0 =0), следовательно, все переменные ..2, . . . , .... являются существенными. Поскольку ..1 < .. . 1, то найдется хотя бы один набор вида (1, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, . . 1 ноль на котором функция равна нулю. Определим ..(1, 1,..., 1, 0) = 0. Соответственно, переменная ..1 тоже существенная. Таким образом, все .. переменных являются существенными. (d) 0 < ..1 < .. . 1, ..1 = .. . 1. Из равенства ..1 = .. . 1 следует, что на любом наборе вида (1, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, выполнено . . 1 ноль .. (1, ..2, . . . , ....)=1, в том числе .. (1, 0, 1,..., 1) = 1. Поскольку .. (1, 1,..., 1) = 0 (в силу ..0 =0), следовательно, все перемен­ные ..2, . . . , .... являются существенными. Поскольку ..1 < .. . 1, то есть хотя бы один набор вида (0, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, на . . 1 ноль котором функция равна нулю. Определим ..(0, 0, 1,..., 1) = 0. Соответственно, переменная ..1 тоже существенная. Таким образом, все .. переменных являются существенными. (e) 0 < ..1 < .. . 1, 0 < ..1 < .. . 1. Выполнение неравенства 0 < ..1 < .. . 1 означает, что среди наборов вида (0, ..2, . . . , .... ), где . . 1 ноль .... .{0; 1}, есть хотя бы один набор, на котором функция равна нулю, и ещё хотя бы один, на котором функция равна единице. Определим ..(0, 1,..., 1, 0) = 1, ..(0, 0, 1,..., 1) = 0. Выполнение неравенства 0 < ..1 < .. . 1 означает, что среди наборов вида (1, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, есть хотя бы один, на котором . . 1 ноль функция равна нулю, и хотя бы один, на котором функция равна единице. Определим ..(1, 0, 1,..., 1) = 1, ..(1, 1,..., 1, 0) = 0. Из такого определения функции следует, что переменные ..1, ..2 и .... являются существенными. 2. ..0 =0, ..0 =1. Это соответствует тому, что .. (0, 1,..., 1, 1) = 0, ..(1, 1,..., 1, 1) = 1. Очевидно, что отсюда следует, что ..1— суще­ственная переменная. Для 1-го разряда представления возможны следующие варианты: (a) 0 < ..1 < .. . 1, ..1 =0. Справедливость равенства ..1 =0 озна­чает, что на любом наборе вида (0, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, . . 1 ноль выполнено ..(0, ..2, . . . , ....)=0. Выполнение неравенства 0 < ..1 < .. . 1 означает, что среди наборов вида (1, ..2, . . . , .... ), . . 1 ноль где .... .{0; 1}, есть хотя бы один набор, на котором функция равна нулю, и ещё хотя бы один, на котором функция равна единице. Определим ..(1, 0, 1,..., 1) = 0, ..(1, 1,..., 1, 0) = 1. Из такого определения функции следует, что переменные ..1 и ..2 являются существенными. (b) 0 < ..1 < .. . 1, ..1 =0. Выполнение соотношения ..1 =0 озна­чает, что на любом наборе вида (1, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, . . 1 ноль выполнено .. (1, ..2, . . . , ....)=0. Из этого следует, что пере­менные с ..2 по .... являются существенными, а значит, все .. переменных существенные. (c) 0 < ..1 < .. . 1, ..1 = .. . 1. Равенство ..1 = .. . 1 означает, что на любом наборе вида (0, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, выполнено . . 1 ноль .. (0, ..2, . . . , ....)=1. Поскольку ..(0, 1,..., 1) = 0, следовательно, все переменные ..2, . . . , .... являются существенными. Следо­вательно, все .. переменных существенные. (d) 0 < ..1 < .. . 1, ..1 = .. . 1. Из равенства ..1 = .. . 1 следует, что на любом наборе вида (1, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, справедливо . . 1 ноль .. (1, ..2, . . . , ....)=1. Выполнение неравенства 0 < ..1 < .. . 1 означает, что среди наборов вида (0, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, . . 1 ноль есть хотя бы один набор, на котором функция равна нулю, и ещё хотя бы один, на котором функция равна единице. Опре­делим ..(0, 1,..., 1, 0) = 0, ..(0, 0, 1,..., 1) = 1. Таким образом, переменные ..1 и ..2 будут существенными. (e) 0 < ..1 < .. . 1, 0 < ..1 < .. . 1. Выполнение неравенства 0 < ..1 < .. . 1 означает, что среди наборов вида (0, ..2, . . . , .... ), где . . 1 ноль .... .{0; 1}, есть хотя бы один набор, на котором функция равна нулю, и ещё хотя бы один, на котором функция равна единице. Определим ..(0, 1,..., 1, 0) = 1, ..(0, 0, 1,..., 1) = 0. Выполнение неравенства 0 < ..1 < .. . 1 означает, что среди наборов вида (1, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, есть хотя бы один, на котором . . 1 ноль функция равна нулю, и хотя бы один, на котором функция равна единице. Определим ..(1, 1,..., 1, 0) = 1, ..(1, 0, 1,..., 1) = 0. Из такого определения функции следует, что переменные ..1, ..2 и .... являются существенными. 3. ..0 =1, ..0 =0. Это соответствует тому, что .. (0, 1,..., 1, 1) = 1, ..(1, 1,..., 1, 1) = 0. Очевидно, что отсюда следует существенность переменной ..1. Для 1-го разряда представления возможны следу­ющие варианты: (a) 0 < ..1 < .. . 1, ..1 =0. Справедливость равенства ..1 =0 озна­чает, что на любом наборе вида (0, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, . . 1 ноль выполнено .. (0, ..2, . . . , ....)=0. Из этого следует, что пере­менные с ..2 по .... являются существенными, а значит, все .. переменных существенные. (b) 0 < ..1 < .. . 1, ..1 = .. . 1. Равенство ..1 = .. . 1 означает, что на любом наборе вида (0, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, выполнено . . 1 ноль .. (0, ..2, . . . , ....)=1. Выполнение неравенства 0 < ..1 < .. . 1 означает, что среди наборов вида (1, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, . . 1 ноль есть хотя бы один, на котором функция равна нулю, и хо­тя бы один, на котором функция равна единице. Определим .. (1, 0, 1,..., 1) = 1, ..(1, 1,..., 1, 0) = 0. Из такого определения функции следует, что переменные ..1 и ..2 являются суще­ственными. (c) 0 < ..1 < .. . 1, ..1 =0. Выполнение соотношения ..1 =0 озна­чает, что на любом наборе вида (1, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, . . 1 ноль выполнено ..(1, ..2, . . . , ....)=0. Выполнение неравенства 0 < ..1 < .. . 1 означает, что среди наборов вида (0, ..2, . . . , .... ), где . . 1 ноль .... .{0; 1}, есть хотя бы один набор, на котором функция равна нулю, и ещё хотя бы один, на котором функция равна единице. Определим ..(0, 1,..., 1, 0) = 1, ..(0, 0, 1,..., 1) = 0. Из такого определения функции следует, что переменные ..1 и ..2 являются существенными. (d) 0 < ..1 < .. . 1, ..1 = .. . 1. Из равенства ..1 = .. . 1 следует, что на любом наборе вида (1, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, справедливо . . 1 ноль .. (1, ..2, . . . , ....)=1. Из такого определения функции следует, что существенными являются переменные с ..2 по ...., а значит, все .. переменных будут существенными. (e) 0 < ..1 < .. . 1, 0 < ..1 < .. . 1. Выполнение неравенства 0 < ..1 < .. . 1 означает, что среди наборов вида (0, ..2, . . . , .... ), где . . 1 ноль .... .{0; 1}, есть хотя бы один набор, на котором функция равна нулю, и ещё хотя бы один, на котором функция равна единице. Определим ..(0, 1,..., 1, 0) = 0, ..(0, 0, 1,..., 1) = 1. Выполнение неравенства 0 < ..1 < .. . 1 означает, что среди наборов вида (1, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, есть хотя бы один, на котором . . 1 ноль функция равна нулю, и хотя бы один, на котором функция равна единице. Определим ..(1, 0, 1,..., 1) = 1, ..(1, 1,..., 1, 0) = 0. Таким образом, можем доопределить функцию .. так, что переменные ..1, ..2 и .... станут существенными. 4. ..0 =1, ..0 =1. Это соответствует тому, что .. (0, 1,..., 1, 1) = 1, ..(1, 1,..., 1, 1) = 1. Для 1-го разряда представления возможны сле­дующие варианты: (a) 0 < ..1 < .. . 1, ..1 =0. Справедливость равенства ..1 =0 озна­чает, что на любом наборе вида (0, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, . . 1 ноль выполнено ..(0, ..2, . . . , ....)=0, в том числе ..(0, 0, 1,..., 1) = 0. Из этого следует, что переменные с ..2 по .... являются су­щественными. Поскольку ..1 > 0, то найдется хотя бы один набор вида (1, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, на котором функция . . 1 ноль равна единице, тогда можем доопределить ..(1, 0, 1,..., 1) = 1. Отсюда следует, что ..1— существенная. Таким образом, все .. переменных являются существенными. (b) 0 < ..1 < .. . 1, ..1 =0. Выполнение соотношения ..1 =0 озна­чает, что на любом наборе вида (1, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, . . 1 ноль выполнено ..(1, ..2, . . . , ....)=0. в том числе ..(1, 0, 1,..., 1) = 0. Из этого следует, что переменные с ..2 по .... являются суще­ственными. Поскольку ..1 > 0, то найдется хотя бы один набор вида (0, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, на котором функция равна . . 1 ноль единице, тогда можем доопределить ..(0, 0, 1,..., 1) = 1. Отсю­да следует, что ..1 — существенная, а значит, все .. переменных являются существенными. (c) 0 < ..1 < .. . 1, ..1 = .. . 1. Равенство ..1 = .. . 1 означает, что на любом наборе вида (0, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, вы­ . . 1 ноль полнено ..(0, ..2, . . . , ....)=1, в том числе ..(0, 0, 1,..., 1) = 1. Выполнение неравенства 0 < ..1 < .. . 1 означает, что среди наборов вида (1, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, есть хотя бы один, . . 1 ноль на котором функция равна нулю, и хотя бы один, на котором функция равна единице. Тогда определим .. (1, 1,..., 1, 0) = 1, .. (1, 0, 1,..., 1, 1) = 0. Из такого определения функции следует, что переменные ..1 и ..2 являются существенными. (d) 0 < ..1 < .. . 1, ..1 = .. . 1. Равенство ..1 = .. . 1 означает, что на любом наборе вида (1, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, выполнено . . 1 ноль .. (1, ..2, . . . , ....)=1, в том числе ..(1, 0, 1,..., 1) = 1. Выполнение неравенства 0 < ..1 < .. . 1 означает, что среди наборов вида (0, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, есть хотя бы один набор, на . . 1 ноль котором функция равна нулю, и ещё хотя бы один, на котором функция равна единице. Тогда определим ..(0, 0, 1,..., 1, 1) = 0, ..(0, 1,..., 1, 0) = 1. Из такого определения функции следует, что переменные ..1 и ..2 являются существенными. (e) 0 < ..1 < .. . 1, 0 < ..1 < .. . 1. Выполнение неравенства 0 < ..1 < .. . 1 означает, что среди наборов вида (0, ..2, . . . , .... ), где . . 1 ноль .... .{0; 1}, есть хотя бы один набор, на котором функция равна нулю, и ещё хотя бы один, на котором функция равна единице. Тогда определим ..(0, 1,..., 1, 0) = 1, .. (0, 0, 1,..., 1) = 0. Выполнение неравенства 0 < ..1 < .. . 1 означает, что среди наборов вида (1, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, есть хотя бы один, . . 1 ноль на котором функция равна нулю, и хотя бы один, на котором функция равна единице. Тогда определим .. (1, 0, 1,..., 1) = 1, .. (1, 1,..., 1, 0) = 0. Из такого определения функции следует, что переменные ..1, ..2 и .... являются существенными. Таким образом, для возможных значений в 0-м и 1-м разрядах пред­ставления в случаях 1a, 1b, 1e, 2a, 2d, 2e, 3b, 3c, 3e, 4c, 4d и 4e не все переменные получится сделать существенными. Как следует из преды­дущих рассуждений, для всех случаев 1e, 2e, 3e, 4e при переходе от 0-го к 1-му разряду представления получается определить функцию .. так, чтобы сделать существенными переменные ..1, ..2, ..... Таким образом, остается показать, что для этих случаев также и переменные с ..3 по .....1 можно сделать существенными. Для остальных случаев удается сделать существенными переменные ..1, ..2. Соответственно, остается показать, что переменные с ..3 по .... можно сделать существенными. Рассмотрим, как доопределить функцию .. при переходе от 1-го к 2­му разряду, чтобы все переменные стали существенными. Возможны два варианта. Первый вариант, когда хотя бы одно из значений ..2, ..2 не равно нулю, второй — когда ..2 = ..2 =0. Рассмотрим первый вариант. Для случаев 1e, 2e, 3e и 4e выполнено 1 . ..1 . .. . 2 и 1 . ..1 . .. . 2. Тогда поскольку хотя бы одно из значений ..2, ..2 не равно нулю и выполняется свойство представления, то хотя бы одно из этих значений больше нуля и меньше максимального значения, равного ....2 .1. Тогда: I. если .. . 3 . ..2 < ..2 ...1, – для случаев 1e, 2e и 4e уже определили, что ..(0, 1,..., 1, 0) = 1, .. (0, 0, 1 ..., 1) = 0. Тогда доопределим .. следующим образом: на всех наборах вида (0, 0, ..3, . . . , .....1 , 1), где .... .{0; 1}, по­ . . 1 ноль ложим ..(0, 0, ..3, . . . , .....1, 1) = 1. Поскольку таких единичных наборов .. . 3, а ..2 . .. .3, то все переменные с ..3 по .....1 будут существенными. – для случая 3e ранее уже определили, что ..(0, 1,..., 1, 0) = 0, .. (0, 0, 1 ..., 1) = 1. Тогда доопределим .. следующим образом: на наборах вида (0, 1, ..3, . . . , .....1 , 0), где .... .{0; 1}, положим . . 1 ноль .. (0, 1, ..3, . . . , .....1, 0) = 1. Поскольку таких единичных наборов .. . 3, а ..2 . .. . 3, то все переменные с ..3 по .....1 будут существенными. II. если 1 . ..2 < .. . 3 (это возможно только в случае .. . 5), – для случаев 1e, 2e и 4e уже определили, что ..(0, 1,..., 1, 0) = 1, .. (0, 0, 1 ..., 1) = 0. Тогда доопределим .. следующим образом: на всех наборах вида (0, 1, ..3, . . . , .....1 , 0), где .... .{0; 1}, по­ . . 1 нуль ложим ..(0, 1, ..3, . . . , .....1, 0) = 0. Поскольку число подобных наборов, на которых .. принимает нулевое значение, не мень­ше ....2 .1 . (.. . 4) > .. . 3 для .. . 5, тогда переменные с ..3 по .....1 являются существенными. – для случая 3e ранее уже определили, что ..(0, 1,..., 1, 0) = 0, .. (0, 0, 1 ..., 1) = 1. Тогда доопределим .. следующим образом: на всех наборах вида (0, 0, ..3, . . . , .....1 , 1), где .... .{0; 1}, по­ . . 1 нуль ложим ..(0, 0, ..3, . . . , .....1, 1) = 0. Поскольку число подобных наборов, на которых .. принимает нулевое значение, не мень­ше ..2 . (.. . 4) > .. . 3 для .. . 5, тогда переменные с ..3 по ...1 .....1 являются существенными. III. если .. . 3 . ..2 < ..2 ...1, – для случаев 1e, 3e и 4e уже определили, что ..(1, 0, 1,..., 1) = 1, .. (1, 1,..., 1, 0) = 0. Тогда доопределим .. следующим образом: на всех наборах вида (1, 1, ..3, . . . , .....1 , 0), где .... .{0; 1}, по­ . . 1 нуль ложим ..(1, 1, ..3, . . . , .....1, 0) = 1. Поскольку таких единичных наборов .. . 3, а ..2 . .. . 3, то все переменные с ..3 по .....1 будут существенными. – для случая 2e ранее уже определили, что ..(1, 0, 1,..., 1) = 0, .. (1, 1 ..., 1, 0) = 1. Тогда доопределим .. следующим образом: на всех наборах вида (1, 0, ..3, . . . , .....1 , 1), где .... .{0; 1}, по­ . . 1 нуль ложим ..(1, 0, ..3, . . . , .....1, 1) = 1. Поскольку таких единичных наборов .. . 3, а ..2 . .. . 3, то все переменные с ..3 по .....1 будут существенными. IV. если 1 . ..2 < .. . 3 (это возможно только в случае .. . 5), – для случаев 1e, 3e и 4e уже определили, что ..(1, 0, 1,..., 1) = 1, .. (1, 1,..., 1, 0) = 0. Тогда доопределим .. следующим образом: на всех наборах вида (1, 0, ..3, . . . , .....1 , 1), где .... .{0; 1}, по­ . . 1 ноль ложим ..(1, 0, ..3, . . . , .....1, 1) = 0. Поскольку число подобных наборов, на которых .. принимает нулевое значение, не мень­ше ..2 . (.. . 4) > .. . 3 для .. . 5, то переменные с ..3 по .....1 ...1 являются существенными. – для случая 2e ранее уже определили, что ..(1, 0, 1,..., 1) = 0, .. (1, 1 ..., 1, 0) = 1. Тогда доопределим .. следующим образом: на всех наборах вида (1, 1, ..3, . . . , .....1 , 0), где .... .{0; 1}, по­ . . 1 ноль ложим ..(1, 1, ..3, . . . , .....1, 0) = 0. Поскольку число подобных наборов, на которых .. принимает нулевое значение, не мень­ше ....2 .1 . (.. . 4) > .. . 3 для .. . 5, то переменные с ..3 по .....1 являются существенными. Таким образом, полностью показали, как надо определить функцию .., чтобы для случаев 1e, 2e, 3e и 4e все .. переменных были существенны­ми. Рассмотрим случай 1a. Напомним, что среди прочего мы определили для функции .. ранее, что .. (1, 0, 1,..., 1) = 1, ..(1, 1,..., 1, 0) = 0. Тогда возможны следующие варианты: • .. . 3 . ..2 < ..2 Доопределим .. следующим образом: на всех ...1. наборах вида (1, 1, ..3, . . . , .....1 , 0), где .... .{0; 1}, положим, что . . 1 ноль ..(1, 1, ..3, . . . , .....1, 0) = 1. Поскольку таких единичных наборов ...3, а ..2 . .. . 3, то все переменные с ..3 по .....1 будут существенными. Также положим, что ..(1, 0, 1,..., 0) = 0, тогда переменная .... также будет существенной. • 1 . ..2 < .. . 3 (это возможно только для .. . 5). Доопределим .. следующим образом: на всех наборах вида (1, 0, ..3, . . . , .... ), где .... . . . 1 ноль {0; 1}, положим ..(1, 0, ..3, . . . , ....)=0. Поскольку число подобных наборов, на которых .. принимает нулевое значение, не меньше ....2 .1 . (.. . 4) > .. . 2 для .. . 5, тогда переменные с ..3 по .... являются существенными. • ..2 = ..2 тогда по свойству представления 1 . ..2 < ..2 Из ...1, ...1. ..2 = ....2 .1 следует, что на всех наборах вида (1, ..2, . . . , .... ), где . . 2 нуля .... .{0; 1}, выполнено ..(1, ..2, . . . , ....)=1, в том числе на всех на­борах вида (1, ..2, . . . , .....1 , 0), где .... .{0; 1}, ..(1, ..2, . . . , .....1, 0) = 1. . . 1 ноль Следовательно, переменные с ..3 по .....1 являются существенны­ми. Кроме того, из равенства ..1 =0 следует, в частности, что ..(0, 0, 1,..., 1)= 0, а из того, что ..2 . 1 следует, что можем до­определить функцию так: ..(0, 0, 1,..., 1, 0) = 1. Тогда переменная .... будет также существенной. • ..2 =0, поэтому на всех наборах вида (1, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, . . 2 нуля выполнено ..(1, ..2, . . . , ....)=0, в том числе на всех наборах вида (1, 0, ..3, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, .. (1, 0, ..3, . . . , ....)=0. Следовательно, . . 1 ноль переменные с ..3 по .... являются существенными. Таким образом, для случая 1a показали, как определить функцию .. так, что все .. переменных будут существенными. Рассмотрим случай 1b. Напомним, что среди прочего мы определили для функции .. ранее, что ..(0, 1,..., 1, 0) = 0, ..(0, 0, 1,..., 1) = 1. Тогда возможны следующие варианты: • .. . 3 . ..2 < ....2 .1. Тогда доопределим .. следующим образом: на всех наборах вида (0, 1, ..3, . . . , .....1 , 0), где .... .{0; 1}, положим, что . . 1 ноль ..(0, 1, ..3, . . . , .....1, 0) = 1. Поскольку таких единичных наборов ...3, а ..2 . .. . 3, то переменные с ..3 по .....1 являются существенными. Также определим .. (0, 0, 1,..., 1, 0) = 0, тогда переменная .... также будет существенной. • 1 . ..2 < .. . 3 (возможно только для .. . 5). Тогда доопределим .. следующим образом: на всех наборах вида (0, 0, ..3, . . . , .... ), где .... . . . 1 ноль {0; 1}, положим ..(0, 0, ..3, . . . , ....)=0. Поскольку число подобных наборов, на которых .. принимает нулевое значение не меньше, чем ..2 . (.. . 4) . .. . 3 для .. . 5, тогда переменные с ..3 по .... ...1 являются существенными. • ..2 = ....2 .1, тогда по свойству представления 1 . ..2 < ....2 .1. Из ..2 = ..2 следует, что на всех наборах вида (0, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, ...1 . . 2 нуля выполнено ..(0, ..2, . . . , ....)=1, в том числе на всех наборах вида (0, ..2, . . . , .....1 , 0), где .... .{0; 1}, выполнено ..(0, ..2, . . . , .....1, 0) = 1. . . 1 ноль Следовательно, переменные с ..3 по .....1 являются существенны­ми. Из того, что ..2 . 1, следует, что мы можем доопределить ..(1, 0, 1,..., 1, 0) = 1, отсюда в силу того, что .. (1, 0, 1 ..., 1) = 0 (так как ..1 =0), следует, что .... будет существенной. • ..2 =0, тогда по свойству представления 1 . ..2 < ....2 .1. Из ..2 =0 следует, что на всех наборах вида (0, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, . . 2 нуля выполнено ..(0, ..2, . . . , ....)=0, в том числе на всех наборах вида (0, 0, ..3, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, выполнено ..(0, 0, ..3, . . . , ....)=0. . . 1 ноль Следовательно, переменные с ..3 по .... являются существенными. Таким образом, для случая 1b показали, как определить функцию .. так, что все .. переменных будут существенными. Рассмотрим случай 2a. Напомним, что среди прочего мы определили для функции .. ранее, что ..(1, 0, 1,..., 1) = 0, ..(1, 1,..., 1, 0) = 1. Тогда возможны следующие варианты: • .. . 2 . ..2 < ....2 .1. Дополнительно определим .. следующим обра­зом: на всех наборах вида (1, 0, ..3, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, положим . . 1 ноль ..(1, 0, ..3, . . . , ....)=1. Поскольку число подобных единичных на­боров .. . 2, а ..2 . .. . 2, то переменные с ..3 по .... являются существенными. • 1 . ..2 < .. . 2. Дополнительно определим .. следующим обра­зом: на всех наборах вида (1, 1, ..3, . . . , .....1 , 0), где .... .{0; 1}, по­ . . 1 ноль ложим ..(1, 1, ..3, . . . , .....1, 0) = 0. Поскольку число подобных на­боров, на которых .. принимает нулевое значение, не мень­ше ....2 .1 . (.. . 3) > .. . 3 для .. . 4, то переменные с ..3 по .....1 являются существенными. Так как ..2 . 1, тогда определим ..(1, 0, 1,..., 1, 0) = 1, тогда .... является существенной. • ..2 =0, тогда 1 . ..2 < ....2 .1. На всех наборах вида (1, 1, ..3, . . . , .....1 , 0), . . 1 ноль где .... .{0; 1}, выполнено ..(1, 1, ..3, . . . , .....1, 0) = 0. Следовательно, переменные с ..3 по .....1 являются существенными. Так как ..2 . 1, тогда определим ..(0, 0, 1,..., 1, 0) = 1, тогда .... является существен­ной, так как .. (0, 0, 1,..., 1) = 0 (поскольку ..1 =0). • ..2 = ....2 .1, тогда на всех наборах вида (1, 0, ..3, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, . . 1 ноль выполнено ..(1, 0, ..3, . . . , ....)=1. Следовательно, переменные с ..3 по .... являются существенными. Таким образом, для случая 2a показали, как определить функцию .. так, что все .. переменных будут существенными. Рассмотрим случай 2d. Напомним, что среди прочего мы определили для функции .. ранее, что ..(0, 1,..., 1, 0) = 0, ..(0, 0, 1,..., 1) = 1. Тогда возможны следующие варианты: • .. . 3 . ..2 < ..2 Дополнительно определим .. следующим об­ ...1. разом: на всех наборах вида (0, 1, ..3, . . . , .....1 , 0), где .... .{0; 1}, . . 1 ноль положим ..(0, 1, ..3, . . . , .....1, 0) = 1. Поскольку таких единичных наборов .. . 3, а ..2 . .. . 3, то все переменные с ..3 по .....1 суще­ственные. Далее положим ..(0, 0, 1,..., 1, 0) = 0, тогда .... является существенной. • 1 . ..2 < ...3 (возможно для .. . 5). Доопределим .. следующим об­разом: на всех наборах вида (0, 0, ..3, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, положим . . 1 ноль ..(0, 0, ..3, . . . , ....)=0. Поскольку число подобных наборов, на кото­рых .. принимает нулевое значение, не меньше ..2 .(...4) > ...2 ...1 для .. . 5, тогда переменные с ..3 по .... являются существенными. • ..2 =0, тогда на всех наборах вида (0, 0, ..3, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, . . 1 ноль выполнено ..(0, 0, ..3, . . . , ....)=0. Следовательно, переменные с ..3 по .... являются существенными. • ..2 = ....2 .1, тогда 1 . ..2 < ....2 .1. На всех наборах (0, 1, ..3, . . . , .....1 , 0), . . 1 ноль где .... .{0; 1}, выполнено .. (0, 1, ..3, . . . , .....1, 0) = 1. Следователь­но, переменные с ..3 по .....1 являются существенными. Так как ..2 < ....2 .1, тогда определим .. (1, 0, 1,..., 1, 0) = 0, тогда .... является существенной, так как ..(1, 0, 1,..., 1) = 1 (в силу ..1 = .. . 1). Таким образом, для случая 2d показали, как определить функцию .. так, что все .. переменных будут существенными. Рассмотрим случай 3b. Напомним, что среди прочего мы определили для функции .. ранее, что ..(1, 0, 1,..., 1) = 1, ..(1, 1,..., 1, 0) = 0. Тогда возможны следующие варианты: • .. . 3 . ..2 < ....2 .1. Дополнительно определим .. следующим обра­зом: на всех наборах вида (1, 1, ..3, . . . , .....1 , 0), где .... .{0; 1}, поло­ . . 1 ноль жим ..(1, 1, ..3, . . . , .....1, 0) = 1. Поскольку таких единичных наборов .. . 3, а ..2 . .. . 3, то все переменные с ..3 по .....1— существен­ные. Кроме этого, положим .. (1, 0, 1,..., 1, 0) = 0, тогда .... станет существенной. • 1 . ..2 < .. . 3 (возможно для .. . 5). Дополнительно определим .. следующим образом: на всех наборах вида (1, 0, ..3, . . . , .... ), где .... . . . 1 ноль {0; 1}, положим ..(1, 0, ..3, . . . , ....)=0. Поскольку число подобных наборов, на которых .. принимает нулевое значение, не меньше ....2 .1 . (.. . 4) > .. . 2 для .. . 5, то переменные с ..3 по .... являются существенными. • ..2 =0, тогда на всех наборах вида (1, 0, ..3, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, . . 1 ноль выполнено ..(1, 0, ..3, . . . , ....)=0. Переменные с ..3 по .... являются существенными. • ..2 = ....2 .1, тогда 1 . ..2 < ....2 .1. На всех наборах (1, 1, ..3, . . . , .....1 , 0), . . 1 ноль где .... .{0; 1}, выполнено .. (1, 1, ..3, . . . , .....1, 0) = 1. Тогда все пере­менные с ..3 по .....1 существенные. Дополнительно, так как ..2 < ....2 .1, определим ..(0, 0, 1,..., 1, 0) = 0 (заметим, что ..(0, 0, 1,..., 1) = 1 в силу ..1 = .. . 1). Тогда все переменные с ..3 по .... станут суще­ственными. Таким образом, для случая 3b показали, как определить функцию .. так, что все .. переменных будут существенными. Рассмотрим случай 3c. Напомним, что среди прочего мы определили для функции .. ранее, что ..(0, 1,..., 1, 0) = 1, ..(0, 0, 1,..., 1) = 0. Тогда возможны следующие варианты: • .. . 2 . ..2 < ....2 .1. Дополнительно определим .. следующим обра­зом: на всех наборах вида (0, 0, ..3, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, положим . . 1 нуль ..(0, 0, ..3, . . . , ....)=1. Поскольку таких единичных наборов .. . 2, а ..2 . .. . 2, то все переменные с ..3 по .... будут существенными. • 1 . ..2 < .. . 2. Дополнительно определим .. следующим образом: на всех наборах вида (0, 1, ..3, . . . , .....1 , 0), где .... .{0; 1}, положим . . 1 нуль ..(0, 1, ..3, . . . , .....1, 0) = 0. Поскольку число подобных наборов, на которых .. принимает нулевое значение, не меньше ..2 . (.. . ...1 3) > .. . 3 для .. . 4, тогда переменные с ..3 по .....1 являются существенными. Дополнительно определим ..(0, 0, 1,..., 1, 0) = 1, тогда .... станет существенной переменной. • ..2 =0, тогда 1 . ..2 < ....2 .1. На всех наборах вида (0, 1, ..3, . . . , .....1 , 0), . . 1 ноль где .... .{0; 1}, выполнено ..(0, 1, ..3, . . . , .....1, 0) = 0. Следовательно, переменные с ..3 по .....1 являются существенными. Кроме того, поскольку ..2 . 1, определим .. (1, 0, 1,..., 1, 0) = 1, соответственно, в силу того, что .. (1, 0, 1,..., 1) = 0, переменная .... станет суще­ственной. • ..2 = ....2 .1, тогда на всех наборах вида (0, 0, ..3, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, . . 1 ноль выполнено ..(0, 0, ..3, . . . , ....)=1. Следовательно, переменные с ..3 по .... являются существенными. Таким образом, для случая 3c показали, как определить функцию .. так, что все .. переменных будут существенными. Рассмотрим случай 4c. Напомним, что, среди прочего, мы опреде­ лили для функции .. ранее, что ..(1, 1,..., 1, 0) = 1, ..(1, 0, 1,..., 1, 1) = 0. Тогда возможны следующие варианты: • .. . 2 . ..2 < ....2 .1. Дополнительно определим .. следующим обра­зом: на всех наборах вида (1, 0, ..3, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, положим . . 1 ноль ..(1, 0, ..3, . . . , ....)=1. Поскольку таких единичных наборов .. . 2, а ..2 . .. . 2, то все переменные с ..3 по .... будут существенными. • 1 . ..2 < .. . 2. Дополнительно определим .. следующим обра­зом: на всех наборах вида (1, 1, ..3, . . . , .....1 , 0), где .... .{0; 1}, по­ . . 1 ноль ложим ..(1, 1, ..3, . . . , .....1, 0) = 0. Поскольку число подобных на­боров, на которых .. принимает нулевое значение, не меньше ....2 .1 . (.. . 3) > .. . 3 для .. . 4, то переменные с ..3 по .....1 явля­ются существенными. Кроме того, определим ..(1, 0, 1,..., 1, 0) = 1, тогда .... станет существенной. • ..2 =0, тогда 1 . ..2 < ....2 .1. На всех наборах вида (1, 1, ..3, . . . , .....1 , 0), . . 1 ноль где .... .{0; 1}, выполнено ..(1, 1, ..3, . . . , .....1, 0) = 0. Тогда перемен­ные с ..3 по .....1 являются существенными. Поскольку ..2 < ....2 .1, то определим ..(0, 0, 1,..., 1, 0) = 0, а поскольку ..(0, 0, 1,..., 1) = 1 (в силу ..1 = .. . 1), то .... станет существенной. • ..2 = ....2 .1, тогда на всех наборах вида (1, 0, ..3, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, . . 1 ноль выполнено ..(1, 0, ..3, . . . , ....)=1. Тогда все переменные с ..3 по .... будут существенными. Таким образом, для случая 4c показали, как определить функцию .. так, что все .. переменных будут существенными. Рассмотрим случай 4d. Напомним, что среди прочего, мы опреде­ лили для функции .. ранее, что ..(0, 0, 1,..., 1, 1) = 0, ..(0, 1,..., 1, 0) = 1. Тогда возможны следующие варианты: • .. . 2 . ..2 < ..2 Тогда доопределим .. следующим образом: ...1. на всех наборах вида (0, 0, ..3, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, положим . . 1 ноль ..(0, 0, ..3, . . . , ....)=1. Поскольку таких единичных наборов .. . 2, а ..2 . .. . 2, то все переменные с ..3 по .... будут существенными. • 1 . ..2 < .. . 2. Тогда доопределим .. следующим образом: на всех наборах вида (0, 1, ..3, . . . , .....1 , 0), где .... .{0; 1}, положим . . 1 ноль ..(0, 1, ..3, . . . , .....1, 0) = 0. Поскольку число подобных наборов, на которых .. принимает нулевое значение, не меньше ....2 .1 . (.. . 3) > .. . 3 для .. . 4, тогда переменные с ..3 по .....1 являются существенными. Также определим ..(0, 0, 1,..., 1, 0) = 1, тогда .... является существенной. • ..2 =0, тогда 1 . ..2 < ....2 .1. На всех наборах вида (0, 1, ..3, . . . , .....1 , 0), . . 1 ноль где .... .{0; 1}, выполнено ..(0, 1, ..3, . . . , .....1, 0) = 0. Следовательно, переменные с ..3 по .....1 являются существенными. Кроме того, определим ..(1, 0, 1,..., 1, 0) = 0, соответственно, в силу того, что ..(1, 0, 1,..., 1) = 1 (поскольку ..1 = .. . 1), переменная .... станет существенной. • ..2 = ....2 .1, тогда на всех наборах вида (0, 0, ..3, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, . . 1 ноль выполнено ..(0, 0, ..3, . . . , ....)=1. Следовательно, переменные с ..3 по .... являются существенными. Таким образом, для случая 4d показали, как определить функцию .. так, что все .. переменных будут существенными. Рассмотрим второй вариант, когда ..2 =0 и ..2 =0. Из следствия 4 и свойства представления следует справедливость соотношения: ..0 + ..1 . ..1 . ..0 =5.., (2) где .. . Z. Разберем, как доопределить функцию так, чтобы все переменные стали существенными, для всех девяти случаев. Случай 1a. Представление числа выглядит так: 00. ....00.0..1.00. . . нули Из соотношения 2 следует, что ..1 =5.., где .. . N. Таким образом, ..1 . 5. Ранее для этого случая было получено в том числе, что выпол­нено ..(1, 0, 1,..., 1) = 1. Поскольку ..2 =0, то для всех наборов вида (1, 0, ..3, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, выполнено ..(1, 0, ..3, . . . , ....)=0. Следова­ . . 1 нуль тельно, переменные с ..3 по .... являются существенными. Случай 1b. Представление числа выглядит так: 00. ....00...10.00. . . нули Из соотношения 2 следует, что ..1 =5.., где .. . N. Таким образом, ..1 . 5. Ранее для этого случая определили, что .. (0, 0, 1,..., 1) = 1, в силу того, что ..2 =0, на всех наборах вида (0, 0, ..3, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, выполнено . . 1 ноль ..(0, 0, ..3, . . . , ....)=0. Следовательно, переменные с ..3 по .... являются существенными. Случай 1e. Представление числа выглядит так: 00. ....00...1..1.00. . . нули Из соотношения 2 следует, что ..1 . ..1 =5.., где .. . Z. Ранее для это­го случая определили, что .. (0, 1,..., 1, 0) = 1. В силу того, что ..2 =0, для всех наборов вида (0, 1, ..3, . . . , .....1 , 0), где .... .{0; 1}, выполнено . . 1 ноль ..(0, 1, ..3, . . . , .....1, 0) = 0. Следовательно, переменные с ..3 по .....1 суще­ственные. Случай 2a. Представление числа выглядит так: 00. ....00.0..1.01. . . нули Из соотношения 2 следует, что 1 . ..1 =5.., где .. . Z. Если .. =0, то это соответствует представлению для числа .. = 10, этот случай не рассматриваем в рамках данной леммы. Если .. .0, = то получаем, что ..1 . 6. Ранее для этого случая было в том чис­ле определено, что ..(1, 1,..., 1, 0) = 1, ..(1, 0, 1 ..., 1) = 0, доопреде­лим ..(1, 1, 0, 1,..., 1) = 1. Поскольку ..2 =0, то для всех наборов вида (1, 1, ..3, . . . , .....1 , 0), где .... .{0; 1}, выполнено ..(1, 1, ..3, . . . , .....1, 0) = 0. . . 1 ноль Следовательно, переменные с ..3 по .... являются существенными. Случай 2d. Представление числа выглядит так: 00. ....00...1....1 .1.01. . . нули В силу того, что ..1 = ..1 = ...1, для всех наборов вида (1, ..2, . . . , .... ), где ...1 . . 1 ноль .... .{0; 1}, выполнено ..(1, ..2, . . . , ....)=1. Поскольку ..2 =0, то для всех наборов вида (1, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, выполнено ..(1, ..2, . . . , ....)=0. . . 2 нуля Следовательно, переменные с ..3 по .... являются существенными. Случай 2e. Представление числа выглядит так: 00. ....00...1..1.01. . . нули Для данного случая справедливо, что 1 . ..1, ..1 < ....1 .1. Ранее для этого случая, в частности, было определено, что ..(0, 1,..., 1, 0) = 1. Поскольку ..2 =0, то для всех наборов (0, 1, ..3, . . . , .....1 , 0), где .... .{0; 1}, выпол­ . . 1 ноль нено ..(0, 1, ..3, . . . , .....1, 0) = 0. Следовательно, переменные с ..3 по .....1 являются существенными. Случай 3b. Представление числа выглядит так: 00. ....00.....1 .1..1.10. . . нули В силу того, что ..1 = ..1 = ...1, для всех наборов вида (0, ..2, . . . , .... ), где ...1 . . 1 ноль .... .{0; 1}, выполнено ..(0, ..2, . . . , ....)=1. Поскольку ..2 =0, то для всех наборов вида (0, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, выполнено ..(0, ..2, . . . , ....)=0. . . 2 нуля Следовательно, переменные с ..3 по .... являются существенными. Случай 3c. Представление числа выглядит так: 00. ....00...10.10. . . нули Из соотношения 2 следует, что ..1 . 1=5.., где .. . Z. Если .. =0, то это соответствует представлению для числа .. = 15, этот случай не рассматриваем в рамках данной леммы. Если .. .0, то получаем, = что ..1 . 6. Ранее для этого случая, в частности, было определено, что ..(0, 1,..., 1, 0) = 1, ..(0, 0, 1,..., 1, 1) = 0. Поскольку ..1 . 6, тогда доопределим .. (0, 1,..., 1, 0, 1) = 1. Поскольку ..2 =0, то для наборов вида (0, 1, ..3, . . . , .....1 , 0), где .... .{0; 1}, выполнено ..(0, 1, ..3, . . . , .....1, 0) = 0. . . 1 ноль Следовательно, переменные с ..3 по .... являются существенными. Случай 3e. Представление числа выглядит так: 00. ....00...1..1.10. . . нули Для данного случая справедливо, что 1 . ..1, ..1 < ....1 .1. Ранее для этого случая, в частности, было определено, что ..(1, 0, 1,..., 1) = 1. Поскольку ..2 =0, то для всех наборов вида (1, 0, ..3, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, выполне­ . . 1 ноль но ..(1, 0, ..3, . . . , ....)=0. Следовательно, переменные с ..3 по .... являются существенными. Случай 4c. Представление числа выглядит так: 00. ....00.....1 .1..1.11. . . нули В силу того, что ..1 = ..1 = ...1, для всех наборов вида (0, ..2, . . . , .... ), где ...1 . . 1 ноль .... .{0; 1}, выполнено ..(0, ..2, . . . , ....)=1. Поскольку ..2 =0, то для всех наборов вида (0, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, выполнено ..(1, ..2, . . . , ....)=0. . . 2 нуля Следовательно, переменные с ..3 по .... являются существенными. Случай 4d. Представление числа выглядит так: 00. ....00...1....1 .1.11. . . нули В силу того, что ..1 = ..1 = ...1, для всех наборов вида (1, ..2, . . . , .... ), где ...1 . . 1 ноль .... .{0; 1}, выполнено ..(1, ..2, . . . , ....)=1. Поскольку ..2 =0, то для всех наборов вида (1, ..2, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, выполнено ..(1, ..2, . . . , ....)=0. . . 2 нуля Следовательно, переменные с ..3 по .... являются существенными. Случай 4e. Представление числа выглядит так: 00. ....00...1..1.11. . . нули Для данного случая справедливо, что 1 . ..1, ..1 < ....1 .1. Ранее для этого случая, в частности, было определено, что ..(1, 0, 1,..., 1) = 1. Поскольку ..2 =0, то для всех наборов вида (1, 0, ..3, . . . , .... ), где .... .{0; 1}, выполне­ . . 1 ноль но ..(1, 0, ..3, . . . , ....)=0. Следовательно, переменные с ..3 по .... являются существенными. Таким образом, для второго варианта также показали, как можно определить функцию .. для того, чтобы все .. переменных были суще­ственными. Следует заметить, что при указании на то, как определить функ­цию .., только для части наборов задано жестко, будет на них функция равна нулю или единице. Соотвественно, на оставшейся части наборов при определении функции руководствуемся алгоритмом, описанным в лемме 8. Это доопределение не будет влиять на существенность пе­ ременных, и, следовательно, для некоторых чисел по представлению можно построить несколько функций без фиктивных переменных. Таким образом, лемма доказана, показали, что для любой дроби ../5.. , у которой 10 . .. . 5../2, .. . 4, сможем построить ..-местную булеву функцию ..(..1, . . . , ....) со всеми существенными переменными, которая индуцирует вероятностную функцию ....(....1, . . . , ......), для которой ..... . ..(5), .. .{1, . . . , ..} : ....(....1, . . . , ......)= ../5.. . Теорема 3. Класс булевых функций .5 . .. является конечно порожда­ющим в .[5]. В качестве начального множества можно взять ..(5). Доказательство. Пусть ../5..— произвольная правильная дробь, .. . N. Докажем, что ../5.. принадлежит ...5... (..(5)). Будем проводить доказательство по индукции. Пусть .. =1, очевид­но, что ../5 принадлежит ..(5), а значит, ../5 принадлежит ...5... (..(5)). Пусть для некоторого .. . N выполняется, что всякая правильная дробь ../5.. принадлежит ...5... (..(5)). Докажем, что для .. +1 всякая правильная дробь ../5..+1 также принадлежит ...5...(..(5)). Обозначим как ....(..1, ..2, ..3)= ..1..2 . ...1..3 универсальную функцию и ......(....1, ....2, ....3)= ....3 . ....1....3 + ....1....2 = ....3 + ....1(....2 . ....3) — индуцированную ей вероятностную функцию. Очевидно, что ....(..1, ..2, ..3) . ... Рассмотрим дробь ../5..+1 . Для неё возможно несколько вариантов. 1. Если .. mod5 = 0, то числитель дроби .. может быть представлен как .. =5...., где .. . N, .. mod 5 .0. Тогда ../5..+1 =5...1../5.. , = отсюда следует, что дробь ../5..+1 с числителем в указанном диапа­зоне принадлежит ...5... (..(5)). 5.. 2. Если 5.. <.. < 4 · , то используем способ построения дроби ../5..+1 , изложенный Ф. И. Салимовым в [2]. Представим .. = .. · 5.. + .., где 1 . .. . 3, 0 < .. < 5.. . Тогда очевидно, что таким образом можем 5.. 5.. выразить все числители, кроме 2 · , 3 · , которые кратны 5. Дробь ../5..+1 можем получить следующим образом: ../5..+1 = ......(../5.. , (.. + 1)/5, ../5) = ../5+ ../5..((.. + 1)/5 . ../5) = = ../5+ ../5.. · 1/5 = (5.. · .. + ..)/5..+1 , при этом ../5.. , (.. + 1)/5, ../5 принадлежат ...5... (..(5)). Таким обра­зом, дробь ../5..+1 с числителем в указанном диапазоне принадле­жит ...5... (..(5)). < 5.. 3. Если 0 <.. , то запишем ../5..+1 следующим образом ../5..+1 = · 52)/5..+3 < 5..+2 (.. . Очевидно, что выполнено 20 < 25 . .. · 52 < 5..+3/2. Тогда для числителя .. · 52 согласно теореме 1 по опреде­ лению 4 можем построить представление с использованием .. +3 разрядов, а по представлению согласно леммам 8 и 10 — постро­ить функцию .. с (.. + 3)-мя существенными переменными, чья · 52)/5..+3 индуцированная функция позволяет выразить дробь (.. , используя значения переменных из множества ..(5). Поскольку .. · 52 .. . ...., следо­ кратно 5, то по лемме 2 получаем, что ...5 . ..вательно, .. ..5 . .., и дробь ../5..+1 с числителем в указанном диапазоне принадлежит ...5... (..(5)). · 5.. 5..+1 4. Если 4 <..< , то имеем, что по доказанному ранее 1 . ../5..+1 принадлежит ...5... (..(5)). Тогда согласно следствию 2 дробь ../5..+1 с числителем в указанном диапазоне тоже принадле­жит ...5... (..(5)). Таким образом, по индукции имеем, что любая правильная дробь ../5.. принадлежит ...5...(..(5)). Cледовательно, класс булевых функций .5... является конечно порождающим в .[5]. 519.7 HQQBNJ бесповторно замкнутый класс булевых функций бернуллиевская случайная величина преобразование случайных величин конечная порожденность read-once closed class of Boolean functions Bernoulli random variable random variable transformation finite generation Схиртладзе Р. Л. О синтезе p-схемы из контактов со случайными дискретными состояниями // Сообщ. АН ГрузССР. 1961. Т. 26. №2 C.181–186 Салимов Ф. И. Об одном семействе алгебр распределений // Изв. вузов. Математика. 1988. №7. С. 64–72. Колпаков Р. М. Об оценках сложности порождения рациональных чисел вероятностными контактными 휋-сетями // Вестн. Моск. ун-та. Математика. Механика. 1992. №6. С. 62–65. Яшунский А. Д. Алгебры вероятностных распределений на конечных множествах // Тр. МИАН. 2018. Т. 301. С. 320–335 Трифонова Е. Е. О бесконечной порожденности пятеричных дробей в одном классе преобразователей вероятностей // Изв. высш. учебн. завед. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. 2021. №1. С. 39–48. Трифонова Е. Е. О некоторых свойствах конечно порождающих систем преобразователей 푝-ичных дробей // Дискретный анализ и исследование операций. 2022. Т. 29. №4. С. 124–135. Трифонова Е. Е. О числе 푝-сократимых индуцированных вероятностных функций // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2023. Т. 27. №1. С. 134–142. Трифонова Е. Е. О бесповторно замкнутых классах булевых функций, индуцирующих некоторые преобразования рациональных вероятностей // Дискретная математика. 2025. Т. 37. №1. С. 119–129. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.А.Садовничего. 4-е изд., стер. М.: Высш. шк. 2003. 384 с. https://keldysh.ru/papers/2025/prep2025_38.pdf