1-20 RAR 9864-6449 0000-0001-9224-769X Лахно Виктор Дмитриевич Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН lak@impb.ru Lakhno V.D. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS Квантовая нелокальность и специальная теория относительности Quantum nonlocality and Special Theory of Relativity Квантовая механика приводит к непримиримым противоречиям с классической специальной теорией относительности (СТО). Эти противоречия отсутствуют, если считать пространство дискретным. В данной статье в простейшем случае одномерного дискретного пространства получено дискретное уравнение Дирака. Показано, что отказ от континуального описания пространства снимает противоречия между квантовомеханическим описанием и СТО. Рассмотрены возможности экспериментальной проверки теории. Quantum mechanics leads to irreconcilable contradictions with the classical special theory of relativity (STR). These contradictions are absent if we consider space to be discrete. In this article, the discrete Dirac equation is obtained in the simplest case of one-dimensional discrete space. It is shown that the rejection of the continuous description of space removes the contradictions between the quantum-mechanical description and STR. The possibilities of experimental verification of the theory are considered 1. Введение 3 2. Предварительные замечания 3. Формализм 4. Квантовая механика релятивистской частицы 5. Операторы координаты, скорости, импульса .. 6. Задача двух тел и энионы 7. Обсуждение 4 6 10 15 16 1. Введение Цель настоящей работы - обсудить некоторые трудности согласования квантовой механики и специальной теории относительности (СТО). По-видимому, наиболее ярким идеологическим противоречием является парадокс Эйнштейна, Подольского, Розена (ЭПР), демонстрирующий нелокальный характер взаимодействия в квантовой механике. Другим не менее ярким свидетельством противоречия является демонстрации сверхсветовой скорости перемещения частиц в процессах туннелирования. Специальная теория относительности, лежащая в основе классической физики, никогда не вызывала сомнения у квалифицированного большинства физиков. Отсюда следовало, что какой-то модификации должна подвергнуться квантовая механика. Такая модификация была осуществлена еще сто лет назад Дираком, постулировавшим релятивистские уравнения квантовой механики. Эти уравнения сами по себе содержали ряд неустранимых противоречий, с которыми за неимением лучшего пришлось смириться. К их числу, в первую очередь, относится равенство собственных значений оператора скорости величине скорости света. Другим фундаментальным противоречием является появление античастиц в исходном одночастичном уравнении Дирака. Эти противоречия автоматически перенеслись на релятивистскую квантовую теорию поля, в которой постулируется коммутативность операторов поля для пространственно-подобных интервалов, что необходимо для выполнения причинно-следственных связей. Все старания подправить квантовую механику остались безуспешными. Справедливость выводов квантовой механики подтверждалась многочисленными экспериментами, из которых важнейшими были эксперименты по проверке неравенств Белла. Отсюда следовало, что что-то не так не с квантовой механикой, а с СТО. В рамках тех постулатов, на которых основывается СТО (которая, как и квантовая механика, подтверждена множеством экспериментов), также ничего изменить нельзя. Это означает, что от некоторых постулатов теории относительности, для ее примирения с квантовой механикой следует отказаться, причем такой отказ должен быть весьма радикальным. 2. Предварительные замечания Будем исходить из того, что поскольку классическая механика является лишь предельным случаем квантовой механики, то и СТО является ее предельным случаем. СТО в свою очередь базируется на понятии пространства и времени. В исходном постулате квантовой механики, описывающем эволюцию волновой функции, однако, понятие пространства не фигурирует. Действительно, такое уравнение в самом общем случае имеет вид ih^ |Ч*> = Н|Ч*> , (1) где гамильтониан H представляется в виде #кв = 'Li.jVij |?></| . (2) Индексы / и j, как дискретные, так и непрерывные, определяют бесконечномерную матрицу, определяющую эволюцию дираковских векторов |Ф> . Таким образом, уравнение (1) описывает не движение частиц в пространстве, а эволюцию их состояний во времени. Разумеется, уравнения (1), (2) могут быть преобразованы к эволюции волновой функции в обычном координатном пространстве, но это будет лишь частный предельный случай этих уравнений. Использование постулата (1), (2) вместо пространственного описания снимает множество вопросов и парадоксов. В частности, вопрос о возможности сверхсветовой скорости в такой постановке становится бессмысленным, так как никакого пространства нет. Сопоставление некоторых из множества индексов i пространственным координатам является лишь соглашением, принимаемым для описания явлений в пространстве. Численное моделирование эволюционных процессов, описываемых (1), (2), приводит к тому, что если состояние частицы в начальный момент времени соответствовало i, то в любой другой момент времени имеется ненулевая вероятность найти частицу в каком-либо состоянии j. При пространственном истолковании этих индексов они могут соответствовать представлению о сверхсветовом движении, например о туннелировании частицы со сверхсветовой скоростью. Представление СТО об одновременных событиях в отсутствие пространственного описания также бессмысленно. В квантовой теории имеется абсолютное единое время, что приводит к естественному объяснению ЭПР парадокса: все частицы связаны друг с другом независимо от того, является ли интервал времени-подобным или пространственно-подобным при введении пространственного описания. В рассматриваемом подходе вообще нет каких-либо временных парадоксов типа возможности машины времени: можно вернуться в прошлое, но это будет возврат именно в то состояние, которое этому прошлому соответствовало, то есть "убить дедушку" просто невозможно. 3. Формализм В основе формализма квантовой механики лежит понятие состояния 1Х?> и суперпозиции состояний. Согласно принципу суперпозиции состояний, суперпозиция любых состояний системы, взятых с произвольными (в общем случае комплексными) коэффициентами, является также состоянием системы. Другими словами, состояния системы образуют линейное векторное пространство. Это позволяет использовать формальный математический аппарат для линейных векторных пространств. Будем обозначать вектор состояния символом |Aj), если система находится в состоянии, в котором физическая величина F имеет определённое значение Xi. Такое состояние называется собственным состоянием, а Xi - собственным значением. Кроме сложения и умножения на комплексное число вектор состояния можно проектировать на другой вектор. Другими словами, можно составить скалярное произведение с любым другим вектором |^'>, которое обозначается как (Ч/,|Ч/) и является комплексным числом, причём <?'|?> = <?|?'>*. (3) В частном случае |^'> = \у?> скалярное произведение является положительным числом и определяет норму вектора. В квантовой механике каждой физической величине F соответствует линейный эрмитов оператор F, собственные значения которого являются возможными значениями физической величины, а собственные векторы - её собственными состояниями: F |Af> = Л; |Af>. (4) Собственные векторы |Aj) эрмитова оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу, т.е. (A; |Ау) = 0, i ф j. Из них можно построить ортогональный базис в пространстве состояний, нормированный на единицу: (А|А) = 1. Произвольный вектор |XV) можно разложить по этому базису: m = 1лсл |А). (5) Для нормировки на единицу вектора состояния |^) коэффициенты разложения Сд удовлетворяют соотношению 1я |сА|2 = 1. (6) Знак суммы в формулах (5), (6) означает суммирование по дискретному и интегрирование по непрерывному спектру значений. В случае непрерывного спектра значений векторы предполагаются нормированными на 8-функцию: (А|А') = 8(Л — Л'). Из (5), (6) следует, что в разложении (5) произвольного вектора состояния |^) физической величины F значения |2 = |(А|^)|2 равны вероятностям обнаружить систему в состояниях |А), т.е. вероятностям того, что при измерении F её значение окажется равным X. Любой линейный оператор, выбранный в базисе |А), может быть представлен матрицей, в частности, матричные элементы эрмитова оператора F имеют вид: ha, = Й |/? !я;> (7) и удовлетворяют соотношениям: ^д.д. = я . Для |Я), являющихся собственными векторами соответствующая ему матрица диагональна. Если сопоставлять с произвольным вектором |^) коэффициентов оператора F, столбец из |Ч>) = ( С2 (8) в выбранном базисе (5), то действие оператора F на F |?) = сводится к матричному умножению. Получающийся в результате такого действия вектор |^') может отличаться от |Ч/) длиной и направлением, т.е. представляет собой столбец, в который вместо коэффициентов cj входят коэффициенты с[, отвечающие координатам вектора |^') в том же базисе: с[ = ?у FtjCj. Соответственно, сопряжённый вектор (Ч*'| в заданном базисе записывается в виде строки: (9) так что скалярное произведение (10) вычисляется по правилам матричного умножения и в случае равенства |^') и |^) приводит к условию нормировки (6). Если в качестве базисных векторов состояния выбрать ортонормированный базис единичных векторов 10 о о (11) то любой линейный оператор F в этом базисе может быть представлен в виде (12) используя правила матричного умножения для (11), легко убедиться, что (12) является матрицей с матричными элементами Ff,-: (13) В квантовой механике состояние системы определяется заданием совокупности физических величин, характеризующих систему - так называемого полного набора. Любой вектор состояния системы \4J) может быть представлен в виде разложения по состояниям \Я) выбранного нами полного набора, где X -совокупность собственных значений величин, входящих в этот полный набор. Если ц - совокупность собственных значений величин, составляющих другой полный набор, выбранный для описания той же самой физической системы, то в этом новом представлении коэффициенты удовлетворяют условию (6), т.е. \Ь(д)\2 равны вероятности обнаружить систему в состоянии ц. Таким образом, коэффициенты имеют смысл волновой функции системы в представлении ц, которые связаны с волновой функцией с (Я) в представлении X соотношением Ь00 = ?я№>ся. (15) 4. Квантовая механика релятивистской частицы Применим изложенную общую схему квантовой механики для описания релятивистской квантовой частицы и в качестве примера получим уравнение, которое при пространственно-временном описании соответствует одномерному уравнению Дирака. С этой целью рассмотрим одномерную дискретную регулярную решетку. При описании состояний частицы в цепочке будем исходить из гамильтониана Н = ZijVfj (16) где матричные элементы vfj не зависят от времени. Уравнение Шрёдингера для волновой функции частицы \Ч/) имеет вид iL \?) = н m (17) Волновую функцию стационарного состояния, для которого вероятность найти частицу на каком-либо сайте цепочки не зависит от времени, будем искать в виде \m(t)) = e~iwt\Ф), (18) где волновая функция \Ф) не зависит от времени, постоянную Планка % мы полагаем равной 1. Подстановка (18) в (17) приводит к уравнению для определения собственных значений энергии частицы W: W\Ф) = Н\Ф). (19) Обозначим через Wk энергию k-го состояния частицы, отвечающую волновой функции \Фк), которую будем искать в виде \Фк) = ZnRnk \п), (20) где суммирование производится по всем сайтам цепочки. Для гамильтониана (16) уравнение на собственные значения (19) с волновой функцией (20) примет вид WkRnk = ln'Vnn'Rn'k. (21) Рассмотрим случай, когда матричные элементы vnni отличны от нуля, только если п' = п — 1, п, п + 1. В этом случае из (21) получим Wfc^nfc = VnRnk + Vnn+1Rn+lk + Уп,п-1^п-1,к. (22) Будем искать решение уравнения (22) в виде Rnk = Cexp(ikn). (23) Будем считать в уравнении на собственные значения (22), полагая для чётных и нечётных сайтов цепочки: П = 2}\ Vn>n = V2j,2j = —т0, УП:П+1 = V2j,2j + i = v, (24) vn,n-1 = v2j,2j-1 = —v n = 2j + 1: v2j + 1,2j + 1 = m0, vn,n+1 = v2j + 1,2j+2 = Vn,n-1 = V2j,2j-1 = y, J = 0, ±1, ±2, В результате из (24) получим: WkR2j,k = —moR2j,k + vR2j+1,k — vR2j-1,k, (25) ^k^2j + 1,k = m0^2j + 1,k — v^2j+2,k + v^2j,k. Будем искать решения системы уравнений (25) в виде R2j+1,k = U2exp[ik(2j + (26) ^2j,k = щехр[1к2Д. Подстановка (26) в (25) приводит к уравнениям (Wk + m0)u1 = v(eik — e-ik)u2, (27) (Wk — m0)u2 = v(e-ik — eik)u1. Отсюда для спектра получим выражение Wk = ±Jm2 + 4v2sin2k. (28) Для безмассовой частицы m0 = 0 и малых k спектр (28) должен соответствовать энергии фотона. Таким образом, из (28) следует, что для этого должно быть -2v = с, где c - скорость света. В размерных единицах 2\v\ = he/а, где h - постоянная Планка, a -постоянная решётки. При а — 0 из (28) вытекает релятивистское выражение для энергии частицы Wk = ±Jm2c4 + h2k2c2 , (29) которое не зависит от величины a. Таким образом, в размерном виде динамическое уравнение Дирака, соответствующее (25), примет вид = —m°ClR2i + ?*2J+1—raR2,-1, (30) dR2j+1 he he ih~dT = m°C R2j+1 — 2^R2j+2 + 2^R2j. Чтобы привести уравнение Дирака к привычному при пространственном описании виду, обозначим R2j+1,k = R(k1}U) , (31) ^2j,k = R(k')(j). Будем считать R((f)(j) и R^(j) плавными функциями j. Уравнения (30) при этом примут вид WkRik1)(j) = m0Rik1)(j) — 2v±R™(j), (32) WkR™(j) = —m0R{k2)(j) + 2v^.R(k1)(j), или, вводя матрицы Паули из (32) получим WR = a3R + 2v — ia2R. dx (34) В размерном виде временное Ш-уравнение Дирака имеет вид (35) где х = ja, функция R удовлетворяет условию нормировки. Отметим, что в зависимости от выбора матричных элементов (24) при условии ее эрмитовости существуют различные формы записи одномерного уравнения Дирака. В интерпретации Дирака отрицательные энергии соответствуют заполненному электронами ненаблюдаемому "морю Дирака", на фоне которого происходит описание частиц с положительной энергией. В отличие от интерпретации Дирака при конечной величине постоянной решетки а энергия частицы (28) ограничена сверху и снизу и представляет собой две зоны непрерывных энергий, разделенных энергетической щелью, минимальная величина которой равна 2т0. Здесь имеется полная аналогия с собственными полупроводниками, у которых нижняя зона представляет собой полностью заполненную валентную зону, а верхняя - свободную зону проводимости. Минимальная энергия, необходимая, чтобы перевести частицу из валентной зоны в зону проводимости, при этом равна 2т0. 5. Операторы координаты, скорости, импульса В качестве примера приведем выражения для операторов координаты, скорости и импульса частицы в дискретной квантовой механике. Вводя оператор координаты х х = Т,пп\п)(п\, (36) найдём оператор скорости V из квантовомеханического соотношения для коммутатора: iV = [х, Н] = хН — Нх. (37) Подставляя (36) и (16) в (37), для оператора скорости получим: V = i Im.m Vn,m(т — \п){т\ . (38) Таким образом, оператор скорости определяется недиагональными элементами матрицы vn m и в случае, когда vn m отличны от нуля только между соседними сайтами, то есть в приближении ближайших соседей, из (38) получим V = iln(vriin+1\n)(n + 1\ — vni7l-1\n)(n — (39) Оператор импульса Р следовало бы определить из коммутационных соотношений Р, х] = Рх — хР = —ih! , (40) где I - единичная матрица, оператор х определяется выражением (36). В конечномерном случае, однако, невозможно построить оператор импульса, удовлетворяющий коммутационным соотношениям (40). Это связано с тем, что матрицы А и В конечного ранга обладают свойством SpAB=SpBA и, стало быть, шпур, взятый от левой части равенства (40), равен нулю, а справа шпур от единичной матрицы равен размерности конечномерного пространства. При переходе к континуальному пределу, однако, то есть для матриц бесконечного ранга, такой оператор можно ввести. Легко проверить, что он имеет вид Р = —Mini;\п)(п\ . (41) В безразмерных переменных собственным значением такого оператора будет волновое число k, в то время как для оператора скорости в конечномерном гильбертовым пространстве собственным значением оператора скорости будет величина \v\ = 2vsink. В размерных единицах это соответствует \v\ = csink, откуда следует, что скорость света при переходе к пространственному описанию является предельной скоростью. 6. Задача двух тел и энионы Как в классической, так и в квантовой релятивистской механике задача даже двух тел не решается, поскольку в континуальном пространстве релятивистскую задачу двух тел невозможно свести к одночастичной задаче. Это связано с тем, что если использовать специальную теорию относительности и ввести для одной из частиц понятие времени, то становится непонятным, как ввести время для второй частицы и написать соответствующие динамические 17 уравнения. В случае дискретного пространства это сделать довольно легко. Выбирая волновую функцию двух частиц в виде \Ч) = У 4>iJ\0,...,1f,0,...1;,0,... ), для коэффициентов получим v(A4>)ij + VijWtj = уГ—ЛдЧц/dt, где Vij - взаимодействия частиц, находящихся на сайтах i и j, (кЧ^) -дискретный оператор Лапласа: (p4ij) = ^i-Lj + ^i+hj + X4i,j-1 + 4Ji,j+1. Соответственно, вероятность нахождения частиц в точке i определяется 2 выражением Pt (t) = ij \ Чп (t) \ . Таким образом, задача двух тел в 1d в решётке становится эквивалентной задаче одного тела в 2^-решётке В рассматриваемом случае 1d понятие спина частицы отсутствует. Понятие фермионов и бозонов сохраняется ив 1d. В задаче двух тел предел Уц = оо соответствует фермионам, а предел Уц = 0 - бозонам. Конечные значения Уц соответствуют энионам, не наблюдавшимся в мире элементарных частиц, но имеющим смысл в физике конденсированного состояния посредством введения энионного фазового множителя в перестановочные соотношения: \n, m) = ew\m, n), где в = п соответствует статистике Ферми-Дирака, а в = 2п - статистике Бозе-Эйнштейна. 7. Обсуждение Вопросы о парадоксе ЭПР, сверхсветовом туннелировании и редукции волновой функции в действительности являются вопросами одного плана. Для их непротиворечивого описания в рассматриваемом подходе предполагается использовать дискретное пространство. Такой подход с использованием моделей Холстейна, Хаббарда, Су-Шриффера-Хигера и других давно применяется в физике конденсированных сред. Экспериментальной проверкой дискретной природы пространства могут быть космологические наблюдения. Вследствие зависимости скорости света от зернистости пространства ее величина для фотонов разных энергий будет разной. Это следует из того, что, согласно (28), при т0 = 0 групповая скорость фотона v = ccoska, то есть убывает при увеличении его энергии. В земных условиях непосредственное подтверждение возможности сверхсветовой скорости можно получить в туннельных экспериментах, если слева от туннельного барьера создать большую концентрацию частиц, из которых хотя бы одна будет зафиксирована справа от барьера за время, меньшее времени прохождения светом области, занимаемой барьером. Рассмотренный подход приводит к многочисленным новым эффектам, которые, по-видимому, никогда не обсуждались в литературе. Так, например, в силу конечности величины возможной энергии частицы, определяемой (28), возможно наблюдение такого явления, как блоховские осцилляции элементарных частиц в сверхсильных электрических полях с частотой w = eEa, где E - напряженность электрического поля. Наличие таких осцилляций приводит к возможности излучения электромагнитных волн сверхнизкой частоты. Это излучение может наблюдаться в столкновительных экспериментах элементарных частиц, например протонов, напряженность электрического поля внутри которых в миллионы раз превышает внутриатомные. Мотивацией написания данной статьи являлось интенсивное развитие такой отрасли, как квантовые компьютеры и квантовые вычисления. Обычно считается, что любая теория является приближённой, поскольку точная теория должна быть релятивистской. Это, однако, не относится к квантовым компьютерам, в основе работы которых лежат свойства запутанных состояний. Учёт релятивистских поправок в теории квантовых вычислений привёл бы к невозможности проведения таких вычислений. Релятивистские поправки приводили бы к быстрому накоплению вычислительных ошибок, обусловленных декогеренцией, связанной с применением СТО. Точные границы применимости СТО указать так же сложно, как и определить величину фундаментальной длины дискретного пространства. Грубо говоря, границы применимости СТО можно определить так: если применение СТО приводит к парадоксам, следует использовать дискретное пространство и квантовомеханическое описание. Одной из актуальных проблем физики является квантовомеханическое обобщение СТО на гравитацию, которая в классическом случае описывается общей теорией относительности. Такое обобщение на случай квантовой механики, по-видимому, может быть связано с дальнейшим отказом от используемых постулатов, например от трансляционной инвариантности дискретного пространства. Экспериментальным подтверждением дискретной природы гравитационного поля являлось бы наблюдение электромагнитного излучения элементарных частиц в сильном гравитационным поле. В силу дискретности пространства эта частота будет равна блоховской частоте w = m0Ga, где G - напряжённость гравитационного поля, которое может достигать планковских величин вблизи сингулярностей. Настоящую заметку можно бесконечно расширять за счёт изысканного математического формализма и глубоких философских размышлений о природе пространства и времени. Это мы оставляем желающим погрузиться в затронутую тематику. В изложенном материале совсем отсутствует литература и ссылки на неё. Это сделано по причине бесчисленного числа публикаций по рассмотренным вопросам, которые легко найти в интернете. Список литературы при этом представлял бы собой многотомное сооружение, заведомо делая такую затею бессмысленной. 18 18 6 5 6 6 7 7 8 9 (14) 8 9 (14) 8 9 (14) 8 9 (14) 8 9 (14) 8 9 (14) 10 9 (14) 10 9 (14) 11 11 12 11 12 13 14 1= 15 16 1= 13 14 1= 13 14 1= 13 14 1= 13 18 1= 17 20 22 23 1. Introduction The purpose of this paper is to discuss some difficulties in reconciling quantum mechanics and the special theory of relativity (SRT). Apparently, the most striking ideological contradiction is the Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) paradox, which demonstrates the non-local nature of interaction in quantum mechanics. Another equally striking evidence of the contradiction is the demonstration of the superluminal velocity of particle movement in tunneling processes. The special theory of relativity, which underlies classical physics, has never been doubted by the qualified majority of physicists. It followed that quantum mechanics had to undergo some modification. Such a modification was carried out a hundred years ago by Dirac, who postulated the relativistic equations of quantum mechanics. These equations themselves contained a number of irremediable contradictions, which had to be accepted for lack of anything better. Among them, first of all, is the equality of the eigenvalues of the velocity operator to the value of the speed of light. Another fundamental contradiction is the appearance of antiparticles in the original single-particle Dirac equation. These contradictions were automatically transferred to the relativistic quantum field theory, which postulates the commutativity of field operators for spatially similar intervals, which is necessary for the implementation of cause-and-effect relationships. All attempts to correct quantum mechanics remained unsuccessful. The validity of the conclusions of quantum mechanics was confirmed by numerous experiments, of which the most important were experiments to verify Bell's inequalities. It followed that something was wrong not with quantum mechanics, but with SRT. Within the framework of the postulates on which SRT is based, and which, like quantum mechanics, is confirmed by many experiments, nothing can be changed either. This means that some postulates of the theory of relativity, should be abandoned in order to reconcile it with quantum mechanics, and such an abandonment should be quite radical. 2. Preliminary Remarks We will proceed from the fact that, since classical mechanics is only a limiting case of quantum mechanics, then SRT is also its limiting case. SRT, in turn, is based on the concept of space and time. However, the concept of space does not appear in the original postulate of quantum mechanics, describing the evolution of the wave function. Indeed, in the most general case, such an equation has the form: i? ?/?t|? ??=H ?|? ?? (1) where Hamiltonian H is written as: H ?_кв=?_(i,j)??v_ij |? i? ? ?j?| (2) The indices i and j both discrete and continuous, define an infinite-dimensional matrix that determines the evolution of the Dirac vectors |? ?? . Thus, equation (1) describes not the motion of particles in space, but the evolution of their states in time. Of course, equations (1), (2) can be transformed to the evolution of the wave function in ordinary coordinate space, but this will only be a special limiting case of these equations. The use of postulate (1), (2) instead of a spatial description removes many questions and paradoxes. In particular, the question of the possibility of superluminal speed in such a formulation becomes meaningless, since there is no space. The comparison of some of the set of indices i with spatial coordinates is only a convention accepted for describing phenomena in space. Numerical modeling of the evolutionary processes described by (1), (2) leads to the fact that if the state of a particle at the initial moment of time corresponded to i, then at any other moment of time there is a non-zero probability of finding the particle in some state j. When interpreted spatially, these indices can correspond to the idea of superluminal motion, for example, the tunneling of a particle with a superluminal velocity. The idea of SRT about simultaneous events in the absence of a spatial description is also meaningless. In quantum theory, there is an absolute uniform time, which leads to a natural explanation of the EPR paradox: all particles are connected to each other regardless of whether the interval is time-like or space-like when introducing a spatial description. In the approach under consideration there are no time paradoxes at all, such as the possibility of a time machine: you can return to the past, but this will be a return to exactly the state that corresponded to that past, that is, “killing grandfather” is simply impossible. 3. Formalism The formalism of quantum mechanics is based on the concept of a state |? ?? and a superposition of states. According to the principle of superposition of states, the superposition of any states of a system taken with arbitrary (in the general case, complex) coefficients is also a state of the system. In other words, the states of the system form a linear vector space. This makes it possible to use a formal mathematical apparatus for linear vector spaces. We will denote the state vector by the symbol |? ?_i ? if the system is in a state in which the physical quantity F has a certain value ?i. Such a state is called an eigenstate, and ?i is an eigenvalue. In addition to addition and multiplication by a complex number, the state vector can be projected onto another vector. In other words, it is possible to form a scalar product |? ?? with any other vector |? ??, which is denoted as ??'?|? ?? and is a complex number, and: ???'?|? ??=???|? ?'??^*. (3) In a particular case |? ?^' ?=|? ?? the scalar product is a positive number and determines the norm of the vector. In quantum mechanics, each physical quantity F corresponds to a linear Hermitian operator F ?, whose eigenvalues are the possible values of a physical quantity, and whose eigenvectors are its eigenstates: F ?|? ?_i ?=?_i |? ?_i ?. (4) The eigenvectors |? ?_i ? of a Hermitian operator belonging to different eigenvalues are orthogonal to each other, i.e. ??_i ?|? ?_j ?=0, i?j. From them, one can construct an orthogonal basis in the state space, normalized to unity: ???|? ??=1. An arbitrary vector |? ?? can be expanded in this basis: |? ??=?_??c_? |? ??. (5) To normalize the state vector |? ?? to a unit, the expansion coefficients c_? satisfy the relation: ?_???|c_? |?^2 =1. (6) The sign of the sum in formulas (5), (6) means summation over a discrete and integration over a continuous spectrum of values. In the case of a continuous spectrum of values, the vectors are assumed to be normalized to the ?-function: ???|? ?^' ?=?(?-?'). From (5), (6) it follows that in the expansion (5) of an arbitrary state vector |? ?? of a physical quantity F the values of |?c_? |?^2=|??|? ? ?? |^2 are equal to the probabilities of detecting the system in states |? ??, i.e. the probabilities that when measuring F, its value will be equal to ?. Any linear operator chosen in the basis |? ??, can be represented by a matrix, in particular, the matrix elements of a Hermitian operator F ? have the form: F_(?_i,?_j )=??_i |F ? ?|? ?_j ? (7) and satisfy the relations: F_(?_i,?_j )=F_(?_(j?,??_i ))^*. For |? ??, which are eigenvectors of the operator F ?, the matrix corresponding to it is diagonal. If we compare an arbitrary vector |? ?? with a column of coefficients: |? ??=(?(c_1@c_2@?)) (8) in the chosen basis (5), then the action of the operator, on |? ??: is reduced to matrix multiplication. The vector |? ?'? resulting from such an action may differ from |? ?? in length and direction, i.e. it is a column in which, instead of coefficients сi, there are coefficients c_i^' corresponding to the coordinates of the vector |? ?'? in the same basis: c_i^'=?_j??F_ij c_j ?. Accordingly, the conjugate vector in a given basis is written as: ??'?|=(?c_1^'?^*,?c_2^'?^*,?) (9) so that the scalar product: ??'?|? ??=????c_1^'?^* c_i ? (10) is calculated according to the rules of matrix multiplication and, in the case of equality of |? ?'? and |? ?? leads to the normalization condition (6). If we choose an orthonormal basis of unit vectors as the basis vectors of the state: |? i?=(?(?(0@?@0)@1_i@?(0@?@0))) (11) then any linear operator F ? in this basis can be represented as: F ?=?_(i,j)??|? i? ? ?j?| (12) using the rules of matrix multiplication for (11) it is easy to verify that (12) is a matrix with matrix elements F_ij: ?_(i,j)^N??F_ij |? i??j?|?=(?(?(F_11&F_12@F_21&F_22 )&?(?&F_1N@?&F_2N )@?(?&?@F_N1&F_N2 )&?(?&?@?&F_NN ))). (13) In quantum mechanics, the state of a system is determined by specifying a set of physical quantities that characterize the system – the so-called complete set. Any vector of the system’s state can be represented as a decomposition into states |? ?? of a complete set chosen by us, where ? is the set of eigenvalues of the quantities included in this complete set. If ? is a set of eigenvalues of the quantities that make up another complete set chosen to describe the same physical system, then in this new representation: |? ??=?_??b(?) |? ??, b(?)=??|? ??? (14) the coefficients b(?) satisfy condition (6), i.e. |b(?)|^2 are equal to the probability of finding the system in the state ?. Thus, the coefficients b(?) have the meaning of the wave function of the system in the representation of ?, which are related to the wave function c(?) in the representation of ? by the relation: b(?)=?_????|? ??? c_?. (15) 4. Quantum Mechanics of a Relativistic Particle Let us apply the outlined general scheme of quantum mechanics to describe a relativistic quantum particle and, as an example, obtain an equation that, corresponds to the one-dimensional Dirac equation in the space-time description. For this purpose, let us consider a one-dimensional discrete regular lattice. To describe the states of a particle in a chain, we will proceed from the Hamiltonian H ?=?_(i,j)??_(i,j) |? i??j?|, (16) where matrix elements ?_ij are independent of time. The Schr?dinger equation for the wave function of a particle |? ?? has the form: i ?/?t|? ??=H ?|? ??. (17) We will seek the wave function of a stationary state for which the probability of finding a particle at any site in the chain does not depend on time in the form: |? ?(t)?=e^(-iWt) |? ??, (18) where the wave function |? ?? does not depend on time, we assume that Planck's constant is equal to 1. Substituting (18) into (17) leads to an equation for determining the eigenvalues of the particle energy W: W|? ??=H ?|? ??. (19) Let us denote by Wk the energy of the k-th state of the particle, corresponding to the wave function |? ?_k ?, which we will seek in the form: |? ?_k ?=?_n?R_nk |? n?, (20) where the summation is performed over all sites of the chain. For the Hamiltonian (16), the eigenvalue equation (19) with the wave function (20) takes the form: W_k R_nk=?_(n^')??_(nn^' ) R_(n^' k). (21) Let us consider the case when the matrix elements ?_(nn^' ) are nonzero only if n^'=n-1, n, n+1. In this case, from (21) we obtain: W_k R_nk=?_n R_nk+?_(n,n+1) R_(n+1,k)+?_(n,n-1) R_(n-1,k). (22) We will look for a solution to equation (22) in the form: R_nk=Cexp(ikn). (23) We will consider in the equation for the eigenvalues (22), assuming for even and odd sites of the chain: n=2j: ?_(n,n)=?_(2j,2j)=-m_0, ?_(n,n+1)=?_(2j,2j+1)=?, (24) ?_(n,n-1)=?_(2j,2j-1)=-? n=2j+1: ?_(2j+1,2j+1)=m_0, ?_(n,n+1)=?_(2j+1,2j+2)=-?, ?_(n,n-1)=?_(2j,2j-1)=?, j=0, ±1,±2,……. As a result, from (24) we obtain: W_k R_(2j,k)=-m_0 R_(2j,k)+?R_(2j+1,k)-?R_(2j-1,k) (25) W_k R_(2j+1,k)=m_0 R_(2j+1,k)-?R_(2j+2,k)+?R_(2j,k) We will look for solutions of the system of equations (25) in the form: R_(2j+1,k)=u_2 exp[ik(2j+1)], (26) R_(2j,k)=u_1 exp[ik2j], Substituting (26) into (25) leads to the equations: (W_k+m_0 ) u_1=?(e^ik-e^(-ik) ) u_2 (27) (W_k-m_0 ) u_2=?(e^(-ik)-e^ik ) u_1 Hence, for the spectrum, we obtain the expression: W_k=±?(m_0^2+4?^2 sin^2 k) (28) For a massless particle m_0=0 and small k, the spectrum (28) must correspond to the photon energy. Thus, from (28) it follows that for this to happen 2?=c, must be satisfied, where c is the speed of light. In dimensional units 2|?|=?c/a, where ? is the Planck constant, a is the lattice constant. As a?0 from (28) follows the relativistic expression for the particle energy: W_k=±?(m_0^2 c^4+?^2 k^2 c^2 ) , (29) which does not depend on the value of a. Thus, in dimensional form, the dynamic Dirac equation corresponding to (25) takes the form: i? (?R_2j)/?t=-m_0 c^2 R_2j+?c/2a R_(2j+1)-?c/2a R_(2j-1) (30) i? (?R_(2j+1))/?t=m_0 c^2 R_(2j+1)-?c/2a R_(2j+2)+?c/2a R_2j To bring the Dirac equation to its usual form in spatial description, we denote: R_(2j+1,k)=R_k^((1) ) (j) (31) R_(2j,k)=R_k^((2) ) (j) We will consider R_k^((1) ) (j) and R_k^((2) ) (j) to be smooth functions of j. In this case, equations (30) will take the form: W_k R_k^((1) ) (j)=m_0 R_k^((1) ) (j)-2? d/dj R_k^((2) ) (j) (32) W_k R_k^((2) ) (j)=?-m?_0 R_k^((2) ) (j)+2? d/dj R_k^((1) ) (j) or introducing the Pauli matrices: ?_1=(?(0&1@1&0)), ?_2=(?(0&-i@i&0)), ?_3=(?(1&0@0&-1)), R=(?(R^((1) )@R^((2) ) )) (33) from (32) we get WR=?_3 R+2? d/dx i?_2 R (34) In dimensional form, the 1d Dirac time equation has the form: i? ?R/?t=m_0 c^2 ?_3 R+ic??_2 dR/dx (35) where x=ja, the function R satisfies the normalization condition. Note that, depending on the choice of matrix elements (24), under the condition that it is Hermitian, there are different forms of writing the one-dimensional Dirac equation. In Dirac's interpretation, negative energies correspond to an unobservable "Dirac sea" filled with electrons, against the background of which particles with positive energy are described. Unlike Dirac, for a finite value of the lattice constant a, the energy of the particle (28) is limited from above and below and consists of two zones of continuous energies separated by an energy gap, the minimum value of which is equal to 2m_0. Here there is a complete analogy with intrinsic semiconductors, in which the lower zone is a completely filled valence band, and the upper one is a free conduction band. The minimum energy required to transfer a particle from the valence band to the conduction band is equal to 2m_0. 5. Coordinate, Velocity, Momentum operators As an example, we give expressions for the operators of the coordinate, velocity and momentum of a particle in discrete quantum mechanics. By introducing the coordinate operator x ?: x ?=?_n??n|? n? ? ?n?|, (36) we find the velocity operator V ? from the quantum mechanical relation for the commutator: iV ?=[x ?,H ? ]=x ?H ?-H ?x ?. (37) Substituting (36) and (16) into (37) we express the velocity operator as: V ?=i?_(n,m)??v_(n,m) (m-n)|? n??m|? ? . (38) Thus, the velocity operator is determined by the non-diagonal elements of the matrix v_(n,m) and in the case when v_(n,m) are non-zero only between adjacent sites, that is, in the nearest neighbor approximation, from (38) we obtain: V ?=i?_n?(v_(n,n+1) |? n??n+1|?-v_(n,n-1) |? n??n-1|?) . (39) The momentum operator P ? should be determined from the commutation relations: [P ?,x ? ]=P ?x ?-x ?P ?=-i?I ? , (40) where I ? is the identity matrix, the operator x ? is defined by expression (36). In the finite-dimensional case, however, it is impossible to construct a momentum operator satisfying the commutation relations (40). This is due to the fact that the matrices A and B of finite rank have the property: SpAB=SpBA and, therefore, the spur taken from the left-hand side of equality (40) is equal to zero, and on the right, the spur from the identity matrix is equal to the dimension of the finite-dimensional space. When passing to the continuum limit, however, that is, for matrices of infinite rank, such an operator can be introduced. It is easy to verify that it has the form: P ?=-i??_n??/?x|? n??n?| . (41) In dimensionless variables, the eigenvalue of such an operator will be the wave number k, while for the velocity operator in a finite-dimensional Hilbert space, the eigenvalue of the velocity operator will be the quantity |?|=2?sink. In dimensional units, this corresponds to |?|= csink from which it follows that the speed of light when passing on to a spatial description is the limiting speed. 6. Two-body Problems and Anyons In both classical and quantum relativistic mechanics, the problem of even two bodies cannot be solved, since in continuum space the relativistic problem of two bodies cannot be reduced to a single-particle problem. This is due to the fact that if we use the special theory of relativity and introduce the concept of time for one of the particles, it becomes unclear how to introduce time for the second particle and write the corresponding dynamic equations. In the case of a discrete space, this is quite easy to do. Choosing the wave function of two particles in the form: |? ??=?_(i,j)???_(i,j) |? 0,…,1_i,0,…1_j,0,…? ? For the coefficients ?_(i,j) we get: v(??)_ij+v_ij ?_ij=?(-1) ??_ij/?t where v_ij are the interactions of particles located at sites i and j, (??)_ij is the discrete Laplace operator: (??)_ij=?_(i-1,j)+?_(i+1,j)+?_(i,j-1)+?_(i,j+1) Accordingly, the probability of finding particles at point i is determined by the expression P_i (t)=?_j?|?_ij (t)|^2 Thus, the two-body problem in a 1d lattice becomes equivalent to the one-body problem in a 2d lattice. In the 1d case under consideration, there is no concept of a particle spin. The concept of fermions and bosons is preserved in 1d. In the two-body problem, the limit v_ii=? corresponds to fermions, and the limit v_ii=0 corresponds to bosons. The finite values of v_ii correspond to anyons that have not been observed in the world of elementary particles, but have meaning in condensed matter physics by introducing an anyon phase multiplier into the permutation relations: |? n,m?=e^i? |? m,n? where ?=? corresponds to Fermi-Dirac statistics, and ?=2? to Bose-Einstein statistics. Discussion The question of the EPR paradox, superluminal tunneling and wave function reduction are in fact questions of the same nature. For their consistent description, the approach under consideration assumes the use of a discrete space. This approach, using the Holstein, Hubbard, Su-Schrieffer-Heeger and other models, has long been used in condensed matter physics. An experimental test of the discrete nature of space can be cosmological observations. Due to the dependence of the speed of light on the granularity of space, its value for photons of different energies will be different. This follows from the fact that, according to (28), at m_0=0 the group velocity of a photon v = ccoska, i.e. it decreases with increasing energy. In terrestrial conditions, direct confirmation of the possibility of superluminal speed can be obtained in tunnel experiments if a large concentration of particles is created to the left of the tunnel barrier, of which at least one will be recorded to the right of the barrier in a time shorter than the time it takes for light to pass through the region occupied by the barrier. The approach considered leads to numerous new effects that have apparently never been discussed in the literature. So, for example, due to the finiteness of the magnitude of the possible particle energy determined by (28), it is possible to observe such a phenomenon as Bloch oscillations of elementary particles in superstrong electric fields with a frequency of w = eEa, where E is the electric field intensity. The presence of such oscillations leads to the possibility of emitting ultra-low frequency electromagnetic waves. This radiation can be observed in collision experiments of elementary particles, such as protons, the electric field intensity inside of which is millions of times higher than intra-atomic ones. The motivation for writing this article was the intensive development of such industries as quantum computers and quantum computations. It is generally assumed that any theory is approximate, since an exact theory must be relativistic. However, this does not apply to quantum computers, which operate based on the properties of entangled states. Taking into account relativistic corrections in the theory of quantum computations would make it impossible to carry out such calculations. Relativistic corrections would lead to a rapid accumulation of computational errors due to decoherence associated with the use of SRT. It is also difficult to specify the exact limits of applicability of SRT as well as to determine the value of the fundamental length of a discrete space. Roughly speaking, the limits of applicability of SRT can be defined as follows: if the application of SRT leads to paradoxes, a discrete space and a quantum mechanical description should be used. One of the current problems of physics is the quantum-mechanical generalization of SRT to gravity, which in the classical case is described by the general theory of relativity. Such a generalization to the case of quantum mechanics, apparently, can be associated with a further rejection of the postulates used, for example, from the translational invariance of discrete space. An experimental confirmation of the discrete nature of the gravitational field would be the observation of electromagnetic radiation from elementary particles in a strong gravitational field. Due to the discreteness of space, this frequency will be equal to the Bloch frequency ?w=m?_0 Ga , where G is the intensity of the gravitational field, which can reach Planck values near the singularities. This note can be expanded infinitely by means of sophisticated mathematical formalism and deep philosophical reflections on the nature of space and time. We leave this to those who wish to immerse themselves into the subject matter. The material presented is completely devoid of literature and references to it. This is done because of the countless number of publications on the issues considered, which are easy to find on the Internet. The list of references would be a multi-volume construction, making such an undertaking pointless. 1 19 538.945 QEJYEX одномерное уравнение Дирака операторы скорости и координаты блоховские осцилляции энион one-dimensional Dirac equation velocity and coordinate operators Bloch oscillations anyon https://keldysh.ru/papers/2025/prep2025_23.pdf https://keldysh.ru/papers/2025/prep2025_23_eng.pdf