1-26 RAR 1837-4908 0000-0002-2450-0224 Голубев Юрий Филиппович Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН golubev@keldysh.ru Golubev Y.F. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS 1034-9397 0000-0001-8657-722X Корянов Виктор Владимирович Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН korianov@keldysh.ru Korianov V.V. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS Перевернутый маятник на колесе без обода Inverted pendulum on a rimless wheel Исследовано управляемое качение колеса без обода со штангой, прикреплённой к центру колеса. Колесо может катиться как вверх, так и вниз по склону. В качестве управления взят угол отклонения штанги от опорной спицы колеса. Найдены оптимальные для разгона колеса законы управления штангой, удовлетворяющие геометрическим ограничениям системы. Построены последовательность и диаграммы Пуанкаре для угловой скорости вращения колеса при смене опорных спиц, и выявлены условия существования неподвижных точек на диаграммах в зависимости от углов наклона штанги. The controlled rolling of a rimless wheel with a rod attached to the center of the wheel is investigated. The wheel can roll both up and down the hill. The angle of deflection of the rod from the wheel support spoke is used as a control. The optimal laws of rod control for wheel acceleration satisfying the geometric constraints of the system are found. A sequence and Poincare diagrams are constructed for the angular velocity of rotation of the wheel when changing the support spokes and the conditions for the existence of fixed points on the diagrams depending on the angles of inclination of the rod are revealed. Введение В препринте исследуется возможность управления движением колеса без обода посредством изменения положения штанги, прикрепленной к центру колеса. Колесо без обода позволяет создать простейшую математическую мо­дель двуногой ходьбы, а различные аспекты его пассивного движения под действием силы тяжести уже подробно исследованы [1–6]. Показано, что устой­чивое безостановочное пассивное движение с постоянной скоростью может возникать при движении колеса вниз по склону, рассмотрены варианты, ко­гда движение происходит по наклонной прямой, наклонной плоскости, спицы колеса снабжены стопами и коленями. Вместе с тем пассивное стационарное движение колеса без обода в горизонтальном направлении, а тем более вверх по склону, даже при наличии начальной скорости невозможно из-за невоспол­нимых потерь кинетической энергии при ударе спиц об опорную поверхность. В этом случае нужен дополнительный источник энергии, компенсирующий эти потери. Одним из эффективных внешних источников энергии может слу­жить сила тяжести, как это показано, например, в работах [7, 8]. Для этого достаточно за счёт внутренних сил иметь возможность управляемо изменять конфигурацию системы и тем самым в нужном направлении менять положе­ние вертикальной проекции центра масс системы на опорную поверхность. Колесо без обода со штангой, прикрепленной к центру колеса, представляет собой простейшую модель двуногого робота. Если штанга, находясь в своем верхнем положении, мало отклоняется от вертикали, то система отдаленно напоминает конфигурацию человеческого тела. Изменяя наклон штанги от­носительно вертикали, можно смещать положение центра масс системы и тем самым нужным образом влиять на движение колеса. По сути в одно­опорной фазе движения система представляет собой двухзвенный маятник в окрестности вертикального неустойчивого положения равновесия. В такой конфигурации система уже будет способна преодолевать препятствия типа лестницы, что делает её интересной с медицинской точки зрения. Она отно­сится к разряду систем с дефицитом управления по одной степени свободы, теория которых развита в работах [9–13]. В данной работе исследуется движение системы в вертикальной плоскости. Его можно интерпретировать как последовательность отдельных шагов, осуществляемых спицами колеса. Целью управления служит максимальное увеличение угловой скорости колеса за один шаг, а также уменьшение по­терь энергии качения на последовательности шагов. Геометрически положе­ние штанги ограничивается только тем, что она не должна пересекать опор­ную поверхность. Другие ограничения могут возникать из соображений без­опасности и возможности реализации требуемого управления. Работа продол­жает цикл исследований, представленных в [14]. В препринте изучена упрощенная динамическая модель движения системы штанга на колесе без обода, которая находится на наклонной опоре. Най­дены условия, при выполнении которых штанга вызывает движение колеса вверх по склону, в том числе и из положения равновесия. Выполнено каче­ственное исследование полученных уравнений движения. Найдено оптималь­ное управление движением штанги в одноопорной фазе движения. Построе­но отображение Пуанкаре для последовательности шагов колеса, и выявлены условия существования неподвижных точек отображения. Дана оценка мак­симального управляющего штангой момента в зависимости от параметров системы. 1. Кинетический момент и силовая функция системы Колесо без обода, рассматриваемое как абсолютно твёрдое тело, представ­ляет собой однородный центральный диск, к которому по периферии равно­мерно прикреплены одинаковые однородные радиальные спицы длины l от центра колеса до края спицы. Угол между спицами пусть будет 2 > 0. Он предполагается одинаковым для любой пары спиц (см. рис. 1). Масса коле­са равна M, его осевой момент инерции относительно конца спицы равен I, а центр масс колеса совпадает с центром диска. К центру диска шарнирно прикреплена штанга массы m. Центр масс штанги расположен в точке C на расстоянии aот центра колеса. Момент инерции штанги относительно её цен­тра масс обозначим J. На систему действует сила тяжести с ускорением g, реакция опоры, а также управляющий момент между колесом и штангой. Рис. 1: Перевёрнутый маятник на колесе без обода Направим ось Ax из точки A вдоль опорной прямой к точке B. Ось Ay расположим в вертикальной плоскости, проходящей через точки Aи B, и на­правим её вверх перпендикулярно к опорной прямой. Ось Az дополняет си­стему координат до правой. Колесо одномоментно может иметь одну или две точки опоры на оси Ax. Пусть наиболее удалённая от A точка опоры колеса имеет координату x. Угол ' образован вертикалью, проходящей через точку опоры с координатой x, и соответствующей опорной спицей и отсчитывается от вертикали. Угол между штангой и продолжением спицы, опирающейся в точке (x,0), характеризует положение штанги относительно колеса. Колесо может совершать движение лишь в связанной с опорной прямой AB верти­кальной плоскости, содержащей точки Aи B(рис. 1). Изменяя угол , можно управлять движением колеса. Цель управления состоит в том, чтобы выве­сти колесо из положения равновесия с опорой на две спицы и заставить его катиться по прямой AB. Для определенности и без потери общности будем считать, что колесо катится от точки A к точке B, так что его перекатыва­ние будет всегда происходить через точку опоры (x,0), наиболее удалённую от точки A. Кинетический момент колеса относительно точки (x,0) выражается ра­венством Kr = I'.. Координаты и скорости центра масс штанги имеют вид xb = x.lsin('. ). asin(. ),yb = lcos('. )+acos(. ), (1.1) x.b = .l'.cos('. ).a.cos(. ),y.b = .l'.sin('. ).a.sin(. ), где = '+ есть угол между штангой и вертикалью. Кинетическая энергия системы выражается формулой '.2 (.'+ .)2 T =(I + ml2)+ mal '.(.'+ .)cos +(J + ma 2)(1.2) 22 или .2 2 T= '.2 [I+m(l2+2alcos +a 2)+J]+.' .[m(alcos +a 2)+J]+ (ma +J). (1.3) 22 Напишем выражение для кинетического момента K системы относительно точки (x,0) : K = ez{I'.+ m[l'.(l+ acos )+a(.'+ .)(a+ lcos )]+J(.'+ .)}, где ez . единичный вектор оси Az. Или @T K == K · ez = '.[I + ml(l+ acos )]+.[J + ma(a+ lcos )]. (1.4) @' .Силовая функция U системы дается выражением U = .g[(M + m)lcos'+ macos]. (1.5) 2. Равновесие колеса с вращающейся штангой Пусть колесо первоначально стоит на месте, опираясь на две спицы в точ­ках опоры (x. 2lsin ,0) и (x,0) соответственно, а штанга может вращать­ся. Требуется определить, при каких параметрах штанги и каком режиме её вращения можно заставить центр масс колеса пройти над точкой опоры без остановки. Для неподвижного колеса '.. 0, '= ' 0 = + #, а уравнение ки­нетического момента относительно неподвижной точки (x,0) принимает вид .[J + ma(a+ lcos )]= .2Nylsin + g[(M + m)lsin' 0+ (2.1) +masin(' 0 + )]+ .2malsin , где Ny . проекция реакции балки на ось Ay в точке опоры (x. 2lsin ,0). Связь между спицей и опорной прямой в точке опоры будем считать осво­бождающей. Необходимое условие неподвижности колеса состоит в том, что должно быть выполнено Ny . 0. Если Ny < 0, то колесо не может оставаться в покое, а будет вращаться вокруг точки (x,0). Когда штанга не вращается, равенство (2.1) упрощается 2Nylsin = g[(M + m)lsin' 0 + masin(' 0 + )]. Таким образом, неравенство (M + m)l sin(' 0 +)..sin' 0 (2.2) ma охватывает все положения штанги, при которых возможно равновесие коле­са вместе с неподвижной относительно колеса штангой. Оно, очевидно, будет выполнено для всех значений угла , если оно окажется выполненным при ' 0 += ../2, и в этом случае выведение колеса из состояния покоя воз­можно только в динамическом режиме, когда штанга в начальный момент получает достаточное угловое ускорение. Заметим здесь, что динамический режим не очень удобен, если угловое положение штанги ограничено, и надо следить, чтобы это ограничение не нарушалось. Если при ' 0 += ../2 условие (2.2) не выполняется, то найдутся постоянные углы , при кото­рых колесо не сможет оставаться в покое и начнёт движение. Таким образом, условие управляемости движением колеса посредством изменения положения штанги имеет вид aM + mM + m > sin' 0 = sin( + ), (2.3) lm m и означает, что длина штанги должна быть достаточно большой и тем боль­ше, чем круче наклонная плоскость. Другими словами, равновесие может быть нарушено тогда, когда сила тяжести системы способна создать отри­цательный момент относительно точки опоры (x,0). Это и происходит, если выполнено (2.3) и (M + m)l sin(' 0 +)<.sin' 0, ma что говорит о том, что для возможности поворота колеса вокруг точки (x,0) необходимо, чтобы центр масс штанги оказался вынесен вправо относительно вертикали, проходящей через эту точку на достаточно большое расстояние. Справедлива теорема Теорема 2.1. Для любых значений параметров am pa = > 0,pm = , 0 <pm < 1 (2.4) lM + m найдутся углы > 0 и > 0, удовлетворяющие неравенству (2.3). Доказательство. Неравенство (2.3) можно переписать в виде sin( + )<papm. (2.5) Если papm > 1, то утверждение теоремы очевидно. Если же papm . 1, то тогда утверждение теоремы следует из свойства монотонности функции arcsin(papm). Следствие 2.1. Чем меньше сумма + , тем легче удовлетворяет­ся неравенство (2.5). В частности, оно выполняется для любых pa > 0 и 0 <pm < 1, если =0 и . 0, то есть колесо с ободом ( = 0) катится либо по горизонтальной, либо по наклонной вниз прямой. Параметр pa ограничивает снизу длину штанги, так как центр масс штан­ги всегда располагается внутри самой штанги. Если углы и заданы, то параметры pa и pm связаны соотношением sin( + ) pa . , (2.6) pm которое выделяет на рис. 2 область D допустимых значений указанных па­раметров. Положение штанги в пространстве, пригодное для разгона колеса, будет соответствовать отрицательным значениям угла . В пределах одного отри­цательного полуоборота будем иметь M + m ... ' 0 + < <.' 0 . , = arcsin lsin' 0 . (2.7) ma Рис. 2: Область допустимых значений параметров pa и pm Кроме того, следует учесть, что штанга должна находиться в верхней полу­плоскости относительно оси Ax и не может иметь пересечения с этой осью. Пусть d>a . длина штанги. Тогда должно быть выполнено неравенство lcos + dcos( +)>0. Оно заведомо выполняется, если d<lcos . Если d . lcos , то в пределах одного оборота штанги решение этого неравенства, соответствующее положи­тельному вращению штанги, записывается следующим образом: l . < <.. . arccos cos , d а решение, соответствующее отрицательному вращению штанги, имеет вид l ... + arccos cos <<. . (2.8) d Последнее решение наиболее интересно, если учесть желаемое направление движения колеса в сторону точки B. При выполнении неравенства l . . arccos cos (2.9) d наименьшая граница неравенства (2.8) не меньше наименьшей границы нера­венства (2.7). Таким образом, пересечение областей, выделяемых неравен­ствами (2.7) и (2.8), записывается следующим образом: . <<.(' 0 + ), (2.10) где . l . . ... ' 0 + , < .arccos cos , . d . = (2.11) . ll . . ... +arccos cos , . .arccos cos . dd 3. Управление штангой в одноопорной фазе движения Уравнение изменения кинетического момента относительно точки (x,0) принимает вид dK = g[(M + m)lsin'+ amsin], (3.1) dt где K определено формулой (1.4), = '+ . угол между штангой и вертика­лью (см. рис.1). Полученное уравнение свидетельствует о том, что рассмат­риваемая механическая система имеет дефицит управления по координате '. Применим к ней теорию, развитую в работах [9–13]. Характеристическая функция f в данном случае принимает вид f =[I + ml(l+ acos )]+(1+ ' )[J + ma(a+ lcos )], (3.2) ' где = d /d'. Пусть движение колеса происходит в направлении от точки Aк точке B. Поставим задачу за счет управления функцией (')обеспечить минимум отрицательной угловой скорости колеса '.при заданном финальном значении угла ' = '. = . + . Указанное значение '. соответствует воз­никновению очередной новой точки опоры из-за вращения колеса. Из теории, изложенной в работе [12], следует, что при f> 0 такое управление выража­ется формулой .m = argmin (sin), (3.3) ... где область ..определена неравенствами ..= { : .. <<. }, (3.4) причём . l . . ..+ , < .arccos cos('. ) , . d . .= (3.5) . lcos('. ) l . . ..+ +arccos , . .arccos cos('. ) , dd которые аналогичны неравенствам (2.10) и (2.11), но соответствуют случаю, когда опора осуществляется лишь на одну ногу. Минимум функции sinдостигается при = ../2. Поскольку 0< <./2, то первая строка соотношения (3.5) не влияет на выбор минимума этой функ­ции. Следовательно, . .lcos('. ) .m = . , если < . arccos , (3.6) 22 d Если же .lcos('. ) .. arccos , 2 d то . . .lcos('. ) . . . , . ...+ +arccos , . 22 d .m = (3.7) . lcos('. ) .lcos('. ) . . ..+ +arccos , . <..+ +arccos . d 2 d Оптимальное значение угла = m выражается формулой m = .'+.m. (3.8) В формуле (3.7) оптимальное значение .m зависит от '. Для простоты можно несколько сузить область допустимых значений угла . С этой целью отметим, что в процессе движения в интервале времени существования одной и той же точки опоры выполнено неравенство . <'. < . (3.9) Следовательно, lcos('. ) lcos arccos <arccos , dd и мы можем выбирать в качестве оптимального управления m = argmin (sin), (3.10) .. где область . определена неравенствами .= { : .<<. }, (3.11) причём . lcos . . ..+ , . . arccos , . d .= (3.12) . lcos lcos . . ..+ +arccos , > . arccos . dd Если . ., то заведомо выполняется . ... Тогда вместо формулы (3.7) для простоты можно применить приближённую формулу . . .lcos . . . , . ...+ +arccos , . 22 d m = (3.13) . lcos . lcos . . ..+ +arccos , . <..+ +arccos . d 2 d Равенство (3.8) перепишется следующим образом: m = .'+ m. (3.14) ' Поэтому = .1. Формула (3.2) принимает вид m f = fm =[I + ml(l+ acos m)]. Поскольку справедливо соотношение . + . '. + , то неравенство f>0 будет выполнено при mla <1. (3.15) I + ml2 В дальнейшем условие (3.15) наряду с условием (2.3) будем предполагать выполненными. Формула (3.8), так же как и формула (3.14), учитывают лишь ограниче­ние на угол , связанное с тем, что штанга не должна пересекать опорную плоскость. Это основное геометрическое ограничение рассматриваемой зада­чи. Вместе с тем могут иметь место и другие ограничения в зависимости от конструкции механизма и приводов системы. Даже в том случае, когда эти ограничения сводятся к заданию постоянной нижней границы изменения угла , оптимальным будет соответствующее постоянное значение, которое по-прежнему будем обозначать = m: . . . ., . . . . . , . 22 m = (3.16) . . min , . . . . . , . 2 где ... . . область допустимого изменения угла , учитывающая допол­нительные ограничения. 4. Безударная фаза движения Если принять оптимальный в области .. закон управления (3.16), то fm =(I + ml2)[1+ccos(m . ')], а уравнение (3.1) можно преобразовать к виду d p' .{ '.[1+ccos(m . ')]} =(sin'+ bsinm), (4.1) d' где m = const определено формулой (3.13) и ma mla I + ml2 b = (M , + m)l c = I + ml2 < 1, p = g(M . + m)l (4.2) Уравнение (4.1) совпадает с уравнением Лагранжа, соответствующим коор­динате '. Движение определено в диапазоне ' 0 . '. '. ,' 0 = + , '. = . . (4.3) В соответствии с (2.3) принимается также, что b> sin' 0. (4.4) Уравнение (4.1) интегрируется: '. p'.2[1+ccos(m . ')]2 = I, (4.5) 2 ' 0 где '. Z I = (sin'+bsinm)[1+ccos(m. ')]d', ' 0 = + , '. = . . (4.6) ' 0 После преобразований найдем i c I(m)= . 2sin sin . sin(m . 2 )sin2 . 2 (4.7) bl . sinm 2gccos(m . )sin + g+2 . g 2p С учетом того, что ' 0 >'>'., имеем I >0, если подынтегральное выраже­ние в (4.6) отрицательно на интервале интегрирования, т.е. если выполнено неравенство bsinm < . sin' 0 = . sin( + ). (4.8) Из формулы (4.5) получим s p'.2 [1+ccos(m . . )]2 +2I(m) 0 '.. = . . (4.9) p[1+ccos(m . + )]2 В том случае, когда наклон бруса невелик и другие ограничения необреме­нительны, из (3.13) найдём m = ../2, и формулы (4.7) . (4.9) упрощаются: c I(m)= I =(2b+ c) . 2(1+bc)sin sin . sin2 cos2 >0, 2 s (4.10) p'.2 [1. csin( + )]2 +2I 0 '.. = . , b> sin( + ). p[1. csin( . )]2 5. Отображение Пуанкаре При качении колеса координаты точек опоры спиц о балку образуют по­следовательность {xi}, так что xi+1 = xi +2lsin . Пусть безударная фаза движения осуществляется вокруг точки xi с начальной угловой скоростью ' .0 = ' .i. После того, как колесо повернется на угол ' = .2 , очередная спица колеса придёт в соприкосновение с балкой, а колесо будет иметь угло­вую скорость s p'.2 [1. ccos(m . . )]2 +2I(m) i '. .i+1 = . , (5.1) p[1. ccos(m . + )]2 где I(m)вычисляется по формуле (4.7). В новой точке опоры (xi+1,0) про­изойдёт удар. Примем, что при ударе предыдущая точка опоры с координатой (xi,0) мгновенно исчезает и сохраняется только кинетический момент колеса относительно новой точки опоры. Остальная часть кинетического момента теряется из-за удара. Пусть Ki . вектор кинетического момента системы от­носительно опорной точки (xi,0) до удара, а Ki+1 . вектор кинетического момента системы относительно опорной точки (xi+1,0)после удара. Справед­лива формула Ki+1 = Ki . (xi+1 . xi,0,0). (M + m)(.xc,y.c,0), (5.2) где скорости центра масс системы выражаются формулами (M + m)l'.cos('. )+ma.cos(. ) x.c = ., M + m (M + m)l'.sin('. )+ma.sin(. ) y.c = .. M + m Учтем, что в конечный момент безударной фазы движения '= '. = . , i+1 '. ' .=. = .m =0. Тогда с учетом формулы (1.4) и того, что после удара i+1, .отсчет угла 'меняется в связи со сменой опорной ноги, так что '+ = + , i+1 получим параметры системы до и после удара: Ki = '.. [I + ml2 + mlacos(m . + )], i+1 Ki+1 = ' .i+1[I + ml2 + mlacos(m . . )], (5.3) '. '. (M + m)l .cos (M + m)l .sin i+1 i+1 x.c = .,y.c = , M + mM + m где ' .i+1 . угловая скорость вращения колеса после удара, которую требуется найти. Подставив значения (5.3) в формулу (5.2), найдём '. Ki+1 = Ki . 2(M + m).i+1l2 sin2 . (5.4) Видим, что если штанга движется поступательно, то потеря кинетическо­го момента при ударе не зависит от того, какой угол штанга составляет с вертикалью. Таким образом, отсутствует возможность влиять на потерю ки­нетического момента посредством изменения положения штанги. Равенство (5.4) можно переписать следующим образом: '.i++1 = '.i. +1S(m), (5.5) где I + ml2 + mlacos(m . + ). 2(M + m)l2 sin2 S(m)= (5.6) I + ml2 + mlacos(m . . )] . коэффициент преобразования скорости при ударе. Его можно представить в виде 2sin [bsin m + sin ] S(m). S( m)=1. , (5.7) e+ bcos( m . ) где параметры b определены формулами (4.2) и Ic e=1+ . (5.8) (M + m)l2 Угол m = m . отсчитывается от направления оси Ay до штанги. Для рассматриваемого движения этот угол должен быть отрицателен. Если =0, то S( m). 1 независимо от значения m. В этом случае удары вообще отсутствуют. Из формулы (3.15) следует, что знаменатель правой части выражения (5.7) положителен. Следовательно, знак дроби в правой части формулы (5.7) сов­падает со знаком величины D( m)= bsin m + sin . (5.9) В ней первое слагаемое отвечает за изменение скорости вследствие уменьше­ния момента инерции системы при смене точки опоры, а второе . за рассе­ивание энергии в процессе удара. Если > 0 и b<sin , то S( m)<1, а угловая скорость колеса ожидаемо уменьшается при ударе. Пусть выполнено >0,b. sin . (5.10) Тогда существуют значения угла m, при которых S( m)=1. Они удовлетво­ряют уравнению sin sin m = . . (5.11) b Теорема 5.1. Если b>sin , то значения угла m, для которых S( m)>1, лежат в диапазоне sin sin ..+ arcsin < m <. arcsin . S( m)>1. (5.12) bb Доказательство. Из формулы (5.7) видно, что S( m)> 1 - D(m)< 0. Поэтому должно быть sin sin m <. . b В пределах одного оборота по m последнее неравенство будет выполнено тогда и только тогда, когда угол m выбран в диапазоне (5.12). Следствие 5.1. В диапазоне (5.12) функция S( m)имеет единственный максимум, причем . m = argmaxS( m)= ... ., (5.13) где 2bcos .= arcsin , (2e. 1)2 +2(2e. 1)cos2 +1 (5.14) 2e. 1+cos2 . = arcsin . (2e. 1)2 +2(2e. 1)cos2 +1 Доказательство. В пределах одного оборота по углу m уравнение (5.11) имеет два решения: sin sin 1 = . arcsin , 2 = ..+ arcsin . bb В интервале 1 > m > 2 функция S( m)> 1. Следовательно, в указанном диапазоне эта функция имеет хотя бы один максимум. Найдём производную dbsin m + sin ecos m + bcos + sin sin( m . ) = b. d m e+ bcos( m . )[e+ bcos( m . )]2 Экстремумы функции S( m)удовлетворяют уравнению ecos m + bcos + sin sin( m . )=0. (5.15) Это уравнение можно преобразовать к виду (e. sin2 )cos m + sin cos sin m = .bcos , или (2e. 1+cos2 )cos m + sin2 sin m = .2bcos . Применив вспомогательный угол ., определённый формулами (5.14), для ко­торого 2e. 1+cos2 sin. = , (2e. 1)2 +2(2e. 1)cos2 +1 (5.16) sin2 cos. = , (2e. 1)2 +2(2e. 1)cos2 +1 получим уравнение 2bcos sin( m + .)= . , (2e. 1)2 +2(2e. 1)cos2 +1 которое в пределах одного оборота по углу m имеет лишь два корня: 1m = ... ., 2m = ..+ .. ., (5.17) где угол . определён формулами (5.14). Очевидно, что 1m . 2m = .. 2.>0. Кроме того, имеем dS( m) e+ sin . sin2 + b = .2sin <0. d m m=0 [e+ bcos( m . )]2 Следовательно, именно корень 1m представляет собой аргумент единственно­го максимума функции S( m). Корень 2m служит в пределах одного оборота по углу m аргументом минимума указанной функции. Отображение Пуанкаре принимает вид s p'.2 [1+ccos( m . )]2 +2I(m) ' .i+1 = .S( m) i. (5.18) p[1+ccos( m + )]2 6. Свойства отображения Пуанкаре Отображение Пуанкаре (5.18) можно представить в виде '22 '.2 .. i + J , (6.1) i+1 = где S( m)[e+ bcos( m . )] 2sin2 .= =1.. 1, e+ bcos( m + ) e+ bcos( m + ) (6.2) 2S2( m)I(m) J = . p[1+ccos( m + )]2 Замечание 6.1. Отношение e+ bcos( m . ) > 0. (6.3) e+ bcos( m + ) Поэтому S . 0 - . . 0, причем . =0 - S =0. Теорема 6.1. При S> 0 и J. 0 отображение Пуанкаре (5.18) имеет устойчивую неподвижную точку вида r J ' .. = . . (6.4) 1. .2 Доказательство. Неподвижная точка '.. угловой скорости колеса удо­влетворяет уравнению (1. . 2)(.' . )2 = J . Поскольку согласно условию теоремы имеем 0 < . < 1 и J > 0, это уравне­ние имеет положительное решение, которое при . > 0 с учётом выбранного ранее направления движения соответствует формуле (6.4). Для доказатель­ства устойчивости неподвижной точки сделаем замену '.2 i =(.'.)2 +.i. Тогда .i удовлетворяет уравнению .i+1 =. 2.i. Относительно .i получилась монотонно убывающая по абсолютной величине геометрическая прогрессия. Следствие 6.1. Если m не меняется от шага к шагу, то q lim ' .. = ..,' .i| =0 = .'.20 + iJ ,i. N. (6.5) >0 Доказательство. Из формул (6.2) и (4.10) видно, что при > +0 вы­полняется J ( )= O( )и 1. .= O( 2). Поэтому справедливо первое соот­ношение (6.5). С другой стороны, при =0 имеем . = 1 > 0, и равенство (6.1) принимает вид '.2 '.2 i+1 = i + J , откуда и получается вторая формула (6.5). Если угол увеличивается, то . убывает. Теорема 6.2. Значения параметров и m, для которых будет выпол­нено . =0, существуют тогда и только тогда, когда b<e . 3b. Доказательство. Из формул (5.8) и (6.2) следует, что . =0, если углы и m удовлетворяют уравнению i ee e cos( m + )=2sin2 . =1.. cos2 = .. 1+cos2 . (6.6) bb b Это уравнение относительно m имеет решение тогда и только тогда, когда ee .. cos2 .. +2. bb Но согласно (3.15) имеем e>b. Поэтому левая часть полученного неравенства будет выполнена всегда, и решение будет существовать, если значение его правой части не меньше .1. Следствие 6.2. Если e>3b, то . > 0, .( m, ). Доказательство. При e> 3b параметр ., как следует из теоремы 6.2, не может обратиться в ноль, какие бы ни были углы m и . Кроме того, из (6.2) следует, что если =0, то . =1. Замечание 6.2. При . = 0 колесо будет катиться вверх по склону, но приращение скорости, полученное за одноопорную фазу движения, будет пол­ностью съедено. при ударе. Неподвижная точка в этом случае окажется '.. =0, поскольку тогда будет S =0 и J =0. В случае, когда b<e. 3b и i e cos( m + )<.. 1+cos2 , (6.7) b имеем S< 0. При малых значениях |S| это означает, что после соприкос­новения новой опорной спицы с прямой AB колесо из-за удара получит по­ложительную угловую скорость, и новая точка опоры исчезнет. Возникнет вращение вокруг исходной опорной точки. В результате действия силы тя­жести это вращение замедлится, и колесо в конце концов снова ударится об опору. Возникнет некое подобие последовательности ударов с отскоками. 7. Управление штангой Управление по углу можно найти из соответствующего этому углу урав­нения Лагранжа: d [mal '.cos +(J + ma 2)(.'+ .)]= gmasin + Q, dt где Q . управляющий момент, приложенный в точке крепления штанги к центру колеса. Примем во внимание, что оптимальное управление по углу должно обеспечивать равенство '+= m = const. Тогда уравнение для определения Q предстанет в виде d mal [.'cos(m . ')]= gmasin m + Q, (7.1) dt откуда d2 Q = ma .gsinm + l sin('. m) . (7.2) dt2 Это значит, что управляющий момент должен компенсировать момент, созда­ваемый весом штанги и силой инерции от проекции ускорения центра колеса на ось, перпендикулярную к штанге и повернутую относительно штанги в положительном направлении. Уравнение (3.1), описывающее изменение кинетического момента, можно представить в виде d2 (I + ml2)'.. mal sin(m . ')= g[(M + m)lsin'+ amsin m] (7.3) dt2 или в форме, более удобной для интегрирования, dl l [.'(1+ccos(m . '))]= sin'+ gcsinm. (7.4) dtp Полученное уравнение допускает интегрирующий множитель '.[1+ccos(m . ')]. Приняв, что в начальный момент ' 0 = + и ' .0 =0, после умножения на интегрирующий множитель и последующего интегрирования получим ' Z l ' l '.2[1+ccos(m . ')]2 = sin'+ gcsin m [1+ccos(m . ')]d', 2 ' 0 p ' 0 или l ' '.2[1+ccos(m . ')]2 = ' 0 2 i ' (7.5) lc l = . cos'+ cos(m.2') .csinm gcsin(m.'). g+ '. p 42p ' 0 Из уравнения (7.4) также найдем l['.(1+ccos(m . '))+c'.2 sin(m . ')]= l sin'+ gcsin m, p или 1 1 gc .'= sin'+ sinm . c.'2 sin(m . ') . 1+ccos(m . ') p l Кроме того, d2 sin(m . ')= .'2 sin(m . '). .'cos(m . '). dt2 (7.6) Последняя формула вместе с формулами (7.5) и (7.6) дают возможность вы­числить управляющий момент по формуле (7.2). Для неподвижной точки отображения Пуанкаре расчёт величины Q упро­щается. Соответствующая стационарная скорость постоянна. В этом случае центр масс колеса будет испытывать только центробежное ускорение от вра­щения с постоянной угловой скоростью вокруг опорной точки. Следователь­но, Q = ma[.gsinm + l(.' . )2 sin(m . ')]. (7.7) Поэтому . Q = max Q = ma[.gsinm + l(.' . )2]. (7.8) ' 8. Результаты расчётов Для вычислений были выбраны следующие параметры системы. Колесо состоит из центрального сплошного однородного диска радиусом ld =0.1м и массой Md =1кг. Из диска торчат однородные спицы каждая длиной l =0.25м, отсчитываемой от центра колеса, и массой mc =0.01кг. Таким об­разом, центральный момент инерции колеса равен Ic = Mdl2 /2+ mcl2/3, где d . число спиц. Зададим угол =15o. Так что число спиц =12. Следова­тельно, Ic =0.0075 кг м2, а масса колеса составляет M =1.12кг. Угол накло­на опоры примем равным = 15o. Длина штанги d . lcos /sin . 4l. Рас­стояние от центра колеса до центра масс штанги примем a =3l =0.75м. Мас­са штанги равна m= Mpm/(1.pm). Далее согласно ограничению (2.5) имеем pm > sin( + )/p = sin30o/3 =1/6. Поэтому можно принять pm =1/3. То­гда оказывается, что в данном случае m =0.56 кг. Будем считать, что вся масса штанги сосредоточена в её центре масс. В этом предположении момент 2 инерции штанги относительно центра колеса равен J = ma=0.315 кг м2 . Таким образом, согласованные параметры задачи можно взять следующими: l =0.25м,M =1.12кг,Ic =0.0075 кг м2,a =0.75м,m=0.56 кг, (8.1) =15o, =15o,d=0.8м,I =0.0775 кг м2,J =0.315 кг м2 . 0 '. -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18 m -20 .. -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 Рис. 3: Зависимость '.. от m На рис. 3 показана зависимость неподвижных точек отображений Пуан­каре для различных значений углов m. . При m > неподвижные точки отсутствуют из-за того, что наклон штан­ги не позволяет получить достаточное приращение квадрата скорости, и то­ . гда оказывается J < 0. При m . конец штанги находится на или ни­же опорной поверхности. Таким образом, рабочий диапазон изменения по­ложения штанги выглядит как < .m < .. Изображенная зависимость в рабочем диапазоне монотонно возрастает. За пределами рабочего диапазо­на она оказывается немонотонной и имеет минимум в окрестности значения m = .140o. Другими словами, значение m = .90o, локально оптимальное для одноопорной фазы движения, не является оптимальным для отображе­ния Пуанкаре в целом. Причина состоит в том, что в рабочем диапазоне изменения угла m и, в частности, вблизи значения m = .90o коэффициент диссипации S( m) убывает, что хорошо видно на рис. 4. Из-за этого выиг­рыш в угловой скорости, полученный в ходе одноопорной фазы движения за счёт выбора оптимального значения угла , увеличивается при ударе очеред­ной спицы об опору из-за уменьшения момента инерции системы при смене опорных ног. Как уже отмечалось выше, функция S( m) имеет максимум, который для принятого набора параметров задачи не попадает в рабочий диапазон изменения угла m. 2.4 S( m) 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 m 0.4 .. -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 Рис. 4: Зависимость S( m) На рис. 5 представлена зависимость .( m), которая характеризует изме­нение энергии системы при ударе. Видно, что при любом значении m коэф­фициент .( m)< 1, что говорит о рассеивании энергии при взаимодействии спиц с опорой. 1 .( m) 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 m 0.1 .. -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 Рис. 5: Зависимость .( m) На рис. 6 показана зависимость параметра J ( m). В рабочем диапазоне . она монотонно убывает, оставаясь положительной. Но если m > , то возни­кает режим торможения, поскольку здесь J ( m)< 0и отображение Пуанкаре монотонно убывает, не имея неподвижных точек. 180 J ( m) 160 140 120 100 80 60 40 20 0 m -20 .. -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 Рис. 6: Зависимость J ( m) На рис. 7 приведены диаграммы Пуанкаре для значений m = .105o (m = .90o)и m = .30o (m = .15o). Неподвижная точка отмечена кру­жочком. Как и следовало ожидать, разгон колеса при m = .105o проис­ходит более интенсивно, чем при m = .30o. Вместе с тем если небольшая угловая скорость, соответствующая неподвижной точке, годится, то малые углы наклона штанги обладают некоторыми преимуществами по сравнению . с большими углами, так как момент Q в неподвижной точке для малых углов наклона штанги будет меньше, чем для больших. На рис. 8 показана зависимость максимального управляющего момента для неподвижных точек, соответствующих различным значениям угла m. Эта зависимость имеет мак­симум в окрестности значения m = .135o, коррелирующий с минимумом на . графике 3. В рабочем диапазоне изменения угла m функция Q ( m) моно­тонно убывает. На рис. 8 видно, что для принятых значений параметров (8.1) будет вполне достаточно двигателя, развивающего момент, соответствующий силе 5.5 кГс, приложенной к центру масс штанги, для того, чтобы обеспечить работоспособность системы во всём целесообразном диапазоне значений уг­лов m. 0.4 -2 0 0.2 -4 0 -6 -0.2 -8 -0.4 -10 -0.6 -12 -0.8 -14 -1 -16 -1.2 -18 -1.4 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 a): m = .105o b): m = .30o Рис. 7: Диаграммы Пуанкаре 40 . Q [нм] 35 30 25 20 15 10 5 m 0 .. -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 . Рис. 8: Зависимость Q от m Заключение В работе исследована новая задача о динамике колеса без обода с при­крепленной к центру колеса штангой. Штанга имитирует корпус системы, с помощью которого можно разгонять или тормозить колесо, используя для этого силу тяжести. Порезультатам исследования можно сделать следующие выводы. 1. Корпус при двуногой ходьбе может играть активную роль, способствуя движениюаппаратаилизатрудняяего. 2. Для обеспечения максимального ускорения колеса в одноопорной фазе движения штанга должна быть в допустимых пределах максимально отклонена от вертикали в сторону желаемого ускорения колеса. При отсутствии ограничений на наклон штанги она должна составлять с вертикалью прямой угол. 3. Оптимальный в смысле максимума угловой скорости колеса закон управления штангой на последовательности шагов отличается от локально оптимального закона управления, полученного для одноопорной фазы движения. Оптимальный закон требует сохранять положение штанги, соответствующее нижней границе допустимой зоны отклонения штанги от вертикали. 4. Последовательность угловых скоростей при смене опорных ног, сопровождаемойударамиоб опорнуюповерхность,имеетпридостаточномугле наклона штанги устойчивую неподвижную точку, соответствующую стационарной угловой скорости вращения колеса. Стационарная угловая скоростьколесазависитотограниченийнауправление. 5.Установлено,чтосиловойуправляющиймоментзависитлишьотмомента, создаваемого весом штанги, и от момента, создаваемого силой инерции, соответствующей проекции ускорения центра колеса на перпендикуляр к штанге, повернутый относительно штанги в положительном направлении. Найдена расчетная формула для максимального управляющего силового момента, соответствующая стационарному движению колеса в зависимости от углов поворота штанги. 531.38 ALCYDL колесо без обода штанга оптимальное управление склон rimless wheel rod optimal control hill Tad McGeer. Passive Dynamic Walking // International Journal of Robotics Research, vol. 9, no. 2, pp. 62-82, April, 1990.  DOI: 10.1177/027836499000900206 Jean-Paul Laumond, Mehdi Benallegue, Justin Carpentier, Alain Berthoz. The Yoyo-Man // International Symposium on Robotics Research, Sep 2015, Sestri Levante, Italy. <hal-01175591>. Yasushi Iwatani. Dynamics of rimless wheel robots during collision // SICE Journal of Control, Measurement, and System Integration, 15:1, 1-9,  DOI: 10.1080/18824889.2022.2029032 Боровин Г.К., Лапшин В.В. Колесо без обода // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. 2022. № 20. 17 с. , https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2022-20.  DOI: 10.20948/prepr-2022-20 EDN: BXYAUJ Asano F., Luo Z.-W. Asymptotically Stable Biped Gait Generation based on Stability Principle of Rimless Wheel. Robotica, 2009, Vol. 27, No. 6, p. 949-958.  DOI: 10.1017/S0263574709005372 Narukawa T., Takamashi M., Yoshida K. Design and Stability Analysis of a 3D Rimless Wheel with Flat Feet and Ankle Springs // Journal of System Design and Dynamics, 2009, Vol. 3, No. 3, p. 258-269.  DOI: 10.1299/jsdd.3.258 Голубев Ю.Ф., Корянов В.В. Управление движением инсектоморфного робота на подвижном шаре // Изв. РАН. ТиСУ. 2009. № 5. С. 131-142; Golubev Yu.F., Koryanov V.V. Motion Control for an Insectomorphic Robot on a Movable Ball. Pleiades Publishing, Ltd., Journal of Computer and System Sciences International. 2009. Vol. 48, No. 5. Pp. 801-813.  DOI: 10.1134/S1064230709050141 EDN: MWYOVL Коновалов А. Модный колобок // Бизнес-журнал № 6 2014. Голубев Ю.Ф. Метод оптимального управления колебаниями механических систем // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. 2021. № 33. 37 с. , https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2021-33.  DOI: 10.20948/prepr-2021-33 EDN: RRDKAQ Golubev, Yu.F. Optimal Control for Nonlinear Oscillations of Natural Mechanical Systems // Lobachevskii J Math V. 42, No 11, pp. 2596-2607 (2021). ISSN: 1995-0802.  DOI: 10.1134/S199508022111010X EDN: QCSTPB Голубев Ю.Ф. Оптимизация колебаний механических систем // Доклады российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, ISSN (PRINT): 2686-9543, 2022, том 502, с. 52-57.  DOI: 10.31857/S2686954322010040 EDN: LASLAL Голубев Ю.Ф. Управление амплитудой колебаний механических систем // Известия РАН. Теория и системы управления, ISSN: 0002-3388, 2022, № 4, с. 22-30.  DOI: 10.31857/S0002338822040084 EDN: KSPRLT Голубев Ю.Ф. Оптимизация колебаний механических систем с трением // Доклады российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, ISSN (PRINT): 2686-9543, 2023, том 512, с. 18-26.  DOI: 10.31857/S2686954323600052 EDN: PKNCIY Голубев Ю.Ф., Корянов В.В. Экстремальные локомоционные возможности инсектоморфных роботов. - М: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2018. - 212 с. ,  DOI: 10.20948/mono-2018-golubev  ISBN: 978-5-98354-040-8 EDN: YTGTZQ https://keldysh.ru/papers/2025/prep2025_2.pdf