1-24 RAR 8423-9311 0000-0002-8077-8933 Березин Арсений Владимирович Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ arsenbrs@mail.ru Berezin A.V. National Research Nuclear University MEPhI 5134-6722 0000-0003-3623-0556 Левченко Вадим Дмитриевич Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН lev@keldysh.ru Levchenko V.D. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS 5577-3679 0000-0003-2517-6064 Перепёлкина Анастасия Юрьевна Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН mogmi@narod.ru Perepelkina A.Y. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS 5902-9746 0000-0001-6182-516X Федотов Александр Михайлович Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ am_fedotov@mail.ru Fedotov A.M. National Research Nuclear University MEPhI Минимальная схема метода решёточных уравнений Максвелла Minimal scheme for the lattice Maxwell method Мы представляем новую простую реализацию численной схемы по решению дифференциальных уравнений Максвелла в вакууме. Схема относится к классу методов решёточных уравнений Максвелла (LMM), которые развились из методов решёточных уравнений Больцмана (LBM) - современного класса численных схем применяемых для решения задач гидрогазодинамики. Схема по своему построению принципиально отличается от методов конечных разностей во временной области (FDTD) и лишена некоторых проблем схем FDTD. Компоненты электрического и магнитного полей выражаются как линейные комбинации двенадцати переменных, которые можно соотнести с пространственно изотропным набором монохроматических плоских волн. Впервые исследуется дисперсия схемы и приводится явная и взаимооднозначная функциональная связь между переменными численной схемы и электромагнитными полями. We introduce a new simple implementation of a numerical scheme for solving Maxwell's equations in vacuum. The scheme belongs to the lattice Maxwell methods (LMM) class, which was developed from modern lattice Boltzmann methods (LBM) for fluid dynamics problems. The scheme differs fundamentally in construction from the finite difference time domain methods (FDTD) and is free of some problems of FDTD schemes. The components of the electric and magnetic fields are expressed as linear combinations of twelve variables that can be related to a spatially isotropic set of monochromatic plane waves. For the first time, the numerical dispersion of the scheme is investigated and an explicit one-to-one functional relationship between the variables of the numerical scheme and the electromagnetic fields is given. 1 Введение Уравнения Максвелла [1] — фундаментальные уравнения физики, опи­сывающие динамику электромагнитных полей. Они являются составляющей многих современных областей исследований, таких как оптика [2–4], маг­ нитная гидродинамика (MHD) [5–8], методы частиц в ячейках (PIC) [9–11] и др. Уравнения Максвелла в среде с диэлектрической проницаемостью ., магнитной проницаемостью µ и при наличии источников ., j имеют вид 4. 1 .D . · D =4.., . . H = j + , D = .E, (1a) c c.t 1 .B . · B =0, . . E = . , B = µH, (1b) c .t где c — скорость света, а E и H — напряжённости электрического и магнит­ного полей соответственно. В классическом вакууме (. = µ =1, . =0, j = 0) уравнения (1) представляют из себя линейную однородную систему уравне­ ний в частных производных относительно полей E, H. Однако при наличии среды или учёте эффекта поляризации вакуума [12–14] величины ., µ, ., j могут включать в себя сложную нелинейную зависимость от полей. Наиболее распространённым инструментом для численного решения уравнений Максвелла на текущий момент являются методы конечных разно­стей во временной области (FDTD) [2,15–18]. При этом производные в (1) ап­ проксимируются конечными разностями компонент электромагнитных по­лей, отнесённых к смещённым относительно друг друга пространственным сеткам. Также значения полей E и H вычисляются на разных срезах по вре­мени. Одним из основных ограничений схем FDTD является необходимость достаточно малого шага пространственной сетки для моделирования полей сложной геометрии. Условие Куранта –Фридрихса –Леви [19] ограничивает временной шаг схемы схожим порядком. Точность схемы удобно описывать в терминах численной дисперсии — ошибки дисперсионного соотношения .2 =(kc)2 для решения в виде плоской волны, E, H . cos(.t . k · r). Для подав­ления численной дисперсия схемы FDTD требуют порядка 20 узлов сетки на самую короткую длину волны в задаче [17]. Развитие численных методов приводит к созданию новых схем реше­ния уравнений Максвелла. Одно из таких расширений появилось из методов решёточных уравнений Больцмана (LBM) [20,21] для задач гидрогазодина­ мики. Схемы LBM по своему построению принципиально отличаются от конечно-разностных схем. В LBM решается система функциональных урав­нений относительно популяций — дискретных в пространстве скоростей зна­чений кинетической функции Больцмана. При этом наблюдаемые физиче­ские величины (в случае гидрогазодинамики — плотность, скорость потока и температура) выражаются как линейные комбинации популяций. Эволюция популяций на одном временном шаге разделяется на два этапа: шаг перено­са, на котором популяции перемещаются по узлам пространственной сетки согласно фиксированным скоростям (набор скоростей называется шаблоном LBM), и шаг столкновения, на котором популяции локально перемешивают­ся, получая приращение, зависящее от наблюдаемых величин. Со временем стали появляться адаптации LBM для задач диффузии [22], магнитной гид­ родинамики [7,8] и переноса излучения [23–25]. В работе [8] ротор электри­ ческого поля впервые был выражен через набор популяций LBM. В 2010 году появилась первая модификация LBM для уравнений Максвелла [26]. В работе [26] предложена численная схема LBM класса, решающая уравнения Максвелла в среде с произвольной диэлектрической .(t, r) и маг­нитной µ(t, r) проницаемостями, проводимостью .(t, r) (j = .E) и при наличии зарядов .(t, r). Схема оперирует шаблоном из 13 скоростей, соответствующих центрам рёбер куба вместе с нулевой скоростью. Учёт среды с произвольны­ми свойствами приводит к относительно большому числу переменных схе­мы — 50 на один узел пространственной сетки. Работа [26] положила нача­ ло развитию методов решёточных уравнений Максвелла (LMM) [27–36]. В работах [29,30] предложен альтернативный шаблон скоростей, соответству­ ющий центрам граней куба. На его основе в работе [32] сформулирована самая простая на текущий момент схема LMM c 12 переменными на один узел. В работах [26,32–34] приводится сравнение эффективности схем LMM со схемами FDTD. Согласно тестам, схемы LMM работают быстрее схем FDTD при заданном уровне точности и обладают большей стабильностью, тем самым выступая многообещающей альтернативой FDTD. В текущей работе мы строим и анализируем простую, минимально возможную схему LMM для решения уравнений Максвелла в вакууме. Для построения схемы мы используем более изотропный шаблон скоростей рабо­ты [26] и придерживаемся лаконичности изложения работы [32]. В отличие от схем LBM, итоговая схема, как и уравнения Максвелла в вакууме, яв­ляется линейной, что значительно упрощает её аналитический анализ. Мы впервые приводим дисперсионный анализ схемы LMM, который показыва­ет наличие 12 направлений, для которых дисперсия может быть полностью подавлена. Также мы впервые указываем взаимооднозначную связь между переменными схемы и значениями полей вместе с их пространственными производными. В работе используются тензорные обозначения. При этом индексы i, j относятся к номерам популяций, а индексы a, b, d — к декартовым координа­там. Таким образом, к примеру, kia — a-я декартова компонента i-й скорости шаблона LMM. Повторяющиеся в произведении индексы стандартным образом пред­полагают суммирование по этим индексам. Однако далее исключением в этом правиле станет индекс i, суммирование по которому всегда будет ука­зываться явно. 2 Описание метода Схемы LMM даже на текущий момент не имеют некоторого исходного уравнения, которое могло бы в полной мере описать их физическую природу, подобно уравнению Больцмана для схем LBM. В связи с этим мы, как и все предшествующие авторы, начнём с непосредственного описания самой схемы и только после этого укажем её связь с уравнениями Максвелла. 2.1 Минимальная численная схема Рассмотрим однородную линейную систему уравнений1 eq fi(t +.t, r + c# .t k.i) . fi(t, r)= .2 fi(t, r) . f(t, r) ,i .{1,...,m}, (2) i относительно популяций fi, в которой mm eq 1 . f=(e.i · E + h.i · H), E . e.ifi, H . hifi, (3) i 4 i=1 i=1 .t — шаг по времени, c# — скорость переноса популяций, а k.i, e.i, h.i — век­торные коэффициенты (Табл. 1). Выражения feq называются равновесными i популяциями. 2.1.1 Восстановление уравнений Максвелла Представим рассматриваемую систему в эквивалентной форме с точ­ностью до слагаемых порядка O(.t3). Используя разложение 2D2 .t.. .i . fi(t +.t, r + c# ki .t) . 1+.tDi + fi(t, r),Di . + c# kia , (4) 2 .t .xa уравнения (2) можно переписать в виде .tDi eq .tDi 1+ fi = .2 fi . f. (5) i 2 1Ниже символ . является обозначением единичного вектора. Для произвольного вектора v существует v .. v/v. Действуя на (5) оператором (1 . .tDi/2) и пренебрегая слагаемы­ми . .t3, получаем искомую форму, содержащую только производные пер­ вого порядка: Dif eq i eq /.t. (6) = .2 fi . f i Для восстановления динамических уравнений Максвелла домножим . равенства (6) на e.i, hi и просуммируем их по индексу i, соответственно по­лучив .E .H . c . . H =0, + c . . E =0,c = c#/2. (7) .t .t . При этом мы использовали явный вид коэффициентов k.i, e.i, hi (Табл. 1). С учётом (7) векторы E и H, определённые в (3), отождествляются с электрическим и магнитным полем соответственно. 2.1.2 Структура векторных коэффициентов Для указанного перехода от системы (6) к уравнениям Максвелла (7) векторные коэффициенты должны удовлетворять соотношениям mmm ..... e.iahib =0,kiae.ibe.ic = kiahib hic =0, (8a) i=1 i=1 i=1 mmm .... e.iae.ib = hiahib =4.ab,kiae.ib hic =2.abc. (8b) i=1 i=1 i=1 С учётом (8) справедливы равенства mm eq eq . e.if= E, hif= H, (9a) ii i=1 i=1 mm .E .H c# c# eq eq . . E. (9b) . . H, h.iDif e.iDif . + = = i i .t 2 .t 2 i=1 i=1 . Условия (8a) выражают изотропность распределения векторов k.i, e.i, hi в пространстве. Для их выполнения достаточно только последней строки в Табл. 1. Более содержательными являются условия (8b), первое из которых согласует моменты feq с моментами fi — равенства (9a), а второе позволяет i преобразовать операторы (k.i · .) в ротор — равенства (9b). На данный момент найдено только два принципиально разных набо­ . ра векторов k.i, e.i, hi. Рассматриваемый в данной работе набор (Табл. 1) предложен ещё в оригинальной статье [26], при этом направления перено­ са популяций k.i соответствуют двенадцати серединам рёбер куба. Другой вариант предложен в работах [29,30] и позже применён для построения про­ стой схемы в работе [32]. В этом случае векторы k.i отвечают шести центрам Таблица 1: векторные коэффициенты k.i, e.i, h.i. ... i ki e.i hi = ki . e.i 1 (0, .1, .1)/ v 2 (0, .1, 1)/ v 2(.1, 0, 0) 2 (.1, 0, .1)/ v 2 (1, 0, .1)/ v 2 (0, .1, 0) 3 (.1, .1, 0)/ v 2(.1, 1, 0)/ v 2 (0, 0, .1) 4 (0, 1, .1)/ v 2 (0, 1, 1)/ v 2 (1, 0, 0) 5 (.1, 0, 1)/ v 2 (1, 0, 1)/ v 2 (0, 1, 0) 6 (1, .1, 0)/ v 2 (1, 1, 0)/ v 2 (0, 0, 1) ... 7-12 .. k13.i e13.i h13.i граней куба, но для построения минимальной схемы требуют дублирова­ния, снова приводя к двенадцати популяциям. Второй вариант позволяет использовать более простую геометрию пространственной решётки, однако обладает меньшей пространственной изотропностью. 2.1.3 Уточнение начальных популяций Два векторных соотношения в (3) не позволяют однозначно восстано­ вить популяции по значениям полей. Это приводит к стандартной для схем LBM проблеме задания начальных популяций [37,38]. В качестве начальных условий можно использовать, например, выражения feq , однако это вносит i дополнительную ошибку в схему. Чтобы устранить такой источник ошибок, найдём взаимооднозначную связь между популяциями fi и полями E, H. Систему уравнений (6) можно рассматривать как соотношения между популяциями и пространственными производными полей. Для этого необхо­димо выразить входящие в указанные равенства производные по времени с помощью уравнений Максвелла (7). После этого система примет вид eq neq fi = f+ f, (10) ii где неравновесные популяции neq eq c .t f. fi . f=(. . H) · e.i . (. . E) · h.i + 2(k.i · .)(e.i · E + h.i · H) . (11) ii 8 eq neq Явный вид fi и fi для векторных коэффициентов Таблицы 1 приведён в приложении A. Выражения (10), (11) можно использовать для уточнения начальных популяций, однако они всё ещё не задают искомую взаимооднозначную связь. Чтобы её установить, попробуем обратить полученную систему, вы­разив комбинации производных, входящие в (11), .Ex .Ey .Ez .Hx .Hy .Hx .Hz .Hy .Hz ,,, + , + , + (12) .x .y .z .y .x .z .x .z .y через популяции fi. Такая система окажется несовместной, ранг основной матрицы равен пяти, а ранг расширенной — шести. Но рассматриваемая численная схема должна разрешать произвольную динамику электромаг­нитных полей, следовательно, несовместность системы в исходном виде свя­зана с наличием дополнительной связи между популяциями fi. Действитель­но, исходя из явного вида популяций (40), (41) легко убедиться, что m fi =0. (13) i=1 Исключая с помощью (13) из системы (10), к примеру, f1, для произ­водных (12) находим .Ex .Ez 2 . = (f2 + f5 + f8 + f11), .x .z c .t .Ey .Ez 2 . = (f2 + f3 + f5 + f6 + f7 + f8 + f10 + f11), .y .z c .t v .Hx .Hy 2 + =(f3 +2f5 + f6 + f7 +2f9 + f10 +2f11 +2f12), .y .x c .t v .Hx .Hz 2 + =(f2 +2f4 + f5 +2f7 + f8 +2f10 + f11 +2f12), .z .x c .t v .Hy .Hz 2 + =(.f2 . f3 . f5 + f6 . f7 + f8 + f10 + f11). (14) .z .y c .t Соотношения (14) вместе с условием (13) и определениями (3) задают явную и однозначную связь между набором популяций LMM и электромаг­нитными полями. 2.2 Дисперсия минимальной схемы Исследуем ошибку схемы с помощью анализа фон Неймана [39, 40]. Будем искать решения системы (2) в виде монохроматических плоских волн .i(.t.k·r) fj(t, r)= aj e, k =(kx,ky,kz). (15) Подстановка (15) в (2) приводит к однородной системе линейных алгебраи­ ческих уравнений относительно коэффициентов aj: Mjkak =0,M = M0 +4.Mdiag, (16) где . = exp(.i. .t), M0 = ....................... 0 1 1 2 .1 1 .1 1 2 .1 .1 0 1 0 1 1 2 .1 1 2 .1 .1 0 .1 1 1 0 .1 1 2 2 .1 1 0 .1 .1 2 1 .1 0 .1 .1 1 1 0 1 .1 2 .1 2 1 .1 0 .1 1 0 1 .1 2 1 1 .1 2 .1 .1 0 0 1 1 2 1 .1 .1 1 2 1 1 0 0 .1 .1 2 .1 1 1 2 .1 1 0 1 .1 0 .1 1 2 .1 2 .1 1 0 1 1 .1 .1 0 .1 1 2 .1 .1 0 1 .1 2 2 1 .1 0 1 1 .1 0 .1 .1 2 1 .1 2 1 1 0 1 0 .1 .1 2 1 .1 1 .1 2 1 1 0 ....................... (17) — постоянная матрица внедиагональных элементов матрицы M,а 111 .y .z .x .y .x .z Mdiag = diag , , ,,,,,,,.x.y,.x.z,.y.z (18) .y.z .x.z .x.y .z .x .y .x .z .y — диагональная матрица, содержащая в переменных vvv i 2 kxc .ti 2 kyc .ti 2 kzc .t .x = e ,.y = e ,.z = e (19) всю зависимость от волнового вектора k. Равенство detM(., k)=0 неявно описывает дисперсию схемы. Разре­шить его аналитически в общем виде не представляется возможным, поэто­му мы исследуем частотную дисперсию . = .(k) вдоль некоторых выделен­ных направлений. Тем не менее дальнейшее рассмотрение в полной мере отражает характер численных ошибок схемы. Пусть волновой вектор исследуемого решения сонаправлен с одной из декартовых осей, k = ±ke.a, тогда detM 4 194 304 (.1+ .)2 (1 + .)4 (. + .e)(1 + ..e) . = k=±ke.a .3 e . 2 2.e +2.2.e . . (1 + .e)2 , (20) v где .e = exp(i 2 kc .t). Приравнивания (20) к нулю, мы получаем уравнение двенадцатой степени относительно переменной ., разрешив которое, часто­ты можно записать следующим образом: 1 .i. .t . . e atan2 .Img, Reg , (21) = g (.e(k)) . . = +2.n + i ln |g| .t где atan2(y, x) — арктангенс с двумя аргументами [41], n . N. 9 В рассматриваемом случае k = ±ke.a находим (с точностью до аддитив­ного слагаемого 2.n/.t) дисперсионные ветви 1.. .1 =0,.3, 5 = atan2 4+2.1 sin v ,.1 , .t 2 v .. .7, 9 = ,.11 = . 2 kc, .2n = ..2n.1,n . 6, (22) .t .t в которых v .. = kc .t, .1 =1+cos 2... (23) Для удобства последующего анализа мы разложим ветви, явно содержа­щие функцию atan2 при .. > 0, что соответствует реалистичному количе­ству (. 10) узлов численной схемы на длину волны: ..2 7..4 .3, 5 . kc 1 .. + O ..6 . (24) 24 1920 Также мы исследуем дисперсию для направлений k = kk.j. В этом слу­чае 2 097 152 detM =(. . .k)(.1+ ..k)(. +2.k + ..k (2 + 2. + .k)) . k=kk.j .5 k 2 ..1+ .2 2. (.1+ .k)2 .k 2 +2.3 (.1+ .k)2 .k 2 +4.k 3 +4.4.3 . k . .2 (1 + .k (2 + .k (3 + .k (.4+ .k (3 + .k (2 + .k)))))) , (25) .k = exp(ikc .t), и дисперсионные ветви имеют вид .1 =0,.3 = kc, .5 =1 atan2 22(.2 . .3) sin .., 2 . 2 cos (..)+ .3 , .t 2 . 1.. .7 = ± ,.11 = atan2 22(.2 + .3) sin , 2 . 2 cos (..) . .3 , .t .t 2 1.. .9 = atan2 4+2.1 sin v , ..1 ,.2n = ..2n.1,n . 6, (26) .t 2 где .2 = 18+18cos(..) + 4cos(2..) , .3 = 22+16cos(..) + 18cos(2..) + 8cos(3..) . (27) При .. > 0 ..2 5..4 .5 . kc 1 .. + O ..6 , 16 512 . kc ..2 7..4 .9 . .v 1 .. + O ..6 , .t 2 48 7680 . 3..2 25 ..4 .11 = . kc 1 .. + O ..6 . (28) .t 2 48 4608 Рис. 1: Двенадцать дисперсионных ветвей схемы LMM в направлениях осей декартовой системы координат (слева) и в направлениях k.i (справа) для па­раметров c =1, .t =1/ v 2. Зелёным цветом обозначены основные ветви, си­ним — побочные. Штрихпунктирные линии отвечают дублирующимся вет­вям. Серые штрихованные линии соответствуют (слева направо) 20/10/5/2/1 узлам на длину волны. Дисперсионные ветви для ещё одного характерного набора направле­ний, соответствующего диагоналям куба, приведены в приложении B. Ветви (22), (26) изображены на рис. 1. Они имеют схожее распределе­ ние: их можно разделить на пары, соответствующие прямому (нечётные) и обратному (чётные) распространению волны. Кроме того, все дисперсион­ные ветви являются строго действительными. Мы проиллюстрировали это только на примере некоторых волновых векторов, однако утверждение спра­ведливо для всех направлений. Как следствие, численная схема не должна быть подвержена диссипации или неустойчивости. Ветви №7-12 находятся далеко от области . .t . 2., kc .t . 2., в ко­торой оперирует схема, и являются побочными. Перейти на них возможно только с помощью специальных начальных условий. Ветви №1-6 являются для схемы основными. Первые две в точности соответствуют стационарным решениям уравнений Максвелла. Ветви №9-12 описывают динамические решения, соответствуя дисперсионному соотноше­нию для плоской монохроматической волны, .2 =(kc)2. В направлениях де­картовых осей эти ветви дублируются, расщепляясь при переходе к направ­лениям k.i. При этом две из четырёх ветвей становятся точными (светло­зелёные линии на рис. 1), т.е., находясь на них, решение распространяется без дисперсии. Наличие двух пар основных динамических ветвей легко объяснить, вычислив собственные векторы системы. Наиболее просто это сделать для бездисперсионной ветви одного из направлений k.i. К примеру, для k.12 соб­ственное решение, отвечающее ветви . = kc, имеет вид a .i.(t.. fj = v (0, 0, 0, 0, 1, 0, .1, 0, 0, 1, .1, 0)j e k12 ·r) (29) 22 и соответствует полям ..i.(t.k.12 ·r).i.(t.k.12 ·r) E = ah12e, H = ae.12e. (30) Аналогично, но уже используя численный расчёт в силу громоздкости вы­ражения для .5 в (26), легко убедиться, что собственное решение основной ветви с дисперсией соответствует полям ..i.(t.k.12·r)...i.(t.k.12·r) E =.ae.12e, H =.ah12e. (31) Таким образом, две пары динамических дисперсионных ветвей отвечают двум ортогональным поляризациям электромагнитной волны. Зафиксиро­вав поляризацию соответствующим образом, мы можем однозначно двигать­ся только вдоль определённой дисперсионной ветви. В итоге можно утвер­ждать, что схема обладает двенадцатью бездисперсионными направления­ми, при условии выбора определённой поляризации поля. Наконец, обратим внимание на то, что когда ошибка дисперсии при­сутствует, она не только является O(..2), но и дополнительно подавлена множителем . 10.1 (соотношения (24), (28)). 2.3 Численная реализация Алгоритм решения системы уравнений LMM (2) является стандарт­ ным для схемы на основе LBM. Эволюция популяций, соответствующая вре­менному шагу .t, разделяется на два последовательных этапа [21], • шаг переноса: f i . (t, r)= fi(t . .t, r . .ri), .ri . c#.t k.i; (32) • шаг столкновения: fi(t, r)= f i . (t, r) . 2 f i . (t, r) . f eq (t, r) , (33) i где f i . обозначают промежуточные предстолкновительные популяции. На шаге переноса (32), который соответствует левой части ра­венств (2), популяции независимо перемещаются на вектора .ri. При этом предполагается, что перемещение каждой популяции происходит строго из одного узла пространственной решётки в другой узел. В частном случае рассматриваемого набора направлений k.i (Таблица 1) для этого достаточ­ но использовать обычную декартову решётку с пространственным шагом c#.t/ v 2 вдоль каждой оси. На шаге столкновения (33) популяции локально перемешиваются, по­ лучая приращение согласно правой части равенств (2). Производительность LMM, как и любой схемы на основе LBM, глав­ным образом ограничена скоростью операций доступа к памяти. Чтобы снизить это ограничение, приведённая схема реализована с применением локально-рекурсивного нелокально-асинхронного алгоритма (LRnLA) [42], оптимизирующего операции доступа к памяти. 3 Тесты Для верификации схемы LMM (2) и результатов разделов 2.1.3 и 2.2 мы смоделируем характерные решения уравнений Максвелла (1) в вакуу­ ме — плоские монохроматические волны и гауссовы пучки [43,44]. Областью моделирования выступает однородная кубическая декартова решётка. Шаг схемы по времени и пространственный шаг решётки вдоль каждой оси рав­ны .t =1/ v 2 и .x =1 соответственно. При этом c# =2, и, следовательно, в соответствии с (7), c =12. 3.1 Дисперсия плоской монохроматической волны Поле плоской монохроматическую волны с частотой . и волновым век­тором k можно записать в виде i. . E(t, r)= Re .A0e H = k . E,.2 =(kc)2 , (34) где . = cos . ..1 + e i. sin . ..2 (35) — вектор поляризации, в котором параметры . . [0,.) и . . [0, 2.) определяют тип поляризации (. =0 — линейная; . = ./4, . = ./2 или . =3./4, . =3./2 — правая круговая; . = ./4, . =3./2 или . =3./4, . = ./2 — левая круговая), ..1, ..2 — два единичных ортогональных вектора в плоскости, ортогональ­ной вектору k, A0 — постоянный множитель, пропорциональный амплитуде поля, .(t, r)= ..t + k · r + .0 (36) — фаза, .0 — начальная фаза. 2Строго говоря, указанный набор параметров является избыточным, поскольку минимальная v схема не различает случаев c .t = const. Мы задаём .x =1, c .t =1/ 2 и считаем, что v .t =1/ 2, c =1. В общем случае выбор c и .t в отдельности произволен. Рис. 2: Относительная ошибка точного дисперсионного соотношения для плоской волны, распространяющейся в направлении k.12 (плюсы, поляриза­ция линейная: . = ./2, . =0) и в направлении e.z (круги, поляризация круго­вая: . = ./4, . = ./2) в двойном логарифмическом масштабе. Зелёные линии соответствуют аналитическим выражениям рассматриваемых дисперсион­ных ветвей, а чёрная линия отвечает второму порядку степенной зависимо­сти. Другие параметры моделирования: сетка 256x256x256 узлов, t = 128 .t, A0=1, .0 =0. Векторы ..1, ..2 в (35) определим следующим образом: ..1 = ... e.z.k . , k . e.z, |e.z.k.|..2 = k .. ..1. (37) sgn(kz) e.x, k . e.z, Мы начнём с исследования фазовой ошибки, зачастую являющейся ос­новной при моделировании задач электродинамики. Относительная ошибка частоты (или же, в силу выбранных параметров, абсолютная ошибка фа­зовой скорости) для основных ветвей с дисперсией в направлениях k.12 и e.z приведена на рис. 2. Для направления k.12 выбрана линейная поляризация . = ./2, соответствующая ветви с дисперсией .5(k = kk.i) в (26) и направле­ ниям полей (31). Для направления e.z основные дисперсионные ветви сли­ваются, и фазовая ошибка волны с любой поляризацией будет описываться выражением .3, 5(k = ±ke.a) в (22). Чтобы продемонстрировать это утвержде­ ние, мы смоделировали волну с правой круговой поляризацией. Численные значения фазы, частоты и амплитуды определяются из результата трёх­мерного дискретного преобразования Фурье всей области моделирования в Рис. 3: Отличие фазы плоской волны от аналитически предсказанного как функция времени для направления k.12 и линейной поляризации . = ./2 (сле­ва); амплитуда наблюдаемых осцилляций в зависимости от модуля волново­го вектора (справа). конечный момент времени и обозначаются нижним индексом «num». Как видно из рис. 2, ошибка фазы при моделировании плоской волны в точности описывается аналитическими выражениями (22), (26). Незначи­ тельные отличия при малых k связаны со случайной ошибкой, вызванной ограниченной машинной точностью (мы используем вещественный тип float в схеме), и могут быть устранены путём увеличения времени наблюдения. Отметим, что приведённый график возможно построить в столь широкой области значений k только при условии точного совпадения численных дан­ных с аналитическими. С учётом короткого времени наблюдения t = 128 .t численные значения при малых k могут быть легко искажены неточностью начальных условий, к примеру, если не учитывать поправку в виде неравно­весной популяции (11). В свою очередь, для больших значений k определение точной разности фаз возможно только при сравнении численных данных с аналитическими (дискретное преобразование Фурье неспособно различить набег фазы > 2.). На рис. 2 не приведены результаты моделирования бездисперсионной ветви направления k.12. Это связано с тем, что в этом случае, как и для ветвей с дисперсией, численные результаты отлично согласуются с анали­тическими и относительная ошибка частоты для плоской волны, соответ­ствующей бездисперсионной ветви, на несколько порядков меньше, чем для ветвей с дисперсией. Отличие численных результатов от аналитически пред­сказанных значений можно увидеть на рис. 3. Соответствующая временная зависимость имеет вид осцилляций с постоянной амплитудой. Амплитуда этих осцилляций растёт с увеличением модуля волнового вектора, кроме Рис. 4: Амплитуда плоской волны как функция времени для направления . k12 и линейной поляризации . = ./2 (слева); амплитуда наблюдаемых осцил­ляций в зависимости от модуля волнового вектора (справа). случая бездисперсионной ветви, в котором она остаётся близкой к машин­ной точности. Поведение ошибки амплитуды волны схоже с только что рассмотрен­ным различием численного и аналитического поведения фазы. Зависимость амплитуды плоской волны от времени также имеет вид осцилляций с по­стоянной амплитудой, при этом сама эта амплитуда растёт с увеличением модуля волнового вектора — рис. 4, снова исключая случай бездисперсион­ ной ветви с неизменно малой ошибкой амплитуды. 3.2 Фокусировка гауссовых пучков Поле сфокусированного по времени и пространству гауссового пучка, распространяющегося в направлении k .= e.z, можно представить в схожем с (34) виде E(t, r)= Re .Aei. H = k .. E,.2 =(kc)2 , (38) где .2 A0 . A(t, r) = exp ... 2 . ,. =1+ i.z, .. .. =(z/c . t)/., .. = x2 + y2/w, .z =2cz/.w2 , (39) . — длительность импульс, w — ширина фокусировки. Гауссовы пучки являются суперпозицией бесконечного набора плос­ких волн и непосредственно не подчиняются дисперсионным соотношениям раздела 2.2. В данной работе они рассмотрены главным образом для демон­ страции производительности численной схемы LMM, реализованной на базе t =0 t = 256 .t t = 512 .tt = 768 .t Рис. 5: Эволюция компоненты поля Hx трёх сфокусированных гауссовых пучков. Параметры моделирования: .1 = .2 = .3/2= ./16, A0,l =1, .l = 10/.1, wl =5/.1, поляризации линейные, .l =0, l .{1, 2, 3}. алгоритма LRnLA. Эволюция полей в кубической области 512x512x512 в течение времени 256 .t, показанная на рис. 5, занимает порядка 24 секунд на процессоре AMD Ryzen R9 9900X. 4 Заключение Мы рассмотрели минимальную схему, реализующую метод решёточ­ных уравнений Максвелла, LMM, для решения задач электродинамики в вакууме. По своему построению LMM схожа со схемами LBM для задач гидрогазодинамики, однако, в силу отсутствия слагаемого с вязкостью в уравнениях Максвелла, минимальная схема LMM является полностью ли­нейной, что в значительной степени упрощает её аналитический анализ. Мы впервые описали процедуру восстановления уравнений Максвелла без использования стандартного для схем LBM анализа Чепмена –Энскога и указали явную однозначную локальную связь между переменными схемы, популяциями, и значениями электромагнитных полей и их пространствен­ных производных, включая неочевидное ограничение (13) на сами популя­ ции. Найденная связь позволяет корректным образом задавать начальные популяции, не внося дополнительные для рассматриваемой схемы ошибки. Рассмотрев одну из простейших возможных схем LMM, мы также смогли впервые привести полное описание дисперсии этой схемы. Прове­дённый дисперсионный анализ обладает большой ценностью в том числе потому, что по своему определению описывает поведение плоских монохро­матических волн, составляющих полную ортогональную систему решений уравнений Максвелла. Каждое пространственное направление схемы LMM обладает двенадцатью строго действительными частотными дисперсионны­ми ветвями. Из них главными являются четыре ветви, соответствующие динамическим решениям уравнений Максвелла. При этом две ветви отве­чают волне, распространяющейся в прямом направлении, а другие две — волне в обратном направлении. Мы показали, что две дисперсионные ветви для волны с заданным волновым вектором k отвечают двум независимым ортогональным линейным поляризациям этой волны. При этом существу­ет двенадцать выделенных для схемы направлений, вдоль которых волна с определённой поляризацией может распространяться без дисперсии. Проведённый анализ дисперсии схемы отлично согласуется с числен­ными тестами. Ошибки схемы целиком описываются предсказанными дис­персионными формулами, что даёт беспрецедентный контроль над оценкой ошибки моделируемых полей. Отличие численных результатов от аналити­ческих заметно только при экстремально малом числе узлов схемы на длину волны. Кроме того, видно, что схема всегда является устойчивой и не под­вержена диссипации, согласуясь с результатами дисперсионного анализа. Хотя оригинальная схема LMM была предложена ещё в 2010 году, до текущего момента отсутствовало её простое и последовательное аналитиче­ское описание, а характерные особенности не были изучены. Как показыва­ет наша работа, схемы на основе LMM обладают рядом уникальных свойств для контроля и увеличения точности моделирования электродинамических задач, что со временем позволит стать LMM эффективной альтернативой схемам FDTD. A Равновесные и неравновесные популяции Равновесные и неравновесные популяции, определённые в (3) и (11) соответственно, для векторных коэффициентов Таблицы 1 имеют вид eq f1 eq f3 eq f5 eq f7 eq f9 eq f11 v v = . 2Ey + 2Ez . 2Hx /8, v v = . 2Ex + 2Ey . 2Hz /8, v v = 2Ex + 2Ez + 2Hy /8, v v = . 2Ex . 2Ey + 2Hz /8, v v = . 2Ey . 2Ez + 2Hx /8, v v = . 2Ex + 2Ez . 2Hy /8, v eq f= 2Ex . 2 v eq f= 2Ey + 4 v eq f= 2Ex + 6 v eq f= . 2Ex . 8 v eq f= 2Ex . 10 v eq f= 2Ey . 12 v 2Ez . 2Hy /8, v 2Ez + 2Hx /8, v 2Ey + 2Hz /8, v 2Ez + 2Hy /8, v 2Ey . 2Hz /8, v 2Ez . 2Hx /8, (40) v .Ey neq c .t .Ez f= . + + 1 8 .y .z 2 2 v .Hx .Hx . . . .y .z .Hy .Hz . , .x .x neq c .t f= 2 8 .Ex .Ez . + .x .z 2 2 v .Hx .Hy . . . .y .x .Hy .Hz . , .z .y .Ey neq c .t .Ex f= . + + 3 8 .x .y 2 2 v .Hx .Hy . . . .z .z .Hz .Hz . , .x .y .Ey neq c .t .Ez f= . + + 4 8 .y .z 2 2 v .Hx .Hx . + . .y .z .Hy .Hz + , .x .x neq c .t f= 5 8 .Ex .Ez . + .x .z 2 2 v .Hx .Hy + . .y .x .Hy .Hz . , .z .y .Ey neq c .t .Ex f= . + + 6 8 .x .y 2 2 v .Hx .Hy . + . .z .z .Hz .Hz + , .x .y .Ey neq c .t .Ex f= . + + 7 8 .x .y 2 2 v .Hx .Hy . + .z .z .Hz .Hz . , .x .y neq c .t f= 8 8 .Ex .Ez . + .x .z 2 2 v .Hx .Hy . . + .y .x .Hy .Hz + , .z .y .Ey neq c .t .Ez f= . + + 9 8 .y .z 2 2 v .Hx .Hx . + .y .z .Hy .Hz . , .x .x .Ey neq c .t .Ex f= . + + 10 8 .x .y 2 2 v .Hx .Hy + + .z .z .Hz .Hz + , .x .y neq c .t f= 11 8 .Ex .Ez . + .x .z 2 2 v .Hx .Hy + + .y .x .Hy .Hz + , .z .y neq c .t f= 12 8 .Ey .Ez . + + .y .z 2 2 .Hx .Hx + + .y .z .Hy .Hz + .x .x . (41) Рис. 6: Двенадцать дисперсионных ветвей схемы LMM в направлениях, со­ответствующих диагоналям куба, для параметров c =1, .t =1/ v 2. Зелёным цветом обозначены основные ветви, синим — побочные. Штрихпунктирные линии отвечают дублирующимся ветвям. B Дисперсионные ветви для диагоналей куба Приведём дисперсионные ветви для ещё одного характерного набора v направлений — .lp =(±1, ±1, ±1)/ 3, p .{1,..., 8}, соответствующего восьми вершинам куба. Определитель матрицы M (16) в этом случае принимает вид 524 288 detM =(.1+ .)2 . +2 1+ . + .2 .l 2 + ..4 . k=k.lp .6 l l 2 . . (1 + . (4 + .)) . 2 2+ . + .3 +2.4 .l 2 + . (1 + . (4 + .)) .4 , (42) l где .l = exp(i2/3 kc .t). Соответствующие дисперсионные ветви равны 12 .1 =0,.3, 5 = atan2 256+2.4 +2.5 sin .., .4+ .4 + .5 , .t 3 12 .7, 9 = atan2 256+2.4 . 2.5 sin .., .4+ .4 . .5 , .t 3 12 .11 = atan2 4+ .4 sin .., ..4/2 ,.2n = ..2n.1,n . 6, (43) .t 3 где .4 =2+2cos 22/3.., .5 = 14+60.4 +2cos 42/3.., (44) и изображены на рис. 6. При .. > 0 ветви (43) принимают вид ..2 7..4 .3, 5 . kc 1 .. + O ..6 , 36 864 . kc ..2 13 ..4 .7, 9 . .v 1+ . + O ..6 , .t 3 36 4320 . 2kc ..2 7..4 .11 . .v 1 .. + O ..6 . (45) .t 3 18 1080 519.688 BAAKDJ метод решёточных уравнений Больцмана метод решёточных уравнений Максвелла уравнения Максвелла Lattice-Boltzmann method Lattice-Maxwell method Maxwell's equations Maxwell James Clerk. VIII. A dynamical theory of the electromagnetic field // Philosophical transactions of the Royal Society of London. — 1865. — no. 155. — P. 459–512. Taflove Allen, Oskooi Ardavan, Johnson Steven G. Advances in FDTD computational electrodynamics: photonics and nanotechnology. — Artech house, 2013. Chen Zhigang, Taflove Allen, Backman Vadim. Photonic nanojet enhancement of backscattering of light by nanoparticles: a potential novel visible-light ultramicroscopy technique // Optics express. — 2004. — Vol. 12, no. 7. — P. 1214–1220. Universal design of waveguide bends in silicon-on-insulator photonics platform / Meisam Bahadori, Mahdi Nikdast, Qixiang Cheng, Keren Bergman // Journal of Lightwave Technology. — 2019. — Vol. 37, no. 13. — P. 3044–3054. Davidson Peter Alan. Introduction to magnetohydrodynamics. — Cambridge university press, 2017. — Vol. 55. Rashidi Saman, Esfahani Javad Abolfazli, Maskaniyan Mahla. Applications of magnetohydrodynamics in biological systems-a review on the numerical studies // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2017. — Vol. 439. — P. 358–372. Succi S, Vergassola M, Benzi R. Lattice Boltzmann scheme for two-dimensional magnetohydrodynamics // Physical Review A. — 1991. — Vol. 43, no. 8. — P. 4521. Dellar Paul J. Lattice kinetic schemes for magnetohydrodynamics // Journal of Computational Physics. — 2002. — Vol. 179, no. 1. — P. 95–126. Birdsall Charles K, Langdon A Bruce. Plasma physics via computer simulation. — CRC press, 2018. Verboncoeur John P. Particle simulation of plasmas: review and advances // Plasma Physics and Controlled Fusion. — 2005. — Vol. 47, no. 5A. — P. A231. Smilei: A collaborative, open-source, multi-purpose particle-in-cell code for plasma simulation / Julien Derouillat, Arnaud Beck, Frédéric Pérez et al. // Computer Physics Communications. — 2018. — Vol. 222. — P. 351–373. 21 Heisenberg Werner, Euler Heinrich. Folgerungen aus der diracschen theorie des positrons // Zeitschrift f¨ur Physik. — 1936. — Vol. 98, no. 11. — P. 714–732. Berestetskii Vladimir Borisovich, Lifshitz Evgenii Mikhailovich, Pitaevskii Lev Petrovich. Quantum Electrodynamics: Volume 4. — Butterworth-Heinemann, 1982. — Vol. 4. Berezin AV, Fedotov AM. Analytical formula for signal optimization in stimulated photon-photon scattering setup with three laser pulses // Physical Review D. — 2024. — Vol. 110, no. 1. — P. 016009. Yee Kane. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell’s equations in isotropic media // IEEE Transactions on antennas and propagation. — 1966. — Vol. 14, no. 3. — P. 302–307. Kunz Karl S, Luebbers Raymond J. The finite difference time domain method for electromagnetics. — CRC press, 1993. Taflove Allen, Hagness Susan C, Piket-May Melinda. Computational electromagnetics: the finite-difference time-domain method // The Electrical Engineering Handbook. — 2005. — Vol. 3, no. 629-670. — P. 15. Finite-difference time-domain methods / FL Teixeira, C Sarris, Y Zhang et al. // Nature Reviews Methods Primers. — 2023. — Vol. 3, no. 1. — P. 75. Courant Richard, Friedrichs Kurt, Lewy Hans. Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik // Mathematische annalen. — 1928. — Vol. 100, no. 1. — P. 32–74. McNamara Guy R, Zanetti Gianluigi. Use of the Boltzmann equation to simulate lattice-gas automata // Physical review letters. — 1988. — Vol. 61, no. 20. — P. 2332. The lattice Boltzmann method: principles and practice / Krüger Timm, Halim Kusumaatmaja, Alexandr Kuzmin et al. // Cham, Switzerland: Springer International Publishing AG. — 2016. Lattice Boltzmann simulations of liquid-gas and binary fluid systems / Michael R Swift, Enzo Orlandini, WR Osborn, JM Yeomans // Physical Review E. — 1996. — Vol. 54, no. 5. — P. 5041. Asinari Pietro, Mishra Subhash C, Borchiellini Romano. A lattice Boltzmann formulation for the analysis of radiative heat transfer problems in a participating medium // Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals. — 2010. — Vol. 57, no. 2. — P. 126–146. 22 Perumal D Arumuga, Dass Anoop K. A Review on the development of lattice Boltzmann computation of macro fluid flows and heat transfer // Alexandria Engineering Journal. — 2015. — Vol. 54, no. 4. — P. 955–971. Beyond moments: relativistic lattice Boltzmann methods for radiative transport in computational astrophysics / LR Weih, A Gabbana, D Simeoni et al. // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 2020. — Vol. 498, no. 3. — P. 3374–3394. Mendoza M, Munoz JD. Three-dimensional lattice Boltzmann model for electrodynamics // Physical Review E—Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. — 2010. — Vol. 82, no. 5. — P. 056708. Mendoza M, Muñoz JD. A reliable lattice-Boltzmann solver for electrodynamics: New applications in non-linear media // Progress In Electromagnetics Research. — 2011. — Vol. 1633. Galindo-Torres SA, Scheuermann A, Puscasu Ruslan. A Lattice Boltzmann solver for Maxwell equations in dielectric media // Journal of Geophysics and Engineering (submitted). — 2015. Liu Yanhong. A multi-energy-level lattice Boltzmann model for Maxwell’s equations without sources // Journal of Electrostatics. — 2011. — Vol. 69, no. 6. — P. 564–570. Liu Yanhong, Yan Guangwu. A lattice Boltzmann model for Maxwell’s equations // Applied Mathematical Modelling. — 2014. — Vol. 38, no. 5-6. — P. 1710–1728. Hauser A, Verhey JL. Stable lattice Boltzmann model for Maxwell equations in media // Physical Review E. — 2017. — Vol. 96, no. 6. — P. 063306. Hauser A, Verhey JL. Comparison of the lattice-Boltzmann model with the finite-difference time-domain method for electrodynamics // Physical Review E. — 2019. — Vol. 99, no. 3. — P. 033301. Warner Cael, Markley Loïc, Chau Kenneth J. Comparison of Electromagnetic Forces Evaluated in Yee-Lattice Finite-Difference Time-Domain and Lattice-Boltzmann Method // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 2022. — Vol. 70, no. 12. — P. 12405–12410. Warner Cael, Markley Loïc, Chau Kenneth J. Comparative analysis of mode excitation with the Yee-lattice finite-difference method and the electrodynamic lattice-Boltzmann method // 2023 IEEE USNC-URSI Radio Science Meeting (Joint with AP-S Symposium) / IEEE. — 2023. — P. 119–120. 23 A novel frequency-dependent lattice Boltzmann model with a single force term for electromagnetic wave propagation in dispersive media / Huifang Ma, Mingming Tang, Hao Ren et al. // Scientific Reports. — 2023. — Vol. 13, no. 1. — P. 11182. Rubiano-Murcia Jorge I, Salas-Estrada Alejandro M, Hernandez-Ortega Jose D. A Comparison of Two Lattice Boltzmann Models for Electrodynamics // arXiv preprint arXiv:2309.08068. — 2023. Skordos Panayotis A. Initial and boundary conditions for the lattice Boltzmann method // Physical review E. — 1993. — Vol. 48, no. 6. — P. 4823. Consistent initial conditions for lattice Boltzmann simulations / Renwei Mei, Li-Shi Luo, Pierre Lallemand, Dominique d’Humi`eres // Computers & Fluids. — 2006. — Vol. 35, no. 8-9. — P. 855–862. Crank John, Nicolson Phyllis. A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heat-conduction type // Mathematical proceedings of the Cambridge philosophical society / Cambridge University Press. — Vol. 43. — 1947. — P. 50–67. Charney Jules G, Fjörtoft Ragnar, Neumann J von. Numerical integration of the barotropic vorticity equation // Tellus. — 1950. — Vol. 2, no. 4. — P. 237–254. Organick E. I. Some processors also offer the library function called ATAN2 a function of two arguments (opposite and adjacent) // A FORTRAN IV primer. Addison-wesley.—1966.—P. 42. Levchenko Vadim, Perepelkina Anastasia. Heterogeneous LBM Simulation Code with LRnLA Algorithms // Commun. Comput. Phys. — 2023. — Vol. 33. — P. 214–244. Goubau G, Schwering F. On the guided propagation of electromagnetic wave beams // IRE Transactions on Antennas and Propagation. — 1961. — Vol. 9, no. 3. — P. 248–256. Siegman A E. Lasers. — University science books, 1986. https://keldysh.ru/papers/2025/prep2025_13.pdf