1-17 RAR 9864-6449 0000-0001-9224-769X Лахно Виктор Дмитриевич Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН lak@impb.ru Lakhno V.D. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS О возможности образования бозе-конденсата в ультрахолодном нейтронном газе On the possibility of Bose condensate formation in ultracold neutron gas Высказано предположение, что аномальная утечка ультрахолодных нейтронов из нейтронной ловушки может быть связана с образованием в ней динейтронов. Показано, что газ ультрахолодных нейтронов при температурах Т меньше 10^-3 K должен образовывать динейтронный бозе-конденсат даже в отсутствие динейтронов как свободных стабильных частиц. Рассмотрены следствия, вытекающие из предположения о стабильности динейтронов в нейтронных звездах. Обсуждаются условия образования в них и в тяжелых ядрах бозе-конденсата из динейтронов It is suggested that the anomalous leakage of ultra-cold neutrons from a neutron trap may be associated with the formation of dineutrons in it. It is shown that the gas of ultracold neutrons at temperatures T less than 10^-3 K should form a dineutron Bose condensate even in the absence of dineutrons as free stable particles. The consequences arising from the assumption of the stability of dineutrons in neutron stars are considered. The conditions for the formation of a Bose condensate from dineutrons in them and in heavy nuclei are discussed 1. Введение Поискам динейтрона посвящена обширная литература [1-6]. Надежду на существование такой стабильной частицы вселяло существование стабильного дейтрона и наличие изотопической инвариантности нуклонов. Действительно, в реакциях распада ядер динейтрон обычно возникает как коротко живущее образование при энергиях порядка энергии связи дейтрона [1-6]. Вопрос о стабильности и существовании динейтрона при более низких и сверхнизких энергиях в настоящее время остается открытым. Большие успехи в исследовании бозе-конденсатов ультрахолодных атомов, с одной стороны, и исследованиях газа ультрахолодных нейтронов, помещенных в ловушку, с другой, ставят вопрос о возможности образования в таких ловушках нейтронного бозе-конденсата. Образование нейтронного бозе-конденсата возможно, только если в нейтронном газе образуются динейтроны, поскольку нейтроны являются фермионами. В пользу такой возможности свидетельствует наличие аномалии в ультрахолодном нейтронном газе, помещенном в ловушку, когда наблюдаемая величина утечки нейтронов из ловушки на порядки превышает теоретические оценки [7-9]. Популярные гипотезы, объясняющие это явление, включают такие, как малый нагрев при хранении ультрахолодных нейтронов, связанный с вращением земли, нейтронные осцилляции, вклад экзотических процессов распада (например, распада нейтрона с образованием нейтрального атома водорода), переход нейтрона в темную материю, реакторная антинейтринная аномалия, существование зеркальной темной материи, квантовый парадокс Зенона и другие [9]. Это свидетельствует о том, что в настоящее время общепринятого объяснения нейтронной аномалии не существует. Существование такой аномалии можно было бы объяснить наличием в ультрахолодном газе динейтронов, которые, как можно предположить, имеют гораздо большее сечение захвата ядрами стенок ловушки, чем нейтроны. Если динейтроны существуют, то они могут образовывать бозе-конденсат. Цель данной статьи - проанализировать следствия, которые вытекают из предположения о возможности существования стабильных динейтронов. В такой общей постановке этот вопрос также представляет интерес и в случае сверхплотной материи, например, тяжелых атомных ядер, нейтронных или бозонных звезд. 2. Бозе-конденсат динейтронов Будем исходить из того, что динейтрон при низких энергиях стабилен. Если принять, что концентрация динейтронов n в ловушке равна п = N/V, где N - число динейтронов, V - объём ловушки, достаточна для образования их бозе-конденсата, то N = N0 + N': N = Zknk, (1) NQ = 1/(exp(?'o - \ichem)/T - 1), N' = ?fe*o 1/(exp(Efc - \ichem)/T - 1), где nk - число динейтронов с волновым числом k, N0 - число динейтронов в основном состоянии бозе-конденсат а, N'- число надконденсатных частиц, [ichem - химический потенциал бозе-газа: дс^ет = Edn, где Edn - энергия основного состояния динейтрона. Равенство y-chem = Edn соответствует бесконечно большой плотности состояний бозе-конденсата вблизи щели Л = \i в спектре динейтрона (см. приложение A): Ек = [Edn + Лк + к2/2М], к >0, (2) Лк = + к2, где Е0 = Edn при к = 0, M - масса динейтрона. Здесь полагается h = с = 1. Заменяя в (1) суммирование на интегрирование по волновым числам, для температуры бозе-конденсата из динейтронов Tc получим уравнение: (4) (5) В рассматриваемом нами случае М/д=13,92, f = \i/Tc = 1,566 • 1012 K/Tc, к = 10~3К (« 10-7эВ) - величина потенциала стенок (оптического потенциала), удерживающего нейтроны в ловушке [8]. Величина к также имеет смысл предельной величины температуры, до которой удалось охладить нейтрон в ловушке. Уравнение вида (3) аналогично уравнению для определения температуры сверхпроводящего перехода в биполяронной теории высокотемпературной сверхпроводимости [10, 11] за исключением имеющегося обрезания верхнего предела интегрирования в (4) величиной удерживающего потенциала ловушки. Выражение для Тс(0), определяемое (5), представляет собой универсальную формулу для критической температуры произвольного бозе-газа невзаимодействующих частиц. Выражение (3) определяет связь между критической температурой Тс бозе газа частиц, взаимодействующих с мезонным полем, и критической температурой Тс(0) бозе-газа невзаимодействующих частиц. В формуле 4.9.9 на стр.113 в книге [10] содержится опечатка: вместо показателя степени 2/3 в ней стоит 3/2; соответственно, аналогичная опечатка содержится в формуле 9.9 на стр. 147 книги [11] Содержащийся в ловушке бозе-конденсат как целое имеет нулевой импульс P=0. Формально, если бы размер ловушки был бесконечным, то импульс P, будучи макроскопической величиной, сохранял бы свое значение вплоть до температуры Тс порядка величины щели Л в спектре частиц бозе-конденсата. В реальности ловушка имеет конечный размер объемом примерно в литр и содержит конечное число частиц (порядка 10 нейтронов). Поэтому развал такого бозе-конденсата будет происходить уже при температуре газа, превосходящей потенциал ловушки. Учет этого обстоятельства достигается введением обрезания у в верхнем пределе интеграла в (4). Таким образом, вопрос о величине критической температуры бозе-конденсата динейтронов Tc в зависимости от их концентрации n связан с решением задач (3), (4), которое мы рассмотрим в следующем разделе. 3. Условия образования бозе-конденсата В настоящее время в земных условиях, по-видимому, достижимыми являются значения концентраций ультрахолодных нейтронов n порядка 5 3 10 см (такие значения по проекту планируется получить на казахстанском реакторе Института ядерной физики к 2030 году, что будет максимальным показателем в мире). Однако даже для таких экстремальных значений n величина Тс(0), фигурирующая в (5), чрезвычайно мала. Действительно, c использованием для массы нейтрона значения: тп = 939,565 МэВ и n=105 см-3 для величины Тс(0) из (5) получим: Тс(0) = 1,72 • 10~13К. Столь малое значение Тс(0) исключает возможность экспериментального изучения явления бозе-конденсации в ультрахолодном нейтронном газе. Ситуация радикально меняется в случае, если нейтроны взаимодействуют с частицами, имеющими в своем спектре массовую щель. С формальной точки зрения, если условие P=0 сохраняется, то в спектре динейтрона имеется огромная массовая щель, определяемая (2). Согласно (3), это дает (при вышеуказанных значениях параметров) для Тс величину порядка 1011 К. Таким образом, в этом случае все частицы должны были бы выпадать в бозе-конденсат. Этого, конечно, не происходит, поскольку уже при температуре Т выше, чем Тк = к, частицы уже не удерживаются ловушкой и условие P = 0 нарушается. Отсюда следует важный вывод: образование бозе-конденсата мало связано с количеством динейтронов в ловушке и целиком зависит только от температуры, которая не должна превышать к. Отметим, что динейтроны, находясь при Т меньше Тк в конденсатном состоянии в наинизшем энергетическом состоянии, оказываются недоступны для захвата стенками ловушки. Это, однако, не означает, что такой конденсат будет стабильным, поскольку надконденсатные динейтроны будут рассеиваться стенками ловушки и уходить из нее. В результате число надконденсатных частиц будет уменьшаться, а их уменьшение будет компенсироваться переходом сконденсированных частиц в надконденсатное состояние до тех пор, пока их концентрация в конденсате не обратится в ноль. Сделанное нами исходное предположение о существовании связанного состояния двух нейтронов в форме динейтрона не является обязательным. В случае, когда энергия связи динейтрона равна нулю, то есть когда имеется идеальный газ, состоящий только из свободных нейтронов, его корреляционная длина будет равна комптоновской длине волны мезонной шубы нуклона Л = 1/\i = 10-12 см. Это означает, что из нейтронов в ловушке можно составлять любые спаренные пространственные конфигурации, не сближая такие пары на расстояния меньше X. Такие пары можно рассматривать как бозе-частицы, которые могут испытывать бозе-конденсацию, и понижать тем самым энергию системы при Т меньше Тк. В качестве спаренных бозе частиц идеального газа из несвязанных нейтронов в этом случае выбираются пары нейтронов, чей центр тяжести в их бозе-конденсате покоится (поскольку все спаренные частицы в бозе-конденсате имеют нулевой импульс, как и импульс всего бозе-конденсата как целого). Спаренные состояния в этом случае вполне аналогичны куперовским парам в конвенциальных сверхпроводниках, в которых электроны с противоположными спинами и импульсами коррелированы. По этой же аналогии неустойчивость разреженного ферми-газа нуклонов относительного образования нуклонного бозе-конденсата следует уже из того, что при Т=0 энергия ферми-газа всегда положительна, а энергия бозе-конденсата равна нулю. Этот вывод соответствует общей теореме, доказанной Коном и Латтинжером в 1965 году: "многочастичная система фермионов, слабо взаимодействующих короткодействующими силами, станет сверхтекучей, даже если взаимодействие является отталкивающим" [12]. Таким образом, даже при отталкивательном потенциале между нейтронами нейтронный газ при выполнении условия Т меньше Тк будет образовывать бозе-конденсат с критической температурой конденсации, равной Тс(0). Рассмотрим теперь противоположный случай очень большой плотности нейтронного газа, который соответствует нейтронным звездам и 38 сверхтяжелым ядрам (нейтронная плотность n порядка 10 нейтронов в кубическом сантиметре). Будем полагать в этом случае в (3) у = оо. Согласно [13], в этом случае во внутренней коре нейтронных звезд возможно спаривание нуклонов в синглетном состоянии. Согласно [14], температура сверхтекучей компоненты таких звезд составляет величину порядка 109 К. Расчет, выполненный на основе (3), приводит в этом случае к величине n порядка 105 динейтронов в кубическом сантиметре (см. приложение Б). Таким образом, для реализации сверхтекучести в нейтронной звезде требуется совсем небольшая концентрация динейтронов. Это, в свою очередь, означает, что ввиду такой малости n сверхтекучесть в тяжелых ядрах оказывается невозможной. 4. Обсуждение Во введении была высказана гипотеза, объясняющая утечку нейтронов из ловушки за счет образования динейтронов, которые ввиду их большого характерного размера, обладают большим сечением рассеяния на стенках ловушки. Полученные результаты позволяют выдвинуть гипотезу, которая состоит в том, что образовавшиеся динейтроны под действием гравитации оседают на дно ловушки, где они, скапливаясь, образуют бозе-конденсатные островки с повышенной концентрацией динейтронов. Повышение концентрации не приводит к повышению температуры бозе-конденсата, поскольку последняя определяется только удерживающим потенциалом ловушки. Эту концентрацию можно искусственно повышать, создавая на дне ловушки квантовые наноточки, способные захватывать и удерживать в своем объеме скопления динейтронов. Модельный расчет характеристик таких наноточек в случае захвата ими несконденсированных нейтронов дает для захваченных нейтронов характерную энергию порядка микроэлектронвольта, характерный размер порядка десятков нанометров и время их жизни порядка миллисекунды [15], что совпадает с характерным временем термализации ультрахолодных нейтронов при температуре порядка нескольких милликельвинов. В идеальном бозе-газе его давление не зависит от плотности газа. По этой причине бозе-газ может быть сжат до минимального размера, определяемого размером динейтрона. В рассматриваемом случае такой сжимающей силой для нейтронного бозе-конденсата является земное гравитационное поле, которое в случае идеальной поверхности ловушки приводит к образованию на дне ловушки двумерного конденсата, толщиной порядка ангстрема, а при наличии дефектов и флуктуирующего потенциала -к образованию на ее дне отдельных островков конденсата. Такие островки уже будут представлять не идеальный газ, а новое устойчивое состояние вещества, которое в случае притягивающего взаимодействия между динейтронами коллапсирует в состояние, сходное с состоянием нейтронных звезд (в популярной и фантастической литературе называемое нейтридом или нейтронием (нейтрониумом)). Если энергия связи динейтрона положительна (то есть его образование энергетически выгодно) и превосходит Тк, то образование газа из динейтронов возможно даже при температуре выше Тк (аналог псевдощелевой фазы в высокотемпературных сверхпроводниках [9-10]), который при понижении температуры ниже Тк переходит в бозе-конденсатное состояние. Если энергия связи ниже критической температуры бозе-конденсата, то образование конденсата будет происходить при температуре, равной энергии Тк (аналогично образованию куперовских пар и сверхпроводимости при Т = Тс в конвенциальных сверхпроводниках). Как было отмечено выше, в любом случае система слабо взаимодействующих фермионов, независимо от вида взаимодействия, не может оставаться в состоянии нормальной жидкости вплоть до абсолютного нуля температур. Образование динейтронного газа в случае положительной энергии связи будет всегда происходить с выделением энергии, равной энергии синтеза динейтронов из нейтронов, приводя к его нагреву. Ключевым для наблюдения этих эффектов является получение низкой температуры Т меньше Тк и повышение концентрации нейтронов в ловушке. Большие концентрации также требуются для решения фундаментальных проблем: измерения величины электрического дипольного момента нейтрона и времени жизни нейтрона. По этой причине можно надеяться, что работа по повышению концентрации ультрахолодных нейтронов и понижению их температуры хранения будет продолжаться. Для этого, однако, нужны новые технические идеи. В качестве такой идеи можно рассмотреть предложение использования "искусственной" гравитации (помещая ловушку в центрифугу и создавая тем самым центробежную силу, прижимающую нейтроны к стенке ловушки) или использовать динамический колебательный режим движения ловушки. В работе [16] указано на принципиальную возможность создания лазерным способом концентраций ультрахолодных нейтронов, которые на несколько порядков превышают реализуемые сегодня, и достижения сверхнизких температур, много меньших Тк. В [17] для повышения концентрации ультрахолодных нейтронов и понижения температуры было предложено использовать ультрахолодные наночастицы, прикрепленные к поверхности ловушки. Как и в случае изучения бозе-конденсатов ультрахолодных атомов в невесомости, представляет интерес провести такое исследование с ультрахолодным нейтронным газом. С этой целью необходимо источник нейтронов, то есть реактор, вынести в космос. В отличие от эксперимента в земных условиях, образовавшиеся в ловушке динейтроны уже не будут оседать на ее дно. Время существования бозе-конденсата в этом случае будет определяться только временем жизни надконденсатной части динейтронов. Его можно увеличивать, увеличивая размеры ловушки. Приложение А. Теория поля медленного динейтрона[АС1] Простейшая феноменологическая модель, описывающая взаимодействие двух нерелятивистских нуклонов с мезонным полем, имеет вид Н [vr 4>+Vr 4,d3r1d3r2 [vr 4>+Vr 4,d3r1d3r2 - 2m] ri ri 12 2m J Г2 r- 12 -gS(^(r1) + ^(r2))4,+4,d3r1d3r2 + 2j{n2 + (Vy)2 + [i2(p2}d3r , (А.1) где ^fa, s-i^; r2, s2) - волновая функция двух нейтронов с координатами и спинами r1, s1 и r2, s2, m - масса нейтрон а, д — константа нейтрон-мезонной связи. При квантово-полевом описании мезонное поле (р(г) является оператором: <р(г) = Ы2со0кУ)-1/2 (Ьк + b+_k)eikr, (А.2) n(r) = Y,K(^) (bk — b+_k )e**, где bk и b+ — операторы уничтожения и рождения мезонов. Из (А.1), (А.2) для плотности гамильтониана H получим К = —2^-АГ1 — 2^-АГ2 + ?к htolbtbk + (А.3) + 1к[Укехр(1кг1)Ьк + Vkexp(ikr2)bk + Н. с], VR = Гамильтониан (А.3) представляет собой нерелятивистскую квантово-полевую задачу двух тел и совпадает по структуре с гамильтонианом биполярона в полярном кристалле [10, 11]. Рассмотренная нами простейшая модель должна быть дополнена учетом спиновых взаимодействий путем добавления к H члена: J U(rlf S1; r2t S2)^+^d3T1d3T2. (А.4) где 1 , 2 - операторы спина и изоспина. В случае контактного взаимодействия спинов гейзенберговского типа, согласно (А.4), к гамильтониану (А.3) добавится дельтаобразный отталкивающий потенциал , величина которого будет определять устойчивость спаренного состояния нуклонов. Существенно, что в основе трансляционно-инвариантной теории биполяронов лежит тот же исходный гамильтониан Фрёлиха (А.3), что и используемый в теории Бардина, Купера, Шриффера (БКШ). Отличие рассматриваемого нами случая нуклонов в мезонном поле лишь в том, что в теории БКШ рассматриваются электроны, взаимодействующие с фононами, а в теории нуклон-мезонного поля рассматриваются нейтроны, взаимодействующие с мезонами (применение теории БКШ к нейтронной материи содержится в работе [18]). Отличие же в теоретическом подходе состоит в том, что теория БКШ основана на исключении фононных переменных из гамильтониана и исследовании полученного в результате такого исключения гамильтониана, содержащего только электронные переменные. В противоположность подходу БКШ, в теории ТИ-биполяронного газа из гамильтониана исключаются электронные переменные. В итоге получается гамильтониан, зависящий только от фононных переменных. Спектр собственных значений такого гамильтониана определяет спектр возбуждений биполяронных состояний. Полученный таким образом спектр и используется затем для описания статистических свойств идеального газа биполяронов. В рассматриваемом нами случае роль ТИ-биполярона играет динейтрон. При этом со0 играет роль энергетической щели динейронного бозе-конденсата, минимальное значение которой равно массе мезона. Полезно отметить, что гамильтониан (А.1) является простейшей моделью взаимодействия нерелятивистских частиц с любым типом поля <р(г), а критическая температура Тс, описываемая (3)-(5), вообще не зависит от величины константы взаимодействия g и определяется величиной щели, соответствующей такому полю, у которого щель минимальна. Кандидатом на роль такого поля могло бы выступать нейтринное поле (модель динейтрона на основе взаимодействия нейтронов с нейтринным полем рассматривалась в [19]), для которого верхняя оценка массы составляет 0,3 эВ. Еще меньшей щелью, вернее ее отсутствием, обладает фотонное поле (взаимодействие нейтрона с фотоном даже в отсутствие у нейтрона спина будет отлично от нуля ввиду наличии у него электрического дипольного момента). В последнем случае температура бозе-конденсата динейтронов будет равна Тс(0) = 1,72 • 10~13К. Ввиду слабости взаимодействия нейтронов с нейтринным и фотонным полями установление такими взаимодействиями теплового равновесия в нейтронном газе требует настолько большого времени, что вряд ли их детальное рассмотрение представляет интерес с точки зрения земных экспериментов. Важным моментом является то, что динейтрон в бозе-конденсате не может рассеиваться на стенках ловушки, поскольку это эквивалентно появлению в нем возбуждения - выходу из конденсата одной из частиц и повышению энергии конденсата. Приложение Б. Решение уравнения (3) 1. Ультрахолодные нейтроны Поскольку величина д. очень велика (pi = 1,566 • 1012К), положим li»Tc. В силу того, что величина к мала, будем также считать у = к/Тс<^ 1. В этом случае для ?3/2 (f) из (4) получим ~r«e~fttt1/2dt = 3гУ/2е~' . (Б.1) Выражение (Б.1), согласно сделанным предположениям, справедливо при » 1. При = 0 для 3/2(0) получим ?3/2(0)= Ul^T = тЛт^ = 7*r1/2 . (Б.2) Тогда из (3) получим Тс~(3)2/3 е2^/3Тс(0) . (Б.3) Полагая в (Б.3) Тс = 6 V/w, (Б.4) из (Б.3) получим уравнение Ламберта для функции W(z): z = Wew , (Б.5) где: 2\i к2 Z=3 Гс3(0) , для используемых нами параметров величина z = 0,2 • 1045. Для такой величины z из (Б.5) получим: W « 102. В результате для Тс из (Б.4) получим: Тс ~1011 К. Таким образом, сделанное нами предположение, что f = \i/Tc »1, оправдывается. 2. Нейтронная звезда Даже если взять верхнюю оценку для температуры бозе-конденсации динейтронов в нейтронной звезде Тс = 2 • 1010 К, то для концентрации динейтронов в нейтронной звезде n посредством численного решения (3) с у » 1 получим величину 105 динейтронов/см3. Эта оценка мало меняется для предполагаемого диапазона возможных значений Тс~108 -г- 1010 . 1. Introduction The search for the dineutron has been the subject of extensive literature [1-6]. The hope for the existence of such a stable particle was inspired by the existence of a stable deuteron and the presence of isotopic invariance of nucleons. Indeed, in nuclear decay reactions, the dineutron usually arises as a short-lived formation at energies of the order of the binding energy of a deuteron [1-6]. The question of the stability and existence of the dineutron at lower and ultra-low energies remains open at present. Great advances in the study of Bose condensates of ultra-cold atoms on the one hand and studies of the gas of trapped ultra-cold neutrons on the other hand, raise the question of the possibility of the formation of a neutron Bose condensate in such traps. The formation of a neutron Bose condensate is possible only if dineutrons are formed in a neutron gas, since neutrons are fermions. This possibility is supported by the presence of an anomaly in an ultra-cold neutron gas placed in a trap, when the observed amount of neutron leakage from the trap exceeds theoretical estimates by orders of magnitude [7-9]. Popular hypotheses explaining this phenomenon include such things as low heating during storage of ultracold neutrons associated with the rotation of the earth, neutron oscillations, the contribution of exotic decay processes (for example, the decay of a neutron with the formation of a neutral hydrogen atom), the transition of a neutron to dark matter, the reactor antineutrino anomaly, the existence of mirror dark matter, Zeno’s quantum paradox, and others [9]. This indicates that there is currently no generally accepted explanation for the neutron anomaly. The existence of such an anomaly could be explained by the presence of dineutrons in the ultracold gas, which, can be assumed to have a much larger capture cross-section by the nuclei of the trap walls than neutrons. If dineutrons exist, they can form a Bose condensate. The purpose of this article is to analyze the consequences that follow from the assumption of the possibility of the existence of stable dineutrons. In this general formulation, this question is also of interest in the case of superdense matter, such as heavy atomic nuclei, neutron or boson stars. 2. Bose Condensate of Dineutrons We will assume that the dineutron is stable at low energies. If we assume that the concentration of dineutrons n in the trap is equal to n=N?V (where N is the number of dineutrons, V is the volume of the trap) is sufficient for the formation of their Bose condensate, then N=N_0+N^': N=?_k?n_k (1) N_0=1?((exp(E_0-?_chem )?(T-1)) ) N^'=?_(k?0)?1?((exp(E_k-?_chem )?(T-1)) ) where nk is the number of dineutrons with the wave number k, N0 is the number of dineutrons in the ground state of the Bose condensate, N^' is the number of supracondensate particles, ?_chem is the chemical potential of the Bose gas: ?_chem=E_dn, where E_dn is the energy of the ground state of the dineutron. The equality ?_chem=E_dn corresponds to an infinitely large density of states of the Bose condensate near the gap ?=? in the dineutron spectrum (see Appendix A): E_k=[E_dn+?_k+k^2?2M], k>0 (2) ?_k=?(?^2+k^2 ), where E_0=E_dn for k=0, M is the mass of a dineutron. Here it is assumed that ?=c=1. Replacing the summation in (1) with integration over the wave numbers, we express the temperature of the Bose condensate of dineutrons Tc as: T_c=((F_(3?2) (0))?(F_(3?2) (?) ))^(2?3) T_c (0) (3) F_(3?2) (?)=2/?? ?_0^??(t^(1?2) dt)/(e^(t+?(?^2+2M? t??))-1), (4) T_c (0)=3,31 n^(2?3)/M, ?=?/T_c (5) In the case under consideration M??=13,92, ?=??(T_c=1,566??10?^12 ) K/Tc, ?=?10?^(-3) K (??10?^(-7) )eV is the value of the wall potential (optical potential) holding neutrons in the trap [8]. The quantity ? also has the meaning of the limiting temperature to which it was possible to cool a neutron in the trap. Equation of the form (3) is similar to the equation for determining the temperature of a superconducting transition in the bipolaron theory of high-temperature superconductivity [10-11]1 except that in (4) there is a cutoff of the upper limit of integration by the value of the holding potential of the trap. The expression for Тс(0) defined by (5) is a universal formula for the critical temperature of an arbitrary Bose gas of non-interacting particles. Expression (3) determined the relationship between the critical temperature Тс of a Bose gas of particles interacting with a meson field and the critical temperature Тс(0) of a Bose gas of non-interacting particles. The Bose condensate occurring in the trap as a whole has a zero momentum P=0. Formally, if the size of the trap were infinite, then the momentum P, being a macroscopic quantity, would retain its value up to the temperature Tc of the order of magnitude of the gap ? in the spectrum of Bose condensate particles. In reality, the trap has a finite size with a volume of approximately a liter and contains a finite number of particles (of the order of 108 neutrons). Therefore, the breakdown of such a Bose condensate will occur already at a gas temperature exceeding the potential of the trap. This circumstance is taken into account by introducing a cutoff ? in the upper limit of the integral in (4). Thus, the question of the value of the critical temperature of the Bose condensate of dineutrons Tc depending on their concentration n is associated with the solution of problem (3), (4), which will be considered in the next section. 3. Conditions for the formation of Bose condensate Currently, the concentrations of ultracold neutrons n of the order of 105 cm-3 are apparently achievable in terrestrial conditions (according to the project, such values are planned to be obtained at the Kazakh reactor of the Institute of Nuclear Physics by 2030, which will be the highest in the world). However, even for such extreme values of n, the value of Тс(0) from (5), is extremely small. Indeed, using the value: mn=939,565 MeV for the mass of a neutron and n=105 cm-3 for the value Tc(0) from (5), we obtain: T_c (0)=1,72??10?^(-13) K. Such a small value of Тс(0) excludes the possibility of experimentally studying the phenomenon of Bose condensation in an ultracold neutron gas. The situation changes radically if neutrons interact with particles that have a mass gap in their spectrum. From a formal point of view, if the condition P=0 is preserved, then in the dineutron spectrum there is a huge mass gap, determined by (2). According to (3), for the above-mentioned values of the parameters, this gives a value of the order of 1011К for Тс. Hence, in this case, all the particles should fall into the Bose condensate. This, of course, does not happen, since already at a temperature T higher than T_?=?, the particles are no longer held by the trap and the condition P=0 is violated. It follows that the formation of a Bose condensate is little related to the number of dineutrons in the trap and depends entirely on the temperature, which should not exceed ?. Note that dineutrons, being at Т less than T_? in the condensate state in the lowest energy state, are unable to be captured by the walls of the trap. However, this does not mean that such a condensate will be stable, since supracondensate neutrons will be scattered by the walls of the trap and escape from it. As a result, the number of supracondensate particles will decrease, and their decrease will be compensated by the transition of condensed particles to the supracondensate state until their concentration in the condensate becomes zero. Our initial assumption about the existence of a bound state of two neutrons in the form of a dineutron is not mandatory. In the case when the binding energy of a dineutron is zero, that is, when there is an ideal gas consisting only of free neutrons, its correlation length will be equal to the Compton wavelength of the nucleon meson coat ?=1?(?=?10?^(-12) ) cm. This means that any paired spatial configurations can be formed from neutrons in a trap without bringing such pairs closer by distances less than ?. Such pairs can be considered as Bose particles that can undergo Bose condensation and thereby lower the energy of the system at Т les than T_?. In this case, pairs of neutrons whose center of gravity in their Bose condensate is at rest (since all paired particles in the Bose condensate have zero momentum, as does the momentum of the entire Bose condensate as a whole) are chosen as paired Bose particles of an ideal gas of unbound neutrons. The paired states in this case are quite similar to Cooper pairs in conventional superconductors, in which electrons with opposite spins and momenta are correlated. By the same analogy, the instability of a rarefied Fermi gas of nucleons with respect to the formation of a nucleon Bose condensate follows from the fact that at Т=0 the energy of the Fermi gas is always positive, and the energy of the Bose condensate is zero. This conclusion is consistent with the general theorem proved by Kohn and Luttinger in 1965: “a many-particle system of fermions weakly interacting by short-range forces will become superfluid even if the interaction is repulsive” [12]. Thus, even with a repulsive potential between neutrons, a neutron gas under the condition that T is less than T_? will form a Bose condensate with a critical condensation temperature equal to Тс(0). Let us now consider the opposite case of a very high density of neutron gas, which corresponds to neutron stars and superheavy nuclei (neutron density n is of the order of 1038 neutrons per cubic centimeter). In this case, we will assume in (3) ?=?. According to [13], in this case, pairing of nucleons in the singlet state is possible in the inner crust of neutron stars. According to [14], the temperature of the superfluid component of such stars is of the order of 109 К. The calculation performed on the basis of (3) in this case leads to a value of n the order of 105 dineutrons per cubic centimeter (see Appendix B). Thus, to realize superfluidity in a neutron star, a very small concentration of dineutrons is required. This, in turn, means that due to such a small n, superfluidity in heavy nuclei is impossible. 4. Discusions In the introduction, a hypothesis was put forward that explains the leakage of neutrons from the trap due to the formation of dineutrons, which, due to their large characteristic size, have a large scattering cross-section on the walls of the trap. The results obtained allow us to put forward a hypothesis that the formed dineutrons, under the action of gravity, settle to the bottom of the trap, where they accumulate and form Bose-condensate islands with an increased concentration of dineutrons. An increase in the concentration does not lead to an increase in the temperature of the Bose-condensate, since the latter is determined only by the holding potential of the trap. This concentration can be artificially increased by creating quantum nanodots at the bottom of the trap, capable of capturing and holding dineutron clusters in their volume. A model calculation of the characteristics of such nanodots in the case of their capture of non-condensed neutrons yields for the captured neutrons a characteristic energy of the order of a micro-electron-Volt, a characteristic size of the order of tens of nanometers, and their lifetime of the order of a millisecond [15], which coincides with the characteristic thermalization time of ultracold neutrons at a temperature of the order of several millikelvins. In an ideal Bose gas, its pressure does not depend on the density of the gas. For this reason, the Bose gas can be compressed to a minimum size determined by the size of the dineutron. In the case under consideration, such a compressive force for the neutron Bose condensate is the Earth's gravitational field, which, in the case of an ideal trap surface, leads to the formation of a two-dimensional condensate at the bottom of the trap, with a thickness of the order of an angstrom, and in the presence of defects and a fluctuating potential, to the formation of individual condensate islands at its bottom. Such islands will no longer represent an ideal gas, but a new stable state of matter, which, in the case of an attractive interaction between dineutrons, collapses into a state similar to the state of neutron stars (called neutride or neutronium in popular and science fiction literature). If the binding energy of a dineutron is positive (i.e. its formation is energetically advantageous) and exceeds ? T?_?, then the formation of a gas of dineutrons is possible even at a temperature higher than T_? (an analog of the pseudo-gap phase in high-temperature superconductors [10-11]), which, when the temperature decreases below T_?, passes into a Bose-condensate state. If the binding energy is below the critical temperature of the Bose-condensate, then the formation of the condensate will occur at a temperature equal to the energy T_? (similarly to the formation of Cooper pairs and superconductivity at T=T_c in conventional superconductors). As noted above, in any case, a system of weakly interacting fermions, regardless of the type of interaction, cannot remain in the state of a normal liquid up to absolute zero temperatures. The formation of a dineutron gas in the case of a positive binding energy will always occur with the release of energy equal to the energy of synthesis of dineutrons from neutrons, leading to its heating. The key to observing these effects is to obtain a low temperature Т less than T_? and to increase the neutron concentration in the trap. Large concentrations are also required to solve fundamental problems: measuring the magnitude of the neutron's electric dipole moment and the neutron lifetime. For this reason, it is hoped that the work on increasing the concentration of ultracold neutrons and lowering their storage temperature will continue. However, new technical ideas are needed for this. As such an idea, we can consider using “artificial” gravity by placing a trap in a centrifuge and thereby creating a centrifugal force that presses the neutrons to the trap wall, or using a dynamic oscillatory mode of the trap's motion. In [16], it was pointed out that it is fundamentally possible to create ultracold neutron concentrations using a laser method, which are several orders of magnitude higher than those currently available and achieve ultralow temperatures much lower than T_?. In [17], it was proposed to use ultra-cold nanoparticles attached to the surface of the trap to increase the concentration of ultra-cold neutrons and lower the temperature. As in the case of studying Bose condensates of ultracold atoms in zero gravity, it is of interest to conduct such a study with an ultracold neutron gas. For this purpose, it is necessary to take the neutron source, that is, the reactor, into space. Unlike the experiment under terrestrial conditions, the dineutrons formed in the trap will no longer settle to its bottom. The lifetime of the Bose condensate in this case will be determined only by the lifetime of the supracondensate part of the dineutrons. It can be increased by increasing the size of the trap. Appendix A. Slow dineutron field theory. The simplest phenomenological model describing the interaction of two nonrelativistic nucleons with a meson field has the form: H=1/2m ????_(r_1 ) ?^+ ?_(r_1 ) ?d^3 r_1 d^3 r_2 ?+1/2m ????_(r_2 ) ?^+ ?_(r_2 ) ?d^3 r_1 d^3 r_2 ?- -g???(?(r_1 )+?(r_2 )) ?^+ ?d^3 r_1 d^3 r_2 ?+1/2 ???{?^2+(??)^2+?^2 ?^2 } d^3 r? , (А.1) where ?(r_1,s_1;r_2,s_2 ) is the wave function of two neutrons with coordinates and spins r_1,s_1 and r_2,s_2, m is the mass of the neutron, g-is the constant of the neutron-meson coupling. In the quantum field description, the meson field ?(r) is an operator: ?(r)=?_k?(2?_k^0 V)^(-1/2) (b_k+b_(-k)^+ ) e^ikr, (А.2) ?(r)=?_k?((?_k^0)/2V)^(1/2) (b_k-b_(-k)^+ ) e^ikr, ?_k^0=?(?^2+k^2 ). where b_k и b_k^+ are the operators of annihilation and birth of mesons. With the use of (А.1), (А.2) the density of the Hamiltonian H will be: H=-?^2/2m ?_(r_1 )-?^2/2m ?_(r_2 )+?_k????_k^0 b_k^+ b_k ?+ (А.3) +?_k?[V_k exp(ikr_1 ) b_k+V_k exp(ikr_2 ) b_k+H.c.] , V_k=g??(2?_k^0 V), Hamiltonian (A.3) is a non-relativistic quantum field problem of two bodies and coincides in structure with the Hamiltonian of a bipolaron in a polar crystal [10,11]. The simplest model considered by us should be supplemented by taking into account spin interactions by adding a term to H: ???U(r_1,s_1;r_2,s_2)?^+ ?d^3 r_1 d^3 r_2 ?. (А.4) where s_1,s_2 are the spin and isospin operators. In the case of a contact interaction of Heisenberg-type spins, according to (A.4), a delta-shaped repulsive potential U will be added to the Hamiltonian (A.3), the value of which will determine the stability of the paired state of the nucleons. It is significant that the translation-invariant theory of bipolarons is based on the same initial Fr?hlich Hamiltonian (A.3) as that used in the Bardeen, Cooper, Schrieffer (BCS) theory. The difference between the case of nucleons in a meson field we are considering is only that the BCS theory considers electrons interacting with phonons, while the nucleon-meson field theory considers neutrons interacting with mesons (an application of the BCS theory to neutron matter is given in [18]). The difference in the theoretical approach is that the BCS theory is based on the exclusion of phonon variables from the Hamiltonian and the study of the resulting Hamiltonian, which contains only electron variables. In contrast to the BCS approach, in the TI-bipolaron gas theory, electron variables are excluded from the Hamiltonian. As a result, a Hamiltonian is obtained that depends only on phonon variables. The spectrum of eigenvalues of such a Hamiltonian determines the spectrum of excitations of bipolaron states. The spectrum obtained in this way is then used to describe the statistical properties of an ideal bipolaron gas. In the case under consideration, the role of the TI-bipolaron is played by the dineutron. In this case, ?_k^0 plays the role of the energy gap of the dineutron Bose condensate, the minimum value of which is equal to the meson mass. It is useful to note that the Hamiltonian (A.1) is the simplest model of the interaction of nonrelativistic particles with any type of field ?(r). The critical temperature Тс described by (3)-(5), does not depend at all on the value of the interaction constant g and is determined by the value of the gap corresponding to such a field for which the gap is minimal. A candidate for the role of such a field could be the neutrino field (the dineutron model based on the interaction of neutrons with a neutrino field was considered in [19]), for which the upper estimate of the mass is 0.3 eV. The photon field has an even smaller gap, or rather its absence (the interaction of a neutron with a photon, even in the absence of a neutron spin, will be different from zero due to the presence of an electric dipole moment). In the latter case, the temperature of the Bose-condensate of dineutrons will be equal to ? T?_c (0)=1,72??10?^(-13) K. Due to the weak interaction of neutrons with neutrino and photon fields, the establishment of thermal equilibrium in a neutron gas by such interactions requires so much time that their detailed consideration is hardly of interest from the point of view of terrestrial experiments. An important point is that a dineutron in a Bose condensate cannot scatter on the walls of the trap, since this is equivalent to the appearance of excitation in it – the escape of one of the particles from the condensate and an increase in the energy of the condensate. Appendix B. Solution of equation (3). 1.Ultracold neutrons Since the value of ? is very large (?=1,566??10?^12 K), we set ??T_c. Due to the fact that the value of ? is small, we will also assume ?=??T_c ?1. In this case, for F_(3?2) (?) from (4) we obtain: F_(3?2) (?)?2/?? e^(-?) ?_0^???t^(1?2) dt?=4/(3??) ?^(3?2) e^(-?) (B.1) Expression (B.1), according to the assumptions made, is valid for ??1. In the case of ?=0, for F_(3?2) (0) we have: F_(3?2) (0)=2/?? ?_0^??(t^(1?2) dt)/(e^t-1)=2/?? ?_0^??dt/t^(1?2) =4/?? ?^(1?2) (B.2) Then from (3) we get: T_c?(3/?)^(2?3) e^(2??3) T_c (0) (B.3) Assuming in (B.3) T_c=2 ??W (B.4) We obtain from (B.3) Lambert equation for the function W(z): z=We^W (B.5) where: z=(2??^2)/(9T_c^3 (0) ) for the parameters we use, the value z~?10?^44. For this z from (B.5) we get: W?~10?^2. As a result, for T_c from (B.4) we have: T_c~?10?^11 K. Thus, the assumption we made, that ?=??(T_c?) 1 is justified. 2. Neutron star. Even if we take the upper estimate for the Bose condensation temperature of dineutrons in a neutron star T_c=2??10?^10 K, then for the concentration of dineutrons in a neutron star n using the numerical solution of (3) with ??1 we obtain the value n??10?^5 dineutrons/cm3. This estimate changes little for the assumed range of possible values of T_c~?10?^8??10?^10 K. 538.945 10.20948/prepr-2024-85 динейтрон сверхпроводимость нейтронная звезда нейтронний наноточка dineutron superconductivity neutron star neutronium nanodot N. Dzysiuk and I.M. Kadenko, Candidate-nuclei for observation of a bound dineutron. Part II: The (푛, 2푛 +푛) and (훾, 2푛) nuclear reactions // Nuclear Physics A, 2025, 1053, 122961; https://doi.org/10.1016/j.nuclphysa.2024.122961 S.Huang, Z.Yang, Neutron clusters in nuclear systems // Front. Phys., 2023, 11, 1233175; doi: 10.3389/fphy.2023.1233175 I. Kadenko, Possible observation of the dineutron in the 159Tb(n,2n)158gTb nuclear reaction // EPL, 2016, 114, 42001; https://doi.org/10.1209/0295-5075/114/42001 A. Corsi, Y. Kubota, J. Casal, M. Gómez-Ramos, A.M. Moro, G. Authelet, H. Baba, C. Caesar, D. Calvet, A. Delbart, M. Dozono, J. Feng, F. Flavigny, J.-M. Gheller, J. Gibelin, A. Giganon, A. Gillibert, K. Hasegawa, T. Isobe, Y. Kanaya…J. Zenihiro, Searching for universality of dineutron correlation at the surface of Borromean nuclei // Physics Letters B, 2023, 840, 137875; https://doi.org/10.1016/j.physletb.2023.137875 A. Spyrou, Z. Kohley, T. Baumann, D. Bazin, B. A. Brown, G. Christian, P. A. DeYoung, J. E. Finck, N. Frank, E. Lunderberg, S. Mosby, W. A. Peters, A. Schiller, J. K. Smith, J. Snyder, M. J. Strongman, M. Thoennessen, and A. Volya, First Observation of Ground State Dineutron Decay: 16Be // Phys. Rev. Lett., 2012, 108, 102501; http://doi.org/10.1103/PhysRevLett.108.102501 Y. Kubota, A. Corsi, A., G. Authelet, et. al., Surface localization of the dineutron in 11Li // Phys. Rev. Lett., 2020, 125, 252501; https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.125.252501 А.В. Стрелков, История открытия ультрахолодных нейтронов // ЛНФ-ОИЯИ, 1996; http://nuclphys.sinp.msu.ru/ucn/hist.htm А.П. Серебров, Измерение времени жизни нейтрона с использованием гравитационных ловушек ультрахолодных нейтронов // УФН, 2005, 175, N9, 905-9024; https://doi.org/10.3367/UFNr.0175.200509a.0905 А.П. Серебров, Разногласие между методом хранения ультрахолодных нейтронов и пучковым методом при измерении времени жизни нейтрона // УФН, 2019, т.189, N6, 635-641; https://doi.org/10.3367/UFNr.2018.11.038475 V.D. Lakhno, High Temperature Superconductivity. Bipolaron Mechanism, De Gruyter, Berlin, 2022; https://doi.org/10.1515/9783110786668 В.Д. Лахно, Математические основы трансляционно-инвариантной биполяронной теории сверхпроводимости, М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2021, 292 стр.; https://doi.org/10.20948/mono-2021-lakhno, https://keldysh.ru/e-biblio/lakhno/ W. Kohn, J. Luttinger, New Mechanism for Superconductivity // Phys. Rev. Lett., 1965, 15, 524; https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.15.524 S. L. Shapiro, S.A. Teukolsky, Black Holes, White Dwarfs, and Neutron Stars (New York: Wiley, 1983); @@ С. Л.Шапиро, С.А. Тьюколски, Черные дыры, белые карлики и нейтронные звезды, Т.1, 2 (М.: Мир 1985), П.С. Штерн, Д.Г. Яковлев, Сверхтекучие нейтронные звезды // УФН, 2012, 1006-1012; doi: 10.3367/UFNr.0182.201209g.1006 H.Tang, G. Wang, P. Cappellaro , μeV - Deep Neutron Bound States in Nanocrystals // ACSNano, 2024, 18, 12, 906363 – 9070; doi: 10.1021/acsnano.3c12929 Л.А. Ривлин, О лазерном способе производства ультрахолодных нейтронов // Квантовая электроника, 2011, 41, N7, 659-662; https://doi.org/10.1070/QE2011v041n07ABEH014514 В.В. Несвижевский, Квантовые состояния нейтронов в гравитационном поле и взаимодействие нейтронов с наночастицами // УФН, 2003, 173, N1, 102-106; https://doi.org/10.3367/UFNr.0173.200301i.0102 M. Matsuo, Spatial structure of neutron cooper pair in low density uniform matter // Phys. Rev. C, 2006, 73, 044309; doi:10.1103/PhysRevC.73.044309 Ю.Л. Ратис, Нейтринный катализ реакции слияния ядер в холодном водороде // Прикладная физика, 2010, 1, 21-30 https://keldysh.ru/papers/2024/prep2024_85.pdf https://keldysh.ru/papers/2024/prep2024_85_eng.pdf