1-23 RAR 0009-0003-7326-2271 Пономарев Андрей Сергеевич Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН ponomarev.as@phystech.edu Ponomarev A.S. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS 5349-2764 0000-0001-7109-1702 Зипунова Елизавета Вячеславовна Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН e.zipunova@gmail.com Zipunova E.V. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS 1607-4527 0000-0003-3363-7043 Савенков Евгений Борисович Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН e.savenkov@googlemail.com Savenkov E.B. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS Численное исследование обобщения модели развития канала электрического пробоя типа «диффузной границы» Numerical analysis of a generalized diffuse interface model for the electrical breakdown process В настоящей работе проводится численное исследование ранее предложенного обобщения модели типа диффузной границы, описывающей развитие канала электрического пробоя в твердом диэлектрике. Для этого ищется стационарное распределение фазового поля в нескольких характеристических случаях задачи. При построении разностной схемы применена модификация метода конечных объемов, так что схема позволяет задать граничные условия на множествах высшей коразмерности в трехмерном пространстве, притом что у решения задачи в точках этих множеств допускается особенность. The subject of the present work is a previously suggested generalization of a diffuse interface model describing the development of an electrical breakdown channel in a solid dielectric. Numerical analysis for the model is performed. In the analysis, the stationary distribution of the phase field is found in several characteristic cases of the problem. A modification of the finite volume method is applied so that the numerical scheme is available for determining the boundary conditions at sets of higher codimension in three-dimensional space. At that the solution function is expected to have a singularity at the points of these sets. 1 Введение Электрический пробой – это явление резкого возрастания тока в диэлек­трике при приложении электрического напряжения выше некоторого крити­ческого значения. Механизм разрушения диэлектрика под действием элек­трического поля сложен и многообразен: оно может иметь различные причи­ны, характер развития, сопутствующие физические процессы [1]. Среди многообразия математических моделей, созданных для описания развития канала электрического пробоя, выделим предложенную в работе [2] модель типа диффузной границы. В настоящее время модели типа диффузной границы составляют целый класс подходов для решения задач в различных областях науки и техники. В частности, описанная в работе [2] модель построена как формальное обоб­ щение ранее известных моделей типа диффузной границы, применяемых в теории трещин. Исследование и дальнейшее развитие упомянутой модели можно найти в работах [3—6]. Основные положения метода диффузной границы в примене­ нии к моделированию развития канала электрического пробоя перечислены в работе [6]. Модели типа диффузной границы используются для описания систем, в которых вещество может находиться в нескольких различных состояниях – фазах, – причем вещество в одной и той же фазе образует некоторые од­нородные области. В моделях типа диффузной границы распределение фаз вещества задается гладкой функцией .. – фазовым полем, – которая в каждой области однородности близка к постоянной. Характерная толщина разделяю­щего слоя («диффузной границы») и, соответственно, скорость изменения .. при переходе от одной фазы к другой определяется параметрами модели. В работе [3] проводится исследование свойства упомянутой модели раз­ вития канала электрического пробоя, которое можно назвать коразмерно­стью «включений». Для задач теории трещин естественным будет двумерное включение (плоская трещина) в трехмерной среде вещества – в таком случае говорят, что коразмерность объекта равна 1. Обратим внимание, что, хотя ис­следуемая модель, как было сказано, получена на основе моделей из теории трещин, для нее характерным будет одномерное включение (канал пробоя), то есть имеющее коразмерность 2. В работе [3] указано, что это может приве­ сти к нетривиальным последствиям, и предложено определенное обобщение исходной модели, которое предположительно делает ее более адекватной. Суть обобщения состоит в формальном добавлении в уравнения модели двух слагаемых высших порядков с некоторыми коэффициентами. Целью настоящей работы является численная проверка поведения модели при раз­личных значениях коэффициентов. Для этого ищется стационарное распре­деление фазового поля .. в нескольких характеристических случаях. Постро­ение разностной схемы для задачи несет определенные сложности, связан­ные с необходимостью задать граничные условия на множествах коразмер­ности 2 и 3 в трехмерном пространстве. Предполагается, что в точках этих множеств функция фазового поля .. имеет особенность. Авторами применена модификация метода конечных объемов. Для ча­сти конфигураций обобщенной модели она позволила составить разностную схему. Создана компьютерная программа, реализующая схему; проделаны расчеты, их результаты приведены в виде графиков. Для остальных кон­фигураций модели в процессе применения метода возникли фундаменталь­ные проблемы, что позволяет выдвинуть гипотезу о некорректной постановке дифференциальной задачи в этих случаях. 2 Постановка задачи и модель Приведем краткое описание математической модели, предложенной в ра­боте [2]. Подробное описание модели и физического смысла ее уравнений и параметров можно найти в работе [6]. Рассматривается ограниченная область пространства . . R3. Распреде­ление фаз вещества в ней задается гладкой функцией .. :. . [0, +.).. > > [0, 1], ..(.., ..) – фазовым полем; вещество может находиться в одной из двух фаз: .. . 1 – «неповрежденное», .. . 0 – «полностью разрушенное» (то есть относящееся к каналу пробоя), – а также в промежуточных состояниях в зоне диффузной границы. Диэлектрическую проницаемость среды .. предлагается описать следую­щей формулой: ..0(..) ..(.., ..)= ..[..]= . .. (..(.., ..)) + .. Здесь ..0(..) – диэлектрическая проницаемость неповрежденной среды, ..(..)= =4..3 . 3..4 – интерполирующая функция, 0 < .. . 1 – регуляризующий параметр. Помимо фазового поля .., состояние системы описывает также функция .:. . [0, +.).. > R, .(.., ..) – потенциал электрического поля. Постулируется следующее выражение для свободной энергии системы .: .. .= ......, . 11 . ..(..). .. = . ..[..](.., ..)+. +(..., ...) . 2 ..2 4 Здесь . > 0, ..> 0 – числовые параметры модели, константы. Постулируются два уравнения, определяющие динамику системы: . . . . . ... =0; ... 1 .... ... = . . .. .... .... Здесь константа .. > 0 – числовой параметр модели, называемый подвиж­ностью. Говоря нестрого, согласно первому уравнению электрический потен­циал . распределяется так, чтобы свободная энергия была минимальной; согласно второму – фазовое поле .. с определенной скоростью стремится к тому, чтобы свободная энергия была минимальной. Отыскав явно вариационные производные в двух уравнениях выше, по­лучим следующую систему уравнений: div(..[..]..) = 0; .. (1) . 1 .... 1 .1 = .. ' (..)(.., ..) + .. ' (..)+ ..... (2) .. .... 2 ..2 2 Здесь (·) '. (·) ' . Система состоит из двух уравнений: на .. и . соответственно; .. система связная, второе уравнение нелинейное, является уравнением типа Аллена–Кана. 3 Обобщение модели 3.1 Суть проблемы Как говорилось ранее, исследуемая модель канала электрического пробоя, предложенная в работе [2], создана на основе подобных моделей из теории трещин. Учитывая это, ознакомимся с анализом системы уравнений (1), (2) в следующем характеристическом случае. Пусть . . 0, что соответствует нулевому электрическому напряжению в системе; тогда уравнение (1) выполнено тождественно. В уравнении (2) первое слагаемое тождественно равно нулю, так как .. . 0. В дальнейшем будем искать стационарное во времени распределение фазового поля, так что .. '. 0. В таком случае задача сводится к следующему уравнению на фазовое .. поле ..: 2 .. ' (..) + ... = 0. ..2 (3) Пусть задача решается в замкнутой области . = [0, +.).. . .... . ...., где .. и .. – некоторые отрезки. Пусть ..0(..)= ..0(..), то есть диэлектриче­ ская проницаемость неповрежденной среды зависит только от ... Будем ис­кать стационарное решение следующей краевой задачи: ..|..=0 =0, .. > 1 при .. > +., а также ..../.... =0 на «гранях» области ., перпендикуляр­ных осям .. и ... Второе условие интуитивно означает «однородность» систе­мы по .. и ..; символом ../.... обозначена производная по вектору нормали .. к границе .. Учитывая описанные краевые условия, будем искать решение уравнения (3), имеющее ..(..)= ..(..), то есть полагая, что .. зависит только от пространственной переменной ... С учетом описанных допущений уравнение (3) принимает вид ..2.. 2 = . .. ' (..). ....2 ..2 '' Домножим обе части уравнения на .. ' ... Учитывая, что .. .... ' .. = .. .. и 2.. ' .... '' = .... = [(.. ' ..)2] ' .., проинтегрируем уравнение. При .. > +. согласно граничному условию .. > 1; естественно также считать, что при этом .. ' .. > 0. С учетом этого получим v. .... 2 =1 . ..(..). (4) .... .. Итак, мы перешли к обыкновенной задаче Коши с уравнением (4) и условием ..(0) = 0, решение которой существует и единственно. Рассмотренный случай системы имеет следующий смысл: найдено распре­деление фазового поля в полупространстве сбоку от проводящей пластины (состоящей из полностью разрушенного вещества). Этот случай был ранее назван характеристическим, так как показывает влияние на систему парамет­ра ..: видно, что .. в уравнении (4) есть коэффициент «растяжения» решения вдоль оси ... Можно показать [3], что при .. > .. решение рассматриваемой за­дачи Коши .. . 1. Другими словами, ее решение есть распределение фазового поля, локализованное на отрезке [0, ..]. Подобный анализ вполне подходит для задачи из теории трещин (вме­сто проводящей пластины была бы плоская трещина). Однако характерный канал пробоя – объект не двумерный, а одномерный. Проверим, можно ли провести аналогичное рассуждение не для пластины, а для тонкого прямого проводника. Как и ранее, электрическое напряжение нулевое: . . 0. Рассмотрим урав­нение (3) в области .= R.. .R.. ....., где .. – некоторый отрезок. Аналогично будем искать решение следующей краевой задачи: ..|..,..=0 =0, .. > 1 при v. .. = ..2 + ..2 > +., а также ..../.... =0 на «гранях» области ., перпенди­кулярных оси ... Удобно перейти в цилиндрическую систему координат: .., .., .. .> .., .., ... Граничные условия однородны по .. и .., поэтому естественно искать решение, зависящее только от ... Так как ..(..)= ..(..), выражение для лапласиана .. в цилиндрических координатах принимает вид (.). 1 .. .... 1 .... ..2.. ... = .. =+ . ...... .......... ....2 С учетом этого уравнение (3) преобразуется в 21 .... ..2.. .. ' (..)+ +=0. (5) ..2 .. .... ....2 Подобное рассуждение проделано в работе [3]; за ним следует анализ урав­ нения (5). На основании теоретических результатов из работы [7] заклю­ чается, что поставленная краевая задача некорректна и решения не имеет. Даже на уровне интуиции постановка задачи выглядит необычно: условие ..|..,..=0 =0 задано не на двумерной, а на одномерной «внутренней» границе области .. Возникает желание формально изменить модель так, чтобы описанная краевая задача имела решение. При моделировании канал пробоя невозмож­но явно представить сегментом линии, за исключением тривиальных случа­ев, – однако естественно считать его «нитевидной» областью соответствую­щей формы, радиус которой может стремиться к нулю. Распределение фа­зового поля вблизи канала пробоя в таком случае должно приближаться к решению рассмотренной краевой задачи. 3.2 Предложенное обобщение В ответ на описанную в предыдущем подразделе проблему в работе [3] на основании теоретических результатов работ [8—11] предлагается следующая обобщенная модель, для которой постановка условий на границах размерно­сти 1 (соответственно, коразмерности 2) является математически коррект­ной: .. .= ......, . 11 . .. (..). .. = . ..[..](.., ..)+. +(..., ...)+ 2 ..2 4 ...2 1 + .. (...)2 + .. ......2.... ... ; 2 8 .. . div(..[..]..) = 0; (6) . . 1 .... 1 .1 = .. ' (..)(.., ..) + .. ' (..)+ .... . .. .... 2 ..22 . . . .. ...2 .2.. + ........2 div(.... ....2 ...). (7) 2 4 Здесь .., .. . 0 – некоторые константы, .. – четное натуральное число, не мень­шее 4. Дифференциальный оператор div(.... ....2 ...) принято называть ..­ 2 лапласианом, .2.. = .(...) – билапласианом. В дальнейшем для простоты будем считать .. =4. 4 Построение разностной схемы 4.1 О методе конечных объемов Нашей целью будет численно исследовать систему уравнений (6), (7) в трех характеристических случаях: в двух описанных в подразделе 3.1 и тре­тьем, им подобном. Итак, мы ищем стационарное решение задачи (6), (7) с . . 0 для гранич­ных условий трех различных типов: 1) . = [0, +.).. . .... . ...., ..|..=0 =0, .. > 1 при .. > +. – плоский случай; v. 2) .= R.. . R.. . ...., ..|..,..=0 =0, .. > 1 при .. = ..2 + ..2 > +. – цилиндрический случай; v. 3) .= R.. . R.. . R.., ..|..,..,..=0 =0, .. > 1 при .. = ..2 + ..2 + ..2 > +. – сферический случай. Подробно случаи 1 и 2 были описаны в подразделе 3.1. Случай 3 законо­мерно продолжает ряд: в нем граничное условие задано в точке – объекте коразмерности 3. Стационарное решение соответствует минимуму свободной энергии .; уравнения динамики системы выведены таковыми, что система стремится к минимуму энергии . в ходе эволюции (подробнее см. в разделе 2). Поэтому будем проводить расчет на достаточно долгое время, тогда установившееся положение равновесия и будет искомым стационарным решением ... В случаях 2 и 3 естественно перейти в цилиндрические и сферические координаты соответственно и считать решение .. зависящим только от ра­диуса ... В случае 1 для единообразия пространственную переменную также назовем ... Итак, ..(..)= ..(..). Для численного решения задачи воспользуемся методом конечных объ­емов. Классический метод конечных разностей, встречая ряд проблем, под­ходит плохо. К примеру, в уравнениях разностной схемы могут возникать ситуации деления на 0 в узле .. =0 в цилиндрическом и сферическом случае (см. формулу (5)). При моделировании ограничим область . некоторым конечным разме­ром – граничные условия превращаются в ..(0) = 0, ..(..)=1, где .. > 0 – внешний радиус ., такой что ../.. . 1. Разобьем область . на ..+1 ячейку (прямоугольную либо в форме цилин­дрического или сферического слоя), обозначим их .0, ..., .... Пусть границы ячеек имеют радиусы 0= ...1/2, ..1/2, ..., ....+1/2 = ... Обозначим .. (..) объем прямоугольника, цилиндра или сферы (в зависи­мости от случая), который заполняет область . от радиуса 0 до ... Пусть ..(..) – площадь внешней (разделяющей область .) поверхности по­добного прямоугольника, цилиндра или сферы. Тогда объем ячейки ... ра­вен ...... = .. (....+1/2) . .. (.....1/2), площади внутренней и внешней границ – .....1/2 = ..(.....1/2) и ....+1/2 = ..(....+1/2) соответственно. 1. Плоский случай. .. (..)= .. ·|....|·|....|, ..(..)= |....|·|....|. Сократив, можно считать .. (..)= .., ..(..)=1. 2. Цилиндрический случай. .. (..)= ....2 ·|....|, ..(..)=2.... ·|....|. Сократив, можно считать .. (..)= ..2, ..(..)=2... 3. Сферический случай. .. (..) = (4/3)....3, ..(..)=4....2. Домножив оба выра­жения на 3/(4..), можно считать .. (..)= ..3, ..(..)=3..2 . Итак, было показано, что можно считать .. (..)= ....+1 , ..(..)=(.. + 1).... , где .. =0 для плоского случая, .. =1 для цилиндрического, .. =2 для сферического. Проведем преобразование решаемого уравнения (7), обычное для мето­ да конечных объемов. Учтем, что . . 0. Уравнение можно представить в следующей форме: 1 .... . = .. ' (..) + .div .., (8) .. .... ..2 где 1 ..2 .. = ... . .. .(...)+ ....2.... .2 .... (9) 2 24 Проинтегрируем уравнение (8) вначале по некоторому промежутку време­ ни [...., ....+1], затем по ячейке .... Преобразуем левую часть: ......+1 .. .. 1 .... 1 ...... ........ =[..(.., ....+1) . ..(.., ....)].... =[......(....+1) . ......(....)], .. .... .. .. ... .... ... где ...... – это интегральное среднее функции .. по ячейке .... Преобразуем правую часть, предварительно поменяв порядок интегрирования: .. ......+1 ..(.).......+1 .. .. . . .. ' (..) + .div .......... =. 1 .. ' (..).... +(.., ..).... . ..... ..2 ..2 .... ... .... ... ..... К интегралу слагаемого div .. была применена формула Гаусса–Остроград­ского. Функция .. зависит только от .., следовательно, вектор .. всегда парал­лелен оси ... Граница ячейки ..... складывается из внешней (где вектор нор­мали .. и ось .. сонаправлены) и внутренней (где .. и ось .. противоположно направлены) границ. Обозначим ....±1/2(..) поток в положительном направле­нии оси .. через соответствующую границу с радиусом ....±1/2: .. .. ....±1/2(..)= (.., ..).... = ........ = ......(....±1/2)= ....±1/2(..) · ....±1/2, ..=....±1/2 ..=....±1/2 .. (.., ..).... = ....+1/2 . .....1/2 = ....+1/2....+1/2 . .....1/2.....1/2. ..... Здесь .... обозначена ..-координата вектора .. (она же единственная ненуле­вая). Величину ....±1/2(..)= ....(....±1/2, ..) будем называть плотностью потока через соответствующую границу. Таким образом, выведено следующее инте­гральное соотношение: .. ......+1 .. ...... 1 [......(....+1) . ......(....)] = . . .. ' (..).... + ....+1/2....+1/2 . .....1/2.....1/2 . ..... .. ..2 .... ... (10) Первое слагаемое в подынтегральном выражении в правой части равен­ства (10) приблизим выражением ...2 · ...... · .. ' [......(....)]. При построении раз­ностной схемы от интеграла по отрезку [...., ....+1] перейдем к умножению на (....+1 . ....) значения подынтегрального выражения в точке ..... Выясним, как вычислить плотность потока ....±1/2 в оставшихся двух сла­гаемых. Если некоторая функция ..(..)= ..(..), то .... (...).. = , (...).. =(...).. =0, .... где ... также зависит только от ... Следовательно, из выражения (9) полу­ чаем: (.).3 1 .... ..2 ..(...) .... .... = . .. + ....2 . (11) 2 .... 4 .... .... Традиционно в методе конечных объемов принимается, что локальное вос­полнение решения в ячейке – постоянная функция. В силу того, что рассмат­риваемая задача требует постановки граничных условий при .. =0, а реше­ние задачи вблизи этой точки может иметь большие производные, обобщим традиционный подход. А именно: будем считать, что в окрестности нуля ре­шение представляется в виде линейной комбинации двух специально выбран­ных базисных функций, а его производные, соответственно, приближаются линейной комбинацией производных базисных функций с теми же коэффи­циентами. Опишем в общем виде поиск коэффициентов разложения. Построим приближение для некоторой функции ..(..) в соседних ячей­ках ... и ...+1 по известным интегральным средним ...... и ......+1 в этих ячейках. Пусть ..(..)= .. · ..(..)(..)+ .. · ..(..)(..) есть функция с двумя числовыми параметрами .. и ..; ..(..) и ..(..) – базисные функции, используемые для локального представления ... Найдем такие .. и .., что интегральные средние ..(..) по ячейкам ... и ...+1 были бы равны ...... и ......+1 соответственно. Это эквивалентно системе уравнений ....+1/2 ....+3/2 .. .. [ ...... . ..(..)]..(..).... =0; [ ......+1 . ..(..)]..(..).... =0. (12) .....1/2 ....+1/2 Пусть ....+1/2 ....+1/2 .. .. (..)(..) ..(..)(..)..(..).... = ..; ..(..)(..)..(..).... = ... .. .. .....1/2 .....1/2 (..)(..) Считаем, что интегралы ..и ..найдены аналитически. Система (12) эк­ .. .. вивалентна системе {. (..)(..) . ....+1 ) .. ....+ ....=(....+1 ....; .... ..+1/2 ...1/2(..)(..) ......+1 + ....=(....+1 . ....+1 ) ......+1. ..+1 ..+3/2 ..+1/2 Получена система двух линейных уравнений с двумя неизвестными – решим методом Крамера: (..)(..)(..)(..) .. = ......+1 . ......+1; .. .. (....+1 . ....+1 (..) . (....+1 . ....+1 (..) )..).. ..+1/2 ...1/2..+1 ..+3/2 ..+1/2.. .. = · ...... + · ......+1; (13) .. .. . (....+1 . ....+1 (..) (....+1 . ....+1 (..) )..).. ..+1/2 ...1/2..+1 ..+3/2 ..+1/2.. .. = · ...... + · ......+1. (14) .. .. .... Теперь можно легко вычислять .. и .. при различных значениях ...., ....+1, если рассчитать заранее и сохранить четыре коэффициента, стоящие в фор­мулах (13), (14). Приблизим ..../.... на границе с радиусом ....+1/2 (между ячейка­ми ... и ...+1) с помощью функции ..(..) с известными числовыми параметра­ми: [.]. .... = .. ' (....+1/2)= .. · (..(..)) ' (....+1/2)+ .. · (..(..)) ' (....+1/2). .... ..+1/2 Производные (..(..)) ' и (..(..)) ' считаем найденными аналитически. Отыщем приближение производной ..../.... на границах с радиуса­ми ..3/2, ..., .....1/2 (то есть на всех, кроме первых двух внутренних и крайней внешней). Используем описанный выше метод с .. ..= .. ..и базисными функ­циями ..(..)(..)= .., ..(..)(..)=1. .. '. .., вывести формулы для ..(..), ..(..) также не составляет труда. Таким образом, происходит приближение функции .. на парах соседних ячеек линейной функцией. Задание граничных условий, в том числе приближение ..../.... на крайних границах ., будет подробно описано в следующем разделе. Без ответа остался только вопрос вычисления ... и его производной по ... Оно требуется лишь в случае ненулевой константы .. (см. уравнение (7)). Про­ ведя рассуждение, аналогичное проделанному для вывода соотноше­ния (10), но без интегрирования по времени, получим следующее выраже­ ние для интегрального среднего лапласиана .. по ячейке: .... .... ...... · ....... =(....+1/2) · ....+1/2 . (.....1/2) · .....1/2. ........ По средним ....... вычислим приближение ..(...)/.... на границах ячеек с радиусами ..1/2, ..., .....1/2 (то есть на всех, кроме крайних внутренней и внешней) тем же способом, который ранее использовался для ..../....,с .. ..= =....., ..(..)(..)= .., ..(..)(..)=1. 4.2 Задание граничных условий Граничные условия, подробно описанные в предыдущем разделе, имеют следующий вид: ..(0) = 0, ..(..)=1, где .. > 0 такое, что ../.. . 1. Если коэффициент .. в уравнении (7) при слагаемом с билапласианом ненулевой, то этих граничных условий недостаточно в силу повышения порядка уравне­ния – необходимо добавить условия на производную ... По логике задачи их следует сделать таковыми: .. .... . .... . .. =0, =0. .. .... .... ..=0 ..=.. Граничные условия в точке .. = .. в разностной схеме задаются легко: .... .... =1, ..... =0. Этого оказывается достаточно ввиду того, что функция .. вблизи точки .. меняется очень слабо. С граничными условиями в точке .. =0 дела обстоят намного сложнее. Для начала, функции перехода в цилиндрическую и сферическую систему координат имеют в этой точке особенность. К тому же ожидается, что .. в окрестности .. =0 довольно быстро растет. Более того, как выяснится позже, в цилиндрическом и сферическом случае функции .. и ... в точке 0, вероятно, имеют особенность. Зададим граничные условия в точке 0 следующим образом. Выберем для приближения .. в ячейках .0 и .1 такие базисные функции ..(..) и ..(..), что каждая из них удовлетворяет граничным условиям при .. =0 и, при необхо­димости, одна из них имеет в точке 0 предположительно тот же вид особен­ности, что решение ... С помощью функции ..(..) с известными параметрами получим искомые приближения: [.].[.]. .... .... = .. ' (0); = .. ' (..1/2); ........ .1/21/2 [.].[.(. ).].. . ..(...) .. .. 1 .... . .... = . . .... .... .... .... ..... .1/2 ..=0 В последнем выражении используется общий вид формулы для лапласиана функции, зависящей только от .., в прямоугольных, цилиндрических и сфе­рических координатах: (.). 1 .. .... ... = .... . (15) .... .... ....Определимся с выбором базисных функций для приближения .. в первых двух ячейках в зависимости от случая задачи и значений параметров .. и ... Рассмотрим плоский случай. Здесь у производной .. (и ..., входящей в формулы, только если .. . =0) в точке 0 не ожидается особенностей. Обоснуем это так: ..(0) = .0, поэтому для ненулевого потока ...1/2 через крайнюю 1= внутреннюю границу достаточно ненулевой конечной плотности потока ...1/2. При .. =0 граничное условие ..(0) = 0 – возьмем ..(..) = ..2, ..(..) . = ... При .. =0 добавляется граничное условие ..../....|..=0 =0 – зададим ..(..) = ..3, ..(..) = ..2 . Теперь рассмотрим цилиндрический случай. Имеем ..(0) = 0, поэтому, казалось бы, поток ...1/2 всегда нулевой. Однако если допустить у .... осо­бенность вида 1/.., то получается ....(..)..(..) > 2 при .. > +0 – конечный ненулевой поток! Если .... по модулю растет асимптотически медленнее, то поток будет нулевым; если быстрее – то бесконечным (что не имеет смысла). Пусть .. = .. =0. Тогда в выражении (11) для плотности потока встреча­ ется лишь ..../.... в первой степени. Значит, мы ищем ..(..), такую что (..(..)) ' = = ..0/... Проинтегрировав, получим ..(..) = ..0 ln .. + ..1. ..(..) >. при .. > +0, то есть граничное условие ..(..)(0) = 0 выполнить невозможно. Это косвенно подтверждает вывод из работы [3], что в этом случае решения дифференци­ альной задачи не существует. Пусть .. =0, .. . =0. В выражение (11) для плотности потока входит ..../.... в первой и третьей степени. Следовательно, мы ищем такую ..(..), что (..(..)) ' = = ..0...1/3. Первая степень производной даст нулевой вклад в поток, третья – конечный ненулевой. Проинтегрировав, получим ..(..) = ..0 · (3/2) · ..2/3 + ..1. С учетом граничного условия выберем ..(..) = ..2/3. Вторую базисную функцию возьмем без особенности в точке 0, например, ..(..) = ... Пусть .. .0, = .. произвольное. Тогда в выражение (11) для плотности потока входит ..(...)/..... Встречается там и ..../...., но она, согласно гранич­ному условию, равна 0 при .. =0. Отыщем такую базисную функцию ..(..), что ..(...(..))/.... = ..0/... Учтем, что лапласиан функции ..(..), зависящей только от .., в цилиндрических координатах вычисляется по формуле (15) с .. =1. Трижды проинтегрировав уравнение на производную лапласиана, получим ..(..) =(..0/4)..2(ln .. . 1) + ..1..2/4+ ..2 ln .. + ..3. Требуется ..(..)(0) = 0, сле­довательно, ..2 = ..3 =0. Особенность содержит первое слагаемое, поэтому выберем ..(..) = ..2 ln ... ..(..) удовлетворяет граничному условию на производ­ную (..(..)) ' (0) = 0. Второй базисной функцией сделаем ..(..) = ..2 . Наконец, рассмотрим сферический случай. Аналогично цилиндрическому случаю будем подбирать базисную функцию так, чтобы поток ...1/2 был ко­нечным ненулевым. Для этого .... должна иметь особенность вида 1/..2, так как тогда ....(..)..(..) > 3 при .. > +0. Пусть .. = .. =0. Ищем ..(..), такую что (..(..)) ' = ..0/..2. Проинтегрировав, получим ..(..) = ...0/.. + ..1. ..(..) >. при .. > +0, то есть граничное условие ..(..)(0) = 0 выполнить невозможно. Пусть .. =0, .. . =0. Аналогично рассмотренному ранее подобному случаю ищем ..(..), такую что (..(..)) ' = ..0...2/3 . Проинтегрировав, получим ..(..) = = ..0 · 3 · ..1/3 + ..1. С учетом граничного условия выберем ..(..) = ..1/3, ..(..) = ... Пусть .. .. =0, .. произвольное. Ищем ..(..), такую что ..(...(..))/.... = ..0/..2 Лапласиан функции ..(..), зависящей только от .., в сферических координатах вычисляется по формуле (15) с .. =2. Дважды проинтегрировав уравнение на производную лапласиана, получим (..(..)) ' = ...0/2+..1../3+..2/..2 . . ..0 =0, так как иначе у функции пропадет особенность. Получается, что (..(..)) ' (0) . = . =0 – невозможно удовлетворить граничному условию на производную! Примечательно, что выбранный подход не удалось применить в сфериче­ском случае не только при .. = .. =0, но и при .. .0. Выдвинем гипотезу, = что в обеих этих конфигурациях исследуемая дифференциальная задача по­ставлена некорректно и не имеет решения. 4.3 Разностная схема Везде в двух предыдущих подразделах допускалось, что радиусы границ ячеек 0= ...1/2, ..1/2, ..., .....1/2, ....+1/2 = .. могут быть произвольной возраста­ющей последовательностью чисел. В дальнейшем, на практике, мы сделаем их структуру регулярной с шагом .: .....1/2 = .... При моделировании система будет проходить моменты времени .... = .... , где .. – фиксированный шаг по времени. Функцию времени с аргументом .... будем обозначать верхним индексом ... В качестве начального условия задаются {....0 }.. .. ..=0. Как было принято ранее, .. =0 в плоском случае, .. =1 в цилиндрическом, .. =2 в сферическом. Подводя итог рассуждениям, проделанным в двух предыдущих подразде­лах, выпишем построенную методом конечных объемов разностную схему. 1. .. ..+1 .. .... .. (..... ....)= .. .. ' (....)+ .(......+1/2 . .......1/2) при .. =0, .. . 1; .... .. ..+1/2...1/2 ....2 ...... ........ =1; (16a) ...... =(....+1/2)..+1 . (.....1/2)..+1; ....±1/2 =(.. + 1)(....±1/2)..; [.]... [.]... (.[.]... ).3 .. 1 .... ..2 ..(...) .... ..= . .. + ....2 ; (16b) ..±1/2 2....4.... .... ..±1/2 ..±1/2 ..±1/2[.]... .... .. = ..при .. =1, .. . 1; (16c) ..+1/2 .... ..+1/2 {.... }.. .. }...1 ... {....=1 , где ..(..) = .., ..(..) =1; .. ..=1 ..+1/2(.[.]... [.]... ). .. 1 .... .... ..... = ....+1/2 . .....1/2при .. =0, .. . 1; .. ...... ........ ..+1/2 ...1/2 (16d) .... ... .. =0; [.]... ..(...) .. = ..при .. =0, .. . 1; (16e) ..+1/2 .... ..+1/2 .. { .... }...1 ... .. }.. . {....=0 , где ..(..) = .., ..(..) =1; ..=0 ..+1/2 [.]... .... .. (..) = ..(.. 1/2 .... ...1/2 (.. (..) 1/2 .. ) ' (.....1/2)+ .. ) ' (.....1/2) при .. =0, 1; (16f) 1/2 1/2 .. ..(...(..) .... [.]... ..(...) ..(...(..)) .. = .. 1/2 .... .1/2 .... (16g) + .. ; 1/2 .... .... ..=0 ..=0 .... .. .. (..)(..) {....0, ....} . {..,..}, где ..,..определены ниже. 11/21/21/21/2 1. Плоский случай при .. =0: .... .... ... ... ... (..)(..) ..= ..2 , (..) ' =2.., ..(..) =1 ..3 1/21/2 ; . 3 (..)(..) ..= .., (..) ' =1, ..(..) =1 ..2 1/21/2 2 ... 2. Плоский случай при .. . =0: .... .... (..) ..(...) 1/2 ... ... 1 (..)(..) = ..3 , (..) ' =3..2 1/21/2 ..(..) ..4 .. =6, ; = , .... 4 (..) ..(...) 1/2 ... 1 (..)(..) = ..2 , (..) ' 1/21/2 =2.., ..(..) ..3 .. =0, = . .... 3 ... 3. Цилиндрический случай при .. =0, .. . =0: .... ... (..)(..) ..= ..2/3 , (..) ' =2 ...1/3 , ..(..) =3 ..8/3 1/21/2 ; 3 4 .... ... ... ; (..)(..) ..= .., (..) ' =1, ..(..) =2 ..3 1/21/2 3 ... 16 )3 .. .. .....1/2 =(... .1/21/2 27 4. Цилиндрический случай при .. . =0: .... (..) ..(...) 1/2 ... 41 (..)(..) = ..2 ln .., (..) ' 1/21/2 ..(..) ..4(4 ln .. . 1) .. = ..(2 ln .. + 1), ; = = , .... .. 8 ... ..4 .... ... (..) ..(...) 1/2 1 (..)(..) = ..2 , (..) ' 1/21/2 ..(..) .. =2.., =0, ; = .... 2 ... .. .. .....1/2 =8... .1/21/2 5. Сферический случай при .. =0, .. . =0: .... (..)(..) ..= ..1/3 , (..) ' =1 ...2/3 , ..(..) =9 ..10/3 1/21/2 ... ; 3 10 (..)(..) ..= .., (..) ' =1, ..(..) =3 ..4 1/21/2 .... ... ... ; 4 ... 1 .. .. .....1/2 =(..)3 . .1/21/2 9 5 Вычислительный эксперимент Была написана программа, реализующая разностную схему (16). Все предыдущие рассуждения были универсальны для плоского, цилин­дрического и сферического случаев, насколько это возможно. Все три случая моделируются одной и той же программой, принимающей .. =0, 2 как пара­метр. Зададим параметры модели: ..0 =0.2, .. =0.04, .. =1.0, .=1.0, .. =0.5. Пусть .. =5. По виду графиков будет понятно, что для использованного набора параметров такое .. достаточно велико. Выберем число ячеек .. = 300 при .. =0 и .. = 150 иначе. Шаг по про­странству ., соответственно, равен 1/60 . 0.0167 либо 1/30 . 0.0333. При этом придется брать шаг по времени .. =5·10.7. Если шаг по времени кратно больше, то схема оказывается неустойчива и программа завершается с ошиб­кой переполнения (в данных возникает значение NaN). Как и ожидалось, ..-лапласиан и билапласиан (особенно) требуют относительно малых шагов по времени. Выбор начальных условий неважен. Пусть, например, значения 0 и 1 глад­ко соединяются ветвью синусоиды: ....0 = sin[(./2+...)../2], ./2+... < 1; далее .. все значения равны 1. Будем останавливать расчет, когда вектор «воздействия» на систему до­статочно мал, а именно: ..+1 .. ... .. .. .... .. .. max < 10.9 . ..=0 .. Все конфигурации модели достигли названного условия не более чем через 7.4 единицы времени. Результаты вычислений изображены на рис. 1 и 2 (случай 1 из описания разностной схемы), рис. 3 (случай 2), рис. 4 (случай 3), рис. 5 (случай 4), Рис. 1. Решение .. в плоском случае при .. =0, .. =0 Рис. 2. Решение .. в плоском случае при .. =0, .. =1 Рис. 3. Решение .. в плоском случае при .. =1, .. =0 Рис. 4. Решение .. в цилиндрическом случае при .. =0, .. =1 Рис. 5. Решение .. в цилиндрическом случае при .. =1, .. =0 Рис. 6. Решение .. в сферическом случае при .. =0, .. =1 рис. 6 (случай 5). Графики функций показаны до зримого момента выхо­ да на примерно постоянное значение 1, после чего они в действительности продолжаются до .. =5. Графики состоят из соединенных значений сред­ .. них ...., размещенных в серединах ячеек; вблизи 0 к ним добавлено несколько .. значений приближающей функции ..1/2, имеющей особенность в 0, если того требует случай задачи. Отметим, что если в уравнения входит билапласиан (.. .0), то функ­ = ция .. может быть немонотонной и в некоторых точках превышать значение 1 (см. рис. 3, 5). В работе [3] это было отмечено и указано, что монотонность .. следует ожидать при достаточно малых ... Итак, эксперимент подтверждает, что, несмотря на некоторую громозд­кость формулировок, предложенная модификация метода конечных объемов позволяет эффективно моделировать решение .., даже если на границе обла­сти оно имеет особенность. 6 Заключение Настоящая работа продолжает исследование, начатое в статье [3]. Как бы­ ло отмечено ее авторами, исследование это хотя и проводится для конкретной задачи, но, вероятно, затрагивает вопросы, содержащиеся в методе диффуз­ной границы как таковом. Суть этих вопросов в том, позволяют ли уравнения среды с диффузной границей в своей «классической» редакции адекватно описывать включения, по своей природе являющиеся объектами высшей ко­размерности. В качестве возможного ответа авторы работы [3] предлагают определенного вида обобщение исходной модели. Целью настоящей работы было численно исследовать упомянутое обобще­ние. В этом достигнуты определенные успехи. С помощью модификации ме­тода конечных объемов преодолены трудности, связанные с необходимостью задавать граничные условия на множествах коразмерности 2 и 3 в трехмер­ном пространстве и с наличием у функции-решения особенности в точках этих множеств. Указанный подход существенно не привязан к рассматривае­мой модели – в дальнейшем он может быть использован и в других задачах. В некоторых случаях при построении разностной схемы возникли фунда­ментальные препятствия: оказалось, что необходимых базисных функций по­просту не существует. На основании этого выдвинута гипотеза, что в указан­ных случаях рассматриваемая дифференциальная задача поставлена некор­ректно и не имеет решения. Рассуждения вполне согласуются с теоретиче­скими результатами работы [3]. В будущем возможно строгое обоснование представленной гипотезы. 51-72 10.20948/prepr-2024-72 модель типа диффузной границы фазовое поле метод конечных объемов электрический пробой diffuse interface model phase field finite volume method electricalbreakdown Физика диэлектриков (область сильных полей) / Г. А. Воробьев [и др.]. — Томск : Изд-во Томского политехнического университета, 2011. Pitike K. C., Hong W. Phase-field model for dielectric breakdown in solids // Journal of Applied Physics. — 2014. — Янв. — Т. 115, № 4. — С. 044101. — DOI: 10.1063/1.4862929. — URL: https://doi.org/10.1063/1.4862929. Зипунова Е. В., Савенков Е. Б. О моделях диффузной границы для описания динамики объектов высшей коразмерности // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. — Москва, 2020. — № 122. — С. 1—34. — DOI: https://doi.org/10.20948/prepr-2020-122. — URL: https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2020-122. Зипунова Е. В., Савенков Е. Б. Неизотермическая консервативная модель динамики развития канала электрического пробоя типа «диффузной границы» // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. — Москва, 2021. — № 19. — С. 1—34. — DOI: https://doi.org/10.20948/prepr-2021-19. — URL: https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2021-19. Зипунова Е. В., Савенков Е. Б. Феноменологический вывод термомеханической модели развития канала электрического пробоя типа «диффузной границы» // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. — Москва, 2022. — № 31. — С. 1—36. — DOI: https://doi.org/10.20948/prepr2022-31. — URL: https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2022-31. Пономарев А. С., Зипунова Е. В., Савенков Е. Б. Устойчивость стационарных решений в модели развития канала электрического пробоя типа «диффузной границы» // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. — Москва, 2024. — № 73. — С. 1—32. — DOI: https://doi.org/10.20948/prepr2024-73. — URL: https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2024-73. Cirstea F., Du Y. Asymptotic behavior of solutions of semilinear elliptic equations near an isolated singularity // Journal of Functional Analysis. — 2007. — Сент. — Т. 250. — С. 317—346. — DOI: 10.1016/j.jfa.2007.05.005. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / под ред. О. А. Олейник. — 3-е изд., перераб. И доп. — Москва, 1988. Олейник О. А., Шапошникова Т. А. О задаче Дирихле для бигармонического уравнения в области, перфорированной вдоль многообразий малой размерности // Докл. РАН. — 1996. — Т. 350, № 6. — С. 742—745. — URL: http://mi.mathnet.ru/dan3973. Стернин Б. Ю. Общие краевые задачи для эллиптических уравнений в области, границей которой служат многообразия различной размерности // Докл. АН СССР. — 1964. — Т. 159, № 5. — С. 992—994. — URL: http://mi.mathnet.ru/dan30648. Lewis J. L., Nyström K. Quasi-linear PDEs and low-dimensional sets // Journal of the European Mathematical Society. — 2018. — Т. 20. — С. 1689— 1746. — URL: https://api.semanticscholar.org/CorpusID:59497218. https://keldysh.ru/papers/2024/prep2024_72.pdf