1-27 RAR 1032-8670 0000-0003-1653-8166 Аристова Елена Николаевна Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН aristovaen@mail.ru Aristova E.N. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS 0000-0002-3300-3246 Караваева Наталия Игоревна Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН karavaeva@phystech.edu Karavaeva N.I. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS Реализация бикомпактной схемы для HOLO алгоритма решения задач переноса излучения в среде Implementation of bicompact scheme for the HOLO algorithm for solving radiative transport problems in a medium Бикомпактные схемы для HOLO алгоритма решения уравнения переноса были применены для решения модельных задач переноса излучения в среде (первой и второй задач Флека). Основной идеей HOLO алгоритмов является ускорение сходимости итерационных процессов за счет совместного решения кинетических уравнений высокой и низкой размерностей (HO – high order, LO – low order). Схемы строятся методом прямых на минимальном двухточечном шаблоне и обладают четвертым порядком аппроксимации по пространству. Для интегрирования по времени использовался метод Рунге–Кутты третьего порядка аппроксимации. Была проведена верификация и валидация схемы. Решения первой и второй задач Флека хорошо совпали с решениями, полученными другими методами. Была предложена модификация второй задачи Флека и исследована зависимость скорости движения фронта тепловой волны от коэффициента поглощения в оптически толстой области. Bicompact schemes for the HOLO algorithm for solving the transport equation were applied to solve model problems of radiation transport in a medium (the first and the second Fleck problems). The main idea of HOLO algorithms is to accelerate the convergence of iterative processes due to the joint solving of high order (HO) and low order (LO) kinetic equations. The schemes are constructed by the method of lines on a minimal two-point stencil and have the fourth order of approximation in space. The Runge-Kutta method of the third order of approximation was used for integration over time. Verification and validation of the schemes were carried out. Solutions of the first and the second Fleck problems by the proposed method coincided well with solutions obtained by other methods. A modification of the second Fleck problem was proposed to investigate the dependence of the velocity of the thermal wave front on the absorption coefficient in the optically thick region. Реализация бикомпактной схемы для HOLO алгоритма решения задач переноса излучения в среде Бикомпактные схемы для HOLO алгоритма решения уравнения переноса были применены для решения модельных задач переноса излучения в среде (первой и второй задач Флека). Основной идеей HOLO алгоритмов является ускорение сходимости итерационных процессов за счет совместного решения кинетических уравнений высокой и низкой размерностей (HO – high order, LO – low order). Схемы строятся методом прямых на минимальном двухточечном шаблоне и обладают четвертым порядком аппроксимации по пространству. Для интегрирования по времени использовался метод Рунге–Кутты третьего порядка аппроксимации. Была проведена верификация и валидация схемы. Решения первой и второй задач Флека хорошо совпали с решениями, полученными другими методами. Была предложена модификация второй задачи Флека и исследована зависимость скорости движения фронта тепловой волны от коэффициента поглощения в оптически толстой области. 519.63 10.20948/prepr-2024-64 уравнение переноса метод квазидиффузии HOLO алгоритмы решения уравнения переноса бикомпактные схемы диагонально-неявные методы Рунге–Кутты задача Флека transport equation quasi-diffusion method HOLO algorithms for transport equation solving bicompact schemes diagonally implicit Runge–Kutta method Fleck problem Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. – М.: Наука, 1966. Д. Михалас. Звездные атмосферы. – М.: Мир, 1982. Б.Н. Четверушкин. Математическое моделирование задач динамики излучающего газа. – М.: Наука, 1985. В.Я. Гольдин. Квазидиффузионный метод решения кинетического уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1964, т. 4, № 6, с. 1078–1087. http://mi.mathnet.ru/zvmmf7676 @@ V.Ya. Gol'din. A quasi-diffusion method of solving the kinetic equation // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, V. 4, No. 6, 1964, p. 136–149. https://doi.org/10.1016/0041-5553(64)90085-0 В.Я. Гольдин, Б.Н. Четверушкин. Методы решения одномерных задач радиационной газовой динамики // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1972, т. 12, № 4, с. 990–1000. https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf6661 @@ V.Ya. Gol'din, B.N. Chetverushkin. Methods of solving one-dimensional problems of radiation gas dynamics // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, V. 12, № 4, 1972, p. 177–189. https://doi.org/10.1016/0041-5553(72)90122-X В.Я. Гольдин. О математическом моделировании задач сплошной среды с неравновесным переносом // Современные проблемы матем. физики и вычисл. матем. – М.: Наука, 1982, 340 с. @@ V.Ya. Gol'din. O matematicheskom modelirovanii zadach sploshnoi sredy s neravnovesnym perenosom // Sovremennye problemy matematicheskoi fiziki i vychislitelnoi matematiki – M., Nauka, 1982, 340p. M.L. Adams, E.W. Larsen, Fast iterative methods for discrete-ordinates particle transport calculations // Progress in Nuclear Energy, 2002, vol. 40, No. 1, p. 3–159. https://www.researchgate.net/publication/223921410_Fast_iterative_methods_for_discrete-ordinates_particle_transport_calculations L. Chacón, G. Chen, D.A. Knoll, C. Newman, H. Park et al. Multiscale high-order/low-order (HOLO) algorithms and applications // J. Comp. Phys., Feb. 2017, v. 330, p. 21–45. https://www.researchgate.net/publication/309959093_Multiscale_high-orderlow-order_HOLO_algorithms_and_applications W.A. Wiesequist, D.Y. Anistratov, J.E. Morel, A cell-local finite difference discretization of the low order of the quasidiffusion equations for neutral particle transport on unstructured quadrilateral meshes // J. Comp. Phys., 2014, v. 273, p. 343–357. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S002199911400357X E.N. Aristova. Simulation of radiation transport in channel on the basis of quasi-diffusion method // Transport Theory and Statistical Physics, 2008, v. 37 (05–07), p. 483–503. https://www.researchgate.net/publication/233316595_Simulation_of_Radiation_Transport_in_a_Channel_Based_on_the_Quasi-Diffusion_Method Е.Н. Аристова, Д.Ф. Байдин. Экономичность методов квазидиффузии расчета критических параметров быстрого реактора // Математическое моделирование, 2012, т. 24, № 4, с. 129–136. http://mi.mathnet.ru/mm3264 @@ E.N. Aristova, D.F. Baydin. Efficiency of Quasi_Diffusion Method for Calculating Critical Parameters of a Fast Reactor // Mathematical Models and Computer Simulations, 2012, Vol. 4, No. 6, p. 568–573. https://link.springer.com/article/10.1134%2FS2070048212060026 Е.Н. Аристова, Д.Ф. Байдин. Реализация метода квазидиффузии для расчета критических параметров реактора на быстрых нейтронах в трехмерной гексагональной геометрии // Математическое моделирование, 2012, т. 24, № 8, с. 65–80. http://mi.mathnet.ru/mm3301 @@ E.N. Aristova, D.F. Baydin. Implementation of the Quasi Diffusion Method for Calculating the Critical Parameters of a Fast Neutron Reactor in 3D Hexagonal Geometry // Mathematical Models and Computer Simulations, 2013, Vol. 5, No. 2, p. 145–155. https://link.springer.com/article/10.1134%2FS2070048213020026 Б.В. Рогов, М.Н. Михайловская. Монотонные бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса // ДАН, 2011, т.436, №5, с. 600–605. @@ B.V. Rogov, M.N. Mikhailovskaya. Monotone Bicompact Schemes for a Linear Advection Equation // Doklady Mathematics, 2011, v. 83, No. 1, p. 121–125. https://link.springer.com/article/10.1134/S1064562411010273 Б.В. Рогов, М.Н. Михайловская. Монотонные бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса // Математическое моделирование, 2011, т.23, №6, с. 98–110. http://mi.mathnet.ru/mm3122 @@ B.V. Rogov, M.N. Mikhailovskaya. Monotonic bicompact schemes for linear transport equations // Mathematical Models and Computer Simulations, 2012, v. 4, No. 1, p. 92–100. https://link.springer.com/article/10.1134%2FS2070048212010103 Б.В. Рогов, М.Н. Михайловская. Бикомпактные схемы четвертого порядка аппроксимации для гиперболических уравнений // ДАН, 2010, т.430, №4, с. 470–474. @@ B.V. Rogov, M.N. Mikhailovskaya. Fourth-Order Accurate Bicompact Schemes for Hyperbolic Equations // Doklady Mathematics, 2010, v. 81, No. 1, p. 146–150. https://link.springer.com/article/10.1134/S1064562410010400 Б.В. Рогов, М.Н. Михайловская. О сходимости компактных разностных схем // Математическое моделирование, 2008, т.20, №1, с. 99–116. http://mi.mathnet.ru/mm2141 @@ B.V. Rogov, M.N. Mikhailovskaya. On the convergence of compact difference schemes // Mathematical Models and Computer Simulations, 2009, v. 1, No. 1, p. 91–104. https://link.springer.com/article/10.1134%2FS2070048209010104 А.В. Чикиткин, Б.В. Рогов, Е.Н. Аристова. Высокоточные бикомпактные схемы для многомерного неоднородного уравнения переноса и их эффективная параллельная реализация // Доклады Академии Наук, серия Математика, 2016, т. 469, № 4, с. 1–6. @@ A.V. Chikitkin, B.V. Rogov, E.N. Aristova. High-Order Accurate Bicompact Schemes for Solving the Multidimensional Inhomogeneous Transport Equation and Their Efficient Parallel Implementation // Doklady Mathematics, 2016, v. 94, No. 2, p. 516–521. https://link.springer.com/article/10.1134/s1064562416040189 М.Д. Брагин, Б.В. Рогов. Метод итерируемой приближенной факторизации операторов высокоточной бикомпактной схемы для систем многомерных неоднородных уравнений гиперболического типа // Доклады РАН, 2017, т.473, №3, с. 263–267. @@ M.D. Bragin, B.V. Rogov. Iterative Approximate Factorization for Difference Operators of High-Order Bicompact Schemes for Multidimensional Nonhomogeneous Hyperbolic Systems // Doklady Mathematics, 2017, v. 95, No. 2, p. 140–143. https://link.springer.com/article/10.1134/S1064562417020107 Е.Н. Аристова, Б.В. Рогов, А.В. Чикиткин. Оптимальная монотонизация высокоточной бикомпактной схемы для нестационарного многомерного уравнения переноса // ЖВМ и МФ, 2016, т. 56, № 6, с. 973–988. http://mi.mathnet.ru/zvmmf10399 https://link.springer.com/article/10.1134%2FS0965542516060038 Е.Н. Аристова, Н.И. Караваева. Бикомпактные схемы высокого порядка аппроксимации для уравнений квазидиффузии // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша, 2018, №45, 28 с. @@ E.N. Aristova, N.I. Karavaeva. Bicompact High Order Schemes for Quasi-Diffusion Equations // Keldysh Institute Preprints, 2018, №45, 28 p. https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2018-45 https://doi.org/10.20948/prepr-2018-45 Н.И. Караваева. Бикомпактные схемы для решения одногрупповой системы уравнений квазидиффузии совместно с уравнением энергии // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша, 2023, №25, 16 с. @@ N.I. Karavaeva. Bicompact schemes for the joint solution of a one-group system of quasidiffusion equations with the energy equation // Keldysh Institute Preprints, 2023, №25, 16 p. https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2023-25 https://doi.org/10.20948/prepr-2023-25 Е.Н. Аристова, Н.И. Караваева. Бикомпактные схемы для численного решения модельной задачи нестационарного переноса нейтронов HOLO алгоритмами // Матем. моделирование, 2021, том 33, номер 8, с. 3–26. https://www.mathnet.ru/rus/mm4309 @@ E.N. Aristova, N.I. Karavaeva. Bicompact schemes for the numerical solution of the Reed problem using HOLO algorithms // Mathematical Models and Computer Simulations, 2022, Vol. 14, No. 2, p. 187–202. https://link.springer.com/article/10.1134/S2070048222020028 Е.Н. Аристова, Н.И. Караваева. Бикомпактные схемы для HOLO-алгоритма решения уравнения переноса излучения совместно с уравнением энергии // Компьютерные исследования и моделирование, 2023, т. 15, № 6, с. 1429–1448 http://crm.ics.org.ru/journal/article/3404/ J.A. Fleck, J.D. Cummings. An implicit Monte Carlo scheme for calculating time and frequency dependent nonlinear radiation transport // Journal of Computational Physics, 1971, v. 8, p. 313–342. https://api.semanticscholar.org/CorpusID:121047944 Д.Ю. Анистратов, Е.Н Аристова, В.Я. Гольдин. Нелинейный метод решения задач переноса излучения в среде // Матем. моделирование, 1996, т. 8, № 12, с 3–28. https://www.mathnet.ru/rus/mm/v8/i12/p3 В.Я. Гольдин, Д.А. Гольдина, А.В. Колпаков, А.В. Шильков. Математическое моделирование газодинамических процессов при высокой плотности энергии излучения // ВАНТ, серия “Методики и программы численного решения задач математической физики”, 1986, вып. 2, с. 59–66. Е.Н. Аристова, Б.В. Рогов. О реализации граничных условий в бикомпактных схемах для линейного уравнения переноса // Математическое моделирование, 2012, т. 24, № 10, стр. 3–14. http://mi.mathnet.ru/mm3316 @@ E.N. Aristova, B.V. Rogov. Boundary conditions implementation in bicompact schemes for the linear transport equation // Mathematical Models and Computer Simulations, 2013, v. 5, №3, p. 199–208. https://link.springer.com/article/10.1134%2FS2070048213030022 Е.Н. Аристова, Н.И. Караваева. Реализация бикомпактной схемы для HOLO алгоритмов решения уравнения переноса // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша, 2019, №21, 28 с. @@ E.N. Aristova, N.I. Karavaeva. Implementation of the bicompact scheme for HOLO algorithms for solving the transport equation // Keldysh Institute Preprints, 2019, №21, 28 p. https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2019-21 https://doi.org/10.20948/prepr-2019-21 Е.Н. Аристова, Н.И. Караваева. Постановка граничных условий в бикомпактных схемах для HOLO алгоритмов решения уравнения переноса // Матем. моделирование, 2019, т. 31, № 9, с. 3–20. https://www.mathnet.ru/rus/mm4107 @@ E.N. Aristova, N.I. Karavaeva. Boundary Conditions in Bicompact Schemes for HOLO Algorithms to Solve Transport Equations // Mathematical Models and Computer Simulations, 2020, v. 12, No. 3, p. 271–281. https://link.springer.com/article/10.1134/S2070048220030059 Н.Я. Моисеев. // Явно-неявная разностная схема для совместного решения уравнений переноса теплового излучения и энергии методом расщепления // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2013, т. 53, № 3, с. 442–458. https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf9890 @@ N. Ya. Moiseev. // Explicit-implicit difference scheme for the joint solution of the radiative transfer and energy equations by the splitting method // Comput. Math. Math. Phys., 2013, v. 53, No., p. 320–335. https://link.springer.com/article/10.1134/S0965542513030093 В.В. Завьялов, М.Ю. Козманов, В.Н. Селезнёв и др. // Результаты численных расчетов одномерных тестовых задач переноса излучения // ВАНТ, 2005, Сер. Матем. моделирование физ. процессов. Вып. 3, с. 26–36. https://vant.vniief.ru/ref_vant_search_aut.php?ID_journal=305&avtor=Селезнев&param=searchα=С https://keldysh.ru/papers/2024/prep64/prep2024_64.html