1-24 RAR 0000-0001-9072-6961 Моргунов Николай Витальевич Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН nikolamorgunov@mail.ru Morgunov N.V. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS 7046-4960 0000-0002-1747-6430 Широбоков Максим Геннадьевич Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН shirobokov@keldysh.ru;shmaxg@gmail.com Shirobokov M.G. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS Двухуровневый параметрический метод оптимизации траектории перелета с малой тягой Two-level parametric method for low-thrust trajectory optimization Предлагается прямой метод решения задачи оптимального управления космическим аппаратом, снабженным двигателем малой тяги. Функция управления параметризуется с помощью полиномов и моментов переключения активного и пассивного режимов управления. Суть метода состоит в разделении параметров оптимизации: на внешнем уровне оптимизируются моменты времени переключения режимов управления, а на внутреннем – коэффициенты вспомогательных полиномов. Работа метода демонстрируется на задачах перелета к Марсу и преобразования импульсного управления к непрерывному. A direct method is proposed for solving the optimal control problem of a spacecraft equipped with a low-thrust engine. The control function is parameterized using polynomials and switching moments between active and passive control modes. The essence of the method lies in separating optimization parameters: at the outer level, the switching time moments of control modes are optimized, while at the inner level, the coefficients of auxiliary polynomials are optimized. The method’s performance is demonstrated on problems of interplanetary flight to Mars and the conversion of impulse control to continuous control. 1. Введение В настоящее время в сфере межпланетных полетов наблюдается тенден­ция к использованию малых космических аппаратов массой до 300 кг. Их преимущество заключается в более доступной разработке, позволяющей да­же небольшим научным коллективам создавать такие аппараты. Важной задачей в проектировании космических миссий является уве­личение полезной нагрузки. Увеличить полезную нагрузку можно за счет снижения топливных затрат. Для сокращения массы затрачиваемого топли­ва можно использовать электрореактивные двигательные установки (ЭРДУ). Они обладают более высоким удельным импульсом, а значит, более эффек­тивно расходуют топливо. Однако, в отличие от традиционных химических двигателей, ЭРДУ обладают низким уровнем тяги, что приводит к продол­жительным участкам управления и усложняет оптимизацию функции управ­ления. В общем случае проблемы оптимизации управления малой тягой связа­ны с нелинейностью возникающих динамических систем, сложностью ана­лиза некеплеровских траекторий и неизвестностью вида функции управле­ния перед началом оптимизации (например, неизвестно наличие и количество пассивных участков на траектории, их расположение). На сегодняшний день существуют методы, которые находят оптимальную функцию управления, с разным успехом обходя перечисленные проблемы. Методы решения можно условно разделить на две крупные группы: непрямые и прямые [1]. Непрямые методы основаны на необходимых условиях оптимальности, включая принцип максимума Понтрягина, и обычно сводятся к нелинейной краевой задаче. Их преимущество заключается в возможности нахождения оптимальных управлений в широком и практически важном классе кусочно­непрерывных ограниченных функций. Однако численное решение краевых задач в этих методах вычислительно сложно, что затрудняет их применение для сложных моделей движения с возмущениями и требует последующей адаптации к высокоточным моделям. Краевая задача принципа максимума может быть решена различными способами. В работах [2, 3] она сводится сводится к задаче Коши методом продолжения, при этом в краевую задачу вводится параметр, дифференци­рование по которому и порождает задачу Коши. В другом исследовании ис­пользуется метод стрельбы: параметром является условие выполнения левого краевого условия [4]. В обоих подходах полученную задачу Коши решают ме­ тодом Ньютона или его модификациями и получают локально оптимальные решения. Прямые методы преобразуют задачу оптимального управления в задачу математического программирования путем параметризации функции управ­ления. Различные способы параметризации порождают разнообразные мето­ды поиска оптимального управления. Преимущество прямых методов состоит в возможности использовать сложные модели движения, учитывать различ­ные возмущения и ограничения на траектории, включая промежуточные и конечные. Примером прямого метода служит метод дискретизации управления. Функция управления разбивается на конечное количество участков, на каж­дом из которых она считается постоянной или линейной. Оптимизируемыми параметрами выступают компоненты векторов тяги на участках разбиения. Метод требует мелкого разбиения, что приводит к большому количеству оп­тимизируемых переменных и значительным вычислительным затратам. В ра­боте [5] рассматриваются коллокационные методы решения задач оптималь­ ного управления космическими аппаратами. На промежутках разбиения тра­ектория аппроксимируется полиномом. Замена динамических ограничений алгебраическими позволяет избежать численного интегрирования и умень­шить объем вычислений. Прямые методы обладают локальной сходимостью, что делает крити­чески важным выбор начального приближения. Оно основывается на пред­ставлениях исследователя о рассматриваемом перелете и должно быть близ­ко к оптимальному решению. В статье [6] предлагается метод регуляризации управления, который преобразует исходную задачу нелинейного программи­рования в последовательность выпуклых оптимизационных задач с глобаль­ным решением. Увеличение количества участков разбиения позволяет упросить задачу на каждом отдельном участке. В работе [7] таким образом задача нелинейно­ го программирования сводится к задаче линейного программирования. Для уменьшения количества переменных оптимизации управление на каждом из участков выбирается из дискретного набора возможных управлений. Кроме дискретизации в прямых методах для параметризации функции управления могут использоваться нелинейные базисные функции, взятые в композиции с небольшим числом параметров. Такие методы можно услов­но назвать параметрическими. Приведем пару примеров применения такого подхода. Для поиска глобального оптимума среди траекторий в статьях [8, 9] опи­ сывается применение эволюционных нейроконтроллеров. Функция управле­ния здесь представляется в виде нейронной сети, а веса нейронов настраива­ются эволюционным алгоритмом. Отметим, что применение эволюционных алгоритмов оптимизации повышает шансы определения глобального опти­мума или его окрестности по сравнению с традиционными, неглобальными методами. В статьях [10, 11] приводится алгоритм поиска оптимального управления с использованием обучения с подкреплением. Управление взаимодействует с моделью среды и получает от нее вознаграждение, которое стимулирует его изменение в сторону оптимума. Параметрические методы требуют априорных знаний о виде функции управления и о форме траектории. С другой стороны, в отличие от методов дискретизации в ряде случаев они требуют меньшего количества переменных оптимизации. Цель настоящей работы . разработать и верифицировать новый пара­метрический метод оптимизации перелета между заданными фазовыми со­стояниями для аппаратов с малой тягой. Его отличительной особенностью является независимое варьирование моментов переключения режимов управ­ления и направления тяги. В разделе 2 ставится задача перелета и формулируется задача оптималь­ного управления. В разделе 3 описывается предлагаемый метод оптимизации, а задача оптимального управления сводится к задаче нелинейного програм­мирования. В разделе 4 предлагаемый метод применяется для решения за­дачи перелета к Марсу. В разделе 5 описывается метод преобразования им­пульсного управления в продолжительный непрерывный участок. 2. Постановка задачи оптимального управления Рассматривается движение КА в поле притягивающего центра. Вводят­ся две орбиты вокруг притягивающего центра. На орбитах определяются на­чальная и конечная точки. Даны положения начальной R0 и конечной Rf точек. Известны скорости аппарата в начальной и конечной точках V0, Vf . Фиксируется время перелета T между точками. Начальную массу КА обо­значим M0. Известны также характеристики ЭРДУ: удельный импульс I и максимальный модуль силы тяги Fmax. Величины I и Fmax считаются посто­янными на всем времени перелета. В общем случае в нулевой момент времени КА получает мгновенное приращение скорости величиной Vотл . 0, которое назовем отлетной ско­ростью. На практике это является обычно результатом работы разгонного блока для преодоления притяжения планеты. Динамика аппарата описывается системой дифференциальных уравне­ний первого порядка: x .= f(x, F ,t), .t . [0,T ], где x(t) . вектор состояния КА, F (t) . функция управления. Вектор со­стояния x(t)=(r(t), v(t),m(t)), где r(t) . положение аппарата, v(t) . его скорость, m(t) . масса. Функция правых частей уравнений движения имеет вид .. .. v r . . rF . f(x, F ,t)= . v .. = . .µ |r|3 + m + w . .t . [0,T ], (1) m ..|F | Ig где w . возмущающее ускорение, g =9.80665 м/с2 . величина ускорения свободного падения на уровне моря. В начальный момент времени вектор состояния КА в фазовом простран­стве соответствует точке старта, ее скорости и начальной массе: ... . r(0) R0 x(0) = . v(0) . = . V0 + Vотлs . , (2) m(0) M0 где s . единичный вектор, определяющий направление отлетной скорости. Сформулируем задачу оптимального управления. Функционалом явля­ется разница между начальной и конечной массами КА: J(x(T )) = m(0) . m(T ). (3) Требуется найти такую функцию управления F (t) и такой вектор s, при которых функционал минимален: J(x(T )) > min , F , s ограничения-равенства обеспечивают достижение точки прилета в конечный момент времени: (.).(.). r(T ) Rf c(x(T )) = . = 0, (4) v(T )Vf ограничения-неравенства не позволяют модулю силы тяги выйти за ее мак­симальное значение для двигателя: .(F (t)) = Fmax .|F (t)|. 0, .t . [0,T ]. (5) 3. Сведение к задаче нелинейного программирования Рассмотрим важное наблюдение, которое подводит нас к разработке ме­тода решения задачи, поставленной в разделе 2. Перепишем функционал за­ дачи в форме интеграла расхода массы КА: .. T |F (t)| J = dt > min . Ig 0 Тогда функция Понтрягина системы имеет вид (.). |F |r F FF H = .T f . = .T v + .T .µ ++ w. .m . , (6) rv 3 Ig rm Ig Ig где r = |r|, F = |F |. Здесь вектор . . вектор сопряженных переменных для (r, v), .r – вектор сопряженных переменных для r, .v – вектор сопряженных переменных для v. Согласно принципу максимума Понтрягина, если управление оптималь­но, функция Понтрягина (6) принимает максимальное значение. Очевидно, при |.v| > 0 это означает сонаправленность векторов F и .v: .v F = F. (7) .v Подставим (7) в функцию Понтрягина (6): (.). r F.v FF H(F )= .T v + .T .µr3 + w+ . .m . . rv m Ig Ig Функция Понтрягина H(F ) > maxF , если (.). .v .m +1 F .> max . (8) m Ig F Из ограничения (5) F = |F |. [0,Fmax], поэтому в (8) .v .m +1 если .. 0, то F = 0; m Ig .v .m +1 если . > 0, то F = Fmax. m Ig Случай .v =0 может приводить к вырожденным дугам траектории лишь при нескольких дискретных значениях угла между направлением тяги и ра­диус-вектором КА [12]. В данной работе такие случаи не рассматриваются. Итак, оптимальное управление в поставленной задаче должно быть ре­лейным, то есть сила тяги в любой момент времени должна быть либо мак­симальной, либо нулевой: |F (t)|.{Fmax, 0}, .t . [0,T ]. Пример графика релейной функции представлен на рисунке 1. В зависимости от того, выключено управление или включено, на време­ни перелета можно выделить пассивные и активные участки. Пусть на тра­ектории перелета есть M пассивных участков. Каждый пассивный участок (t0,tf )i,i =1,M, определяется началом t0i . [0,T ] и концом tfi . [t0i,T ]: {. Fmax, если .i =1,M : t . (t0,tf )i; |F (t)| = 0, иначе. Рис. 1. Пример графика релейной функции. По оси абсцисс . число дней от начала перелета, по оси ординат . модуль силы тяги в ньютонах (адаптировано из [5]) Согласно (1), расход топлива прямо пропорционален модулю силы тяги. Удельный импульс I считается постоянным, поэтому топливо либо расхо­дуется с постоянной скоростью на активных участках, либо не расходуется на пассивных. Таким образом, задача минимизации топливных затрат (3) сводится к задаче максимизации суммарной продолжительности пассивных участков: M .. J(t01,tf1,...,t0M ,tfM )= tfi . t0i > max . (9) (t01,tf1,...,t0M ,tfM ) i=1 Компоненты направления вектора тяги аппроксимируем с помощью по­линомиальных функций порядка K следующим образом: p(.) t e(. )= ,. = ,t . [0,T ]; (10) |p(.)|T ...K . .. KK ..iK =0 axi. i .. axi .. p(.)= . i=0 ayi. i . = . ayi . .i = ai. i . (11) ..K i=0 azi i=0 i=0 azi.i Тогда функция управления {. Fmaxe(.), если .i =1,M : t . (t0,tf )i; F (t)= (12) 0, иначе. Вектор состояния на левом конце (2) принадлежит гладкому многообра­ зию S, которое порождается множеством единичных векторов, определяю­щих направление отлетной скорости. Согласно [13], если левые краевые усло­ вия оптимальны, то сопряженный вектор . должен удовлетворять условию . . U, (13) где U . касательная к S плоскость. В проекции на пространство скоростей: .v . Uv. Многообразие S в проекции на пространство скоростей . единичная сфера. Вектор, ортогональный касательной к сфере, . вектор вдоль радиуса сферы. Отсюда необходимое условие оптимальности вектора s . сонаправленность s и .v. Функция Понтрягина (6) будет максимальна, если сонаправлены векто­ ры F и .v. Поэтому сонаправлены векторы s и F (0), то есть отлетная ско­рость должна быть направлена по оптимальному управлению в начальный момент времени. Начальные условия системы (2) в таком случае приобретают вид ... . r(0) R0 x(0) = . v(0) . = . V0 + Vотлe(0) . . (14) m(0) M0 Итак, функция управления однозначно описывается конечным числом параметров: коэффициентами полинома, определяющего направление тяги, и моментами времени, определяющими моменты переключения режимов управ­ления: a0,..., aK ,t01,tf1,...,t0M ,tfM . Функционал сформулирован в (9), ограничения-равенства берутся из (4). Ограничения-неравенства (5) вводить не нужно, из определения релейной функции управления оно будет выполняться для любого набора параметров оптимизации. Заметим, что умножение на один и тот же множитель всех коэффициен­тов ai не меняет направление e в формуле (10), а потому и вектор силы тяги F в (12). Другими словами, сила тяги определяется коэффициентами с точ­ ностью до множителя. Поэтому для сужения пространства поиска коэффи­циентов полинома вводится дополнительное ограничение на сумму квадратов всех компонент: .. KN .. 2 a ij . 1=0. i=1 j=1 Эксперименты показали, что стандартные методы оптимизации, как гра­диентные, так и безградиентные, в предлагаемой формулировке задачи нели­нейного программирования оказываются неэффективны. Основная проблема оптимизации заключается в чувствительности процесса оптимизации именно к моментам времени переключения управления. Фиксация пассивных участков позволяет значительно упростить процесс определения коэффициентов полинома p(.) и удовлетворить краевым усло­виям. Поскольку функционал зависит только от переменных времени, зада­чу определения оптимальных моментов времени и коэффициентов полинома можно разделить. А именно: на внешнем уровне оптимизации подбирать вре­менн.ые переменные, а на внутреннем уровне для фиксированных временных переменных находить коэффициенты полинома и управление, приводящее КА в целевую точку. Эксперименты показали, что проблем при численном решении внутренней задачи оптимизации не возникает, при этом для надеж­ности начальные приближения коэффициентов полиномов можно задавать случайными числами в интервале от .1 до 1. Переменные же времени мож­но подбирать сеточным методом оптимизации. Возможны ситуации, когда решение внутренней задачи найти не уда­ется. Как правило, это означает нахождение целевой точки вне множества достижимости на данной уровне тяги с учетом заданного фиксированного пассивного участка. В случае, когда внутренняя задача оптимизации не схо­дится, на внешнюю задачу подается штрафной сигнал, чтобы побудить метод оптимизации для внешней задачи искать допустимое решение. В итоге пол­ная задача оптимизации сводится к поиску распределения пассивных участ­ков максимальной суммарной продолжительности, для которого внутренняя задача оптимизации сходится. 4. Задача оптимального перелета к Марсу В данном разделе предлагаемый метод тестируется и исследуется на за­даче перелета КА, снабженного двигателем малой тяги, на Марс. Задачу пе­релета будем решать в модели точечных сфер действия, рассматривая только гелиоцентрический участок перелета, на котором на аппарат действуют толь­ко притяжение Солнца и реактивная сила тяги. Даны даты старта и прилета, в том числе в формате юлианских дат JD0 и JDf . Время перелета вычисляется как T = JDf . JD0. По юлианским датам из эфемерид с помощью инструментов пакета KIAM Astrodynamics Toolbox [14] можно вычислить положение RЗ и скорость Зем­ли VЗ в момент JD0, а также положение RM и скорость Марса VM в момент JDf . Начальную массу КА обозначим за M0. Пусть также известна модель ЭРДУ, ее удельный импульс I и максимальный модуль силы тяги Fmax. Начальная точка траектории совпадает с положением Земли в момент времени JD0 : R0 = RЗ. Начальная скорость КА складывается из скорости Земли и отлетной ско­рости, направленной по направлению оптимальной тяги в нулевой момент времени e(0), определяемому в (10): V0 = VЗ + Vотлe(0), где VЗ . скорость Земли в дату старта. Динамика описывается системой уравнений (1). Из ускоряющих возму­ щений учитываются только гравитационное притяжение Солнца и управле­ние, то есть w = 0. Требуется найти такую функцию управления F (t), чтобы в конечный момент времени положение и скорость КА совпадали с положением и скоро­стью Марса в момент времени JDf : Rf = RМ, Vf = VМ, а топливные затраты минимальны, то есть минимизируется функционал (3). 4.1. Пример применения метода Пусть начальная масса КА равна M0 = 156 кг. Модель двигателя вы­берем СПД-50М с удельным импульсом I = 1250 c и максимальной тягой Fmax = 18 мН. Пусть на старте КА доступно Vотл =3 км/с отлетной скоро­сти. Дата старта . 23 сентября 2024 года, дата прилета . 7 декабря 2025 года считаются фиксированными. Время перелета составляет 440 суток. Полином p(. ) из (11) принимается квадратичным. При фиксированных пассивных участках коэффициенты этого полинома находятся исходя из ре­шения краевой задачи с помощью метода доверительных областей [15]. Рас­ сматриваются функции управления с одним пассивным участком. Считаем, что решение задачи найдено, если норма невязки не превышает 10.9 . Начальное приближение пассивного участка [t0,tf ] . участок с совпа­дающими концами t0 = tf в случайной точке интервала времени перелета. Начальные приближения компонент векторов a0,..., aK . случайные числа от .1 до 1. Границы пассивного участка в данном примере оптимизируются с помо­щью метода Нелдера . Мида [16]. В результате запуска оптимизационных процедур со случайных начальных приближений оптимизируемых перемен­ных получается отобрать оптимальный пассивный участок с началом t0 =0 и концом tf = 152 cут. Полученное управление затрачивает 36 кг топлива, то есть 23% от начальной массы КА. График полинома p(.), определяющего компоненты вектора тяги, изображен на рисунке 2. Зависимость компонентов вектора тяги от времени с учетом пассивного участка изображена на рисунке 3. Оптимальная траектория изображена на рисунке 4. Рис. 2. Графики компонент полинома p(.) для оптимальной траектории перелета к Марсу из раздела 4.1. Полиномы здесь определены квадратичными функциями времени Рис. 3. Графики компонент силы тяги F (t) в проекциях на оси международной небесной системы координат для оптимальной траектории перелета к Марсу из раздела 4.1. На интервале времени от 0 до 152 дней располагается пассивный участок, далее до конца следует активный участок Рис. 4. Оптимальная траектория перелета к Марсу из раздела 4.1 в проекции на плоскость орбиты Земли 4.2. Верификация метода на известном решении В этом разделе мы сверим результаты оптимизации траектории пере­лета к Марсу с использованием предлагаемого алгоритма с результатами оптимизации с помощью непрямого метода [17]. Дата старта – 9 октября 2026 года, дата прилета – 12 декабря 2027 года, величина отлетной скоро­сти Vотл =2.8 км/с. Удельный импульс двигателя I = 1250 c, максимальная тяга Fmax = 18 мН. Начальная масса аппарата M0 = 156 кг. Время перелета составляет 430 дней. Рассмотрим управления с одним пассивным участком и квадратичным полиномом p(.). Чтобы продемонстрировать оптимальность искомого реше­ния, мы построим зависимости продолжительности пассивного участка от его начала и найдем участок максимальной продолжительности. Для этого мо­менты t0 и tf переключения режимов управления будем искать следующим образом: для каждого t0 на сетке значений методом дихотомии ищется макси­мальное значение tf , для которого внутренняя задача оптимизации сходится. На рисунке 5 изображена зависимость продолжительности пассивного участка tf . t0 от его начала t0. Наибольшая длительность пассивного участ­ка составляет около 160 суток и соответствует t0 =0. Полученный результат совпадает с тем, что был получен с помощью принципа максимума Понтря­гина в [17]. На рисунке 6 показаны относительные затраты топлива в зави­ симости от начала пассивного участка. Минимальные топливные затраты в этом случае составляют около 22% от начальной массы КА (34 кг). Рис. 5. График зависимости продолжительности пассивного участка от его начала в задаче перелета к Марсу в разделе 4.2. Зависимость является монотонной, а наибольшее значение продолжительность пассивного участка достигает в момент t0 =0 Рис. 6. График относительных топливных затрат в зависимости от начала пассивного участка в задаче перелета к Марсу в разделе 4.2. Наименьшие затраты топлива соответствуют t0 =0 Проводился также поиск оптимальных функций управлений и с двумя пассивными участками. Для этого моменты переключения t01, tf1, t02, tf2 режимов управления оптимизировались с помощью метода Нелдера . Ми­да. Эксперименты показали, что в результате оптимизации один из участков стягивается в точку, что косвенно подтверждает сходимость к оптимальному решению, найденному с помощью принципа максимума Понтрягина. 4.3. Случай перелета без отлетной скорости В рассмотренных выше примерах с одним пассивным участком оказы­вается, что его оптимальное расположение . в начале перелета. Объяснить это можно большим значением отлетной скорости. В начале перелета на ди­намику КА в большей степени влияет не двигатель малой тяги, а импульс, например разгонного блока, величиной порядка нескольких километров в се­кунду. Однако в общем случае оптимальный пассивный участок не обязан находиться в начале перелета. Для подтверждения этого рассмотрим пример перелета на Марс при Vотл =0, то есть V0 = VЗ. В качестве даты старта выберем 9 октября 2026 года, даты прилета – 20 февраля 2028 года. Удельный импульс двигателя I = 1250 c, максимальная тяга Fmax = 18 мН. Начальная масса аппарата M0 = 85 кг. Изобразим на графике (см. рисунок 7) зависимость продолжительности пассивного участка от его начала, то есть разницу tf . t0. Из графика вид­но, что оптимальный пассивный участок начинается на 300 сутки перелета и продолжается 40 суток. Топливные затраты определяются из графика на рисунке 8. Минимальные топливные затраты составляют 68% от начальной массы КА (58 кг). 4.4. Неединственность решений Рассмотрим начальные условия из раздела 4.1 и зафиксируем пассивный участок с началом t0 = 58 cут и концом tf = 115 cут. При запуске алгоритма решения краевой задачи для поиска коэффициентов полинома, определяю­щих направление тяги, из разных начальных приближений удалось найти две различные функции управления, обеспечивающих выполнение ограниче­ний. Их профили изображены на рисунках 9 и 10. Таким образом, одному и тому же пассивному участку может соответствовать множество допустимых управлений. Вблизи же максимально возможного пассивного участка t0 =0 и tf = 150 cут метод сходится к единственной функции управления, профиль кото­рого был представлен выше на рисунке 3. В данном случае при приближении пассивного участка к максимальному множество допустимых траекторий вы­рождается в одну оптимальную. Рис. 7. График зависимости продолжительности пассивного участка от его начала в задаче перелета на Марс в разделе 4.3, т.е. без отлетной скорости. Зависимость не является монотонной, наибольшая продолжительность пассивного участка наблюдается при t0 = 300 сут Рис. 8. График топливных затрат в зависимости от начала пассивного участка в задаче перелета на Марс в разделе 4.3, т.е. без отлетной скорости. Зависимость не является монотонной, наименьшие затраты наблюдаются при t0 = 300 сут Рис. 9. Профиль одного допустимого управления для заданного пассивного участка из раздела 4.4 4.5. Работа алгоритма при малых и больших временах полета В данном разделе для различных дат старта ищутся наименьшие и наи­большие значения времени перелета, для которых удается найти решение. Результаты для трех произвольных дат старта представлены в таблице 1: в каждой строке с заданной датой старта записываются даты прилета с мини­мально и максимально возможными временем перелета, указываются соот­ветствующие даты начала и конца пассивного участка, а также относитель­ные затраты топлива. При временах перелета меньше или больше указанных предельных значений алгоритм решения краевой задачи перестает сходить­ся даже при увеличении степени полинома p(. ). В рассмотренных примерах аппарат успевает сделать один неполный оборот вокруг Солнца. Таким обра­зом, метод эффективно работает для одновитковых перелетов. Вероятно, для сходимости на перелетах дольше одного витка следует тщательнее подбирать начальное приближение коэффициентов полиномов. Дата старта Дата прилета T , cут t0, сут tf , сут ., % 23.09.2024 01.10.2025 373 36 57 29 23.09.2024 10.06.2026 625 0 150 39 09.10.2026 09.11.2027 396 42 56 31 09.10.2026 22.11.2028 775 0 202 47 01.11.2028 16.12.2029 410 35 69 31 01.11.2028 30.05.2030 575 0 146 35 Таблица 1. Минимальные и максимальные времена перелета для задачи перелета к Марсу для трех произвольных дат старта. Здесь . =1 . m(T )/m(0) обозначает относительные затраты топлива 5. Преобразование импульса в непрерывный участок С помощью предлагаемого метода можно решать задачу преобразования мгновенного приращения скорости в непрерывный активный участок управ­ления. Опишем алгоритм решения задачи. Пусть КА на орбите в момент времени tимп получает приращение ско­рости .vимп. Требуется определить такие наименьшее время Tакт и непре­рывное управление продолжительностью Tакт, которые начинаются в мо­мент времени t0 = tимп . Tакт/2 и заканчиваются в момент времени tf = tимп + Tакт/2, чтобы положение и скорость КА в конце маневра совпадали с положением и скоростью КА в момент tf , управляемого импульсом .vимп. Время перелета Tакт оптимизируется методом Нелдера . Мида. Для каждого значения Tакт при этом решается краевая задача между векторами состояния (положения и скорости), соответствующими траектории перелета с импульсом, и определяются коэффициенты полиномов. Начальным прибли­жением для Tакт служит значение Fmax/.vимп. В качестве примера рассмотрим КА на экваториальной орбите Земли с большой полуосью a = 200 тыс. км и эксцентриситетом e =0.8. В перицентре орбиты на расстоянии rp = 40 тыс. км от центра Земли аппарату придается мгновенное приращение скорости по направлению скорости величиной vимп = 10 м/с. Начальная масса КА равна M0 = 156 кг. Удельный импульс I = 1250 c, максимальная тяга Fmax = 18 мН. В этом примере оптимальное время маневра Tакт =1.875 сут. Траек­тории с импульсным и непрерывным управлениями изображены на рисунке 11. Профиль непрерывного управления, заменяющего импульс в перицентре, изображен на рисунке 12. Для другого примера рассмотрим вытянутую орбиту с той же большой полуосью и эксцентриситетом. Пусть теперь ее наклонение i = 51.6.. В мо­мент прохождения КА восходящего узла ему придается мгновенное прира­щение скорости величиной vимп = 20 м/с по нормали к плоскости орбиты. Здесь оптимальное время маневра получается Tакт =2.250 сут. Траек­тории с импульсным и непрерывным управлениями изображены на рисунке 13. Профиль непрерывного управления, заменяющего импульс в перицентре, изображен на рисунке 14. Заметим, что на рисунке обе траектории визуально сливаются, так как близки. 6. Заключение В работе предложен параметрический метод оптимизации расхода топ­лива аппарата, снабженного двигателем малой тяги. Метод основан на ре­лейном характере оптимальной функции управления и аппроксимации на­правления силы тяги полиномами. Оптимизируемыми параметрами являют­ся моменты переключения режимов управления и коэффициенты полинома. Задача сводится к максимизации суммарной длительности пассивных участ­ков траектории. Суть метода состоит в двухуровневом подходе к оптимизации, устраня­ющем чувствительность процесса оптимизации к временным переменным: на внутреннем уровне оптимизируется решение при фиксированных пассивных участках, а на внешнем . сами пассивные участки. В исследовании представлены результаты применения метода для расче­та траектории полета к Марсу и замены импульсного управления непрерыв­ным на длительных участках траектории. Показано, как, в отличие от непря­мых методов оптимизации, основанных на принципе максимума Понтрягина, метод естественным образом позволяет анализировать влияние размещения пассивных участков на затраты топлива и находить оптимальные решения при ограничениях на эти участки. 629.78 10.20948/prepr-2024-56 межпланетный перелет оптимальное управление малая тяга замена импульса непрерывной тягой космический аппарат interplanetary transfer optimal control low thrust continuous thrust impulse substitution spacecraft Conway B.A. Spacecraft trajectory optimization. Cambridge University Press. 2010. Петухов В.Г. Оптимизация межпланетных траекторий космических аппаратов с идеально-регулируемым двигателем методом продолжения // Космические исследования. 2008. Т. 46. №3. С. 224—237. Петухов В.Г. Метод продолжения для оптимизации межпланетных траекторий с малой тягой // Космические исследования. 2012. Т. 50. №. 3. С. 258–270. Григорьев И.С. и др. Оптимизация экспедиции к Фобосу с комбинированной тягой с возвращением к Земле //Инженерный журнал: наука и инновации. 2017. №. 7 (67). https://doi.org/10.18698/2308-6033-2017-7-1639. Topputo F. et al. Survey of direct transcription for low-thrust space trajectory optimization with applications // Abstract and Applied Analysis. Hindawi, 2014. V. 2014. https://doi.org/10.1155/2014/851720. Morelli A.C. et al. Convex Trajectory Optimization Using Thrust Regularization // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2024. V. 47. №. 2. P. 339–346. https://doi.org/10.2514/1.G007646. Ulybyshev Y. Discrete pseudocontrol sets for optimal control problems // Journal of guidance, control, and dynamics. 2010. V. 33. №. 4. P. 1133–1142. https://doi.org/10.2514/1.47315. Dachwald B. Low-thrust trajectory optimization and interplanetary mission analysis using evolutionary neurocontrol // Doktorarbeit, Institut für Raumfahrttechnik, Universit¨at der Bundeswehr, M¨unchen. 2004. Dachwald B. Optimization of very-low-thrust trajectories using evolutionary neurocontrol // Acta Astronautica. 2005. V. 7. №. 2-8. P. 175–185. https://doi.org/10.1016/j.actaastro.2005.03.004. LaFarge N.B. et al. Autonomous closed-loop guidance using reinforcement learning in a low-thrust, multi-body dynamical environment // Acta Astronautica. 2021. V. 186. P. 1–23. https://doi.org/10.1016/j.actaastro.2021.05.014. LaFarge N.B., Howell K.C., Folta D.C. Adaptive closed-loop maneuver planning for low-thrust spacecraft using reinforcement learning // Acta Astronautica. 2023. V. 211. P. 142–154. https://doi.org/10.1016/j.actaastro.2023.06.004. Morelli A.C. et al. Characterization of Singular Arcs in Spacecraft Trajectory Optimization // arXiv preprint arXiv:2311.04123. 2023. https://doi.org/10.48550/arXiv.2311.04123. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимального управления // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Новейшие достижения». 1976. Т. 6. С. 133–259. KIAMToolbox // GitHub : [Электронная платформа]. URL: https://github.com/shmaxg/KIAMToolbox. Branch M.A., Coleman T.F., Li Y. A Subspace, Interior, and Conjugate Gradient Method for Large-Scale Bound-Constrained Minimization Problems // SIAM Journal on Scientific Computing. 1999. V. 21, № 1, P. 1–23. https://doi.org/10.1137/S1064827595289108. Nelder J.A., Mead R. A Simplex Method for Function Minimization // The Computer Journal. 1965. V. 7. №4. P. 308–313. https://doi.org/10.1093/comjnl/7.4.308. Овчинников М.Ю. и др. Миссия к Марсу на базе универсальной малогабаритной платформы с ЭРДУ // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. 2024. № 44. https://doi.org/10.20948/prepr-2024-44. https://keldysh.ru/papers/2024/prep2024_56.pdf