1-35 RAR 1837-4908 0000-0002-2450-0224 Голубев Юрий Филиппович Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН golubev@keldysh.ru Golubev Y.F. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS 1034-9397 0000-0001-8657-722X Корянов Виктор Владимирович Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН korianov@keldysh.ru Korianov V.V. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS Преодоление шагающим роботом препятствий, характерных для равнины Overcoming obstacles typical for a flat terrain by a walking robot Представлена оценка сверху максимальной ширины зоны, запрещённой для наступания, которую шагающий робот может преодолеть в режиме статической устойчивости. На примерах шестиногого и четырёхногого роботов показано, что полученная оценка является неулучшаемой. С этой целью сформированы следовые последовательности постановки ног робота, обеспечивающие достижение значения оценки. Приведены результаты компьютерного моделирования и видеоматериалы, иллюстрирующие процесс преодоления препятствия шестиногим роботом. An upper estimate of the maximum width of the forbidden zone for foot fulcrums, which a walking robot can overcome in static stability mode, is presented. Using the examples of six-legged and four-legged robot, it is shown that the obtained estimate can't be improved. For this purpose, the sequences of the robot's foot placement have been formed, ensuring the achievement of the estimation meaning. The results of computer modeling and video materials illustrating the process of overcoming an obstacle by a six-legged robot are presented. Введение В естественной природной среде часто встречаются невысокие препят­ствия в виде областей, непригодных для опоры ног шагающего аппарата. Это могут быть глубокие расщелины, рвы, ручьи, лужи, траншеи, заболо­ченные участки, россыпи камней и пр. Такие природные образования будем в дальнейшем называть опасными областями. Колесные вездеходы разнооб­разных конструкций преодолевают такого рода препятствия одним способом. Они просто едут, и если получилось проехать, то и хорошо. Однако непрерыв­ность их колеи накладывает серьёзные ограничения как на саму возможность проезда, так и на возможность не сокрушить состояние окружающей среды после их деятельности [1]. Для шагающих машин в зависимости от конструк­ции могут возникать различные варианты прохода над препятствием в за­висимости от их размеров. Например, если препятствие целиком умещается между планируемыми точками опоры на следовой колее, то его можно легко перешагнуть, ничего не меняя ни в следовом расписании, ни в расположе­нии планируемых следовых точек. Если ширина препятствия не превосходит расстояния между следовыми точками, но препятствие не попадает целиком ни в один из интервалов между ними, то тогда достаточно будет перестроить следовую последовательность не меняя направление движения. В том слу­чае, когда препятствие широкое, но сравнительно короткое, робот может его попросту обойти. Ниже рассматривается вопрос о преодолении широкого и весьма протя­женного препятствия, когда перечисленные выше сразу напрашивающиеся способы преодоления не работают. В таком случае робот может применять методы, основанные на анализе способности робота дотянуться до точек опо­ры на противоположной стороне препятствия [2], и если это возможно, то пройти над препятствием, не обязательно соблюдая при этом регулярность походки. Если не получается дотянуться до необходимых опорных точек, то робот может попытаться перепрыгнуть через препятствие [3]. Для этого он должен весьма надёжно сопоставить свои динамические свойства с шириной препятствия, что крайне рискованно, когда края препятствия имеют разную высоту и не очень твёрдые. В препринте исследуется вариант преодоления шагающим роботом запре­щенных для наступания протяженных зон в режиме статической устойчи­вости без использования прыжков. Для преодоления такой зоны указанным способом можно либо использовать собственные элементы конструкции ро­бота, либо привлечь какие-либо достаточно длинные предметы (доска или брус) из окружающей среды, чтобы обеспечить себе возможность переправы на противоположную сторону препятствия. Переправа робота по брусу уже рассматривалась ранее [4] для случая, когда края расщелины находятся на одной высоте. Отметим, что применение подобного рода опор может созда­вать дополнительные помехи, например, колебания и вибрации, неизбежно возникающие при движении по ним [5]. В данном препринте решена задача о нахождении максимальной ширины зоны, запрещённой для наступания, которую n-ногий симметричный шагаю­щий робот с прямоугольным корпусом может преодолеть в режиме статиче­ской устойчивости. Найдена неулучшаемая аналитическая оценка максималь­ной ширины зоны. Для шестиногого робота доказано, что при возможности движения след в след. допустимая ширина зоны препятствия ограничена суммой половины длины корпуса и предельного значения полушага робота. Установлено также, что для шестиногого робота при полудлине корпуса, пре­вышающей полный предельный шаг, указанное ограничение сохраняет посто­янное значение, равное с точностью до запаса статической устойчивости трем предельным полушагам. Указаны методы построения следового расписания, обеспечивающие достижение максимальной ширины зоны препятствия как для шестиногого, так и для четырёхногого роботов. Соответствующие алго­ритмы были отработаны на программном комплексе Универсальный меха­низм. [6] с учётом полной динамики шестиногого робота. Представленные ре­зультаты компьютерного моделирования подтверждают аналитические оцен­ки. 1. Постановка задачи Будем иметь в виду изолированные препятствия, расположенные на рав­нинной горизонтальной местности, для преодоления которых достаточно че­рез них перешагнуть. Препятствие называется изолированным [2], если его можно заключить в область между двумя вертикальными плоскостями, пер­пендикулярными направлению движения корпуса, таким образом, что вне этой области в достаточно большой её окрестности отсутствуют точки, за­прещённые для наступания. На опорной поверхности указанные плоскости выделяют полосу, называемую зоной препятствия, внутри которой нельзя помещать следовые точки. Ширина d зоны зависит от соотношения размеров препятствия и несущих свойств опорной поверхности. Пусть корпус шагающего робота имеет форму прямоугольного паралле­лепипеда и инсектоморфную структуру ног [2]. Точки подвеса одинаковых двухзвенных весомых ног расположены на боковых сторонах корпуса симмет­рично относительно продольной и поперечной вертикальных строительных плоскостей корпуса, содержащих его центр. Тогда число ног робота n =2k . чётное. Длина боковых сторон корпуса больше его ширины. Робот подхо­дит к препятствию передней или задней стороной. При перешагивании через препятствие робот сохраняет направление продольной оси корпуса перпен­дикулярным границам зоны препятствия. Возникает задача о нахождении максимально возможной ширины зоны препятствия, которое робот может преодолеть. Требуется также указать логическую последовательность поста­новки ног (следовое расписание), позволяющую аппарату безопасно перешаг­нуть через такую зону. Пусть O1. . неподвижная декартова система координат. Плоскость O1. горизонтальна. Ось O1. направлена перпендикулярно зоне препятствия. Ось O1 направлена вертикально вверх. Ось O1 дополняет систему координат O1. до правой тройки. Начало O1 расположим со стороны подхода робота к препятствию, так что . = .m . уравнение передней границы зоны пре­пятствия, а . = .M . уравнение её задней границы, .m и .M . постоянные, причём 0 <.m <.M. Декартову право-ориентированную систему координат Oxyz жёстко свя­жем с корпусом аппарата так, чтобы её начало O совпало с центром однород­ного корпуса, плоскость Oxy содержала точки подвеса всех ног, ось Ox была ориентирована вдоль продольной оси корпуса по скорости его движения, ось Oy была направлена в сторону точек подвеса ног, расположенных с левой стороны корпуса по ходу его движения. Ногам, расположенным справа (если смотреть вперёд в направлении дви­жения) от продольной плоскости симметрии корпуса, припишем, начиная с задних ног, последовательные нечётные номера, а ногам, расположенным слева от указанной плоскости, . последовательные чётные. Пусть x2j, y2j, z2j =0 . относительные координаты точек подвеса ног левой стороны, а x2j.1, y2j.1, z2j.1 =0 . относительные координаты точек подвеса ног пра­вой стороны (j =1,k). Потребуем, чтобы yi =(.1)ib, b> 0, i =1,n. Геометрически это означает, что точки подвеса ног расположены на пря­мых, лежащих в плоскости Oxy симметрично относительно плоскости Oxz и равно отстоят от оси Ox на расстояние b. Кроме того, предположим, что x2j.1 = x2j = a[j. (k +1)/2]. Величины a, b постоянны и определяют габа­риты корпуса аппарата, так что (k. 1)a . длина корпуса и 2b . его ширина. Будем считать, что корпус шагающего аппарата движется поступательно, со­храняя в любой момент времени сонаправленную взаимную ориентацию осей координат O1. и Oxyz. fff Положения (x i ,y i ,z ) стоп ног относительно корпуса определяются соот­ i ношениями [4] f qxi = x . xi = .[(.1)il1 sin i . l2 sin( i + i)]sin i, i f qyi = y . yi =[(.1)il1 sin i . l2 sin( i + i)]cos i, (1.1) i f qzi = z i . zi =(.1)i+1l1 cos i + l2 cos( i + i),i =1,n, где l1 . длина бедра, l2 . длина голени, i . угол между бедром и осью Oz, i . угол между бедром и голенью, . угол поворота плоскости ноги вокруг оси, проходящей через точку подвеса ноги параллельно оси Oz. Непростая за­висимость правых частей (1.1) от индекса i обусловлена требованием, чтобы углы, определяющие положение стопы в осях Oxyz для разных сторон робота отсчитывались единообразно в положительном направлении, если смотреть со стороны положительного направления осей Ox и Oz (рис.1, a и б). a) Вид спереди б) Вид сверху Рис. 1: Угловые координаты робота Обозначим (.0, 0, 0)абсолютные координаты точки O. Тогда абсолютные координаты стоп ног примут вид .f f f i = .0 + xi + qxi, i = 0 + yi + qyi, i = 0 + zi + qzi. (1.2) f Из формул (1.1) видно, что положение стопы ноги, при котором .= i .0 + xi и f = 0 +yi, оказывается особым. Во избежание неприятностей, связанных i с вырождением уравнений (1.1), потребуем, чтобы при перешагивании через зону препятствия было выполнено ограничение ' | f . 0|. c >b, i =1,n, (1.3) i ' где c . постоянная. В дальнейшем предполагается, что точки опоры ног каж­дой из сторон принадлежат соответственно левой и правой прямолинейным следовым колеям, параллельным боковым сторонам корпуса. В процессе движения какие-то ноги опираются о грунт, а какие-то на­ходятся в состоянии переноса. Грунт может быть неровным. Вертикальные проекции точек опоры на плоскость O1. образуют плоский выпуклый опор­ный многоугольник D, как минимальное множество точек на плоскости O1. , содержащее проекции всех точек опоры робота. Позиция робота называется статически устойчивой [4], если его центр масс, рассчитанный с учётом массивности корпуса и всех ног, проектируется строго внутрь опорного многоугольника D: C. . (D\@D), (1.4) где C. . проекция центра масс аппарата (с учётом всех его ног) на плоскость O1. , @D. граница множества D. При движении по равнинной и в среднем горизонтальной местности есте­ственным представляется положение корпуса, когда плоскости O1. и Oxy параллельны. Пусть это ограничение удовлетворено. Приняв во внимание неравенства (1.3) и условие сонаправленности осей координат, заключаем, что тогда для выполнения условия статической устойчивости необходимо, чтобы в число вершин опорного многоугольника входили опорные точки ног каждой из сторон. Зону препятствия Z можно выразить формулой Z = {(., ): .m <. <.M},d = .M . .m, (1.5) так что (.f , f ) /(1.6) ii .Z. Рассмотрим ситуацию, когда робот вплотную подошёл к передней границе .m зоны препятствия и должен переправиться на другую сторону зоны. Это означает, что вначале переправы будет выполнено .0 + a(k . 1)/2 . .m,ав конце переправы должно быть выполнено: .M . .0 .a(1.k)/2. Из множества G всех последовательностей постановки ног и движений корпуса требуется указать последовательность, которая позволит роботу достичь max (d) (1.7) G при выполнении условий (1.3), (1.4) и (1.6). 2. Запас статической устойчивости Оценим величину отклонения центра масс шагающего робота от центра масс его корпуса. Координата .c центра масс робота определяется формулой ! nn XX 1 m .c = m0.0 + m.ci = .0 +(.ci . .0), MM i=1 i=1 где m0 . масса корпуса, m . масса одной ноги, M . масса всего аппарата, .ci . координаты центров масс ног. Следовательно, в соответствии с формулами (1.2) при симметричном расположении точек подвеса ног получим nn XX mm cc (xi + q )= .0 + q (2.1) .c = .0 + xixi, MM i=1 i=1 c где q. координаты центров масс ног относительно их точек подвеса. xi Для планирования перешагивания через запрещенные зоны в режиме ста­тической устойчивости необходимо оценивать положение центра масс робота относительно критической границы опорного многоугольника, в окрестно­сти которой устойчивость шагающего аппарата может быть нарушена. Как показывает формула (2.1), положение центра масс аппарата отклоняется от центра корпуса в некоторых пределах, зависящих от конструктивных осо­бенностях ног и их положения относительно корпуса. По положению центра корпуса можно надёжно судить о критичности положения центра масс ап­парата, если эти пределы гарантированно ограничивают область возможных положений центра масс аппарата и достаточно близки по x-координате. Бли­зость указанных пределов в критических для потери статической устойчиво­сти случаях с заданной точностью " обеспечивается посредством надлежащей балансировки позы аппарата. Определение 2.1. Позу аппарата назовём продольно "-сбалансированной, если выполнено неравенство n X c M q xi . ". (2.2) m i=1 Например, для шестиногого аппарата любая поза, удовлетворяющая соот­ношениям qx1 = qx2 = .qx5 = .qx6,qx3 = qx4 =0, (2.3) является абсолютно продольно "-сбалансированной для любого " и любой массы ног. Ещё один пример абсолютно продольно "-сбалансированной позы доставляется равенствами qx3 = qx4 = .qx5 = .qx6,qx1 = qx2 =0. Другой пример выглядит так: qx1 = qx2 = .qx3 = .qx4,qx5 = qx6 =0. Формула (2.2) представляет собой условие, при выполнении которого для оценки возможности сохранения продольной статической устойчивости мож­но пользоваться критерием близости центра корпуса к границе опорного мно­гоугольника при заданном запасе статической устойчивости ". Определение 2.2. Движение робота считается продольно статически устойчивым с запасом ", если в любой момент времени выполнено условие {(., 0): .0 . " . . . .0 + "}.D. (2.4) Ясно, что критерий будет физически осмысленным для достаточно малых ". Например, он имеет геометрический смысл при значениях ", не превышаю­щих продольный размер опорного многоугольника в любой момент времени. При использовании критерия (2.4) предполагается, что .c-координата цен­тра масс робота из-за движения ног может оказаться в любой точке отрезка [.0 . ",.0 + "], и заранее неизвестно в какой. Можно сказать, что при значительной массе ног формула (2.2) определя­ет меру симметричности позы аппарата, при которой критерий (2.4) надёж­но работает. Или, например, насколько масса отдельной ноги должна быть меньше суммарной массы всего аппарата, чтобы критерий (2.4) можно было использовать при любых положениях ног относительно их точек подвеса. В предположении, что звенья l1 и l2 однородны, координаты центров масс ног относительно их точек подвеса даются выражениями hi 1 m2 cc q xi = x i . xi =(.1)i+1l1 sin i sin i + qxi , 2 m hi 1 m2 cc q yi = y i . yi =(.1)il1 sin i cos i + qyi , (2.5) 2 m hi 1 m2 cc q zi = z i . zi =(.1)i+1l1 cos i + qzi ,i =1,n, 2 m где m = m1 +m2 . масса ноги, m1 . масса бедра, m2 . масса голени. Если для ног с точками подвеса, симметричными относительно плоскости Oxz, принять 2j.1 = . 2j, 2j.1 = . . 2j,2j.1 = . . 2j,j=1,k, то соответствующая пара ног расположится симметрично относительно плос­кости Oxz, а центр масс такой пары будет иметь координаты 1 m2 cc x = l1 sin 2j.1 sin 2j.1 + qx(2j.1) ,y =0, 2j.1,2j 2j.1,2j 2 m 1 m2 c z 2j.1,2j = l1 cos 2j.1 + qz(2j.1) ,j =1,k. 2 m Симметричное расположение ног правой и левой сторон робота относительно плоскости Oxz характерно для различных вариантов походки галоп, ча­сто используемой для преодоления препятствий. С точки зрения статической c устойчивости интерес представляет величина x, которую преобразуем 2j.1,2j следующим образом: 1 m2 c x 2j.1,2j =2 .2j.1 + mqx(2j.1), (2.6) l1 sin 2j.1 .2j.1 = ,j=1,k, l1 sin 2j.1 + l2 sin( 2j.1 + 2j.1) где параметр .2j.1 есть отношение модуля проекции бедра на плоскость Oxy к расстоянию между стопой и осью вращения ноги. Если передние и задние ноги сбалансированы относительно середины кор­пуса: qx(2j.1) = qx(2j) = .qx[2(k.j)+1] = qx[2(k.j+1)],j=1,.(k+1)/2.. 1, k> 2, где символом ..... обозначена целая часть числа по недостатку, то при нечёт­ном k из формулы (2.1) следует mm2 .c = .0 + .k + qxk. Mm Требование надёжности статической устойчивости, когда передняя граница опорного многоугольника образована средними ногами и принадлежит пря­мой . = .m, запишем в виде mm2 .m . .c = .m . .0 . .k +(.m . .0). " 0. Mm Откуда h i.1 mm2 .m . .0 . 1. .k + " 0. Mm Последнее неравенство будет гарантированно выполнено, если потребовать .1 ml1 m2 .m . .0 . " = "0, =1. + > 1, (2.7) Mc m поскольку max.k = l1/c, где c . расстояние от следовой колеи до проекции точки подвеса ноги на горизонтальную плоскость. Как и следовало ожидать, для центра корпуса запас статической устойчивости должен быть больше, чем запас для расчётного центра масс всего робота. 3. Максимальная ширина зоны препятствия Длину абсолютного шага отдельной ноги будем оценивать как расстояние между её последовательными точками опоры в неподвижной системе коорди­нат O1. . Из (1.2) видим, что указанное расстояние зависит от перемещения корпуса и от перемещения стопы относительно корпуса. Расстояние между последовательными точками опоры в координатах Oxyz, связанных с кор­пусом, будем называть длиной относительного шага. Возможное положение стопы относительно точки подвеса соответствующей ноги определено форму­лами (1.1) и (1.3) и описывается соотношениями 222 q xi+q yi+q zi = .2 i = l12 +l22 +(.1)i+12l1l2 cosi, (.1i)qyi >c = c '.b> 0. (3.1) В координатных осях Oxyz при фиксированном значении i возможные по­ложения i-й стопы принадлежат соответствующему сферическому сегменту, ' отсечённому плоскостью (.1)iy = c от сферы радиуса .i с началом в точке подвеса i-й ноги. Из формул (3.1) и (1.1) следует, что проекция i-й стопы на ось Ox может быть выражена формулой q f 22 x = xi + qxi = xi ± Lxi,Lxi = .2 . q. q(3.2) i iyi zi, где выбор знака зависит от значения угла i. Рассмотрим случай, когда шага­ющий аппарат преодолевает препятствие, двигаясь в положительном направ­лении оси Ox. Тогда вопрос о возможности опоры i-й стопы о какую-либо точку на грунте с абсциссой . связан с анализом справедливости включения (. . .0 . xi). [.Li,Li], Li = max Lxi. (3.3) i,qyi,qzi Если включение (3.3) справедливо, то указанную точку можно оставить в качестве предположительно возможной точки опоры. Если же это включение не выполнено, то на такую точку опереться не получится. f В соответствии с выбором системы координат Oxyz имеем qzi = i . 0. Если f . высота предполагаемой точки опоры, то тогда |qzi| характеризует i клиренс аппарата, то есть свободный просвет между корпусом и опорной по­верхностью, которым шагающий аппарат может управлять в определенных пределах. Пусть опорная поверхность задана формулой = F(., ). Обозна­чим . 0 = max F(., )+ ., .E -координату центра корпуса, допустимую с точки зрения безопасности дви­жения, где постоянная учитывает минимально безопасную величину кли­ ренса, E. ограниченная область плоскости O. , содержащая следовые ко­леи, на которых планируются положения точек опоры робота. Ясно, что чем . меньше эта область, тем аккуратнее будет выбран параметр 0. Из формул (3.2) и (3.1) найдём q L(.f, . )=(l1 + l2)2 . c2 . [ .0 . F(.f, .)]2 , . = 0 +(.1)i(b+c). (3.4) Это означает, что максимальная величина L(.f, .)выноса опорной стопы в направлении оси Ox зависит от координат точки предполагаемой опоры и достигается, когда нога предельно выпрямлена: (.1)i+1 cosi =1 > i = . [1+(.1)i]> max .i = l = l1 + l2, 2i предполагаемая точка опоры расположена на следовой колее, параллельной корпусу и отстоящей от него на предельно близкое допустимое расстояние c, а высота корпуса над предполагаемой точкой опоры настолько мала, на­сколько это соответствует допустимому пределу безопасного перемещения. Точное значение координаты .f в формуле (3.4) для ноги с номером i можно найти из уравнения q .f . .0 . xi = ±L(.f, . )= ±(l1 + l2)2 . c2 . [ .0 . F(.f, .)]2 , и это будут абсолютные .-координаты предельных точек на опорной поверх­ности, до которых нога может дотянуться из заданного положения корпуса. Если же, наоборот, задать значение .f, то тогда можно легко найти значение .0, соответствующее положению корпуса, при котором в зависимости от зна­ка перед радикалом эта точка окажется предельно достижимой либо спереди от соответствующей точки подвеса, либо позади неё. Назовём передней границей опорного многоугольника отрезок прямой, об­разованный ближайшими к зоне препятствия двумя точками опоры ног, одна из которых находится с правой, а другая с левой стороны корпуса если смот­реть в направлении оси Ox. Обозначим .-координаты правой и левой точек опоры передней границы опорного многоугольника через .r и .l соответствен­но. Согласно принятым ограничениям на конфигурацию робота, обеспечива­ющим возможность выполнения шага максимальной длины для всех ног (см. формулу (3.4)), точка O проектируется в середину отрезка между следовы­ми колеями. Пусть прямая = l = 0 . b+ c . следовая колея для левых ног робота, а = r = 0 + b. c . следовая колея для правых ног робота. Граница .M достижима для передних ног, если на следовых колеях найдутся точки с координатой .f, для которых выполнено неравенство .0 + ak. 1+ L(.f, . ). .M, (3.5) 2 причём равенство достигается, когда .f = .M. Обозначим LM = max(L(.M, l),L(.M, r)) (3.6) и учтём, что .M = .m+d. Равенство левой и правой частей формулы (3.5) для заданного значения .0 обеспечивается, когда d принимает предельно большое . значение d = d. Следовательно, k . 1 . .0 . .m + a + LM = d(.0). (3.7) 2 Справедлива следующая лемма . Лемма 3.1. Максимум = max.0 d ширины зоны препятствия, преодо­лимого рассматриваемым многоногим статически устойчивым роботом, достигается, если в момент постановки передних ног на линию . = .M передняя граница опорного многоугольника удовлетворяет условию .r + .l (.r,.l)= argmin .m . . (3.8) 2 .r ..m,.l..m Доказательство. Поскольку передняя граница опорного многоугольника линейна, то для выполнения условия статической устойчивости необходимо, чтобы было .r + .l .r + .l .c < . .m > .c . .m < . .m . 0. 22 Отсюда ясно, что для возможности увеличения допустимой ширины препят­ствия (3.7) следует в конце переноса передних ног через зону препятствия выбирать точки опоры для передней границы опорного многоугольника так, чтобы было удовлетворено требование (3.8). Теорема 3.1. Максимальная ширина зоны препятствия, преодолимо­го рассматриваемым шестиногим роботом, ограничена неравенством n X .r + .l mk . 1 c . max . .m . qa + LM, (3.9) xi + .r..m,.l..m 2 M 2 i=1 то есть многоногий робот описанной выше конструкции не может пре­одолеть зону препятствия, ширина которой на момент окончания пере­носа передних ног превосходит сумму половины длины корпуса робота и максимально возможного выноса стоп передних ног в направлении оси Ox за вычетом минимально достижимого расстояния от середины передней границы опорного многоугольника до переднего края зоны препятствия и x-координаты центра масс всех ног относительно корпуса робота. Доказательство. До начала перешагивания через зону препятствия все точки опоры имеют .-координаты, меньшие .m. Корпус робота ориентирован так, что ось Ox направлена к границе зоны . = .m и перпендикулярна к ней. Ясно, что такое расположение корпуса позволяет наилучшим образом использовать его габариты для переправы через зону, потому что a(k.1) >b. Из формулы (3.7) следует, что .r + .l .r + .l k . 1 . .0 . + . .m + a + LM = d(.0). (3.10) 22 2 Но согласно формуле (2.1) найдём n X .r + .l m c .0 < . q (3.11) xi. 2 M i=1 Поэтому n X .r + .l m c .0 . < . q xi. 2 M i=1 Кроме того, разность (.r + .l)/2. .m не положительна, поскольку рассмат­ривается этап, когда робот еще не перенёс ноги через препятствие. Вместе с тем эта разность по модулю тем меньше, чем ближе расположены передние опорные точки к зоне препятствия. Замечание 3.1. Если в момент постановки передних ног робота на зад­нюю границу препятствия робота используется абсолютно сбалансированная P n c поза, то есть =0, то тогда ширина преодолимой зоны препятствия i=1 qxi ограничена неравенством .r + .l k . 1 . max . .m + a + LM. .r..m,.l..m 22 Вместе с тем, если число ног достаточно велико, например, n . 8, то без ущерба для статической устойчивости некоторую часть ног можно употре­бить с целью увеличения допустимой зоны препятствия, смещая суммарный относительный центр масс этих ног в направлении, противоположном оси Ox. Если число ног относительно невелико (n . 6), то указанная возможность практически отсутствует, поэтому требование абсолютной сбалансированно­сти следует ослабить, заменив его требованием "-сбалансированности позы. В таком случае следует допустить, что в пределах .0 ." . .c . .0+" координата .c центра масс робота может принимать любое значение. Полагая, что тре­бование сохранения статической устойчивости имеет приоритетное значение во всех обстоятельствах движения робота, будем в дальнейшем пользовать­ся критерием (2.4), гарантирующим при условии "-сбалансированности позы статическую устойчивость робота. В результате получим ограничение .r + .l k . 1 . max . .m . " + a + LM, (3.12) .r..m,.l..m 22 которым и будем пользоваться при анализе возможности преодоления за­прещённых для наступания зон шестиногими и четырёхногими аппаратами. Параметр " в данном случае характеризует меру неуверенности в оценке рас­положения центра масс ног относительно их точек подвеса. 4. Следовое расписание Для того чтобы убедиться, что приведённые в предыдущем разделе оценки ширины предельно допустимой зоны препятствия являются неулучшаемыми, следует указать следовое расписание, при котором они превращаются в ра­венство. Проделаем это для шестиногих и четырёхногих аппаратов. Процесс преодоления зоны препятствия начинается в тот момент, когда робот подо­шёл вплотную к зоне препятствия. I. Рассмотрим сначала процесс преодоления препятствия шестино­гим аппаратом. Лемма 4.1. Для преодоления шестиногим аппаратом зоны препятствия максимальной ширины передние ноги следует переносить через препят­ствие одновременно. Доказательство. Пусть передние ноги переносятся через препятствие по­следовательно. Тогда оставшаяся в опоре передняя нога будет ограничивать продвижение корпуса над зоной препятствия и тем самым будет мешать до­тягиванию передних ног до точек опоры на границе . = .M зоны. Следствие 4.1. При одновременном переносе передних ног через препят­ствие передняя граница опорного многоугольника формируется средними ногами. Следствие 4.2. Перед перешагиванием через предельно широкую зону препятствия точки опоры передних ног следует ставить на переднюю гра­ницу . = .m зоны. Доказательство. При переносе передних ног передняя граница опорно­го многоугольника формируется точками опоры средних ног, но эти точки опоры не могут располагаться впереди точек опоры передних ног. Вместе с тем при переносе передних ног проекция центра масс на горизонтальную плоскость не может выходить за пределы передней границы опорного много­угольника, образованной средними ногами. Походка след в след. возникает, когда точки опоры соседних ног одной стороны для последовательных шагов совпадают. Для того чтобы походка след в след. могла быть реализована при движении по всей поверхности = F(., ), должно быть выполнено общее конструктивное ограничение: a . 2min L(., ). (4.1) ., .E Заметим, что в реальности, когда звенья ног имеют конкретные физические размеры, а планируемая точка опоры ещё занята предыдущей ногой, поход­ку след в след, строго говоря, практически реализовать невозможно без пересечения соседних ног одной стороны корпуса. Если всё же необходимо применить такую походку, то планируемую точку опоры следует смещать по координате в ту или другую сторону на расстояние, не меньшее, чем тол­щина голени. В дальнейшем для оценок максимальной допустимой ширины препятствия будем пользоваться формулой (4.1), считая, что указанная по­ходка при незначительном боковом смещении планируемых точек опоры не окажет ощутимого влияния на эти оценки. Пусть условие (4.1) нарушено. Тогда в области E, где происходит движение аппарата, найдётся такая точка поверхности, до которой последующая нога не сможет дотянуться, если на неё опирается соседняя предыдущая. Случай, когда точка опоры последующей ноги оказывается впереди предыдущей, в дальнейшем рассматриваться не будет в связи с тем, что тогда для робо­та рассматриваемой конструкции при переносе последующей ноги, очевидно, может возникнуть взаимное пересечение соседних ног, что недопустимо. Походка след в след. обладает набором интересных автомодельных ка­честв, облегчающих анализ статической устойчивости движения ША в це­лом [2]. Вместе с тем её совсем необязательно использовать повсеместно. Учитывая тот факт, что возможность постановки ног след в след. рассмат­ривается лишь с точки зрения преодоления зоны препятствия максимальной ширины, условие (4.1) можно ослабить: a . ae, (4.2) где ae =2min(min L(., ), min L(., )). (4.3) ., r.E ., l.E Другими словами, нас будет интересовать возможность организации движе­ния след в след. при расположении точек опоры на левой и правой следовых колеях. Ясно, что условие (4.2) является необходимым по отношению к усло­вию (4.1). Для простоты последующего анализа обратимся к варианту, когда движе­ние происходит по ровной горизонтальной плоскости. В таком случае макси­мальные длины относительных шагов будут одинаковы для всех точек опоры и для всех ног. Обозначим L длину максимально возможного относительного полушага для этого случая. Тогда условие (4.3) можно переписать в виде ae =2L. (4.4) Представим половину длины корпуса a в виде a = ae + .. (4.5) Замечание 4.2. Если . . 0, взаимное пересечение соседних ног в точ­ках, не совпадающих со стопами, отсутствует. При произвольном значении . . [.ae,0) точки подвеса соседних ног могут оказаться расположенными слишком близко, из-за чего будет существовать опасность взаимного пере­сечения звеньев соседних ног. Допустим, что найдется число µ, такое что 0 <µ <ae, для которого неравенство . ..µ исключает возможность вза­имного пересечения звеньев соседних ног. Определение 4.3. Стандартной позицией (рис. 2) шестиногого робота перед препятствием назовём позицию, когда передний край корпуса располо­жен над линией . = .m, точки опоры ног имеют координаты: .5 = .6 = .m,.3 = .4 = .m . a, .1 = .2 = .m . 2a, 1 = 3 = 5 = 0 . b. c, 2 = 4 = 6 = 0 + b+ c. В этой позиции центр масс робота совпадает с серединой корпуса и имеет координаты .c = .0 = .m . a, 0. Рис. 2: Стандартная позиция ША перед препятствием Реализуемость движения след в след. позволяет уточнить неравенство (3.12). Теорема 4.1. Пусть .ae < .µ . . . 0, µ> 0. Тогда, если применяет­ся критерий (2.4), максимальная ширина зоны препятствия, которую шестиногий робот может преодолеть при движении по плоскости, выра­жается равенством = ae + . . " + L, (4.6) где " . запас статической устойчивости. Доказательство. Как было установлено выше, перед началом перешаги­вания через зону препятствия точки опоры передних ног должны распола­гаться на прямой . = .m. Условие (4.2), которое при . . 0 очевидно будет выполнено, обеспечивает возможность постановки средних ног в точки опоры передних, когда корпус частично продвигается за переднюю границу . = .m зоны препятствия на расстояние, при котором будет выполнено .0 = .m . ". После этого передние ноги следует переносить в точки опоры на задней гра­нице . = .M. В этом случае .r + .l = .m, 2 и правая часть формулы (3.12) превращается в правую часть формулы (4.6). Покажем теперь, что существует следовое расписание, обеспечивающее преодоление зоны препятствия ширины (4.6) без нарушения статической устой­чивости. Пусть робот находится в стандартной позиции перед препятствием в соответствии с определением 4.3. Прежде чем начать перенос передних ног, надо продвинуть корпус по направлению к линии . = .M так, чтобы по­явилась возможность в том же направлении перенести задние ноги. Наибо­лее далеко корпус можно было бы продвинуть на расстояние максимального относительного полушага передних ног. Однако при этом проекция центра масс робота на горизонтальную плоскость должна всё же находиться внут­ри опорного многоугольника, образованного передними и средними ногами, с заданным запасом " статической устойчивости. Тогда передние ноги ещё могут оставаться в опоре (Рис. 3). Рис. 3: Начальный этап Теперь задние ноги могут одновременно сделать шаг величиной a .L. " (Рис. 4). После этого точки опоры расположатся следующим образом .1 = .2 = .m . a .L. ", .3 = .4 = .m . a, .5 = .6 = .m. Рис. 4: Перенос задних ног Затем стопы средних ног могут переместиться в точки опоры передних ног (Рис. 5). Рис. 5: Перенос средних ног После этого всё готово к началу переноса передних ног. Передние ноги пе­реносятся одновременно с перемещением вперёд корпуса так, чтобы к момен­ту окончания их переноса поза аппарата стала "-сбалансированной, и центр корпуса обеспечивал "-запас передней статической устойчивости при опоре на средние и задние ноги. В полученной позиции задние ноги препятствуют дальнейшему продвижению корпуса вперёд (Рис. 6), но их нельзя переста­вить, так как центр корпуса робота не доходит до передней границы . = .m. Рис. 6: Перенос передних ног с одновременным продвижением корпуса Как только передние ноги встали на линию . = .M, опорный многоуголь­ник изменился, и можно начинать дальнейшее маневрирование. Например, можно немного отступить средними ногами назад, так чтобы центр корпуса попал внутрь опорного многоугольника, образованного передними и средни­ми ногами, затем переместить стопы задних ног на расстояние L + " в сто­рону препятствия, вернуть средние ноги на передний край зоны препятствия и продвинуть корпус через препятствие на расстояние L + " (Рис. 7). Точки опоры и центр корпуса будут иметь координаты .1 = .2 = .m.a, .3 = .4 = .m,.5 = .6 = .m+a+L." = .M,.0 = .m+L. Рис. 7: Продвижение корпуса после постановки передних ног Затем задние ноги переносятся в точки опоры средних ног (Рис 8). Корпус Рис. 8: Перенос задних ног продвигается через препятствие на расстояние a.L. ", а средние ноги пере­носятся в точки опоры передних ног (Рис. 9). Точки опоры и центр корпуса Рис. 9: Перенос средних ног с продвижением корпуса получат координаты .1 = .2 = .m,.3 = .4 = .M,.5 = .6 = .M,.0 = .m + a . " = .M .L. Такой манёвр возможен, поскольку в результате него расстояние между про­екцией центра корпуса и задней границей препятствия оказывается равным L. Полученная в итоге позиция робота симметрична относительно срединной плоскости препятствия позиции, соответствующей пятому шагу (рис. 8). По­этому остаётся выполнить ряд очевидных шагов в обратном порядке с учётом указанной симметрии для завершения процесса перелаза. Рассмотрим случай, когда движение след в след. невозможно. Тогда справедлива теорема. Теорема 4.2. Если применяется критерий (2.4) и .> 0, то максималь­ная ширина зоны препятствия выражается формулой = ae + L. ", . . 0. (4.7) Доказательство. Преодоление зоны препятствия начинается из стан­дартной позиции. Корпус продвигается в направлении границы . = .M на расстояние максимального относительного полушага передних ног. Потом сначала задние делают относительный шаг длиной a . . .L. " = L. ", а затем средние ноги . максимальный относительный шаг в том же направ­лении, и стопы всех ног будут иметь координаты .1 = .2 = .m . 2a + L. ", .3 = .4 = .m . ., .5 = .6 = .m соответственно (Рис. 10). Покажем, что если в полученной позе поднять передние ноги, то робот не сможет изменить переднюю границу опорного многоугольника, образован­ную средними ногами. Действительно, при поднятых передних ногах центр масс робота будет смещён относительно точек подвеса ног в сторону препят­ствия. Но смещение робота назад невозможно из-за того, что средние ноги, будучи в опоре, максимально вынесены вперёд. Поэтому середина диагонали опорного многоугольника при поднятых передних ногах будет иметь коорди­нату .d = .m . . . (a + L + ")/2. Кроме того, .0 = .m . a + L. Поэтому L + . + " .0 . .d = > 0. 2 С другой стороны, если перенести по очереди задние ноги на максимально возможный полушаг вперёд, то середина диагонали сместится вперёд и ста­нет равной . ' = .m . (a + ")/2. .. Следовательно, d . + " .0 . . d ' = > 0 2 То есть получается, что при поднятых передних ногах перенос средних ног без потери статической устойчивости невозможен, даже если любым образом менять положение точек опоры задних ног, и поэтому .r + .l .3 = .4 = .m . . = argmax . 2 .r..m,.l..m Таким образом, при переносе передних ног передняя граница опорного мно­гоугольника определяется точками опоры средних ног, имеющих координаты .3 = .4 = .m . .. Поэтому .r + .l max = .m . ., .r..m,.l..m 2 и формула (3.12) даёт . ae + L. ". Но формула (3.12) была получена в предположении, что передние ноги ро­бота, будучи предельно выпрямленными, ставятся на границу . = .M. Допу­стим, что они уже там стоят (Рис. 11). Тогда центр корпуса робота проекти­руется внутрь опорного многоугольника, образованного задними и средними ногами, и не доходит до передней границы этого многоугольника на заданный запас устойчивости ". Полученная позиция является "-сбалансированной, и центр робота нахо­дится над опорным многоугольником, образованным средними и задними но­гами. Поэтому задние ноги одновременно поднять невозможно. Невозможно также и сдвинуть корпус ни вперёд, ни назад. Теперь необходимо выполнить несколько подготовительных действий, которые зависят от величины .. a) Пусть . .L. Тогда робот должен перенести средние ноги на один полушаг L назад, переместить задние ноги в точки опоры с координатами .1 = .2 = .m . a . . . ", затем поставить стопы средних ног в точки опоры .3 = .4 = .m . . + L, после чего переместить корпус так, чтобы центр масс робота проектировался в точку, не доходящую до новых точек опоры сред­них ног на расстояние, равное запасу статической устойчивости ", а потом перенести передние ноги на один относительный полушаг L в направлении от задней границы зоны . = .M. В итоге получится позиция, аналогичная той, которая изображена на рис. 11, но сдвинутая на один относительный полушаг L в сторону препятствия и имеющая точки опоры .1 = .2 = .m.. '.a.L.", .3 = .4 = .m.. ' ,.0 = .m.. '.", .5 = .6 = .M+L, где . ' = . .L. b)Если окажется, что снова . '.Lm, то роботу следует повторять проце­дуру a)до тех пор, пока в результате не окажется, что . ' < L. c)Пусть . ' < L. Тогда роботу достаточно выполнить аналогичную волну переносов ног, переводящую его в позицию, при которой стопы средних ног находятся на передней границе препятствия (Рис. 12): .1 = .2 = .m . a, .3 = .4 = .m,.0 = .m . ", .5 = .6 = .M + .. Далее робот должен продвинуть корпус вперёд на расстояние L +", оставив средние ноги в опоре на линии . = .m. Затем следует перенести стопы задних ног, чтобы получить позицию (Рис. 13) .1 = .2 = .m . ., .3 = .4 = .m,.0 = .m + L,.5 = .6 = .M + .. (4.8) Теперь стопы средних ног можно переместить на заднюю границу зоны пре­ пятствия с одновременным перемещением корпуса на расстояние L.", чтобы получилась конфигурация .1 = .2 = .m . ., .3 = .4 = .M,.0 = .M .L,.5 = .6 = .M + ., симметричная позиции (4.8) (Рис. 13) относительно срединной линии зоны препятствия (Рис. 14). Следовательно, выполнив в обратном порядке симметричные действия от­носительно срединной линии, получим позицию: .1 = .2 = .M,.3 = .4 = .M + a, .0 = .M + a + ",.5 = .6 =2a, что и доказывает теорему. Следствие 4.3. Если длина корпуса позволяет выполнить походку след в след. (.µ. . . 0), то предельно допустимая ширина зоны препятствия линейно возрастает при увеличении длины корпуса. Если движение след в след. невыполнимо (.> 0), то предельно допустимая ширина зоны препят­ствия не зависит от длины корпуса и принимает максимальное значение max =3L. ". (4.9) a Другими словами, при движении по ровной горизонтальной плоскости мак­симальная ширина преодолимой шагающим аппаратом зоны препятствия на запас " статической устойчивости меньше утроенной максимальной длины относительного полушага или полутора полного относительного ша­га, и это не зависит от величины параметра .> 0 (Рис. 15). Для пре­одоления зон, запрещённых для наступания, оптимальной является длина корпуса a . ae =2L. Доказательство. Если движение ША происходит по ровной горизонталь­ной плоскости (F(., ) . 0), то тогда L(., ) .L. Теперь достаточно сопо­ставить формулы (4.4), (4.6) и (4.7). II. Рассмотрим процесс преодоления зоны препятствия четырёх­ногим аппаратом, движущимся по горизонтальной плоскости. Для четырёхногого аппарата неравенство (3.12) принимает вид .r + .l a < max . .m . " + + LM. (4.10) .r..m,.l..m 22 По-прежнему обозначим ae =2L, a = ae +.. Справедлива следующая теоре­ма о движении след в след. Теорема 4.3. Пусть применяется критерий (2.4) и .ae < .µ. . ..2", µ> 0,a . 4", L. 3". Тогда максимальная ширина зоны препятствия, которую четырёхногий робот может преодолеть при движении по плоскости, выражается равен­ством ae + . = . " + L. (4.11) 2 Доказательство. Движение начнём со стандартной позиции перед пре­пятствием, а именно: a .1 = .2 = .m . a, .3 = .4 = .m,.0 = .m . . 2 Из этой позиции продвинем корпус по направлению к задней границе препят­ствия так, чтобы центр корпуса не доходил до передней границы препятствия на расстояние ": .1 = .2 = .m . a, .3 = .4 = .m,.0 = .m . ". Затем перенесём по очереди сначала левую заднюю, а затем правую заднюю ноги в новые точки опоры: a .1 = .m,.2 = .m . . 2", .3 = .4 = .m,.0 = .m . ". 2 Полученная поза неплохо сбалансирована, поскольку смещения центров масс первой и четвертой ног почти компенсируют друг друга. Первую ногу можно поместить на переднюю границу, потому что L > a/2+ ". Следовательно, передняя граница опорного многоугольника не изменилась, а задняя гра­ница образуется первой и второй ногами, и её середина имеет координату (.1 + .2)/2= .m . a/4. ". Полученная координата из-за требования стати­ческой устойчивости должна быть меньше координаты центра корпуса по крайней мере на ". Это будет выполнено при a> 4". Теперь можно начать перенос передних ног на заднюю границу препятствия. Сначала переносим правую переднюю ногу: aa .1 = .m,.2 = .m .. 2", .3 = .m ++ L. ", .4 = .m,.0 = .m . ". 22 Далее можем перенести левую переднюю ногу, поскольку при её переносе пе­редняя граница опорного многоугольника будет образована третьей и второй ногами. Середина этой границы имеет координату (.2 + .3)/2= .m + L/2. 3"/2, и эта координата должна быть больше, чем на ", координаты центра корпуса. Поэтому должно быть L > 3". В итоге получится позиция aa .1 = .m,.2 = .m..2", .3 = .M = .m++L.", .4 = .M,.0 = .m.". 22 В этой позиции центр масс системы смещён вперёд по сравнению с его поло­жением в предыдущей позиции из-из выноса вперёд передних ног. Поэтому ограничение на задний запас устойчивости ослабевает. Теперь надо поставить вторую ногу на переднюю границу препятствия. Во время её переноса зад­няя граница опорного многоугольника будет образована четвёртой и первой ногами, а её середина будет иметь координату .4 + .1 1 a = .m ++ L. ". 2 22 Для того чтобы во время переноса второй ноги обеспечивалась статическая устойчивость, корпус следует продвинуть вперед на величину 1 (a/2+L +3")< L + ". 2 Такое продвижение корпуса вперёд вполне возможно, так как максимальная длина полного шага в данном случае равна a/2+ L +2" . 2L + ". Выпол­нив указанное продвижение корпуса и последующий перенос второй ноги на переднюю границу препятствия, получим позицию: 1 a .1 = .m,.2 = .m,.3 = .M,.4 = .M,.0 = .m ++ L + ". 22 Теперь достаточно сдвинуть корпус назад на величину (.2"), чтобы полу­чить симметричную позицию относительно средней линии препятствия. По­сле этого осталось выполнить все действия симметрично в обратном порядке для того, чтобы робот перебрался на другую сторону препятствия. Замечание 4.3. В доказательстве теоремы 4.3, как и в доказательстве предшествующих теорем для простоты использовалось понятие запаса про­дольной статической устойчивости. Это понятие, очевидно, отличается от бо­лее строгого понятия статической устойчивости, основанного не на оценке от­клонения продольной координаты центра масс аппарата от границы опорного многоугольника, а на оценке отклонения центра масс от указанной границы. Для того чтобы сделать эти понятия эквивалентными, необходимо учиты­вать угол наклона границ опорного многоугольника к продольной оси дви­жения. Из-за этого, если соответствующая граница опорного многоугольни­ка не перпендикулярна направлению движения, требуемый запас продольной статической устойчивости надо полагать н.есколько б.ольшим, по сравнению с запасом, необходимым для обеспечения статической устойчивости в строгом понимании. Замечание 4.4. В режиме статической устойчивости четырёхногий ап­парат не способен двигаться походкой галоп, успешно применённой для генерирования следовой последовательности шестиногого аппарата. Однако восьминогий аппарат уже обладает достаточным числом ног для возможно­сти применения указанной походки. Замечание 4.5. Сравнение проходимости четырёхногих и шестиногих роботов удобно проводить, задав одинаковыми длины L их максимальных относительных полушагов и приняв . =0. В этом случае длина корпу­са четырёхногого робота составляет 2a(4) =2L, и без потери статической устойчивости он может преодолеть расщелину шириной =2L. ", то есть приблизительно равную длине корпуса. С другой стороны, длина корпуса шестиногого робота составляет 2a(6)=4L, и без потери статической устой­чивости он может преодолеть расщелину шириной =3L. ", то есть при­близительно равную 3/4 корпуса, но зато корпус у него оказывается вдвое длиннее, чем у четырёхногого. Таким образом, при одинаковой длине шага шестиногий робот может преодолеть препятствие б.ольшей ширины, чем че­тырёхногий, но длина корпуса четырёхногого робота при этом используется более эффективно. Замечание 4.6. Выше были рассмотрены принципиально различные ба­зовые для генерирования следовых последовательностей случаи n =4 или n =6. Если число ног шагающего аппарата n . 8, то избыточные ноги можно использовать двояко. Например, выделив в качестве основных ноги в количе­стве 4 или 6, окружающие центр корпуса, назначить их в качестве основного средства для продвижения центра корпуса через препятствие. При этом дру­гими ногами можно будет стремиться обеспечивать "-сбалансированную по­зу аппарата. Другой вариант состоит в том, чтобы использовать избыточные ноги для целенаправленного смещения центра масс робота с целью увеличе­ния ширины преодолимого препятствия. Однако такой вариант управления предполагает достаточно уверенное знание положения центра масс робота относительно его корпуса, что не всегда будет возможно в полевых условиях. 5. Компьютерное моделирование Компьютерное моделирование осуществлялось аналогично тому, как это было описано в [4,7,8]. Управление инсектоморфным роботом, закон взаимо­действия корпуса и стоп ног с опорой реализованы в виде DLL-библиотеки, подключённой к программному комплексу Универсальный механизм. [6]. Тем самым создаётся виртуальная среда обитания робота. Неподвижная опор­ная поверхность в ней представлена горизонтальной плоскостью. Опорная плоскость, корпус и ноги робота взаимодействуют друг с другом согласно мо­дели трения, основанной на вязко-упругом взаимодействии тел в точках кон­такта. Управление движением реализуется посредством компьютерного мо­делирования работы электромеханических приводов шарнирных углов. Вы­полнение требуемого движения робота осуществляется, как и в реальности, лишь в результате подачи значения управляющего электрического напряже­ния на модели электромеханических приводов. Представление о движении корпуса робота и его ног возникает в результате численного интегрирова­ния дифференциальных уравнений полной трёхмерной динамики робота и элементов окружающей среды. Поскольку в точках контакта объектов пред­полагается силовое взаимодействие, соответствующая механическая система имеет 18 степеней свободы. Уравнения динамики синтезируются автоматиче­ски [6]. Результаты компьютерного моделирования отображаются на экране монитора в виде движения геометрических образов исследуемых материаль­ных объектов. Исследовалось влияние геометрических параметров робота на процесс пре­одоления расщелины максимальной ширины. Отношения массы робота и масс звеньев ног были выбраны одинаковыми для всех вариантов: m : m1 : m2 =10 :0.5:0.5. Запас статической устойчивости тоже был задан неизменным и равным 0.023 м. Традиционный вариант, описанный в работе [4], для которого соотношение размеров половины длины корпуса, звеньев ног, длины полушага, ширины расщелины, соответствующей указанным параметрам, и параметра . имеет вид a : b : l1 : l2 : L : :(..)=0.525 :0.5:0.52 :0.335 :0.553 :1.078 :0.581, оказался неудачным по причине возникающего в процессе движения взаим­ного пересечения ног из-за небольшой длины корпуса (см. замечание 4.2). Ниже представлены некоторые результаты моделирования трёх вариантов геометрических параметров задачи. Вариант 1, в котором . ..µ: a< 2L, a : b : l1 : l2 : L : :(..)=0.8:0.5:0.52 :0.335 :0.553 :1.330 :0.306. Покажем отдельные фрагменты движения, иллюстрирующие характерные особенности преодоления препятствия. Рис. 16 демонстрирует модельную по­зицию, соответствующую схеме, изображённой на рис. 4. Указатель в виде шарика с риской показывает положение центра масс робота, которое в про­цессе движения может заметно отклоняться от центра корпуса. Точки опоры задних ног выбраны с учётом необходимости сохранения баланса на переднем крае препятствия при переносе передних ног. На рис. 17 показан момент процесса переноса стоп передних ног на задний край препятствия, предшествующий появлению позиции, схематично изобра­ Рис. 18 демонстрирует манёвр средними ногами для обеспечения переноса задних ног из "-сбалансированной позы. На рис. 19 изображена позиция аппарата, полученная непосредственно пе­ред началом переноса средних ног. Она соответствует схеме, показанной на рис. 8. Рис. 20 показывает позицию, возникающую непосредственно перед шагом передних ног в процессе подготовки переноса задних ног через препятствие. Центр масс робота проектируется в опорный многоугольник, образованный задними и средними ногами. .m .M . Наконец, на рис. 21 приведена финальная позиция, когда робот практиче­ски уже перебрался через препятствие. Более подробную информацию о процессе преодоления препятствия мож­но получить при просмотре видеоролика по ссылке https://keldysh.ru/e-biblio/golubev/gap-long-body.mp4. Вариант 2, в котором половина длины корпуса предельна для возмож­ности движения походкой след в след: a =2L, a : b : l1 : l2 : L : =1.106 :0.5:0.52 :0.335 :0.553 :1.658,. =0. Этот вариант качественно практически ничем не отличается от предшеству­ющего варианта, но ширина преодолимой зоны препятствия становится на четверть больше, и эта ширина является предельной для аппарата с полу­шагом 0.553. Дальнейшее увеличение преодолимой зоны можно получить за счёт уменьшения клиренса, вследствие чего возрастёт длина полушага. Вариант 3, в котором походка след в след. не может быть реализована: a> 2L, a : b : l1 : l2 : L : : . =1.935 :0.5:0.52 :0.335 :0.553 :1.658 :0.829. Приведём здесь некоторые характерные позиции робота, отличающие дан­ный вариант от варианта 1. На рис. 22 показана позиция, соответствующая схематическому изображению на рис. 11. Здесь средние ноги вынужденно отстоят от переднего края препятствия на величину . . 3L/2. Цель даль­нейших манёвров состоит в том, чтобы вывести их на переднюю границу препятствия. Выполняются действия в соответствии с пунктом a) доказа­тельства теоремы 4.2. Рис. 23 показывает позицию робота после первой вол­ны переносов ног. Видим, что конфигурация робота сохранилась, но точки . опоры средних ног приблизились к передней границе и теперь отстоят от неё на . '.L/2 <.. В соответствии с пунктом c) доказательства теоремы 4.2 выполняется волна переносов, выводящая точки опоры средних ног на пе­реднюю границу препятствия, как это показано на рис. 24. Следующий рис. 25 изображает позицию, когда робот готов к переносу средних ног через препятствие, и соответствует рис. 13. После переноса средних ног робот выполняет несколько волн переносов для того, чтобы вывести стопы задних ног на переднюю границу зоны пре­пятствия по процедуре, изложенной в пункте a)доказательства теоремы 4.2 и получить "-сбалансированную позу для возможности переноса задних ног через препятствие (рис. 26). После этого осталось только перенести задние ноги через препятствие (рис. 27). Затем необходимо сделать несколько очевидных шагов, чтобы кор­пус робота не нависал над препятствием. Более подробную информацию о a .m .M . технике перелезания через зону, запрещенную для постановки ног, можно получить из просмотра видеоролика по ссылке https://keldysh.ru/e-biblio/golubev/gap-very-long-body.mp4. Заключение Решена задача о преодолении n-ногим шагающим роботом в режиме ста­тической устойчивости препятствий в виде областей, запрещённых для на­ступания. Найдена неулучшаемая аналитическая оценка сверху предельной ширины преодолимой зоны. Выявлена аналитическая зависимость предель­ной ширины препятствия от длины корпуса, требуемого запаса статической устойчивости и максимальной длины шага. Для шестиногого и четырёхного­го роботов построены следовые последовательности, доказывающие достижи­мость полученных оценок. Установлено, что зависимость предельной ширины препятствия от длины корпуса имеет насыщение сверху, связанное с возмож­ностью или невозможностью реализации движения след в след. Для ком­пьютерной динамической модели шестиногого инсектоморфного робота раз­работаны конкретные алгоритмы формирования следового расписания, обес­печивающие преодоление препятствий максимально возможной ширины. Вы­полнено компьютерное моделирование процесса перешагивания. Представле­ны видеоролики, которые наглядно демонстрируют подробности преодоления рассматриваемых препятствий. Представленные результаты могут быть по­лезными при решении задач планирования движения робота по пересеченной местности. По итогам исследования можно сделать следующие выводы отно­сительно оптимального соотношения конструктивных элементов шагающих аппаратов рассмотренного типа, обеспечивающего наибольшую ширину пре­одолимой зоны препятствия в режиме статической устойчивости. 1. Оптимальное расстояние между точками подвеса ног равно длине пол­ного шага. При сохранении числа ног увеличение этого расстояния по сравнению с указанным неэффективно, так как не способствует увеличе­ нию ширины преодолимой зоны препятствия. Кратное увеличение дли­ны корпуса вместе с соответствующим увеличением числа ног увеличи­вает ширину преодолимого препятствия. 2. Если число ног аппарата превышает четыре, то расположение точек под­веса ног на прямолинейных боковых сторонах приводит к тому, что при применении физического аналога походки след в след. уменьшается расчётная максимальная длина шага, а следовательно, уменьшается ши­рина преодолимого препятствия. 3. При использовании для движения конечностей инсектоморфного типа существует нижний предел допустимого расстояния между точками под­веса ног, зависящий от максимальной длины шага и исключающий вза­имное пересечение звеньев соседних ног одной стороны. 4. Если положение центра масс симметричного робота известно недоста­точно хорошо, то для сохранения равновесия при критической близости горизонтальной проекции центра корпуса к границам опорного много­угольника полезно использовать геометрически "-сбалансированные по­зы аппарата. 5. При просмотре видеоматериалов иногда можно заметить лёгкие пока­чивания корпуса при переносе передних или задних ног через препят­ствие. Это объясняется динамическими эффектами из-за подъёма весо­мых ног при заданном малом запасе устойчивости вблизи передней или задней границы опорного многоугольника. Если запас устойчивости уве­личить, указанные явления пропадают. Вместе с тем увеличение запаса устойчивости уменьшает ширину преодолимого препятствия, что может оказаться критичным для решения более общей задачи планирования движения. 531.38 10.20948/prepr-2024-21 шагающий робот преодоление препятствий компьютерное моделирование walking robot overcoming obstacles computer simulation Архив журнала Моделист-Конструктор. Вездеходы: вчера, сегодня, завтра. URL: https://hobbyport.ru/mk_other/horizons_technic/7606_vezdehody.htm (дата обращения: 15.03.2022). Охоцимский Д.Е., Голубев Ю.Ф. Механика и управление движением автоматического шагающего аппарата. М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1984. 312 с. Эволюция роботов Boston Dynamics. URL: https://www.youtube.com/watch?v=t3hPckJCx9s (дата обращения: 15.03.2022). Голубев Ю.Ф., Корянов В.В. Экстремальные локомоционные возможности инсектоморфных роботов. – М: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2018. – 212 с. ISBN 978-5-98354-040-8, https://doi.org/10.20948/mono-2018-golubev Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. Изд. 2-е переработанное. – М.: «Машиностроение», 1970. 736 с. Универсальный механизм. Моделирование динамики механических систем. URL: http://www.umlab.ru (дата обращения: 10.03.2020). Голубев Ю.Ф., Корянов В.В. Преодоление шестиногим роботом изолированных цилиндрических препятствий // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2020. № 65. 34 с. https://doi.org/10.20948/prepr-2020-65 URL: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2020-65 Голубев Ю.Ф., Корянов В.В. Преодоление инсектоморфным роботом завалов в виде изолированных цилиндров // Известия РАН. Теория и системы управления, 2021, № 2, с. 156–176. DOI: 10.31857/S0002338821020050 @@ Golubev Yu.F., Koryanov V.V. An Insectomorphic Robot Overcoming Obstructions Formed by Isolated Cylinders // J. Comput. Syst. Sci. Int. 60, 333–352 (2021). https://doi.org/10.1134/S1064230721020052 https://keldysh.ru/papers/2024/prep2024_21.pdf