1-32 RAR 8423-9311 0000-0002-8077-8933 Березин Арсений Владимирович Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН arsenbrs@mail.ru Berezin A.V. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS 5134-6722 0000-0003-3623-0556 Левченко Вадим Дмитриевич Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН lev@keldysh.ru Levchenko V.D. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS 5577-3679 0000-0003-2517-6064 Перепёлкина Анастасия Юрьевна Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН mogmi@narod.ru Perepelkina A.Y. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS Безынтерполяционный LBM на неравномерных сетках с оператором столкновения TRT Interpolation – free LBM on non-uniform grids with TRT collision operator Метод решёточных уравнений Больцмана (LBM) это современная численная схема решения задач гидрогазодинамики. LBM отличается простотой реализации и большим потенциалом к модифицированию. Одним из приоритетных направлений развития LBM является корректное построение схемы на неравномерных пространственных сетках. Это позволяет снизить общее число вычислений, однако, на текущий момент, влечёт за собой необходимость интерполяции данных и зачастую лишает схему преимуществ классического LBM. Мы разработали и протестировали безынтерполяционный метод построения атермического узлового LBM на неравномерных сетках с оператором столкновения TRT. Метод основан на использовании различных шаблонов LBM вблизи границы перехода неравномерной сетки вместе с двухступенчатой процедурой перекалибровки популяций, отвечающих разным шаблонам LBM. Lattice Boltzmann method (LBM) is a modern numerical scheme for solving fluid dynamics problems. LBM is easy to implement and it has a great potential for modifications. One of the priority LBM development directions is the correct construction of such a scheme on non-uniform spatial grids. However, at the moment, it requires interpolation and often deprives the scheme of the classical LBM advantages. We developed and tested an interpolation-free method for constructing athermal node-based LBM on non-uniform meshes with the TRT collision operator. The method is based on the use of different LBM stencils near the transition boundary of a non-uniform grid, together with a two-step procedure for transformation of populations corresponding to different LBM stencils. 1 Введение Метод решёточных уравнений Больцмана (LBM) [1] — это численная схе­ ма решения задач гидрогазодинамики, в основе которой лежит применение квадратурных формул для вычисления скоростных моментов кинетической функции распределения: плотности, скорости потока и температуры. При этом моменты линейным образом выражаются через популяции — дискрет­ные значения функции распределения. Эволюция популяций определяет­ся системой дискретных кинетических уравнений Больцмана. Каждое из уравнений отвечает фиксированной скорости ci, с которой популяция пе­ремещается по пространственной решётке. Набор скоростей ci называется шаблоном LBM. Одним из важных и развивающихся направлений LBM является кор­ректное построение этой схемы на неравномерных пространственных сет­ках [2–7]. Измельчение сетки только в необходимой ограниченной области позволяет значительно снизить общее число вычислений, тем самым повы­сив эффективность метода. На текущий момент построение схемы LBM вблизи границы сеток с разными пространственными шагами влечёт за собой необходимость интерполяции данных по пространству и/или време­ни [2–13], что может снизить порядок аппроксимации LBM и привести к нарушению законов сохранения. Текущая работа является продолжением работ [14–16], также посвящён­ ным построению безынтерполяционного метода LBM на неравномерных сет­ках. В основе метода лежит использование различных шаблонов LBM вбли­зи границы перехода неравномерной сетки. При этом на шаге переноса по­пуляции запрашиваются только из уже имеющихся узлов сетки, и интер­поляция данных не требуется. Однако при этом возникает необходимость перекалибровки — локального перехода от набора популяций, соответству­ющих одному из шаблонов, к набору популяций другого шаблона. В данной работе мы расширяем уже известные результаты путём распространения метода на схему LBM c оператором столкновения TRT, который обладает значительно большим потенциалом для контроля точности и стабильности. Кроме того, предложены новые, более перспективные шаблоны LBM для узлов вблизи границы перехода неравномерной сетки. С их помощью по­строены две схемы безынтерполяционного LBM на неравномерных сетках с оператором столкновения TRT. Эффективность приведённых в работе схем исследована на двух двумер­ных тестах: моделирование течения Пуазёйля с измельчением сетки вблизи границ канала, а также отражение акустической волны от границы перехода неравномерной сетки. В работе используются тензорные обозначения. При этом индексы i, j от­носятся к номерам популяций, а индексы a, b, d — к декартовым координа­там. Таким образом, к примеру, cia — a-я декартова компонента i-й скорости шаблона LBM. Повторяющиеся в произведении индексы стандартным образом предпо­лагают суммирование по этим индексам. Однако далее исключением в этом правиле станет индекс i, суммирование по которому всегда будет указывать­ся явно. 2 Описание метода Мы начнём с обзора классического метода LBM и введём в рассмотрение оператор столкновения TRT. Далее обсудим общие принципы построения безынтерполяционного LBM на неравномерных сетках и рассмотрим вопрос перехода между наборами популяций разных шаблонов LBM. В конце при­ведём некоторые детали численной реализации рассмотренных схем. 2.1 Схема LBM. TRT оператор столкновения. Кинетическое уравнение Больцмана в отсутствие внешней силы имеет вид .f .f + . · =., (1) .t .r где f (t, r, .) — одночастичная функция распределения, зависящая от време­ни, координаты пространства и скорости соответственно, а .[f] — оператор столкновения. Макроскопические параметры течения (плотность .(t, r), скорость тече­ния u(t, r), температура T (t, r)) определяются моментами функции распреде­ления: 2 . = fdn., .u = .fdn., .(u + nT )= .2fdn., (2) Rn Rn Rn где n — размерность рассматриваемого пространства. Решением (1), отвечающим нулевому оператору столкновения и удовле­ творяющим соотношениям (2), является равновесная функция распределе­ ния . .(..u)2/2.2 feq (.)= v e 0 ,T = .02 . (3) (2..0)n Применим численное квадратурное интегрирование для вычисления мо­ментов (2). При этом, с учётом вида частного решения (3), введём в рас­ смотрение весовой множитель 1 ..2/2.2 . (.)= v e 0 . (4) (2..0)n Допустим, что построена квадратурная формула, имеющая требуемый по­рядок аппроксимации. Для произвольной функции .(.) при этом . (.) .=.0v . (.) dn. = . (.) dn. == . (.) dn.=.0 ndnv Rn Rn m.1 1 .(.0v) .v2/2dn wi.(ci) ev . , (5) (2.)n/2 .(.0v) .(ci) i=0 Rn где ci . .0vi — набор дискретных скоростей LBM, vi — точка квадратуры с весом wi, m — полное число точек. Применяя (5) для вычисления момен­ тов (2), находим m.1 m.1 m.1 m.1 wif(t, r, ci) 22 . == fi,.u = fici,.(u + nT )= fic i . (6) .(ci) i=0 i=0 i=0 i=0 В равенствах (6) определены дискретные значения кинетической функции распределения, популяции wif(t, r, ci) /2.2 c fi(t, r) . =( v 2..0)n wif(t, r, ci)e i20 ,i =0,...,m . 1. (7) .(ci) Для популяций (7) равновесной функции распределения (3) получаем eq (2ci ·u.u2)/2.2 f= .wie0 . (8) i В данной работе используется классическая схема LBM [1], требующая квад­ ратур по крайней мере пятого порядка аппроксимации и применимая для атермических течений с небольшой скоростью потока, u . .0. При этом мож­но разложить (8) и прийти к стандартному представлению равновесных по­ пуляций eq ci · u (ci · u)2 . (.0u)2 f. .wi 1+ + , (9) i .2 2.4 00 которые в точности удовлетворяют соотношениям (6) (в этом случае опять же T = .2 ). Подчеркнём, что выражение (9) зависит как от выбора точек 0 квадратуры vi, так и от выбора параметра .0. Неравновесной частью популяции называется neq eq f. fi . f. (10) ii Благодаря соотношениям (6) макроскопические параметры системы вы­ ражаются через дискретные популяций fi. Эволюция популяций во време­ни определяется набором дискретных кинетических уравнений Больцмана, которые можно получить, положив в (1) . = ci и домножив равенство, в соответствии с (7), на wi/.(ci): .fi .fi + ci · =.i, .i[fi] . wi .|.=ci . (11) .t .r .(ci) Для численного решения уравнений (11) введём равномерную простран­ ственную сетку с шагом .x по каждой из декартовых осей. Дискретизиру­ем (11), разбив эволюцию популяций, соответствующую дискретному вре­ менному шагу .t, на два последовательных этапа, .fi .fi • шаг переноса: + ci · =0 . .t .r fi, pre(t +.t, r +.ri)= fi, post(t, r), .ri . .t ci; (12) .fi • шаг столкновения: =.i . .t fi, post(t +.t, r)= fi, pre(t +.t, r)+.i[fi]. (13) При этом индексы «post» и «pre» в (12), (13) обозначают постстолкнови­ тельные и предстолкновительные популяции соответственно. Чтобы удовлетворить последнему условию в (12), которое позволяет попу­ ляциям fi перемещаться строго по выбранной пространственной сетке, необ­ходимо нормировать набор скоростей ci согласно выбранным шагам .t, .x. Это можно сделать соответствующим выбором параметра .0. К примеру, для стандартного набора скоростей D2Q9, отвечающего квадратуре с точками vv vv D2Q9 v= (0, 0) , 0, ± 3 , ± 3, 0 , ± 3, ± 3 , (14) i v необходимо положить .0 =.x/ 3.t . С учётом вышесказанного численная схема LBM принимает простой вид: на шаге переноса популяции fi перемещаются строго по дискретной про­странственной решётке согласно своим скоростям ci, а на этапе столкнове­ния локально получают приращение согласно (13). Шаблоном LBM обычно называют набор дискретных скоростей ci и соот­ветствующих им весов wi, однако для удобства изложения в текущей работе мы расширим определение шаблона, включив в него все свободные пара­метры схемы, необходимые для осуществления одного шага переноса (12), а именно: • веса и точки квадратуры wi, vi; • шаг по времени .t; • параметр .02 . В соответствии с вышесказанным, в дополнение к стандартному обозначе­нию шаблона DnQm, которое характеризует только квадратуру (напомним, что n — размерность пространства, m — число точек квадратуры), мы будем указывать в скобках параметры .t и .2 —DnQm(.t, .2 ). К примеру, широко 00 используемый шаблон D2Q9, отвечающий сетке с .t =.x =1 и квадрату­ре (14), в наших терминах обозначается как D2Q9(1, 1/3). Обсудим смысл величины .0. В вышеприведённых выкладках .0 являет­ся свободным параметром, который позволяет масштабировать набор дис­кретных скоростей ci, тем самым выступая дополнительной переменной при построении шаблонов. Исходя из (3), .2 можно придать смысл температу­ 0 ры или квадрата скорости звука. Также .02 всегда можно представить в ви­ де .2 = .(.x/.t)2, где безразмерный множитель . > 0 определяется только 0 квадратурой используемого шаблона. Таким образом, при заданных квадра­туре и шаге по времени .0 определяет пространственный масштаб шаблона. В текущей работе мы будем использовать оператор столкновения TRT [17,18], который имеет вид .+ + .. .+ . .. .TRT neq neq = . f. f, (15) i i, pre .i, pre 22 . где популяция с номером i отвечает противоположной дискретной скорости: w.= wi, v.= .vi, c.= .ci. (16) ii i Для нулевой популяции, отвечающей нулевой скорости c0 = 0, индекс про­тивоположной популяции совпадает с индексом исходной — . 0=0. Параметр .+ в (15) связан с вязкостью моделируемого течения (прило­ жение A), 11 . =.t.02 . , (17) .+.t 2 а .. является свободным параметром. Хотя изначально оператор столкновения TRT определяется с помощью параметров .+ и .., с точки зрения физического моделирования удобнее указывать две другие величины — уже приведённую вязкость . (17), а также параметр 11 11 .= .. , (18) .+.t 2 ...t 2 который можно использовать для контроля точности и стабильности вы­числений [18]. При выборе . стоит убедиться, что параметр .. не сильно превышает единицу, в согласии с требованиям классического LBM [1]. Наконец отметим, что оператор столкновения TRT редуцируется к опе­ратору столкновения BGK [19] в случае 2 . .+ = ... .= . (19) .t.02 2.2 Неравномерные сетки Приведём метод построения безынтерполяционного LBM вблизи границы перехода неравномерной сетки. В текущей работе мы рассматриваем дву­мерную сетку с шагами .t, .x, которая в некоторой области пространства уточняется в два раза и по времени, и по пространству (рис. 1), переходя в мелкую сетку с параметрами .tf =.t/2, .xf =.x/2. (20) Прежде чем перейти к описанию метода необходимо уточнить, что суще­ствуют две парадигмы шага переноса (12) в LBM: Push и Pull. В случае парадигмы Push предстолкновительный набор популяций в узле решётки c координатой r0 определяется шаблонами других узлов, т.е. необходимо взять те популяции других узлов, которые при переносе согласно своим шаблонам попадут в рассматриваемый. В случае парадигмы Pull предстолкновитель­ный набор популяций в узле решётки определяется шаблоном именно этого узла, т.е. популяции «запрашиваются» из других узлов согласно дискретно­му набору скоростей шаблона рассматриваемого узла. Если речь идёт о равномерной пространственной сетке, то парадигмы Push и Pull приводят к одинаковым численным схемам. Однако в случае неравномерных сеток это не так. В текущей работе мы следуем парадигме Pull шага переноса. Центральной идеей нашего метода построения безынтерполяционного LBM на неравномерных сетках является использование различных шабло­нов LBM вблизи границы перехода. А именно, для каждого узла грубой и мелкой сетки наборы векторов .ri = ..t ci, .ri, f = ..tf ci, (21) соответственно, должны строго накладываться на рассматриваемую про­странственную сетку. При этом в парадигме Pull шага переноса не требует­ся дополнительная информация о популяциях в межузловом пространстве или в иные моменты времени (рис. 2). Таким образом, нет необходимости в процедуре интерполяции. схема NCT схема CT Рис. 1: Две схемы безынтерполяционного LBM вблизи границы перехода неравномерной сетки. Квадраты соответствуют шагу LBM на целых шагах по времени, а круги — на полуцелых. Цвет соответствует используемому шаблону согласно приложению B. Используя указанный метод, можно строить различные схемы безын­терполяционного LBM на неравномерных сетках. Мы исследуем две схе­мы, приведённые на рис. (1). В областях равномерной сетки обе схемы ис­ пользуют шаблоны ^ D2Q9(1, 1/3) и ^ D2Q9(1/2, 1/3) соответственно. В области вблизи границы перехода первая схема дополнительно использует шаблоны ^ D2Q9(1/2, 4/3) и ^ D2Q131(1, 1/3), а вторая — снова шаблон ^ D2Q131(1, 1/3), его повёрнутую на 90. версию ^ D2Q132(1, 1/3), а также шаблон ^ D2Q133(1, 1/3). Подробная информация об указанных шаблонах приведена в приложении B. Принципиальное различие двух рассматриваемых схем заключается в том, что для схемы CT все используемые шаблоны имеют одно и то же значение параметра .0, т.е. отвечают одной и той же температуре сетки. В схеме же NCT используется шаблон ^ D2Q9(1/2, 4/3), значительно отлича­ющийся по масштабу от остальных шаблонов на сетке. В приведённых выше схемах узлы вблизи границы перехода неравномер­ной сетки на шаге переноса запрашивают популяции из узлов с набором по­пуляций другого шаблона. Чтобы найти такие популяции, необходимо уметь локально переходить от набора популяций, отвечающего одному шаблону, к набору, отвечающему другому шаблону. Такую процедуру мы будем назы­вать перекалибровкой популяций. Рис. 2: Схема шага переноса для каждого используемого в работе шабло­на LBM. 2.3 Перекалибровка популяций Приведём методы локальной по времени и пространству перекалибровки популяций между двумя произвольными шаблонами. Эти методы могут раз­личаться в зависимости от типов шаблонов участвующих в перекалибровке наборов популяций, а также от того, в какой момент делается перекалиб­ровка — до или после столкновения. 2.3.1 Перекалибровка наборов популяций, отвечающих шаблонам с одинаковыми квадратурами Сначала рассмотрим случай перекалибровки предстолкновительных по­пуляций между шаблонами S1 = DnQm(.t1, .2 )и S2 = DnQm(.t2, .2 ), 0, 10, 2 которые отвечают одной и той же квадратуре. При этом неравновесные ча­сти популяций в первом порядке разложения по числу Кнудсена ., исходя из разложения Чепмена –Энскога(приложениеA) —согласно (75),(78),имеют вид neq .+ + .. .i .+ . .. .i 1.i .i f=.i + . .i . =+ , (22) i, pre 4.+.. .0 4.+.. .0 2 .+ .0 .. где .i и .i — выражения, зависящие только от квадратуры шаблона и мак­роскопических параметров течения:1 .i = .wi (.2.aua + viavib (.aub + .bua)) , (23) .i = wi .via.b .u 2.ab +2uaub + viavibvid.d(.uaub) . (24) При получении выражения (22) мы также воспользовались равенствами .i =.i, ..= ..i, (25) .i которые следуют из соотношений (16). Для нахождения формул перекалибровки неравновесную часть популя­ции (22) необходимо рассматривать совместно с аналогичным выражением для неравновесной части популяции, отвечающей противоположной скоро­сти, neq 1.i .i f= . . (26) . i, pre 2 .+ .0 .. Исходя из (22), (26), находим neq neq neq neq .i = .+ f+ f, .i = .0 .. f. f. (27) i, pre .i, pre i, pre .i, pre Поскольку выражения .i и .i не зависят от параметров .t и .0, они долж­ны совпадать для шаблонов с одинаковой квадратурой. С учётом этого по­лучаем простые формулы перекалибровки между неравновесными частями предстолкновительных популяций: neq neq neq neq .+ f+ f= .+ f+ f, (28a) 1 i, pre .i, pre 2 i, pre .i, pre S1 S2 neq neq neq neq .0, 1 .. f. f= .0, 2 .. f. f, (28b) 1 i, pre .i, pre 2 i, pre .i, pre S1 S2 где значения .+ , k .{1, 2}, определяются исходя из параметров своих шаб­ k лонов согласно (17). 1Обратим внимание, что повторяющийся индекс i в равенствах (23), (24) не предполагает суммирования по нему. Отметим, что для нулевой популяции, согласно (24), .0 =0 и формулы (28) переходят в neq = neq .+ 1 f 0, pre .+ 2 S1 f 0, pre . S2 (29) Теперь приведём аналог соотношений (28) для постстолкновительных по­ пуляций. Дискретизованное кинетическое уравнение Больцмана (12), (13) имеет вид .+ + .. .+ . .. neq neq fi, post = fi, pre . .t 2 fi, pre . .t 2 f.i, pre . (30) Вычитая из обеих частей равенства (30) равновесные популяции feq , полу­ i чаем связь f neq i, post = 1 . .t f neq i, pre . .t .+ . .. 2 f neq . (31) . i, pre .+ + .. 2 Подставляя в (31) выражения для предстолкновительных популя­ций (22) и принимая во внимание (25), находим 1 1 f neq i, post = 1 . ...t .i. (32) 1 . .+.t .i + 2.0 .. 2.+ Используя (32) и (25), выражаем .i и .i через неравновесные части пост­столкновительных популяций: .0 .. .+ neq neq i, post + f f neq neq . f. (33) i, post .i, post .i = f 1 . .+.t , .i = . i, post 1 . ...t С учётом (33), формулы перекалибровки постстолкновительных популя­ ций принимают вид .+ 1 .+ 2 neq neq i, post + f neq neq i, post + f (34a) f f = , . i, post . i, post 1 . .+ 1 1 . .+ 2 .t1 .t2 S1 S2 .0, 1 .. 1 .0, 2 .. 2 neq neq . f . neq neq . f . (34b) f f = . i, post i, post 1 . ...t1 1 . .. 2 i, post i, post .t2 S1 S2 Для нулевой популяции (34) переходит в f neq 0, post .+ 1 .+ neq 0, post 2 = f (35) . 1 . .+ 1 1 . .+ 2 .t1 .t2 S1 S2 Обсудим полученные формулы перекалибровок (28), (34). В частном слу­ чае, когда шаблоны отличаются только значением параметра .t и когда опе­ратор столкновения TRT переходит в BGK (19), формулы (34) совпадают с перекалибровкой в работе [8], a формулы (28) совпадают с перекалибров­ кой в [12]. Подобно частному случаю перекалибровки в работе [12], формулы (28) обладают небольшим преимуществом — они справедливы для произвольных значений параметра .+, в то время как формулы (34) неприменимы, если хотя бы для одного из шаблонов .+ =1/.t. Наконец отметим, что перекалибровки (28), (34) можно значительно упро­ стить, если пренебречь квадратичными по скорости u слагаемыми, поло­жив в формулах выше neq neq .i =0,fi = f.i . (36) Однако, исходя из проведённых далее тестов, это может негативно сказаться на порядке аппроксимации схемы. 2.3.2 Перекалибровка наборов популяций, отвечающих шаблонам с одинаковыми параметрами .t и .02 Перейдём к перекалибровке между шаблонами S1 = DnQm1(.t, .2 )и 0S2 = DnQm2(.t, .2 ). Поскольку выражение (22) нетривиально зависит от то­ 0 чек квадратуры, мы не можем использовать тот же подход, что и рань­ше. Тем не менее, так как наборы популяций указанных шаблонов отвеча­ют моментам одной и той же непрерывной функции распределения, можно применить перекалибровку моментами [20–23]. При этом связь популяций (как предстолкновительных, так и постстолкновительных) задаётся исходя из равенства моментов функции распределения, к примеру для двумерного случая fi , (37) pq ixcpq ixc fi c = c iy iy ii S1 S2 где общее количество равенств определяется порядком аппроксимации ис­пользуемых квадратур: p + q . 5 p, q . N0. (38) Отметим, что в дополнение к равенствам (37) мы можем написать явную связь популяций, отвечающих одной и той же скорости ci. В нашем случае это популяции f0, отвечающие нулевой скорости. Из (7) следует f0 w0 .2 0 = f0 w0 .2 0 . (39) S1 S2 Соотношения (37), (39) являются системой линейных алгебраических уравнений относительно популяций шаблона, к которому мы хотим перейти. Эта система может быть недоопределённой, и число независимых уравнений в ней может оказаться меньше числа искомых популяций. В этом случае ис­пользуются равенства (37) для большего порядка аппроксимации, p + q> 6, но исходные моменты рассчитываются с помощью соответствующей узлу равновесной функции распределения. 2.3.3 Общий случай перекалибровки Теперь обсудим самый общий случай перекалибровки между произволь­ными шаблонами одной размерности. Рассмотрение двух типов перекалиб­ровок в разделах 2.3.1 и 2.3.2 продиктовано тем, что они не являются взаи­ мозаменяемыми. Перекалибровку раздела 2.3.1 нельзя использовать для разных квадра­ тур, так как при этом неравновесные части популяций сложным образом зависят от точек квадратур и их отношение не сводится к отношению пара­метров шаблонов, как в формулах (28) и (34). В свою очередь, перекалибровку раздела 2.3.2 нельзя использовать в слу­ чае различных значений параметров .t или .0, поскольку в этом случае численные схемы LBM отвечают уравнениям Больцмана (1) с разными опе­ раторами столкновения из-за отличия параметра .+ в силу (17), и поэтому нельзя гарантировать равенства несохраняющихся моментов функции рас­пределения. Тем не менее, применяя оба приведённых метода последовательно, можно перекалибровывать наборы популяций между произвольными шаблонами: DnQm1(.t2, .02 , 2) * j DnQm1(.t1, .02 , 1)DnQm2(.t2, .2 ) . (40) 0, 2 * j DnQm2(.t1, .02 , 1) В процессе такой двухступенчатой перекалибровки появляется «фантом­ный» промежуточный шаблон, который участвует в схеме только формаль­но. Далее такие шаблоны не будут указываться явно. Два пути перекалибровки в (40) отвечают разному порядку применения перекалибровок разделов 2.3.1 и 2.3.2. В согласии с последующими тестами эти пути являются эквивалентными. схема NCT схема CT Рис. 3: Распределение флагов для описания алгоритма безынтерполяцион­ного LBM вблизи границы перехода неравномерной сетки в двух рассмат­риваемых схемах. 2.4 Описание алгоритма Мы предложим описание алгоритмов двух рассматриваемых схем безын­терполяционного LBM, не вдаваясь глубоко в детали численной реализации. Алгоритмы одного полного шага LBM t > t +.t обеих схем основаны на распределении флагов по узлам сетки, рис. 3. Узлы, отвечающие разным флагам, тем или иным образом требуют особой обработки. Множество узлов с флагом l будем обозначать как Nl. Для схемы NCT используется алгоритм 1, для схемы CT используется алгоритм 2. Перекалибровка запрашиваемых постстолкновительных попу­ ляций происходит по верхнему пути в (40). Код написан на языке C++ с применением библиотеки Aiwlib [24]. 3 Тесты В последующих тестах мы исследуем схемы на двумерной прямоугольной сетке с шагами .t =1, .x =1. (41) В зависимости от задачи, часть области измельчается до сетки (20). Явные размеры области моделирования Hx, Hy зависят от расположения областей мелкой сетки и для каждого теста будут указаны далее. Algorithm 1: шаг LBM вблизи границы перехода неравномерной сетки для схемы NCT Input: набор популяций в каждом узле сетки в момент времени t . .t Output: набор популяций в каждом узле сетки в момент времени t N0,N3 < ^ D2Q9(1, 1/3); N1,N2 < ^ D2Q9(1/2, 1/3); N4 < ^ D2Q131(1, 1/3); foreach n do if n .{N0,N1} then шаг переноса без перекалибровок; else if n . N2 then шаг переноса с перекалибровками ^ < ^; else шаг переноса с перекалибровками ^ < ^; end foreach n . N3 do сохранить набор предстолкновительных популяций; n < ^ D2Q9(1/2, 4/3); шаг переноса с перекалибровками ^, ^, ^ < ^ end foreach n .{N1,N2,N3} do шаг столкновения; foreach n do if n . N1 then шаг переноса без перекалибровок; else if n . N2 then шаг переноса с перекалибровками ^ < ^; end foreach n do if n . N3 then вернуть набор предстолкновительных популяций; n < ^ D2Q9(1, 1/3); шаг столкновения end Algorithm 2: шаг LBM вблизи границы перехода неравномерной сетки для схемы CT Input: набор популяций в каждом узле сетки в момент времени t . .t Output: набор популяций в каждом узле сетки в момент времени t N0,N3 < ^ D2Q9(1, 1/3); N1,N2 < ^ D2Q9(1/2, 1/3); N4 < ^ D2Q131(1, 1/3); N5 < ^ D2Q132(1, 1/3); N6 < ^ D2Q133(1, 1/3); foreach n do if n .{N0,N1} then шаг переноса без перекалибровок; else if n . N2 then шаг переноса с перекалибровками ^, ^ < ^; else if n . N3 then шаг переноса с перекалибровками ^ < ^; else if n .{N4,N5} then шаг переноса с перекалибровками ^, ^ < ^; else шаг переноса с перекалибровками ^, ^ < ^; end foreach n .{N3,N4} do сохранить набор предстолкновительных популяций; n < ^ D2Q9(1/2, 1/3); шаг переноса с перекалибровками ^, ^ < ^ end foreach n .{N1,N2,N3,N4} do шаг столкновения; foreach n .{N1,N2} do шаг переноса без перекалибровок; foreach n do if n .{N3,N4} then вернуть набор предстолкновительных популяций; if n . N3 then n < ^ D2Q9(1, 1/3); else n < ^ D2Q131(1, 1/3); шаг столкновения end Рис. 4: Правая половина области моделирования течения Пуазёйля на нерав­номерной сетке при значении масштабирующего параметра R =1. 3.1 Течение Пуазёйля Стационарное двумерное течение Пуазёйля является решением уравнения Навье–Стокса для несжимаемой жидкости .u 1 +(u.)u = . .p + ..u,. = const, (42) .t . в присутствии постоянного градиента давления .p = (0, .g) с дополнитель­ными условиями Hx Hx u = u(x, y), u . ,y = u ,y = 0, u(x, y + Hy)= u(x, y). (43) 22 При этом решением (42) является 2 gH2 4x x ux =0,uy(x)= 1 . . (44) 8.. H2 x Для моделирования течения Пуазёйля на неравномерной сетке разобьём часть области вблизи стенок до мелкой сетки, как показано на рис. 4. Раз­ меры области при этом равны HR x Hx(R)=2R+3.x +.xf ,Hb(R)=2R+1.x +.xf . ,Hy = 4.x, (45) 4 Рис. 5: Ошибка при моделировании течения Пуазёйля по нормам L1, L2 и L. в зависимости от размера области Hx. Параметры моделирования: g = 10.8, v . =3/24, .=3/16. где R. N0 — масштабирующий параметр. По оси x применяются «bounce – back» граничные условия [1], по оси y — периодические. Чтобы границы области моделирования по оси x в точности соответство­вали (45), мы используем выделенное значение параметра . оператора TRT, .=3/16. При этом граница области моделирования отстоит от крайних уз­лов ровно на расстояние .xf /2 [18]. Чтобы учесть градиент давления, мы добавляем на шаге столкновения поправку .uy = g./. к скорости в равновесных популяциях [25]. В начальный момент времени .|t=0 =1, u|t=0 = 0, (46) а популяции берутся равновесными. Со временем система переходит в ста­ционарное состояние. С целью определить порядки аппроксимации построенных схем мы моде­лируем течение Пуазёйля для шести значений параметра 0 .R. 5, рассчи­тывая ошибку по нормам2 2 Hx(0) num y . uy (47) L.(Hx)= max u , Hxn 2Приведённое выражение масштабирует ошибку к значению R =0, чтобы норма отвечала одному и тому же решению уравнения Навье –Стокса. Рис. 6: Ошибка при моделировании течения Пуазёйля по нормам L1, L2 и L. в зависимости от размера области Hx. Параметры моделирования: g = 10.8, . =0.2, .=3/16. k Hx dS(n) n k num 2 . uy dS(n) u y Hx(0) n , k .{1, 2}, (48) Lk(Hx)= 2 где dS =.x2 для узлов, находящихся на грубой сетке, dSf =.xдля узлов f на точной сетке и dSb =.xf (.x ..xf ) для узлов строго на границе. Для всех остальных дополнительных узлов в рассматриваемых схемах dS зануляется. Результаты моделирования течения Пуазёйля для двух значений вязкости приведены на рис. 5, 6. Как можно видеть, обе схемы сохранили второй порядок аппроксимации, и, более того, их ошибка по всем нормам близка к ошибке течения Пуазёйля, смоделированного на полностью мелкой сетке того же размера. 3.2 Отражение двумерной акустической волны В качестве ещё одного теста рассмотрим распространение двумерной аку­стической волны, задаваемой начальными условиями [26] (x . x0)2 . . .0 .(x)|t=0 = .0 1+ A exp .,ux(x)|t=0 = cs, (49) 2R2 .0 Рис. 7: Отношение амплитуды скорости отражённой волны к амплитуде ско­рости исходной волны в зависимости от ширины волны R. Параметры мо­делирования: .0 =1, A = 10.4, x0 = 2000, cs =1/ v 3, . = 10.6, .=9 . 10.12. где .0 — плотность вдали от волны, A — безразмерная амплитуда волны, x0 — центр волны, R — ширина волны, cs — скорость звука. Область моделирования представляет из себя прямоугольную сетку с раз­мерами Hx = 8000.5, Hy =3, левая половина области уточняется до мелкой сетки. Волна (49) задаётся в центре точной сетки, x0 = 2000, и распространя­ется вправо, к границе перехода сеток. По обеим осям используются перио­дические граничные условия. Начальные популяции берутся равновесными. При переходе на крупную сетку волна порождает паразитную отражён­ную волну, распространяющуюся в противоположном направлении [26]. В качестве ошибки схемы мы используем отношение амплитуды скорости от­ражённой волны к амплитуде скорости изначальной волны. Скорость звука выбираем равной значению .0 у подавляющего большинства шаблонов в схе­ме, cs =1/ v 3. Чтобы пренебречь собственным затуханием волны, выбирается малое значение вязкости . = 10.6. Графики указанной ошибки в зависимости от ширины волны R (т.е. от её пространственного разрешения) приведены на рис. 7. Как можно видеть, схема CT, как и ранее, показывает второй порядок аппроксимации, в то время как схема NCT в этом тесте демонстрирует первый порядок. 4 Заключение Разработаны две безынтерполяционные схемы атермического узлового LBM на неравномерных сетках с оператором столкновения TRT. Каждая из схем использует собственный набор шаблонов LBM в области границы пере­хода неравномерной сетки, что позволяет избежать интерполяции данных. При этом не нарушается простота и эффективность классического LBM. В частности, схемы демонстрируют высокую точность и сохранение второго порядка аппроксимации в большинстве тестов. Для перехода между наборами популяций, которые отвечают разным шаблонам, построен универсальный способ их локальной перекалибровки. Применение оператора столкновения TRT, обладающего дополнительным свободным параметром по сравнению с оператором BGK, расширяет воз­можности метода безынтерполяционного LBM в плане контроля точности и стабильности вычислений. В работе приведены только двумерные тесты с измельчением сетки лишь вдоль одной из осей, однако изложенная теория равнозначно применима как для произвольного масштабирования сетки, так и для трёхмерного модели­рования. A Разложение Чепмена–Энскога для оператора столкновения TRT Дискретизованное кинетическое уравнение Больцмана для популяций LBM имеет вид: fi(t +.t, r +.t ci) . fi(t, r)=.t .i. (50) Предполагая наличие второго порядка аппроксимации, разложим левую часть в (50): 2 .tD23 .tDifi + i fi + O .t=.t .i,Di . .t + ci.r. (51) 2 Избавимся от вторых производных, входящих в (51). Для этого подействуем на (51) оператором .tDi/2 и получим равенство 2 2 .tD23 .t i fi + O .t= Di.i. (52) 22 Вычтя (52) из (51) и оставив только слагаемые второго порядка по .t, при­дём к уравнению, удобному для дальнейшего анализа: .t Difi =1 . Di .i. (53) 2 Рассмотрим произвольный оператор столкновения, линейный по неравно­весным частям популяций3 .i = ..ij fj . fj eq , (54) где . — симметричная матрица постоянных коэффициентов. Приступим к анализу Чепмена –Энскога, введя разложения популяций и их производных по параметру ., имеющему смысл числа Кнудсена [1]: eq (1) (2) (1) (2) (1) fi = f+ .f+ .2f+ ..., .t = ..+ .2.+ ..., .a = ... (55) a iii tt Подставив (55) в (53) с оператором столкновения (54), получаем (1) (2) (1) eq (1) (2) ..+ ..f+ .f+ .2f tt + cia.aii i .t (1) (2) (1) (1) (2) = ...ij 1 . ..+ .2.+ .cia.a f+ .f. (56) tt jj 2 Разделяя (56) для разных порядков по ., получаем в двух низших порядках (1) (1) eq (1) O(.): .+ cia.f= ..ijf, (57) a t ij (2) eq (1) (1) .ij.t (1) (2) O(.2): .t fi + .t + cia.a .ij . fj = ..ijfj . (58) 2 3Повторяющийся индекс j в равенстве (54) предполагает суммирование по нему. Отметим, что поскольку на шаге столкновения не должны изменяться физические моменты, справедливы соотношения neq neq neq neq .ijfj = fi =0,cia.ijfj = ciaf=0. (59) i ii ii Далее, в соответствии с (57) и (58), мы будем предполагать выполнение (59) для популяций в каждом порядке разложения по ., т.е. (n)(n) .ijfj =0,cia.ijfj =0, (60a) ii (n)(n) f=0,ciaf=0,n . 1. (60b) ii ii Домножая (57) на 1, cib и суммируя по индексу i c использованием соот­ношений (60), находим макроскопические уравнения первого порядка по .: (1) (1) .. + .(.ua)=0, (61) a t (1) (1) eq .(.ub)+ ..=0, (62) a t ab где eq eq .. ciacibf. (63) ab i i Аналогичным образом, домножив (58) на 1, cib и просуммировав по ин­дексу i, находим два макроскопических уравнения второго порядка по .: .t (2) . =0, (64) (2) (1) (1) 1 .(1) .(.ub)+ .a .. 2. =0, (65) t ab ab в которых введены обозначения (1) (1) .(1) (1) .. ciacibf, . . .tciacib.ijf. (66) abiab j ii Суммируя равенства (61), (64) и (62), (65), домножив их на соответству­ ющий порядок ., получаем макроскопические уравнения eq (1) 1 .(1) .t. + .a(.ua)=0,.t(.ub)+ .a .+ . .. . =0. (67) ab abab 2 (1) .(1) (1) Для определения .и . необходимо выразить fчерез физические abab i моменты функции распределения. Если матрица . обратима, это можно сде­лать с помощью равенства (57): (1) (1) eq (1) (1) (1) f= . ..1 Df(., u),D. .. (68) a i ijjj j t + cja. Следовательно, выражения (66) можно переписать в виде (1) (1) eq .(1) (1) eq .= ciacib ..1 Df, . =.tciacibDf, (69) ab jjab ii ij ii .(1) откуда видно, что выражение для . не зависит от выбора столкновитель­ ab ного члена (от матрицы .), в отличие от .(1) . ab Обратим внимание на то, что обратимость матрицы . не является крите­рием обратимости шага столкновения (приложение C). Используя соотношения (61), (62), выразим производную по времени, ко­ торая присутствует в (68), через производные по координатам: eq eq .f.f (1) eq i (1) i (1) .f= .t . + .t ua ti .. .ua eq eq .f .f(1) 1 (1) eq (1) i = . .a (.ua) . i ... ua.(.ub) , (70) bab b .. ..ua после чего eq eq .f.f (1) (1) j 1 (1) eq (1) j (1) eq f= .(.ua)+ ... ua.(.ub) f. i ..1 ij a .. . bab b .ua + cja.aj (71) Выражения (67), (69), (71) справедливы для любого приближения равно­ весной функции распределения и любого линейного члена столкновения с обратимой матрицей .. В случае стандартных равновесных популяций (9) можно получить eq .(1) (1) (1) (1) .= .(.2 .= ..t. .2 .ub + .ua +.t.(.uaubud). (72) a ab 0.ab + uaub), ab 0 bd .(1) Предполагая скорость потока u малой, в выражении для . необходимо ab удержать тот же порядок по u, что и в равновесных популяциях, тем самым пренебрегая вторым слагаемым: eq .(1) (1) (1) .= .(.2 . ...t. .2 .. (73) ab 0.ab + uaub), ab 0 a ub + .b ua Также для стандартной равновесной функции первая поправка по . для неравновесной части функции распределения (71) принимает вид (1) (1) cjacjb (1) (1) ..1 f= wj ...a ua + ..a ub + .ua b i ij 2.2 0 cja (1) cjacjbcjd (1) . ..u 2.ab +2uaub + .(.uaub) 2.2 b 2.4 d 00 u2.ab +2uaub (1) cjacjb (1) (1) + .(.ua) . uaub.(.ud)+2uaud.(.ub) , (74) 2.2 b 2.4 dd 00 где, как и в (73), следует пренебречь кубическими по u слагаемыми в по­следней строке, получив (1) (1) cjacjb (1) (1) ..1 f. wj ...ua + ..ub + .ua aa i ij 2.2 b 0 cja (1) cjacjbcjd (1) . ..u 2.ab +2uaub + .(.uaub) . (75) 2.2 b 2.4 d 00 Принимая во внимание соотношения для суммирования дискретных ско­ростей cia, легко увидеть, что и для представления (74), и для (75) в точ­ ности выполняются соотношения (60a), как и предполагалось. Выполнение равенств (60b) должно гарантироваться явным видом .. Далее мы будем исследовать частный случай оператора столкнове­ния TRT (15). Матрицу столкновения оператора TRT можно представить в виде .+ + .. .+ . .. .ij = .ij + ..ij, (76) TRT . .ij 2 2 где 1, если j =.i; . .ij = (77) 0, иначе, . и индекс i обозначает номер популяции, соответствующей противоположной скорости (16). Отметим, что выражение для обратной матрицы ..1 можно также пред­ставить в простом виде .+ + .. 1 .+ + .. .+ . .. ..1 = .ij . .ij = .ij . ..ij. (78) ij .+.. .+.. 2.+.. 2.+.. Используя (78), для .(1) находим ab (1) (1) (1) eq ..1 .= = . f ab ciacibfi ciacibDij ij ii .+ + .. .+ . .. (1) eq (1) eq = . ciacibDf. ciacibDf. (79) 2.+.. ii 2.+.. .i .i ii Первая сумма в (79) с точностью до коэффициента представляет из себя выражение для . .(1) (69), а вторая, принимая во внимание (16), ничем не ab отличается от первой, и, следовательно, (1) .+ + ...(1) .+ . ...(1) 1 .(1) .= . . .= . . (80) ab ab ab 2.t.+.. 2.t.+.. .t.+ ab При этом уравнение течения жидкости принимает вид eq 11 .(1) .t(.ub)+ .a .+ . .. =0. (81) ab ab .t.+ 2 В случае стандартной равновесной функции (9), используя (73), прихо­ дим к хорошо известному уравнению Навье –Стокса 11 .t(.ub)+ .a(.uaub)= ..02 .b. +.t.2 . .a (.(.aub + .bua)) . (82) 0 .t.+ 2 B Шаблоны LBM, используемые в работе DnQm(.t, .2 ) 0 цветовая иденти­фикация точки квадратуры vi (по оболочкам) число точек в оболочке веса wi D2Q9(1, 1/3) D2Q9(1/2, 1/3) D2Q9(1/2, 4/3) ^ ^ ^ (0, 0) v v ± 3, 0 , 0, ± 3 v v ± 3, ± 3 1 4 4 4/9 1/9 1/36 D2Q131(1, 1/3) ^ (0, 0) v 0, ± 3/2 v v ± 3, ± 3/2 v 0, ±3 3/2 v v ± 3, ±3 3/2 1 2 4 2 4 1/9 37/144 23/288 1/48 1/288 D2Q132(1, 1/3) ^ повёрнутый на ./2 шаблон D2Q131(1, 1/3) D2Q133(1, 1/3) ^ (0, 0) v v ± 3/2, ± 3/2 v v ± 3/2, ±3 3/2 , v v ±3 3/2, ± 3/2 1 4 8 1/9 7/36 1/72 C Критерий обратимости шага столкновения Обратимость шага столкновения можно выразить в виде следующих ра­венств для предстолкновительных и постстолкновительных популяций: post pre pre eq pre post post eq f= f. .t.ij(f. f),f= f+.t.ij(f. f), (83) ii jjii jj где . — некая матрица, позволяющая произвести обращение. Подставив пер­вое из равенств (83) во второе, находим соотношение pre eq (f. f)=0, (84) .ij . .ik(.jk . .t.jk) jj которое должно выполняться для любых неравновесных частей предстолк­новительных популяций. Таким образом, обратимость шага столкновения зависит от обратимости матрицы (I . .t.), т.е. шаг обратим, когда 1 det . .. = (85) (.t)m 519.688 10.20948/prepr-2024-19 метод решёточных уравнений Больцмана масштабирование решётки перекалибровка популяций LBM перекалибровка моментами TRT оператор столкновения Lattice–Boltzmann method grid refinement LBM populations transformation moment matching TRT collision operator The lattice Boltzmann method: principles and practice / Krüger Timm, Halim Kusumaatmaja, Alexandr Kuzmin et al. // Cham, Switzerland: Springer International Publishing AG. — 2016. Lattice Boltzmann method on quadtree grids / Yu Chen, Qinjun Kang, Qingdong Cai, Dongxiao Zhang // Physical Review E. — 2011. — Vol. 83, no. 2. — P. 026707. An adaptive mesh refinement strategy with conservative space-time coupling for the lattice-Boltzmann method / Stephen Guzik, Xinfeng Gao, Todd Weisgraber et al. // 51st AIAA Aerospace Sciences Meeting including the New Horizons Forum and Aerospace Exposition. — 2013. — P. 866. Touil Hatem, Ricot Denis, Lévêque Emmanuel. Direct and large-eddy simulation of turbulent flows on composite multi-resolution grids by the lattice Boltzmann method // Journal of Computational Physics. — 2014. — Vol. 256. — P. 220–233. Grid refinement for entropic lattice Boltzmann models / Benedikt Dorschner, Nils Frapolli, Shyam S Chikatamarla, Ilya V Karlin // Physical Review E. — 2016. — Vol. 94, no. 5. — P. 053311. Fakhari Abbas, Geier Martin, Lee Taehun. A mass-conserving lattice Boltzmann method with dynamic grid refinement for immiscible two-phase flows // Journal of Computational Physics. — 2016. — Vol. 315. — P. 434– 457. A generic, mass conservative local grid refinement technique for lattice- Boltzmann schemes / Martin Rohde, Drona Kandhai, JJ Derksen, Harry EA Van den Akker // International journal for numerical methods in fluids. — 2006. — Vol. 51, no. 4. — P. 439–468. Filippova Olga, Hänel Dieter. Grid refinement for lattice-BGK models // Journal of computational Physics. — 1998. — Vol. 147, no. 1. — P. 219–228. Filippova Olga, Hänel Dieter. A novel lattice BGK approach for low Mach number combustion // Journal of Computational Physics. — 2000. — Vol. 158, no. 2. — P. 139–160. Grid refinement in lattice Boltzmann methods based on volumetric formulation / Hudong Chen, Olga Filippova, J. Hoch et al. // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 2006. — Vol. 362, no. 1. — P. 158–167. Flow simulation with locally-refined LBM / Ye Zhao, Feng Qiu, Zhe Fan, Arie Kaufman // Proceedings of the 2007 symposium on Interactive 3D graphics and games. — 2007. — P. 181–188. Dupuis Alexandre, Chopard Bastien. Theory and applications of an alternative lattice Boltzmann grid refinement algorithm // Physical Review E. — 2003. — Vol. 67, no. 6. — P. 066707. Geier Martin, Greiner Andreas, Korvink Jan G. Bubble functions for the lattice Boltzmann method and their application to grid refinement // The European Physical Journal Special Topics. — 2009. — Vol. 171, no. 1. — P. 173–179. Березин Арсений Владимирович, Иванов Антон Валерьевич, Перепёлкина Анастасия Юрьевна. Безынтерполяционный LBM на неравномерных сетках // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. — 2022. — no. 65. — P. 1-20. https://doi.org/10.20948/prepr-2022-65 https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2022-65 Березин Арсений Владимирович, Иванов Антон Валерьевич, Перепёлкина Анастасия Юрьевна. Безынтерполяционный LBM на неравномерных сетках // Сибирский журнал вычислительной математики. — 2023. — Vol. 26, no. 3. — P. 235–252. Berezin AV, Ivanov AV, Perepelkina A Yu. LBM without Interpolation on Non-Uniform Grids // Numerical Analysis and Applications. — 2023. — Vol. 16, no. 3. — P. 193–207. Ginzburg Irina, Verhaeghe Frederik, d’Humieres Dominique. Two-relaxation-time lattice Boltzmann scheme: About parametrization, velocity, pressure and mixed boundary conditions // Communications in computational physics. — 2008. — Vol. 3, no. 2. — P. 427–478. Ginzburg Irina, Verhaeghe Frederik, d’Humieres Dominique. Study of simple hydrodynamic solutions with the two-relaxation-times lattice Boltzmann scheme // Communications in computational physics. — 2008. — Vol. 3, no. 3. — P. 519–581. Qian Yue-Hong, d’Humières Dominique, Lallemand Pierre. Lattice BGK models for Navier-Stokes equation // Europhysics letters. — 1992. — Vol. 17, no. 6. — P. 479. Dorschner Benedikt, Bösch Fabian, Karlin Ilya V. Particles on demand for kinetic theory // Physical review letters. — 2018. — Vol. 121, no. 13. — P. 130602. Regularization and the Particles-on-Demand method for the solution of the discrete Boltzmann equation / E. Zipunova, A. Perepelkina, A. Zakirov, S. Khilkov // Journal of Computational Science. — 2021. — Vol. 53. — P. 101376. К вопросу о консервативности метода PonD решения дискретного уравнения Больцмана / А.В. Закиров, Б.А. Корнеев, В.Д. Левченко, А.Ю. Перепёлкина // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. — 2019. — no. 35. — P. 1–19. https://doi.org/10.20948/prepr-2019-35 https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2019-35 Зипунова Е.В., Перепёлкина А.Ю. Разработка явных и консервативных схем для решеточных уравнений Больцмана с адаптивным переносом // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. — 2022. — no. 7. — P. 1–20. https://doi.org/10.20948/prepr-2022-7 https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2022-7 Ivanov A., Khilkov S. Aiwlib library as the instrument for creating numerical modeling applications // Scientific Visualization. — 2018. — Vol. 10, no. 1. — P. 110–127. Sukop MC. DT Thorne, Jr. Lattice Boltzmann Modeling Lattice Boltzmann Modeling. — Springer, 2006. Analysis and reduction of spurious noise generated at grid refinement interfaces with the lattice Boltzmann method / Thomas Astoul, Gauthier Wissocq, Jean-Fran ̧cois Boussuge et al. // Journal of Computational Physics. — 2020. — Vol. 418. — P. 109645. https://keldysh.ru/papers/2024/prep2024_19.pdf