1-17 RAR 5226-0864 0009-0005-0247-4124 Суслов Кирилл Сергеевич Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН suslov.ks@phystech.edu Suslov K.S. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS Приближенное решение задачи двух тел, возмущённой периодическим ускорением Approximate solution to the Two-Body problem perturbed by periodic acceleration В работе предлагается подход к аппроксимации орбитальной динамики в модели возмущённой задачи двух тел, который приводит к системе уравнений, имеющей решение в явном виде. Подход основан на представлении компонент возмущающего ускорения в виде рядов Фурье по эксцентрической долготе с постоянными коэффициентами, интерпретации возмущённой задачи двух тел в терминах модифицированных равноденственных элементов и усреднении правых частей уравнений движения по средней долготе на одном витке. Обнаружено, что влияние возмущающего ускорения на полученные усреднённые уравнения параметризуется конечным набором скалярных параметров, которыми являются коэффициенты разложения в ряды Фурье. Найдены решения усредненных уравнений в явном виде в случае орбит с малым эксцентриситетом. In this paper, author proposes an approach to approximate orbital dynamics in the model of a perturbed Two--Body problem, which leads to a system of equations with a closed-form solution. The approach is based on representing the components of the disturbing acceleration by Fourier series in eccentric longitude with constant coefficients, writing out the equations of the perturbed two-body problem in terms of modified equinoctial elements, and averaging the right-hand sides of the equations of motion over the mean longitude on one orbit. It is discovered that the influence of disturbing acceleration on the resulting averaged equations can be parameterized by a finite set of scalar parameters, which are the coefficients of the Fourier series. Solutions of the averaged equations are found in a closed form in case of orbits with low eccentricity. 1. Введение Приближенные аналитические модели орбитального движения космического аппарата (КА) являются полезным инструментом на предварительном этапе проектирования миссии. Они позволяют получить информацию об особенностях динамики в задаче и строить начальные приближения для методов оптимизации, что особенно полезно при проектировании многовитковых перелётов, когда получение оптимальной спиральной траектории КА без достаточно близкого начального приближения практически невозможно. В данной работе в качестве модели движения КА рассматривается возмущённая задача двух тел. Эта модель широко используется в задачах орбитальной динамики, так как с её помощью удобно описывать движение небесных тел и космических аппаратов. Учёт возмущающих ускорений, связанных с несферичностью центрального тела, притяжением других небесных тел, солнечным радиационным давлением, сопротивлением атмосферы, реактивной тягой и другими эффектами, приводит к тому, что уравнения движения не имеют решения в явном виде. Во многих классических и современных работах были получены аналитические выражения для эволюции орбиты КА в различных частных случаях: возмущающей силе, постоянной по величине и направлению [1, 2, 3], постоянного радиального [4] или непрерывного касательного [5, 6, 7, 8] ускорения. Однако, если возмущение представлено в более общем виде, решения уравнений движения не могут быть найдены в явном виде, и их необходимо искать с помощью численных или приближенных методов. К примеру, в работах [9, 10, 11] авторами предлагается замена компонент вектора возмущающего ускорения на суммы их тригонометрических рядов Фурье по эксцентрической аномалии. Такой подход позволяет аналитически усреднить уравнения движения и параметризовать влияние возмущающего ускорения на среднюю динамику конечным набором коэффициентов разложения [9]. Данное свойство используется в решении задач оптимизации перелётов КА с малой тягой [10, 12, 13]. К сожалению, усреднённые уравнения, полученные в [9], вырождаются в случае нулевых значений эксцентриситета или наклонения, так как записаны в терминах классических орбитальных элементов. Эта особенность затрудняет работу с орбитами, близкими к экваториальным или круговым. Цель данной работы - применение аналогичного подхода для получения приближенного аналитического решения задачи двух тел, возмущённой периодическим по эксцентрической долготе ускорением. В разделе 2 представлена математическая формулировка возмущённой задачи двух тел и преобразование Фурье возмущающего ускорения. Каждая из трёх компонент вектора ускорения представляется в виде суммы тригонометрического ряда Фурье по эксцентрической долготе. В разделе 3 представлена схема усреднения уравнений движения по времени и выведена усреднённая система дифференциальных уравнений. Затем в разделе 4 усреднённые уравнения аппроксимируются в предположении малости эксцентриситета орбиты и величины возмущающего ускорения. Наконец, в разделе 5 представлены некоторые результаты сравнения рассматриваемых приближенных решений с решениями исходных уравнений движения возмущённой задачи двух тел. 2. Модель движения Рассматривается движение космического аппарата под действием гравитационного притяжения точечной массы, расположенной в начале инерциальной системы координат, и некоторого возмущающего ускорения. Уравнения движения запишем в терминах модифицированных равноденственных элементов р, Л [14]: I = (1) dt -у j dex [р Г . т „ ix sin L — iy cos L „ t = 1 Um L • fr — ву- fn+ (2) - ex +cos M 1 + ( cosL + J • fc\ { — cos L • fr + вх fn+ (3) dt У ц { - dey [p \ T , ix sin L — iy cos L — 1 } cos L • f r + - y ву + sin L + (sin L + у dt у j 2- J j T2—^L cos L • fn, (4) ~dt 1 ~+ ix ~+ ЬУ — sin L ^ fn- (5) (1Л fp I eX ey ix sin L - iy cos L -17 = \ ~ \ f + fn- (6) 1 -\/1 - eX - ey / i\ 2 + 2 ( 1 + - j (ey cos L - бж sin L) • fc где L = 0+сс + V - истинная долгота, — = 1 + e x cos L + e y sin L. Модифицированные равноденственные элементы связаны с большой полуосью a, эксцентриситетом e, наклонением i, долготой восходящего узла V, аргументом перицентра со и средней аномалией M следующим образом [14]: Р = а(1 - e2), (7) ex = e cos (со + V), (8) ey = e sin (со + V), (9) i ix = tan - cos V, (10) i iy = tan ^ sin V, (11) Л = M + с + V - у y|3dt- (12) Возмущающее ускорение представлено тремя своими компонентами fr ,fc,fn в орбитальной системе координат. В данной работе компоненты возмущающего ускорения считаются периодическими функциями эксцентрической долготы F = E + V + со, где E -эксцентрическая аномалия. Представим функции fr(F), fc(F) и fn(F) в виде тригонометрических рядов Фурье: оо а0 + ^(с*4 cos kF + вк sin kF), (13) k=1 где коэффициенты разложения а0, агк, Ъ\ (k G N,i G {r,c,n}) определяются вы ражениями °'<>=jf^dF ak = /2' fi(F)cos(kF)dF, вк = f fi(F)sin(kF)dF. (14) Правые части уравнений движения (1)-(6) зависят от быстро меняющихся угловых переменных L и F, что приводит к осцилляциям модифицированных равноденственных элементов. Классическим инструментом избавления от осцилляций в системах дифференциальных уравнений является метод усреднения, применение которого рассматривается в следующем разделе. 3. Усреднённые уравнения движения В данном разделе предлагается схема аналитического усреднения уравнений движения (1)-(6). Усреднение производится с помощью интегрирования по средней долготе Л на одном витке: dx 1 f2n dx 1Л ^ „. ~г = ^ -rd\, (15) где x - вектор модифицированных равноденственных элементов x = [p, ex, ey, ix, iy, Л]т. Воспользовавшись зависимостью средней долготы Л от эксцентрической долготы F Л = F + ey cos F - ex sin F, (16) перепишем выражение (15) в терминах F: — = — / — dЛ = — (1 - ex cos F - ey sin F)—dF. (17) Для того чтобы проинтегрировать выражения в (17), правые части уравнений (1)-(5) должны быть переписаны в терминах F с использованием следующих отношений: . (1 - eXb)sin F + exeyЪ cos F - ey sin L = ^ g . u-, (18) 1 - ex cos F - ey sin F (1 — e2b) cos F + exeyb sin F — ex cos L = ^ f-> F X y . F X, (19) 1 - x cos F - y si F где Ъ = 1 + — eX — e (20) В итоге усредненные уравнения движения имеют следующий вид: dp 1 dt = ф2 { + 1 - Ф - e2 )ф + 2 e 2e2 11 2 2 ej;(1 + ф2) + 2фёХ c _ (eX e2 2ё2ф —ai - ex— 4 ё2ф Ж«0 - ex ey (12-2^ec+ (22) 4 ё2ф eyix exiy n (exiy - eyix)(2 + ф)ex + ф(1 + ф)i 2ф2 o 2(1 + ф)ф2 (eyix - ex iy )(2 + ф)ey + ф(1 + ф)^ 2(1 + ф) ф2 a i yn _ (ex iy + ey ix) (1 + ф) 2exey (exix + eyiy) n 4(1 + ф(1 + ф)(ex ix ey iy) + 2exey (eyix exi 4 (1 + ф) ф2 dey "dt7 y 1 ж r a + ex ey вг a0 ex ey 2e2 2ё2ф 2 A I TT2 TT2 = exao - 2ё2ф 4 ё2ф ain+ +2^2 + a + 02)ex c + e (ey2 - ё^ф + 2 ex e 2 eyф + ex- ey в 4 ё2ф + 3e ex iy - ey ix n _ e (exiy - ey ix) (2 + ф) ex + ф(1 + ф)iy an +3ex 2ф2 ao ex 2(1 + ф)ф2 +e (eyix - exiy) (2 + ф) ey + ф(1 + ф)4 вn + +ex 2(1 + ф)ф2 Pi + _ (ex iy + ey ix)(1 + ф) 2exey (exix + eyiy) n ex 4(1 + ф)ф2 ^2 (ex ix ey iy)ф(1 + ф) + 2exey (eyix exi 4(1 + ф)ф2 dix = il^+i / an + ex(2 - ф2)+ ^ an + e e 2 - ф2 - ф Pn+ (24) dt = 4 \ 2ф2 O + ё2ф2 ai +ex ey ё2ф2 Pi + (24) +e e2 - ex- 2фe2„_ e 2ex- (ex- ey)фЯЛ /I +ex 2ё2ф2 O ey 2ё2ф2 в2/ diy = 1+ J- + i2 f 3ey an + e e 2 - ф - ф2 an + ey(2 - ф2)+ eXф Pn (25) dt = 4 \ 2ф2 O +ex ey ё2ф2 ai + ё2ф2 Pi (25) e ex- e2 - 2eXф„ 2 e2 + (ex- ey)ф A f? ey 2ё2ф2 O ex 2ё2ф2 в2/ [/ 3\ r _4 - ф - 3ф2 r _4 - ф - 3ф2 — — / I 1 — — ar + e a + e ф —2 —2 ee dt - + ex 2ё2ф ai + ey 2ё2ф Pi 2^A2- (26) ф в2 ey 2ё2ф O +ex 2ё2ф Pi + + exey(1 - ф) ac + - ex)(1 - ф) Pc + 3(exiy - eyi^ an + + 2ё2ф a + 4e^ в2 + 2^ a + , exeyix(1 + b) + iy(be2 - 1 - n exeyiy(1 + b) + ix(bex - 1 - e2) ^ , + о .12 ai о .12 Pi + 2ф2 ^ 2ф2 ixey + iy ex 2bexey (ixex + iy ey ) n ixex - iyey + b(ixex + iyey)(e2 - n 1 [p 4ф в2 где e — \jex + e2,, ф — л/1 - e2. Из результатов классических работ по методу усреднения [15, 16] можно сделать вывод, что в безразмерной системе единиц (с единицей длины, равной среднему радиусу Земли RE — 6371 км, и единицей ускорения, равной ускорению свободного падения на её поверхности gn — 9.8067 м/с2) решение усреднённых уравнений (21)-(26) аппроксимирует решение исходной задачи (1)-(6) с погрешностью порядка |f | на промежутке времени порядка 1/|f |. Заметим также, что влияние возмущающего ускорения на правые части усреднённых уравнений движения параметризуется конечным набором из 15 коэффициентов разложения в ряды Фурье: a0, a, Pi, a2, P2, О, ai, въ О, в2>, n n n n Полученные усреднённые уравнения имеют достаточно громоздкий вид, и их решение необходимо проводить численными методами. В следующей главе показано, что в случае орбит с малым эксцентриситетом и возмущающих ускорений малой величины уравнения можно упростить и решить аналитически. 4. Аппроксимация усреднённых уравнений движения в случае малого эксцентриситета Перейдём к аппроксимации полученных в предыдущей главе усреднённых уравнений движения. Зависимость ошибки | Ax| решения уравнений (21)-(26) от ошибки | A^| | вычисления их правых частей уравнений может быть приближена следующим соотношением: |Ax| « |A—I (t — to), (27) где t0 - начальный момент времени. Таким образом, если необходимо определить значения модифицированных равноденственных элементов с точностью |Ax| ~ 10—3 на промежутке времени до нескольких сотен витков (t — t0 = 2п • 160 ~ 103), достаточно вычислять правые части усреднённых уравнений движения с точностью порядка 10—6. Этот факт позволяет упростить уравнения (21)-(26) в случае, когда эксцентриситет орбиты и амплитуда возмущающего ускорения остаются малыми величинами (e < 10—3, f < 10—4). Исходя из принципа, описанного выше, можно отбросить слагаемые, пропорциональные ex и ey, из правых частей уравнений (21)-(26) ввиду того, что их величина меньше 10—6. В результате получим уравнения, которые далее будем называть нулевым приближением: (28) dt dey (29) (30) (31) S = У1 (—2f + • (33) Приступим к решению данной системы. Для начала заменим независимую переменную t на новую переменную т, определяемую дифференциальным уравнением dr 1р dt у М Производную по т обозначим как dx/dr = x'. Тогда нулевое приближение запишется в виде p = 2p f, (35) eX = f + f, (36) ey = PT — f, (37) iX = 1+ % + ^ «1, (38) = i±^±b! p1, (39) Л = —2a0 + Pfix — a1iy. (40) 2 Заметим, что уравнения (35)-(37) отделяются от системы и могут быть решены в явном виде: P(r) = p(rc) exp (2«0(r — To)), (41) ex(r) = ex(rc) + (^ + ac^j (т — ro), (42) ey (r ) = ey (то )+( # — f^j (r — ro). (43) В свою очередь, уравнения (38)-(39) обладают первым интегралом K = pnix — aniy. Используя его, разобьём (38) и (39) на два независимых уравнения: §=f (1+«+(^)"). (44) которые решим независимо. Если an и pn одновременно не равны нулю, решение системы (45) следующее: 'x(r) = К)2 + (рГ)2 tg (Y + 4(т — + P"K) , (46) iy(т) = (a?)2 + (ffl2 (Р"1 tg (Y + I(т — То)) — «lK) , (47) где I = ^К)2 + (pj.)2 + K2, 7 = arctg (""ix(rc) + PЫ). (48) Если an = pn = 0, значения ix и iy будут постоянными. И, наконец, решение уравнения (40) имеет вид Л(т) = Л(то) + K —24fC (т — то). (49) Решение уравнения на т получаем из (34) и (41): т(t)=/т(tc)—Os'"I1—"^У"!1 (t—tc0, ac=0; 1 т (to) + y/*&(t — to), «0 = 0. Как видим, нулевое приближение усреднённых уравнений движения имеет решение в явном виде, что позволяет найти значения модифицированных равноденственных элементов орбиты без использования численного интегрирования. 5. Сравнение приближенных решений с решениями неусреднённой задачи В данной главе представлено несколько примеров, показывающих применимость полученных приближенных выражений (21)-(26) и (41)-(50). Во-первых, рассмотрим поведение высокоэллиптической орбиты под действием возмущения большой амплитуды. В качестве начальных значений модифицированных равноденственных элементов выбраны po = 20000 км, eo = 0.1, io = 51.6°, ^o = 45° и 6-jo = 45°. Коэффициенты разложения выбраны случайно в диапазоне от —10 до 10 мм/c2. Время моделирования соответствует 50 оборотам вокруг Земли. Сравнение решения неусреднённой задачи с решением усреднённых уравнений представлено на рисунке 1. Оба решения получены численным интегрированием уравнений (1)-(6) и (21)-(26) соответственно с помощью метода Рунге-Кутты порядка 5(4) с относительной и абсолютной точностью 10— 2. В качестве второго примера рассмотрим манёвр с использованием малой тяги вблизи геостационарной орбиты: po = 42164 км, eo = 0 и io = 0°. Управляющее ускорение представлено 15 коэффициентами разложения в ряды Фурье, случайно взятыми в диапазоне от —0.1 до 0.1 мм/c2. Время моделирования соответствует 50 оборотам вокруг Земли. Рисунок 2 демонстрирует эволюцию модифицированных равноденственных элементов, полученную из неусреднённой динамики и нулевого приближения усреднённых уравнений. Чтобы получить решение неусреднённой задачи, уравнения (1)-(6) были проинтегрированы численно методом Рунге-Кутты порядка 5(4) с абсолютной и относительной точностью 10—1 2. Нулевое приближение было вычислено явно с помощью выражений (41)-(43) и (46)-(50). Из рисунков 1 и 2 можно сделать вывод, что в рассмотренных примерах приближенные решения аппроксимируют решения исходных уравнений с необходимой точностью |Ax| ~ 10—3: в случае высокоэллиптической орбиты | Ax| < 5 • 10—3, а в случае геостационарной орбиты | Ax| < 3 • 10—5. Таким образом, усреднённые уравнения и их приближенное решение в явном виде с высокой точностью отображают среднюю динамику орбиты КА в неусреднённой модели, отбрасывая быстро осциллирующую составляющую её эволюции. 6. Заключение В данной работе был предложен новый подход к аппроксимации орбитальной динамики при возмущениях малой величины. Правые части уравнений движения были усреднены по времени, что позволило параметризовать влияние возмущения на усреднённую динамику 15 параметрами, которые являются коэффициентами разложения возмущения в тригонометрические ряды Фурье. В случае малого эксцентриситета усредненная динамика может быть аппроксимирована более простыми уравнениями, которые, как было показано, имеют решение в явном виде. Показано, что как полные усредненные уравнения, так и их аппроксимации описывают среднюю эволюцию различных орбит на десятках витков с погрешностью менее |Ax| ~ 10—3. В слабо возмущённой задаче орбитального движения вековой дрейф элементов орбиты невелик в течение некоторого конечного интервала времени. В этом случае возмущающее ускорение, являющееся функцией вектора состояния КА, можно аппроксимировать функцией с постоянным спектром. Таким образом, представленная методика аппроксимации усреднённых уравнений движения может быть применима к широкому спектру задач возмущённой орбитальной динамики, включая как анализ эффектов естественных возмущений, так и оптимизацию перелётов с малой тягой. 521.1 10.20948/prepr-2023-68 Работа поддержана грантом Российского научного фонда № 19-11-00256. орбитальное движение малая тяга метод усреднения orbital motion low thrust averaging method Biscani F., Izzo D. The Stark problem in the Weierstrassian formalism // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2014. 439(1), pp. 810–822, https://doi.org/10.1093/mnras/stt2501. Dankowicz H. Some special orbits in the two-body problem with radiation pressure // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 1994. 58, pp. 353–370, https://doi.org/10.1007/BF00692010. Zuiani F., Vasile M. Extended analytical formulas for the perturbed Keplerian motion under a constant control acceleration // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2015. 121, pp. 275–300, https://doi.org/10.1007/s10569-014-9600-5. Izzo D., Biscani F. Explicit Solution to the Constant Radial Acceleration Problem // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2015. 38(4), pp. 733–739, https://doi.org/10.2514/1.G000116. Oхоцимский Д.E. Исследование движения в центральном поле сил под действием постоянного касательного ускорения // Космические исследования. 1964. 2(6), c. 817–842, https://istina.msu.ru/publications/article/64660208/. Bombardelli C., Ba`u G. Asymptotic solution for the two-body problem with constant tangential thrust acceleration // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2011. 110, pp. 239–256, https://doi.org/10.1007/s10569-011-9353-3. Евтушенко Ю.Г. Влияние касательного ускорения на движение спутника // Прикладная математика и механика. 1966. 30(3), с. 594–598, https://doi.org/10.1016/0021-8928(67)90109-8. Curzi G., Modeninititle D. Analytic solution for perturbed Keplerian motion under small acceleration using averaging theory // Advances in Space Research. 2022. 72(7), pp. 2445–2459, https://doi.org/10.1016/j.asr.2022.10.007. Hudson J.S., Scheeres D.J. Reduction of low-thrust continuous controls for trajectory dynamics // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2009. 32(3), pp. 780–787, https://doi.org/10.2514/1.40619. Hudson J.S., Scheeres, D.J. Orbital targeting using reduced eccentric anomaly low-thrust coefficients // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2011. 34(3), pp. 820–831, https://doi.org/10.2514/1.51336. Hudson J.S., Scheeres, D.J. Fourier Coefficient Selection for Low-Thrust Control Shaping // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2013. 36(6), pp. 1783–1786, https://doi.org/10.2514/1.58737. das Chagas Carvalho F., da Silva Fernandes S., de Moraes R.V. A numerical study for optimal low-thrust limited power transfers between coplanar orbits with small eccentricities // Comp. Appl. Math. 2016. 35, pp. 907—936, https://doi.org/10.1007/s40314-016-0325-9. Nie T., Gurfil P. Resonant Control of Satellite Orbits // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2021. 44(12), pp. 2126–2142, https://doi.org/10.2514/1.G006040. Walker M.J.H., Ireland B., Owens J. A set of modified equinoctial orbit elements // Celestial mechanics. 1985. 36(4), pp. 409–419, https://doi.org/10.1007/BF01227493. Волосов В.М. О методе усреднения // Доклад Академии Наук. 1961. 137(1), c. 21–24, https://www.mathnet.ru/links/44db4ba4fae72a2995a1cbfd9c7b42aa/dan24690.pdf. Волосов В.М. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук. 1962. 17(6), c. 3—126, https://doi.org/10.1070/RM1962v017n06ABEH001130. https://keldysh.ru/papers/2023/prep2023_68.pdf