1-18 RAR 7970-4202 0000-0001-8587-4994 Бойков Дмитрий Сергеевич Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН boukovds@gmail.com Boykov D.S. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS Сквозной расчет термомеханических явлений в твердом теле с динамическим контролем агрегатного состояния End-to-end calculation of thermomechanical phenomena in a solid with dynamic control of the aggregate state Построена комплексная компьютерная модель термомеханических явлений в твердом деформируемом материале в результате действия интенсивных потоков энергии. Разработан алгоритм сквозного расчета нагрева, испарения, динамики испаренного вещества и упругопластических волновых процессов, приводящих к разрушениям в неиспаренном твердом материале. Предложена методика динамического контроля изменения агрегатного состояния конденсированной среды. Проведены расчеты разрушения полимерных и композитных материалов под действием ионизирующих излучений. A complex computer model of thermomechanical phenomena in a solid deformable material as a result of the action of intense energy fluxes was constructed. An algorithm has been developed for the end-to-end calculation of heating, evaporation, dynamics of vaporized matter and elastic-plastic wave processes leading to destruction in a solid material. A method for dynamic control of changes in the aggregate state of a condensed medium was proposed. Calculations of the destruction of polymer and composite materials under the action of ionizing radiation were carried out. 1 Введение Создание и исследование новых материалов является в настоящее время ак­туальной задачей. Активно развивается производство новых конструкцион­ных материалов, в том числе полимеров и композитов на основе полиме­ров. Такие материалы применяются в аэрокосмической отрасли, в атомной и энергетической индустрии, а также для производства трубопроводов, ко­торые представляют интерес для северных регионов страны. Исследование новых материалов – сложный и трудоемкий процесс. Проведение натурных экспериментов имеет ряд ограничений: стоимость экспериментов высока, как правило, исследуются небольшие образцы простой геометрической формы. В тех случаях, когда в качестве разрушающего воздействия используются иони­зирующие излучения (например, релятивистские электронные пучки [1]), мо­ гут возникать сложности с определением параметров нагрузки. Разработка средств компьютерного моделирования и проведение вычислительных экспе­риментов позволяют с достаточной точностью восполнить недостающие дан­ные. Широкий класс прикладных задач требует подробного описания физики быстропротекающих процессов в геометрически сложных объектах с учетом исключительно трехмерных эффектов. В то же время необходимо согласован­но рассчитывать сразу несколько физических процессов, таких как динами­ческие процессы, возникающие при переходе материала в другое агрегатное состояние, пластические деформации, объемное разрушение материала, от­кольные явления. В таких мультифизичных задачах требуется особый подход к учету того или иного процесса. Поскольку известны критерии изменения состояния материала, можно создать необходимые методики для учета всех физических процессов, не разделяя решение на отдельные задачи. Подобный подход позволяет значительно облегчить анализ решения и оценить все ди­намические процессы одновременно. 2 Математическая модель газодинамических и упругопластических волновых процессов Исходная система уравнений, описывающая термомеханические эффекты в объекте, подвергающемся воздействию интенсивного потока энергии (части­цы, ионизирующее излучение), основана на моделях механики сплошной сре­ды. Полная система уравнений включает уравнения и определяющие соотно­шения (кинематические, физические), описывающие гидрогазодинамику ис­паряемого материала, упругие, пластические волны, вязкопластические де­формации и разрушение в твердом остатке мишени. Динамические процессы в материале объекта в широком диапазоне параметров состояния моделиру­ются в приближении локального термодинамического равновесия. Уравнения динамики сплошной среды записываются в виде основных законов сохране­ния. В области испаряемого материала расчет производится на основе урав­нений газодинамической модели: . .. . + .(.w) = 0; .wi + .ik = 0; .ik = .wiwk + P.ik; (1) .t .t .xk k . 11 22 .E + .w + .q = 0; q = .E + .w + P w; P = P (., E). .t 22 (2) Здесь . – плотность, w – вектор скорости, P – давление, E – удельная внут­ренняя энергия, q – вектор плотности потока энергии, t – время. Система уравнений, используемая для расчета волновых процессов в деформируемом твердом теле, соответствует модели упругопластических деформаций: .. + ..iwi = 0; (3) .t .wi . = Fi + .j.ij; (4) .t ..E = .ij..ij ..iqi; (5) .t qi = ..(., T ).iT ; (6) ..ij = 1(.iwj + .jwi); (7) 2 .D.ij 1 .. +2G.D..ij =2G..ij + .ij . 3.K (T . T0) .ij; (8) .t 3. .t p = p (., E); (9) .ij = ..ip + D.ij + ((3. . 2µ)...ij +2µ..ij); (10) 3 . .=2Y 2 .ij..(p) ; (11) ij 0 ..= ..ij.ij/3; (12) здесь F – вектор внешних сил, . – тензор напряжений, .. – скорость деформации, . – коэффициент теплопроводности, T – температура, D – девиатор напряжений, . .– удельная мощность пластической деформа­ции, G – модуль сдвига, . и µ – коэффициенты первой и второй вязкости, . – коэффициент теплового расширения, K – модуль объемного сжатия, Y0 – предел текучести. 3 Уравнения состояния Система законов сохранения (1)-(12) должна быть дополнена уравнениями состояния (УРС) и реологическими соотношениями, которые cодержат ин­формацию о свойствах конкретного вещества. При ударном сжатии или им­пульсном нагреве материала ионизирующим излучением возникают высокие концентрации энергии. Они приводят к перестройке кристаллической струк­туры вещества, плавлению, испарению, диссоциации и ионизации. Возникает необходимость моделировать свойства вещества в широком диапазоне изме­нения давления, плотности и температуры. При построении широкодиапазон­ных УРС необходимо использовать различные модели, имеющие существенно разные области применимости. Выбор адекватных материальных уравнений является одним из важных факторов, определяющих точность газодинами­ческих и упругопластических расчетов. В предлагаемых методиках использовались заранее рассчитанные УРС в табличной форме, подготовленные с помощью программного комплекса ТЕР­МОС [2]. Таблицы УРС содержат зависимости давления, внутренней энергии, теплопроводности и оптических свойств материала от его плотности и тем­пературы, тем самым замыкая систему (1)-(12). В комплексе программ ТЕРМОС реализованы следующие апробирован­ные на большом количестве практических задач модели, предназначенные для расчета уравнений состояния и оптических характеристик конструкци­онных материалов и рабочих сред и подробно описанные в книге [3]: • Обобщенная модель Томаса-Ферми, применимая при высоких темпера­турах и давлениях; • Модели ионизационного равновесия Саха-Больцмана с потенциалами иони­зации, энергиями возбуждения, полученными либо из эксперимента, либо с использованием многоконфигурационного приближения Хартри-Фока, в том числе с учетом молекулярных состояний; применима при сравни­тельно малых плотностях и низких температурах вплоть до комнатных условий; • Эффективный вариант модели Хартри-Фока-Слэтера и Дирака-Фока­Слэтера, необходимый для расчетов термодинамических и оптических свойств (спектральных характеристик, коэффициентов электронной теп­лопроводности плазмы и т.п.). Комплекс программ ТЕРМОС позволяет рассчитывать табличные урав­нения состояния для большинства химических элементов, а также для ве­ществ, имеющих сложный химический состав. Для смеси элементов наиболее универсальным условием равновесия является равенство химических потен­циалов компонентов смеси, причем объем "молекулы"смеси должен быть ра­вен сумме объемов отдельных компонентов. Для плазмы кроме равенства хи­мических потенциалов при равновесии должны выполняться равенства элек­тронных плотностей и электронных давлений компонентов смеси. В основе методики расчета ионизационного равновесия в плазме сложного химическо­го состава лежит модель Саха. Для описания жидкой и твердой фазы вещества при низких температу­рах предназначены полуэмпирические уравнения состояния, в которых учи­тываются фазовые переходы, а также возможность реализации метастабиль­ных состояний. Данные модели также реализованы в программном комплексе ТЕРМОС. • Уравнение состояния QEOS [4], [5] основано на простых полуэмпириче­ских моделях жидкости и твердого тела. Тепловое движение ионов описы­вается многофазным уравнением состояния, сочетающим законы Дебая, Грюнайзена, Линдеманна и законы подобия для жидкости. Зависящий от температуры коэффициент в формуле для давления для конкретно­го элемента уточняется с использованием экспериментального значения температуры Дебая. Вклад электронов вычисляется с использованием полуэмперической холодной кривой, тепловые электронные свойства на­ходят из модифицированной статистической модели Томаса–Ферми. • Термодинамически согласованное одиннадцатиконстантное УРС-11 [6], [7] строится на основе определяемых экспериментальным путем констант для нормальных условий и экстраполяции с помощью теоретических за­висимостей в области существования плазмы с учетом ее неидеальности и вырождения электронного компонента. Давление и удельная внутрен­няя энергия складываются из потенциальных, тепловых и электронных составляющих. В данных УРС при плотности вещества, меньшей нормальной, в неко­тором диапазоне температур изотермы давления немонотонны с изменением знака первой производной по плотности, то есть существуют критические параметры и область двухфазных состояний в том же смысле, что и в урав­нении состояния Ван-деp-Ваальса. Учитывать такие состояния необходимо при расчетах параметров механического действия. В то же время при реше­нии газодинамических уравнений такое поведение изотерм давления может приводить к серьёзным проблемам со сходимостью решения сеточных систем и требует коррекции. Для этого в данной области строится так называемая Максвелловская конструкция, т.е. рассчитывается равновесие фаз из усло­вия выполнения правила Максвелла для давления насыщенного газа. Расчет волновых процессов в твердом веществе можно проводить и в приближении баротропной среды; в этом случае уравнение состояния принимается в анали­тическом виде. Наиболее распространенными являются эмпирические УРС в форме Ми-Грюнайзена и в форме Тэйта. Модифицированное уравнение Тэйта включает коэффициенты, которые представляются как функции тем­пературы и определяются на основе экспериментальных данных. 4 Динамический контроль состояния материала При воздействии ионизирующего излучения на материал происходит абля­ция с его поверхности, материал вследствие возгонки мгновенно переходит в газообразное состояние, минуя жидкую фазу. Абляция материала происхо­дит, если удельная внутренняя энергия больше либо равна энергии абляции. Таким образом определяется область которая переходит в газообразное со­стояние. При этом в образце в результате действия реактивных сил возникает волна сжатия в области воздействия. Вслед за волной сжатия формируется волна разрежения. Оценивая амплитуду волны разрежения, можно опреде­лить, области разрушения материала. Исходя из критерия Мизеса, можно определить в каком состоянии находится материал – в упругом или пластич­ном. Критерий Мизеса запишем в виде: .eq = Y0, (13) здесь )2 +(szz)2 + 2[(sxy .eq – эквивалентное напряжение, J2 – второй инвариант тензора напряжений, sij – компонента девиатора напряжений. Введем переменную . и обозначим её как индикатор состояния: v .eq 3/22J2, = )2 +(syy)2 +(syz)2 +(szx)2], 2J2 =(sxx .= .. .. . 0, при E . Qs; 1, при E<Qs и .ij < .l и .eq <Y0; (14) прии и 2, E<Qs .ij < .l .eq = Y0; 3, при E<Qs и .ij . Z. здесь E – удельная внутренняя энергия, Qs – энергия абляции, .ij – компо­нента тензора напряжений, .l – критическое напряжение, Z – разрушенная область. Если индикатор состояния равен 0, то материал описывается газообраз­ной средой, 1 – упругая среда, 2 – упругопластическая среда, 3 – индикатор разрушения. Таким образом, описать поведение среды можно следующим об­разом: .ij(.) = .. .. . .ij(0) = .tr.ij; .ij(1) = sij + .tr.ij, при этом .sij =.s(e) ij ; (e) .sij; (15) . 2G . .ij(2) = sij + .tr.ij, при этом .sij =.sij .ij(3) = .tr.ij, при этом .tr . 0, здесь sij – компоненты девиатора напряжений, .tr = (.11 + .22 + .33)/3 – гид­ (e) ростатическое давление, .sij – приращение упругих компонент девиатора напряжений. 5 Критерии разрушения 5.1 Критерий максимального напряжения Критерий максимального напряжения рассчитывается как максимальное от­ношение фактических напряжений к предельным напряжениям .ijc , опреде­ленным в системе координат материала слоя. Критериальная функция проч­ности записывается в виде .xx .c , .yy .c , .zz .c , .xy .c , .xz .c , .yz .c . 1. (16) xx yy zz xy xz yz max 5.2 Квадратичный критерий Мизеса — Хилла Для моделирования разрушения композиционных материалов используется анизотропный квадратичный критерий: 22 2 F (.yy . .zz)+ G(.xx . .zz)+ H(.yy . .xx)+2L.2 +2M.2 +2N.2 . 1; yz zx xy (17) 11 1 xx 11 1 1 F = ++; G = ++; 222 222 2(.c )(.c )(.c )2(.c )(.c )(.c ) yyzzxxxxzzyy (18) 1111 11 H = ++; L = ; M =; N 22 2 = , 2 2 2 2(.c ) yy (.c ) xx (.c ) zz 2(.c ) zx .c 2 yz . c 2 xy (19) здесь .ij – пороги разрушения при сдвиговом нагружении. 5.3 Временной критерий Тулера — Бутчера В композитных материалах разрушение при достижении максимального на­пряжения может привести к разрыву при более низких напряжениях. Про­цесс разрушения с влиянием временного параметра интерпретируется как интегральный, который задается в определенном структурно-временном диа­пазоне. Для определения прочности композиционных материалов используют интегральный критерий разрушения Тулера — Бутчера: t . D =(.0 . . (t))dt. (20) 0 Здесь . (t) — напряжение разрушения, .0 — максимальное главное напряже­ние, . — постоянная материала, t — время, когда происходит разрушение, D — другая материальная постоянная, называемая интегралом разрушения. 6 Методика определения термодинамических параметров Для описания состояния среды при достаточно высокой скорости изменения ее структуры важен учет неравновесности при фазовых переходах или при изменении агрегатного состояния материала. Для вещества, перешедшего в газообразное, жидкое, пластическое или разрушенное состояние, использует­ся "равновесное" уравнение состояния с расчетом фазового равновесия меж­ду жидкой и газообразной фазами (Максвелловская конструкция), при этом в твердотельной части образца Максвелловская конструкция не применяется ("неравновесное" уравнение состояния в табличной или аналитической фор­ме): P (., E, .) = .. .. . .=0, равновесное УРС E . Qs; .=1, неравновесное УРС E<Qs и .ij < .l и .eq <Y0; .=2, равновесное УРС E<Qs и .ij < .l и .eq = Y0; .=3, равновесное УРС E<Qs и .ij . Z. (21) При этом критерий перехода на аналитическое УРС запишем в виде: .=0, табличное УРС E . Qs; P (., E, .) = (22) .=1, 2, 3, аналитическое УРС E<Qs. Предложенная методика согласованного решения задач гидродинамики и упругопластики реализована на языке программирования C++ с использова­нием библиотеки OpenMPI в виде предметно-ориентированной версии кода, включенного в состав вычислительной платформы MARPLE (ИПМ им. М.В. Келдыша РАН) [8]. 7 Моделирование воздействия концентрированных потоков энергии на конденсированное вещество Рассмотрим применение описанной выше методики к моделированию экс­периментов по испытанию материалов на сильноточном электронном уско­рителе «Кальмар» в НИЦ Курчатовский Институт [1]. Используя сфоку­ сированные импульсные сильноточные релятивистские электронные пучки (РЭП), можно за наносекундные времена вложить в конденсированное веще­ство энергию с высокой плотностью потока мощности 109 – 1010 Дж/(см2·с). Такой способ ввода энергии используется, в частности, в экспериментальных исследованиях в современном материаловедении, в том числе и при созда­нии новых конструкционных материалов на основе полимеров и композитов со сложной структурой. В результате действия ионизирующего излучения происходит нагревание и испарение части материала, на неиспаренную часть образца действует импульс отдачи, инициирующий волновые процессы, ко­торые могут привести к разрушению образца. 7.1 Воздействие РЭП на эпоксидную смолу Образец из эпоксидной смолы, на который воздействует РЭП, представляет собой цилиндр диаметром 35 мм и высотой 20 мм. Флюенс энергии 600 Дж/см2 , время воздействия 0.1 мкс, время расчета 5 мкс. Импульс отдачи летяще­го испаренного материала непосредственно учитывался в сквозном расчете напряженно-деформированного состояния в неиспарившемся остатке образ­ца. На рис. 1 – 3 представлены результаты моделирования. На рис. 4 показа­ны значения фазовой переменной ., соответствующие состоянию образца на рис. 1 и 2. . = 1 (синий) — упругопластическая область неразрушенного ма­териала, здесь используется неравновесное табличное УРС–11 и учитывается девиатор напряжений. . = 3 (серый) — разрушенная область, здесь использу­ется равновесное табличное УРС–11 и учитывается только гидростатическое давление, области объемного разрушения работают исключительно на сжа­тие. . = 0 (красный) — газодинамическая область: испаренный материал и фоновая разреженная среда (модельный лабораторный вакуум), использует­ся табличное УРС–11 с Максвелловской конструкцией, учитывается только гидростатическое давление. На рис. 5 показаны характерные области раз­рушения материала: испаренная каверна, внутреннее объемное разрушение и тыльный откол, наблюдаемые в эксперименте и выявленные в результате расчета с использованием критериев разрушения, описанных в разделе 4. Рис. 1: Волновой процесс во всей расчетной области, включая разрушенный образец. Слева — распределение скорости (см/мкс), справа — поле темпера­туры (кэВ). Рис. 2: Волновой процесс во всей расчетной области, включая разрушен­ный образец. Слева — распределение компоненты Dzz девиатора напряжений (Мбар), справа — векторное поле главных напряжений (Мбар). Рис. 3: Интенсивность напряжений (Мбар) в разрушенном образце на момент времени t = 5.2 мкс. Рис. 4: Переменная агрегатного состояния: синий — упругопластическая об­ласть неразрушенного материала, серый — упругопластическая область раз­рушенного материала, красный — газодинамическая область(испаренный ма­териал и вакуум). Рис. 5: Результаты моделирования и фотография образца после облучения. 7.2 Воздействие ионизирующего излучения на гетерогенный материал Объектом исследования является преграда из гетерогенного материала с дис­персным наполнителем, размещенная на подложке из алюминия. Схема про­ведения численных исследований и размеры показаны на рисунке 6. Дисперс­ный наполнитель из SnO2 имеет сферическую форму диаметром d = 300 мкм. Содержание дисперсного наполнителя в гетерогенном модельном материа­ле – 20% по весу. Распределение наполнителя стохастическое, по объему связующего из эпоксидной смолы. Объект окружен вакуумом с фронталь­ной и тыльной стороны. Флюенс энергии ионизирующего излучения (ИИ) 210 Дж/см2, время воздействия 0.01 мкс, время расчета 0.5 мкс. Рис. 6: Схема эксперимента и модель гетерогенного материала. Результаты моделирования и их обсуждение приведены далее на рис. 7-13. Рис. 7: Распределение плотности (г/см3), t = 0.3 мкс. В результате воз­действия ионизирующего излучения происходит абляция материала. Стоха­стически распределенный наполнитель поглощает больше энергии, чем при структурированном размещении дисперсного наполнителя. Рис. 8: Распределение плотности (г/см3) в логарифмическом масштабе, t = 0.3 мкс. Рис. 9: Разрушение образца, t = 0.3 мкс. Разрушение образца происходит в еще неиспаренном дисперсном наполнителе и в подложке там, где поглоти­лось больше энергии из-за стохастического размещения дисперсного напол­нителя. 8 Заключение Построена комплексная компьютерная модель термомеханических явлений в твердом деформируемом материале в результате действия интенсивных по­токов энергии. Разработан алгоритм сквозного расчета нагрева, испарения, динамики испаренного вещества и упругопластических волновых процессов, приводящих к разрушениям в неиспаренном твердом материале. Предложена методика динамического контроля изменения агрегатного состояния конден­сированной среды с выбором соответствующего УРС и формы учета тензора напряжений. Предложенная методика согласованного решения задач гидро­динамики и упругопластики реализована на языке программирования C++ с использованием библиотеки OpenMPI в виде предметно-ориентированной версии кода, включенного в состав вычислительной платформы MARPLE (ИПМ им. М.В. Келдыша РАН). Проведены расчеты разрушения полимер­ных и композитных материалов под действием ионизирующих излучений, получены оценки прочностных характеристик материалов. Созданное программное обеспечение может быть использовано при анали­зе результатов интенсивных энергетических воздействий в инженерной прак­тике, верификации моделей объёмных разрушений и отколов в хрупких ма­териалах, а также валидации широкодиапазонных уравнений состояния. 519.6 10.20948/prepr-2023-56 Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, проект № 23-21-00248. Вычисления проведены с помощью гибридного суперкомпьютера K60, установленного в Суперкомпьютерном Центре коллективного пользования ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. термомеханические эффекты в твердом теле сквозной расчет газодинамических и упругопластических волн моделирование разрушений и отколов динамический контроль изменения агрегатного состояния thermomechanical effects in a solid end-to-end calculation of gas-dynamic and elastoplastic waves modeling of fractures and break-offs dynamic control of changes in the aggregate state M. I. Gurevich, E. D. Kazakov, Yu. G. Kalinin, A. A. Kurilo, O. V. Tel’kovskaya, and K. V. Chukbar On the Destruction of Elastic Polymers under Electron Beam Irradiation // Technical Physics, 2022, Vol. 67, No. 7, pp. 581–587. DOI: 10.1134/S1063784222080047 СВИДЕТЕЛЬСТВО о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013616315 THERMOS: Библиотека функций для расчета радиационных и термодинамических свойств различных веществ и смесей в широкой области температур и плотностей. Правообладатель: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской академии наук. Авторы: Новиков В. Г., Соломянная А. Д., Вичев И. Ю., Грушин А. С. 03 ИЮЛЯ 2013 г. А. Ф. Никифоров, В. Г. Новиков, В. Б. Уваров Квантово-статистические модели высокотемпературной плазмы – М: Физматлит, 2000. – 400 с. R. M. More, K. H. Warren, D. A. Young, and G. B. Zimmerman A new quotidian equation of state (QEOS) for hot dense matter // The Physics of Fluids 31, 3059 (1988); https://doi.org/10.1063/1.866963 Steffen Faik, AnnaTauschwitz, Igor Iosilevskiy The equation of state package FEOS for high energy density matter // Computer Physics Communications Volume 227, June 2018, Pages 117-125 https://doi.org/10.1016/j.cpc.2018.01.008 Сапожников А. Т., Першина А. В. Интерполяционное уравнение состояния вобласти испарения // Вопр. атомной науки и техники. Сер. Методики и программы численного решения задач математической физики. - 1984. Вып.2(16). - С. 29-34. В.М. Грибанов, А. В. Острик, Е.А. Ромадинова Численный код для расчета многократного комплексного действия излучений и частиц на многослойный многофункциональный гетерогенный плоский пакет (код «MMHPP-1»). – Черноголовка: ИПХФ РАН, 2006. – 92 с. . A. Gasilov, A. S. Boldarev, O. G. Olkhovskaya, D. S. Boykov, Yu. S. Sharova, N. O. Savenko, A. M. Kotelnikov, “MARPLE: software for multiphysics modelling in continuous media”, Numerical Methods and Programming. 24 (4), 316–338 (2023). doi 10.26089/NumMet.v24r423 https://keldysh.ru/papers/2023/prep2023_56.pdf