1-12 RAR 9864-6449 0000-0001-9224-769X Лахно Виктор Дмитриевич Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН lak@impb.ru Lakhno V.D. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS Суперсимметричный полярон Supersymmetric polaron Построена суперсимметричная теория полярона. Суперпартнером такой квазичастицы является заряженный фонон. Теория применима к различным типам поляронов, которые в каждом случае имеют своих суперпартнеров. Указаны способы экспериментальной проверки теории. A polaron sypersymmetry theory is developed. The superpartner of this quasiparticle is a charged phonon. The theory can be applied to different polarons which have their superpartners in each case. A possible experimental verification of the theory is discussed. 1. Введение В теории элементарных частиц предполагается наличие возможности точной суперсимметрии при больших энергиях частиц. При малых значениях энергии суперсимметрия разрушается и частицы суперпартнеры оказываются обладающими различающимися массами и спектральными характеристиками [1] – [3]. В последних экспериментах на адронном коллайдере частицы-суперпартнеры, однако, обнаружены не были (по крайней мере, в доступном адронному коллайдеру диапазоне энергий). Этот факт поставил под сомнение суперсимметричную теорию элементарных частиц. Независимо от существования суперсимметрии элементарных частиц ее математический аппарат может быть использован для описания свойств элементарных квазичастиц в теории конденсированных систем. В данной работе обсуждаются выводы, которые вытекают из точной суперсимметрии трансляционно-инвариантных (ТИ) поляронов – квазичастиц, свойства которых лежат в основе объяснения механизма высокотемпературной сверхпроводимости (ВТСП) [4, 5]. В разделе 2 рассматривается гамильтониан свободного полярона, который выражается через операторы рождения и уничтожения полярона, подчиняющиеся фермионным перестановочным соотношениям. В разделе 3 рассматривается тот же самый гамильтониан, выраженный через операторы рождения и уничтожения ТИ-полярона, подчиняющиеся бозонным перестановочным соотношениям. Это противоречие разрешается в разделе 4, где рассмотрено преобразование, смешивающее бозоны и фермионы, объединяющее фермионы и бозоны в один супермультиплет. Таким образом, показано, что полярон и ТИ-поляроны являются суперпартнерами. В разделе 5 обсуждается возможность экспериментальной проверки теории и возможные приложения теории к различным конденсированным средам. 2. Фермионный полярон Теория полярона представляет собой простейший пример нерелятивистской квантовой теории фермионной частицы, взаимодействующей с бозонным полем. Гамильтониан такой системы имеет вид: H=p ?^2/2m+?_k????(k) a_k^+ a_k ?+?_k??V_k [a_k e^ikr+a_k^+ e^(-ikr) ] ?, (1) где r – радиус-вектор электрона, p ? – его импульс, m – эффективная масса электрона; a_k^+, a_k – операторы рождения и уничтожения квантов бозонного (фононного) поля с энергией ??(k), V_k – матричный элемент взаимодействия электрона с бозонным полем. Полярон как квазичастица представляет собой электрон, одетый в облако окружающих его бозонов, функция Грина которого имеет вид [6], [7]: G(p ?,E)={E-?_p ? -M(p ?,E)}^(-1), (2) где массовый оператор M(p ?,E) определяется диаграммным рядом: (3) в котором сплошные и пунктирные линии соответствуют свободным электронным и бозонным функциям Грина, ?_p ? =p^2?2m, E(p ? )=?_p+M(p ?,E(p ? )) – энергия полярона. Таким образом, полярон, как и электрон, является фермионом, гамильтониан которого можно записать в виде: H=?_p??E(p ? ) с_p^+ ? с_p, (4) где c_p^+,c_p имеют смысл фермионных операторов рождения и уничтожения полярона. Используя представление о свободном поляроне (4) как о фермионной квазичастице, можно рассматривать ее взаимодействие с другими квазичастицами (например, рассеяние оптического полярона на оптических фононах [8], [9]). Отметим, что спиновые индексы не включены в гамильтониан (4), поскольку в случае изолированной квазичастицы это не имеет значения. 3. Бозонный полярон Изложенная выше процедура приводит к представлению о поляроне как о фермионе, поскольку фактически исключает из рассмотрения бозонные компоненты. При исследовании гамильтониана (1) можно было бы поступить по-иному, проведя соответствующие канонические преобразования. Фактически физические характеристики и спектральные свойства, как известно, такие преобразования не меняют. Используем с этой целью преобразование Гейзенберга, исключающее из гамильтониана (1) электронные координаты [10]: S_1=exp{i?_k??k ?a_k^+ a_k ?} r ? , (5) S_1^(-1) a_k S_k=a_k e^(-ikr) , S_1^(-1) a_k^+ S_1=a_k^+ e^ikr . Преобразованный гамильтониан (1) с использованием (5) примет вид: H ?=S_1^(-1) HS_1 , (6) H ?=1/2m (?_k???k ?a_k^+ a_k ?)^2+?_k??V_k (a_k+a_k^+ )+?_k????(k) a_k^+ a_k ?? и не содержит электронных координат. Как показано в [10], применение к гамильтониану (6) канонических преобразований Ли, Лоу, Пайнса: S_2=exp{?_k??f_k (a_k^+-a_k ) ?} , (7) S_2^(-1) a_k S_2=a_k+f_(k ), S_2^(-1) a_k^+ S_2=a_k^++f_k , где f_k – вещественные числа, и канонического преобразования сжатия: S_3=Cexp{1/2 ?_(k,k')??a_k^+ A_kk' a_k'^+ ?} , (8) S_3^(-1) a_k S_3=?_k'??M_1kk' ?_k' ?+?_k'??M_2kk' ?_k'^+ ? , где явный вид матриц А и М приведен в [10], приводит к выражению для энергии полярона в виде: H ?  ?=S_3^(-1) S_2^(-1) S_1^(-1) HS_1 S_2 S_3=?_k??E_k ?_k^+ ?_k ? , (9) где ?_k^+, ?_k – операторы ТИ-полярона, удовлетворяющие бозонным перестановочным соотношениям. Таким образом, ТИ-полярон, согласно (9), является бозоном. Ниже мы покажем, что ТИ-полярон может быть как бозоном, так и фермионом, представляя собой пример суперсимметричной частицы. 4. Полярон как суперсимметричная частица Поскольку оба представленных выше подхода описывают одну и ту же фермион-бозонную систему, то спектр фермионного гамильтониана: H=?_k??E_k с_k^+ с_(k ) ?, (10) где операторы рождения и уничтожения с_k^+, с_k подчиняются фермиевским перестановочным соотношениям: {с_k с_k'^+ }=с_k с_k'^++с_k'^+ с_k=?_kk' и спектр гамильтониана ТИ-полярона: H=?_k??E_k ?_k^+ ?_k ? , (11) где операторы рождения и уничтожения ТИ-полярона ?_k^+, ?_k подчиняются бозевским перестановочным соотношениям: [?_k ?_k'^+ ]=?_k ?_k'^+-?_(k^')^+ ?_k=?_kk' совпадают. Введем суперсимметричный гамильтониан H: H=?_k??E_k (с_k^+ с_k+?_k^+ ?_k ) ?=?_k?H_k , (12) H_k=E_k (с_k^+ с_k+?_k^+ ?_k ) . Введем операторы: Q_k^+=?(E_k ) ?_k с_k^+, Q_k=?(E_k ) ?_k^+ с_k, (13) где Q_k^+ – оператор, превращающий бозон с импульсом k в фермион с импульсом k, Q_k – оператор, превращающий фермион с импульсом k в бозон с импульсом k. Тогда операторы Q_1k, Q_2k: Q_1k=Q_k^++Q_k, Q_2k=-i(Q_k^+-Q_k ), (14) формируют супералгебру Ли [11]: {Q_ik,Q_jk }=2?_ij H_k, (15) [Q_ik,H_k ]=0. Выраженный через операторы Q_i гамильтониан H имеет вид: H=?_k?Q_1k^2 =?_k??Q_2k^2=?_k?{Q_k^+,Q_k } ?. (16) Отсюда следует, что «фермионный» полярон, описанный в разделе 2, является суперпартнером «бозонного» полярона, описанного в разделе 3. Обсуждение Как показано выше, ТИ-поляроны представляют собой пример суперсимметричных квазичастиц в физике конденсированных систем, которые, в отличие от элементарных частиц, обладают точной суперсимметрией. Суперсимметрия ТИ-поляронов нашла интересные приложения в физике конденсированного состояния. Так, наличие суперсимметрии позволило объяснить сосуществование таких частиц в сильно коррелированных фермионных системах с обычными фермионами, в частности объяснить нетривиальное поведение магнетосопротивления купратных сверхпроводников [12]. Точная суперсимметрия ТИ-поляронов затрудняет их экспериментальное изучение. В случае слабой электрон-бозонной связи свойства ТИ-полярона мало отличаются от свойств зонного электрона или его суперпартнера – бозонного возбуждения (когда его спин не имеет значения). В случае сильной связи наличие ТИ-полярона как фермиона можно обнаружить в экспериментах по их захвату примесями кристалла [10]. Наличие бозонных свойств ТИ-полярона можно обнаружить, изучая рамановские спектры (комбинационное рассеяние). Рассеяние света на ТИ-поляронах, как и на свободных бозонах будет содержать дуплет сателлитов, отстоящих на частоту (_-^+)?(k) от основной частоты рассеянного света. Вклад в этот дуплет ТИ-поляронов можно обнаружить по изменению их концентрации в магнитном поле. Согласно [12], этот вклад будет пропорционален концентрации ТИ-поляронов n_H=n((k_B T)?(?_B H))th((?_B H)?(k_B T)), где Т – температура , H – внешнее магнитное поле, n – концентрация ТИ-поляронов в отсутствие магнитного поля. На вклад обычных бозонов (если это не магнитные возбуждения) внешнее магнитное поле влиять не будет. Суперсимметрия предполагает удвоение числа известных элементарных квазичастиц за счет наличия суперпартнеров. Можно сказать, что в случае поляронов (оптических или акустических) это будут заряженные (оптические или акустические) фононы, то есть фононные ТИ-поляроны. В случае плазморонов (электронов, взаимодействующих с плазмонами [13]) это будут заряженные плазмоны, и так далее. Как отмечено в [4]-[5], нерелятивистская теория взаимодействия нуклонов с мезонным полем на масштабе радиуса действия ядерных сил по своей структуре аналогична теории полярона. В этом случае аналогом суперпартнера протона будет ?+ мезон, антипротона – ?- мезон, нейтрона (антинейтрона) – ?0 мезон. Свидетельством этому может служить адронный резонанс: p+?=n+?, роль спектра возбужденных состояний в котором играют ? мезоны [14]. Наличие суперсимметричного партнера протона или нейтрона в ядре можно обнаружить в экспериментах по неупругому рассеянию ? – квантов в ядре [15], по наличию пионных сателлитов в спектре рассеиваемых квантов (ядерный Раман эффект), аналогично тому, как это было описано выше для случая ТИ-поляронов. Частицы-суперпартнеры могут объединяться, образуя составные частицы. Например, ТИ-поляроны могут объединяться в ТИ-биполяроны. У таких составных частиц, как и в теории элементарных частиц, суперпартнеры-квазичастицы уже отсутствуют. Послесловие Этот препринт посвящен замечательному ученому и человеку Николаю Максимильяновичу Плакиде. Будучи в Объединенном институте ядерных исследований (ОИЯИ) в Дубне, я спросил Николая Максимильяновича, кто сейчас главный по сверхпроводимости. Он мне ответил, что он главный 1). Тогда я передал ему свою рукопись по ТИ-поляронной теории сверхпроводимости и попросил его быть рецензентом. Спустя некоторое время, прочитав рукопись, он мне сказал, что не сможет быть моим рецензентом, поскольку не понимает, почему такая фермионная частица, как полярон, в ТИ-поляронной теории описывается бозонными операторами рождения и уничтожения. Мой ответ тогда, основанный на представлении о связанных фононах, его не убедил, поскольку заряженные фононы в физике твердых тел никому не известны. В этой статье дается ответ на вопрос Николая Максимильяновича, который, возможно, мог бы его убедить. К сожалению, его уже нет с нами, и об этом мы никогда не узнаем. 1) Будучи автором фундаментальной монографии по сверхпроводимости, изданной Шпрингером (Plakida N.M. (2010), High Temperature Cuprate Superconductors: Experiment, Theory and Applications, Hidelberg, Germany), Николай Максимильянович имел полное право на такой ответ. 12 1. Introduction The theory of elementary particles assumes the possibility of exact supersymmetry at high particle energies. At low energies, supersymmetry breaks down and superpartner particles turn out to have different masses and spectral characteristics [1] – [3]. In recent experiments at the hadron collider, however, superpartner particles were not detected (at least in the energy range accessible to the hadron collider). This fact called into question the supersymmetric theory of elementary particles. Regardless of the existence of supersymmetry of elementary particles, its mathematical apparatus can be used to describe the properties of elementary quasiparticles in the theory of condensed systems. In this paper, we discuss the conclusions which follow from the exact supersymmetry of translation-invariant (TI) polaron quasiparticles, whose properties underlie the explanation of the mechanism of high-temperature superconductivity (HTSC) [4, 5]. Section 2 considers the Hamiltonian of a free polaron, which is expressed in terms of creation and annihilation operators of a polaron which obey the fermion permutation relations. Section 3 deals with the same Hamiltonian expressed in terms of creation and annihilation operators of a TI polaron, which obey the bosonic permutation relations. This contradiction is resolved in Section 4, where we analyze a transformation which mixes bosons and fermions and combines fermions and bosons into one supermultiplet. Thus, it has been shown that a polaron and TI polarons are superpartners. Section 5 discusses the possibility of experimental verification of the theory and its applications of the theory to various condensed media. 2. Fermionic polaron The polaron theory is the simplest example of a non-relativistic quantum theory of a fermionic particle interacting with a bosonic field. The Hamiltonian of such a system has the form: H=p ?^2/2m+?_k????(k) a_k^+ a_k ?+?_k??V_k [a_k e^ikr+a_k^+ e^(-ikr) ] ?, (1) where r is the electron radius-vector, p ? is its momentum, m is the electron effective mass; a_k^+, a_k are operators of creation and annihilation of the bosonic (phonon) field quanta with energy ??(k), V_k is the matrix element of the interaction of an electron with a bosonic field. A polaron as a quasiparticle is an electron surrounded by a cloud of bosons, whose Green's function has the form [6], [7]: G(p ?,E)={E-?_p ? -M(p ?,E)}^(-1), (2) where the mass operator M(p ?,E) is determined by the diagrammatic series: (3) where the solid and dashed lines correspond to the free electron and bosonic Green's functions, ?_p ? =p^2?2m, E(p ? )=?_p+M(p ?,E(p ? )) is the polaron energy. Thus, a polaron, like an electron, is a fermion whose Hamiltonian can be written as: H=?_p??E(p ? ) с_p^+ ? с_p, (4) where c_p^+,c_p has the meaning of the fermionic operators of creation and annihilation of a polaron. Using the idea of a free polaron (4) as a fermionic quasiparticle, we can consider its interaction with other quasiparticles (for example, scattering of an optical polaron by optical phonons [8], [9]). We note that the spin indices are not involved in Hamiltonian (4), since this does not matter in the case of an isolated quasiparticle. 3. Bosonic polaron The above procedure leads to the idea of a polaron as a fermion, since it actually excludes the bosonic components from consideration. When studying Hamiltonian (1), we could proceed differently and carry out relevant canonical transformations. In fact, the characteristics and spectral properties, as is known, are not changed by such transformations. For this purpose, let us use the Heisenberg transformation, which excludes electronic coordinates from Hamiltonian (1) [10]: S_1=exp{i?_k??k ?a_k^+ a_k ?} r ? , (5) S_1^(-1) a_k S_k=a_k e^(-ikr) , S_1^(-1) a_k^+ S_1=a_k^+ e^ikr . With the use of (5) the transformed Hamiltonian (1) takes the form: H ?=S_1^(-1) HS_1 , (6) H ?=1/2m (?_k???k ?a_k^+ a_k ?)^2+?_k??V_k (a_k+a_k^+ )+?_k????(k) a_k^+ a_k ?? , and does not contain electronic coordinates. As is shown in [10], the application of the Lee-Low-Pines canonical transformations to Hamiltonian (6), such that: S_2=exp{?_k??f_k (a_k^+-a_k ) ?} , (7) S_2^(-1) a_k S_2=a_k+f_(k ), S_2^(-1) a_k^+ S_2=a_k^++f_k , where f_k are real numbers, as well as the canonical squeezed transformation: S_3=Cexp{1/2 ?_(k,k')??a_k^+ A_kk' a_k'^+ ?} , (8) S_3^(-1) a_k S_3=?_k'??M_1kk' ?_k' ?+?_k'??M_2kk' ?_k'^+ ? , where the explicit form of the matrices А and М is given in [10], leads to the following expression for the polaron energy: H ?  ?=S_3^(-1) S_2^(-1) S_1^(-1) HS_1 S_2 S_3=?_k??E_k ?_k^+ ?_k ? , (9) where ?_k^+, ?_k are operators of a TI polaron which satisfy the bosonic permutation relations. Hence a TI polaron, according to (9) is a boson. Below we will show that a TI polaron can be both a boson and a fermion, representing an example of a supersymmetric particle. 4. Polaron as a supersymmetric particle Since both the approaches presented above describe the same fermion-bosonic system, the spectrum of the fermionic Hamiltonian: H=?_k??E_k с_k^+ с_(k ) ?, (10) where the creation and annihilation с_k^+, с_k operators obey the Fermi permutation relations: coincides with the spectrum of the TI polaron Hamiltonian: {с_k с_k'^+ }=с_k с_k'^++с_k'^+ с_k=?_kk'. H=?_k??E_k ?_k^+ ?_k ? , (11) where the operators of creation and annihilation of a TI polaron ?_k^+, ?_k obey the Bose permutation relations: [?_k ?_k'^+ ]=?_k ?_k'^+-?_(k^')^+ ?_k=?_kk'. Let us introduce a supersymmetric Hamiltonian H: H=?_k??E_k (с_k^+ с_k+?_k^+ ?_k ) ?=?_k?H_k , (12) H_k=E_k (с_k^+ с_k+?_k^+ ?_k ) . Let us introduce the operators: Q_k^+=?(E_k ) ?_k с_k^+, Q_k=?(E_k ) ?_k^+ с_k, (13) where Q_k^+ is an operator which transforms a boson with a momentum k into a fermion with a momentum k, Q_k is an operator which transforms a fermion with a momentum k into a boson with a momentum k. Then the operators Q_1k, Q_2k: Q_1k=Q_k^++Q_k, Q_2k=-i(Q_k^+-Q_k ), (14) form a Lie superalgebra [11]: {Q_ik,Q_jk }=2?_ij H_k , (15) [Q_ik,H_k ]=0 . Expressed in terms of the operators Q_i, Hamiltonian H has the form: H=?_k?Q_1k^2 =?_k??Q_2k^2=?_k?{Q_k^+,Q_k } ?. (16) Hence the "fermionic" polaron described in Section 2 is the superpartner of the "bosonic" polaron described in Section 3. 5. Discussion As shown above, TI polarons are an example of supersymmetric quasiparticles in the physics of condensed systems, which, unlike elementary particles, have an exact supersymmetry. The supersymmetry of TI polarons has found interesting applications in condensed matter physics. Thus, the presence of supersymmetry made it possible to explain the coexistence of such particles in strongly correlated fermionic systems with ordinary fermions, in particular, to explain the nontrivial behavior of the magnetoresistance of cuprate superconductors [12]. The exact supersymmetry of TI polarons makes it difficult to study them experimentally. In the case of a weak electron-bosonic coupling, the properties of a TI polaron differ only slightly from the properties of a band electron or its superpartner - bosonic excitation (when its spin does not matter). In the case of strong coupling the presence of TI polarons as fermions can be detected in experiments on their capture by crystal impurities [10]. The occurrence of bosonic properties of a TI polaron can be revealed when studying the Raman spectra (combination scattering). Scattering of light by TI polarons, as well as by free bosons, will contain a doublet of satellites separated by a frequency (_-^+)?(k) from the fundamental frequency of the scattered light. The contribution of TI polarons into this doublet can be detected from a change in their concentration in a magnetic field. According to [12], this contribution will be proportional to the concentration of TI polarons n_H=n((k_B T)?(?_B H))th((?_B H)?(k_B T)), where T is the temperature, H is the external magnetic field, and n is the concentration of TI polarons in the absence of a magnetic field. The contribution of ordinary bosons (if they are not magnetic excitations) will not be affected by an external magnetic field. Supersymmetry implies doubling the number of known elementary quasiparticles due to the availability of superpartners. We can say that in the case of polarons (optical or acoustic), these will be charged (optical or acoustic) phonons, that is, phonon TI polarons. In the case of plasmorons (electrons interacting with plasmons [13]), these will be charged plasmons, and so on. As was noted in [4]-[5] nonrelativistic theory of nucleon interaction with meson field on the scale of nuclear force radius has the same structure as polaron theory. Thus the proton superpartner will be ?+ meson, antiproton ?- meson, neutron (antineutron) ?0 meson. This is evident from hadronic resonance: p+?=n+?, where the role of proton excitation spectrum is played by ? mesons [14]. The availability of supersymmetry proton or neutron partner in nuclei can be detected in experiments on inelastic scattering of ? - quanta in nuclei [15], by revealing the pion satellites in scattered quanta analogously to what was mentioned above for the case of TI-polarons. Superpartner particles can combine to form compound particles. For example, TI polarons can combine to form TI bipolarons. Such composite particles, as in the theory of elementary particles, have no superpartners-quasiparticles. 6. Afterword This preprint is dedicated to a remarkable scientist and man Nikolai Maksimilyanovich Plakida. When I was at the Joint Institute for Nuclear Research (JINR) in Dubna, I asked Nikolai Maksimilyanovich, which of their scientists was in charge of superconductivity then. He told me that he was in charge 1). Then I gave him my manuscript on the TI-polaron theory of superconductivity and asked him to be a reviewer. Some time later, having read the manuscript, he told me that he could not be my reviewer, because he did not understand why such a fermionic particle as a polaron is described in the TI-polaron theory by bosonic creation and annihilation operators. My answer then, based on the concept of bound phonons, did not convince him, since charged phonons in solid state physics were not known to anyone. This article provides an answer to Nikolai Maksimilyanovich's question, which could possibly convince him. Unfortunately, he is no longer with us and we will never know about it. 1) Being the author of a fundamental monograph on superconductivity published by Springer (Plakida N.M. (2010), High Temperature Cuprate Superconductors: Experiment, Theory and Applications, Hidelberg, Germany) Nikolai Maksimilyanovich had every right to such an answer. 538.945 10.20948/prepr-2023-26 Работа выполнена в рамках Госзадания ИПМ им. М.В. Келдыша, суперпартнер заряженный фонон супералгебра Ли рамановское рассеяние протон superpartner charged phonon Lie superalgebra Raman scattering proton I. Aitchison, Supersymmetry in Particle Physics: An Elementary Introduction, Cambridge Univ. Press; 1st edition, 2007, 238 p. G. Kane, Supersymmetry and Beyond, Basic Books; Revised edition , 2013, 215 p. J. Terring, Modern Supersymmetry: Dynamics and Duality (International Series of Monographs on Physics) 1st Edition, Oxford Univ. Press, 2009, 336 p. В.Д. Лахно, Математические основы трансляционно-инвариантной биполяронной теории сверхпроводимости // ИПМ им. М.В. Келдыша, 2021. 292 стр. https://keldysh.ru/e-biblio/lakhno/ https://doi.org/10.20948/mono-2021-lakhno V.D. Lakhno, High-Temperature Superconductivity. Bipolaron Mechanism, De Gruyter, Berlin, 2022, 232 p. J. Appel, Polarons // Sol. St. Phys., v.21, p.193, 1968; DOI: 10.1016/s0081–1947(08)60741-9 Ю.А. Фирсов (ред.), Поляроны, Наука, 1975, 423 стр. А.В. Тулуб, Медленные электроны в полярных кристаллах // ЖЭТФ, 41, 1828, 1961 А.В. Тулуб, Комментарий к теории полярон-фононного рассеяния // ТМФ, 185(1), 199 – 212, 2015; DOI: https://doi.org/10.4213/tmf8946 В.Д. Лахно, Анзац Пекара и проблема сильной связи в теории полярона // УФН, 185, 317 – 331, 2015; DOI: 10.3367/UFNZ:0185.201503d.0317 Л.Э. Генденштейн, И.В. Криве, Суперсимметрия в квантовой механике // УФН, т. 146 (вып. 4), 553 – 588, 1985 V.D. Lakhno, Simple Explanation of Cuprates Linear Magnetoresistance Enigma // Condens. Matter, 7, 64, 2022; https://doi.org/10.3390/condmat7040064 V. Sa-Yakanit, V.D. Lakhno, K. Hass, Path integral approach to single-particle excitation in Coulomb systems // Phys. Rev. B, v.57, № 10, p. 5772 -5777, 1998; DOI: https://doi.org./10.1103/PhysRevB.57.5772 Т. Эриксон, В. Вайзе, Пионы и ядра, М.Наука, 1991, 512 стр. Ю.П. Гангрский, В.М. Мазур, Рассеяние γ - квантов ядрами и возбуждение изомерных состояний // ЭЧАЯ, т.33, стр 158-200, 2002 https://keldysh.ru/papers/2023/prep2023_26_rus.pdf https://keldysh.ru/papers/2023/prep2023_26_eng.pdf