1-16 RAR 0000-0002-3300-3246 Караваева Наталия Игоревна Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН karavaeva@phystech.edu Karavaeva N.I. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS Бикомпактные схемы для решения одногрупповой системы уравнений квазидиффузии совместно с уравнением энергии Bicompact schemes for the joint solution of a one-group system of quasi-diffusion equations with the energy equation Предложены и реализованы бикомпактные разностные схемы высокого порядка аппроксимации для одного из этапов HOLO алгоритма для решения уравнения переноса излучения, представляющего собой решение системы уравнений квазидиффузии совместно с уравнением энергии. Схемы обладают четвертым порядком аппроксимации по пространству на двухточечном шаблоне, интегрирование по времени проводится при помощи диагонально-неявного метода Рунге–Кутты третьего порядка аппроксимации, каждая стадия которого может быть представлена как неявный метод Эйлера. Для нахождения решения предложено организовать итерационный процесс, так как коэффициенты системы являются нелинейными функциями температуры. Схемы применены к ряду аналитических тестов, в которых показана сходимость по времени и пространству с заявленными порядками. High-order bicompact schemes are proposed for one of the stages of the HOLO algorithm for solving the radiative transport equation and implemented. The system of quasi-diffusion equations is solved together with the energy equation. The schemes have a fourth-order approximation in space on a two-point stencil, integration over time is carried out using the diagonal-implicit Runge–Kutta method of the third order of approximation, each stage of the method can be represented as an implicit Euler method. It is proposed to organize an iterative process to find a solution, since the coefficients of the system are non-linear functions of temperature. The schemes are used for a number of analytical tests, the convergence in time and space with the declared orders is shown. Бикомпактные схемы для решения одногрупповой системы уравнений квазидиффузии совместно с уравнением энергии Предложены и реализованы бикомпактные разностные схемы высокого порядка аппроксимации для одного из этапов HOLO алгоритма для решения уравнения переноса излучения, представляющего собой решение системы уравнений квазидиффузии совместно с уравнением энергии. Схемы обладают четвертым порядком аппроксимации по пространству на двухточечном шаблоне, интегрирование по времени проводится при помощи диагонально-неявного метода Рунге–Кутты третьего порядка аппроксимации, каждая стадия которого может быть представлена как неявный метод Эйлера. Для нахождения решения предложено организовать итерационный процесс, так как коэффициенты системы являются нелинейными функциями температуры. Схемы применены к ряду аналитических тестов, в которых показана сходимость по времени и пространству с заявленными порядками. 519.63 10.20948/prepr-2023-25 уравнение переноса метод квазидиффузии HOLO алгоритмы решения уравнения переноса диагонально-неявные методы Рунге–Кутты transport equation quasi-diffusion method HOLO algorithms for transport equation solving diagonally implicit Runge-Kutta method Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. – М.: Наука, 1996. Д. Михалас. Звездные атмосферы. – М.: Мир, 1982. В.Я. Гольдин, Д.А. Гольдина, А.В. Колпаков, А.В. Шильков. Математическое моделирование газодинамических процессов при высокой плотности энергии излучения. // ВАНТ, серия “Методики и программы численного решения задач математической физики”, 1986, вып. 2, с. 59-66. Д.Ю. Анистратов, В.Я. Гольдин, А.В. Колпаков, О.В. Пастушкова, А.В. Шильков. Развитие модели ВРГД. // Программа и тезисы докладов, 6-ая Всесоюзная конференция “Динамика излучающего газа”, 7–9 декабря, 1987, с. 49. В.Я. Гольдин. Квазидиффузионный метод решения кинетического уравнения. // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1964, т. 4, № 6, с. 1078–1087. http://mi.mathnet.ru/zvmmf7676 @@ V.Ya. Gol'din. A quasi-diffusion method of solving the kinetic equation // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, V. 4, # 6, 1964, p. 136–149. https://doi.org/10.1016/0041-5553(64)90085-0 В.Я. Гольдин, Б.Н. Четверушкин. Методы решения одномерных задач радиационной газовой динамики. // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1972, т. 12, № 4, с. 990–1000. https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf6661 @@ V.Ya. Gol'din, B.N. Chetverushkin. Methods of solving one-dimensional problems of radiation gas dynamics // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, V. 12, № 4, 1972, p. 177-189. https://doi.org/10.1016/0041-5553(72)90122-X В.Я. Гольдин. О математическом моделировании задач сплошной среды с неравновесным переносом. // Современные проблемы матем. физики и вычисл. матем. – М.: Наука, 1982, с. 13-127. @@ V.Ya. Gol'din. O matematicheskom modelirovanii zadach sploshnoi sredy s neravnovesnym perenosom // Sovremennye problemy matematicheskoi fiziki i vychislitelnoi matematiki – M., Nauka, 1982, 340p. M.L. Adams, E.W. Larsen, Fast iterative methods for discrete-ordinates particle transport calculations // Progress in Nuclear Energy, 2002, vol. 40, # 1, pp. 3–159. https://www.researchgate.net/publication/223921410_Fast_iterative_methods_for_discrete-ordinates_particle_transport_calculations L. Chacón, G. Chen, D.A. Knoll, C. Newman, H. Park et al. Multiscale high-order/low-order (HOLO) algorithms and applications // J. Comp. Phys., Feb. 2017, v.330, p. 21–45. W.A. Wiesequist, D.Y. Anistratov, J.E. Morel, A cell-local finite difference discretization of the low order of the quasidiffusion equations for neutral particle transport on unstructured quadrilateral meshes // J. Comp. Phys., 273 (2014), 343–357. E.N. Aristova. Simulation of radiation transport in channel on the basis of quasi-diffusion method // Transport Theory and Statistical Physics, v.37, (2008), #05-07, p. 483–503. Е.Н. Аристова, Д.Ф. Байдин. Экономичность методов квазидиффузии расчета критических параметров быстрого реактора // Математическое моделирование, т. 24, (2012), № 4, стр. 129–136. http://mi.mathnet.ru/mm3264 @@ E.N. Aristova, D.F. Baydin. Efficiency of Quasi_Diffusion Method for Calculating Critical Parameters of a Fast Reactor // Mathematical Models and Computer Simulations, 2012, Vol. 4, No. 6, pp. 568–573. https://link.springer.com/article/10.1134%2FS2070048212060026 Е.Н. Аристова, Д.Ф. Байдин. Реализация метода квазидиффузии для расчета критических параметров реактора на быстрых нейтронах в трехмерной гексагональной геометрии // Математическое моделирование, т. 24, (2012), № 8, стр. 65–80. http://mi.mathnet.ru/mm3301 @@ E.N. Aristova, D.F. Baydin. Implementation of the Quasi Diffusion Method for Calculating the Critical Parameters of a Fast Neutron Reactor in 3D Hexagonal Geometry // Mathematical Models and Computer Simulations, 2013, Vol. 5, No. 2, pp. 145–155. https://link.springer.com/article/10.1134%2FS2070048213020026 Б.В. Рогов, М.Н. Михайловская. Монотонные бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса // ДАН, 2011, т.436, №5, с. 600–605. @@ B.V. Rogov, M.N. Mikhailovskaya. Monotone Bicompact Schemes for a Linear Advection Equation // Doklady Mathematics. 2011. V. 83, No. 1. P.121–125. https://link.springer.com/article/10.1134/S1064562411010273 Б.В. Рогов, М.Н. Михайловская. Монотонные бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса // Математическое моделирование, 2011, т.23, №6, с. 98-110. http://mi.mathnet.ru/mm3122 @@ B.V. Rogov, M.N. Mikhailovskaya. Monotonic bicompact schemes for linear transport equations // Mathematical Models and Computer Simulations, 2012, Vol. 4, # 1, pp 92–100. https://link.springer.com/article/10.1134%2FS2070048212010103 Б.В. Рогов, М.Н. Михайловская. Бикомпактные схемы четвертого порядка аппроксимации для гиперболических уравнений // ДАН, 2010, т.430, №4, с. 470-474. @@ B.V. Rogov, M.N. Mikhailovskaya. Fourth-Order Accurate Bicompact Schemes for Hyperbolic Equations // Doklady Mathematics. 2010. V. 81, No. 1. P. 146–150. https://link.springer.com/article/10.1134/S1064562410010400 Б.В. Рогов, М.Н. Михайловская. О сходимости компактных разностных схем // Математическое моделирование, 2008, т.20, №1, с. 99-116. http://mi.mathnet.ru/mm2141 @@ B.V. Rogov, M.N. Mikhailovskaya. On the convergence of compact difference schemes // Mathematical Models and Computer Simulations, 2009, V. 1, No. 1, P. 91–104. https://link.springer.com/article/10.1134%2FS2070048209010104 А.В. Чикиткин, Б.В. Рогов, Е.Н. Аристова. Высокоточные бикомпактные схемы для многомерного неоднородного уравнения переноса и их эффективная параллельная реализация // Доклады Академии Наук, серия Математика, 2016, т. 469, № 4, с. 1-6. @@ A.V. Chikitkin, B.V. Rogov, E.N. Aristova. High-Order Accurate Bicompact Schemes for Solving the Multidimensional Inhomogeneous Transport Equation and Their Efficient Parallel Implementation // Doklady Mathematics, 2016, Vol. 94, No. 2, pp. 516–521. М.Д. Брагин, Б.В. Рогов. Метод итерируемой приближенной факторизации операторов высокоточной бикомпактной схемы для систем многомерных неоднородных уравнений гиперболического типа // Доклады РАН, 2017, т.473, №3, с. 263–267. @@ M.D. Bragin, B.V. Rogov. Iterative Approximate Factorization for Difference Operators of High-Order Bicompact Schemes for Multidimensional Nonhomogeneous Hyperbolic Systems // Doklady Mathematics, 2017, V. 95, No. 2, P. 140–143. https://link.springer.com/article/10.1134/S1064562417020107 Е.Н. Аристова, Б.В. Рогов, А.В. Чикиткин. Оптимальная монотонизация высокоточной бикомпактной схемы для нестационарного многомерного уравнения переноса // ЖВМ и МФ, 2016, т. 56, № 6, с. 973–988. http://mi.mathnet.ru/zvmmf10399 @@ E.N. Aristova, B.V. Rogov, A.V. Chikitkin. Optimal Monotonization of a High-Order Accurate Bicompact Scheme for the Nonstationary Multidimensional Transport Equation // Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2016, Vol. 56, No. 6, pp. 962–976. https://link.springer.com/article/10.1134%2FS0965542516060038 Е.Н. Аристова, Н.И. Караваева. Бикомпактные схемы высокого порядка аппроксимации для уравнений квазидиффузии// Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша, 2018, №45, 28 с. https://doi.org/10.20948/prepr-2018-45 https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2018-45 @@ E.N. Aristova, N.I. Karavaeva. Bicompact High Order Schemes for Quasi-Diffusion Equations // Preprint Keldysh Institute of Applied Mathematics of RAS, 2018, №45, 28 p. http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2018-45 Е.Н. Аристова, Н.И. Караваева. Реализация бикомпактной схемы для HOLO алгоритмов решения уравнения переноса // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша, 2019, №21, 28 с. https://doi.org/10.20948/prepr-2019-21 https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2019-21 @@ E.N. Aristova, N.I. Karavaeva. Implementation of the bicompact scheme for HOLO algorithms for solving the transport equation // Preprint Keldysh Institute of Applied Mathematics of RAS, 2019, №21, 28 p. https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2019-21 Д.Ю. Анистратов, Е.Н Аристова, В.Я. Гольдин. Нелинейный метод решения задач переноса излучения в среде // Матем. моделирование, 1996, т. 8, № 12, с 3–28. https://www.mathnet.ru/rus/mm/v8/i12/p3 J.A. Fleck Jr., J.D. Cummings Jr. An implicit Monte Carlo scheme for calculating time and frequency dependent nonlinear radiation transport // J. Comp. Phys., Dec. 1971, v.8, p. 313–342. https://doi.org/10.1016/0021-9991(71)90015-5 Е.Н. Аристова, Б.В. Рогов. О реализации граничных условий в бикомпактных схемах для линейного уравнения переноса // Математическое моделирование, т. 24, (2012), № 10, стр. 3–14. http://mi.mathnet.ru/mm3316 @@ E.N. Aristova, B.V. Rogov. Boundary conditions implementation in bicompact schemes for the linear transport equation // Mathematical Models and Computer Simulations, 2013, Vol. 5, №3, pp. 199–208. https://link.springer.com/article/10.1134%2FS2070048213030022 https://keldysh.ru/papers/2023/prep25/prep2023_25.html