1-18 RAR 5002-2872 0000-0002-4355-9969 Веденяпин Виктор Валентинович Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН vicveden@yahoo.com Vedenyapin V.V. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS 0009-0009-5570-6338 Когтенев Дмитрий Александрович Московский физико-технический институт kogtenev.da@phystech.edu Kogtenev D.A. Moscow Institute of Physics and Technology О выводе и свойствах уравнений типа Власова On Derivation and Properties of Vlasov-type equations Рассматривается вывод уравнений гравитации и электродинамики в форме Власова-Максвелла-Эйнштейна. Рассматриваются свойства уравнения Власова-Пуассона и его приложения к построению периодических решений – волн Бернштейна-Грина-Крускала. Derivation of the gravity and electrodynamics equations in the Vlasov-Maxwell-Einstein form is considered. Properties of Vlasov-Poisson equation and its application to construction of periodic solutions – Bernstein-Greene-Kruskal waves – are considered. Введение Кинетические уравнения типа Больцмана и Власова хорошо подходят для описания гетерогенных сред при соответствующем незначительном обобщении: нужно функцию распределения сделать зависящей от параметров, описывающих эту гетерогенность, в первую очередь по массе. Мы также положим, что функция распределения зависит от заряда. Итак, пусть f(t, x, v, m, e) – функция распределения частиц по пространству x ? R^3, по скоростям v ? R^3, массам m?R и заряду e?R в момент времени t?R. Это означает, что число частиц в объеме dxdvdmde равно f(t, x, v, m, e)dxdvdmde. Известно, что уравнения типа Больцмана описывают короткодействующие взаимодействия [1-5], а уравнения типа Власова – дальнодействующие. Уравнение Больцмана было выведено, как это ни странно, Максвеллом [1], но почему оно называется уравнением Больцмана – предмет отдельного разговора. В любом случае, Больцман трижды в яркой форме отказывается от этого уравнения в пользу Максвелла на одной странице [2]. Короткий ответ на этот вопрос – Больцман обессмертил это уравнение, доказав Н-теорему, теорему о росте энтропии [2]. В этой же работе [2] он заложил основы химической кинетики, обобщая дискретные модели уравнения Больцмана, как мы сказали бы сейчас, и доказывая для этих обобщений Н-теорему. В последующих исследованиях эта теорема обобщалась во многих направлениях, в частности для уравнений коагуляции-фрагментации с обобщением уравнений Смолуховского, для квантовых уравнений Больцмана и их дискретных моделей (см. [3-5]). Уравнение Власова [6] прекрасно описывает дальнодействие, поэтому используется в различных формах: существуют уравнения Власова-Пуассона (для гравитации, плазмы и электронов), уравнение Власова-Максвелла, уравнение Власова-Эйнштейна и другие приставки к этому классу уравнений: все эти уравнения были введены за рубежом, и названия прижились. Уравнения типа Власова удобно выводить из принципа наименьшего действия. Здесь мы применим этот способ для вывода уравнения гравитации и электродинамики в форме уравнений Власова-Максвелла-Эйнштейна, а потом покажем его применение в более простых ситуациях. В классических работах (см. [6,7,26-28]) уравнения для электромагнитных и гравитационных полей даются без вывода правых частей. Здесь мы предлагаем вывод правых частей уравнений Максвелла и Эйнштейна в рамках уравнений Власова-Максвелла-Эйнштейна из классического, но немного более общего принципа наименьшего действия и применяем уравнения Гамильтона-Якоби для получения космологических решений. Действие в общей теории относительности и уравнения для полей Пусть f(t, x, v, m, e) – функция распределения частиц по пространству x ? R^3, по скоростям v ? R^3, массам m?R и заряду e?R в момент времени t?R. Это означает, что число частиц в объеме dxdvdmde равно f(t, x, v, m, e)dxdvdmde. Рассмотрим действие S= -c???mf(t, x, v, m, e) ?(g_?? u^? u^? ) d^3 x d^3 vdmdedt?- -1/c ??ef(t, x, v, m, e) A_? u^? d^3 x d^3 vdmdedt+ + k_1 ????(R+?) ?(-g)? d^4 x+ k_2 ???F_?? F^?? ?(-g)? d^4 x,(1)где c – скорость света, u^0=c, u^i=v^i (i=1,2,3) – трехмерная скорость, x^0=ct, x^i – координата, g_?? (x, t) – метрика (?,?=0,1,2,3), A_? (x, t) – 4-потенциал электромагнитного поля, F_??=(?A_? (x, t))/(?x^? )- (?A_? (x, t))/(?x^? ) – электромагнитные поля. Здесь R – полная кривизна, ? – лямбда-член Эйнштейна, k_1=-c^3/16???? и k_2=-1/16???c – константы [7-10], g – определитель метрики g_??, ? – постоянная тяготения. По повторяющимся индексам, как обычно, идёт суммирование. Вид действия (1) удобен для получения уравнений Эйнштейна и Максвелла при варьировании по полям g_?? и A_?. Такой способ вывода уравнений Власова-Максвелла и Власова-Эйнштейна использовался в работах [8-12]. При варьировании (1) по g_?? получим уравнение Эйнштейна: k_1 (R^???-1/2 ?g^??? ?(R+?))??(-g)= =-??? m f(t,x,v,m,e)/(2??(g_??? ?u^? ?u^? )) ?u^? ?u^? ?d^3 v?dm?de- -?k_2 (-2F^?? F^(?µ) ?g_??+1/2 ?F_?? F^?? ?g^??)?(-g).(2) Первое слагаемое правой части этого уравнения и является, по определению Гильберта, тензором энергии-импульса для материи. Он выписан впервые в таком виде в работах [11-12], в менее общем виде без распределения по массам и зарядам. Попытки выписать тензор энергии-импульса через функцию распределения предпринимались, насколько нам известно, только в релятивистской кинетической теории для уравнения Власова-Эйнштейна. Постановка задачи о выводе уравнений типа Власова из принципа наименьшего действия, особенно для уравнений поля и особенно правой части (2), судя по всему – только в США. Обзор 1992 года [13] по выводу уравнения Власова содержит 5 принципов наименьшего действия. Что касается европейских исследователей, то такая задача не ставилась [14-16] и уравнения постоянно теряли корень в первом слагаемом правой части уравнения (2). Таким образом, уравнения Власова-Эйнштейна оказались прекрасным тестом на схему вывода уравнений типа Власова из принципа наименьшего действия. Отметим постоянные усилия Филиппа Моррисона [17-20], который, видимо, единственный такую задачу поставил и осознал ее важность. Однако уравнения Власова-Эйнштейна не поддались: схема вывода оказалась недостаточно простой. Наш подход, по сути, дает самый простой и прямой вывод уравнений электродинамики и общей теории относительности(ОТО), упрощая всю ОТО. Мы получили кинетическую форму тензора энергии-импульса, но обычно используют его гидродинамическую форму, записывая ее в абстрактной форме T^???=(p+E)?U^? ?U^?+p?g^???.Здесь р – давление, Е – энергия, U – макроскопическая (гидродинамическая) скорость. Такое выражение появляется в кинетической теории из нерелятивистской формы первого слагаемого (2) ???m?f(t,x,v,m,e)?u^? ?u^? ?d^3 v?dm??.Сравнение явной формулы (2) с этим выражением показывает, что такое выражение получается после гидродинамической подстановки в правую часть формулы (2) f(t,x,v,m,e)=?(?x,??t,m,e)?(v - V(t,x,m,e)), где U(t,x,m,e)=(с, V(t,x,m,e)), а ? – дельта-функция Дирака. Кроме того, появился хороший кандидат вместо Лямбды Эйнштейна (k_2 ?)/k_1 (?F_?? F^?? ?)?. Это означает, что лямбду можно положить равной нулю, а наблюдающееся ускоренное расширение вселенной обеспечивается энергией взаимодействия электромагнетизма и гравитации, что, может быть, и является темной энергией. Позже мы это проверим в слаборелятивистском и нерелятивистском вариантах. Плазмы во вселенной много (как солнечный ветер), и для нее электрические поля больше магнитных. Не исключено, что этим можно объяснить и темную материю: в масштабах галактики электромагнитные поля могут быть неоднородными, а в масштабах вселенной выглядят однородными. Введение лямбды Эйнштейн считал главной ошибкой своей жизни. Но сейчас эта лямбда стала основным способом объяснять ускоренное расширение Вселенной. Избавиться от лямбды и есть основная задача тех, кто объясняет темную энергию. Наш анализ тензора энергии-импульса показывает, что в качестве темной энергии может быть энергия взаимодействия гравитационного поля с другими полями, в первую очередь с электромагнитным. Уравнение электромагнитных полей получается варьированием (1) по A_? и называется системой уравнений Максвелла: k_2 (???(-g) F?^??)/(?x_? ) ?= 1/c^2 ???e ?u^? ?f(t,x,v,m,e)?d^3 v?dm?de.(3) Покажем, что вид действия (1) является более общим, чем в [6-7]. Для получения стандартного вида действия возьмем функцию распределения в виде ?-функции для одной частицы: f(t, x,v,m,e)=?(x-x'(t))??(v-v'(t))??(m-m')??(e-e').(4) Подставив (4) в действие (1) и опустив штрихи, получаем стандартные [6-7] выражения для всех слагаемых: S=-?cm????(g_?? (x,t) u^? ?u^? ) dt-e/c ???A_? (x,t) u^? dt+ + k_1 ??(R+?) ?(-g) d^4 x+k_2 ??(F_?? F^?? ) ?(-g) d^4 x.(5) В роли частиц могут быть электроны и ионы в плазме, планеты в галактиках, галактики в супергалактиках, скопление галактик во Вселенной. В равенстве (4) мы можем взять сумму дельта-функций и получить обычное действие [6-7] для конечной системы частиц: этим обосновывается единственность выбора более общего действия (1). Этой же подстановкой (4) получаются уравнения для гравитационного и электрического полей движущейся заряженной массивной частицы: k_1 (R^???-1/2 ?g^??? ?(R+?))??(-g)= m? ?(x-x'(t))/(2??(g_??? ?u^? ?u^? )) u^? ?u^? ?-k_2 (-2F^?? F^(?µ) ?g_??+1/2 ?F_?? F^?? ?g^??)?(-g),(6)k_2 (???(-g) F?^??)/(?x_? ) ?=1/c^2 ??eu^? ?(x-x'(t)).(7) Это система уравнений на метрику и электромагнитные поля точечной заряженной массы. Выпишем теперь уравнение для гравитационного поля точечной заряженной покоящейся массы (задача Шварцшильда): k_1 (R^???-1/2 ?g^??? ?(R+?))??(-g)= =mc? ?(x)/(2??(g^00 ?)) ?^??0 ?^??0 ?? - k_2 (-2F^?? F^(?µ) ?g_??+1/2 ?F_?? F^?? ?g^??)?(-g), k_2 (???(-g) F?^??)/(?x_? ) ?=1/c ???e??^?0 ?(x).(8) Хорошо видно: чтобы замкнуть уравнения (2-3) для полей, нужно получить уравнение на функцию распределения. Для функции распределения по скоростям это сделано в работах [11-13, 23-25]: так получаются символы Кристоффеля в четырехмерной геометрии, и требуется процедура Вейнберга-Фока, чтобы перейти к трехмерной функции распределения, как это диктуют уравнения для полей (2-3). Это был путь европейской физики [14-16], и трудности оказались непреодолимыми не только для уравнений для полей, но и для уравнений для частиц с переходом к функции распределения. В США усилиями Окабе, Моррисона, Фридрихсена и Шепли (Okabe T., Morrison P.J., Friedrichsen III J.E., Shepley L.C.) уравнения для частиц и соответствующее уравнение Лиувилля были выписаны очень хорошо в импульсах и с использованием гамильтонова подхода [19]. Мы пойдем несколько дальше и получим Гамильтон-Якобиеву форму уравнений Власова-Максвелла-Эйнштейна. Что касается уравнений для полей, то мы воспользуемся нашим выражением в скоростях (2-3) и перейдем к импульсам: это, видимо, простейший путь. Проясняется смысл уравнений типа Власова: это единственный способ получить замкнутую систему уравнений гравитации и электродинамики и при этом вывести эту систему из классического принципа наименьшего действия (1) или (5). Фактически при выводе мы пользовались стандартной схемой [6-7,26-28]: выводили уравнения для частиц в заданных полях и уравнения для полей в заданных конфигурациях частиц. Несколько усовершенствований этого подхода уравнение Власова сразу и предлагает: вместо уравнений сплошной среды уравнения Лиувилля. Так и действовали специалисты по уравнению Власова [13-20]. Переход к гидродинамике и уравнению Гамильтона-Якоби в релятивистском случае уравнения Власова-Максвелла-Эйнштейна Для вывода уравнений Власова-Максвелла-Эйнштейна в форме Гамильтона-Якоби нужно вывести его в импульсах [7-8]. Схема вывода уравнений типа Власова – это вывод уравнений для полей при заданном движении частиц и вывод уравнений движения частиц в заданных полях с переходом к уравнениям Лиувилля – следует общей схеме классических учебников [7]. Имея часть действия (5) для движения частиц в заданных полях: S=-c?m????(g_??? ?u^? ?u^? ) ?dt?-e/c ??? A_? ?u^? dt, мы получим уравнение движения: -c?m d/dt [(g_i? ?u^?)/?(g_??? ?u^? ?u^? )+e/c ?A_i ]=-c?m 1/?(g_??? ?u^? ?u^? ) (?g_???)/(?x^i ) u^? u^?-e/c (?A_?)/(?x^i ) u^?. Латинские индексы i, j, k, … пробегают значения 1, 2, 3, а греческие ?, ?, … пробегают значения 0, 1, 2, 3. Мы получаем выражение для импульсов: q_?=?L/(?u^? )=-mc (g_??? ?u^?)/?(g_??? ?u^? ?u^? )-e/c ?A_?.Здесь выражение для q_0 получается формальным дифференцированием по u^0=c. Это выражения для длинных или канонических импульсов, но понадобятся и малые импульсы p_?=q_?+e/c ?A_?=-mc (g_??? ?u^?)/?(g_??? ?u^? ?u^? ): формулы связи со скоростями проще для малых импульсов, а при переходе к уравнению Гамильтона-Якоби мы обязаны пользоваться каноническими. Переходя к верхним индексам умножением на обратную матрицу g^???, получаем p^?=-mc (?u^?)/?(g_??? ?u^? ?u^? ). Теперь требуется обратить эту формулу, выразив скорости через импульсы, чтобы написать уравнение движения через импульсы (а затем перейти к уравнению Гамильтона и Гамильтона-Якоби). Для этого в последней формуле поделим ?-ю компоненту на нулевую: p^?/p^0 =(?u^?)/?c. В последней формуле необходимо исключить импульс с нулевой компонентой через массовое уравнение p_? ?p_? g?^??=(mc)^2 и его решение относительно p_0: p_0=(-b±?(b^2-4ac))/2a,(9)где ?a=g?^00, b=2p_i g^0i, c=p_i p_j g^ij-(mc)^2. При этом для согласования с нерелятивистской динамикой берется знак минус. Уравнение для полей останется тем же самым (2) с заменой на интегрирование по импульсам с использованием формул f(t,x,v,m,e)?dv?dm?de=f(t,x,q,m,e)?d?qdm?de=f(t,x,p,m,e)dp?dm?de. Каждая из трех этих величин – это число частиц в элементе объема, что является инвариантом при замене переменных. k_1 (R^???-1/2 ?g^??? ?(R+?))??(-g)= =??? m? f(t,x,?q,??m,e)/(2??(g_??? ?u^? ?u^? )) ?u^? ?u^? ?d^3 q?dm?de-1/2 ?k_2 ?F_?? F^?? ?g^?? ?(-g), k_2 (???(-g) F?^??)/(?x_? ) ?=1/c^2 ???e ?u^? ?f(t,x,?q,??m,e)?d^3 q?dm?de.Или k_1 (R^???-1/2 ?g^??? ?(R+?))??(-g)= =-??? f(t,x,?p,??m,e)/2? ? (p^? p^?)/((p^0 ) ) ?d^3 p?dm?de-1/2 ?k_2 ?F_?? F^?? ?g^?? ?(-g ), k_2 (??(-g) F^??)/(?x_? ) ?=1/c^2 ???e ? (cp^?)/p^0 ?f(t,x,?p,??m,e)?d^3 p?dm?de.(10)Теперь напишем эти уравнения для определения поля движущегося заряда с заданным импульсом. Функция распределения в таком случае имеет вид f(t,x,q,m,e)= ?(e- e^' )?(x - x^' (t))?(m - m^' )?(p - P(t)). Подставим функцию распределения в (10) и, опустив штрихи, получим k_1 (R^???-1/2 ?g^??? ?(R+?))??(-g)=-?? (P^?? P^?)/(2P^0 ) ?(x-x^' (t))?-1/2 ?k_2 ?F_?? F^?? ?g^?? ?(-g ), k_2 (??(-g) F^??)/(?x_? ) ?=e/c ?? P^??/P^0? ? ?(x-x'(t)). Здесь P^0? зависит от P^i (i=1,2,3) по выведенной формуле (9). В случае неподвижной частицы последние уравнения принимают вид k_1 (R^???-1/2 ?g^??? ?(R+?))??(-g)==-(P^0? ?^?0 ?^?0)/2 ???(x)?-k_2 (2F^?? F^(?µ) ?g_??+1/2 ?F_?? F^?? ?g^??)?(-g), k_2 (??(-g) F^??)/(?x_? ) ?=e/c ???^?0 ?(x). Учитывая, что для неподвижной частицы P^0?= (-mc)/?(g_00 ) (формула (9)), получим окончательный вид уравнений для полей в случае неподвижной частицы k_1 (R^???-1/2 ?g^??? ?(R+?))??(-g)= mc (?^?0 ?^?0)/(2?(g_00 )) ???(x)?-k_2 (2F^?? F^(?µ) ?g_??+1/2 ?F_?? F^?? ?g^??)?(-g), k_2 (???(-g) F?^??)/(?x_? ) ?=e/c ???^?0 ?(x). Уравнение движения для частиц получаем уже в гамильтоновой форме, где функция Гамильтона H=-с ?L/(?u^0 )= -сq_0. Эта формула получается из-за того, что лагранжиан для действия S=-c?m????(g_??? ?u^? ?u^? ) ?dt?-e/c ??? A_? ?u^? dt есть функция первой степени по скоростям, и формулы Эйлера? u?^? ?L/(?u^? )-L=0. Так как по определению H=u^i ?L/(?u^i )-L , получаем: c ?L/(?u^0 )+H=0. Здесь имеется в виду суммирование по i=1, 2, 3 и по ?=0, 1, 2, 3. Отсюда находим выражения для скоростей u^i=?H/(?q_i )=u^i (q)=-c (?q_0)/(?q_i ). Выписываем через этот гамильтониан уравнение Лиувилля ?f/?t-c (?q_0)/(?q_i )-c (?q_0)/(?x^i ) ?f/(?q_i ).(11)И получаем замкнутую систему уравнений гравитации и электродинамики Власова-Максвелла-Эйнштейна в импульсах (10-11). По общей схеме работ [8-12] получаем гидродинамическое следствие системы Власова-Максвелла-Эйнштейна (10-11) гидродинамической подстановкой f(t,?x,??q,m,e?)=?(?x,??t,m,e)?(q?- Q(q,t,m,e)): ??/?t+ ?/??x?^i (u^i (Q)?)=0,(12)(?Q_k)/?t-c (?q_0)/(?q_i ) (x, Q) (?Q_k)/(?x^i )+ c (?q_0)/(?x^k ).(13)Подстановкой Q_?=?W/(?x^? ) или ? P?_?=?W/(?x^? )-e/c ?A_? получаем затем уравнение Гамильтона-Якоби (?W/(?x^? )- ?(e/c)A_? )(?W/(?x^? )- ?(e/c)A_? ) g^??=?(mc)?^2.(14)Мы также должны переписать уравнение (12) неразрывности ??/?t+?/(?x^i )(u^i (?W)?)=0.(15)Чтобы получить замкнутую форму уравнений Гамильтона-Якоби-Власова-Максвелла-Эйнштейна, необходимо и в уравнениях для полей выполнить ту же гидродинамическую подстановку f(t,?x,??q,m,e?)=?(?x,??t,m,e)?(q?- Q(x,t,m,e)): k_1 (R^???-1/2 ?g^??? ?(R+?))??(-g)= =???-?(t,?x,??m,e)/2? ? (P^? P^?)/((P^0 ) ) ??dm?de-1/2 ?k_2 ?F_?? F^?? ?g^?? ?(-g),(16)k_2 (??(-g) F^??)/(?x_? ) ?=1/c^2 ???e ? (cP^?)/P^0 ??(t,x,m,e)??dm?de.(17) Здесь макроскопические импульсы ? P?^? и P_? связаны обычными соотношениями P_?=g_??? ?P^?. При этом в форме Гамильтона-Якоби нужно учитывать, что P_?=?W/(?x^? )-e/c ?A_?. Мы получили уравнение Власова-Максвелла-Эйнштейна как в редукции к гидродинамическим переменным (16, 17), так и в редукции к уравнениям Гамильтона-Якоби (14). В принципе можно рассматривать космологическую задачу и в общем случае, но выражения будут громоздкими, поэтому рассмотрим примеры специальных слаборелятивистских систем. Пример 1. Рассмотрим простейшее релятивистское действие с метрикой Лоренца: S= -mc??(?(c^2+ (dx/dt)^2 )+U/c)dt- 1/8?? ???(?U)^2 dxdt?- (c^2 ?)/8?? ??Udxdt. Варьируя по координатам x(t), получаем обычные релятивистские уравнения в метрике Лоренца с гамильтонианом [7] H(x,q)=c?((mc)^2+q^2 )+U. Переходим к действию, пригодному к варьированию по полям по нашей обычной схеме: S=-mc???(?(c^2+ (dx/dt)^2 )+U/c)f(x,p,m,t)dt?-1/8?? ???(?U)^2 dxdt?- (c^2 ?)/8?? ??Udxdt. Варьируя его по потенциалу U, получаем уравнения для полей {?(&??/?t+?/(?x^i )(v^i (?W)?)=0@&?W/?t+c?((mc)^2+(?W)^2 )+U=0@&?U=4?????m????dm?de?-(c^2 ?)/2?,)? где v^i (q)=?H/(?q_i )=(cq^i)/?((mc)^2+q^2 ). Мы получили выражение для скорости, из которого видно Хаббловское расширение, замкнутую систему уравнений и возможность переходить к космологическим решениям в изотропном случае и когда плотность не зависит от пространства. Лямбда-член в правой части уравнения Пуассона должен обеспечивать ускоренное расширение. Пример 2. Еще одно релятивистское действие, но с метрикой не Лоренца, а слаборелятивистской: g_??=diag(1+2U/c^2 ,-1,-1,-1). При этом потенциал вносится в действии под корень: S=-?cm????(c^2-(dx/dt)^2+2U) dt-1/8?? ???(?U)^2 ?dx?dt?-(с^2 ?)/8?? ??Udxdt. Действуя так же, получаем гамильтониан H=-cp_0 (x,q,t)=c?(((mc)^2+q^2)(1+2U/c^2 ) ) и систему уравнений {?(&??/?t+?/(?x^i )(v^i (?W)?)=0@&?W/?t+c?(((mc)^2+(?W)^2)(1+2U/c^2 ))=0@&?U=4?????(m???(m,x,t))/?(c^2-(v?( ?W))^2+2U) ?dm??-(c^2 ?)/2?)?, где v^i (q)=?H/(?q_i )=(cq^i ?(1+2U/c^2 ))/?((mc)^2+q^2 ). Получаем уравнение для определения поля точечной массы (модельное уравнение для задачи Шваршильда): ???(m,x,t)= ?(x)?(m-M), ?U=4?? M???(x)/?(c^2+2U) ?-(c^2 ?)/2. Рассмотрим более общее уравнение ?U=T(U)?(x)+?,(18)где функция T : R ?{?}?R, ??R. Решением уравнения (18) будем называть непрерывную функцию U: R^3?R?{?}, такую, что функция T определена в точке U(0) и выполнено равенство ?U=T(U(0))?(x)+?. Теорема. Если T(?)=0, T(x)?0 при x??, то уравнение (18) не имеет сферически симметричных решений в классе С^2 (R^3 / {0}). Доказательство. Будем доказывать от противного. Пусть существует решение уравнения (18), удовлетворяющее описанным выше условиям. При x?0 имеем ?U=?. Переходя в сферические координаты, получаем 1/r^2 ?/?r (r^2 ?U/?r)=?, r>0. Следовательно, U=(?r^2)/6+c_1/r+c_2, r>0. Пусть c_1=0, тогда U=(?r^2)/6+c_2 при r>0 и, в силу непрерывности, U(0)=c_2. Правая часть уравнения (18) принимает вид T(c_2 )?(x)+? и по условиям теоремы T(c_2 )?0. С другой стороны, ?U=? и при x=0, противоречие. Пусть теперь c_1?0, тогда в силу непрерывности U(0) = ? и T(U(0))=0 и правая часть уравнения (18) равна ? при всех x?R^3. С другой стороны, ?U=4?с_1 ?(x)+?, снова получили противоречие. Теорема доказана. Здесь уместно отметить, что модель Фридмана нестационарной Вселенной послужила основанием для пересмотра решения основного вопроса философии. Это было отмечено в докладе Я.Б.Зельдовича на семинаре М.В.Келдыша в 1972 году фразой: мы вернулись к библейскому взгляду на мир. Она означает, что современные астрофизические воззрения следуют первой главе книги Бытия (Шестоднев или шесть дней творения). Академик В.В.Струминский в беседе с одним из авторов (В.В.) привел еще один довод: «Ты же понимаешь, что Бог есть. Ну да, ты же занимался вторым законом термодинамики, значит, как такой сложный мир может получиться». (См. о взглядах В.В.Струминского в [21-22]). Речь идет о фундаментальности и всеобщности закона о росте энтропии ([3]), этот закон запрещает любое усложнение, а астрофизика в яркой форме подтверждает множественное усложнение от элементарных частиц к клетке, растительному и животному миру и человеку. Наука именно так доказала, что Бог есть, в 20 веке, естественнонаучным способом. Завершены вековые усилия выдающихся философов и ученых Фомы Аквинского, Эммануила Канта, Исаака Ньютона, Карла Маркса, Леонарда Эйлера, Александра Зиновьева, Альберта Эйнштейна, Макса Планка и многих других. В США и Англии это направление активно развивается, имея специальное наименование естественнонаучное богословие, в рамках которого обсуждаются особенности решений уравнений Эйнштейна. Уравнение Власова-Пуассона и его стационарные решения Уравнение Власова-Пуассона весьма активно используется для описаний квантовых приборов (плазменные двигатели, токамаки, диод Ленгмюра) и может быть записано в виде [6,9-10]: {?((?f_i)/?t+(v,(?f_i)/?x )- e_i/m_i (??,(?f_i)/?v)=0,@??=-?_i??4?e_i ???f_i (t, v, x)dv??)?.(19)Рассмотрим подстановку [6,9-10] (энергетическая подстановка, которая сводит систему (9) к нелинейному эллиптическому уравнению) f_i (v,x)=g_i ((m_i v^2)/2+e_i ?). Тогда первое уравнение системы (19) удовлетворяется, и мы получаем эллиптическое уравнение ??= ?(?), где ?(?)=-?_i??4?e_i ???g_i ((m_i v^2)/2+e_i ?)dv??. Если v? R^d, то ?^' (?)?0 при d?2 или если ?g_i?^'?0 [9-10]. Тогда граничная задача корректна, и мы имеем также отсутствие периодических решений. Это очень важное свойство стационарных решений уравнения Власова-Пуассона именно для двумерной и трехмерной по скоростям функции распределения. Пусть, однако, мы имеем одномерную задачу, когда потенциал ?(x) и функция распределения зависят только от одной пространственной переменной x_i: ?(x)=?(x_1), f(x,v)=F(x_1, v). В этом случае мы можем перейти к одномерной по v системе для функции G(x_1, v_1 )=???F(x_1, v_1,v_2,v_3 )dv_2 dv_3 ?, что полезно для численного расчета. В этом случае существуют нетривиальные периодические по x_1 решения, которые называются волнами Бернштейна-Грина-Крускала (БГК): G_1 (x_1, v_1 )= g_i ((v_1^2)/2+?(x_1)). При этом функции g_i (E) не могут быть монотонно убывающими, например, максвелловскими распределениями, а должны быть, например, вида ?(E- E_0 ). Все это налагает значительные ограничения на поведение функций распределения, которые дают волны БГК и которые сейчас хотят получить экспериментально. Трудности здесь заключаются и в том, что среда не может быть квазинейтральной. Вопросы квазинейтральности важны и должны быть тщательно исследованы: во втором из уравнений (19) правая часть оказывается равной нулю, и требуется установить, насколько это совместимо с первым из уравнений. Много решений такого типа построено в работах [34-35]. В частности, можно предложить модель горения как решение уравнения Власова-Пуассона именно с квазинейтральной плазмой с правой частью в виде интегралов столкновений химической кинетики [3,29-30]. Тогда стационарное решение описывается вместо нелинейного уравнения (18) нелинейным функциональным ?(u)= -???4?e_i ???g_i ((m_i v^2)/2+e_i u)dv??. Неравенство ?^' (?)?0 означает единственность такого решения, но в любом случае это будут постоянные по пространству потенциалы: на то плазма и квазинейтральна, когда электрические поля спрятаны внутрь Дебаевского радиуса. В принципе такие решения должны дать форму пламени, и мы получили, что стационарные решения квазинейтральной плазмы сводятся к стационарным решениям химической кинетики. Заключение Итак, мы получили уравнения электродинамики и гравитации в замкнутой форме из принципа наименьшего действия в форме уравнения Власова. Проясняется смысл уравнений типа Власова: это единственный пока способ получить и уравнение гравитации и уравнения электродинамики из принципа наименьшего действия, а также единственный пока способ замкнуть систему уравнений гравитации и электродинамики с помощью принципа наименьшего действия, используя функцию распределения объектов (электронов, ионов, звёзд в галактиках, галактик в супергалактиках или Вселенной) по скоростям и пространству. Соответствующие уравнения гидродинамического уровня (например, уравнения магнитной гидродинамики или гравитирующей газодинамики) также естественно получать из уравнений типа Власова гидродинамической подстановкой (пока единственный способ связи с классическим действием и для этих уравнений). Ранее система уравнений Власова Максвелла-Эйнштейна была получена для скоростей [11-12], а здесь для импульсов, что дает возможность исследовать космологические решения переходом к уравнению Гамильтона-Якоби. Интерес представляют стационарные решения полученных уравнений, как это делалось для уравнений Власова-Пуассона [8-10] и как это сделано здесь. Важно отметить, что в цикле работ [11-12, 23-25, 32-33] были впервые получены выражения для тензора энергии-импульса из принципа наименьшего действия. Здесь мы исследовали эти выражения в частных случаях точечной массы и космологических решений – для самых известных решений Шваршильда и Фридмана: их совпадение при вычислении для скоростей и импульсам уверенно показывает согласованность наших действий. Мы получаем автоматически классификацию различных типов записи тензора энергии-импульса (кинетическая, гидродинамическая, Гамильтон-Якобиева) и такую же классификацию уравнений Эйнштейна и Власова-Максвелла-Эйнштейна (да и всех типов уравнения Власова). Предложено уравнение Власова-Пуассона с правой частью интегралов химической кинетики как модель горения в случае квазинейтральной плазмы. Показаны особенности стационарных решений в этом случае. 517.958 10.20948/prepr-2023-20 уравнения типа Власова гидродинамическая подстановка задача Шварцшильда Vlasov-type equations hydrodynamic substitution Schwarzschild problem Максвелл Дж. К. О динамической теории газов // Труды по кинетической теории. Пер. с англ. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2011. С. 173–230. Больцман Л. Дальнейшие исследования теплового равновесия между молекулами газа // Избранные труды. М.: Наука, 1984. С. 125–189; пер. с нем.: Boltzmann L. Weitere Studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen // Wien. Ber. 1872. 66. 275–370; Wissenschaftliche Abhandlungen. V. 1. Barth, Leipzig. 1909. 316–402. В. В. Веденяпин, С. З. Аджиев. Энтропия по Больцману и Пуанкаре // Успехи математических наук. — 2014. — Т. 69. № 6. — С. 45–80. S. Z. Adzhiev, I. V. Melikhov, V. V. Vedenyapin. The H-theorem for the physico-chemical kinetic equations with explicit time discretization // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 2017. — V. 481. — P. 60–69. S. Z. Adzhiev, I. V. Melikhov, V. V. Vedenyapin. The H-theorem for the physico-chemical kinetic equations with discrete time and for their generalizations // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 2017. — V. 480. — P. 39–50. Власов А.А. Статистические функции распределения. М.: Наука, 1966. 356 стр. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука. 1986. Веденяпин В.В., Негматов М.А. О выводе и классификации уравнений типа Власова и МГД. Тождество Лагранжа и форма Годунова // Теоретическая и математическая физика. - 2012. Т. 170. № 3. С. 468–480. Веденяпин В.В., Негматов М.-Б. А., Фимин Н.Н. Уравнения типа Власова и Лиувилля, их микроскопические, энергетические и гидродинамические следствия. //Изв. РАН. Сер. матем. 2017. Т. 81. № 3. С. 45–82. Веденяпин В.В., Негматов М.А. О выводе и классификации уравнений типа Власова и магнитной гидродинамики. Тождество Лагранжа, форма Годунова и критическая масса. // СМФН, 2013, том 47, С. 5–17. Веденяпин В.В., Воронина М.Ю., Руссков А.А. О выводе уравнений электродинамики и гравитации из принципа наименьшего действия. // Доклады РАН, 2020, том 495, с. 9–13. V.V. Vedenyapin, N.N. Fimin, V.M. Chechetkin, The generalized Friedman model as a self–similar solution of Vlasov–Poisson equations system // European Physical Journal Plus, 136, № 670 (2021). Huanchun Ye and Ph. D. Morrison. Action principles for the Vlasov equations // Phys Fluids B. 1992. V. 4. № 4. P. 771–777. Choquet-Bruhat . Introduction to general relativity, black holes and cosmology. New York: Oxford, University Press. 2015. Cercigniani C., Kremer G.M. The relativistic Boltzmann equation: theory and applications. Berlin: Birkhauser, 2002. Rein G., Rendall A.D. Smooth static solutions of the spherically symmetric Vlasov–Einstein system // Ann. del’Inst. H. Poincarґe, Physique Theorique. 1993. V. 59. P. 383–397. Kandrup H.E., Morrison P.J. Hamiltonian structure of the Vlasov–Einstein system and the problem of stability for spherical relativistic star clusters // Ann. Phys. 1993. V. 225. P. 114–166 Pegoraro F., Califano F., Manfredi G., Morrison P.J. Theory and Applications of the Vlasov Equation. European Journal of Physics D 69, 68 (3pp) (2015). March. Okabe T., Morrison P.J., Friedrichsen III J.E., Shepley L.C. Hamiltonian Dynamics of Spatially-Homogeneous Vlasov-Einstein Systems. Physical Review D 84, 024011 (11pp) (2011). A. J. Brizard, P. J. Morrison, J. W. Burby, L. de Guillebon and M. Vittot. Lifting of the Vlasov-Maxwell bracket by Lie-transform method. J. Plasma Phys. (2016),vol. 82, 905820608 c Cambridge University Press 2016.doi:10.1017/S0022377816001161 Академик В.В.Струминский. М., Наука, 2018. В.В. Струминский. Новое мировоззрение. Вестник Российской Академии Наук, 1993, т. 63, № 2,, стр. 108-112. Веденяпин В.В. Уравнение Власова-Максвелла-Эйнштейна // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2018. № 188. 20 с. https://doi.org/10.20948/prepr-2018-188 https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2018-188 Vedenyapin V.V., Fimin N.N., Chechetkin V.M. The system of Vlasov–Maxwell–Einstein-type equations and its nonrelativistic and weak relativistic limits // International Journal of Modern Physics D, 2020. V. 29. № 1.23 p. Vedenyapin, V., Fimin, N., Chechetkin, V. The properties of Vlasov–Maxwell–Einstein equations and its applications to cosmological models // European Physical Journal Plus. 2020. № 400. 14 с. Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. М.: ЛКИ, 2007. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1988. Вейнберг С. Гравитация и космология. М.: Мир, 1975, 696 стр. Аджиев С.З., Веденяпин В.В., Волков Ю.А. , Мелихов И. В. Обобщенные уравнения типа Больцмана для агрегации в газе // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2017. T. 57. № 12. С. 2065–2078. Аджиев С.З., Веденяпин В.В., Филиппов С.С. Об Н-теореме для систем химической кинетики с непрерывным и дискретным временем и о системе уравнений нуклеосинтеза // ЖВМ и МФ. 2017. Т. 58. № 9. С. 1515–1528. https://keldysh.ru/papers/2023/prep2023_20.pdf