1-31 RAR 2491-2244 0000-0001-7324-1823 Варин Виктор Петрович Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН varin@keldysh.ru Персональная веб-страница: http://keldysh.ru/persons/258.html Varin V.P. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS Аппроксимация дифференциальных операторов с учетом граничных условий Approximation of differential operators with boundary conditions Применение спектральных методов для решения краевых задач является весьма эффективным, но сопряженным с большими техническими трудностями, связанными с учетом граничных условий. Существует несколько способов такого учета, но все они либо весьма трудоемки, либо требуют предварительного анализа задачи и записи ее в интегральной форме. Мы предлагаем универсальный способ учета граничных условий для линейных дифференциальных операторов на конечном отрезке, который весьма прост в реализации. Применение рациональной арифметики позволяет оценить эффективность метода без учета ошибок округления. Мы применили наш подход к вычислению рациональных приближений для некоторых фундаментальных констант. Получены приближения, которые в ряде случаев лучше, чем те, которые дают обыкновенные цепные дроби этих констант. The use of spectral methods for solution of boundary value problems is very effective but involves great technical difficulties associated with the implementation of the boundary conditions. There exist several methods of such an implementation, but they are either very cumbersome or require a preliminary analysis of the problem and its reduction to an integral form. We propose a universal means of implementation of the boundary conditions for linear differential operators on a finite interval, which is very simple in its realization. The use of the rational arithmetic allows to assess the effectiveness of this method without interference of the round-off errors. We apply this approach for computation of rational approximations for some fundamental constants. We obtained approximations that in a number of cases are better than those that are given by convergents of regular continued fractions of these constants. 1. ВВЕДЕНИЕ Численные методы решения краевых задач на конечном интервале можно условно разделить на сеточные и спектральные. В сеточных методах дифференциальные операторы аппроксимируются с помощью конечных разностей, а функции приближаются с помощью таблиц их значений на выбранной сетке. В спектральных методах функции приближаются отрезками разложений этих функций по некоторым наборам пробных функций, в качестве которых чаще всего используются полиномы, ортогональные на данном интервале с некоторым весом. Среди спектральных методов выделяются два, которые обладают уникальными свойствами, выделяющими их из всех прочих. Это разложение периодических функций в ряды Фурье и разложение функций, аналитических в некоторой окрестности отрезка, по (смещенным) полиномам Чебыше-ва (что можно рассматривать как модификацию метода Фурье). Принципиальное отличие этих двух методов от всех прочих спектральных состоит в том, что они одновременно являются также и сеточными, что гарантируется дискретным преобразованием Фурье или Фурье-Чебышева. Эти преобразования, которые также можно записать в матричной форме в явном виде, всегда хорошо обусловлены, являются (почти) инволютивны-ми, и не добавляют погрешности к результату при вычислениях с конечной разрядной сеткой (см. [1]). Второе важное отличие этих двух методов от (почти) всех остальных спектральных - это сходимость к решению не только в среднем, что гарантировано изначально, но также и равномерно на выбранном интервале при весьма слабых ограничениях на решение задачи. Эти свойства позволяют по таблице полученного решения сделать заключение об аналитических свойствах решения, которые редко заранее известны. Иными словами, скорость убывания коэффициентов ФурьеДЧебышева) находится в хорошо известной зависимости от гладкости решения. Например, для аналитических функций коэффициенты ФурьеДЧебышева) убывают экспоненциально быстро. Для решений, сингулярных в концах интервала, коэффициенты Фурье (Чебышева) убывают обычно все же достаточно быстро, чтобы метод был эффективным. Поэтому, получив таблицу коэффициентов Фурье решения, можно сделать ряд важных заключений о свойствах полученного решения, которые невозможно сделать в случае применения сеточных методов. Помимо выводов о гладкости решения, можно достоверно оценить достигнутую глобальную точность, а также оценить достаточность (или нет) выбранной размер ности аппроксимации при данной разрядной сетке. Изложенные соображения были положены К.И. Бабенко в основу т.н. методов без насыщения (см. [2]). К сожалению, Бабенко не дал в своей книге простого и понятного определения этих методов, а явление насыщения излагал в рамках общей теории аппроксимаций. Это послужило поводом к большому количеству спекуляций на тему методов без насыщения в русскоязычной литературе. Применение спектральных методов часто сопряжено с большими техническими трудностями, связанными с учетом краевых условий задачи. Например, книга [1] дает практически все о полиномах Чебышева, что нужно при решении практических задач. Однако в примерах решения задач учет краевых условий там осуществляется путем подбора вручную уравнений для нужных коэффициентов. Похожий подход применялся в [3, р. 119]. Эта же проблема возникает в т.н. т—методе Ланцоша (см. [4]), который также является по сути спектральным. Учет краевых условий в т—методе проводится путем добавления уравнений для некоторых малых параметров Ti, i =1, а также выбрасывания некоторых уравнений для коэффи- циентов разложения решения из полученной переопределенной системы, но каждый раз в индивидуальном порядке. Наиболее общий метод учета краевых условий - это обращение дифференциального оператора и запись задачи в интегральной форме. Однако обращение дифференциального оператора с учетом граничных условий - это весьма нетривиальная и очень трудоемкая задача, которая каждый раз требует индивидуального подхода. Другой (и весьма малоизвестный) способ учета краевых условий был предложен Бабенко (см. [2]). Бабенко предложил способ аппроксимации некоторых типовых дифференциальных операторов с учетом граничных условий так, как если бы аппроксимировались интегральные. Далее нужный дифференциальный оператор собирается из имеющихся прототипов так, что его граничные условия достаточно хорошо аппроксимируются (подробности см. в [5]). Однако и этот способ учета краевых условий задачи является весьма трудоемким и имеющим ограниченное применение (см. ниже). Таким образом, проблема учета краевых условий в спектральных методах остается (с практической точки зрения) открытой и пока не имеет общего и эффективного решения. В этой статье мы даем, в определенном смысле, полное решение этой задачи для конкретного спектрального метода - разложения функций на интервале [0,1] по смещенным полиномам Лежандра (т.е. с единичным весом). Выбор этих полиномов обусловлен тем, что разложения по ним также сходятся равномерно (при определенных условиях), т.е. полученные аппроксимации будут давать методы без насыщения. Вторая причина, по которой мы выбрали эти полиномы - это наличие приложений данного метода к аналитической теории чисел, что возможно при выборе рациональной арифметики в расчетах и использовании компьютерной алгебры (CAS). Учет краевых условий в разложениях по полиномам Чебышева, на самом деле, осуществляется таким же образом. Однако эти разложения больше подходят для численных расчетов, и им будет посвящена отдельная статья. В следующем разделе мы приведем готовые формулы для некоторых типовых дифференциальных операторов, а также покажем, как моделируются (в принципе) любые алгебраические линейные дифференциальные операторы с любыми краевыми условиями для них. В этом смысле наш подход напоминает (чисто внешне) метод Бабенко. В последующих разделах мы дадим ряд примеров приложений нашего метода, эффективность которого особенно видна при использовании рациональной арифметики. 2. АРИФМЕТИКА РАЗЛОЖЕНИЙ ПО ПОЛИНОМАМ ЛЕЖАНДРА Везде в этой статье рассматриваются аналитические функции на отрезке [0, 1] раскладываются в ряды по смещенным полиномам Лежандра, и эти разложения сходятся (вообще говоря) равномерно на любом подынтервале отрезка [0,1] Так же как и при вычислениях с обычными числами, мы всегда имеем дело лишь с конечным представлением функций в виде отрезков рядов. Поэтому необходимо определить операции на данном множестве функций так, чтобы разложения автоматически обрывались нужным образом. Для сложения и вычитания функций это очевидно, однако умножение, дифференцирование и интегрирование функций представляет некоторую проблему, которой мы и займемся. Пусть P(n,x) - это обычные полиномы Лежандра, ортогональные на от-[—1, 1] жандра, P(n, x) = P(n, 2 x — 1), ортогональные на отрезке [0,1], для которых Пусть N - это размерность аппроксимации, т.е. любая функция f (x) в ( n, x) до степени N — 1, т.е. f ( V\. Это представление функций полностью аналогично представлению чисел в арифметике с фиксированной разрядной сеткой. Ясно, что дифференцирование и интегрирование таких функций нарушает это представление и требует переразложения результата операции по ( n, x) N — 1 умножения функций. Например, N —1 N—1 x Е ak P(k,x)= ]Г bk P(k,x) k=0 k=0 где равенство понимается в проективном смысле, т.е. при известных коэффициентах an коэффициенты bn необходимо определить так, чтобы разница этих функций была ортогональна полиномам P(n, x), n<N. f(x) N— f = (a0,a\,... ,aN—\) , а операции умножения на x, дифференцирование, и N— Мы будем обозначать векторы обычными, а линейные операторы - большими латинскими буквами. Введем следующие обозначения: г единичный вектор, т.е. e(x) = 1, e = (1,0,..., 0)f; E - единичная матрица; X - оператор умножения на x; X2 - оператор умножения на x2 х - вектор, соответствующий функции х, т.е. х = \г 0,..., 0^ ; D - оператор дифференцирования по x; I - оператор формального интегрирования по x. Таким образом, где точка обозначает применение оператора к вектору либо умножение матриц, а интеграл неопределенный, т.е. константа интегрирования неизвестна N X.X = X2 в одном элементе, (X2 — X.X)[N,N] = N2/(4N2 — 1)14. Однако оператор X2 X.X настолько, чтобы вводить отдельные операторы X3,X4 и т.д. Мы приведем готовые формулы для всех перечисленных операторов. Вывод этих формул весьма громоздок, и мы его опускаем. Сами формулы легко проверяются и могут быть доказаны с помощью математической индукции. Матрицы Л и X2 являются соответственно трех- и пятидиагональными. Приведем для примера эти матрицы для размерности N = 6: Л " 1 21 6001 21 21 5001 31 23 14003 101 20002 70000 0000002 901522251182 . Л соответственно, n 1 n 2(2n - 1) 2' 2(2n Л2 n ней, соответственно, n( n +1) n 3 n — 3 n n n( n +1) - П G N 4(2n-l)(2n+ 1)' 2(2n- 1)' 2{2n+ l)(2n-3)' 2(2n+l)' 4 (2 n + 3)(2 n + 1)' Проще всего устроена матрица дифференцирования D, а сложнее всего - матрица интегрирования I. Эти матрицы для размерности N = 6 имеют вид: D 0202020060600001001000001400000018000000 I 0 00 00 00 _5_ 16 _3_ 16 0 0 1 0 "4 J_ 10 0 -14- 0 0 ю и 0 14 и 18 16 0 0 0 22 0 Элемент с индексами [m, n] в ^^^^^^^^^^гольной матрице D имеет вид - 1),m + n ^ететно, m + n тетно. I менты главной диагонали нулевые. Ненулевой элемент с индексами [m, n] в I I[m, n c(n] 1 2 (2771 - 3)' , 2(2m + IV m m n 1, n m {61 ^ 2, (—l)2^ Г(|)/Г(^-)/2/0г, п нечетно (-l)f 2Г(^р)/Г(| - 1)/(п - 1)/пД/7г, п четно. где функция номера столбца c(n) дается формулой Матрица X размерности N обладает важным свойством, которое нам понадобится. Справедливо Предложение 1. Матрица P(N,X) нулевая, N = 1, 2,.... Доказательство. Введем вектор p = {P(0,X),P(1,X),... ,P(N — 1,х))г. Для трехдиагональной матрицы Якоби J размерности N, ассоциированной с системой ортогональных полиномов Лежандра {P(n,x),n = 0,справедливо тождество которое является прямым следствием трехзвенного линейного рекуррентного соотношения для этих полиномов (см. [6]). Но умножение любого вектора f eVN на х - это скалярное произведение этого вектора с левой частью (1). Поэтому транспонируя (1), получим X = J:. JX P(N, х) J X P( N, х) Как следствие получаем, что ne N. Также при нечетном N все шприцы P(M, Л) для нечетных M вырождены (но ненулевые). Это связано с тем, что у всех полиномов P(M, х) нечетной степени есть общий рациональный корень х = 1/2. Для четных N все матрицы P(M,X)7 M = N невырождены. Обратим внимание, что последняя строка матрицы дифференцирования D ранг N — 1. Это прямое следствие того, что ОДУ y'(x) = f (х) имеет одномерное многообразие решений. Иными словами, для однозначного определения y( х) Эти условия можно учесть совершенно естественным образом в последней D P(k — 1, 0) = (—1) P(k — 1,1) = 1,k e N, то последнюю строку матрицы D надо заполнить этими значениями для уче- х =0 х =1 условия (или их линейной комбинации). Затем нужно заменить последний f Тогда полученная линейная система будет невырождена, а полученное реше-y( х) Последнее утверждение можно сформулировать точно. Справедливо Предложение 2. Пусть правая часть f (х) ОДУ у'(х) = f (х) имеет вид N—2 f (х)= ? ak P(к,х), (2) к=0 т.е. последний элемент вектора f = f (х)(которий заменяется на гра- ) y( х) () вии или их линейной комбинации. Доказательство получается методом математической индукции либо простой проверкой в С AS. Можно дать еще одну интерпретацию описанного способа решения ОДУ у'(х) = f (х) с полиномиальной правой частью. D N — 1 методом Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице, то на последнем шаге N получится уравпение 0 х у [N]= f[N], где тильда символизирует операции, проделанные в методе Гаусса. Последнее уравнение может быть совместно, только если f [N]=0, т.е. f (х) - это полином вида (2). Практически можно взять любое значение у;[N], а затем скорректировать начальное (краевое) условие полученного решения как требуется. Эта операция полностью эквивалентна неопределенному интегрированию функции, т.е. третий способ решения ОДУ у'(х) = f (х) - это вычисление решения у = I.f, где вектор f вида (2), с последующей корректировкой константы интегрирования. В операторе D2 = D.D будут, очевидно, две нулевые последние строки, которые следует заполнить нужными краевыми условиями. Вообще, для учета краевых условий нашим методом необходимо и достаточно знать следующие векторы-строки, линейные комбинации которых заполняют последние строки нужных линейных дифференциальных операторов. Эти векторы N гт = (P(m) (к — 1,0)) ,bm = (P(m) (к — 1,1)) ,к = 1,...,N,m e NO, где т обозначает номер производной полинома Р(п, х) по х. Векторы im отвечают за граничные значения функции при х = 0, a bm за, граничные значения при х = 1. Эти векторы устроены весьма просто: причем этот список может быть легко продолжен (с использованием CAS). Любые начальные либо краевые линейные условия для функций f (х), f '(х), f "(х) и т.д. и их комбинаций получаются в виде линейных комбинаций перечисленных векторов. Аналогично можно задать условия и внутри интервала, но у нас пока нет содержательной задачи для демонстрации этого факта. Приведем численный пример, на котором видны преимущества данного метода. Рассмотрим спектральную задачу на интервале х ( [0,1]: с нестандартными краевыми условиями. Эта задача приводилась в [7] для демонстрации приложения т—метода. Спектральная задача (3) решается в явном виде. Несложные вычисления показывают, что все собственные значения являются решениями трасцен-дентного уравнения х + tan х = 0, т.е. ai « 2.028757838110,a2 ~ 4.913180439434,aa ~ 7.978665712413, .... Если решать эту задачу методом Бабенко, то необходимо сперва сконструировать интерполяционный полином Чебышева с указанными краевыми условиями. Затем этот полином нужно дважды продифференцировать и получить таким образом конечномерную спектральную задачу. Мы проделали эти вычисления, но они весьма громоздки, и мы их опускаем. Согласно нашему методу, нужно взять матрицу A = D.D и заменить ее две последние стороки на векторы io и bo + b1 (в любом порядке). Полученная спектральная задача разменности N = 10 дает приближенные значения a1,a2,a3j соответственно, с шестью, тремя и одним десятичными разрядами при вычислениях в обычной арифметике, что соответствует точности, полу- т— N личивается, а их точность возрастает, т.е. спектр стабилизируется. Никаких и «паразитных» собственных значений в нашем методе не появляется, т.е. данный метод является методом без насыщения. т— евых условий к разложению функции добавляются дополнительные члены, уравнения для коэффициентов которых получаются из краевых условий. Это требует весьма громоздких вычислений, предназначенных только для дан- т— спектральную задачу для пучка матриц, т.е. A.y = XB.y, где матрицы A и B имеют блочную структуру, собранную из отдельных кусков. Отметим также, что, помимо учета краевых условий, наш подход схож с т— пользуются бесконечные матрицы, которые обрезаются нужным образом для получения конечномерных аппроксимаций операторов. Затем эти конечномерные матрицы обрамляются дополнительными блоками (примерно как в [7]) для учета краевых условий. 3. КВАДРАТУРЫ ГАУССА И ПАДЕ-АППРОКСИМАЦИИ Вычислительные эксперимерты показали (неожиданно высокую) численную эффективность предложенного алгоритма. При расчетах в обычной плавающей арифметике обнаруженные нами эффекты ненаблюдаемы, и, вероятно, поэтому они (насколько нам известно) никогда ранее не отмечались в спектральных методах. Вычисления с расширенной разрядной сеткой, а также в рациональной арифметике, проделанные нами в CAS Maple, позволили установить связь нашего метода с квадратурами Гаусса и Паде-аппроксимациями функций. Напомним, что в классической M—точечной квадратуре Гаусса с единичным весом на интервале [—1,1] требуется вычислить M корней полинома Лежандра P(M, х) и M весов квадратурной формулы (см. [9]). На самом деле достаточно вычислить половину из каждого набора ввиду их симметрии, но проще вычислить их все сразу. Это возможно сделать только в плавающей арифметике. Тогда полученная квадратура будет точна на полиномах 2M—1 Поскольку при нашем подходе функция приближается полиномами Ле- N — 1 будет соответствовать квадратуре Гаусса порядка [N/2]. Приведем пример, показывающий, что точность на самом деле значительно выше. Рассмотрим задачу Коши у'{х) = —^—2=г{х), хе [0,1], t/(0) = 0, (4) 2 решением которой является функция у{х) = arctan х. Выберем для этого примера размерность аппроксимации N =10. Правая часть уравнения (4) может быть сразу записана в виде вектора r = (E + X2)—l.e, т.е. мы получаем приближенное разложение рациональной функции г(х) по смещенным полиномам Лежандра, просто обратив нужную матрицу. Обозначим точные коэффициенты разложения r k7 1 r k = (2 к - 1) J r(x) P (к - 1,х) dx, к = 1, 2,...,N. о Тогда \rk — rk\& {3 • 10"15, 3 • 10"15,1 • 10"13, 6 • 10"13, 6 • 10"13, 2 • 10"11, 6 • 10"11, 2 • 10"10, 2 • 10-9, 4 • 10"9}. (5) Поскольку 1 1 1 / /"1 7Г г(ж) Р(0, х) dx = / 2 ^ж = Т' (6) о о 1 + х 4 то мы вычислили интеграл от правой части (4) даже не решая дифференциального уравнения. Имеем 281845376409124 п 15 П = —— , - - п « 3.057054520150 • 10"15. 7 358856678744865' 4 w Уместно сравнить полученную точность с той, которую можно достичь с помощью квадратур Гаусса при вычислении интеграла (6). Обозначим соответствующие квадратуры Ом- Тогда ^ - Сю « -6.3 • 10"14, j - Gn ~ 3.056102 • 10"15, j - G12 ~ -4.8 • 10"17, т.е. наш метод соответствует (в данном примере) 11-точечной квадратуре Гаусса. Теперь вычислим решение задачи Коши (4) согласно нашему методу. Возьмем матрицу A = D и заменим последнюю (нулевую) строку на вектор i0. r ноль, согласно начальному значению решения. Получаем конечномерную аппроксимацию задачи (4), А.у = r, откуда находим вектор у = A—1.r. Таким образом, получаем приближенное разложение арктангенса N у(х) = arctan х « ? yk P(к — 1,х). k=1 x=1 п/4 которое оказывается в точности равным значению r1 в (7), вычисленному ранее. Вычислим Паде-аппроксимации арктангенса различной размерности в рациональной арифметике, подставим туда х = 1 и сравним с приближением числа 7г/4, полученным нами. Оказалось, что Р[19,18](у(1)) = Шт1Ш171Ь2 Р[19 18](у(1))-^ « 3.672520113-10-15. L ' Jvyv >> 344802363740835 L Jvyv 4 Как мы увидим, близость (и даже схожесть) полученных аппроксимаций не является случайной. 6е-084е-08:2е-08-0 -2е-081 0.2 \ 0.'-4е-08-6е-08 Фиг. 1. Аппроксимация arctanх полиномами Лежандра (N =10). Коэффициенты yk отличаются от точных значений разложения арктангенса примерно так же, как в (5). На фиг. 1 показаны графики разности arctan х с их аппроксимациями полиномами Лежандра для N =10. На фиг. 1 слева использовались точные (иррациональные) коэффициенты разложения, а на фиг. 1 справа - полученные нами. Обратим внимание, что глобальная (или равномерная) погрешность нашей аппроксимации примерно соответствует ожидаемой для данной размерности (и даже лучше). Однако краевое значение в задаче (4) находится с точностью, превышающей равномерную на несколько порядков. Последнее обстоятельство также не является случайным. Чтобы это увидеть, решим задачу (4) нашим методом еще раз, но без использования матрицы X2. Сохраним те же обозначения, но возьмем правую часть уравнения (4) в виде вектора r = (E + X.X)~1.в. Тогда \rk — rk\~ {6 • 10"14, 4 • 10"13, 7 • 10"13,1 • 10"11, 4 • 10"11, 2 • 10"10, 2 • 10-9, 3 • 10-9, 3 • 10-8, 2 • 10"7}, т.е. точность аппроксимации правой части (4) несколько хуже, чем ранее. y = 140675049238504 , _ _6 . W-U (g) 179113035648015' 4 что соответствует 10-точечной квадратуре Гаусса (см. выше). Данное соответствие нашего рационального приближения интеграла его квадратуре Гаусса на самом деле является полным совпадением. Возьмем произвольную рациональную функцию r(x) с рациональными коэффициентами (можно и комплексно-рациональными или даже символьными). Рассмотрим задачу Коши z'(x) = r(x) = ^f\, хе [О,1], z(0) = 0. (9) Ее решением является функция z(х) = /5х r(t) dt, если она существует. Но нас интересуют формальные символьные вычисления в конечномерной аппроксимации. Для задачи (9) в случае общего положения (см. ниже) вычислим следующие массивы для размерностей аппроксимации N = 1, 2,... Si[N]= ri, где вектop r = (r1,... ,rN) вычисляется по формуле r = p(X ).q(X )—1.e = q(X )—1.p(X ).e, где коммутирующие матрицы p(X) и q(X) получаются подстановкой матрицы X вместо независимой переменной х в полиномы р(х) и q(x). Напомним, X2 N S2[N]= Е Zk, где вект op z вычисляется тик же, как вектор y для (4). То есть берем матрицу A = D, заменяем последнюю (нулевую) строку на вектор i5. Далее заменяем последний (ненулевой) элемент вектора r на ноль, т.е. берем r[N]=0, согласно начальному значению решения. Затем вычисляем вектор z = A-1.r, ^^^^^^^й дает приближенное разложение функции z(x), если она существует. Иначе это просто формальный вектор. Отметим, что S2[1] = 0 в силу способа вычисления. Этот массив можно также вычислять альтернативным способом с помощью оператора формального интегрирования, как это описано в разд. 2. Sa[N]= GN(>). т.е. S3[N] - это значение N—точечной квадратуры Гаусса функции r(x) на интервале [0,1]. Напомним, что корни Xk полиномов Лежандра Р(и, х) могут быть вычислены (в принципе) в виде радикалов только до n = 9 включительно. Это же относится к весам wk квадратурной формулы Гаусса, 1 xk , Wk = ~ -, к = 1,...,п. n2 P2(n — 1,xk) Разумеется, практически делать это бессмысленно, поэтому массив S3N] (в отличие от предыдущих) дается в плавающей арифметике, но с любым (в принципе) числом десятичных разрядов. r( x) q( x) делится на полином Лежандра P(M,x), то в массивах S1,S2,S3 следует пропустить размерность N = M (см. предложение 1). А в случае если q(x) имеет корень x = 1/2, то эти массивы вычисляются только для четных N. Заметим, что функция r(x) не может иметь полюс (=1/2) в одном из P( M, x) С учетом этих условий справедливо Предложение 3. Массивы Sk, k = 1, 2, 3, совпадают. Формальное доказательство пока отсутствует, т.е. результат относится к экпериментальной математике. Он подтверждается расчетами в рациональ- S3 на большом количестве примеров. [0, 1] r( x)( ) рациональным числом, т.е. jrwkr(^±±)eQ. (10) Этот результат может быть (относительно легко) проверен в CAS до размерности N 5 и. в принципе, до размерности N = 9, хотя выражение для корня полинома P(8,x) занимает страницу. Для N> 9 этот рузультат может быть проверен только численно, но зато с любой, в принципе, точностью. r( x)=1/x z( x) xk 2 H( N) N =1, 2,... H( N) Возьмем теперь r(x) = q/(1 + qx). Тогда z(x) = ln(1 + qx) является формальным решением задачи Коши (9). По нашему алгоритму получим для N = 1, 2,..., S1[N] = Г 2q 3q(2 + q) q (60 + 60 q + 11 q2) 5 q (2 + q) (42 + 42 q + 5 q2) { 2 + q' (6 + 6 q + q2)' 3 (2 + q) (10 + 10 q + q2)' 6 (70 + 140 q + 90 q2 + 20 q3 + q4)' " ' Квадратуры Гаусса (10) получаются весьма громозкими и в плавающей q с рациональными функциями (11). Формула (11) также показывает, почему полюс x = 1/2 при q = —2 непри- x=0 ни. Других рациональных корней у полиномов Лежандра не существует. Предложение 4. Последовательность рациональных приближений (11), т.е. S1[N], N =1, 2,..., совпадает с диагональными Паде аппроксимациями P[N, N](z(x))\x=1 = P[N, N](ln(1 + q)). Доказательство. Докажем другое утверждение, которое равносильно этому согласно предложению 3. Последовательность квадратур Гаусса функции r(x) = q/(1 + qx), т.е. S3[N], N = 1, 2,..., совпадает с этими Паде-аппроксимациями. В самом деле, G«(TT-) = ?GA'((-I)V+1^ в силу линейности квадратуры. Но квадратуры Гаусса точны на полиномах степени M < 2 N — 1, поэтому / q \ 2 N —1 (_1)k qk+1 <Чтх-) = Е ' J'{ + 0(g2№+1) = ln(l + g) + 0(g2W+'). \1 + qx) k=0 k + 1 q N Например, подставив q = 1 в (11), получаем последовательность рацио- ln 2 Г2 9 131 445 34997 62307 2359979 25786503 12 3' 13' 189'642 50490'62307 3404730' 37202060' которая совпадает с последовательностью, полученной в [10] с помощью г алгоритма Винна (Wynn). Пользуясь случаем, исправляем там опечатку: (8/13 — 9/13). Эта последовательность соответствовала в [10] поддиагональной Паде-аппроксимации, так как там рассматривалась функция ln(1 + x)/x. Отметим также, что в [10] было выбрано неудачное преобразование эквивалентности, в результате чего полученная цепная дробь выглядела сложнее, чем она есть (см. разд. 4). Совпадение 11аде аппроксимации функции, представленной рядом Стил-тьеса, т.е. где коэффициенты разложения - это моменты интеграла Стилтье-са, с квадратурами Гаусса не является новым результатом (см. [11]) (авторы там перепутали [n — 1,n] и [n,n — 1]-аппроксимации). Таким образом, существенно нелинейная операция - вычисление диагональной 11аде аппроксимации ln(1 + x) с помощью г алгоритма Винна сводится нашим методом к линейным операциям с матрицами. Также теперь ясно, почему не удалось получить точную Наде аппроксимацию для арктангенса. Дело в том, что наш алгоритм линеен, поэтому мы получили сумму двух различных 11аде аппроксимации. А именно, 1 1 1 ХГ (It 1 i , 9\ / ч г = —— г+^т^ г, / тгт, г = т: arctanrr—- т(1+ж ) = v(x) l+х2 2(1 + гж) 2(1 -гж)' ^ 2(1 + г?) 2 4 v ; w т.е. последовательность {51 [N]} соответствует сумме двух Паде-аппрокси-маций, Si[N] = Р [N, N](v(x))\x=i + Р [N, N](v(x))\x=i,N = 1, 2,.... Хотя любая рациональная функция представима в виде суммы простых (или частных) дробей, следствие, которое мы вывели из предложения 3, не следует из совпадения квадратур Гаусса с 11аде аппроксимациями простых дробей по очевидным причинам. Как показано в [10], из последовательности (12) следует иррациональность числа ln 2 по критерию Дирихле, т.е. \p — q ln2\ — 0, где p/q это рациональные приближения в (12). Этим свойством обладают некоторые (но далеко не все) рациональные последовательности, полученные с помощью 11аде аппроксимации, и мы займемся этим в следующем разделе. Таким образом, наш метод дает весьма точные приближения коэффициентов разложения интегралов некоторых рациональных функций по полиномам Лежандра (см. фиг. 1). Оказалось, что если эти коэффициенты исходно рациональны, то наш метод в ряде случаев вычисляет их точно в рациональной арифметике. Рассмотрим уравнение xy'(x) = 1, решением которого является функция y(x) = ln x при выборе краевого условия y(1) = 0. Это также первый пример, где мы рассматриваем более сложный оператор, чем просто дифференцирование. Однако способ решения этого уравнения точно такой же. Берем матрицу A = X.D и заменяем последнюю строку на вектор Ъ0. Последний элемент вектора r = г здесь ноль. Вычисляем вектор y = A—1.r, ln x коэффициенты разложения, кроме последнего, y[N], оказываются точными. Таким образом, получаем оо 2 n + 1 1пж = -1+ E(-i)"-1 , \,Р(п,х), хе (0,1]. (13) Если бы мы решали уравнение y'(x) = 1/x этим способом, что возможно, X т.е. все коэффициенты находятся правильно, кроме (по неизвестным пока причинам) предпоследнего. Приведем еще один пример. Рассмотрим уравнение xy'(x) — y(x)=x общим решением которого является функция y(x)= x (C + ln x). Поэтому y(1) = 0 N y( x)= x ln x y[N] 11 о 2 n + 1 ,. HLX = _ + _P(1,X) + N(N2_1)(N + 2) P(n,*), , e [0,1]. Полученные разложения могут быть использованы для решения неалгебраических ОДУ нашим методом (см. разд. 5). Хотя равномерная аппроксимация решений окажется при этом соответствующей ожидаемой, т.е. (вообще ln x ра, но аппроксимация решений в концах интервала может быть очень хорошей, что мы уже наблюдали (см. фиг. 1). 4. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ Как известно, быстро сходящиеся последовательности рациональных чисел играют ключевую роль в доказательствах иррациональности их предела (см. [10] и ссылки там). При этом, как оказалось во всех без исключения случаях (а их можно пересчитать по пальцам одной руки), если последовательность {pn/qn} дает x x x { pn/qn} помощью функций K(x,n), которые мы определили в [10]. Иными словами, в этом случае последовательность K(pn/qn,n) совпада- x K(pn/qn,n)= K(x, n), n> const. Но это последнее свойство может также выполняться, если критерий { pn/qn} мер, для последовательности {Si[N] = r1} рациональных приближений числа 7г/4, которую мы получили в задаче (4), K(S1[N],N) = K(n/4,N), N = 1, 2,...7 т.е. мы получаем все подходящие дроби числа п/4. При этом, напри- мер, ^ - Si [30] « 1.36 • 10"40, ^ - Х(тг/4, 30) « 9.51 • Ю-31. Однако наибольший интерес все же представляют последовательности, в структуре которых удается выявить некоторые закономерности. Этим мы и займемся в этом разделе. Последовательности диагональных, а также над- или поддиагональных q( могут давать очень хорошие рациональные приближения иррациональных ln 2 по критерию Дирихле (см. [10]). Но у нас также имеется более общая последовательность (11). Как оказалось, эта последняя значительно более удобна для выявления закономерно- q=1 q что в данном случае контрпродуктивно. Закономерность в последовательности (11) становится видна, если преобразовать ее в цепную дробь Эйлера (по формулам Д. Бернулли). Обозначим (11) (заменив там q — t) как последовательность s(n)= pn/qn подходящих pn qn (11). Вычислим Пл ги п Рп-1 Qn Рп Qn-l П ^ 1 «1 - Pi, ап- Vn_x qn_2 - Pn_2 qn_x, n > i, L Пл h Pn Qn-2 ~ Pn-2 Qn N ^ 1 oi-Чъ on- Vn_x Qn_2 _ pn_2 qn_x, a > i, 14; где po = 0 и qo = 1. Тогда s(n) n k=\ bk или ln(l + t) = 2±-p , (15) 2 + t 412 6 + 31 912 10 + 51 16 t 14 + 71 18 + 91 — ... где закономерность в частных дробях очевидна. Хотя нам не удалось получить 11иде аппроксимации арктангенса с помощью нашего алгоритма напрямую, но применение формулы 1 — ix' arctan ж в (15) дает такое разложение. После некоторых преобразований получаем известное разложение 2 х2 х arctan ж = 1 + з + -4ж 9 х/ 5 + 7 + ... Применим наш подход к некоторым ОДУ, зависящим от параметра. Рассмотрим задачу Коши у'(х) - ty(x) = 0,y(0) = 1,y(x) = exp(tx). где t - это независимый параметр. Это также пример, как формально однородное уравнение решается как неоднородное за счет начального условия, т.е. вектор в правой части r = 0, но затем r[N] = 1. Применив наш алгоритм и преобразование (14), получим 1 et = ^ > (16) t2 t2 t2 2 + t + t2 6 + 10+ 14 + 18+ ^ 22 + ... т.е. после начального куска цепная дробь становится «квазипериодической». Однако в данном случае мы получили феномен, который ранее (насколько нам известно) не наблюдался. То есть мы получили разложение, которое (при t=1 t=1 обыкновенная цепная дробь константы е. Данный феномен объясняется довольно просто. Избавившись от начального куска дроби (16) и достроив ее сверху согласно очевидным закономерностям, получим известное разложение е* - 1 t W = (f-5), (19) + 9 2(s + l)t (s2 - 4) t2 St (s2-9)t2 10 + 5^+ " ( 2 igW2 14 + 7^ + — 18 + 9*... т.е., как и раньше, после начального куска цепная дробь становится «квазипериодической». Избавившись от начального куска дроби (19) и достроив ее сверху согласно очевидным закономерностям, получим разложение (1+ t)s - 1 .st [20) 10 + 5? + ^ j 14 + 7?+ v 7 18 + 91 + ... которое весьма напоминает (17). Применим теперь тождество i-2г = e*, т.е. сделаем подстановку s = —2 i, t = i — 1 в (20). Тогда получим (после преобразования эквивалентности) '2Г з + s- е^-1 _ 1 gn2-2n + 5 ef + l~b=i 2 п - 1 1+ 20 7 + 13 5 + 9+... Цепная дробь для ё* была получена недавно в [13]. Причем, как полагает автор в [13], это было сделано впервые. Однако наша дробь устроена проще. Заметим также, что цепная дробь (21) сходится к своему пределу медленнее, чем его подходящие дроби, хотя число ё* = (—трансцендентно (как алгебраическое число в степени мнимая квадратичная иррациональность (см. [14] и ссылки там)). 5. КОНСТАНТЫ ЭЙЛЕРА И ЭЙЛЕРА-ГОМПЕРТЦА Как было отмечено в [15], константа Эйлера Y и константа Эйлера Гом-пертца 5 имеют весьма похожие интегральные представления. В этом разделе мы продолжим эту аналогию. Рассмотрим функцию 00 y(x) = J ln(x + t)exp(-t) dt = ln(x) + exp(x)Ei(1, x), 0 где Ei() - это интегральная экспонента. Функция y(x) удовлетворяет ОДУ: y'(x) = y(x) - ln(x), (22) общим решением которого является функция y(x) = ln(x)+exp(x)Ei(1, x) + Cexp(x). Легко проверить, что y(0) = -7+C И y(1) = y'(1) = 5+Cexp(1). Поэтому, к сожалению, из уравнения (22) нельзя получить сразу обе константы, 7 и 5, ё Коши для уравнения (22), y(0) = 0, дает рациональные приближения для константы 00 H(n) f] = 5 + e-f=Y" « 2.1653822153269. (23) n=i n! Эта формула следует из представления (см. [16]) 5 = e (F([1,1], [2, 2], -1) - 7), где F() - это гипергеометрическая функция, т.е., как легко проверить, о° H(n) xn-1 ехр(х) F([l, 1], [2, 21-х) = ? -Ц . Задача Коши для уравнения (22) решается точно так же, как мы уже делали неоднократно. Отличие состоит в том, что эта задача сингулярна (y'(0) = +0), а также что ОДУ не является алгебраическим. Таким образом, решается линейная алгебраическая задача A.y = г, где A = D - E с последующей корректировкой последней строки, а вектор г получается с помощью формулы (13), и r[N]=0, согласно начальному условию. Мы проделали эти вычисления в рациональной арифметике до размерности аппроксимации N = 100. Полученная в результате последовательность рациональных приближений {s(n),n =1,..., 100} константы г] не дает иррациональности этой константы по критерию Дирихле, но приближает ее лучше в численном смысле, чем последовательность подходящих дробей константы п, т.е., согласно [10], K(n,n) = K(s(n),n), n> 11. Иными слова] 12-й. Например, П - s(50) « 4.3461 • 10-95,п - K(п, 50) « 1.8460 • 10 -59. (24) Здесь мы воспользовались модификацией алгоритма, т.е. замедлили скорость сходимости полученной последовательности рациональных приближений с помощью функций K(x,n), введенных в [10]. n n ства (см. [10]). Он гарантированно дает подходящие дроби нужной константы либо не дает, о чем сигнализирует. При этом не надо знать численного значения данной константы, а все вычисления проводятся в рациональной арифметике. В случае если алгоритм «дает сбой», т.е. очередное рациональное приближение оказывается хуже, чем приближение подходящей дробью этой константы (что может быть, например, если в цепной дроби встретился нетипично большой знаменатель), то это никак не влияет на последующие подходящие дроби, если данный член просто опустить. Такой случай встречался в разложении ((6) (см. [10]). Полученная по формулам (14) цепная дробь просто окажется некоторым сжатием исходной. Таким образом, свойство последовательности рациональных чисел {s(n)} x вательность подходящих дробей числа x, {K(x,n)}, является внутренним свойством данной последовательности и проверяется в рациональной ариф- x Воспользуемся этими соображениями для проверки скорости сходимости ряда (23). Этот ряд весьма напоминает ряд Энгеля (см. [17]), а такие ряды обычно сходятся к своему пределу быстрее, чем подходящие дроби этого предела (см. [10]). Гармоническое число в числителе (23) не должно сильно повлиять на ско- ln n сравнению с факториалом. Как оказалось, последовательность частичных сумм ряда (23), {h(m)}, и п т.е. K(]],m) = K(h(m),m), m> 40. Например, П - h(100) « 5.5684 • 10-160,п - K(п, 100) « 9.0078 • 10-112. y(0) = -7 75 y(1) = 5 N =1, 2,... Эта последовательность имеет вид //(N) - e(N) 7, где тильда означает, что это рациональные приближения соответствующих констант. Они оказались в точности равны полученным ранее, т.е. в формулах (24) и (16). Таким образом, если иметь последовательность хороших рациональных приближений для 7 (или 8), то по данному алгоритму можно получить (почти) столь же хорошую последовательность рациональных приближений для 8 (или 7). 6. СУММИРОВАНИЕ ГОЛОНОМНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Как мы видели, наш метод дает эффективные рациональные приближения коэффициентов разложения Фурье Лежандра для функций, которые являются решениями линейных однородных ОДУ с полиномиальными коэффициентами. Такие функции называются голономными (см., например, [18]). Те неоднородные ОДУ, которые мы рассматривали, очевидно приводятся к однородным. Оригинальный т метод Ланцоша также предназначался для этого класса уравнений (см. [4]). Последовательность чисел {an,n = 0,1,...} называется голономной, если она удовлетворяет линейному разностному уравнению с полиномиальными n Если в качестве функции понимать формальный степенной ряд, то каждой голономной функции соответствует голономная последовательность чисел - коэффициентов ее формального разложения, а также наоборот: каждой голономной последовательности соответствует голономная функция - обыкновенная производящая функция этой последовательности (см. [18, р. 140]). Хотя многие математики, продолжая традиции 19-го столетия, полагают, что «не каждый формальный ряд соответствует аналитической функции» (см. [18, р. 29]), однако это не так. Каждый формальный ряд соответствует аналитической функции, правда, возможно, не одной (теорема Бореля-Ритта, см. [19, р. 43]). Все зависит от интерпретации слова «соответствует». Возьмем ряд из [18, р. 29] в качестве примера. Мы использовали этот ряд в [20] как пример «голономного» суммирования последовательности. Рассмотрим формальный ряд оо y(x)= ? n! xn (25) n=0 и найдем для него аналитическую функцию y(x), такую, что y(1) = 1. Формальный голономный ряд (25) удовлетворяет дифференциальному уравнению x2 У -(1 - x) y +1 = 0, (26) которое неголономно, но приводится к нужному виду. Функция где C - это константа интегрирования, является общим аналитическим решением этого уравнения. C ему формальному разложению (25), которое является асимптотическим в полуплоскости Re(x) > 0, с трансфинитной экспоненциально малой добавкой. y(1) взять C = Ei(1, -1) + exp(1) « 0.8231640121032 - in, y(1) = 1 Чтобы получить разложение этой функции по полиномам Лежандра на- шим методом, нужно взять матрицу X2.D - E + X и заменить ее последнюю строку на вектор b0 (см. разд. 2). Вектор правой ч асти - это r = -ее под- становкой r[N] = 1, согласно выбранному краевому значению. Заметим, что X2.D = X.X.D N =10 y(0) = 2693025253/2682336916,y(0) - 1 « 3.98471 • 10-3, что весьма близко к верхней равномерной оценке погрешности для этой [0, 1] Отметим, что неединственность функции, которая соответствует своему формальному степенному разложению (а такие разложения всегда асимптотические), не имеет никакого отношения к сходимости или расходимости этого разложения. Это же относится к наличию либо отсутствию экспоненциально малой (трансфинитной) добавки. Предыдущий пример переносится без существеных изменений на уравнение 2 1+ x + x2 1 1 х у - у = —-——Г2~, у{х) = —— + С ехр — . (1 + x)2 1+x x Таким образом, мы имеем способ суммирования голономных последовательностей и рядов, причем необязательно сходящихся в обычном смысле, который сводится к решению соответствующих голономных ОДУ и подста-x=1 Здесь наш метод приближенного решения голономных ОДУ может быть весьма полезен, так как эти уравнения, вообще говоря, неинтегрируемы. Но даже в случае их интегрируемости в квадратурах (с применением CAS) эти квадратуры могут быть очень сложно устроены и (почти) совершенно бесполезны. Вычислим для примера константу Эйлера Гомпортим путем суммирования расходящегося ряда (25) при x = -1. Это классическая задача, которая решалась многими способами. Ланцош ее также использовал для демонстрации эффективности т-метода (см. [4]). Сделаем замену x -——x в уравнении (26), затем в полученном уравнении сделаем замену y(x) y(x)/x. Тогда получим сингулярную задачу Коши y(0) = 0 для уравнения х2у1 + у = х, у(х) = ехр(^) (c + Ei(l,±)) = ? (-If"1 (п - 1)! ^. (27) Мы выбрали такую форму записи уравнения для демонстрации одного эффекта, который встречается при решении сингулярных задач нашим методом. В данном примере конечномерная аппроксимация строится особенно просто: берется матрица A = X2.D + E и правая часть r = X.e. Никакой корректировки матрицы A и вектора r делать не нужно, так как единственное ограниченное решение задачи (27) имеет начальное значение y(0) = 0 (т.е. C = 0 в (27)). В результате для размерностей аппроксимации N = 10 и N = 20 получим 5 — y(1) « 4.1543 • 10—10,5 — y(1) « 5.3640 • 10—14. Полученная последовательность рациональных приближений {y(1)} для N = 1, 2,... сходится к 5 весьма быстро, но все же медленнее, чем последовательность подходящих дробей K(5, N). Однако классическая цепная дробь 5 ]_g-(n-l' 2+ n=2 2 n которая соответствует диагональной 11иде аппроксимации ряда (27), PN = P[N, N](y(x))|x=i, ^^^датся к 5 намного медленнее. Например, 5 — pio « 3.657 • 10—5,5 — р20 « 2.181 • 10—7. Приведем два примера суммирования для очень медленно (и очень плохо) сходящихся голономных последовательностей. Рассмотрим ряды 7 = _?М, ё=ЕЦп-1Л\ (28) n=1 n n=1 n где L(n, x) - это полиномы Лагерра. Второй из этих рядов мы вывели (без подробного доказательства) в [10] с помощью ряда Ньютона. Первый ряд в (28) получается из разложения ln x по полиномам Лагерра. Доказательство. Мы дадим «computer assisted proof», что является стандартной практикой при работе с голономными рядами. Иными словами, средства С AS привлекаются для вывода формул, но сами формулы (в принципе) проверяемы вручную. Рассмотрим производящие функции x (x — 1)2 u"(x) + (1 — 2 x + 2 x2) u'(x) = x, (1 — x)2 v"(x) + xv'(x) = 0, (30) u( x) v(x). Эти уравнения интегрируемы. Имеем откуда следует u(1) = 7 и = 5. Ч.Т.Д. Суммирование рядов (28) с помощью стандартных ускорителей сходимости (см., например, [21]), по-видимому, невозможно. Чтобы это увидеть, обозначим частичные суммы рядов (28) как u(n) и v(n) соответственно. Пользуясь известным рекуррентным соотношением для полиномов Лагерра, по-u(1) = 0 u(2) = 1/4 u(3) = 17/36 n2 u(n) = (3n2—4n+2) u(n—1) —(n—1) (3n—4) u(n—2) + (n—1) (n—2) u(n—3), а также = 1, v(2) = 1, v(3) = 5/6 и (n—1) nv(n) = (n—1) (3n—4) v(n—1) — (3n—4) (n—2) v(n—2)+(n—2)2v(n—3). На фиг. 2 показаны графики частичных сумм u(n) и v(n) до n = 200. Из фиг. 2 видно, что эти суммы осциллируют с медленно уменьшающейся амплитудой и увеличивающимся периодом. Такие ряды не могут суммироваться обычными средствами. В данном случае мы уже просуммировали ряды (28), пользуясь явным видом полученных решений. Однако, как было отмечено, интегрируемость ОДУ для голономных функций является, вообще говоря, редким явлением. Кроме того, явные формулы не дают рациональных приближений. Поэтому применим наш метод аппроксимации решений. Мы уже неоднократно описывали алгоритм решения таких уравнений. Уравнения (30) решаются точно так же. В результате для размерностей аппроксимации N =10 и N =20 получим для 7: 7 — u(1) « 1.1167 • 10—5,7 — u(1) 1.2006 • 10—7, 5 5 — v(1) 2.8034 • 10—8,5 — v(1) « 2.9407 • 10—13. 75 почти идентично (см. (28)), сам вид уравнений (30), а также результаты ап- 7 сложную природу в некотором «голономном» смысле. На это же указыва- 5 7 [15]). В заключение заметим, что наши методы обобщаются также на другие системы ортогональных полиномов, например, на полиномы Чебышева. Последние гораздо удобнее для численного решения голономных ОДУ, для итерационного решения нелинейных уравнений, а также для решения разностных уравнений, которые возникают при обобщенном суммировании рядов (см. [20]). Однако это является темой отдельной работы. 521.1+531.314 10.20948/prepr-2022-77 Непрерывные и дискретные модели математической физики и асимптотические методы, 0017-2019-0004 полиномы Лежандра краевые задачи доказательства иррациональности голономные функции высокоточные вычисления Legendre polynomials boundary value problems irrationality proofs holomomic functions high precision computations Pashkovskii S. Computational Application of Chebyshev Polynomials and Series (Nauka. Moscow. 1983) [in Russsian]. Бабенко К.И. Основы численного анализа. (РиХД. Ижевск. 2002). Gottlieb D., Orszag S.A. Numerical analysis of spectral methods: theory and applications. (CBMS Regional Conference Series in Applied Mathematics. 6th printing. 1996). Lanczos C. Applied Analysis. (Dover Publications. New-York. 1956). Варин В.П., Петров А.Г. Гидродинамическая модель ушной улитки // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т.49. N 9. С. 1708-1723. (2009). Wilf H.S. Mathematics for the physical sciences. (Wiley. New-York. 1962). Johnson D. Chebyshev Polynomials in the Spectral Tau Method and Applications to Eigenvalue Problems // NASA Contractor Report 198451. (1996). Ortiz E. L., Samara H. An Operational Approach to the Tau Method for the Numerical Solution of Non-Linear Differential Equations // Computing V. 27. pp. 15-25. (1981). Krylov V.I. Approximate calculation of integrals. (Macmillan. New-York, London. 1962). Варин В.П. Преобразование последовательностей в доказательствах иррациональности некоторых фундаментальных констант // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т.62. N 10. С. 1587-1614. (2022). Allen G.D, et.al. Padé approximation and Gaussian quadrature //Bull. Austral. Math. Soc. V. 11. P. 63-69. (1974). Legendre A.M. Èlements de Gèomètrie. (2em. ed).(Chez Fermin Didot Père et Fils. Paris. 1823). Rivoal T. Polynomial continued fractions for exp(π) // hal-03269677v3. (2022). (https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-03269677v3). Кузьмин Р.О. Об одном новом классе трансцендентных чисел // Известия Акад. наук СССР. VII сер. Отд. физ.-мат. наук. Выпуск 6. с. 585-597. (1930). Aptekarev A.I. On linear forms containing the Euler constant // [arXiv:0902.1768v2] (2009). (http://arxiv.org/abs/0902.1768v2). Варин В.П. Факториальное преобразование некоторых классических комбинаторных последовательностей // ЖВМ и МФ. Т.59. N 6. С. 1747-1770. (2018). Perron O. Irrazionalzahlen. (Göschens Lehrbücherei. Berlin, Leipzig. 1921). Kauers M., Paule P. The Concrete Tetrahedron. Symbolic Sums, Recurrence Equations, Generating Functions, Asymptotic Estimates. (Springer. Wien. 2011). Wasow W. Asymptotic expansions for ordinary differential equations. (Dover Publications. New-York. 1987). Варин В.П. Функциональное суммирование рядов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т.63. N 1. С. 3-17. (2023). Wimp J. Sequence transformations and their applications. (Academic Press. New-York, etc. 1981). https://keldysh.ru/papers/2022/prep2022_77.pdf