1-25 RAR 3839-4745 0000-0001-5381-4743 Аронов Павел Сергеевич Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН aronovps@mail.ru Aronov P.S. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS 3364-7032 0000-0001-5934-704X Родин Александр Сергеевич Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН rals@bk.ru Rodin A.S. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS Сравнение эффективности методов решения систем линейных уравнений в задаче моделирования контактного взаимодействия элементов твэла в термоупругой постановке Comparison of the effectiveness of methods for solving systems of linear equations in the problem of modeling the contact interaction of fuel elements in a thermoelastic formulation Рассмотрены различные алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при моделировании контактного взаимодействия термоупругих тел с изменяющейся конфигурацией контактной поверхности. Представлены реализации модифицированных итерационных методов, метода Узавы, а также алгоритмов, основанных на использовании метода Гаусса и обобщенного метода минимальных невязок (GMRES) с двумя вариантами итерационного уточнения, позволяющих учитывать выход из контакта отдельных участков контактной границы. Осуществлено сравнение эффективности представленных алгоритмов применительно к задаче, моделирующей термомеханические процессы в участке тепловыделяющего элемента, включающем в себя до 100 топливных таблеток. Various algorithms for solving systems of linear algebraic equations that arise when modeling problems of contact interaction of thermoelastic bodies with a changing configuration of the contact surface are considered. The implementations of modified iterative methods, the Uzawa method, as well as algorithms based on the use of the Gauss method and the generalized method of minimal residuals (GMRES) with two iterative refinement options allowing for the exit from contact of individual sections of the contact boundary are presented. The efficiency of the presented algorithms is compared in relation to a problem simulating thermomechanical processes in a section of a fuel element that includes up to 100 fuel pellets. 1. Введение При моделировании напряженно-деформированного состояния тепловыделяющего элемента (далее — твэл) ядерного реактора заранее неизвестно, какие участки контактных поверхностей топливных таблеток и оболочки будут участвовать в контакте. Поэтому актуальной является проблема создания эффективных алгоритмов для численного решения контактных задач с изменяющейся конфигурацией контактной поверхности. Численное решение подобных задач осуществляется с помощью различных алгоритмов, среди которых можно выделить метод декомпозиции области [1], метод штрафа [2], различные варианты метода множителей Лагранжа [3], в частности mortar-метод [4,5], основанный на построении достаточно подробной вспомогательной сетки для определения множителей Лагранжа. Данная работа является продолжением серии публикаций, посвященных моделированию контактного взаимодействия элементов твэла: в [6] представлены результаты применения предложенных алгоритмов к демонстрационной задаче, моделирующей термомеханические процессы в участке тепловыделяющего элемента, включающем в себя от 2 до 10 топливных таблеток, с учетом ползучести, а в [7] осуществлено сравнение различных методов решения систем линейных уравнений, возникающих в задаче, моделирующей термомеханические процессы в участке тепловыделяющего элемента, включающем в себя две таблетки и фрагмент оболочки. В работе приведена постановка задачи контактного взаимодействия элементов твэла и представлены алгоритмы численного решения подобных задач с учетом изменения конфигурации контактных поверхностей. Для учета контактного взаимодействия тел использован mortar-метод. Для решения возникающей в ходе дискретизации методом конечных элементов плохо обусловленной системы линейных уравнений использованы несколько алгоритмов: модифицированный метод симметричной последовательной верхней релаксации (MSSOR), модифицированный метод верхней релаксации (MSOR), модифицированный метод Якоби (MJOR), метод Узавы, а также два варианта метода Гаусса и обобщенный метод минимальных невязок (GMRES) с итерационным уточнением конфигурации контактных поверхностей. Предложенные алгоритмы применены к задаче, моделирующей некоторые процессы в тепловыделяющем элементе (твэле), который работает в режиме постоянной мощности тепловыделения. Авторы выражают глубокую благодарность Михаилу Павловичу Галанину за помощь в постановке задачи и обсуждении методов ее решения. 2. Математическая постановка задачи Рассмотрим осесимметричную задачу, моделирующую термомеханические процессы, происходящие в твэле, который имеет следующую конструкцию: ВНуТрИ цИЛИНдрИческо^ оболочки GN расположен столб из N — 1 поставленных друг на друга одинаковых цилиндрических таблеток GI, ..., GN — Ь имеющих внутреннее отверстие и фаски на обоих торцах. На рис. 1 показана область моделирования, соответствующая половине продольного сечения участка твэла. Введем следующие обозначения для поверхностей тел: Si — участок поверхности, на котором поставлено граничное условие 1-го рода для нормальной компоненты перемещения, S2 — ВНуТренняя поверхность таблеток, S3 — верхний торец верхней таблетки, S4 — внешняя поверхность таблеток, S5 - внутренняя поверхность оболочки, S6 - внешняя поверхность оболочки. s3 GW-1 S6 t—~ИТ Рис. 1. Схема области моделирования Предположим, что эффектом связанности можно пренебречь, поэтому задачу теплопроводности будем решать отдельно, а полученное температурное поле использовать при решении контактной задачи термомеханики. Рассмотрим следующую начально-краевую задачу для нелинейного урав- нения тепл0Пр0В0дН0СТИ в области G = U Ga, [8]: а=1 дТ c(T )р (kij(T)Tj),i + q(x,t), x e G, t> 0; T(x, 0)= To(x), x e G; T(x,t)= Ti(x), x e S6 t> 0; —n%kl3 (T)Tj(x, t) = 0, x e dGp\S4 t > 0; -щkij(T)Tj(x,t) = a[T(x,t) — Tf(x,t)], x e S4, x e S5, t > 0, 1 (2) (3) (4) (5) где с(Т) — удельная массовая теплоемкость среды, р — плотность среды, х — вектор пространственных координат, t — время, kij — компоненты тензора теплопроводности, Tj = ——, q(x, t) — мощность внутренних источников тепла (отлична от нуля в таблетках), То (х) — начальная темпер и тури. Ti(x,t) — температура на поверхности SQ7 Т(х, t) — температура в момент времени t, rii ...................... компоненты единичного вектора внешней нор мили к границе dG, а — коэффициент теплоотдачи на поверхностях S4 и S5, Tf (х) — температура в сходственной точке, лежащей на внутренней поверхности оболочки. Математическая формулировка статической задачи механики деформируемого твердого тела для случая, когда объемные силы отсутствуют, включает в себя [9] следующие соотношения для каждого тела с номером а (i, j = 1, 3): • уравнения равновесия ajij (u) = 0, х е Ga; (6) • кинематические граничные условия и(х) = ио(х), х е SD; (7) • силовые граничные условия (jji(u)nj = р^х), x е SN; (8) • соотношения Коши для линейного тензора полной деформации ?ij(х) = (х) + х е Ga; (9) • определяющие уравнения (закон Гука) Gij (х) = djkl (Skl (х) - ?°к1 (х)), х е Ga, (Ю) где Xi — координаты вектора x е Ga\ — компоненты тензора напряжений; Ski — ^^^^^^^^^ы тензора полной деформации; ski — компоненты тензора неупругой деформации; ui — компоненты вектора перемещения; Cijki — компоненты тензора упругих постоянных; pi — компоненты вектора поверх-rj поверхности SD И SN — объединение поверхностей, на которых заданы кинематические и силовые граничные условия соответственно. В модели учитывалось, что каждая таблетка (кроме Gi и GN-i) вступает в контакт с двумя соседними (сверху и снизу) таблетками и оболочкой (считается, что начального зазора между ними нет). На контактных поверхностях поставлены условия скольжения без трения. Рассмотрим пару потенциально контактных поверхностей, относящихся к телам с номерами а\ж а2. Для упрощения записи будем использовать индекс «1» вместо «а,\» и «2» вместо «а2». Тогда дополнительные условия на поверхности Sk для случая контакта без трения выглядят следующим образом (для поверхности S| условия записываются аналогичным образом): ^r(xi) = 0; (11) aln(xi) = а2п(x2) ^ 0; (12) wi(xi) + мП(х2) ^ ^on(xi); (13) ^n(xi) (un(xi) + иП(Х2) - 6on(xi)) = 0. (14) Здесь xi — некоторая точка, лежащая на поверхности Sk, a x2 — сход- ственная точка, т.е. находящаяся напротив (по нормали к Sk) точки xi на поверхности S|, 60n(xi) ^ 0 — функция, задающая начальный зазор (участки поверхности в начальный момент могли не соприкасаться друг с другом), иап = ua • na, = (a (ua) • na) • та,аЩ = (a (ua) • na) • na. Sk2 Sk Sk2 участка неизвестны), то при этом на контактирующие участки будут действовать сжимающие контактные силы. Для рассмотренной задачи не существует аналитического решения, поэтому необходимо использовать численные методы. Для этого перейдем от исходной дифференциальной постановки к слабой (или вариационной). Переход к слабой постановке можно осуществлять различными способами. Приведем способ, основанный на рассмотрении энергии системы из N деформируемых тел, которая выглядит следующим образом: N n = ]Ln« + пс (15) где Па = ^ J al3 dG -J UiPi dS, (16) а Пс отвечает за вклад в потенциальную энергию распределенных контактных сил, которые действуют на поверхностях контактирующих тел, его конкретный вид зависит от используемого метода, среди которых можно выделить классический и расширенный метод множителей Лагранжа, метод штрафа, комбинацию метода множителей Лагранжа и метода штрафа, методы типа Неймана — Дирихле, метод Ницше, метод барьерных функций, различные комбинации метода барьерных функций и штрафа и другие. пс глядит следующим образом: Пс = J (Лп(х)^п(х) + Лт(х)?т(х)) dS, (17) где gn = (u2 — u1) • n, gT = (u2 — u1) • т — функции зазора (в трехмерном случае нужно рассматривать касательную плоскость, и функция //, будет векторной). Если на контактных поверхностях задано условие скольжения без трения, то Лт = 0. Решение задачи (6)—(14) эквивалентно [10] минимизации функционала П = -J а1 е dG — J u1 p dS + J Xn (u2n(x) + uin(x) — (W) dS (18) G SN Sk при выполнении кинематических граничных условий (7), где An — множители Лагранжа, являющиеся проекциями векторов напряжений на направления внешних нормалей, un = urnr + uznz. 3. Решение системы линейных уравнений, полученной после дискретизации задачи Для пространственной дискретизации функционала (18) использован метод конечных элементов, в расчетах применены элементы второго порядка на четырехугольной сетке. Дискретизация интеграла по контактным поверхностям выполнена с помощью mortar-метода. Mortar-метод решения контактных задач теории упругости предполагает независимую конечно-элементную дискретизацию непересекающихся подобластей [11]. Сетки на этих подобластях являются, вообще говоря, несогласованными на линии контакта, а непрерывность решения достигается за счет использования множителей Лагранжа. Среди основных преимуществ mortar-метода можно отметить возможность независимого выбора различных типов конечных элементов и функций формы как на границах контактирующих тел, так и при интегрировании вдоль линии контакта [5]. Линию контакта со стороны тела Gm обозначим через Гто, а со стороны тела Gs — Г3 (рис. 2). Рассмотрим одномерные конечные элементы второго порядка на линиях контакта Гт и Г5. Из узлов этих элементов на линии контакта Гт проведем нормали на линию контакта Г5. Используя узлы поверхности Г5, а также новые точки, образованные при пересечении указанных нормалей и Г5, сформируем новую поверхностную сетку Гт—s, состоящую из одномерных квадратичных элементов с аналогичными функциями формы [12]. В случае если поверхности тел смещаются относительно друг друга, то необходимо определять конфигурацию контактных поверхностей в ходе итерационного процесса и перестраивать сетку на Гт—s. Введем функции формы одномерных квадратичных конечных элементов с номерами (em), (es) и (e), записанные в локальной системе координат, в которой соответствующие координаты ?, п С изменяются от -1 до 1: Nr' = 2 id — i), f wSr> =1 ч(ч — i), f 4i' =1С (С — i), NSr» = 2+ { N^> = 1„(',> + { Lg = 2 С (С + 1), (19) NS3m) = 1 — i2, { NS3s) = 1 — n2, I L« = 1 — С2. (e) лежит внутри элемента с номером (es) относящегося к и напротив элемента с номером (em) относящегося к Гт (рис. 3). Внутри него значения Лп, um и us выражаются следующим образом: Лп = [Lj(e)W(e), (20) UTO = [Nm^KJ^"0, (21) us = [Ns](es){us}(es), (22) где [L!](e), [Ns](em), [Ns](es) — матрицы функций формы соответствующих одномерных квадратичных элементов. Минимизация функционала (18), включающего в себя интеграл по контактной поверхности в случае, когда зазор ?0п равен нулю, приводит к формированию следующей системы линейных алгебраических уравнений [12]: (M о ) И = {R}, (-) где M = (Mi ... MN) 1 , (25) Mi = (Mil ... M|q) , (26) R = (Ri ... RN) , (27) ( )1 u = (ui ... uN , (28) A = diag(An,...,ANN), (24) Л = (Ai Л2 ... Aq_i AG)J , (29) где .Y количество тел, q — количество контактных пар, An — стандартные матрицы жесткости для г тела, которые имеют размерности n х ni? матрица Mi имеет размерность n х m (m — общее количество вводимых множителей Лагранжа). Mi г рица Mij, являющаяся блоком матрицы Mi и отвечающая за j-ю контактную пару поверхностей, является нулевой (Mij = 0), если i-е тело не входит в j-ю Mij = 0 Блочная система уравнений (23) соответствует задаче с седловой точкой. В матрице есть нулевой блок на диагонали, поэтому для ее решения нельзя использовать большую часть классических итерационных методов решения систем линейных уравнений (методы Якоби, Гаусса — Зейделя, SOR, сопряженных градиентов). Для решения подобных систем используют либо прямые методы (варианты метода Гаусса), либо специальные итерационные методы. Ситуация осложняется тем, что полученная матрица является плохо обусловленной, поэтому для получения приемлемой скорости сходимости нужно использовать предобуславливатели. Поскольку конфигурация контактных поверхностей в системе тел может меняться, то численный алгоритм в любом случае (даже при использовании прямых методов) является итерационным. Для учета интеграла по контактной поверхности в (17) использовано два способа. В первом из них считается, что в интеграл всегда входят все узлы сетки, лежащие на рассматриваемых потенциально контактных поверхностях. Этот подход применен для модифицированных итерационных методов и метода Узавы и позволяет учитывать изменение конфигурации контактной поверхности без дополнительного вмешательства в алгоритм. Во втором способе в конце каждой итерации необходимо корректировать список узлов, относящихся к контактным поверхностям. Этот подход применен для метода Гаусса, а также обобщенного метода минимальных невязок. В работе для численного решения задачи (6)—(14) использованы различные итерационные методы [13]: модифицированные итерационные методы, такие как модифицированный метод Якоби (MJOR), модифицированный метод последовательной верхней релаксации (MSOR), модифицированный метод симметричной последовательной верхней релаксации (MSSOR), метод Узавы, а также обобщенный метод минимальных невязок (GMRES). В модифицированный методах на каждой итерации нужно решить два (для MSSOR — три) блока уравнений: первый блок состоит из систем уравнений, соответствующих каждому из рассматриваемых тел (в качестве искомых неизвестных выступают перемещения), второй блок — из систем уравнений, соответствующих каждой паре контактных поверхностей (в качестве искомых неизвестных выступают множители Лагранжа). Отметим, что каждая локальная система уравнений решается по отдельности с помощью метода сопряженных градиентов. В перечисленных выше методах для учета интеграла по контактной поверхности применен первый способ. Также в работе использованы два итерационных процесса для двух способов учета интеграла по контактной поверхности, в которых на каждой итерации глобальная система уравнений решается с помощью метода Гаусса. 3.1. Прямые методы Рассмотрим два варианта метода Гаусса с итерационным уточнением, в каждом из которых реализован один из вариантов учета интеграла по контактной поверхности (18). 1-й вариант метода Гаусса (с обнулением множителей Лагранжа) На каждой итерации решается следующая система уравнений (ее размерность остается постоянной): R- Аи1 M1 X1 и где Au1+1 и т. -u1, AX1+1 = X1+1 — X1+) l — номер итерации. В конце итера- ции осуществляется корректировка множителей Лагранжа: компоненты X , соответствующие узлам, в которых возникают растягивающие контактные напряжения, полагаются равными нулю. 2-й вариант метода Гаусса (с коррекцией списка контактных узлов) На каждой итерации решается следующая система уравнений (ее размерность может меняться): В конце итерации происходит формирование нового блока М1+1 путем удаления из блока M1 столбцов, соответствующих компонентам X1, для которых возникают растягивающие контактные напряжения. Этот вариант является более вычислительно корректным, так как в интеграле (18) участвует только тот участок границы, для которого выполнены условия (11)—(14). 3.2. Итерационные методы Рассмотрим следующие модифицированные итерационные методы, обобщенные на случай контакта нескольких тел: 1. Модифицированный метод симметричной последовательной верхней релаксации (MSSOR) 1 ANN (UNK+2 — UNK J + ANNUNK + MNXk RN, a 27 1 N Bi (XK+1 — XK) + ? MtiT utk+2 = 0 t=1 Ж a 27 N Bq (XK+1 — + ? MtqTutk+2 = 0 t=1 -AiW uik+1 — uik+2 + Anuik+2 + MiXK+1 = Ri, T T >-NN uN k+1 uNk+4 + ANN UN 2 + MNX k+1 R N- ;Aii (uik+1 — uik) + Anuik + MiXK = Ri, 2. Модифицированный метод Якоби (MJOR) ( 1 T 1 T ANN (uNK+1 — + ANNuNK + MNXK = R N, a N Bi (XK+1 — XK) + ? MtiT utk = 0, T t=1 a T N Bq (XK+1 — + ? MtqTutk = 0. t=1 3. Модифицированный метод верхней релаксации (MSOR) (1 An (uik+1 — uik) + Aiiuik + MiXK = Ri, T a T T ANN (uNK+1 — + ANNuNK + MNXK = R N Bi (XK+1 — XK) + ? MtiTutk+1 = 0 t=1 N, '34; N Bq (XK+1 — + ? MtqTutk+1 = 0. t=1 Отметим, что MSOR отличается от MJOR лишь тем, что для вычисления Xj используются значения перемещений utk+1 с текущей итерации, а не с предыдущей. В модифицированных методах /.• номер итерации, мт - итерационные параметры, Bi — матрицы-предобуславливатели. Во всех этих методах перед первой итерацией необходимо задать начальное (как правило, нулевое) значение вектору множителей Лагранжа А и затем вычислить векторы перемещений ui из первых N уравнений системы (32) (или (33), или (34)). При этом MJOR и MSOR являются одноэтапными, a MSSOR — двухэтапным. Для случая двух тел с одной парой контактирующих поверхностей в качестве предо-буславливателя используется матрица B = MiT diag {A—ii}Mi. Для случая N тел и q пар контактирующих поверхностей предобуславливатель является блочно-диагональной матрицей, блоки выбираются следующим образом: N Bi =? M/diag{Ajji}Mji. j=1 4. Метод Узавы Решение системы (23) можно осуществлять и с помощью варианта метода Узавы [15], в котором на каждой итерации неизвестные значения вычисляются следующим образом: uik+1 = Ai—1 (Ri — MiXK) , (35) XK+1 = XK + wB—1MT uk+1, (36) где B — матрица-предобуславливатель, UU — итерационный параметр. Для случая двух тел в качестве предобуславливателя используется матрица B = MiTdiag{Au—1}Mi. Данный вариант метода Узавы совпадает с MSOR при следующем выборе итерационных параметров: т = 1, a = —. Некоторые условия сходимости получены в [14]. 5. Обобщенный метод минимальных невязок (GMRES) Обобщённый метод минимальных невязок — итерационный метод чис- ленного решения системы линейных алгебраических уравнений с невырож- денной матрицей. Метод основан на минимизации квадратичного функци- онала невязки на подпространствах Крылова [15]. Метод GMRES прибли- жает точное решение системы Ax = b вектором Xk, который минимизи- рует евклидову норму невязки rk = Ax — b на подпространстве Крылова Kk = Kk(A, b) = span {b, Ab, A2b,..., Ak—1b}. На каждой итерации метода решение уточняется поправкой, представлен- Kk Xk = xo + Zk, где xo — некоторое начальное приближение, Zk Е Kk — поправка решения. Модифицированные методы и метод Узавы работают только тогда, ко-A этом может возникнуть ситуация, когда отдельно рассматриваемое 2-е тело не имеет закрепления в направлении одной из осей, поэтому задача для Aii Для исправления этой ситуации предположим, что систему тел можно пронумеровать таким образом, чтобы сначала решить уравнения для тел, которые имеют нужное количество закреплений (для них матрицы не вырождены), а потом последовательно решать задачи для тел, которые контактируют с предыдущими телами, для которых перемещения на текущей итерации уже получены. Используя эти перемещения, можно поставить дополнительные условия 1-го рода на контактных границах данных тел, в результате соответствующие матрицы становятся невырожденными, для них при необходимости можно провести процедуру, приводящую их к симметричному виду. Закрепление можно осуществлять либо в одном узле, либо в одном элементе (второй вариант дает меньшее количество итераций, для него далее приведены графики), либо в ряде элементов. Пусть тело с номером i2 контактирует с телом с номером i1 (i2 > 2^), для i1 на текущей итерации k + 1 (для MSSOR — также и k + 1/2 значен не uix k+1 (для MSSOR — также и uix k+1/2) уже известно. Тогда для выбранного подмножества узловp1,... ,ps, относящихся к рассматриваемой контактной поверхности тела i2, считается, что нормальные перемещения совпадают с нормальными перемещениями в сходственных точках, расположенных на контактной поверхности тела 21, т.е. Uk+1nr + Uk+1nz = Un+1. (37) Если для тела i2 не хватает закрепления относительно оси z, то считаем, что (при nz = 0) Uk+1 = ~~~ (Un+1 — Uk,p1n0 . (38) Таким образом, строка в матрице Ai2i2, соответствующая данному перемещению, становится строкой единичной матрицы. Соответствующий столбец Ai2i2 переноса всех слагаемых, относящихся к в правую часть (поскольку Ai2i2 A 3.3. Оценка значений оптимальных итерационных параметров для MJOR Рассмотрим систему уравнений (23) с симметричной и положительно опре-A имеют место следующие теоремы [13]: Теорема 1. При любом a > 0 и произвольном начальном приближении необходимым и достаточным условием сходимости метода (33) является выполнение неравенства 0 <т< min(2,T) , (39) где Г — максимальное собственное значение матрицы B—1/2MTA—1MB—1/2. Теорема 2. Асимптотически оптимальные параметры для метода (33) выбираются следующим образом: 4 4Г Т0 =2+1, ao =2 —С, (40) где С = Г' Y — минимальное собственное значение матрицы B—1/2MT A—1MB—1/2. Теорема 3. При условии выбора начального приближения z0 = {u0, X0} из условия Au0 + MX0 = R (41) асимптотически оптимальные параметры то, ao определяются по формулам то = 2, ao = 2(7 + Г), (42) Для оценки сходимости модифицированного метода Якоби (MJOR) и поиска оптимальных итерационных параметров рассмотрим тестовую задачу о контакте поставленных друг на друга двух квадратных брусков со стороной / = 0,1 м, к верхнему из которых приложена постоянная нагрузка Ру = 10 МПа. В каждом из тел введем конечно-элементную сетку, состоящую из одного элемента, вычислим значения 7 и Г и оценим значения оптимальных параметров т0 и а0 из соотношений (39) и (42). В качестве предобуслав-ливателя выберем матрицу B = MT diag (A-1}M. Для данной задачи с помощью системы компьютерной алгебры Wolfram Mathematica вычислим минимальные и максимальные собственные значения матрицы B-1/2MTA-1MB-1/2: 7 « 0,000166 Г « 0,0222. Тогда согласно теореме 1 (39) сходимость метода имеет место при 0 < т < min ^2,^, а асимптотически оптимальными параметрами при условии выбора начального то = 2 ао = 0,0447. Проведем серию расчетов с различными значениями мти сравним количество итераций, требуемых для достижения заданной погрешности ? = 10-5, вычисляемой следующим образом: ^ ?. (Ur4 - ип)2 - - uZi)2 г :4з; \ где //,... uZi — значения радиальных и осевых перемещений на новой итерации, Si — сумма площадей конечных элементов, в которые входит рассматриваемый узел, разделенная на количество узлов в конечном элементе. ао а Так как — « 2.0149 то из условия 0 < т < min ^2, rJ следует, что 0<т<2 В Таблице 1 приведено количество итераций, требуемых для достижения погрешности ? = 10-5 для различных значений а при т = 1,99. Наименьшее ао а В Таблице 2 приведено количество итераций, требуемых для достижения погрешности ? = 10 5 для различных значений т при оптимальном а = а0. то = 1 , 99 наименьшим, при использовании других значений г оно увеличивается. При г ^ 2 сходимость итерационного процесса не достигается. 4. Результаты численного моделирования Будем рассматривать несогласованные сетки: для базовой сетки таблетки разбиты на 10 элементов в направлении r и на 10 элементов в направлении z, а оболочка — на 5 элементов в направлении r, в направлении z каждый участок оболочки, соответствующий высоте одной таблетки, разбит на 10 элементов. Более мелкие сетки формируются путем последовательного уменьшения шагов в два раза. В дальнейшем будем обозначать базовую сетку как «сетка 1», сетку, соответствующую разбиению 20x20 элементов в каждой таблетке, — «сетка 2», сетку, соответствующую разбиению 40x40 элементов в каждой таблетке, — «сетка 3». В таблице 3 приведено приблизительное количество переменных для трех сеток. Для реализации метода Гаусса и GMRES использованы процедуры для разреженных матриц из библиотеки Eigen (https://eigen.tuxfamily.org), в методе GMRES использован диагональный предобуславливатель. Поскольку количество топливных таблеток в твэле, как правило, составляет несколько сотен, отдельно остановимся на расчете со 100 таблетками. Для MSSOR сходимость достигается за 762 итерации, для MSOR — за 863 итерации, для MJOR — за 859 итераций, для метода Узавы — за 1960 итераций, для варианта метода Гаусса с коррекцией списка контактных узлов, а также GMRES — за 903 итерации (относительная погрешность Ъе = 10"5). Итерационные параметры заданы следующим образом: для MSSOR, MSOR, MJOR г = 0, 2, а = 1,3. для метода У завы ш = 4 • 10"7. Итоговое отношение невязок для MSSOR - 8, 7246 • 10"4, для MSOR -8,3921 • 10"4, для МJOR - 7,8147 • 10-4 для метода Узавы — 9,1275 • 10 '. для метода GMRES — 7,6125 • 10 '. Стоит отметить, что при использовании в качестве предобуславливателя единичной матрицы сходимость методов MSSOR, MSOR, MJOR и метода Узавы отсутствует при любом использованном выборе итерационных параметров. Для метода Гаусса без использования итерационной процедуры полученное решение системы линейных уравнений может не удовлетворять граничным условиям на контактных поверхностях (невязка решения будет большой), что связано с плохой обусловленностью системы уравнений. Основным преимуществом методов MJOR, MSOR и MSSOR по сравнению с итерационными процессами, организованными на основе метода Гаусса, является то, что количество итераций сопоставимо, но при этом решается несколько систем линейных уравнений размерности щ (для перемещений в i-м теле) и mj (для множителей Лагранжа в j-й контактной паре) методом со- 3 /2 3/2 пряженных градиентов с характерным числом операций O(n* + m* ), а при использовании метода Гаусса на каждой итерации решается полная система уравнений размерности п = Е П + Е mij с характерным числом операций * j O(n3) для случая заполненной матрицы [16]. В Таблице 4 приведено количество итераций (на один шаг по времени), требуемых для достижения погрешности е = 5 • 10-5 для различных методов и для разного количества таблеток (от 2 до 100). Из приведенных данных видно, что количество итераций для трех модифицированных итерационных методов сопоставимо. Количество итераций в методе Узавы существенно превышает показатели остальных методов, а наименьшие значения достигаются при использовании метода Гаусса и GMRES, в которых после каждой итерации происходит изменение конфигурации контактной поверхности. В Таблице 5 приведено общее время расчета для различных методов и для разного количества таблеток. Результаты демонстрируют, что для небольшого количества таблеток наименьшее время достигается при использовании метода Гаусса и GMRES, для большого — при использовании модифицированных итерационных методов, наименьшее время — у MJOR. Например, для 50 таблеток (62500 переменных) различие с GMRES — 25 раз, с методом Гаусса — 262 раза. Стоит также отметить, что данные в Таблицах 4 и 5 получены с использованием различных для каждого метода итерационных параметров, обеспечивавших минимальное количество итераций. В дальнейшем в расчетах использовался MJOR. Погрешность полученного итерационного решения оценивалась двумя способами: сравнением перемещений на двух соседних итерациях по формуле llf II (43) и отношением текущей невязки решения к начальной невязке -.—гт. При II го II этом относительная погрешность вычислялась по формуле (43). В Таблице 6 приведено количество итераций (на один шаг по времени), требуемых для достижения заданной погрешности е = 10 а в Таблице 7 — общее время расчета для различного количества таблеток и разного набора сеток (например, 20x20 означает, что каждая таблетка разбита на 20 конечных элементов в направлениях r и z). Из приведенных данных видно, что, например, для 25 таблеток количество итераций для сетки 40x40 элементов увеличивается в 2,3 раза, а время расчета — в 123 раза по сравнению с расчетом с сеткой 10x10 элементов. На рис. 4и 5Ь показаны графики зависимостей относительной погрешности от числа итераций для MSSOR при разных значениях итерационных параметров для случая 10 таблеток. При оптимальном (из рассмотренных вариантов) выборе параметров для MSSOR сходимость достигается за 121 итерацию, для MSOR за 140 итераций, для MJOR за 133 итерации, а для метода Узавы за 568 итераций (относительная погрешность е = 10"5). Итерационные параметры заданы следующим образом: для MSSOR, MSOR, MJOR т = 0, 2, для MSSOR а =1, 75, для MSOR и МJOR а =1, 3, для метода Узавы uj = 4-10-7. Итоговое отношение невязок для MSSOR —5, 3654-10-4, для MSOR 7, 9203 • 10"4, для MJOR 6, 4582 • 10"6, для метода Узавы 8, 2537 • 10"4, для метода Гауеса 5, 7489 • 10-5 (рис. 6а-6Ь). На рис. 7а-7Ь показаны графики зависимостей отношения невязок от числа итераций для различных значений относительной погрешности решения систем линейных уравнений методом сопряженных градиентов при использовании MJOR для случаев 25 и 100 топливных таблеток. При этом относительная погрешность оценивалась с помощью вычисления отношения невязок Т{ для г-й локальной системы в методе сопряженных градиентов. Из приведенных графиков видно, что в случае 25 таблеток для погрешности 10-6 достигается отношение невязок 2, 25 • 10-7, для погрешности 10-8 6, 4 • 10"8, для Рис. 6. (a) — Зависимости относительной погрешности от числа итераций для различных методов, (Ь) — зависимости отношения невязок от числа итераций для различных методов погрешности 10-10 — 4 • 10-9, а в случае 100 таблеток для по грешности 10 достигается отношение невязок 4 • 10-6, для погреши ости 10-8 — 6, 5 • 10-для погрешности 10-10 — 1, 6 • 10-7. На рис. 8а представлены графики осевого перемещения на внешней поверхности таблеток для случая 100 таблеток (одна точка соответствует одной таблетке). Как видно из рисунка, происходит существенное смещение столба топливных таблеток относительно начального положения (до 1,3 см, что сопоставимо с высотой таблетки). На рис. 8Ь-8с представлены графики зависимостей средних значений радиальных, осевых и окружных напряжений на внешней поверхности топливных таблеток. Стоит отметить, что при вычислении средних значений не учитывались напряжения в крайних для каждой таблетки элементах, поскольку в них значения напряжений существенно больше, чем в остальных элементах (там расположены концентраторы напряжений). Далее приведем фрагменты двумерных распределений температуры, перемещений и напряжений на участке столба таблеток. На рис. 9а показаны двумерные распределения температуры, на рис. 9Ь — двумерные распределения радиальных перемещений, а на рис. 9с — двумерные распределения радиальных напряжений для таблеток. На рис. 10а-10с приведены двумер аг, МПа -66 -68 (b) 1120 1100 1040 1020 Рис. 8. (а) — Зависимости средних значений осевого перемещения на внешней поверхности таблеток, MJOR, (b) — зависимости средних значений радиальных напряжений на внешней поверхности таблеток, (с) — зависимости средних значений осевых и окружных напряжений на внешней поверхности таблеток ные распределения осевых, окружных и касательных напряжений для таблеток. На рис. 11а приведены двумерные распределения радиальных перемещений, на рис. lib — двумерные распределения радиальных напряжений, на рис. 11с — двумерные распределения осевых напряжений для оболочки. Показаны фрагменты распределений, соответствующие участку с 55-й по 59-ю таблетки, причем при построении деформированных тел приложенные перемещения для большей наглядности увеличены в 10 раз для таблеток и в 50 раз для оболочки. 0.59 0.58 0.57 0.56 0.55 0.54 т, К ? 1463 1386 1309 1232 1155 1078 1001 924 847 770 0.59 0.58 0.57 0.56 0.55 0.54 ог, МПа 440 330 220 110 -110 -220 -330 -440 -550 (а) (Ь) Рис. 9. Двумерные распределения в узлах элементов таблеток: (а) радиальные перемещения; (с) — радиальные напряжения температура; (Ь) 0.59 0.59 0.59 0.58 0.57 0.56 ст7, МПа 1440 1080 720 360 0 -360 -720 -1080 -1440 -1800 0.58 0.57 0.56 ад, МПа 1020 680 340 О -340 -680 -1020 -1360 -1700 -2040 0.58 0.57 0.56 оГ7, МПа 236 177 118 59 О -59 -118 I -177 -236 -295 0.55 0.55 0.55 0.54 0.54 0.54 (а) (Ь) (с Рис. 10. Двумерные распределения в узлах элементов таблеток: (а) (Ь) — окружные напряжения; (с) — касательные напряжения осевые напряжения; 0.59 0.59 0.59 0.58 0.57 0.56 I 4.81 x10_J -4.72x10"5 4.63x10-5 — 4.54x10-5 I 4.45x10-5 -4.36x10-5 4.27x10-5 0.58 0.57 0.56 Or, МПа 0.58 0.57 0.56 а7, МПа 0.55 0.55 0.55 0.54 0.54 0.54 Рис. 11. Двумерные распределения в узлах элементов оболочки: (а) мещения; (Ь) — радиальные напряжения; (с) — осевые напряжения радиальные пере- 5. Заключение Представлена постановка статической задачи мультиконтактного взаимодействия системы осесимметричных термоупругих тел в условиях термомеханического нагружения. Изложен численный алгоритм решения подобных задач, основанный на методе конечных элементов. Представлены результаты применения итогового алгоритма для решения демонстрационной задачи, моделирующей некоторые процессы в участке твэла, включающем до 100 таблеток, для режима с постоянной мощностью тепловыделения. Осуществлено сравнение различных численных методов решения, возникающих при дискретизации задачи плохо обусловленных систем линейных уравнений: модифицированных итерационных методов, метода Узавы, а также двух вариантов метода Гаусса и обобщенного метода минимальных невязок (GMRES) с итерационным уточнением, позволяющих учитывать выход из контакта отдельных участков контактной границы. Показано, что для небольшого количества таблеток наименьшее количество итераций и время расчета достигаются для метода Гаусса и GMRES, однако, в случае если число топливных таблеток исчисляется десятками штук, наиболее эффективными оказываются модифицированные итерационные методы, при этом минимальное время расчета демонстрирует модифицированный метод Якоби. 519.6 10.20948/prepr-2022-55 контактная задача теории упругости метод конечных элементов mortar-метод модифицированный метод верхней релаксации метод Узавы тепловыделяющий элемент contact problem of the elasticity theory finite element method mortar-method modified method of over relaxation Uzawa method fuel element Станкевич И.В., Яковлев М.Е., Си Ту Хтет. Разработка алгоритма контактного взаимодействия на основе альтернирующего метода Шварца // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2011. Спец. вып. Прикладная математика. С. 134–141. Babuska I. The finite element method with penalty // Mathematics of Computation. 1973. Vol. 27. P. 221–228. Le Tallec P., Sassi T. Domain decomposition with nonmatching grids: augmented Lagrangian approach // Mathematics of Computation. 1995. Vol. 64. P. 1367–1396. Wriggers P. Computational Contact Mechanics. Berlin-Heidelberg: Speinger-Verlag. 2006. 520 p. Lamichhane B.P. Higher Order Mortar Finite Elements with Dual Largange Multiplier Spaces and Applications. Stuttgart: Universitat Stuttgart. 2006. 190 p. Аронов П.С., Галанин М.П., Родин А.С. Математическое моделирование контактного взаимодействия элементов твэла с учетом ползучести на основе mortar-метода. // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2020. № 110. 24 с. https://doi.org/10.20948/prepr-2020-110 https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2020-110 Аронов П.С., Галанин М.П., Родин А.С. Сравнение методов решения систем линейных уравнений, возникающих в задачах с изменяющейся конфигурацией контактной поверхности // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2021. № 39. 28 с. https://doi.org/10.20948/prepr-2021-39 https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2021-39 Котович А.В., Станкевич И.В. Решение задач теплопроводности методом конечных элементов. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана. 2010. 84 с. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 512 с. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1978. 222 с. Wohlmuth B.I. A mortar finite element method using dual spaces for the Lagrange multiplier // SIAM Journal on Numerical analysis. 2000. Vol. 38. (No. 3). P.989–1012. Станкевич И.В., Аронов П.С. Математическое моделирование контактного взаимодействия двух упругих тел с помощью mortar-метода // Математика и математическое моделирование. 2018. № 3. С. 26–44. Быченков Ю.В., Чижонков Е.В. Итерационные методы решения седловых задач. М.: БИНОМ, 2010. 349 с. Темам Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с. Саад Ю. Итерационные методы для разреженных линейных систем. В 2 т. Т. 1: пер. с англ. М.: Изд-во МГУ, 2013. 326 с. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. М.: Мир, 2001. 435 с. https://keldysh.ru/papers/2022/prep2022_55.pdf