1-15 RAR 5177-7791 0000-0003-4613-6301 Вичев Илья Юрьевич Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН vichevilya@keldysh.ru Персональная веб-страница: http://keldysh.ru/persons/vichevilya.html Vichev I.Y. Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS Моделирование сильно фотоионизованной плазмы кремния Simulation of strongly photoionized silicon plasma В работе продемонстрирован процесс моделирования сильно фотоионизованной плазмы кремния при параметрах, близких к астрофизическим. Вычисления проводились в рамках модели столкновительно-излучательного равновесия. Выполнена верификация полученных результатов при помощи сравнения с результатами других участников международного семинара по сравнению кодов. Проведён сравнительный анализ результатов с экспериментально измеренным спектром прохождения мягкого рентгеновского излучения через слой фотоионизованной плазмы кремния. The work demonstrates the process of simulation a strongly photoionized silicon plasma with parameters close to astrophysical. The calculations were carried out within the model of collisional-radiative equilibrium. The obtained results were verified by comparison with the results of other participants of the codes comparison workshop. A comparative analysis of the results with the experimentally measured spectrum of soft X-ray transmission through a layer of photoionized silicon plasma is carried out. Введение При разработке любых физико-математических моделей всегда встаёт вопрос об их верификации. Предпочтительным вариантом является сравнение результатов расчётов с экспериментально измеренными данными. Для проверки радиационных моделей и расчёта переноса излучения на их основе требуется создать в лабораторных условиях на достаточно протяжённое время однородную по пространству фотоионизованную плазму большого размера и измерить её характеристики (поглощение и излучение). При этом эксперимент должен иметь хорошую повторяемость, а характеристики плазмы должны быть измерены с достаточным спектральным разрешением. Описанные выше условия близки к астрофизической плазме [1, 2]. Сравнительно недавно их удалось воспроизвести в лабораторных условиях, а также измерить спектры поглощения и излучения с высокой точностью [3]. Основная загадка этого эксперимента заключается в том, что с помощью двух моделей была предсказана более высокая ионизация плазмы при измеренных условиях, чем это следует из спектра поглощения. Исходя из этого, на 10-м семинарепосравнениюнеравновесныхкодов(далее NLTE10)былосформулировано несколько тестовых задач по моделированию фотоионизованной плазмы кремния при условиях, близких к экспериментальным [4]. В данной работе продемонстрированы результаты моделирования спектра прохождения мягкого рентгеновского излучения через слой фотоионизованной плазмы кремния в рамках модели столкновительно-излучательного равновесия. Выполнен сравнительный анализ полученных результатов с результатами участников семинара NLTE10. В качестве дополнительной верификации представлены результаты согласованного решения уравнения переноса излучения и системы кинетических уравнений, где неоднородность поля излучения по толщине слоя учитывается более правильным образом. Постановка задачи Одной из целей 10-го семинара по неравновесной плазме [4] было решение задачи по моделированию фотоионизованной плазмы кремния в условиях, близких к астрофизическим. В такой плазме из-за наличия интенсивного внешнего поля излучения радиационные процессы преобладают над столкновительными, что ведёт к росту населённости автоионизационных состояний и существенно усиливает роль Оже-переходов. В рамках семинара для проведения численного эксперимента было предложено провестирасчётыоднородногослоякремниевойплазмы,используяразнуютолщину .. (0,1; 0,3; 1,2 см), температуру .... = 30 эВ и два значения плотности электронов .... (1019;3.1019 см.3). В качестве внешнего источника излучения предлагалось использовать спектр черного тела с температурой излучения ........ = 63 эВ и 4 коэффициентом ослабления .. =1: 15.. ..3 ....(.., ........)= .. , (1) ..5 exp(../........) . 1 или более сложную комбинацию: .... = ....(0,28; 48) + ....(0,081; 92) + ....(0,0067; 170), (2) где .. – энергия фотона в эВ, .. =1,028.10.7 ТВт/(см2.эВ4) – постоянная Стефана­Больцмана. Выбор этих случаев для моделирования был обусловлен имеющимися экспериментальными данными по измерению спектров поглощения и излучения фотоионизованной плазмы кремния [3]. Экспериментально измеренный падающий на образец спектральный поток энергии излучения был аппроксимирован комбинацией (2) из трех планковских функций: .... = ...... (см. рис. 1). Поле излучения вида (1) с температурой излучения ........ = 63 эВ; .. =1 и комбинированное поле (2) имеют одинаковый суммарный поток энергии, причем у комбинированного поля значительно больше фотонов с большей энергией. комбинация (2) (1) .... , ГВт/(см2 .эВ) Энергия фотонов .., кэВ Рис. 1. Измеренная спектральная освещенность (черная кривая), её аппроксимация комбинацией трёх планковских функций (красная кривая). Синей кривой обозначен поток энергии излучения чёрного тела с температурой излучения ........ = 63 эВ В результате рассмотрения представленных данных по моделированию, а также их сопоставления с экспериментальными измерениями в предложенный список расчётных случаев был добавлен случай с внешним источником излучения (1) и коэффициентом ослабления .. =0,1. Далее для заданного списка случаев требовалось рассчитать: спектральный коэффициент поглощения и поток энергии излучения от плоского слоя, распределение вероятности в зависимости от кратности ионизации, а также средний заряд иона. 5 Используемая модель Представленные в работе результаты расчётов в основном были получены с помощью программы THERMOS_CRE [5], в которой реализована модель столкновительно-излучательного равновесия для описания плазмы с произвольным полем излучения [6]. Дополнительно в программу была добавлена возможность расчёта коэффициента поглощения и излучательной способности, согласованных с собственным полем излучения однородного плоского слоя. Рассмотрим однородный плоский слой толщины ... Запишем уравнение переноса излучения в плоской геометрии: ...... .. = .... . ........, (3) .... где .. = cos .. – косинус угла .. между направлением распространения излучения . .и осью 0.. (см. рис. 2). Излучательная способность .... . ....(......) и коэффициент поглощения .... . ....(......) при заданных температуре .... и плотности электронов ...., а также поля излучения .... определяются вероятностью ...... конфигурации ...... иона кратности .. и состоянии ... Значения ...... находятся из решения стационарной кинетической системы .. (.... ' .. '.... ' .. '>.... . ............>.. ' .. ')=0, (4) .. ' .. ' где ......>.. ' .. '(....) – вероятность перехода иона из состояния .... в состояние .. ' .. ' за счёт скоростей столкновительных и радиационных процессов. Рис. 2. Схематическая постановка задачи для плоского слоя Для расчёта радиационных свойств плазмы требуется решить уравнение переноса (3) совместно с кинетической системой (4). Исходя из постановки задачи, 6 граничное условие для уравнения (3) должно включать падающий поток внешнего излучения: ....(.. =0,.. > 0) = ...., (5) ....(.. = ..,.. < 0) =0, где .... определяется по формулам (1,2). Решение уравнения переноса излучения (3) с граничными условиями (5) для однородного плоского слоя может быть записано в виде: [.(.).]. (.). .... .. .. ....(.. = ..,.. > 0)= 1 . exp . + .... exp . , .... .... где .. = ...... – оптическая толщина слоя. Тогда спектральная плотность энергии излучения в центре однородного слоя определяется следующим образом: [.].[.]. .. 4.. .... 1 . ...../2 .. 2.. ...../2 . .... =+ ..1(../2)+ .... ..1(../2), .. .... 2 .. 2 ... ..... где .. – скорость света в вакууме, ..1(..)= .... – интегральная экспонента. .. .. Поиск согласованного решения уравнения переноса (3) и кинетической системы (4) для определения интенсивности энергии излучения .... и вероятности конфигураций ...... проводится с помощью последовательных итераций. Во время сравнения вычисленных спектров прохождения мягкого рентгеновского излучения через слой фотоионизованной кремниевой плазмы с экспериментально измеренным спектром также использовались результаты расчётов, проведённых с помощью программы THERMOS_Layer [7], где в одномерной геометрии реализован поиск согласованного решения уравнения переноса излучения совместно с системой кинетических уравнений [8]. Спектральный коэффициент прохождения определяется из следующего соотношения: .. .. .... = ....... , (6) ..=1 где .. – количество подслоёв (в случае однородного плоского слоя без разбиения на подслои – .. =1). Анализ эксперимента Из представленного в работе [3] описания экспериментальных данных и проведённого численного исследования можно оценить характерные диапазоны параметров плазмы для их более детального анализа. Согласно проведённым измерениям линейная плотность кремния составила 3,1 . 1017 ± 5% см.2, что в 7 предположении равномерного расширения слоя до 3,5 мм соответствует значению ионной плотности 8,5 ± 1 . 1017 см.3. Оценка температуры проводилась по соотношению спектральных линий поглощения основного 1..22.. и возбужденного 1..22.. состояний Li-подобного иона Si11+ и составила .... = 33 ± 7 эВ. Измеренный спектр поглощения соответствовал распределению зарядового состава с пиком около Be-подобного иона Si10+, в то время как в измеренном спектре излучения преобладал Li-подобный ион Si11+. Стоит отметить, что при этих параметрах используемые для анализа в работе [3] модели показали преобладание He-подобного иона Si12+. Чтобы достигнуть наилучшего согласия с измеренным спектром, потребовалась снизить температуру, а для усиления влияния процессов столкновительной рекомбинации – немного повысить электронную плотность. Проведём предварительный анализ определённых организаторами параметров плазмы кремния. Первым шагом проведём расчёт изотерм среднего заряда иона для плазмы кремния по программе THERMOS_CRE при температуре электронов .... = 30 эВ, температурах излучения ........ =0 и 63 эВ и заданных коэффициентах ослабления .. =0,1 и 1, но без учёта размера плазмы. Полученные результаты представлены на рис. 3 (а). 11 10 ........ =0 9 .. =0,1; ........ = 63 эВ 8 .. = 1; ........ = 63 эВ 7 6 11 10 0,1 см 9 0,3 см 8 1,2 см 7 комбинации (2); 0,3 см 6 Плотность электронов, см.3 Рис. 3. Изотермы среднего заряда иона при температуре электронов .... = 30 эВ в случае фотоионизованной и прозрачной плазмы кремния: (a) – без учёта размера плазмы, (б) – при параметрах .. =0,1; ........ = 63 эВ и комбинации планковских функций (2) с учётом размера плазмы Средний заряд иона Прямоугольником серого цвета обозначена область характерных параметров 8 Вероятность плазмы кремния, определённая в результате анализа экспериментальных данных, а розовым – на основе проведённых в работе [3] исследований. Из рис. 3 (а) видно, что зелёная кривая, соответствующая расчёту с полем излучения (1) и коэффициентом ослабления .. =0,1, проходит через область характерных параметров. В качестве второго шага рассмотрим, как учёт собственного поля излучения слоя влияет на поведение среднего заряда иона в зависимости от плотности. На рис. 3 (б) приведены изотермы среднего заряда иона в фотоионизованной плазме кремния (........ = 63 эВ и .. =0,1) при разных толщинах плоского слоя (.. =0,1; 0,3 и 1,2 см). Все рассчитанные кривые проходят через серую область характерных параметров. Также на рисунок (б) нанесена зависимость, соответствующая расчёту с комбинированным полем излучения (2) и толщиной слоя 0,3 см. Данная кривая лежит на границе области розового цвета и соответствует более высоким значениям среднего заряда, что не позволит достичь хорошего согласия с экспериментальным спектром прохождения. Далее проведём сравнение результатов расчётов распределения вероятности .. .... = ...... в зависимости от кратности ионизации в слое плазмы кремния .. толщиной 0,3 см с внешним источником излучения трех видов: (1) с .. =0,1; 1 и комбинированного (2) – для двух фиксированных плотностей электронов .... = 1019 см.3 и 3 . 1019 см.3 с результатами других участников семинара [4]. 1 1019 см.3 K=1; ........ = 63 эВ комбинация (2) 3 . 1019 см.3 0.8 ATOMIC K=0,1; ........ = 63 эВ 0.6 (а) (б) (в) 0.4 0.2 0 7 8 9 10111213 7 8 9 10111213 7 8 9 10111213 Кратность ионизации Рис. 4. Распределение вероятности .... в зависимости от кратности ионизации для слоя кремниевой плазмы толщиной .. =0,3 см с температурой 30 эВ, двух плотностей 1019 см.3 и 3 . 1019 см.3, а также трёх видов внешнего поля излучения в сравнении с результатами участников семинара. Красными штрихами обозначено распределение, полученное по коду ATOMIC при температуре .... = 25 эВ и плотности электронов .... =1,7 . 1019 см.3 На рис. 4 результаты расчётов по программе THERMOS_CRE, полученные при 9 плотности электронов 1019 см.3 и 3.1019 см.3, нанесены кривыми синего и чёрного цвета соответственно. Результаты участников семинара приведены в обезличенной форме (см. кривые голубого и серого цветов). Для всех трёх видов поля излучения более высокая плотность электронов приводит кболее низким зарядовым состояниям. Из рисунка видно хорошее согласие результатов расчёта по программе THERMOS_CRE с результатами других участников семинара. Наилучшее согласие рассчитанных коэффициентов поглощения и излучательной способности с экспериментальными данными [3] было получено по коду ATOMIC при температуре .... = 25 эВ и плотности электронов .... =1,7 . 1019 см.3. Соответствующее распределение вероятности в зависимости от кратности ионизации приведено на рис. 4 штриховой кривой красного цвета. Несмотрянаточтобольшинствомоделейпредсказываютсхожеераспределение вероятности в зависимости от кратности ионизации, существует значительный разброс в деталях распределения. Модели показывают увеличение ионизации примерно на 2 зарядовых состояния при переходе от поля излучения (1) с коэффициентом ослабления .. =0,1 к полю с .. =1 или комбинированному внешнему полю (2). При условиях, наиболее близких к экспериментально полученным параметрам (.... = 33 эВ, .... =8,5 . 1018 см.3), ни одна из моделей не имеет распределения зарядового состояния (см. рис. 4 (б) и (в)), которое привело бы к возникновению в спектрах поглощения доминирующего Be-подобного иона Si10+. Увеличение плотности примерно в 3,5 раза по сравнению с экспериментальным значением не привело к получению распределения вероятности по зарядовым состояниям, которое близко к соответствующему экспериментальному спектру поглощения. Стоит отметить, что результаты большинства кодов для электронной плотности .... = 1019 см.3 с полем излучения (1) и коэффициентом ослабления .. =0,1 примерно соответствуют измеренному распределению по зарядовым состояниям (см. рис. 4 (а)). На основе проведённого сравнительного анализа и сопоставления с экспериментальными условиями можно сделать вывод, что при следующих параметрах плазмы кремния (.... = 30 эВ; .... = 1019 см.3; .. =0,1; ........ = 63 эВ; .. =0,35 см) стоит ожидать удовлетворительного согласия расчётного спектра прохождения с экспериментально измеренным. Анализ спектра прохождения Проведём расчёт спектра прохождения по формуле (6) для приведённых выше параметров однородного плоского слоя плазмы кремния (количество подслоёв .. =1). Полученный спектр прохождения мягкого рентгеновского излучения через слой фотоионизованной плазмы кремния толщины 0,35 см приведён на рис. 5 (а) (зелёная кривая) в сравнении с экспериментально измеренным (чёрная кривая). Как и ожидалось, при параметрах плазмы (.... = 30 эВ; .... = 1019 см.3; .. =0,1; ........ = 63 эВ; .. =0,35 см) расчётный спектр прохождения хорошо 10 Коэффициент прохождения согласуется с экспериментальным. Отличие спектров в интеграле не превышает 1%. На рис. 5 (б) представлен вклад ионов различной кратности в спектр, полученный для однородного слоя (.. =1). 1 0.8 0.6 0.4 0.2 THERMOS_CRE .. =1 THERMOS_Layer .. = 22 1 0.8 0.6 Si12+ 0.4 Si8+ Si10+ 0.2 Si11+ Si9+ Длина волны, A.Рис. 5. Спектр прохождения мягкого рентгеновского излучения через слой кремниевой плазмы толщиной .. =0,35 см при температуре электронов 30 эВ, электронной плотности 1019 см.3 и поля излучения (1) с коэффициентом ослабления 0,1 и температурой излучения 63 эВ в сравнении с экспериментальными данными из работы [3]. В многослойном варианте расчёта задавалась ионная плотность .... =8,5 . 1017 см.3 В дополнение к представленным результатам были проведены расчёты по программе THERMOS_Layer, где в одномерной геометрии реализовано согласованное решение уравнения переноса излучения с системой кинетических уравнений [8]. Отличие используемой модели заключается в том, что слой плазмы толщины .. разбивается на .. подслоёв (.....1 <.. <....; .. =1,..; ..0 = 0; .... = ..). Вместо электронной плотности при вычислениях задаётся ионная плотность для сохранения общего количества частиц. В каждом подслое плотность ионов и температура электронов остаются фиксированными, т.е. .... =8,5 . 10.. 17 см.3 и .... = 30 эВ. При этом плотность энергии излучения .... =1 ....... .. 4.. предполагается постоянной внутри каждого подслоя, но в отличие от .... и .... в процессе согласования итераций она может изменяться от слоя к слою. Рассчитанный по формуле (6) спектр прохождения для многослойного 11 варианта (.. = 22) представлен на рис. 5 (а) (синяя пунктирная кривая). Для многослойного варианта заметны небольшие отклонения спектра от однослойного, что вызвано перераспределением вклада от ионов различной кратности с каждого из подслоёв (см. рис. 6), где кривыми светло-синего цвета нанесены распределения вероятности для каждого из подслоёв, а кривой синего цвета – с крайнего слоя (.... ). Отклонения в положениях и силах отдельных спектральных линий от экспериментально измеренных объясняются использованием в комплексе программ THERMOS нерелятивистских конфигураций ...... = {...... } (... – главное и ... орбитальное квантовые числа) при решении кинетической системы (4). Отличие рассчитанного спектра прохождения от экспериментально измеренного также связано с рассмотрением полностью однородного по температуре и плотности слоя плазмы, что сложно реализуемо в лабораторных условиях. На основе представленных на рис. 5 (а) результатов можно заключить, что спектр прохождения в многослойном варианте расчёта даёт чуть лучшее согласие с экспериментом, чем в однослойном, потому что неоднородность поля излучения вдоль оси .. учитывается более аккуратно. Рис. 6. Распределение вероятности в зависимости от кратности ионизации для слоя кремниевой плазмы толщиной .. =0,35 см, с температурой .... = 30 эВ и полем излучения (1) с коэффициентом ослабления 0,1 и температурой излучения 63 эВ. Красными штрихами обозначено распределение, при котором получено наилучшее согласие с экспериментальными данными по спектру прохождения [3] На рис. 7 представлены зависимости распределения среднего заряда иона от положения внутри слоя плазмы кремния толщиной .. =0,35 см в присутствии внешнего источника излучения вида (1) с температурой излучения 63 эВ и коэффициентом ослабления 0,1. Значения среднего заряда иона рассчитывались для однородного по температуре и плотности слоя. При этом в случае однослойного (.. =1) задавалась фиксированной электронная плотность 1019 см.3,а 12 многослойного(.. = 22)–ионнаяплотность 8,5.1017 см.3.Вслучаемногослойного расчёта значение среднего заряда иона падает от значения 10,04 на левой границе слоя до 9,62 на правой, а в однослойном варианте значение среднего заряда постоянно по толщине и составляет 9,61. Также на рисунок добавлено значение среднего заряда иона, рассчитанное по коду ATOMIC, которое составляет 9,9. THERMOS_Layer .. = 22 THERMOS_CRE .. =1 ATOMIC Средний заряд иона Толщина, см Рис. 7. Зависимость среднего заряда иона от координаты .. в плоском слое плазмы кремния толщиной .. Дополнительно было проведено исследование сходимости решения по величине среднего заряда в зависимости от разного количества подслоёв. На рис. 8 представлены рассчитанные зависимости распределения значений среднего заряда иона от координаты внутри слоя плазмы кремния толщиной .. =0,35 см и равномерного разбиения на .. = 5; 14 и 35 подслоёв (... =0,07; 0,025 и 0,01 см). На основе полученных результатов можно сделать вывод, что сходимость по распределению среднего заряда иона вдоль оси .. достигается уже для .. = 14 при равномерном разбиении на подслои. Стоит отметить, что при неравномерном разбиении на подслои, а именно сгущении подслоёв к границам плоского слоя (..0 =0 и .... = ..), можно добиться сходимости и при меньшем количестве подслоёв (ср. рис. 7 и рис. 8). Различное разбиение на подслои (.. . 5) в рассматриваемом диапазоне длин волн не оказывает существенного влияния на расчётный спектр прохождения, так как длина свободного пробега фотонов . = ...1 превышает размер подслоёв (см. рис. 9). Таким образом, при выбранных параметрах плазма является оптически прозрачной, поэтому спектральный поток энергии излучения определяется по формуле .... =2......... Из этого следует, что для лучшего соответствия с экспериментом нужно либо уменьшить размеры слоя, либо понизить плотность. На рис. 10 представлен спектр прохождения мягкого рентгеновского излучения через слой кремниевой плазмы толщиной .. =0,2 см при температуре электронов 30 эВ, электронной плотности 1019 см.3 и поля излучения (1) с коэффициентом ослабления 0,1 и температурой излучения 63 эВ в сравнении с экспериментальными данными из работы [3]. Как видно из рисунка, уменьшение размера слоя привело к тому, что массивы спектральных линий, соответствующие ионам Si10+, Si11+ и Si12+, стали лучше соответствовать экспериментальному спектру прохождения. .. =5 Средний заряд иона .. = 14 .. = 35 Толщина, см Рис. 8. Зависимость среднего заряда иона от координаты .. в плоском слое плазмы кремния толщиной .. при различном количестве подслоёв .. = 5; 14 и 35 103 TH_Layer .. =5 Длина пробега, см 102 THa_NLTE .. = 1 10 1 0.1 6.65 6.7 6.75 6.8 6.85 Длина волны, .A 6.9 6.95 Рис. 9. Длина пробега фотонов . в плазме кремния при температуре электронов 30 эВ, электронной плотности 1019 см.3 и поля излучения (1) с коэффициентом ослабления 0,1 и температурой излучения 63 эВ. В многослойном варианте расчёта задавалась ионная плотность .... =8,5 . 1017 см.3. Пунктирными линиями нанесены значения толщин: .. =0,35 см для .. =1 (чёрная линия), ... =0,07 см для .. =5 (красная линия) Коэффициент прохождения 14 1 0.8 0.6 0.4 0.2 THERMOS_CRE .. =1 6.65 6.76.75 6.86.85 6.96.95 Длина волны, A. Рис. 10. Спектр прохождения мягкого рентгеновского излучения через слой кремниевой плазмы толщиной .. =0,2 см при .... = 30 эВ, .... = 1019 см.3 и поля излучения (1) с .. =0,1 и ........ = 63 эВ в сравнении с экспериментальными данными из работы [3] Заключение Проведено моделирование спектра прохождения мягкого рентгеновского излучения через слой фотоионизованной плазмы кремния в рамках модели столкновительно-излучательного равновесия. С помощью программы THERMOS_CRE выполнены расчёты изотерм среднего заряда, распределений вероятности в зависимости от кратности ионизации и спектрального коэффициента поглощения для слоя фотоионизованной плазмы кремния с несколькими вариантами учёта внешнего поля излучения. Произведён сравнительный анализ полученных распределений вероятности с результатами участников международного семинара по сравнению неравновесных кодов. На основе экспериментальных измерений и предварительного численного анализа была определена область характерных параметров плазмы, при которых ожидается наилучшее согласие с экспериментально измеренным коэффициентом прохождения. Выполнен расчёт коэффициента прохождения мягкого рентгеновского излучения через слой фотоионизованной плазмы кремния. Получено хорошее качественное и количественное согласие расчётного спектра прохождения с экспериментально измеренным. 533.9, 539.18, 519.688 10.20948/prepr-2022-45 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 20-01-00485 столкновительно-излучательная модель фотоионизованная плазма спектр прохождения collisional-radiative model photoionized plasma transmission spectrum Tarter C.B., Tucker W.H., Salpeter E.E. The Interaction of X-Ray Sources with Optically Thin Environments // Astrophys. J. 1969. Vol. 156. P. 943. Liedahl D.A.X-ray photoionized plasmas in space and in the laboratory // Astrophysics and Space Science 2011 336:1. 2011. Vol. 336, no. 1. P. 251–256. Loisel G.P., Bailey J.E., Liedahl D.A. et al. Benchmark Experiment for Photoionized Plasma Emission from Accretion-Powered X-Ray Sources // Phys. Rev. Lett. 2017. Vol. 119. P. 075001. Hansen S.B., Chung H.K., Fontes C.J. et al. Review of the 10th Non-LTE code comparison workshop // High Energy Density Physics. Vol. 35. Elsevier B.V., 2020. P. 100693. Соломянная А.Д., Вичев И.Ю., Грушин А.С., Ким Д.А. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ “Программный модуль THERMOS_CRE для расчёта радиационных и термодинамических свойств веществ в стационарном приближении столкновительно-излучательного равновесия с произвольным полем излучения” №2022610462 от 12.01.2022. Правообладатель: ФГУ “ФИЦ ИПМ им. М.В. Келдыша РАН”. Вичев И.Ю. Cтолкновительно-излучательная модель неравновесной плазмы с произвольным полем излучения // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. 2022. № 18. С. 31. https://doi.org/10.20948/prepr-2022-18 https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2022-18 Соломянная А.Д., Вичев И.Ю., Грушин А.С., Ким Д.А. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ “Программный модуль THERMOS_Layer для расчёта свойств плазмы с учётом эффектов непрозрачности при конечных размерах” №2022610808 от 17.01.2022. Правообладатель: ФГУ “ФИЦ ИПМ им. М.В. Келдыша РАН”. Вичев И.Ю., Ким Д.А., Соломянная А.Д., Грушин А.С. THERMOS: Согласованное решение уравнения переноса излучения с поуровневой кинетикой в простейших геометриях // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. 2020. № 56. С. 30. https://doi.org/10.20948/prepr-2020-56 https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2020-56 https://keldysh.ru/papers/2022/prep2022_45.pdf