Уравнения в частных производных > Уравнение переноса     

Уравнение переноса

Линейное одномерное уравнение переноса – простейшее дифференциальное уравнение в частных производных – записывается в виде   (1)
(скорость переноса равна 1, перенос слева – направо). 
Решения этого уравнения (в три последовательных момента времени) показаны на рисунке в виде трех профилей, распространяющихся слева-направо вдоль оси Х:

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА КОШИ - решить (1)сначальнымусловиемU(x,t=0)= f(x) илевымграничнымусловием,напримерU(tx=0,t)=0.

СХЕМЫ ЭЙЛЕРА. Для численного решения уравнения переноса применяют разностные схемы.  Простанственная область (ось Х) покрывается равномерной сеткой, выбирается шаблон, и уравнение с помощью метода конечных разностей (1) записывается в разностной форме. Для решения разностных уравнений применяются схемы бегущего счета  [1], которые ведут себя как явные.
 
ПРИМЕР  состоит из следующих этапов:
· Запуск Java–апплета с помощью любого браузера.
· Выбор левого граничного условия (нуль либо другая константа) и начального условия (отрезок гладкой гармонической функции, либо разрывная функция типа прямоугольного импульса).
· Выбор количества точек пространственной сетки и шага по времени.
· Выбор разностной схемы.
· Численное решение однородного линейного уравнения переноса методом бегущего счета с помощью одной из четырех разностных схем.

ЗАДАЧИ:
· Изучить метод конечных разностей (сеток) решения дифференциальных уравнений в частных производных. Полезно записать в разностном виде уравнение переноса с использованием каждой сетки, определить порядки аппроксимации и условия устойчивости для каждой из схем.
· Выписать для каждой из схем первое дифференциальное приближение. Уяснить, какие схемы называют диссипативными и что такое псевдовязкость.
· Поэкспериментировать, как ведут себя разные схемы при расчетах с разными шагами на гладких и разрывных решениях.

ЛИТЕРАТУРА. [1] Калиткин Н.Н. Численные методы. М.:Наука, 1978, гл. X.; [2] Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику М., МФТИ, 1984, с. 141 –180.