К теории линейного отклика квантовой неэкстенсивной системы на динамическое внешнее возмущение

Введение

В настоящее время теории неэкстенсивных сложных систем существенно развиваются в ускоренном ритме, при котором появляются новые идеи, позволяющие глубже понять их природу, возможности и ограничения (см. Библиографию, представленную на сайте http:/tsallis. -cat.cbpf.br/biblio.htm, которая постоянно обновляется). Каждая такая теория имеет широкий спектр важных приложений, связанных с физикой статистических систем, вероятностные свойства которых описываются не гиббсовыми, а степенными распределениями. В частности, неэкстенсивная статистическая механика Тсаллиса (см. Havrda, Charvat, 1967; Daroczy, 1970; Tsallis, 1988; Abe, 2000a) успешно применяется ко многим сложным системам, начиная от нелинейных диффузионных уравнений, обобщенных кинетических уравнений (Lenzi и др., 2001), H-теоремы Больцмана (Frank, Daffertshofer, 2001a), систем Фоккера−Планка (Frank, Daffertshofer, 2001b), квантовой статистики, до изучения космических систем с дальним силовым взаимодействием (Kolesnichenko, 2017), эволюции астрофизических дисков, межзвездной турбулентности и теории фракталов (Kolesnichenko, Marov, 2013,2014), биофизики, экономики, нейрофизики и многое другое (см. Beck, Schlogl, 1993; Abe, Okamoto, 2001; Gell-Mann, Tsallis, 2004; Tsallis,1999, 2009; Колесниченко, 2015, 2016, 2018а,в, 2019; Kolesnichenko, Marov, 2013; Kolesnichenko, Chetverushkin, 2013; Kolesnichenko, 2014, 2017).

Среди множества неэкстенсивных систем особое значение имеют малые квантовые системы, основанные на неаддитивной параметрической энтропии Тсаллиса $S_q(\hat{\rho })$ (Wehrl, 1978), связанной с матрицей плотности $\hat{\rho }$, описывающий системы, квантовые состояния которых известны не полностью (Нейман, 1964; Нильсон, Чанг, 2006). При изучении подобных систем возникают многочисленные новые математические проблемы, требующие своего решения (см. Abe, Rajagopal, 2000, 2003; Abe, 2003, 2004, 2006). В их числе, одной из важных, является проблема моделирования реакции квантовой системы на механическое возмущение, нарушающее равновесие (Зубарев,1971; Зубарев и др., 2002). Причиной этих возмущений может быть или совершаемая над системой работа, через изменение её объема, или взаимодействие с другими ансамблями (обладающими другой температурой или химическим потенциалом), или, наконец, включение внешних полей, непосредственно действующих на частицы системы. Этот последний случай необратимых процессов, вызванных механическими возмущениями, рассмотрен в настоящей работе.

Механические возмущения можно полностью описать добавлением к равновесному гамильтониану $\hat{\mathcal{H}}$ квантовой системы соответствующего оператора энергии возмущения ${\hat{\mathcal{H}}}_{ext}(t)$, зависящего от времени¹⁾. Микроскопическая теория линейной реакции ансамбля классических квантовых систем обычно разрабатывается двумя способами: либо с использованием запаздывающих функций Грина (см., например, Зубарев, 1971; Зубарев и др., 2002), либо методом Кубо, с помощью функций отклика и релаксации (Kubo, 1957; Kubo и др., 1957). Метод Кубо основан на квантовом уравнении Лиувилля с учётом условия, что система в отдалённом прошлом (т.е. при $t=-\infty$) находилась в равновесном состоянии, а затем было «включено» внешнее механическое возмущение. Кубо показал, что отклик системы на внешнее возмущение можно описать формулами, связывающими отклонение $\delta \langle A\rangle$ средних значений $\langle A\rangle$ некоторых динамических переменных $A$ от равновесных значений ${\langle A\rangle }_{eq}$, с явным видом гамильтониана механического возмущения ${\hat{\mathcal{H}}}_{ext}(t)$. Исключительная особенность формул Кубо состоит в том, что они выражают неравновесные свойства в виде средних по состоянию статистического равновесия и имеют весьма общий характер (см. Зубарев, 1971).

Влияние внешних возмущений на средние значения наблюдаемых величин в неэкстенсивной квантовой статистике Тсаллиса также можно описывать либо модифицированными функциями Грина, описывающими линейную реакцию на слабые механические возмущения (см., например, Abe, 1999; Lenzi и др., 1999, 2000), либо на основе модифицированного метода Кубо (Abe, Okamoto, 2001; Guo, Du, 2014), чему мы и последуем в данной работе. Следует заметить, что в неэкстенсивной статистике Тсаллиса в зависимости от способа определения средних значений динамических величин наличествуют различные варианты представлений равновесных ансамблей. Выполненный в данной работе анализ отклика квантовой системы на механические возмущения основан на осреднении наблюдаемых величин по эскортному вероятностному распределению (Abe, 2000b) и на соответствующем степенном представлении канонического равновесного распределения матрицы плотности.

Основные определения и статистические свойства квантовой энтропии тсаллиса

Приступим прежде всего к конструированию равновесной термодинамики квантово-механических ансамблей, основанной на обобщённой неэкстенсивной статистке Тсаллиса. В основу изучения различных статистических квантовых ансамблей неэкстенсивных систем можно положить экстремальные свойства квантовой информационной энтропии (введенной впервые в работе (Wehrl, 1978)) и использовать их для нахождения различных матриц плотности, заменяющих функцию распределения вероятностей в классической статистике (Abe, 2000a). Отметим, кстати, что при обобщении ансамблей Гиббса на случай квантовой статистики фон Нейман исходил именно из экстремальных свойств введенной им энтропии квантового состояния $S(\hat{\rho })\equiv -\mathrm{Tr}\left(\hat{\rho }\ln \hat{\rho }\right)$ (см. фон Нейман, 1964), где $\hat{\rho }$ − матрица (оператор²⁾) плотности микросистемы, при помощи формализма которой, согласно теореме Глисона (Gleason, 1957), описывается любая квантово-механическая система.

В квантовой неэкстенсивной статистике при вероятностной нормировке

матрицы плотности $\hat{\rho }(x,x^{\prime })={\displaystyle {\sum }_r{w}_r{\psi }_r}(x){\psi }_r^{*}(x^{\prime })$(в матричном $x$-представ-лении (см. Приложение)), описывающей смешанные квантовые состояния, квантовая информационная энтропия Тсаллиса $S_q(\hat{\rho })$ задаётся следующим обобщенным функционалом от оператора плотности (см. Daroczy, 1970; Wehrl, 1978; Tsallis, 1988):

Здесь энтропийный индекс $q$ (параметр деформации) представляет собой вещественное число (принадлежащее областисти $q\in R$), которое характеризует неэкстенсивную особенность (неаддитивность) квантовой системы. Заметим, что шпуровая ( -trace) структура определения энтропии (2) важна тем, что делает энтропию функционально независимой от унитарных преобразований в пространстве состояний, т.е. эта формула справедлива при любом представлении оператора $\hat{\rho }$, а не только при его матричном $x$-представлении (см., например, Зубарев и др., 2002).

Можно показать, что параметрическая квантовая энтропия (2) может быть представлена также в следующих эквивалентных формах:

Здесь

− так называемые деформированные логарифмы (Tsallis, 1999, 2009), обладающие, как легко убедиться, следующим свойством: при $q\to 1$, ${\ln }_q\hat{A}\to \ln \hat{A}$, ${\mathrm{Ln}}_q\hat{A}\to \ln \hat{A}$. При его использовании энтропия Тсаллиса $S_q(\hat{\rho })=-\mathrm{Tr}({\hat{\rho }}^q{\ln }_q\hat{\rho })$ переходит в $S_1(\hat{\rho })\equiv -\mathrm{Tr}\left(\hat{\rho }\ln \hat{\rho }\right)$ − квантовую энтропию фон Неймана, являющуюся, в свою очередь, квантовым обобщением энтропии Гиббса в классической статистической механике.

Энтропия Тсаллиса (2) имеет много полезных свойств. В частности, если состояние совокупной квантовой системы, состоящей из двух независимых подсистем, описывается совместным мультипликативным статистическим оператором ${\hat{\rho }}^{(1,2)}\text{}\equiv {\hat{\rho }}^{(1)}\text{}\otimes {\hat{\rho }}^{(2)},$ где ${\hat{\rho }}^{(1)}$ и ${\hat{\rho }}^{(2)}$ − матрицы плотности отдельных подсистем (здесь и далее символом $\otimes$ обозначено матричное произведение), то общая энтропия системы

неаддитивна, т.е.

Таким образом, неаддитивная квантовая энтропия $S_q^{}\left({\hat{\rho }}^{(1)}\text{}\otimes {\hat{\rho }}^{(2)}\right)$ является субэкстенсивным (суперэкстенсивным) функционалом при $q>1$ ( $q<1$) и экстенсивным функционалом только в пределе слабой связи двух подсистем, когда $q\to 1$.

В обычной квантовой статистике любой случайной динамической переменной $A$ ставится в соответствие эрмитов оператор $\hat{A}$ (см. фон Нейман, 1964) так, что среднее значение этой переменной в состоянии микросистемы, описываемом матрицей плотности $\hat{\rho }$, вычисляется по формуле: ${\langle A\rangle }_1=\mathrm{Tr}(\hat{\rho }\hat{A})$. В неэкстенсивной квантовой статистике Тсаллиса для вычисления среднего значения ${\langle \hat{A}\rangle }_q$ динамической переменной $\hat{A}$ и её флуктуации ${\Delta }_q\hat{A}$ можно использовать различные формулировки (см., например, Tsallis, 2009). Далее мы воспользуемся следующим их определением:

где

− так называемое нормированное эскортное распределение (Abe, 2000b), для которого.

Важно отметить, что различные статистические ансамбли квантовых систем (как и классических) эквивалентны в термодинамическом отношении, что связано, в частности, с малостью флуктуаций энергии, числа частиц и объёма (см. Зубарев, 1971). Далее мы воспользуемся наиболее удобным для наших целей каноническим ансамблем квантовых систем, описывающим контакт с термостатом и резервуаром частиц и определяемым заданием средней энергии и среднего числа частиц.

Экстремальность канонического распределения для неэкстенсивных систем. Рассмотрим ансамбль замкнутых систем с заданным числом частиц и постоянным объёмом, находящихся в тепловом и материальном контакте с окружением. Тогда матрица равновесной плотности $\widehat{\stackrel{˜}{\rho }}$ (статистический оператор равновесного распределения) может быть определена из абсолютного экстремума квантовой информационной энтропии Тсаллиса (2) при выполнении следующих дополнительных условий:

т.е. при заданности осреднённого оператора плотности энергии $\hat{\mathcal{H}}(x)$ и при сохранении нормировки (1).

Согласно вариационному принципу Джейнса (Jaynes, 1963), равновесная матрица плотности $\widehat{\stackrel{˜}{\rho }},$ «экстремизирующая» энтропию Тсаллиса $S_q$ при указанных ограничениях, определяется из условия равенства нулю первой вариации по $\hat{\rho }$ следующего Лагранжиана

Здесь

− так называемый коэффициент Тсаллиса; $\beta$ и $\lambda$ − определяемые из уравнений (1) и (7) лагранжевы множители, которые связаны с ограничением на осреднённый оператор плотности энергии квантовой системы в неаддитивной статистике Тсаллиса.

Определяя абсолютный экстремум функционала (8) из условия $\delta \mathcal{L}(\hat{\rho })/\delta \hat{\rho }=0$, находим для неэкстенсивных квантовых систем следующее выражение для обобщенного большого канонического распределения оператора плотности $\widehat{\stackrel{˜}{\rho }}({\beta }_q)$:

где

− обобщенная статистическая сумма состояний для канонического квантового ансамбля, определяемая из условия нормировки (1); параметр ${\beta }_q\equiv \beta /{\tilde{c}}_q$ является обратной физической температурой равновесной квантовой системы, $T_{pf}\equiv {\beta }_q^{-1}$;

− значение коэффициента Тсаллиса в равновесном случае; знак тильды « $\sim$» здесь и далее над осредненными ${\tilde{A}}_q\equiv \mathrm{Tr}(\hat{A}{\widehat{\stackrel{˜}{\sigma }}}_q)$ динамическими переменными $\hat{A}$ означает, что осреднение проведено с помощью равновесного распределения (10).

В формуле (11) и далее везде квантово-механическая флуктуация ${\Delta }_q\hat{A}$ для любого оператора $\hat{A}$ определяется относительно его равновесного среднего значения, т.е. задаётся соотношением ${\Delta }_q\hat{A}\equiv \hat{A}-\mathrm{Tr}\left({\widehat{\stackrel{˜}{\sigma }}}_q\hat{A}\right)$.

Экспонента Тсаллиса и деформированный логарифм. В формуле (10) используется так называемая деформированная экспонента Тсаллиса

причем неравенство $\mathrm{Spec}\left[1+(1-q)\hat{A}\right]\ge 0$ означает, что существует естественное «отключение», когда спектр оператора в скобках имеет отрицательные значения, связанные с действительностью следа.

Легко проверить, что в пределе $q\to 1$ функция (12) принимает стандартный вид:

Используя определения (3) и (12), можно убедиться, что имеют место следующие соотношения для деформированной экспоненты (см., например, Tirnakli, Torres, 2000; Tsallis, 2009):

Эти формулы будут использованы далее.

Некоторые свойства равновесного распределения. Из распределения (10) следует соотношение

Если умножить (16) на ${\widehat{\stackrel{˜}{\rho }}}^q$ и затем взять шпур, то получим равенство

из которого, при учете (1) и (7), следует важное представление для «равновесного» коэффициента Тсаллиса

Используя (18) и вытекающее из формулы (10) выражение

получим ещё одно представление обобщённой статистической суммы

Заметим, что согласно (10) имеем

отсюда, при учёте двух различных выражений для ${\tilde{Z}}_q({\beta }_q)$, равных

получим

Наконец, при использовании равновесного канонического распределения (22) и формулы (20) можно получить следующую форму записи для среднего значения ${\langle \tilde{A}\rangle }_q\equiv {\tilde{A}}_q$ любой наблюдаемой $\hat{A}$ равновесного ансамбля квантовых систем.

Заметим, что формулы (22) и (23) справедливы и для квазиравновесного случая, когда $\hat{A}\to \hat{A}(t)$ и $\hat{\mathcal{H}}\to \hat{\mathcal{H}}(t)$. Дифференцируя в этом случае тождество (23) по времени, найдём

Подставляя сюда $\partial {\hat{\sigma }}_q/\partial t$ из обобщённого уравнения Лиувилля, получим

где $\frac{d\hat{A}(t)}{dt}=\frac{\partial \hat{A}(t)}{\partial t}+\frac{1}{i\hslash }\left[\hat{A}(t),\hat{\mathcal{H}}\right]$− производная динамической переменной $\hat{A}$ по времени. Если динамическая переменная $\hat{A}$ независит явно от времени, то

Реакция квантовой неэкстенсивной системы на механическое возмущение

Как хорошо известно, в равновесной статистической термодинамике классических и квантовых систем кинетические коэффициенты в линейных уравнениях релаксации непосредственно связаны с флуктуационными процессами, происходящими в квазиравновесной системе (см. Kubo, 1957). Проанализируем эту связь более подробно для случая квазиравновесных квантовомеханических неэкстесивных систем Тсаллиса и выясним линейную реакцию на механическое возмущение релаксационных уравнений для наблюдаемых величин.

Модифицированное уравнение Лиувилля для оператора ${\hat{\sigma }}_q(t)$. Рассмотрим реакцию квантового статистического ансамбля неэкстенсивных систем с равновесным гамильтонианом $\hat{\mathcal{H}},$ не зависящим от времени, на включение внешнего оператора энергии возмущения ${\hat{\mathcal{H}}}_{ext}(t)$, зависящего от времени. Предположим, что внешняя возмущающая сила имеет механическую природу и может быть представлена малым добавочным членом в гамильтониане системы, т.е.

где $\hat{A}$ − квантовомеханический оператор, независящий явно от времени, сопряженный полю $F(t)$; $F(t)\equiv F_t$ − возмущающая сила (функция времени, не имеющая операторной структуры); $\hat{\mathcal{H}}(x,x^{\prime };t)\equiv {\hat{\mathcal{H}}}_t$ − возмущённый гамильтониан (самосопряжпенный оператор), действующий в гильбертовом пространстве на матрицу плотности $\hat{\rho }$ для смешанных ансамблей. Предположим также, что при $t\to -\infty$ внешнее возмущение отсутствует, т.е. ${{\hat{\mathcal{H}}}_{ext}|}_{t=-\infty }=0$.

Следует заметить, что в общем случае на систему могут действовать разные возмущающие силы $F_j(t)$ механического типа. В этом случае добавка к равновесному гамильтониану $\hat{\mathcal{H}}$ имеет вид ${\hat{\mathcal{H}}}_{ext}(t)=-{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}}{\hat{A}}_j{F}_j(t)=-\hat{A}\cdot F(t)$, где ${\hat{A}}_j$− динамические переменные, на которые с силой $F_j(t)$ действует внешнее поле; $\hat{A}=({\hat{A}}_1,\mathrm{...},{\hat{A}}_n)$, $F(t)=(F_1(t),\mathrm{...},F_n(t))$.

Матрица плотности $\hat{\rho }$, являющаяся унитарным оператором, в координатном $x$-представлении задаётся формулой

где $\left\{|{\psi }_r(t)\rangle \right\}$− возможные квантовые состояния системы и $w_r$− их классические вероятности. Статистический оператор $\hat{\rho }(t)$ удовлетворяет фундаментальному уравнению квантовой механики (уравнению движения Лиувилля−фон Неймана) в операторной форме

и начальному условию ${\hat{\rho }|}_{t=-\infty }={\hat{\rho }}_{eq}\equiv \widehat{\stackrel{˜}{\rho }}$, которое означает, что при $t=-\infty$ система находится в состоянии статистического равновесия и описывается равновесным каноническим ансамблем³⁾. Здесь

− квантовая скобка Пуассона для операторов $\hat{a}$ и $\hat{c}$; $\hslash$ − постоянная Планка. Уравнение (29) является естественным обобщением классического уравнения Лиувилля на квантовые системы (см., Зубарев и др., 2002).

Поскольку матрица плотности является унитарной, то уравнение, которому подчиняется любая степень оператора $\hat{\rho }(t)$ имеет ту же форму, что и исходное уравнение Лиувиля (29).

С учётом того, что след произведения некоммутирующих операторов $\hat{a}$ и $\hat{c}$ не изменяется при их циклической перестановке $\mathrm{Tr}(\hat{a}\hat{c})=\mathrm{Tr}(\hat{c}\hat{a})$ (см. фон-Нейман, 1964), получим при взятии шпура от обеих частей уравнения (4) следующий важный результат: коэффициент Тсаллиса $c_q\equiv \mathrm{Tr}{\hat{\rho }}^q$ не зависит явно от времени $t$. Следовательно, уравнение для эскортного распределения ${\hat{\sigma }}_q\equiv {\hat{\rho }}^q\text{}/\mathrm{Tr}{\hat{\rho }}^q$ имеет вид:

Начальное условие для этого уравнения, с учётом формулы (22) для канонического распределения, принимает следующий вид:

Учитывая, что внешнее силовое воздействие на систему мало, представим эскортное распределение ${\hat{\sigma }}_q(t)$ также в виде суммы невозмущенной равновесной ${\widehat{\stackrel{˜}{\sigma }}}_q$ части и малой добавки $\delta {\hat{\sigma }}_q(t)$, описывающей возмущение:

где равновесное эскортное распределение ${\widehat{\stackrel{˜}{\sigma }}}_q$ удовлетворяет условию

Подставляя (27) и (33) в (31), получим уравнение

определяющее флуктуацию $\delta {\hat{\sigma }}_q(t)$ распределения ${\hat{\sigma }}_q(t)$ в первом порядке по возмущению.

Основные формулы метода Кубо в теории линейной реакции. Введём для удобства линейный оператор коммутирования⁴⁾ ${\hat{\mathcal{H}}}^{\times }$, определяемый соотношением ${\hat{\mathcal{H}}}^{\times }\hat{A}\equiv \left[\hat{\mathcal{H}},\hat{A}\right]$. Оператор ${\hat{\mathcal{H}}}^{\times }$ действует на другие операторы. Используя этот оператор, перепишем уравнение (35) в виде

Используя теперь начальное условие (32), запишем уравнение (36) в интегральной форме; в линейном приближении по возмущению получим

Здесь использовано предположение, что $F(-\infty )=0$ и $\delta {\hat{\sigma }}_q(-\infty )=0$, т.е. предполагалось, что в момент времени $t=-\infty$ система находилась в равновесии.

С использованием формулы (37) можно найти среднее значение $q$-флуктуации ${\Delta }_q\hat{B}\equiv$ $\hat{B}-\mathrm{Tr}({\widehat{\stackrel{˜}{\sigma }}}_q\hat{B})$ любой динамической переменной $\hat{B}(t)$, которое определяется соотношением

где ${\widehat{\stackrel{˜}{\sigma }}}_{}{}_q$− равновесное экскортное распределение, задаваемое формулой (32). В результате получим

Здесь

− оператор динамической переменной $\hat{B}(t)$ в представлении Гейзенберга, удовлетворяющий уравнению $i\hslash \stackrel{.}{\stackrel{^}{B}}(t)=\left[\hat{B}(t),\hat{\mathcal{H}}\right]$ с граничным условием $\hat{B}(0)\equiv \hat{B}.$

Соотношение (39) можно записать в другом виде. Вводя так называемую равновесную функцию отклика (response function)

(описывающую реакцию системы на воздействие внешней силы, которая приводит к изменению равновесного среднего значения динамической переменной $\hat{B}$), получим

Формулы (13) и (16) являются основным результатом теории линейной реакции Кубо и называются формулами Кубо.

Воспользуемся теперь необходимой для дальнейшего модификацией известного в квантовой механике тождества Кубо (см. Kubo,1957; Зубарев и др., 2002)

справедливого для любых операторов $\hat{a}$ и $\hat{b}$. Модификация этого тождества на случай неэкстенсивных квантовых систем с каноническим распределением матрицы плотности

имеет вид (см., например, Abe, Okamoto, 2001):

где

Подставляя (43) в формулу (42), получаем (при учёте уравнения движения $i\hslash d\hat{B}(t)/\text{}dt=[B(t),\hat{\mathcal{H}}]\text{}$ с граничным условием $B(0)=B$) следующую формулу для равновесной функции отклика (функции последствия):

Заметим, что уравнение (42) можно интерпретировать двояким образом. С одной стороны, величина $-\left[\hat{A},{\widehat{\stackrel{˜}{\sigma }}}_q\right]$ является изменением эскортного распределения под воздействием внешней силы. Первое из уравнений (42) как раз и описывает влияние изменения этого распределения на среднее значение оператора $\hat{B}(t)$ по истечении некоторого времени. С другой стороны, можно представить себе, что внешняя сила влияет на изменение самой динамической переменной $\hat{B}$. Это влияние описывается членом $\left[\hat{A},\hat{B}(t)\right]$ во втором уравнении (42).

В заключение этого пункта сделаем следующее общее замечание. При рассмотренном подходе возникает следующий капитальный вопрос: можно ли считать, что вычисленное среднее значение динамической переменной $\hat{B}$ действительно представляет собой величину, наблюдаемую в эксперименте? Подобный скептицизм связан с двумя проблемами. Первая из них относится к использованию усреднения по статистическому ансамблю, при котором значение любой наблюдаемой отождествляется со статистическим средним по ансамблю одинаковых квантовых систем. Право на такое отождествление связано с макроскопичностью динамического параметра $\hat{B}$ и рассматриваемой квантовой системы (Зубарев, 1971). Вторая проблема связана с тем, что в процессе измерения возникают возмущения в рассматриваемой квантовой системе. Согласно (39), величина ${\langle {\Delta }_q\hat{B}(t)\rangle }_q$ вычисляется как среднее по ансамблю, каждый член которого не испытывает возмущений в процессе измерения. В действительности же каждая отдельная система непрерывно подвергается возмущающему воздействию внешних сил, и это обстоятельство не принималось во внимание при вычислении (39). Таким образом, в данной работе предполагается, что для рассматриваемых величин и для применяемых способов наблюдения подобное квантовомеханическое возмущение будет несущественным.

Общее выражение для адмитанса и соотношения симметрии онзагера

Запишем теперь формулу (42) для случая периодической возмущающей силы

Здесь второе выражение подчёркивает, что возмущение включается адиабатически в бесконечно отдаленное в прошлое время. Для этого возмущения реакцию системы можно записать в виде

где величина

или более точно

является так называемой комплексной восприимчивостью, или адмитансом, которая, как видно, является просто фурье-образом функции отклика ${\tilde{\varphi }}_{BA}^{(q)}(t)$; символ $\mathrm{Re}$ означает действительную часть соответствующего выражения; $A=\left\{A_i\right\}$. Соотношение (47) получается при подстановке (46) в формулу (42).

Заметим, что если оператор $\hat{B}\equiv \hat{J}$ соответствует макроскопическому потоку, то величины ${\chi }_{J_l{A}_i}^{(q)}(\omega )\equiv {\text{ℒ}}_{li}(\omega )$ обычно называют обобщёнными кинетическими коэффициентами, так как они определяют средний поток ${\langle {\Delta }_q{J}^{(\omega )}\rangle }_q$ под воздействием периодического возмущения.

Наконец, при интегрировании по частям, уравнение (49) можно записать в следующем виде:

где релаксационная функция ${\tilde{\Phi }}_{BA}(t)$, определяемая выражением

описывает релаксацию системы на внешнее механическое воздействие. Здесь ${\tilde{\sigma }}_q(j)={\left[1-{\tilde{\beta }}_q(1-q)(E_j\text{}-{\tilde{U}}_q)\right]}^{q/(1-q)}\text{}/{\tilde{Z}}_q$. Здесь $E_j$ − полный набор собственных функций оператора гамильтона, $\hat{\mathcal{H}}|j\rangle =E_j|j\rangle$.

Из выражения (51) вытекают четыре важных свойства симметрии для релаксационной функции ${\tilde{\Phi }}_{BA}^{(q)}(t)$ и адмитанса⁵⁾:

(I) Функция ${\tilde{\Phi }}_{BA}^{(q)}(t)$ является действительной величиной, что доказывается путём комплексного сопряжения обоих сторон выражения (51), перестановки индексов суммирования $i,j$ и использования свойств эрмитовости матричных элементов⁶⁾.

(II) Имеет место симметрия обращения времени, ${\tilde{\Phi }}_{BA}^{(q)}(t)={\tilde{\Phi }}_{AB}^{(q)}(-t)$; это свойство доказывается путём перестановки операторов $\hat{A}=\left\{A_i\right\}$ и $\hat{B}$, перестановки индексов суммирования $i,j$, замены $t$ на $-t$, и сравнения полученного результата с выражением (51).

(III) При обращении времени, сопровождающемся изменением направления магнитного поля $H$на обратное, волновая функция заменяется сопряжённой ей величиной; следовательно

где параметры ${\epsilon }_j$ равны $+1$ или $-1$ в зависимости от того, являются ли чётными или нечётными функциями скоростей молекул динамические переменные $A$ и $B$. В большинстве случаев ${\epsilon }_A$ и ${\epsilon }_B$ имеют один и тот же знак.

(IV) В силу соотношения (50) теми же свойствами симметрии обладает и комплексная восприимчивость ${\chi }_{BA}^{(q)}(\omega )$; их удобно записать для функции ${\sigma }_{BA}(\omega )$, определенной следующим образом:

Она также имеет свойства симметрии Онзагера:

Следовательно, согласно свойству (II) имеем

(V) Наконец, в рассматриваемом здесь случае неэкстенсивных систем справедливы (известные в классической квантовой теории) соотношения Крамерса-Кронига для действительной и мнимой частей адмитанса ${\tilde{\chi }}_{BA}^{(q)}(\omega )$, имеющие, в силу уравнения (51), следующий вид:

Здесь символ $P.$означает, что учитывается только главное значение комплексной величины.

Таким образом, приведенные соотношения теории линейной реакции, полученные в рамках классической статистической квантовой механики, справедливы и для механики неэкстенсивных систем, основанных на параметрической квантовой энтропии Тсаллиса.

Заключение

В работе был использован подход Тсаллиса для получения в рамках квантовой неэкстенсивной статистической механики обобщённых соотношений для адмитанса и функции отклика, описывающих линейную реакцию системы на слабое внешнее механическое воздействие. Для характеристики квантово-механической системы был использован формализм матрицы плотности $\hat{\rho }$, описывающий системы, квантовые состояния которых известны не полностью. Выполненное исследование в рамках квантовой неэкстенсивной статистики основывалось на каноническом (степенном) распределении модифицированной матрицы плотности ${\hat{\sigma }}_q\text{}\equiv {\hat{\rho }}^q\text{}/\text{}\mathrm{Tr}{\hat{\rho }}^q$, полученном из условия абсолютного экстремума квантовой параметрической энтропии Тсаллиса при заданной средней энергии частиц, а также на осреднении наблюдаемых величин по эскортному распределению. Было показано, что известные в классической квантовой статистике свойство симметрии для релаксационной функции при обращении времени, причинность и соотношения взаимности Онзагера для обобщённой восприимчивости остаются справедливыми и для неэкстенсивных систем, т.е. они не связаны с фактической формой исходной матрицы плотности.

Полученные результаты могут быть полезным инструментарием при анализе динамических характеристик неэкстенсивных квантовых систем, проявляющих аномальные с точки зрения классической статистики свойства.