Локальная гладкость и асимптотика решения метода конечных суперэлементов в угловых точках разбиения
|
|
При помощи построенного базиса решение исходной задачи внутри каждого отдельного СЭ разыскивается в следующем виде:
, .
Таким образом определяется приближенное решение МКСЭ во всей расчетной области . При этом неизвестные значения находятся с помощью обычного метода Бубнова-Галеркина при выборе функций в качестве базисных и пробных [3–12].
В классическом случае эллиптических уравнений второго порядка при должных оговорках относительно гладкости границы, коэффициентов и граничных функций слабые решения принадлежат пространству Соболева . Следы этих решений на границе суперэлементного разбиения области принадлежат пространству Соболева с полуцелым показателем гладкости [16; 18]. Выбор функции, аппроксимирующей след решения на границе разбиения в норме пространства , и применение МКСЭ приведут к приближенному решению, аппроксимирующему в точное решение.
В предыдущих работах исследовано влияние выбора метода аппроксимации на границе разбиения на результирующую точность расчетов метода. Получены теоретические (априорные) оценки погрешностей метода в зависимости от способа приближения [10–12]. Неясным остался вопрос о сходимости или расходимости ошибок производных сильного решения разного порядка. Такое исследование изначально затруднено особым “нестандартным” видом получаемого приближенного решения МКСЭ и его ограничениями по гладкости.
Данная работа посвящена теоретическому анализу МКСЭ Федоренко. В ней рассмотрена регулярность приближенного решения, получена его асимптотика в углах суперэлементного разбиения. Она представляет как отдельный интерес, так и служит для получения оценок погрешности производных различного порядка. Результаты получены на примере задачи – .
Будем предполагать наличие такой гладкости функции в (2) и границы области , которые достаточны для того, чтобы искомое решение принадлежало [16; 23]. Сохраним далее введенные обозначения: – расчетная область (рис. 2), – граница СЭ , – совокупность всех суперэлементных границ, – общее число СЭ в области, – искомое и – приближенное решение МКСЭ.
Как правило, СЭ является многоугольником, так что необходимо учитывать тот факт, что принадлежит классу непрерывности. Будем рассматривать лишь случай, когда – граница многоугольника либо граница, состоящая из конечного числа гладких кривых. В таком случае , , где L – число сторон (или гладких частей границы) СЭ . Полагаем, что все вершины углов границы СЭ направлены во внешность области, то есть раствор углов не превышает π. Рассмотрим варианты МКСЭ, использующие полиномиальной либо сплайн-интерполяцию на границах СЭ. В случае сплайн-интерполяции обозначают те отрезки разбиения суперэлементных границ, на каждом из которых интерполянт представляет собой полином (L – их число).
Определим объекты нашего рассмотрения.
Пространство всех полиномов порядка не выше на отрезке обозначим через . Введем – пространство заданных на границе S полиномов порядка не выше на каждой из частей границы. Обозначим символом пространство всех сплайнов порядка не выше , построенных на разбиении на отрезок длины . При этом . Полиномиальная интерполяция служит частным случаем интерполяции сплайнами, в которой – число отрезков на S, поэтому при её рассмотрении вариант полиномиальной граничной интерполяции МКСЭ отдельным образом не выделяется.
Аппроксимирующее пространство МКСЭ – линейная оболочка, образованная всеми базисными функциями МКСЭ с граничной интерполяцией посредством сплайнов , т.е.
.
Здесь след функции на S определен равенством . Оператор взятия следа , заданный на соотношением
, ,
непрерывно действует из пространства в для всех . При этом существует непрерывный оператор, обратный к и действующий из в . Такой общий случай действия оператора справедлив как для гладкой, так и для многоугольной или просто липшицевой границы [16; 31]. Отметим, что определение содержит условие
почти всюду на ,
для всех и всех соседних СЭ , . Это соотношение, очевидно, не всегда выполнено для пространства слабых решений задачи (см., например, [36]). Аппроксимирующее пространство МКСЭ содержит его как “главное условие”, накладываемое на все базисные функции. Соотношение не включено в для сохранения более компактной записи. Иногда, если это не вызовет недоразумений, мы будем использовать также символ без обозначения множества, на котором определена область значений оператора взятия следа.
Аналогичным образом определено и аппроксимирующее пространство МКСЭ, представляющее собой линейную оболочку, образованную базисными функциями МКСЭ с граничной интерполяцией посредством полиномов порядка не выше ν.
В определение аппроксимирующего пространства не входят условия совместности функций в узлах СЭ вида:
, ,
на соседних отрезках границы S , . Условие , как правило, в МКСЭ выполнено, поскольку введено в определение граничных базисных функций (см. ). Оно связано с расчетом базисных функций МКСЭ, являющихся решениями задач – , и заданием интерполянта для них, непрерывного на всей границе . Линейная оболочка таких базисных функций МКСЭ согласно определению и составляет аппроксимирующее пространство. Тем не менее, условие можно ввести без ограничения общности метода, если непрерывность искомой функции в окрестностях узлов СЭ заведомо известна, а все особенности задач заключены строго внутри СЭ. В частности, всегда для сильного решения , .
Отметим, что в определении использован оператор Лапласа, определяющий гармоническую функцию в СЭ. Под гармоничностью некоторого слабого решения в произвольной области Ω мы понимаем его удовлетворение уравнению Лапласа в следующей обобщенной постановке:
.
Далее как для слабого, так и для сильного решения продолжаем формально пользоваться кратким обозначением .
Характерным свойством аппроксимации слабых решений МКСЭ является возможность рассмотрения задачи – не просто в энергетическом пространстве , а в некотором его подпространстве, обозначаемом здесь . Это пространство снабжено дополнительным свойством гармоничности входящих в него функций в каждом из СЭ по отдельности:
.
Аппроксимирующее пространство МКСЭ является подпространством данного пространства. Определение включает в себя условие :
почти всюду на ,
для всех и всех соседних СЭ , . Перепишем его эквивалентно также в виде:
Здесь и далее везде мы будем использовать оператор следа , поэтому сделаем несколько замечаний о смысле данного определения.
Глобальное задание следа на границе мы связываем с его стандартным определением. На пространстве оператор следа задан формулой . Если бы граница обладала бесконечной гладкостью, то было бы выполнено соотношение при любом значении . Для произвольной замкнутой липшицевой области оператор следа действует из пространства в , однозначно определен, ограничен и имеет ограниченный обратный только при выполнении условия . При этом, если , то область значений шире, чем , см. [31; 30; 34; 15; 27]. В случае для шкалы пространств Соболева в липшицевой области известно немного (то же и для более общего случая пространств Бесова), но, если , то действует из в [28; 14]. Кроме того, гармонические функции обладают дополнительной гладкостью, и имеет смысл рассмотрение случая пространств Бесова [29; 31].
Учитывая тот факт, что – многоугольная область с границей, гладкой вне стратифицированных особенностей, далее возможно “улучшить” этот результат, вводя определение следа локально. Оператор следа определен только на каждой из L гладких частей (ребер) границы , . Локальное определение следа [26; 20] мы связываем именно с таким заданием, а именно: . Тогда локальный оператор при непрерывен и действует из в . Для следа на всей S: . Обозначение в зависимости от случая мы далее не меняем. Локальный след, очевидно, совпадает с глобальным, если последний корректно определен. При действии оператора на функцию из пространства Соболева с произвольным показателем гладкости считаем оператор следа локальным. Это необходимо учитывать, например, при использовании граничных интегральных уравнений и работе с ними. Локальные следы более высокого порядка также обладают общими свойствами на многоугольной границе, см., напр., [26]. В дальнейшем мы используем запись вида , которая является условным обозначением, и .
Нам понадобятся следующие пространства, обозначаемые через :
,
для любых , . При имеем определение пространства . В определение включено и условие . Рост показателя R характеризует увеличение гладкости функций из этого пространства на всех гладких частях суперэлементных границ. Поскольку для следа любой функции из пространства справедливо включение , то выполнено включение:
.
Обратное вложение при на границе класса не имеет места. Кроме того, любая функция однозначно определена своим следом на S (см. напр., [32]).
Если при аппроксимации решения в пространстве для ошибки решения, очевидно, справедлива эквивалентность , то в пространствах более высокой гладкости , , и многоугольной границей разбиения подобное несправедливо. Более того, показатель гладкости произвольной функции на , имеющей гладкие следы на частях негладкой границы , ограничен сверху [13]. Это относится к регулярности решения задачи Дирихле в отдельном СЭ [32; 33; 24]. Ограничение по гладкости может оказаться достаточно жестким и связано с локальным поведением решения в суперэлементных углах. Показатель гладкости зависит как от гладкости правой части граничного условия на отдельных сторонах границы , их совместности в вершинах углов, так и от величины раствора углов, кривизны их сторон и вида исходного уравнения.
3.1. Свойства гладкости приближенного решения МКСЭ
Пусть Λ – один из углов СЭ с границей раствора α, ; P – его вершина; – полярная система координат, связанная с Λ. В данном пункте мы рассмотрим преимущественно отдельный угол Λ, полученные таким образом результаты обобщаются на всю расчетную область.
Помимо самого приближенного решения исследуем также его интерполянт . Отметим, что все полученные здесь результаты для справедливы и для приближенного решения , а коэффициенты в его разложении, указанные через интерполянт , должны быть заменены аналогичными, заданными через приближенное решение .
Интерполянт МКСЭ в области СЭ является решением задачи:
в ,
на ,
где , – граничный сплайн-интерполянт решения. Дальнейшие выкладки мы проводим в предположении, что следы совместны для всех углов Λ в СЭ так, что
,
и аналогично для приближенного решения:
,
где и – отдельные стороны угла Λ, составляющие его границу и пересекающиеся в точке P.
Утверждение 1 . Пусть граничные базисные функции МКСЭ в некоторой окрестности угла Λ СЭ , на его границах и , – полиномы порядка не выше ν. Интерполянт приближенного решения МКСЭ в этой окрестности представим в виде:
где
, , ,
, – коэффициенты решения (граничного полинома ) на границах , перед , . Аналогичное утверждение справедливо и для приближенного решения .
Доказательство. Будем искать решение задачи – в угле Λ СЭ как сумму решений задач следующего вида:
в ,
на ,
где – константы, . При этом на . Согласно [17, с. 47] асимптотика этой задачи в угле Λ такова:
Здесь коэффициенты разложения по переменной r (функции , и ) бесконечно дифференцируемы по θ (*).
Получим представление интерполянта приближенного решения:
где .
Уточним результат, рассмотрев константные коэффициенты разложений. Они представляют интерес для дальнейшего рассмотрения. Выбранные полиномиальные граничные значения бесконечно дифференцируемы в окрестности угла. Решение задачи согласно результату [17, с. 50] может быть найдено в виде:
Находим коэффициенты , , , подставляя в задачу . Тогда
, , ,
где , – коэффициенты граничных значений для различных сторон угла и соответственно. Граница соответствует значениям угла , и – значению .
Отметим, что в первой сумме выражения . Суммирование по всем B дает разложение приближенного решения в области Λ (где символ B заменен на q):
с коэффициентами , , . Выпишем слагаемое при :
в обоих случаях принадлежности . #
Замечание. Из проведенного рассмотрения
следует также: , при , ; в противном случае решение и ограничено.
Пример. Для угла квадратного СЭ значение . Приближенное решение МКСЭ , а также его интерполянт в некоторой окрестности углов СЭ представимы в виде следующей конечной суммы:
при линейной интерполяции граничного решения
;
при любой полиномиальной интерполяции порядка выше единицы:
. #
Выражение определяет гладкость интерполянта приближенного решения МКСЭ в соболевских пространствах. Если и , то нерегулярна по отношению к граничному условию так, что для произвольных , , . В противном случае решение в угле Λ обладает бесконечной гладкостью, поэтому приближенное решение в СЭ имеет максимальную гладкость по отношению к граничному условию на . То же относится к приближенному решению МКСЭ.
Рассмотрим пространство . Согласно в его определение включено условие . Мы вводим ещё одно важное предположение о совместности следов в узлах СЭ, а именно: считаем выполненным условие
.
Считаем также, что все углы СЭ направлены во внешность их области: . Пространство , дополненное условием совместности следов , и условием на раствор углов, обозначим .
Утверждение 2 . Приближенное решение МКСЭ из пространства принадлежит соболевскому пространству в пределах каждого СЭ . То же верно для интерполянта .
Доказательство. Предыдущие выкладки показывают, что в области СЭ , если . Нерегулярный случай при минимальном значении из множества дает . Значит, выполнено . Аналогично для . Заметим, что для дальнейших выкладок это не принципиально, но упрощает некоторые записи. #
3.2. Асимптотическое разложение функции класса HR(Λ)
Приведем некоторые известные сведения об асимптотическом разложении некоторой функции в многоугольном СЭ. Совместно с пунктом 0 эта информация может быть употреблена для получения ряда оценок. Кроме того, она дает представление и о других возможных вариантах задания граничных базисных функций, не указанных ранее и характеризуемых любой гладкостью по шкале Соболева. Как мы уже отмечали, показатель гладкости такой функции в СЭ всегда ограничен сверху. Это связано с гладкостью его границы. Получим асимптотическое разложение в окрестностях угловых точек.
Произвольное решение уравнения Лапласа с граничными данными в угле Λ СЭ (в некоторой окрестности угловой точки P) разложимо в сумму гладкой и сингулярной частей [24; 25; 35]:
, ,
,
где обладает максимальной гладкостью, порожденной гладкостью функции граничного условия, а наличие обусловлено видом области Λ. Здесь – локальная система координат в угле Λ; набор параметров λ определен некоторыми характеристическими числами, связанными с уравнением, и может быть дополнен конечным числом положительных действительных параметров , ; причем и в том, и в другом случае диапазон λ ограничен сверху гладкостью граничных данных; Q – конечное число; – константы. Рассматриваемое нами эллиптическое уравнение не содержит членов порядка меньше максимального. Кроме того, границы СЭ в некоторой окрестности каждого из углов Λ считаем прямыми линиями.
Классическим способом определения регулярности решения линейного эллиптического уравнения с постоянными коэффициентами является метод В.А. Кондратьева(*), использующий преобразование Меллина [21] исходного уравнения в угле Λ в задачу на отрезке , , – изображение. Выписанное уравнение на собственные значения можно получить и определенной заменой переменных, преобразовывающей задачу в угле в задачу на некоторой простой области, например, полосе [17], полупространстве [33] в случае уравнения Лапласа. Несложно определить его решение как решение задачи Штурма-Лиувилля. Оно имеет вид: , , . Обратное преобразование Меллина даст разложение решения: , где принадлежит конечному промежутку,
В случае уравнения Лапласа коэффициенты λ разложения включают в себя конечный ряд из полученных характеристических чисел для [25; 32].
Наличие неоднородных граничных условий на приводит к возникновению дополнительных слагаемых в таком разложении, гладкость которых измеряется в пространствах Соболева с весом [35]. Для определения их полной асимптотики и регулярности в рамках шкалы “обыкновенных” пространств Соболева требуется дополнительное исследование. Например, полиномиальная правая часть в угле раствора (см. пункт 0) приводит к разложению с порядком . Величина регулярна при рассмотрении пространства с показателем гладкости , она регулярна также и для некоторых пространств Соболева с весом. При работе в шкале соболевских пространств , , её уже необходимо учитывать как нерегулярную часть. Отметим, что шкала весовых пространств “с однородной нормой”, возникающих при использовании метода Кондратьева, не имеет пересечений со шкалой пространств Соболева [32]. Мы ее не используем.
Нас интересует множество функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа в областях , условиям и со следами класса , . Ранее оно было обозначено через . Вообще говоря, пространство в угле Λ содержит в себе набор весовых пространств “с неоднородной нормой” , см. [32], характеризующийся индексами , определенного диапазона. Уточнение асимптотики выражения – со следами из , , может быть выписано согласно [32, p.p. 284, 300]. А именно, в угле Λ справедливо представление:
,
где , ; ; ; для некоторого . Слагаемое является полиномом от функции u порядка не выше . Функции , , – полиномы от переменной с коэффициентами (зависящими от ) класса . Функция обладает максимальной гладкостью по отношению к заданному граничному условию . Функция действует в пространство , . Из общих теорем вложения для данных весовых пространств (напр., [26]) следует, что для . При этом для функции u при справедливо условие .
Такое разложение достаточно громоздко, но содержит все необходимые нам факты, связанные с асимптотикой в угле СЭ. Подчеркнем, что вид разложения является общим, его коэффициенты могут зависеть от раствора угла [33], величины R, граничных условий [37] и т.п.
Заметим, что для , асимптотика содержит слагаемое , его гладкость не выше . Для в общем случае для решения справедливо соотношение . При этом , где – обозначение целой части числа. Если , то первая сумма содержит слагаемые только в случае угла .
Отсюда для пространства следует вложение
.
Напомним, что из общего определения выполнено вложение вида
, .
Отметим, что достаточно хорошо известны результаты и оценки, связанные с сильным решением задачи Дирихле в многоугольной области (см. [22; 23]). При этом достаточно легко заметить, что все соотношения в данных работах полностью согласуются с выписанным разложением . Мы не используем данные результаты, поскольку нас интересует весь диапазон возможной гладкости. Используем асимптотику либо её более общий вид . Последующие рассуждения относятся к уточнению таких оценок, что не представляется возможным, оставаясь лишь в рамках шкалы .
Введем ещё одно определение. Оператор следа m-го порядка в пространстве задан соотношением
, ,
где n – внешняя единичная нормаль к границе , . Оператор действует из в для , и допускает “обычное” расширение в слабом смысле, например, : для .
Пусть задача – обладает гладким решением , . Рассмотрим вопрос об аппроксимации первых производных , как и ранее, в норме пространства . Из того факта, что
,
следует, что нам нужны оценки погрешностей решения u в норме пространства . Обобщая на произвольный порядок производных , , , можно исследовать поведение погрешностей решения u в нормах пространств и, следовательно, определяя свойства МКСЭ о приближении производных порядка в норме пространства Соболева .
Рассмотрим пример M = 2. Из гармоничности градиентов искомого и приближенного решений имеем
,
где, вообще говоря, , так как условие совместности для градиентов не выполнено. Пункт 0 показывает, что в области СЭ , если , поэтому запись ошибки решения в норме корректна.
Запишем с использованием стандартных преобразований:
,
где – производная по направлению касательного вектора на отрезке ; – след первого порядка на , см. .
Если бы выражение для ошибки допускало принадлежность классу , , , на отдельном отрезке , то стала бы возможной запись неравенства как следствие непрерывного вложения соответствующих пространств. Тогда слагаемые под знаком нормы в правой части выражения оценивались бы согласно “стандартным” выкладкам [10–12]. Заметим, что здесь нас интересуют не только априорные оценки погрешностей производных, но и сама сходимость производных приближенного решения МКСЭ к точному решению.
Ясно, что . Для следа первого порядка (нормальной производной) приближенного решения на отрезке нет точного аналитического выражения, оно известно лишь для следа . Можно определить регулярность лишь в окрестности узлов , благодаря пункту 0.
Рассмотрим далее угол Λ, поэтому через будем обозначать произвольную его сторону ; как и ранее, P – вершина угла Λ.
Несложно показать, что на границе угла справедливо равенство:
.
Тогда из разложения для интересующего диапазона получим следующий результат:
;
Отметим, что первым слагаемым, характерным для каждого из разложений и имеющим минимальный показатель (либо ) является величина при , зависящая от переменной . Здесь также , поскольку .
Перепишем полученные выражения, подставляя во вторую сумму(*):
Отсюда ясно, что в окрестности вершины P произвольного угла СЭ Λ раствора α справедливы соотношения: и для или производная регулярна, если .
Более того, свойства гладкости можно определить, воспользовавшись следующими результатами.
Утверждение 3 [26]. Элемент из пространства является образом некоторой функции в угле раствора α с вершиной P в результате действия согласно
оператора , тогда и только тогда, когда выполнены соотношения
,
,
,
и
для , , выполнено
некоторое интегральное условие, где – существующие
конечные производные по отношению к касательным векторам для границы , .
В том случае, когда , условия
–
принимают вид:
,
,
,
и для , ,
, при .
Отметим, что число условий совместности ограничено, несмотря на увеличение показателя s. Это связано с тем, что мы исследуем лишь величины и ; это число таким образом связано непосредственно с порядком рассматриваемой нормы M.
Вариант выписан для примера вследствие простоты записи. Не составляет труда перенести результаты на общий случай. Для квадратного СЭ с узлами и сторонами , , , справедливо утверждение.
Утверждение 4 [26]. Пусть и . Элемент , , , из пространства есть образ при отображении некоторой функции из
пространства Соболева тогда и только тогда,
когда для всех и для всех , , , выполнено
, где ,
для , , выполнено
,
и
принято обозначение , – касательные вектора
для границы .
Замечание Пространство , дополненное набором таких условий, не является замкнутым в в стандартной норме. Оператор непрерывно действует из в такое модифицированное пространство и допускает непрерывный обратный при s > 2 в том случае, когда оно снабжено нормой с добавлением слагаемого, совпадающего с левой частью или , см. также [26].#
Таким образом, для исследования свойств нормальной производной в соответствии с приведенными утверждениями нам нужны только значения в вершинах углов СЭ.
Из условий – утверждения 3 в некоторой окрестности угла Λ СЭ раствора при , , не выполнены условия и для , то есть . Действительно, согласно разложению для и разложению для данного случая несложно проверить, что в вершине угла P:
,
.
Подобный же результат мы получим, исследуя целый СЭ (см. утверждение 4) для произвольного раствора α. Следовательно, нормальная производная не является образом локального оператора следа , действующего из в , а элемент не обладает гладкостью .
В дальнейшем необходимо дополнительное исследование полученных результатов, а “стандартная” схема не применима для получения верных априорных оценок МКСЭ и определения сходимости производных в энергетической норме пространства . Последующие работы посвящены более точному определению свойств и погрешностей производных.
В работе представлены результаты теоретических исследований МКСЭ Федоренко.
Определены регулярность приближенного решения МКСЭ, его асимптотика в
окрестностях угловых точек разбиения области на подобласти - суперэлементы.
Исследование проведено на примере задачи Дирихле. Определение гладкости
приближенного решения в пределах СЭ и во всей области и его асимптотического
поведения в окрестностях “неестественного” разбиения исходной области на
многоугольные СЭ представляет большой самостоятельный интерес. Помимо этого
выполненная работа служит связующим звеном при переходе к определению теоретических
оценок погрешностей производных приближенного решения.
[1] Федоренко Р.П. Введение в
вычислительную физику. – МФТИ, Москва, 1994. – 528с.
[2] Жуков В.Т, Новикова Н.Д., Страховская Л.Г., Федоренко Р.П., Феодоритова
О.Б. Метод конечных суперэлементов
в задачах конвекции-диффузии // Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, n. 8, 2001. – 36 с.
[3] Галанин
М.П., Савенков Е.Б. К обоснованию метода конечных суперэлементов // Журн. вычисл. мат. и мат. физики, т. 43,
n. 5, 2003, c. 711 – 727.
[4] Галанин М.П., Савенков Е.Б. Метод
конечных суперэлементов для задачи о скоростном скин-слое // Препринт ИПМ
им. М.В. Келдыша РАН, n. 3, 2004.
[5]
Galanin M., Savenkov E., Temis J.
Finite Superelements Method for Elasticity Problems // Mathematical Modelling and Analysis, v. 10, n. 3, 2005, p. 237 –
246.
[6] Галанин М.П., Лазарева С.А., Савенков Е.Б. Численное исследование метода конечных суперэлементов на примере
решения задачи о скважине для уравнения Лапласа // Препринт ИПМ им. М.В.
Келдыша РАН, n. 79, 2005.
[7] Галанин
М.П., Савенков Е.Б. Совместное использование метода конечных элементов и метода
конечных суперэлементов // Журн. вычисл.
мат. и мат. физики, т. 46, n. 2, 2006, c. 270 – 283.
[8] Galanin M., Lazareva S., Savenkov E.
Numerical investigation of the Finite Superelement Method for the 3D elasticity
problems // Mathematical Modelling and
Analysis, v. 12, n. 1, 2007, p. 39 – 50.
[9] Galanin M., Lazareva S., Savenkov E.
Fedorenko Finite Superelement Method and its Applications // Computational Methods in Applied Mathematics,
v. 7, n. 1, 2007, p. 3 – 24.
[10]
Галанин М.П.,
Лазарева С.А., Савенков Е.Б. Качественный анализ и численное исследование метода конечных
суперэлементов Федоренко // Тезисы всероссийской конференции по вычислительной
математике “КВМ – 2007”, 18 – 20 июня, 2007, Академгородок, Новосибирск, Россия,
с. 23.
[11]
Лазарева С.А. Априорные оценки погрешностей и
гладкость приближенного решения МКСЭ Федоренко // Тезисы конференции
“Студенческая научная весна – 2007”, МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия.
[12]
Лазарева С.А. Аппроксимационные
свойства метода конечных суперэлементов Федоренко // Вычислительные
технологии, 2008, в печати
[13][1] Агранович М.С. Обобщенные
функции и соболевские пространства // Лекции Независимого московского
университета, 2005. – 60 с.
[14][2] Агранович М.С. Спектральные задачи для сильно эллиптических систем второго
порядка в областях с гладкой и негладкой границей // Успехи математических наук, т. 57, вып. 5, 2002, с. 3 – 78.
[15][3] Агранович М.С. Регулярность вариационных решений линейных граничных задач в
липшицевых областях // Функциональный
анализ и его приложения, т. 40, вып. 4, 2006.
[16] Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их
приложения. Мир, Москва, 1971. – 371 с.
[17] Назаров С.А, Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно
гладкой границей. – Наука, Москва, 1991. – 336 с.
[18] Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. Мир, Москва,
1977. – 383 с.
[19] Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. Физматлит, Москва, 1994. –
336 с.
[20] Васильчик М.Ю. Граничные свойства
функций из пространства Соболева, определенных в плоской области с угловыми
точками // Сибирский математический
журнал, т. 36, n. 4, 1995, с. 787 – 804.
[21] Математическая энциклопедия.
В 5 т. Т.3: Меллина преобразование
/ гл. ред. Виноградов И.М. – Советская Энциклопедия, Москва, 1977.
[22][4] Bacuta C., Bramble J.H., Xu J. Regularity estimates
for elliptic boundary value problems with smooth data on polygonal domains // Journal of Numerical Mathematics, v. 11,
n. 2, 2003, p. 75 – 94.
[23] Borsuk M.,
Kondratiev V. Elliptic boundary value
problems of second order in piecewise smooth domains. – Elsevier,
North-Holland, 2006. – 538 p.
[24][5] Costabel M., Dauge M. Construction of corner
singularities for Agmon-Douglis-Nirenberg elliptic systems//Mathematische
Nachrichten, v.162,n.1,1993,p.209– 237
[25][6] Costabel M., Dauge M. Stable asymptotics for elliptic
systems on plane domains with corners // Communications in Partial Differential Equations, v. 19, n. 9–10, 1994, p. 1677 – 1726.
[26][7]
Bernardi Ch., Dauge M., Maday Y.
Polynomials in the Sobolev World // Internal Report, Laboratoire Jacques-Louis
Lions,Université Pierre et Marie Curie, 2003.–97p.
[27][8]
Dahlke St., DeVore R.A. Besov
Regularity for Elliptic Boundary Value Problems // Communications in Partial Differential Equations, n. 22, 1997, p. 1
– 16.
[28][9]
Ding Z. A proof of the trace theorem
of Sobolev spaces on Lipschitz domains // Proceedings
of American Mathematical Society, v. 124, n. 2, 1996, p. 591 – 600.
[29] DeVore R.A. Nonlinear
approximation // Acta Numerica, n. 7,
1998, p.51 – 150.
[30] Fabes E.,
Mendez O., Mitrea M. Boundary Layers
on Sobolev-Besov Spaces and Poisson’s Equation for the Laplacian in Lipschitz
Domains // Journal of Functional Analysis,
n. 159, 1998, p. 323 – 368.
[31] Jerison J.,
Kenig C.E. The inhomogeneous
Dirichlet problem in lipschitz domains // Journal
of Functional Analysis, n. 130, 1995, p. 161 – 219.
[32][10]
Kozlov V.A., Maz’ya V.G., Rossmann J.
Elliptic boundary value problems in domains with point singularities. –
American Mathematical Society, 1997. – 414 p.
[33] Lehman R.Sh.
Developments at an analytic corner of solutions of elliptic partial differential
equations // Journal of Mathematics and
Mechanics, v. 8, n. 5, 1959, p. 727 – 760.
[34] Mitrea M.,
Taylor M. Potential Theory on
Lipschitz Domains in Riemannian Manifolds: Sobolev-Besov Space Results and the
Poisson Problem // Journal of Functional
Analysis, n. 176, 2000, p. 1 – 79.
[35][11] Sändig A.-M. Regularity
results for linear elliptic boundary value problems in polygons // Lectures
at the Charles university Prague, 2005. – 38 p.
[36][12]
Showalter R.E. Hilbert space methods for
partial differential equations. – Electronic Journal of Differential
Equations: Monographs, n. 01, 1994 (Originally of 1977). – 214 p.
[37][13]
Sweers G. Hopf’s lemma and two dimensional domains with corners // Rendiconti dell'Istituto di Matematica
dell'Università di Trieste, vol. 28, 1997, p. 383 – 419.
(*) Работа
выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований (проект РФФИ № 06 - 01 - 00421).
(*) Коэффициенты разложений имеют вид , для любого линейного эллиптического уравнения [25].
(*) Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Труды московского математического общества, т. 16, 1967, с. 209 – 292.
(*) В случае и разложения перед логарифмом стоит вместо для , и , как это и предполагалось граничным условием. Здесь ситуация обратная.
[1] Web access: http://www.agranovich.nm.ru/
[2] Web access: http://www.agranovich.nm.ru/
[3] Web access: http://www.agranovich.nm.ru/
[4] Web access:
http://www.math.psu.edu/ccma/reports.html
[5] Web access:
http://perso.univ-rennes1.fr/monique.dauge/core/
[6] Web access:
http://perso.univ-rennes1.fr/monique.dauge/core/
[7] Web access:
http://perso.univ-rennes1.fr/monique.dauge/core/
[8] Web access:
http://citeseer.ist.psu.edu/dahlke95besov.html
[9] Web access: http://
www.ams.org/proc/1996-124-02/
[10] Web access:
http://www.ams.org/online_bks/surv52/
[11] Web access:
http://preprints.ians.uni-stuttgart.de
[12] Web access: http://www.emis.ams.org/journals/EJDE/
[13] Web access:
http://aw.twi.tudelft.nl/~sweers/