Основные уравнения двухжидкостной электромагнитной гидродинамики. Часть I

( The basic equations for two–fluid electromagnetic hydrodynamics. Part I
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Введение. Гидродинамические модели широко используются для исследования динамики плазмы. Особенно часто применяются одножидкостные модели (например, МГД – уравнения), в которых считается равной нулю масса электрона. Представляет значительный интерес построение одножидкостной гидродинамической теории плазмодинамики без этого допущения. В этой работе указан конкретный способ такого построения, составляющий содержание так называемой двухжидкостной ЭМГД – теории (ЭлектроМагнитной ГидроДинамики). 

    Как известно, МГД пригодна для исследования преимущественно крупномасштабных процессов в плотной плазме. Формально требуется, чтобы погонное число частиц плазмы было достаточно большим. Для изучения мелкомасштабных процессов  и процессов в разреженной плазме обязателен учет инерции электронов, что с необходимостью приводит к рассмотрению двухжидкостной гидродинамики плазмы. Оказывается, однако, что двухжидкостную гидродинамику нерелятивистской плазмы удается свести к одножидкостной [1]. Это простое, но неочевидное наблюдение приводит в итоге к формально одножидкостным уравнениям двухжидкостной электромагнитной гидродинамики –  ЭМГД – уравнениям , применимость которых уже не зависит от величины погонного числа частиц. Формальная одножидкостность позволяет успешно решать многие задачи плазмодинамики, а получаемые при этом результаты приводят к интересным и нетривиальным  двухжидкостным эффектам  коллективного течения электронов и ионов.

  Основные идеи развиваемого подхода  были изложены почти  20 лет назад [1]. С тех пор в условиях целенаправленного уничтожения отечественной фундаментальной науки удалось продвинуться по ряду важных направлений [2,3,4,5,6]. В данной работе на новом уровне понимания изложены ключевые положения двухжидкостной ЭМГД – теории: уравнения динамики плазмы, закон сохранения энергии,  дисперсионные соотношения,  условия на разрыве, предельные переходы и пр..

§1.  Основные уравнения (бездиссипативный случай).

  Набросаем схему учёта инерции электронов в контексте одножидкостного формализма, возвращаясь впоследствии к более детальному рассмотрению отдельных её этапов.

  Исходной точкой является двухжидкостная гидродинамическая модель плазмы (для простоты ниже рассматривается только бездиссипативный случай и предполагается отсутствие гравитационных и прочих внешних сил):

            (1)

         (2)

   Выше для электронного и ионного газов написан стандартный гидродинамический формализм (1), который замыкается уравнениями электродинамики Максвелла (2). Предполагая плазму нерелятивистской , зачеркнем в системе (1,2) все члены релятивистского порядка малости. Таких членов всего два, и они содержатся в уравнениях Максвелла – это    (ток смещения) и  (Ниже эта процедура будет выполнена математически корректно, поэтому здесь ограничимся сказанным.). В итоге приходим к системе (1,3), где

                                                    (3)

   Система (1,3) получалась как промежуточный этап в ряде  работ, но всегда браковалась по следующей причине: считалось что в ней из–за отбрасывания тока смещения в уравнениях Максвелла, отсутствует уравнение для электрического поля  . Это, как мы увидим, ошибочное заключение приводило к ошибочным действиям: чтобы получить уравнение на , в уравнении импульсов для электронов выбрасывался инерционный член , что мотивировалось малостью отношения <<1. Не останавливаясь на критическом разборе указанных тезисов, констатируем, что, в действительности, система (1,3) является замкнутой и определенной     ( количество неизвестных совпадает с количеством уравнений). Плазма, согласно этой системе, будет квазинейтральной , а электромагнитное поле – квазистационарным. Что касается уравнения для , оно получается заменой неизвестных в системе (1,3):

                                                 (4)

Вектор  обычно называется коллективной,   или   массовой   гидродинамической скоростью плазмы и равен скорости движения центра масс единичного объема плазмы. Обратное преобразование имеет вид:

                                            (5)

Замена неизвестных (4) имеет смысл , поскольку из двух неизвестных плотностей   независимой является (ввиду условия квазинейтральности     и соотношений   ) только одна, и  то же верно для неизвестных скоростей  , ввиду закона Ампера:

Подставляя в (1,3) выражения (5), после несложных преобразований получим следующую систему:

                            (6)

                    (7)

Система (6,7) называется  уравнениями двухжидкостной электромагнитной гидродинамики плазмы, или ЭМГД – уравнениями.

   Уравнения неразрывности и импульсов (6) получаются сложением, соответственно,  уравнений неразрывности и импульсов системы (1), а уравнение для электрического поля   системы (7) (обобщенный закон Ома) получается вычитанием из "+" – уравнения импульсов системы (1) , умноженного на ,  " –"  – уравнения импульсов, умноженного на . Системы (6,7) и  (1,3)  математически эквивалентны, поскольку в силу условий квазинейтральности и закона Ампера  "±" – уравнения неразрывности системы (1) равносильны.

   Решив систему (6,7) и найдя, в частности , по формулам (5) восстановим гидродинамические параметры плазменных компонент. Принципиально важно, что электроны и ионы с получаемыми таким образом параметрами удовлетворяют точным законам сохранения массы, энергии, импульса (1). В то же время, как следует из (6,7), ЭМГД – уравнения дают одножидкостную , но двухтемпературную гидродинамическую модель плазмы.

   Следует подчеркнуть, что изначально вовсе не очевидно, что двухжидкостную систему (1,3) математически корректно удасться свернуть в одножидкостную. Именно этот простой, но важный факт лежит в основе  успешного аналитического и численного исследования двухжидкостной системы (1,3), поскольку сводит такое исследование к изучению решений одножидкостных уравнений (6,7), что значительно проще. Например, при численном моделировании рассчитать эволюцию   непосредственно из уравнений системы (1,3) неудобно поскольку эти неизвестные функции не являются независимыми и значит их дискретизация в каждый момент времени должна удовлетворять дискретизациям уравнений связи ( условию квазинейтральности и закону Ампера), что связано с дополнительными непростыми проблемами.

   Преимущество системы (6,7) по сравнению с системой (1,3) фактически объясняется удачной заменой переменных (4). Хотя сама замена (4) была известна давно, но её применение к системе (1,3), вероятно, впервые было проанализировано в [1].

   Сравним ЭМГД – уравнения с уравнениями холловской МГД  [7] – типичной  одножидкостной гидродинамической моделью плазмы, предполагающей массу электронов равной нулю. Рассмотрим наиболее употребительный случай, когда электроны и ионы суть идеальные политропные газы с общим показателем адиабаты :

     (8)

Уравнения (8) образуют замкнутую систему относительно неизвестных функций . Поле исключается из числа неизвестных с помощью равенства, называемого обобщенным законом Ома. Система (8) получается из ЭМГД – уравнений (6,7), если там формально положить всюду . Тогда . При этом вместо энтропийных уравнений следует записать уравнения для давлений . Это вынужденная мера, поскольку при  имеем ,  а       ,   становятся бесконечными, и возникают проблемы с уравнениями состояния и термодинамикой электронов. Ниже будет показано, как получить холловскую МГД  без этих неприятностей  (количество которых увеличится. если считать электроны неидеальным газом ). Сравнивая (6,7) с  (8), заключаем, что ЭМГД – уравнения отличаются от традиционных МГД – уравнений,  во–первых, дополнительной силой

                        ,                                                         (9)

действующей на единичный объем плазмы,  и,   во–вторых, существенным усложнением обобщенного закона Ома. Теперь поле  не вычисляется по явной формуле через остальные параметры плазмы, а ищется как решение (вырожденной) эллиптической системы уравнений относительно компонент .  С другой стороны, в правой части уравнения для   появилось несколько новых  ''холловских'' членов помимо классического холловского  слагаемого    – это комбинации   ,   ,   , . Они ответственны за дополнительную генерацию поля , особенно существенную в разреженной плазме, а вторая производная  может привести к  появлению больших градиентов компонент поля 

(пограничные и внутренние слои) даже в плотной плазме.

Физический смысл силы   и дивергентный вид ЭМГД – уравнений.     Несложно проверить, учитывая  (5) и (9), что:

                                         (10)

Квадратная скобка в (10) равна ускорению частицы, двигающейся  в поле скоростей   .  Поэтому по второму закону Ньютона правая часть (10) равна суммарной силе, действующей на электроны и ионы в единичном объеме со стороны движущейся со скоростью плазмы и вызывающей их относительные движения со скоростями  . Тогда по третьему закону Ньютона на движущуюся со скоростью плазму со стороны электронов и ионов действует суммарная сила, равная, согласно (10), . Тем самым плазма выступает как новая, "эффективная" сплошная среда с плотностью , гидродинамической скоростью , тензором внутренних напряжений  ++ (см. ниже), законом сохранения полной энергии и т.д., обладающая "коллективными" свойствами, не сводящимися к простому сложению свойств слагающих её электронов, ионов и электромагнитного поля.

Рассмотрим тензоры:

 .           (11)

Учитывая равенства

                    ,          ,

получим дивергентные выражения для силы    и правых частей уравнения импульса и обобщенного закона Ома:

                        ,

где тензор  имеет вид:

            .      (12)

В итоге  приходим к следующей дивергентной форме ЭМГД – уравнений:

                             (13)

где тензоры  вычисляются по (11) и (12).

    Закон сохранения энергии в ЭМГД.    Из термодинамических тождеств легко вытекают соотношения (индексы  '' ''  у всех величин опущены):

                  ,

                         ,                                                 (14)

                     .

Два последних тождества в (14) сильно упрощаются для идеального политропного  газа (см. ниже):

                   .

    Соотношения (14) позволяют вместо пары энтропийных уравнений написать пару уравнений относительно любой другой термодинамической характеристики среды (или ). Для плотности внутренней энергии это легко сделать в общем случае:

                                   (15)

Для температуры и давления простые явные выражения получаются в случае идеальных политропных газов:

                             (16)

   Заметим, что в последние два равенства масса    входит несингулярным образом (что выше уже обыгрывалось при формальном переходе к холловской МГД).

    Стандартным способом из уравнений (1) получается закон сохранения полной энергии для компонент:

                       .

Складывая эти равенства между собой и с законом сохранения электромагнитной энергии для квазистационарного электромагнитного поля:

                       ,

получим закон сохранения полной энергии в ЭМГД:

                      .

Подставляя сюда соотношения (5), получим окончательное выражение:

                                       (17)

где:

             – объёмная плотность внутренней энергии плазмы,

              .

Таким образом, у ЭМГД – плазмы имеется дополнительная внутренняя энергия с объёмной плотностью

                   ,

а полная энергия переносится не только вдоль вектора гидродинамической скорости   и вектора Умова-Пойнтинга  , но и вдоль вектора плотности тока   .

             Вырожденная эллиптичность обобщенного закона Ома.

   Обобщенный закон Ома в ЭМГД, согласно (13), имеет вид:

                                ,                                                                   (18)

где:

                   ,        .

Уравнение (18) является системой уравнений в частных производных

относительно компонент вектора , причем вырожденной, поскольку, как нетрудно проверить, характеристическая форма [8] этой системы тождественно равна нулю. Тем не менее решение системы (18), как сейчас будет показано, сводится к решению некоторой эллиптической системы уравнений. Это дает основание рассматривать обобщенный закон Ома (18) как, хотя и вырожденную, но все же эллиптическую систему уравнений.

   Введем новую неизвестную

                           .                                                                          (19)

Тогда из (18) выразим   через  :

                            .                                                                (20)

Подставляя (20) в (19), получим уравнение на :

где использованы очевидные равенства:            

                              ,             

 Итак, если   удовлетворяет (18), то векторная функция , вычисляемая по (19),  удовлетворяет, очевидно, системе уравнений:

                                                                                 (21)

и условию                  

                                              .                                                       (22)     

Обратно, пусть решение (21) удовлетворяет условию (22). Тогда поле  , вычисляемое по (20), удовлетворяет уравнению(18). В самом деле, повторяя предыдущую выкладку, получим:

в силу (21) и  (22). Но тогда (18) следует из (20).

   Итак, для решения системы (18) необходимо и достаточно решить эллиптическую систему (21) с дополнительным ограничением (22), при этом решения систем (18) и (21) связаны формулой (19). Теперь убедимся,  что условие (22) есть ограничение  только на граничные значения    (подразумевается, что система (21) решается в области  с границей ). Для этого перепишем систему (21) в виде:

                      ..

Применяя оператор  к обеим частям последнего равенства, получим:

                       .

Отсюда для функции    получаем эллиптическое уравнение:

Поскольку  всюду в , то из принципа максимума для эллиптических уравнений [9] следует, что  в   тогда и только тогда, когда .

     Итак,  является решением системы (18) в области тогда и только тогда, когда функция является решением в эллиптической системы уравнений (21) с дополнительным граничным условием =0.  Таким образом, граничные условия для системы (21) должны удовлетворять дополнительному соотношению . В появлении дополнительного граничного условия и состоит вырождение эллиптической системы (18). Этот  вывод относится преимущественно к трёхмерным задачам (и для них наличие дополнительного граничного условия, скорей всего, благо). Для одномерных и двумерных задач система (18) сводится к паре эллиптических уравнений без всяких дополнительных граничных условий. Рассмотрим характерный пример двумерной осесимметричной задачи.

    Тогда система (18) даёт:  

                                                            (18`)

Второе уравнение системы (18`) является эллиптическим относительно (а  в него не входят) и дополненное краевыми условиями позволяет найти . Для нахождения   из первого и третьего уравнений системы (18`), введем новую неизвестную

                                                                                       (19`)

Тогда из (18`):

                              ,                                      (20`)

Подставляя (20`) в (19`), получим эллиптическое уравнение для нахождения :

                                                 (21`)

Дополненное граничными условиями, оно позволяет найти , после чего по (20`) вычисляются ,  которые, очевидно, дают  решение (18`). Итак, решение системы (18) в осесимметричном случае сводится к решению пары эллиптических уравнений без всяких дополнительных граничных условий. Аналогично в случае цилиндрической симметрии из (18`) следует, что  ищется в конечном виде, а для нахождения   получаем тоже пару эллиптических уравнений без дополнительных граничных условий.

       §2   Уравнения ЭМГД – теории с учетом диссипаций.

   Учтем теперь влияние на динамику плазмы вязкости и теплопроводности электронов и ионов, омического сопротивления и других диссипативных факторов. Тогда исходная система (1) перепишется в виде:

                                        (1`)

где , причем каждое уравнение системы (1`) являет набор двух уравнений для газов заряженных частиц с массами  и зарядами , а все величины в (1`), за исключением  и , имеют индексы    .

Положим:

  – тензор деформаций,

   – тензор вязких напряжений,

   – объемная сила трения между компонентами,

       – тепло, передаваемое компонентами плазмы друг другу   

                                 при упругих  столкновениях,

        – закон Фурье для потока тепла в каждой компоненте плазмы.

Переходя к нерелятивистскому пределу в системе  (1`, 2), являющейся

 исходным пунктом построения, получим систему (1`, 3). Делая в ней замену переменных (4), переходим к следующей системе  ЭМГД – уравнений с учетом диссипаций, которую сразу выпишем в дивергентном виде:

                            (13´)

Уравнение  (13`а) получается сложением уравнений (1`,а, а  уравнение (13`,б ) – сложением уравнений (1`,б) ,  уравнение (13`,г )  получается вычитанием из  уравнения  (1`,б), умноженного на , уравнения (1`,б), умноженного на . Тензоры  имеют вид:

                (23)

Здесь и ниже – единичный тензор, тензоры    вычисляются по (11), а тензоры    имеют вид:

                                                                                                                            (24)

где – тензоры деформаций. Наконец,

         (25)           

                         ,

где – электропроводность плазмы, – магнитная вязкость.

В системе (13׳) след   легко выражается  через  ,  если воспользоваться выражениями:

                       .

Итак, полная система ЭМГД  – уравнений с учетом диссипаций образована уравнениями систем (13׳,  3). Заметим, коэффициент у дифференциального оператора в(13',г) равен     где    – локальная плазменная частота, .  Энтропийные уравнения (13׳,  в) можно заменить на уравнения:    

А если компоненты плазмы – идеальные газы, то на одну из следующих пар уравнений:

                                           (26)

Установим закон сохранения полной энергии для ЭМГД – уравнений с учетом диссипаций. Воспользуемся уравнением для плотности внутренней энергии каждой компоненты плазмы:

             .

Складывая это уравнение с уравнением  (1', б) , скалярно умноженным на  , получим закон сохранения энергии для каждой плазменной компоненты:

           .

Складывая последние уравнения между собой и с законом сохранения электромагнитной энергии (см. §1), получим искомый закон сохранения полной энергии для ЭМГД – уравнений с учетом диссипаций:

                     (27)

В случае, когда вязкостью и теплопроводностью электронов и ионов можно пренебречь, закон сохранения (27) после подстановки соотношений (5) редуцируется к уже полученной ранее форме (17).

   Отметим, что существуют более сложные способы вычисления тензоров , векторов    и величин   [10], учитывающие, в частности, анизотропию замагниченной плазмы. Их анализ в контексте ЭМГД – модели не порождает серьёзных проблем и может оказаться исключительно важным для исследования тонких эффектов динамики плазмы.

§3.    Предельные переходы.

   Дадим теперь математически корректный рецепт получения основных гидродинамических моделей плазмы типа ЭМГД, холловской и классической МГД.  Предварительно сделаем несколько общих замечаний.

   Запись физических законов в виде математических уравнений, как правило, зависит от выбора единиц измерения физических величин. Чтобы избавиться от этой зависимости, необходимо, обезразмерить все величины, участвующие в уравнениях. При этом возникает зависимость уравнений от безразмерных параметров – чисел подобия, количество которых определяется имеющимися соотношениями между характерными масштабами. Сами числа подобия тоже определяются неоднозначно:  любое взаимно – однозначное гладкое преобразование чисел подобия снова даёт числа подобия. Формально,   чисел подобия заполняют множество   , а физический предельный переход сводится к следующей математической конструкции. Фиксируется гладкая поверхность   в    и её предельная точка   (быть может бесконечно удаленная). Предполагая решение обезразмеренной   системы уравнений аналитически зависящим от точки на  , разложим его в степенной ряд по   в окрестности , предварительно выбрав локальные координаты на . Тогда уравнения на нулевые коэффициенты разложений дадут физический предел исходной системы уравнений при  . Физическое содержание предельного перехода определяется выбором поверхности  , локальных координат и  . Есть и математическое требование: цепочка уравнений на коэффициенты уравнений должна расцепляться, в частности, все коэффициенты разложений в принципе могут быть найдены. Как правило, за счет удачного выбора координат в пространстве чисел подобия   удаётся добиться, чтобы  было пересечением гиперплоскости вида  с  а   для некоторого   .

  Рассмотрим теперь безразмерный вид ЭМГД – уравнений. Для простоты из диссипативных эффектов учитываем только омическое сопротивление и предполагаем электроны и ионы идеальными политропными газами с общим показателем адиабаты.

       (29)

где тензор  имеет вид:

          .

   Числа подобия     вычисляются по формулам:

где квадратные скобки означают характерный масштаб соответствующей величины,    – характерная альфвеновская скорость. При этом приняты следующие соотношения:

           (29)

где – постоянная Больцмана. Если отказаться от каких–то соотношений (29), то в системе (28) появятся новые числа подобия. Однако часто, наоборот, вводят ещё одно соотношение между характерными масштабами: . Тогда   где   – параметр удержания. В частности, решения идеальной  ЭМГД зависят только от двух безразмерных параметров  и .

    МГД – предел.  Ищем решение системы (28) в виде рядов по степеням :

                                                                     (30)

(Формально, 

,    – предельная точка ). Коэффициенты разложений (30) зависят от времени,

пространственных координат и, как от параметров, чисел подобия  . Подставляя разложения (30) в систему (28) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  в каждом уравнении системы, получим бесконечное семейство уравнений. Несложно устанавливается следующий результат.

   Теорема 1. Семейство уравнений на коэффициенты разложений можно разбить в последовательность групп уравнений, занумерованных целыми числами 0, 1, 2, …, так что:

1)    Уравнения – ой группы, , образуют замкнутую определенную линейную систему дифференциальных уравнений в частных производных относительно  , коэффициенты и правые части которой зависят только от коэффициентов разложений с индексами ; причем коэффициенты линейной системы зависят только от коэффициентов разложений с нулевыми индексами, а дифференциальный оператор уравнений – группы, , не зависит от .

2)    Уравнения 0 – ой группы  образуют замкнутую определенную нелинейную систему дифференциальных уравнений в частных производных относительно , в размерном виде совпадающую с уравнениями классической двухтемпературной МГД   
                (31)

В частности, сложением ±  – уравнений для давлений из неё получается система уравнений классической (однотемпературной) МГД .

   Итак, уравнения классической МГД получаются из ЭМГД – уравнений предельным переходом  и никак не связаны, вопреки существующему мифу, с малостью отношения масс  (для электрон – ионной плазмы). Из выражения для   следует, что предельный переход  физически соответствует неограниченному увеличению погонного числа частиц (в данном случае электронов),   и, следовательно, МГД – теория описывает крупномасштабные процессы в плотной плазме. Из  безразмерных выражений

вытекает, что в пределе     для нулевых коэффициентов разложений                         .  Поэтому в МГД  – пределе электроны и ионы, сцепившись, двигаются как единое целое с общей гидродинамической скоростью . Этот вывод вступает в противоречие с исходной идеей, согласно которой в плазме электроны оторваны от ионов и могут свободно перемещаться, сдерживаемые лишь силами электрического и магнитного взаимодействия (не считая внешних сил). Указанное противоречие свидетельствует о переупрощенном характере МГД – теории.  Наконец, из Теоремы 1 следует, что цепочка уравнений на коэффициенты разложений (30) расцепляется, и все коэффициенты в принципе могут быть найдены.

  Предел холловской МГД.  Рассмотрим отрезки разложений (30), состоящие из первых двух членов:

                          ,      , …

Несложно проверить, что с точностью до слагаемых  ~   функции   ,

, …       удовлетворяют следующей размерной системе уравнений:

        (32)

При этом:

                     .                                                    (32`)

Получили почти холловскую МГД. Если положить в (32) и (32`)  , то приходим к традиционной холловской МГД  (см. систему (8) из §1).

   Развивая предыдущую идею, можно получить систему уравнений, выполненных с точностью до слагаемых  ~   для отрезков разложений (30), состоящих из   слагаемых:

              ,      ,    …  .

Однако, возникающие таким образом системы "суперхолловских" МГД – (назовем их  холловскими МГД порядка  ) необходимо забраковать. Причина этого поучительна, в том числе и для понимания места самой классической холловской МГД в плазмодинамике, поэтому остановимся на этом подробнее.

При выводе уравнений для … необходимо использовать выражения для предыдущих приближений. Например,  для  функции … удовлетворяют с точностью до членов  ~  следующей размерной системе уравнений:

                        (33)

   Система (33) отличается от ЭМГД – уравнений  только упрощенным обобщенным законом Ома: для вычисления  теперь не надо решать систему дифференциальных уравнений, а можно воспользоваться явной формулой. То же будет и для : система уравнений на  … отличается от ЭМГД – уравнений  только обобщенным законом  Ома, который сводится к явной, хотя и весьма громоздкой формуле для . При   рекуррентная формула для    имеет вид:

                      ,

где    вычисляются по формулам систем (31), (32), (33) соответственно.

  Чтобы оценить полученные системы уравнений, рассмотрим акустику однородной неподвижной идеальной плазмы в силу системы уравнений холловской МГД порядка  для . Дисперсионное уравнение для волн  ~  имеет вид:

                  ,             (34)

где

                 ,       ,   

                         ,          ,        .

В частности, для классической холловской МГД (32) имеем дисперсионное уравнение:

                  ,                                            (35)

где

                        –   коллективная скорость звука,

                –  плазменная частота,

                   –   альфвеновская скорость,

                    –квадраты быстрой  (+)  и              медленной   магнитозвуковых скоростей.

   Напомним,   –  параметры невозмущенной плазмы, а символы    означают  проекции вектора вдоль и поперек волнового вектора   , определяющего направление распространения волны.

   Дисперсионное уравнение (35) позволяет выявить узкое место классической холловской МГД, а уравнение (34) заставляет забраковать холловские МГД порядка  n  при   n>1. Согласно (35), уравнения акустики однородной неподвижной плазмы в силу классической холловской МГД имеет три ветви колебаний. Ветвь, имеющая асимптотику в нуле   (называемая БМ3 – ветвью), на бесконечности имеет асимптотику  , а значит её групповая скорость  стремится к  при . Но групповая скорость равна скорости пространственного перемещения волнового пакета колебаний с длиной волн . Поскольку решение уравнений акустики распадается в сумму волновых пакетов по всем  и всем веткам дисперсионной кривой, то из неограниченности групповой скорости  для  БМ3 – ветви следует, что начальное возмущение однородной плазмы мгновенно, с бесконечной скоростью распространится на все пространство, что физически абсурдно. Это не так лишь в случае  , т.е. для поперечного распространения волн.

   Неудивительно поэтому, что успешные приложения холловской МГД относятся именно к случаям течения плазмы поперек силовых линий магнитного поля (Z–пинчи, плазменные ускорители, плазменные двигатели и пр.). К сожалению, подавить бесконечный рост групповой скорости  с помощью системы уравнений холловской МГД порядка  n  при  n>1  на функции   ,  ,… не удается. Более того, неприятности начинаются и при поперечном   распространении волн. Действительно, как следует из (34), при  для БМ3–ветви:

   Но  при  n  четном, очевидно,

 и значит для всех достаточно больших  k последнее подкоренное выражение отрицательно, поэтому для всех достаточно больших  k  колебания с длиной волны    заведомо неустойчивы.

  При  n  нечетном имеем 

            ~,

что приводит к физически абсурдному бесконечному росту групповой скорости    уже и для БМ3–ветви. Но это значит, что, на первый взгляд разумные, холловские МГД порядка  n  на самом деле непригодны при   n>1  даже для описания (и тем более, численного исследования) течений плазмы поперек магнитного поля. В то же время, хотя традиционная холловская МГД применима для моделирования поперечных течений квазинейтральной нерелятивистской плазмы, но она в принципе непригодна для исследования течений под произвольным углом к магнитному полю.

    Принято считать [7], что параметр  учитывает различие электронной и ионной скоростей. В полном объеме это различие содержится в ЭМГД – уравнениях, в 1–м приближении  –  в уравнениях холловской МГД  (32), во 2–м приближении  –  в системе (33) и т.д. Но, как только что было показано, такой способ приближенного учета различия электронной и ионной скоростей неудачен. Поэтому укажем ещё один путь теоретически сколь угодно точного учета этого различия. Имеем систему уравнений, выполненных с точностью до слагаемых  ~   :

          (36)

Если для какого–то   nверхний индекс  <0,  то соответствующее слагаемое выпадает. В частности,  – это классическая (двухтемпературная) МГД. Система  позволяет на каждом временном шаге за   n    итераций вычислить    с точностью    , обращая на каждой итерации один и тот же дифференциальный оператор классической МГД с правой частью , вычисляемой по предыдущим приближениям. Возможны различные стратегии счета на каждом шаге: либо делать заданное (быть может,   зависящее от шага) число итераций, либо итерировать до установления и т.д.

    ЭМГД–предел.  Рассмотрим математически корректный способ вывода ЭМГД– уравнений. За отправной пункт возьмем уравнения общей теории относительности  (ОТО) Эйнштейна [11] и для простоты ограничимся случаем идеальной плазмы. Из уравнений ОТО для смеси электронного, ионного газов и электромагнитного поля легко выводятся [12] уравнения релятивистской электромагнитной газодинамики (РЭМГД–уравнения):

                                                                  (37)

                     ,

                                 ,      

                   ,       

                            ,       

                     ,       ,

где гидро – и термодинамические  уравнения суть пары уравнений для

электронов и ионов, а все величины, за исключением  , имеют индексы  “±” . Здесь   – плотность массы покоя,   – давление и температура в собственной системе координат,  – плотность внутренней энергии и энтропии на единицу массы покоя. В системе (37) помимо диссипативных эффектов не учитывается производство энергии за счет ядерных, химических реакций и гравитации. Если электроны и ионы – идеальные политропные газы  с общим показателем адиабаты  , то энтропийные  уравнения заменяются на следующие:

                              .

    В безразмерном виде РЭМГД – система (для идеальной плазмы с политропными электронами и ионами) сводится к уравнениям:

                   (38)

где  – числа подобия:

и приняты соглашения о характерных масштабах:

                       ,        .

Здесь квадратные скобки означают характерный масштаб величины;  – характерный заряд, – характерная масса,  – характерная длина и т.д.

Если ввести, как это часто делается, дополнительные соотношения между характерными масштабами:

                     ,         ,

то остается только три независимых числа подобия   ,   – параметр удержания,  , а остальные равны   ,   ,   . Ищем решение безразмерной системы РЭМГД – уравнений (38) в виде рядов по степеням:

                        ,                ,  …                                   (39)

где коэффициенты разложений зависят от времени, пространственных координат и, как от параметров, чисел подобия   Подставляя разложения (39) в уравнения системы (38) и приравнивая в каждом уравнении коэффициенты при одинаковых степенях ,  получим семейство уравнений на коэффициенты разложений.

   Теорема 2.  Семейство уравнений на коэффициенты разложений (39) распадается в последовательность групп уравнений, занумерованных целыми числами 0, 1, 2, …,  так что:

1)Уравнения к – ой группы, к>0  образуют замкнутую определенную линейную систему дифференциальных уравнений в частных производных относительно ,  коэффициенты и правые части которых зависят только от коэффициентов разложений с индексами <к ,  причем коэффициенты системы зависят только от нулевых коэффициентов разложений, а дифференциальный оператор уравнений к – ой группы,  к>0 не зависит от к.

2) Уравнения 0 – ой группы образуют нелинейную замкнутую определенную систему дифференциальных уравнений в частных производных относительно  , в размерном виде совпадающую с ЭМГД – уравнением для идеальной плазмы с политропными электронами и ионами:

                                    ,      

                                   ,       

                                     ,       

Заметим, что сами доказательства  Теорем 1,2  и им подобных сводятся к несложной проверке. Ключевым и неочевидным моментом является выбор параметров разложения, обеспечивающих, с одной стороны, нахождение всех коэффициентов разложения (цепочка уравнений на коэффициенты разложений должна расцепляться), а, с другой, – получение нужной предельной системы.

§4.  Благодарности.

  Автор выражает благодарность К.В.Брушлинскому,  А.Н.Козлову, В.В.Савельеву и другим коллегам по работе за участие в обсуждении различных вопросов,  относящихся к двухжидкостной плазмодинамике.

  Автор признателен также Российскому Фонду Фундаментальных Исследований за финансовую поддержку этой  работы.

  Автор выражает благодарность М.С. Михайловой за качественный набор текста.

                           Литература.

1.     М.Б.Гавриков.  Линейные волны в нерелятивистской магнитной гидродинамике. Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша АНСССР,1988,N199.

2.     М.Б.Гавриков.  Апериодические колебания холодной плазмы. Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша АНСССР. 1991, N33.

3.     М.Б.Гавриков, М.С.Михайлова.  Двухкомпонентная квазинейтральная плазма в плоском канале (установившееся течение) Сб. Динамика неоднородных систем под ред. Ю.С.Попкова ИСА РАН, N8, 2004, стр.186-211.

4.     М.Б.Гавриков, М.С.Михайлова. Установившееся течение двухкомпонентной вязкой плазмы в цилиндрической трубе и цилиндрическом слое. Препринт ИПМ им.М.И.Келдыша РАН, 2004, N7.

5.     М.Б.Гавриков, Р.В.Сорокин. О вынужденных колебаниях плазмы в круглой цилиндрической трубе. Часть I. Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 2005, N76.

6.     М.Б.Гавриков, М.С.Михайлова. Уравнение равновесий плазмы в двухжидкостной плазмостатике. Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 2005, N74.

7.     А.И.Морозов, Л.С.Соловьев, Стационарное течение плазмы в магнитном поле. Вопросы теории плазмы. Сб. статей под ред. М.А.Леонтовича. Вып.8, М., Атомиздат, 1974, стр. 3-87.

8.     А.В.Бицадзе. Уравнения математической функции. М., "Наука", 1976, стр.9-15.

9.     И.А.Шишмарев. Введение в теорию эллиптических уравнений. Изд-во МГУ, 1979, стр.6-12.

10.                       С.И.Брагинский. Вопросы теории плазмы. Сб. статей под ред.М.А.Леонтовича. Вып.1, М. Госатомиздат, 1963, стр.183-272.

11.                       Einstein A. // Ann. D. Phys., 1916, Vol.49, p.769.

12.                       Л.С.Соловьев. К релятивистской гидродинамике. Препринт ИАЭ,  N3362/1, М., 1980. (Л.С.Соловьев. Собрание трудов в двух томах, т.II. М., "Наука", 2001, стр7-34).