Об одномерной модельной задаче для уравнения Власова. II.

( On the 1-dimensional Model Problem for the Wlasoff Equation. Part II.
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

0. ВВЕДЕНИЕ

Пусть радиационная генерация электромагнитного поля (далее – ЭМП) идёт в широком потоке быстрых электронов, образующемся при рассеянии в среде ионизирующих частиц. В общем случае  ЭМП  будет самосогласованным, то есть заметно влиять на динамику быстрых электронов, а решение подобных трёхмерных задач в сложных средах требует зачастую недоступного в настоящее время объема ресурсов  ЭВМ.  В ряде практически важных случаев параметры потоков ионизирующих частиц и среды оказываются такими, что эффект согласования  ЭМП  и плотности тока быстрых электронов невелик. Его можно попытаться учесть как малое возмущение при определении значений плотности тока и  ЭМП.  Другие моменты функции распределения быстрых электронов в задачах радиационной генерации  ЭМП  как правило интереса не представляют. Этот подход к трёхмерным задачам целесообразно исследовать в рамках более простых дву- и даже одномерных постановок при определении необходимого набора функционалов от функции распределения [1].

Условия, в которых происходит ионизирующее рассеяние, образование потоков заряженных частиц и  ЭМП,  создаются широким набором физических эффектов [5]. Представляется очевидным, что все они приводят к уменьшению  ЭМП  и фактора самосогласования. Например, столкновения быстрых электронов со средой уменьшает их направленную скорость. В том случае, когда среда имеет исходное распределение электрофизических параметров, заметно отличающееся от вакуумного,  ЭМП  будет иметь заведомо меньшие значения напряженности электрического поля и магнитной индукции. То есть, адекватность методик, рассматривающих эффект согласования как малое возмущение, целесообразно исследовать в рамках модельных задач, описывающих распространение потоков электронов в вакууме.

Целью данной работы является получение асимптотического разложения решения задачи о торможении потока электронов собственным электрическим полем в одномерной вакуумной модели и преобразование его к виду, который интерпретируется в терминах рядов  Бюрмана-Лагранжа  (см., например, [11]). При этом физически очевидно, что влияние поля на электроны в такой задаче заведомо завышено, что гарантирует применимость выводов о сходимости получающихся разложений к решениям для реальных моделей.

Сформулированная проблема имеет универсальный характер: как было показано в работе [2] анализ некоторых задач с реакторной тематикой – управление работой реактора, детальный учет эффекта выгорания и др. (см., например, [3]) – приводит к необходимости рассматривать аналогичную ситуацию. Для описания поведения реактора ищется его нейтронное поле  N = N(t, r, v).  Такая информация, разумеется, избыточна, но с помощью неё сравнительно просто находить различные функционалы от уже найденного поля, значения которых и представляют практический интерес. В данном случае интерес представляет величина  ЭМП – линейного функционала от электронного поля  f = f(t, r, v), – которое само входит в систему Власова-Максвелла и, как будет показано ниже, может в некоторых достаточно простых, но имеющих важные следствия, случаях быть найдено, минуя определение функции  f(t, r, v),  нахождение которой в дальнейшем сводится к решению классических задач с линейными уравнениями первого порядка [4].

В этом состоит определённая специфика системы  Власова-Максвелла.

1. Постановка задачи

Модели  ЭМП  в задачах его радиационной генерации строятся на основе уравнений Максвелла, содержащих роторы электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что быстрые электроны сами ионизуют среду, порождая вторичные электроны и ионы низкой энергии [5]. Концентрация вторичных заряженных частиц во много раз превышает концентрацию быстрых электронов. По этой причине вторичные электроны в математических моделях рассматриваются отдельно. Источником  ЭМП  является сторонний ток быстрых электронов и проводимость слабоионизованного газа вторичных заряженных частиц. Соответствие такой модели закону  Гаусса  обеспечивается уравнением непрерывности для системы всех заряженных частиц.

Рассмотрим эмиссию монохроматического потока электронов со всей плоскости  xOy  вдоль оси  Oz  в вакуум. Функция распределения электронов  f(t, z, p)  удовлетворяет одномерному уравнению Власова, записанному в импульсной, учитывающей релятивистские эффекты, форме:

,

а входящее в него  E – самосогласованное электрическое поле – закону Ампера:

,. Здесь и далее:  с – скорость света;   – скорость электрона;  m₀, , e, – его масса покоя, классический радиус и заряд соответственно. Плоский поток заряженных частиц порождает одну компоненту плотности электрического тока  j(t, z):  вдоль оси  Oz.  В условиях такой симметрии ненулевой является только  Ε_z-компонента  ЭМП.  Остальные его компоненты равны нулю вследствие уравнений Максвелла и однородных начальных данных:  f(0, z, p) = 0,  Ε(0, z) = 0.

Функция  F(t)  описывает интенсивность эмиссии с плоскости, то есть число электронов, вылетающих с единицы площади поверхности в единицу времени. Как и в реальных моделях, для неё выполнено условие   F(0) = 0.

2. Математическая формализация задачи

В дальнейшем все функции времени предполагаются, если не оговорено противное, продолженными нулем на интервал  (t < 0),  а функции от  r  –  на интервал  (z < 0).  Аргументы функции (или часть их) опускаются при записи, если это не приводит к недоразумению. Запись производной просто штрихом (или точкой) означает, что она взята по всему аргументу функции, а не по какой-либо его составляющей.

Задача, поставленная в предыдущем пункте, требует предварительного анализа, например, на предмет сокращения числа входящих в основные уравнения параметров – то есть, как минимум, приведения их к безразмерному виду. Проводя эту стандартную  ( t= t̃τ,  r= r̃ρ,  p= p̃π,  f = f ̃φ(τ, ρ, π),  F = F̃Φ(τ, ρ, π), E(t, r) = ẼΕ(τ, ρ), J = J̃J(τ, ρ), S_ext = Q_ext/Q̃ )  операцию, видим, что между масштабными  – взволнованными  –  коэффициентами должны иметь место стандартные же соотношения, дабы безразмерные уравнения не отличались по своей структуре от своих стартовых размерных аналогов. Таковыми являются: связь скорости и импульса (классическая или релятивистская);  r = vt,  причем, естественнее всегда брать  c  – за масштаб скоростей, а из  t̃  и  r̃  выбирать только одну.

В результате приходим к следующей системе соотношений, приводящих исходную систему к полностью безразмерному виду: один из параметров  L = r̃,  или  T = t̃  является свободным,  L = cT,  P = p̃ = m₀v₀.  Функции, входящие в систему, имеют своими масштабными коэффициентами следующие величины:  Q̃ = 2N/(LTP),  f ̃ = 2N/(LP),  J̃= –|e|N/T,  Ẽ = 4π|e|N,  а единственный параметр, остающейся сомножителем перед  Ε, –  ε  можно выразить как через начальные данные:  ε = 4πr_eLN,  так и через широко используемые  (ω_плаз)² = 4πr_ec²n – плазменную частоту и  ν_ист = 1/T – частоту источника:  ε = υ₀(ω_плаз/ν_ист)².

Приведенная таким образом к безразмерному виду исходная система приобретает вид:

,                                                   (1)

.                                                                          (2)

Первой задачей анализа системы (1-2) будет получение явных формул для    путём разложения его в ряд по степеням  ε, что сведёт дальнейшее решение уравнения (1) к решению классического уравнения первого порядка.

4. Алгоритм разложения решения системы по параметру  ε

Далее, на первом этапе исследования, при получении формул для  E(t, z),  нам потребуются производные всех порядков от временной компоненты источника  F(t).  Считаем, что она является действительной аналитической функцией. Зависимость  v = v(p)  полагаем аналитической по тем же причинам: как классическая, так и квантовая её модели, разумеется, этим свойством обладают, а для построения решения удобнее рассматривать сразу общий случай  υ = υ(π)  произвольного диффеоморфизма луча  π > 0  на луч  υ > 0  либо на интервал  0 < υ < υ₀.

Поиск начального приближения    уравнения  (1)  приводит к формулам:.

Далее, не обговаривая специально, удобно придерживаться следующих обозначений:  χ = τ – ζ/υ,  χ₀ = τ – ζ/υ₀,  τ – (ζ – υ(τ – τ̃))/υ₀ = χ̃₀,  χ̃ = χ.

Пусть  .  Разложив по степеням  ε  произведение    и приравнивая, друг другу коэффициенты при всех последовательных степенях, получаем, как обычно, бесконечную серию уравнений, зацепленных каждое только за одно другое своими правыми частями – последовательными источниками частиц, испытавших данное число взаимодействий (соударений). Начальное уравнение цепочки  (с  S₀ = S_ext  для  φ₀)  уже выписано. Основным для дальнейшего будет то, что левая часть у всех последующих уравнений одинакова. Правые части их имеют следующий вид:  . Тождественность операторов  ,  порождающих все уравнения, позволяет следующим образом записать их решения  φ_n,  в операторной форме:  ,  где  ,  а    – это оператор сдвига по характеристике (невозмущённого) уравнения переноса:  ζ → ζ – υ(τ – τ_n+1). Далее  Ε_m  – это оператор умножения на соответствующую функцию, а  ;  таким образом в развёрнутой записи имеем соотношение  .  В последней формуле дифференцирования по  dπ  отмеченного  υ = υ(π)  НЕ производится.

На этом пути получаются весьма громоздкие явные выражения для поправок   φ_n   при малых   n   [1].

Из них для  J₁(τ, χ₀)  и  Ε₁(τ, χ₀)  получаются весьма простые выражения:  .  Подчеркнем, что простота полученных формул есть следствие того, что для данной задачи оператор обращения уравнений Максвелла   – это просто интегрирование по  dτ  от  0  до  τ.  В результате и все поправки высших порядков выразятся как полиномы от  τ  с коэффициентами, зависящими только от  Ε₀(χ₀)  и её производных. В работе [1] были получены явные формулы для трёх первых поправок к   Ε₀(χ₀).   Формула для      уже выписана,

,         а          =

=.

Далее естественно было предположить, что и общая формула для поправки к    порядка  n  будет иметь аналогичный вид:

,

где   – полином степени  k от  ,  на что указывает показатель степени    в знаменателях его коэффициентов. То, что получатся именно полиномы, а не мономы, как при малых  n,  угадывается при анализе характера упрощений в полученных формулах при переходе от функции распределения к току электронов; уже при  n = 4  в коэффициент при  ,  войдёт сумма  A + B  с наперед неизвестными значениями A  и  B.

5. Операторы Власова порядка  n

Обобщение полученных при малых  n  результатов на поправки к полю высших порядков проводится по той же схеме явного вычисления, но требует дополнительных рассмотрений в новых обозначениях, приведённых в [1]. Например, наглядное, но нестрогое обозначение  υ  использованное выше, естественно теперь заменить на уже введённые конструкции    и  ,  обозначив их через    и    – и назвав соответственно импульсным и скоростным  операторами Власова (чьё уравнение и порождает данную модельную задачу [6]) порядка  n.  Ещё раз подчеркнем, что в дискретном случае (в компьютерном расчёте)    и    будут отвечать за взаимодействие с электромагнитным полем (тоже, разумеется, дискретным) частиц, уже   n   раз провзаимодействовавших с полем.

Записав с их помощью начальный отрезок разложения поля  Ε  в ряд по  ε, получаем следующее выражение полного поля Ε через невозмущённое поле Ε₀:

  .

Связь скобок – а в них соответственно по  2^(n-1)  слагаемых – в данной формуле с введенными в предыдущем разделе величинами  Ε_q  очевидна, но их внутренняя структура нетривиальна. Например, последнюю из них –  Ε₃  (и, как очевидно, все последующие) разбить на  q  компонент можно как минимум двумя способами с различными смысловыми интерпретациями слагаемых.

Во-первых,  Ε_q =,  где индекс  m  соответствует номеру    от которого берётся производная по импульсу. В этом случае получаем:

,

что означает различение взаимодействий частиц с полями различных порядков (индексов). Во-вторых, то же разложение пишется в симметричной форме:

,     (3)

где учитывается только общее число взаимодействий частиц с полем.

Первая форма записи разложения позволяет (по схеме представления операторов Власова, приведенной в [1]) последовательно находить интегральные соотношения между различными компонентами поля  :  , и так далее рекуррентно. Но общую формулу для  Ε_n  получить этим путем затруднительно.

6. Общая формула для поправки к полю порядка  n

Вторая форма записи разложения (3) позволит найти эту общую формулу. Рассмотрим операторный вид общей её формы:

,                           (4)

и аналогично для  φ,  но без оператора  ,  решающего систему Максвелла:

Заметим, что в каждой внутренней сумме    слагаемых, поскольку операторы Власова различных порядков не коммутируют. То есть,  φ_n  является суммой  δ-функции и её  n  первых производных с соответствующими коэффициентами (в которые входят  Ε_ν  для  ν=1,…,(n-1) ). Такое представление одной из компонент решения задачи –  φ  очевидно плохо тем же, чем плохо представление решения произвольного интегрального уравнения через определители Фредгольма: своей необозримостью. Для того чтобы избегнуть подобной ситуации, надо упростить формулу  (4)  так, чтобы далее привести задачу определения   φ   к стандартной.

При упрощении формулы (4) ([1]) коэффициенты, при последовательных степенях  τ^k,  зависящие от  υ  и её производных по  dπ  оказываются удовлетворяющими рекуррентному соотношению:               =  + (n–1+k).   Здесь оператор    = +  +… .

С учетом вычисленных заранее результатов по поправкам малых порядков это означает, что получившийся для описания поправки порядка  n  многочлен с символической переменной    совпадает с полиномом    для производных от обратных функций [7]. То, что порядок его смещен на единицу, вызвано необходимостью снятия одного дифференцирования по  dτ  (в  ).  По той же причине внутренняя его переменная – это не входящая в уравнение Власова (3) скорость  , но интеграл от неё по импульсу то есть энергия:  ω = ω(υ).  Поскольку упомянутые полиномы    стандартно выражаются через имеющие явную формулу полиномы Белла, приходим в итоге к одному из вариантов формулы Бруно [8].

Суммируя полученные при выводе формул (3-4) результаты, приходим к завершающей формуле (5) для записи решения системы (1-2) в замкнутом виде. Здесь и далее, как и ранее  ,  ,    а сокращение записи суммы    используется для обозначения её по всем разбиениям натурального параметра  n:  –    – (подробнее см. [7], с.173):

          (5)

Полезно сравнить полученную для решения системы (1-2) формулу (5) с формулой Тейлора для разложения сложной функции в степенной ряд, с использованием формулы Бруно для  n-производной сложной функции:

7. Классическое и релятивистское решения уравнения Власова

Приведём два частных случая общей формулы (5), решающих задачу нахождения электрического поля  E(τ, ζ),  в классической (все производные, кроме первой, скорости по импульсу равны нулю) и релятивистской –  υ² = π²/(1+π²) ≡ π²/ω²  – трактовках:

                                                                     (6)

                                                       (7).

Здесь   γ^-2=1 – υ²    ,    ,    и далее по индукции

,

где  m = n–k,  P_m(υ)  – многочлены Лежандра,  c(n,k) = 2^n-kk(m-1)!/n!  а, следовательно [10], полиномы  удовлетворяют дифференциальным уравнениям: (1-υ²)y" – 2(k+1) υ y' + (n–k)(n+k+1)y = 0

Формулу (5) можно записать и в несколько изменённом виде, а именно воспользоваться энергией  ω  вместо скорости  υ,  производные от  E₀  брать не по  dτ,  но по  dζ  и провести еще одно дополнительное дифференцирование по  dζ  и индуктивно свернуть сумму по  n  при постоянном  k.  В результате получим упрощение ранее полученной формулы, аналогичное ряду Бюрмана-Лагранжа [11] для пары функций  ω(π)  и  Ε₀(χ₀)  (здесь  ):

Ряды (6) и (7) и их общий случай (5) формально не являются рядами Бюрмана-Лагранжа для вычисления значений аналитической  f(z)  при заданной и также аналитической функции  w = w(z)  ([11], с.141). Требуемая для этого подстановка  z = 0  приводит в силу граничных условий к тривиальному равенству:  0 = 0.  Тем не менее, их (как и сами ряды Бюрмана-Лагранжа) удаётся интерпретировать как решения уравнений   z = z₀ + w·f(z)   при надлежащем выборе  z, w, z₀, f.  Такая их трактовка весьма важна ввиду следующих двух обстоятельств.

Во-первых, ряд (5) вполне может оказаться расходящимся при достаточно больших значениях  ε.  Однако, решение исходной системы (1)-(2) обязано существовать и в этом случае. Классическим примером с аналогичной проблемой оценки  R_сх  является задача Кеплера  ([11], с.148).

А во-вторых, в настоящее время в связи с ростом возможностей  ЭВМ  уже нельзя однозначно говорить, что легче: представлять ли корень исследуемого уравнения (например,  z = cosz) рядом Бюрмана-Лагранжа или же напрямую решать данное уравнение. Грубо говоря, многие расчётные формулы XIX – начала XX веков должны лучше читаться сейчас справа налево.

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

I. Одномерное уравнение Власова для плоского монохроматического потока электронов решено относительно входящего в него электрического поля. Решение (этой модельной, неустойчивой задачи) получено в виде ряда по производным от степеней решения её невозмущённого аналога:

и свёрнуто до обычной суммы, аналогичной ряду Бюрмана-Лагранжа для ω , E₀:

.

Решение применимо для априорных оценок точности асимптотических методик решения трёхмерных самосогласованных задач радиационной генерации электромагнитного поля в сложных средах.

II. Задача (1)-(2)  –  система Власова-Максвелла  –  может быть заменена эквивалентной ей (если требуется определить только электрическое поле  E(τ, χ₀)) системой уравнений:

 -   E(τ, χ₀) = E₀(y(τ, χ₀)),

где для определения  y(τ,χ₀)  служит НЕ дифференциальное уравнение

 - 2υ₀·(χ₀ – y) = ετ²E₀(y)                                                                        в классическом,

 - 1 –εE₀(y)·(y – χ₀ + τ)/γ₀ = (1 – 2υ₀ετE₀(y)/γ₀ + (ετE₀(y)/γ₀)²)^0.5   в релятивистском и

 - υ₀εE₀(y)·(y – χ₀ + τ) = ω(π₀) – ω(π₀ – ετE₀(y))           в общем  (ω = ω(π))  случаях.

III. Основным приложением полученных формул (5-6), решающих систему Власова-Максвелла является, как сказано выше, анализ динамики быстрых электронов. Но это далеко не единственная область их возможного применения. Электронные ливни, рассматривавшиеся в [12], являются характерным примером общих ветвящихся случайных процессов, к анализу которых при наличии обратных связей – нелинейное слагаемое в уравнении Власова – можно применять полученные результаты. В частности, описание процесса сохранения и уничтожения сведений (исторических источников) формализуется системой, аналогичной рассмотренной (1-2), в которой, однако, роль пространственной переменной  z  играет древность источника. Полученное (неустойчивое!) её решение (5) достаточно хорошо [9] описывает (то же неустойчивую!) модель с широко известной формулой: «у истории нет сослагательного наклонения». Отметим также, что линейная задача, аналогичная рассмотренной, но с газокинетическим оператором (без власовской нелинейности) изучалась в работе [15] при исследовании динамики популяций. В ней роль пространственной переменной играл возраст клетки в популяции.

9. ЛИТЕРАТУРА

1.  Н.С. Келлин и др.  Об одномерной модельной задаче для уравнения Власова I.  М., препринт ИПМ РАН № 67, 2003.

2.  Н.С. Келлин.  Условно стационарные начально-краевые задачи в динамике реакторов, – М., ДАН СССР, т. 293, № 2, 1987.

3.  С.М. Фейнберг, С.Б.Шихов, В.Б.Троянский.  Теория ядерных реакторов. М.: «Атомиздат», т.1, 1978.

4.  Р. Курант.  Уравнения с частными производными. М.: «Мир», 1964.

5. .  Экспериментальная ядерная физика.  Под ред. Э. Сегре. М., ИЛ, 1955.

6.  А.А. Власов.  Теория многих частиц. М.-Л., ГИТТЛ, 1950.

7.   Дж. Риордан.  Комбинаторные тождества. М.: «Наука», 1982.

8.  И.С. Градштейн,  И.М. Рыжик.  Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Под ред. Ю.В. Геронимуса и М.Ю. Цейтлина. М., ГИФМЛ, 1963.

9.  M. Rotenberg.  Transport Theory for Growing Cell Population. – J.Theor. Biol., v.103, No 2, pp.181-189, 1983.

10.  Э. Камке.  Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., ИЛ, 1951.

11.  А. Гурвиц,  Р. Курант.  Теория функций. М.: «Наука», 1968.

12.  Р. Харрис.  Теория ветвящихся случайных процессов. М.: «Мир», 1966.

13.  Н.С. Келлин,  Н.Н. Митина,  И.С. Неретин. Ветвящиеся случайные процессы и их приложения к хронографии. – IV Международный форум по информатизации. МФИ-97, М., 1997, сс. 162-165.