Многосвязные структуры горения нелинейной среды

( Multiply connected structures of burning of a nonlinear medium
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Введение

В последнее десятилетие в науке резко возрос интерес к процессам, идущим в режиме с обострением, в котором исследуемая функция (температура, энергия, численность популяции и т.д.) асимптотически приближается к бесконечности в некоторый конечный момент времени t_f , называемый моментом обострения. Этот интерес обусловлен тем, что режимы с обострением нашли много важных приложений в различных областях науки от физики до экономики и социологии [1]-[8].

Базовой моделью для изучения свойств режимов с обострением является квазилинейное уравнение теплопроводности с коэффициентом теплопроводности  и объемным источником тепла , степенным образом, зависящими от температуры . Несмотря на длинную историю исследования решений этого уравнения почти в 40 лет разными учеными: математиками и физиками до сих пор остаются нерешенные проблемы. Эта на вид простая нелинейная модель таит в себе удивительное богатство динамического поведения, обусловленного взаимодействием различных локализованных диссипативных структур, которые при определенных условиях возникают и создают сложнейшую организацию в нелинейной среде.

Локализованные диссипативные структуры описываются инвариантно-групповыми, или автомодельными решениями исследуемого нелинейного уравнения теплопроводности. Они интересны тем, что являются асимптотиками (аттракторами) многих других решений задачи Коши с произвольными начальными данными и обладают либо структурной, либо метастабильной устойчивостью [1],[2],[4],[8]. Метастабильной устойчивостью обладают сложные структуры, имеющие несколько локальных максимумов; они являются «долгоживущими» структурами в сильно нелинейной среде. Автомодельная задача в многомерном случае представляет собой краевую задачу для нелинейного уравнения эллиптического типа. Автомодельные решения принято называть собственными функциями нелинейной среды (СФ), а их совокупность – спектром СФ [9], [10]. Свойства одномерных и радиально-симметричных СФ изучались в работах [11]–[15] и др. В работах [16]–[20] были впервые построены и исследованы двумерные автомодельные решения, описывающие горение среды в виде сложных структур со многими максимумами. Обзор работ по режимам с обострением и свойствам СФ содержится в монографиях и сборниках [1],[2],[4],[8].

Современные исследования спектра автомодельных решений уравнения нелинейной теплопроводности, как в одномерном случае, так на плоскости и в пространстве выявили новые характеристики СФ [21]–[26]. Были впервые построены трехмерные тепловые структуры, имеющие сложную форму области локализации, например, в виде гантели, и др. [24]–[25]. В этих исследованиях спектра СФ был впервые применен бифуркационный анализ, который позволил изучить зависимость решений от значений параметров, найти области существования СФ по параметру, и изучить бифуркации, приводящие к возникновению структур. Было показано, что сложные СФ действительно являются объединением простых структур, как предполагалось ранее. В одномерном случае с помощью бифуркационного анализа было определено число СФ в спектре при данных значениях параметров [21]–[23]. Их оказалось на единицу меньше, чем предполагалось ранее.

В многомерном случае бифуркационный анализ, основанный на численных алгоритмах продолжения по параметру, позволил получить новые типы структур и провести классификацию всех имеющихся структур [25]–[26].

Настоящая работа является продолжением цикла работ по исследованию спектра многомерных СФ. Здесь исследуются сложные двумерные тепловые структуры, содержащие внутри себя «дырки» - области с нулевой температурой, то есть представляющие собой многосвязные области горения. Впервые радиально-симметричные структуры с дыркой были найдены и изучены в работе [15], в [21]–[23] был проведен их бифуркационный анализ. Сложные многомерные СФ с дыркой были впервые обнаружены недавно в [24], [25]. В настоящей работе проводится бифуркационный анализ СФ и исследуется эволюция сложных двумерных структур с изменением параметра. Изучены бифуркации, приводящие к появлению многосвязных структур. Некоторые из них ответвляются от радиально-симметричных структур с дыркой. Построено семейство структур, ответвляющихся от второй СФ с дыркой (структуры в виде одного цилиндрического слоя). Найдены структуры, ответвляющиеся и от четвертой СФ с дыркой (структуры в виде двух объединенных цилиндрических слоев).

Существуют многосвязные структуры, которые не ответвляются от радиально-симметричных структур с дыркой. Они появляются в спектре в процессе эволюции односвязных структур по параметру. При бифуркационном значении параметра абсолютный минимум структуры касается нуля, и она превращается в структуру с дыркой. Некоторые сложные структуры имеют несколько дырок, которые появляются в процессе изменения параметра. Построены бифуркационные диаграммы, демонстрирующие различные сценарии эволюции СФ с изменением параметра.

1.     Постановка автомодельной задачи

Рассматривается процесс горения в среде с объемным источником тепла и нелинейным коэффициентом теплопроводности. Распределение температуры Т(r, t) в пространстве удовлетворяет уравнению:

                             .                                            (1)

где  - заданные параметры. Константы  положим равными единице.

Горение инициируется заданием определенного распределения температуры в абсолютно холодной среде в некоторой области плоскости в двумерном случае или пространства в трехмерном случае:

Т(r, 0) = Т₀(r) £ М < ¥.

На фронте волны горения ставятся обычные граничные условия, соответствующие непрерывности температуры и теплового потока. В рассматриваемом случае фронт находится на бесконечности, и граничные условия имеют вид:

                             .                                          (2)

Известно, что в такой нелинейной среде процесс горения может идти в виде нестационарных диссипативных структур разной сложности. Эти структуры описываются автомодельными решениями задачи (1) (2) вида:

                                     (3)

где автомодельная переменная, а функции  и  находятся путем подстановки выражения (3) в уравнение (1) (см. например, [18], ([2])):

,              (4)

Автомодельное уравнение относительно функции Q(x,) в полярных координатах имеет вид:

               (5)

где t - произвольный параметр обобщенного разделения переменных (3).

Из (3), (4) следует, что автомодельные решения развиваются в режиме с обострением при  (так как b > 1); тогда t  имеет смысл времени обострения.

Исследуются ограниченные решения уравнения (5), удовлетворяющие граничным условиям, соответствующим (2), и условию равенства нулю потока в центре симметрии:

,                                                (6)

.                                  (7)

Задача (5), (6), (7) является задачей на собственные значения (СЗ) t  и собственные функции (СФ) . Собственные функции, отвечающие разным собственным значениям, связаны преобразованием подобия [13], поэтому без ограничения общности можно выбрать любое удобное значение t , например,  , и найти соответствующий ему спектр функций Q(x,j,t).

Исследования, проведенные ранее показали, что в зависимости от значения параметров  и  существует три типа автомодельных решений с обострением. При  они описывают локализованные процессы горения.

В настоящей работе рассматривается так называемый режим. Он имеет место при  и отвечает граничным условиям на бесконечности (6). Автомодельные решения в режиме представляют собой самоподобные нестационарные диссипативные структуры. Все точки такой структуры движутся к центру симметрии (так как  уменьшается со временем (n > 0) см. (4)) и растут в режиме с обострением, полуширина области горения сокращается, и температура при  обращается в бесконечность только в одной точке – центре симметрии.

Для дальнейших исследований удобно перейти к функции , тогда уравнение (5) примет вид:

,                     (8)

где оператор Лапласа в полярной системе координат.

Из асимптотического анализа следует, что при  собственные функции имеют асимптотику:

,                            (9)

и удовлетворяют уравнению:

.                                                               (10)

Задача (5), (6), (7) исследовалась ранее. Задача может иметь не единственное решение, а конечный спектр СФ, в зависимости от соотношения между параметрами  и . Радиально-симметричные СФ являются частными решения автомодельной задачи (5) (6) в полярной системе координат, независящие от угла. В работах [16]-[18] был разработан метод численного построения двумерных структур, впервые построены некоторые виды СФ в декартовой и полярной системах координат. В работе [24], [25] найдены новые типы сложных двумерных СФ и впервые построены трехмерные структуры. В [26] проведен бифуркационный анализ двумерных структур, основанный на методах продолжения по параметру, и изучена эволюция СФ с изменением параметра. Разные СФ отличаются симметрией, количеством максимумов, архитектурой строения и формой области локализации. В этих исследованиях были найдены структуры, представляющие собой многосвязные области горения. Они появляются в спектре при приближении параметра  к значению +1.

Целью настоящей работы является исследование архитектуры многосвязных двумерных структур и также бифуркаций, приводящих к их образованию.

2.     Спектры радиально-симметричных СФ

2.1 Спектр одномерных СФ в плоской геометрии. Радиально-симметричные СФ являются частными решениями рассматриваемой многомерной автомодельной задачи. Именно изучение свойств этих решений позволило высказать предположение о существовании многомерных СФ [9], [16] и потом их построить

Сначала опишем свойства одномерных автомодельных решений, отвечающих плоской геометрии. Показано, что в режиме автомодельная задача может иметь несколько СФ Q_i(x), i=1,2,…,N,   в зависимости от значений параметров b и s; так что их число определяется формулой [22], [23]:

                   .                  (11)

Первая СФ имеет максимум вначале координат и монотонно убывает на интервале . Следующие СФ являются немонотонными, с числом локальных экстремумов, равным их номеру. В области своей немонотонности они совершают колебания около пространственно-однородного (гомотермического) решения  уравнения (5):

                   .                                       (12)

(При выбранном значении .) Нечетные СФ в начале координат имеют максимум с , а четные - минимум с .

          Проведенные исследования, показали что СФ в области своей немонотонности приближенно описываются решением и(x) линеаризованного около  Q_H  уравнения (5) (с и¢(0) = 0):

          ,                 (13)

(где  и соответствует плоской, цилиндрической и сферической геометрии области.) Уравнение (13) заменой   сводится к известному вырожденному гипергеометрическому уравнению:

                   ,

решением которого является вырожденная гипергеометрическая функция:

                             .

СФ описывается решением линейной задачи со своей амплитудой: Q_j(x) » Q_H(1 + А_jи(x)),   где А_j некоторая постоянная (для нечетных она положительная, для четных – отрицательная), причем самая старшая СФ  в наибольшей области, по сравнению с областями для младших СФ, приближается решением линейного уравнения (13). Вне области немонотонности СФ быстро уменьшаются, и, начиная с некоторого значения , описываются асимптотикой (9). В [16] был разработан метод сшивания решения линеаризованного уравнения с асимптотикой, позволяющий получать хорошие аналитические приближения к СФ.

Из формулы (11) следует, что при  автомодельная задача в LS режиме имеет единственное решение – СФ Q₁(x). При  спектр содержит несколько СФ, причем при  число СФ стремится к бесконечности.

Чем больше номер СФ, тем уже интервал по параметру b, в котором она существует. Проведенный анализ показал [21]–[23], что собственная функция  с номером  существует в интервале

                   .                                 (14)

При  она исчезает, сливаясь с гомотермическим решением. А при  она превращается в автомодельное решение в S–режиме, периодическую СФ имеющую  полупериодов на отрезке , где  – фундаментальная длина S– режима [11]:

          .                                                                (15)

2.2 Спектры радиально-симметричных СФ в цилиндрической и сферической геометрии. Спектры СФ в радиально-симметричном случае в цилиндрической и сферической геометрии при многих значениях параметров устроены аналогично плоскому случаю, и число СФ определяется формулой (11). Они также совершают колебания около гомотермического решения и приближенно описываются решением линеаризованного уравнения (13). Как и в плоском случае, верхней границей интервала существования СФ Q_j(x) является точка бифуркации  (14), в которой происходит ответвление СФ от гомотермического решения. Однако, при  близких к  происходят качественные изменения в спектре: 1) четные СФ превращаются в так называемые структуры с «дыркой», имеющие нулевую область в центре; 2) нечетные СФ, начиная с третьей выпадают из спектра. На рис. 1а показаны зависимости от параметра  отклонений от гомотермического решения первых пяти цилиндрически-симметричных СФ при . На рис. 1б и 1с представлены зависимости от  значений x_j,fr(b), точек, которые приближенно можно считать границами областей локализации этих СФ.

          Рис. 1 Бифуркационная диаграмма, показывающая зависимость первых пяти цилиндрически-симметричных СФ от параметра  ().

Рис. 2 Образование структур с дыркой при уменьшении параметра  (; (а), (с) эволюция четных СФ; (б), (д) эволюция нечетных СФ

Рассмотрим, что происходит с автомодельными решениями при уменьшении параметра  и стремлении его к . Здесь эволюция четных СФ, имеющих в начале координат минимум , и нечетных СФ, имеющих максимум , различается. При уменьшении  абсолютный минимум четной СФ, который находится в т.  уменьшается и при некотором значении  достигает нуля  (см. эволюцию второй и четвертой СФ на рис. 1). На диаграмме 1 эти точки бифуркации обозначены ромбиками. При дальнейшем уменьшении параметра  четная СФ отодвигается от начала координат, превращаясь в структуру с «дыркой». Первой (при большем значении ) вырождается в структуру с «дыркой» вторая СФ, затем четвертая и т. д (см. рис. 2а и 2с для второй и четвертой СФ).

Рис. 2б и 2д иллюстрирует бифуркацию, при которой прекращает свое существование нечетная СФ  в момент касания первого минимума оси абсцисс. Она распадается на первую СФ  и четную СФ с дыркой . Чем ближе  к , тем больше в спектре СФ с дыркой уже образовалось, и тем больше нечетных СФ отсутствует в спектре.

При дальнейшем уменьшении параметра  образовавшиеся структуры с дыркой  все дальше и дальше отодвигаются от центра, так что радиусы «пустот»  в центре увеличиваются, и при  уходят в бесконечность. Проведенные численные расчеты выявили асимптотику зависимости  от :

                   .                                               (16)

Рис. 3

На рис. 3 показана зависимость координаты левого фронта , точки максимума  и условной точки правого фронта  у СФ , от  в логарифмической шкале. При  эти линии приближаются к прямой с тангенсом угла наклона равным –0.5, а сама СФ стремится к СФ режима в плоской геометрии. Аналогичные зависимости имеют место и для других структур с дыркой. Локальные минимумы СФ стремятся к нулю, и СФ  приближается на бесконечности к СФ S-режима в плоской геометрии, имеющей  полупериодов. Таким образом, при  близких к  в спектре существует первая СФ – простая структура с одним максимумом, близкая к СФ S-режима. Затем идут структуры с дыркой, потом появляются нечетные СФ и обычные четные СФ. На рис. 4 показаны имеющиеся структуры с дыркой в спектре при . Мы видим, что каждая следующая СФ  сдвинута примерно на пол периода к центру по отношению к предыдущей СФ  (точка минимума СФ  находится в примерно в точке максимума СФ ). Это приводит к тому, что, начиная с некоторого номера , четная СФ становится обычной (то есть отличной от нуля в центре), и в спектре появляются нечетные СФ.

Рис. 4    Структуры с дыркой в спектре СФ при .

2.3. Линейное приближение. Как уже было сказано, в области немонотонности СФ колеблются около гомотермического решения  и хорошо приближаются решением линеаризованного уравнения (13). Это справедливо для любых СФ в любой геометрии, в том числе и для структур с дыркой, если только амплитуда колебаний около гомотермического решения не слишком велика. Для того чтобы описать структуру с дыркой с помощью линейного приближения надо в точке , где находится первый максимум СФ, задать следующие начальные данные для уравнения (13): , тогда решение задачи Коши  будет описывать колебания СФ. Но есть одно существенное отличие между обычными СФ и структурами с дыркой. Для обычной СФ с помощью решения  уравнения (13) можно приближенно определить положение максимумов и минимумов СФ, и методом сшивания построить линейное приближение к СФ. Однако, зная вид функции  при данных значениях параметров в цилиндрической и сферической геометрии, в настоящее время невозможно сказать, сколько существует структур с дыркой и есть ли они вообще, а также, сколько выпало из спектра нечетных СФ. И даже зная, что в спектре существуют структуры с дыркой, нельзя определить положение точек левого фронта и точек их локальных экстремумов, а значит, нет способа построить линейное приближение к структуре с дыркой.

Метод сшивания обобщается и на многомерный случай, если только  не слишком близко к , и СФ всюду больше нуля (не содержит «дырок»). В работах [16]-[18] впервые были высказаны предположения о возможном виде двумерных структур и разработан метод нахождения приближений к ним, основанный на методе линеаризации и методе сшивания с асимптотикой. Были построены два класса начальных приближений к двумерным структурам в полярной и декартовой системах координат, отличающиеся друг от друга принципами строения архитектуры СФ. С помощью этих начальных приближений была построена часть СФ из двух классов. В [19] метод сшивания получил дальнейшее развитие, были получены более сложные приближения, с помощью которых удалось построить классы более сложных структур. В [25]-[26] были предложены некоторые другие приближения. Там же впервые двумерные СФ были продолжены по параметру и проведен их бифуркационный анализ. Кроме того, была проведена классификация всех имеющихся двумерных структур. Двумерные СФ отличаются друг от друга порядком симметрии  (при повороте на угол  переходит в себя); характером точки в центре симметрии и количеством и расположением максимумов. В окрестности начала координат СФ могут иметь а) локальный максимум, б) локальный минимум, в) седловую точку, г) содержать нулевую область. Существуют относительно простые двумерные структуры и более сложные двумерные СФ, в которых максимумы объединяются в группы. Максимумы и минимумы СФ из класса E_jM_m располагаются на окружностях в вершинах правильных многоугольников; а у СФ из класса E_jxi локальные экстремумы располагаются рядами. Сложную СФ можно рассматривать как объединение простых структур.

С тех пор как были найдены радиально-симметричные структуры с дыркой [15], встал вопрос и о существовании многомерных структур с дырками, то есть многосвязных структур горения. Существуют ли они, и если существуют, то какую форму могут принимать «дырки» - области с нулевой температурой? Как найти и построить многосвязные СФ, не зная линейного приближения к ним? Впервые ответы на эти вопросы были получены в работе [25], где с помощью методов продолжения по параметру были построены многомерные структуры с дыркой.

В настоящей работе проводится подробное исследование двумерных структур с дыркой. Исследуется их архитектура, форма областей локализации и зависимость от параметра . Проводится бифуркационный анализ и выясняется, как образуются структуры с дырками, от чего они ответвляются.

3.     Эволюция двумерных структур. Образование «дырок».

3.1 Численные методы построения двумерных СФ. Для построения двумерных СФ используется разностный метод, при котором на плоскости выбирается некоторая область и покрывается сеткой. В качестве области берется область простой формы (круг в полярной системе координат или прямоугольник в декартовой), полностью содержащая область локализации тепловой структуры, и отбрасывается близкая к нулю часть СФ. Обычно учитывается предполагаемая симметрия решения, и строится только часть СФ в секторе с углом раствора , где  – порядок симметрии СФ. На внутренних границах сектора  и  записывают условия симметрии, на внешней границе – условие (10). Внутри выбранной области автомодельное уравнение (8) аппроксимируется со вторым порядком на сетке с помощью пятиточечного шаблона. Характерный размер используемых сеток от 100´100 до 200´200. Полученная система нелинейных разностных уравнений решается итерационным методом Ньютона. Для его реализации необходимо иметь хорошее начальное приближение к искомому решению, то есть иметь достаточно точное представление СФ заранее. В этом состоит главная трудность. В [16]-[18] был разработан так называемый метод сшивания, в котором решение линеаризованного уравнения «сшивается» с асимптотикой СФ на бесконечности. Метод сшивания показал свою эффективность, с помощью этого метода и его модификаций удалось построить и исследовать большую часть СФ. Однако, как было сказано, все эти методы не годятся для получения многосвязных структур, которые появляются в спектре при  близких к .

Для построения структур с дырками в настоящей работе использовались два метода. Первый метод – это метод продолжения по параметру, при котором сложная многомерная структура в процессе эволюции превращается в структуру с одной или несколькими дырками. В процессе продолжения по параметру уже построенная СФ для некоторого значения  служит начальным приближением для СФ, отвечающей следующему близкому значению параметра.

Второй метод можно условно назвать методом натяжения. Его можно использовать, если имеется некоторая структура с порядком симметрии , а мы хотим построить аналогичную структуру (имеющую аналогичные сечения по радиусу) с порядком симметрии . Тогда часть известной СФ заданная в секторе с раствором  «натягивается» на сектор с раствором . Полученная таким образом функция служит начальным приближением для структуры с другим порядком симметрии. Это начальное приближение можно немного улучшить, используя качественные представления, о том, как деформируется структура при изменении порядка симметрии.

3.2. Эволюция двумерных СФ при . Исследуем, что происходит с двумерными структурами при уменьшении параметра  и стремлении его к . Двумерную СФ для наглядности можно представить, как совокупность гор, состоящих из разных вершин (локальных максимумов), разделенных ущельями и впадинами (локальными минимумами). При уменьшении значения  вершины структуры растут, а провалы между ними увеличиваются, и при некотором значении , близком к , структура разваливается на простые локализованные структуры, соответствующие первой радиально–симметричной СФ . Такой сценарий эволюции наблюдается для большинства построенных структур. Другой сценарий эволюции СФ при  состоит в том, что они вырождаются в радиально-симметричные структуры. При этом провалы между максимумами находящимися в одном слое уменьшаются до нуля, в то время как провалы между слоями сохраняются. Есть основания предполагать, что существует и третий сценарий эволюции сложных структур при , который совмещает в себе два предыдущих. Здесь двумерные структуры расщепляются на радиально-симметричные структуры с дыркой и на простые структуры .

3.3. Двумерные структуры с дыркой, ответвляющиеся от радиально-симметричной СФ  (снятие вырождения по углу). Многосвязные структуры появляются в спектре при  близких к . Выявлено два различных сценария появления двумерных структур с дыркой. В первом случае в результате бифуркации ветвления они отделяются от радиально-симметричных структур с дыркой. Построено целое семейство структур  , ответвляющихся от второй СФ с дыркой  (см. бифуркационную диаграмму на рис. 5). Здесь в точках бифуркации «хребет» СФ в виде окружности, на котором расположен максимум функции , начинает расщепляться на  максимумов и минимумов, и формируется двумерная структура (см. например, СФ  на рис. 8 (а)). Понятно, что это может происходить, только при определенных значениях радиуса, то есть при бифуркационных значениях параметра , когда СФ  в виде цилиндрического слоя находится на определенном расстоянии от центра. Чем меньше значение , тем больше средний радиус  у СФ , тем больше может иметь максимумов ответвляющаяся от нее двумерная структура с дыркой  (см. рис. 5). Расчеты показали, что ответвление СФ  происходит тогда, когда  (15) становится больше  примерно в полтора раза. При дальнейшем уменьшении параметра  максимумы у ответвившийся двумерной СФ  начинают расти и расходится от центра. И при некотором значении параметра, когда  становится примерно равной , структура  распадается на  простых структур . На рис. 6 показан вид СФ , , , семи СФ из класса  и их линий уровня для значения  близкого к  (). Мы видим, что представленные двумерные структуры близки к распаду на простые структуры . На рис. 7 представлены разрезы СФ  по радиусу при разных значениях угла для тех же значений  и . Чем больше порядок симметрии структуры , тем дальше она отодвинута от центра, тем больше у нее радиус дырки.

Рис. 5 Бифуркационная диаграмма, демонстрирующая ответвление от радиально-симметричной  собственной функции  Q₂(x)  двумерных структур  Q_2mN(x,j), имеющих N максимумов, находящихся в одном цилиндрическом слое (s = 2).

Замечание. Обратим внимание на то, что СФ  и СФ  не ответвляются от радиально-симметричной СФ . СФ  при больших значениях  превращается в плоскую волну, описываемую на плоскости одномерной СФ  [26]. А СФ  при увеличении параметра испытывает седло-узловую бифуркацию (см. диаграмму на рис. 5) при , в которой кривая зависимости характеристик СФ от параметра, имеет точку поворота. При  кривая зависимости имеет две ветви. На одной ветви находятся структуры, имеющие максимум в центре симметрии (СФ ), на другой – минимум (СФ ). Изменение типа структуры происходит путём постепенного изменения значения СФ в центре симметрии; при котором локальный максимум превращается в локальный минимум, проходя вблизи точки бифуркации  через седловую точку [26].

3.3. Превращение двумерных СФ в многосвязные структуры. Теперь рассмотрим другой сценарий появления структур с дырками в спектре. Они появляются в процессе эволюции, когда локальный максимум или максимумы касаются нуля. При дальнейшем изменении параметра вокруг этих точек касания образуются области с нулевой температурой – дырки. Такую эволюцию испытывает структура , ответвляющаяся от обычной радиально-симметричной СФ  и структура , ответвляющаяся от СФ  (см. рис. 8 (б)). В последнем случае в процессе эволюции по параметру сначала появляется дырка в центре, а потом и в районе других минимумов СФ  (см. рис. 8 (в)). На рис. 9 и 10 представлены различные сложные структуры с одной или несколькими дырками. Все они превратились в многосвязные структуры в процессе эволюции, и ни одна из этих структур не ответвилась от радиально-симметричной СФ.

Замечание. В работе [25] построены трехмерные структуры, и показано существование трехмерных структур с дырками. Есть все основания предполагать, что эволюция трехмерных структур по параметру аналогична эволюции двумерных структур. При  они распадаются на простые структуры или (и) превращаются в сферически-симметричные СФ. При этом у многих появляется одна или несколько дырок. По-видимому, существуют трехмерные СФ, ответвляющиеся от сферически-симметричных СФ с дырками.

Рис. 6 (а)-(к) (см. ниже) Некоторые СФ при ; (а) Простая структура ; (б) Радиально-симметричная структура с дыркой ; (в) Простейшая двумерная структура  и ее линии уровня; (г) СФ , лежащая на одной бифуркационной кривой с СФ (д)  (см. диаграмму); (е)-(к) Структуры из класса , ответвляющиеся от СФ  и их линии уровня

                                      (a)                                              (б)

                               (в)

                        (г)

                          (д)

                          (е)

                            (ж)

                               (з)

                                (и)

                                   (к)

                           (а)                                                       (б)

                          (в)                                                     (г)

                              (д)                                                      (е)

Рис. 7 Разрезы СФ   по радиусу при разных значениях угла.

(а) СФ  () и ее линии уровня.

(б) СФ  () и ее сечения по радиусу.

(в) СФ  () и ее сечения по радиусу.

Рис. 8

Рис. 9 Многосвязные СФ  (слева, ) и СФ  (справа, ), их линии уровня и сечения вдоль радиуса.

(а) СФ  и ее линии уровня .

(б) СФ  и ее линии уровня .

(в) СФ  и ее линии уровня .

Рис. 10

Литература

1.     Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений //М.: Наука, 1987. 480 с.

2.     Режимы с обострением. Эволюция идеи. –М.: Наука.1998. – 255с.

3.     Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Потапов А.Б. Нестационарные структуры, динамический хаос, клеточные автоматы // Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. М.: Наука. 1996. С. 95.

4.     Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 28 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). М., 1986.

5.     С.П. Капица, С.П. Курдюмов, Г.Г. Малинецкий. Синергетика и прогнозы будущего. М.: Эдиториал УРСС, 2001.

6.     Князева Е.Н., Курдюмов С.П. Основания синергетики //СПб.: Алетейя, 2002.

7.     Белавин В.А., Курдюмов С.П. Режимы с обострением в демографической системе: Сценарий усиления нелинейности //Жур. Вычислит. Матем. и Матем. Физ., 2000, Т.40, №2, С.238-251.

8.     Galaktionov V. A., Vazquez J. L. The problem of blow-up in nonlinear parabolic equations. //J. Discrete and continuous dynamical systems, 2002, V. 8, № 2, pp. 399-433.

9.     Курдюмов С. П. Собственные функции горения нелинейной среды и конструктивные законы построения ее организации //Современные проблемы мат. физики и выч. математики. М. Наука 1982, 217-243.

10. Kurdumov S. P. Evolution and self-organization laws in complex systems //Int. J. Modern Phys. C1. 1990, 299-327.

11.            Самарский А.А., Змитренко Н.В., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Тепловые структуры и фундаментальная длина в среде с нелинейной теплопроводностью и объемным источником тепла // Док. АН СССР, 1976, Т.227, №2.

12.            Самарский А.А., Еленин Г.Г., Змитренко Н.В., др. Горение нелинейной среды в виде сложных структур // Док. АН СССР, 1977, Т.237, №6.

13. Еленин Г. Г., Курдюмов С. П., Самарский А.А. Нестационарные диссипативные структуры в нелинейной теплопроводной среде //Жур. вычислит. Матем. и матем. Физ. 1983, т. 23, № 2, с. 380-390.

14.            Курдюмов С. П., Куркина Е. С., Малинецкий Г. Г. Самарский А. А. Диссипативные структуры в неоднородной нелинейной горящей стреде // Док. АН СССР, 1980, Т.251, №3.

15. Димова С. Н., Касичев М. С., Курдюмов С.П. Численный анализ собственных функций горения нелинейной среды в радиально-симметричном случае // Жур. вычислит. матем. и матем. физ. 1989, т. 29, № 11, с. 1683-1704.

16. Курдюмов С. П., Куркина Е. С., А.Б. Потапов. Исследования многомерной архитектуры собственных функций нелинейной среды: Препринт № 75 M.: ИПМатем. АН СССР. 1982.

17. Курдюмов С. П., Куркина Е. С., А.Б. Потапов, А.А. Самарский. Архитектура многомерных тепловых структур // Док. АН СССР. 1984. Т. 274. № 5. C. 1071-1075.

18. Курдюмов С. П., Куркина Е. С., А.Б. Потапов, А.А. Самарский Сложные многомерные структуры горения нелинейной среды. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1986. T. 26. №  8. C. 1189-1205.

19. А.Б. Потапов. Построение двумерных собственных функций нелинейной среды: Препринт №  8 M.: ИПМатем. АН СССР. 1986.

20. Димова С.Н., Касичев М.С., Колева М. Анализ собственных функций горения нелинейной среды в полярных координатах методом конечных элементов //Матем. моделир. Т. 4, № 3, 1992,  С. 74-83.

21. Куркина Е. С. Исследование спектра автомодельных решений нелинейного уравнения теплопроводности // Прик. матем. и информат. М.: Изд-во МГУ, 2004. № 16. С. 27-65.

22. Куркина Е.С., Курдюмов С.П. Спектр диссипативных структур, развивающихся в режиме с обострением //Доклады АН, Т. 395, № 6, с.1-6, 2004 г.

23. Курдюмов С.П., Куркина Е.С. «Спектр собственных функций автомодельной задачи для нелинейного уравнения теплопроводности с источником» // ЖВМиМФ, 2004 г. Т. 44. № 9. С. 1619-1637.

24. Куркина Е.С., член-корр. Курдюмов С.П. «Квантовые свойства нелинейной диссипативной среды». //Доклады АН, Т. 399, № 6, с.1-6, 2004 .

25. Куркина Е.С. «Двумерные и трехмерные тепловые структуры в среде с нелинейной теплопроводностью»// Прикладная математика и информатика № 17, М.: Изд-во факультета ВМиК МГУ, 2004, с.84 - 112.

26. Куркина Е.С., Никольский И.М. Бифуркационный анализ спектра двумерных тепловых структур, развивающихся в режиме с обострением //Прик. матем. и информат. М.: Изд-во МГУ, 2005. № 22. С. 30-45.