Введение. Задачи плазмостатики исторически возникли как составная часть программы УТС [1]. В центре внимания плазмостатики находится расчет равновесных конфигураций плазмы и удерживающего её магнитного поля. Технические конструкции, реализующие равновесные конфигурации, называются магнитными ловушками. Теоретической основой расчета магнитных ловушек на сегодняшний день является МГД – теория.

   Практически наиболее интересны равновесные конфигурации, обладающие определенной симметрией: цилиндрической, плоской, осевой, винтовой. В случае осевой симметрии равновесная МГД – конфигурация ищется как решение уравнения Грэда – Шафранова [1,2]:  

где – функция магнитного потока,  – произвольные заданные функции, имеющие смысл давления плазмы и функции полного тока.

   В работе выведены уравнения плазмостатики (общие и в случаях цилиндрической и осевой симметрии), базирующиеся на существенно более точных ЭМГД  (ЭлектроМагнитных ГидроДинамических) – уравнениях плазмы,  предельным случаем которых  –  при стремлении погонного числа частиц к бесконечности – являются  МГД  – уравнения. 

    ЭМГД – теория [3], предполагая квазинейтральность и нерелятивистский характер плазменных процессов, в полном объеме, в отличие от МГД,  учитывает инерцию электронной компоненты.

   В случае осевой симметрии уравнения ЭМГД – равновесия сводятся к паре дифференциальных уравнений 2-го порядка относительно функций магнитного потока  и полного тока  (уравнения (25-27) из §5). В практически важных предельных случаях – пинча и  – пинча полученная система редуцируется к одному уравнению 2-го порядка относительно  (уравнение (14) из §4) и  (уравнение (37) из §7), соответственно.

   Выведенные уравнения ЭМГД – равновесия  принципиально отличаются от уравнения Грэда – Шафранова.   

   Во-первых, для ЭМГД семейства поверхностей уровня , не совпадают между собой, как это было в МГД, а, напротив, функции  функционально независимы.

  Во-вторых, ЭМГД – равновесные конфигурации зависят от распределения плотности плазмы, которая, в отличие от МГД – теории, не может выбираться произвольно, но подлежит нахождению.

    В-третьих, в ЭМГД – плазмостатике разреженная и плотная плазма подчиняется разным законам равновесия. Математически это выражается в том, что полученные уравнения ЭМГД – равновесия являются смешанного типа системой дифференциальных уравнений относительно  и , гиперболической для разреженной плазмы и эллиптической для плотной (см. § 7).

    В-четвертых, ЭМГД – равновесия существенно определяются уравнениями состояния плазменных компонент (см.§5).

    Уравнения ЭМГД – плазмостатики в МГД – пределе переходят в уравнение Грэда – Шафранова. Количественной мерой различия двух теорий является  параметр

где – кратность заряда ионов,  – характерные плотности числа частиц и длины. Теоретически, ЭМГД – плазмостатика переходит в МГД – плазмостатику при . Однако, для параметров реальной плазмы  конечно, и различие двух теорий может быть существенным, причем не только количественно , но и качественно, поскольку дифференциальный оператор уравнений ЭМГД – равновесия является сингулярным по  и значит в МГД – пределе, , вырождается. Поэтому уравнение Грэда – Шафранова является не просто предельным, но вырожденным случаем ЭМГД – плазмостатики.

         § 1.  ЭМГД  –  модель плазмы.

  Течение бездиссипативной квазинейтральной нерелятивистской плазмы с учетом инерции электронов подчиняется следующей системе уравнений (ЭМГД–уравнения) [3] :

      ,                                                   (а)

       ,                                                 (б)

       ,                              (в)                        (1)

       ,        (г)

       ,                               (д)

       ,                                                  (е)

Тензор напряжений   и тензор  вычисляются по формулам:

                                                                                                             (2)

А гидродинамическая , пондеромоторная  и токовая  части тензора напряжения определяются соотношениями:

        ,                                                                 

       ,                                                                      (3)

             .

Выше считалось  ,   ,   ,   , где    –  энтропии, давления, плотности и гидродинамические скорости электронов и ионов полностью ионизованной плазмы с массами частиц    и зарядами   . Система (1-3) замыкается уравнениями состояния для электронов и ионов  , при этом для каждой компоненты выполнено термодинамическое тождество .  Решив систему (1-3),  по элементарным формулам:

      ,     ,     ,

находим гидродинамические скорости и плотности плазменных компонент. Нетривиальность этих соотношений в том, что в силу системы (1-3) так вычисляемые скорости и плотности компонент плазмы удовлетворяют точным законам сохранения  массы, энергии, импульса.

   В случае, когда компоненты плазмы суть идеальные политропные газы с общим показателем адиабаты , идеальная МГД получается предельным переходом из системы (1-3) при стремлении к бесконечности погонного числа частиц плазмы:

      ,    ,    ,

      ,       ,  

       ,    ,      .

      §2. Уравнения ЭМГД  –  плазмостатики. 

  Рассмотрим решения системы (1-3), предполагая ,  .

      Теорема 1.   Система (1-3) с ,  равносильна соотношениям:

                             ,

                             ,

                             ,                                                                              (4)

                             .

При этом ток , электрическое поле  и тензор  вычисляются по формулам:

                             ,    ,

                                                                                                                           (5)

                             .

Доказательство.  Равенства  , , подставленные в систему (1-3), приводят к соотношениям:

                             ,                          (а)

                             ,                                                                                (б)

                              ,                             (в)

                            ,                                                                                    (г)

                            .                                                                                   (д)

С учетом (г) получаем для  :

Но из уравнения (а):

      .

Откуда:

Но тогда условие (г) приводит к соотношению:

       ,

откуда получается равенство . Тем самым получили все соотношения (4), (5). Очевидно, что и обратно: при выполнении (4) и (5) выполняются уравнения (а – д), а значит и  уравнения системы  (1 – 5)  с  , ,  ч. т. д.

   Итак, стационарная () в среднем неподвижная () плазменная конфигурация является решением системы (4 – 5). Эта система включает 6 неизвестных скалярных функций    и состоит из  9 скалярных уравнений. Чтобы получить из неё уравнения ЭМГД – плазмостатики, воспользуемся следующей математической теоремой, являющейся несложным следствием теорем о неявной и обратной функциях.

     Теорема 2.  Пусть – открытое,   – функции класса

,  причем  (а)   в , (б) в любой точке из  векторы    одновременно не равны 0. Тогда образ   при отображении  ,    есть одномерное подмногообразие.

  Условия (а) и (б) из формулировки Теоремы 2 равносильны требованию чтобы ранг отображения , из Теоремы 2  всюду в  тождественно равнялся бы 1. Утверждение Теоремы 2 означает функциональную зависимость   и  . Поясним точный смысл этого утверждения. Пусть  – произвольная, тогда найдется открытое   ,  для которого либо   ,  либо   ,  для всех ,  где   – функции класса ,  заданные  на некоторых  интервалах. Это локальная версия функциональной зависимости. Глобальная может и не иметь место. Тем не менее Теорема 2 в дальнейшем будет основанием для заключения о функциональной зависимости либо вида  ,  либо  –  .

Важно, что справедливость указанных функциональных зависимостей достаточна для выполнения равенства  . Поэтому решения получаемых ниже посредством Теоремы 2  уравнений равновесия заведомо будут являться и решениями системы (4–5). А  Теорема 2  гарантирует при этом отсутствие,  вообще говоря,  других  равновесий.

    Из  Теоремы 2   и второго равенства системы (4) следует:

      ,

где  – произвольная гладкая функция. Поэтому, учитывая равенства

        ,     ,

для нахождения 6 скалярных величин    получим из (4-5) семь скалярных уравнений: 

                                                                                       (6)  

с произвольной гладкой функцией  . Дополненные уравнениями состояния плазменных компонент  ,  ,  они дают систему уравнений ЭМГД – плазмостатики. 

   Учтем теперь присутствие внешних токов . Тогда в системе ЭМГД – уравнений (1-3) изменятся  только  уравнения (1.б, г, е):

       , 

         .

Полученную систему уравнений обозначим (1′). Подчеркнем, что в (1′) тензо-ры и  вычисляются по старым формулам (2–3). Полагая в системе (1′, 2, 3)  и дословно повторяя приведенные выше рассуждения, приходим к следующей системе уравнений ЭМГД – плазмостатики с учетом  внешних токов:

                                                                                                            (6′)

где  – произвольная гладкая функция и фиксированы уравнения состояния  ,  . При этом электрическое поле в равновесной конфигурации вычисляется по старой формуле (5).

  §3.  Равновесия в цилиндрически симметричном случае.

В отсутствие внешних токов,  , система (6) в случае ,   приводит к соотношениям:

      ,   ,   ,                .

С учетом этого второе и третье уравнения в (6) выполнены тождественно, а пятое позволяет по известным   и  найти    из линейной системы с ненулевым определителем:   

       .

Оставшееся первое векторное уравнение в (6) сводится к одному скалярному равенству:

        ,   

которое, учитывая выражения для  , дает следующее уравнение равновесия:   

       .                                                           (7)

Итак,  в случае цилиндрической симметрии система уравнений ЭМГД – плазмостатики (6) сводится к одному уравнению (7). В МГД – пределе , уравнение (7) переходит в известное уравнение равновесия в МГД для цилиндрически симметричной конфигурации [4]:  

              .

В случае  – пинча () уравнения равновесия в МГД – и ЭМГД – теориях совпадают. В случае  – пинча  из (7) следует:    

        .                                                                    (8)

Значит в – пинче полное давление плазмы  не постоянно, как в МГД – теории, но монотонно растет с удалением от оси , причем тем быстрее, чем меньше плотность плазмы  и больше азимутальный ток . В частности, диамагнетизм цилиндрического – пинча сильнее, чем предсказывает МГД – теория. В МГД для – пинча имеем . В ЭМГД ситуация сложнее.

Рассмотрим (8) как дифференциальное уравнение относительно :

                                                         (9)

где точка над буквой – дифференцирование по. Тогда в МГД – пределе решения одного из дифференциальных уравнений (9) переходят в МГД – равновесия, а решения другого не сходятся ни к какому МГД – равновесию и, значит, дают принципиально новые равновесные конфигурации, не укладывающиеся в МГД – теорию. Продемонстрируем это на частном примере. Если , то из (9) получаем два решения:

      ,               ,

где – значение на оси . Первое решение – то же, что и в МГД, а второе в МГД – пределе вовсе не стремится к константе, т.е. к МГД – равновесию. Выбирая различные , получим из второго решения различные равновесные конфигурации, не имеющие аналогов в МГД. Например, пусть в равновесном плазменном шнуре радиуса плотность равна , тогда для получим:

    .     

Важную роль играет безразмерная комбинация . МГД – предел отвечает переходу . Но тогда поточечно на  сходится к   и никакого МГД – равновесия в пределе не возникает. Математически указанный эффект объясняется наличием малого параметра при старшей степени в уравнении (8). Другой интегрируемый случай, когда ,  . Тогда интеграция (9) дает:   

       ,       

где ,  – значение .

В общем случае, выбирая распределение плотности по закону:

       ,    

получим равновесие с постоянным по радиусу полным давлением,

      ,           

  Основное уравнение (7) можно рассматривать как формулу для вычисления распределения плотности    в  равновесной цилиндрически симметричной конфигурации по произвольным полям :

                                                  (10)

Единственное физическое ограничение  приводит к неравенству:

Таким образом, ЭМГД – плазмостатика в цилиндрически симметричном случае сводится к неравенству:

      ,

которое в зонах, где  , должно быть строгим и тогда по (10) в этих зонах, однозначно находится распределение плотности . А в зонах, где , указанное неравенство переходит в точное равенство, совпадающее с уравнением МГД – плазмостатики в цилиндрически симметричном случае  ( а плотность  в этих зонах произвольная).

     § 4. Равновесия в аксиально симметричном случае:  – пинч.  

  В случае , переходя к цилиндрическим координатам в системе (6′)

и считая , получим:

        :                                                                                                 (а)

        :                                                                  (б)

          :                                                                (в)

           :                                                                                   (г)

        ,        ,             

Введем функции  магнитного потока  и полного тока :

        ,            ,              

Тогда соотношения (г) перепишутся в виде:

        ,                                                                  (г′)

        ,          .

Теорема 3.  Пусть   тождественно,  ,  тогда:             

1)      – произвольные гладкие функции,

2)     , где  – произвольная гладкая функция.

   При соблюдении этих условий второе равенство в (6′) и соотношение  выполнены тождественно.      

  Доказательство. Рассмотрим  как функции от трёх переменных , тогда условие  с учетом выражений (г′)  равносильно  векторному равенству: 

       ,      

Поскольку , то выполнены все условия Теоремы 2  и значит  , что доказывает 1).

 Третье соотношение (а) с учетом (г′) и выражений для  перепишется так:

Группируя подобные члены, получим:

Последнее равенство равносильно соотношению (см. начало доказательства):

Поскольку , то на основании  Теоремы 2  заключаем, что

        ,    

где  – произвольная гладкая функция. Ч.Т.Д.

  Проанализируем уравнения равновесия (6′) сначала в вырожденном случае, когда , т.е. когда . Физически это соответствует – пинчу.

  Итак,  пусть , тогда из (г′) получим . Значит равенство (б) и третье равенство (а) выполнены тождественно. Равенство (в) выполнено всегда, а первые два уравнения (а) с учетом выражений для  дают:

                                                                                                                 (11)

К этим равенствам надо добавить выражение для  через  и :

                                         (12)                                                                          

      Если из системы (11 – 12) найдены функции , то пятое уравнение (6′) позволяет найти функции   из системы линейных уравнений с ненулевым определителем:     

Проинтегрируем систему (11-12).

Теорема 4. Пусть  –  произвольная гладкая функция, –   произвольное решение  уравнения в частных производных 1-го порядка:

        ,                                                             (13)

а    – решение эллиптического уравнения     

         .                                                                  (14)

Тогда функции  ,  ,    являются решением системы (11–12) и любое решение этой системы,  для которого   тождественно, получается указанным способом.   

   Доказательство.  Найдем решения системы (11–12), для которых  тождественно. Тогда можно сделать замену переменных, перейдя от переменных   к  переменным . Пусть в новых переменных   – одна из искомых функций. Из второго уравнения (11) выводим:

      .

А т.к. , то отсюда следует

и значит

Подставляя полученные выражения для  в первое уравнение (11):

      ,

получим уравнение на функцию  :

      ,  

которое совпадает с (13). Наконец, подставляя полученные выше выражения для   в равенство (12), получаем уравнение  (14). Ч.Т.Д.

   В МГД – пределе,  ,  (13) дает, , т.е. ,  но тогда (14) совпадает с уравнением Грэда – Шафранова. (см. Введение) в случае  . Итак, отличие от МГД – теории проявляется в функциональной зависимости давления не только от магнитного потока , но и от радиуса . Этому есть простое физическое объяснение. Поскольку в ЭМГД – теории, в отличие от МГД, ток есть движение заряженных частиц, то при наличии азимутального тока  заряженные частицы плазмы вращаются вокруг оси  (в среднем покоясь при этом) и значит на них действует центробежная сила, равная, как легко подсчитать, . Поэтому градиент давления должен уравновесить не только пондеромоторную силу (как это было в МГД), но и центробежную. В итоге градиент давления распадается  в сумму двух слагаемых. Первое, равное ,  уравновешивает центробежную силу – соответствующий баланс сил выражен уравнением (13), второе слагаемое, равное  , уравновешивает пондеромоторную силу – этот баланс сил записан в уравнении (14). Таким образом, приходим к системе (13 – 14). Уравнение (13) показывает, что давление непостоянно на магнитных поверхностях . Более того, на каждой магнитной поверхности оно возрастает по мере удаления точки поверхности от оси . Именно за счет этого роста градиент давления уравновешивает центробежную силу.

     В отличие от МГД – теории, ЭМГД – равновесия определяются распределением плотности . Это приводит к недоопределенности системы (13 – 14), поэтому в буквальном смысле её решение тривиально. Выберем любую функцию , лишь бы . Для этой функции, с одной стороны, решим эллиптическое уравнение (14) и найдем , а с другой – вычислим из (13) функцию . После этого, подставив в  и  найденную функцию , получим пространственные распределения . Таким образом, содержательная постановка задачи для системы (13 – 14) должна опираться на некоторые физические гипотезы относительно искомой равновесной конфигурации, позволяющие установить функциональную связь между   и .  Например, будем искать равновесные

конфигурации, для которых энтропии электронов и ионов однородны по пространству. Для таких конфигураций:   

суть известная функция от ,  поскольку   –  константы. Условие изоэнтропичности можно заменить на изотермичность, либо условие   и т.д. В общем виде эту идею можно сформулировать так. Пусть задана функция  (гладкая, положительная в области    и монотонно возрастающая). Ищем решение уравнения

                                                                               (15)

и для найденной функции   решаем уравнение (14). Если  его решение, то  ,  задают параметры искомой равновесной конфигурации. Уравнение (15) может быть решено в явном виде.

  Теорема 5.  Пусть  , тогда уравнение в частных производных 1-го порядка

                                                                                             (15′)

имеет следующий полный интеграл

где   – произвольные, а  

           .

  Доказательство. Можно прямой подстановкой убедиться, что для любых фиксированных вещественных    функция  является точным решением уравнения (15′). С другой стороны, делая замену   в уравнении (15′), приведем его к виду:

Но это уравнение относится к типу уравнений с разделяющимися переменными [5, стр.388] и его решение [5, там же] по стандартной схеме приводит к искомому результату. Ч.Т.Д.

   Уравнение (15′) имеет решение двух сортов. Во-первых, это функции, возникающие из полного интеграла, т.е. вида   для любых фиксированных  . Во-вторых, это функции вида , где   вычисляются по произвольной гладкой функции   по следующему правилу: –  решение уравнения   относительно . Других решений уравнение (15′) не имеет. Подробности смотри в [5].

  Наконец, приведем количественную оценку различия ЭМГД – и  МГД – равновесий  – пинча водородной плазмы. Выберем характерные масштабы    так, чтобы :

        ,       ,      ,      ,       

где   – характерная плотность числа частиц,   – характерная длина и т.д. Обезразмерим уравнения (13), (14):

             ,                                                                               (13′)

          ,                                                                                 (14′)

где в гауссовской системе единиц:

безразмерный параметр (см.§3). МГД предел соответствует переходу .    Очевидно, если погонное число частиц   ,  то ЭМГД –  и МГД – равновесия будут существенно различаться. Но даже при  и малом различии функций  и   соответствующие им магнитные поверхности могут иметь принципиально разную топологию.

      § 5.   Аксиально симметричные равновесия: общий случай.

         Разберем теперь основной случай,  тождественно,  считая .  Тогда, согласно Теореме 3, имеют место первые интегралы:

                                                                                                           (16)

         ,                                                                           (17)

где    –  произвольные гладкие функции. Отсюда

                             (18)

известная функция от  . Пятое уравнение системы (6') накладывает на эту функцию определенное ограничение, которое будет рассмотрено ниже, но вывод уравнений равновесия от этого ограничения не зависит. Первый интеграл (17) вместе с двумя первыми уравнениями (а) из §4 и с учетом (18) образует систему из трех уравнений для нахождения трех неизвестных функций . Получим эту систему в явном виде. Выразим  из (17)

                                                                                               (19)

и подставим полученное выражение в первые два уравнения (а) из §4, учтя при этом выражения (г′) для    и формулы для . Принципиально важно, что результат подстановки можно записать в следующем симметризованном виде:

                                                                                                                        (20)

Умножим первое уравнение (20) на , а второе на и сложим:

      .

Группируя члены, получим:

                                                                                                                      (21) 

Теперь заметим, что разделив равенство (21) на  в фигурных скобках получим выражения вида:

           ,                       , 

где

                                                                                                 (22)

Поэтому равенство (21) примет вид:

Учитывая выражение для ,  получим в итоге:

Последнее соотношение эквивалентно векторному тождеству:

и т.к. , то на основании Теоремы 2 заключаем, что  – произвольная гладкая функция. Итак, получили еще один первый интеграл

                                     (23)

Используя выражение (19) для , этот интеграл можно переписать в виде:

        ,   

Наконец, преобразуем выражение для , интегрируя (22) по частям:

Теперь немного термодинамики. Если рассматривать все термодинамические параметры как функции энтропии и плотности, то из 2-го закона термодинамики  следует, что  . Поэтому:

             , 

где   .

Откуда

        ,

где  – плотность внутренней энергии плазмы. Поэтому окончательно имеем:

          .

Итак, интеграл (23) может быть переписан в виде:

         .                                                                          (24)

Продолжим вывод уравнений равновесия. Выразим из интеграла (23) комбинацию  и подставим её под знак дифференцирования в любое из двух уравнений (20):

Тогда приходим к одному и тому же дифференциальному уравнению относительно функции :

Наконец, подставляя выражение (19) для  в равенство

получаем дифференциальное уравнение относительно . В итоге получим следующую систему уравнений для нахождения функций  :

                                                                                                                                              (25)

                  ,

         ,

где

        ,

                                                                                                                          (26)

         ,

 – произвольные гладкие функции,  – произвольная функция, – произвольные гладкие функции, подчиненные ограничению ((равносильному пятому уравнению системы  ()):

                                               (27)

тождественно по всем  .  Система (25–27) и является искомой системой уравнений ЭМГД – плазмостатики в присутствии внешних токов и для произвольных уравнений состояния электронов и ионов.  

   Особо отметим роль уравнений состояния в ЭМГД – плазмостатике. Условие (27) заведомо всегда выполнено для изоэнтропических равновесий, когда  . Тогда уравнения равновесия (25) упрощаются, т.к. . Существует ли неизоэнтропические равновесные конфигурации, зависит от уравнений состояния плазменных компонент. Вот простой пример.

  Пусть электроны и ионы – идеальные политропные газы с показателями адиабаты . Тогда:

        ,

где – постоянная Больцмана. Условие (27) дает 

Если показатели адиабаты различные, , то функции

линейно независимы и последнее условие может быть выполнено для всех  только в случае , т.е. только для изоэнтропических равновесий. Но если показатели адиабаты  равны, ,  то    и условие (27) равносильно равенству:

      ,  

что позволяет константу   и гладкую функцию  выбрать произвольно (тогда  однозначно вычисляются). При этом:

          ,  

                                                                                                                             (27′)

          ,       

Можно предположить, что для сложных уравнений состояния, когда зависимости     как функции от плотности принципиально различны, возможны только изоэнтропические равновесия.

  Укажем на физический смысл интеграла (24). Это закон сохранения энергии для равновесной конфигурации. Можно установить следующий закон сохранения полной энергии в ЭМГД – теории: на решении системы (1-3) выполнено тождество:

где  и

         .

Полагая в законе сохранения  ,  ,  получим:

        .                                                                                (28)

Учитывая соотношение  нетрудно проверить, что в аксиально симметричном случае соотношение (28) и (24) эквивалентны.

        §6.  МГД – предел.  

   Рассмотрим МГД – предел уравнений ЭМГД – плазмостатики (25).

Принципиально важно убедится, что в МГД – пределе получаются уравнения Грэда – Шафранова МГД – плазмостатики. Приведем систему (25) к безразмерному виду, выбрав характерные масштабы соответствующих величин, обозначаемых скобками, так что:

        , 

      .

Пусть

безразмерный параметр. Тогда в безразмерном виде система (25) дает:

                                     (25′)

    МГД – предел соответствует переходу . Разложим функции  по степеням :

           ,

         ,                                                                 (29)

         ,

        ,    

где   – функции от . Тогда:

Оказывается, нулевые коэффициенты разложений    связаны определенными соотношениями. Чтобы получить их, подставим разложение

(29) в уравнения (25′)  и ограничимся первыми двумя членами разложения по параметру :  

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  получим из 1-го уравнения  (здесь учтено ). С учетом этого дальнейшее приведение подобных членов дает:

       ,                                      

                                         (30)

из последнего уравнения следует, что  (т.к.  и значит полученные нелинейное уравнение всегда разрешимо относительно ), в частности, все три функции   (а значит и  ) функционально зависимы. Далее,

       .

Подставляя это соотношение и выражение   из первого уравнения системы (30) во второе уравнение, получим, сокращая на  :

        .

Но для  имеем:

Учитывая  , получим:

        ,          .

Окончательно, приходим к соотношению:

      ,    

которое в размерном виде совпадает в точности с уравнением Грэда - Шафранова:

             ,   

где     .  

   Процесс разложения можно продолжить и получить уравнения, связывающие    и т.д. Таким образом, цепочка уравнений на коэффициенты разложений (29) расцепляется: в принципе, последовательно можно найти все коэффициенты разложений.

    §7. Неэллиптичность уравнений  равновесия.

  Рассмотрим более подробно систему уравнений ЭМГД – плазмостатики (25). Третье уравнение этой системы  –  нелинейное недифференциальное уравнение относительно плотности . Исключая из него   и подставляя полученное выражение в первые два уравнения системы (25), получим систему из двух дифференциальных уравнений 2-го порядка относительно функций . Нас интересует тип дифференциального оператора старших производных полученной системы. Реализация намеченного плана зависит от вида нелинейной функции , т.е. от уравнений состояния плазменных  компонент. Проанализируем случай, когда электроны и ионы являются идеальными политропными газами с общим показателем адиабаты . Тогда система (25) конкретизируется формулами (27′), и третье уравнение системы (25) имеет вид:

       ,                                                                       (31)

где

        . 

Для реальных (рациональных) показателей    нахождение   сводится к поиску корней некоторого алгебраического многочлена.                                    

Поскольку  , то уравнение (31) имеет два решения при  , одно при   и не имеет решений при  , где  – точка абсолютного минимума функции    в области  . График функции   состоит из двух ветвей, исходящих из точки минимума и уходящих на  при  (″плотная″ ветвь)  и      (″разреженная″  ветвь). Поэтому в области    уравнение (31) имеет два гладких решения ,  где знак ″–″   отвечает значениям    (″разреженная″  ветвь решений). а знак  ″+″    – значениям   (″плотная″ ветвь решений). При   функции  имеют явные выражения:

                                                                 (32)

с учетом формул (31) для  . Условие   равносильно условию . (Можно бы везде ограничиться случаем  ,  поскольку качественная картина решений, вероятно, не будет зависеть от  .)

  Теорема 6.    После подставки функций  ,  в первые два уравнения системы  ЭМГД- плазмостатики  (25)  операторы старших производных 1-го и 2-го уравнений имеют соответственно вид: 

       ,                                                                                                     (33)

      ,                                  (34)

где  .

  Доказательство теоремы дадим ниже. Ясно, что оператор (33) всегда эллиптический. Тип дифференциального оператора (34) определяется типом квадратурной формулы с матрицей коэффициентов:

       .      

Имеем с учетом определений   и   :

           . 

Очевидно 

          .

Значит    т.к.  ,   а    ,  т.к.  . 

Поэтому    .  Отсюда следует, что квадратичная форма с матрицей коэффициентов    положительно определена, и значит дифференциальный оператор (34) для знака  ″+″  эллиптический, а квадратичная форма с матрицей коэффициентов    знакопеременная и значит дифференциальный оператор (34) для знака ″–″ гиперболический.   Итак, если для исключения    используется ветвь  ,  то возникающая система дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций    имеет эллиптический тип, а если  — ветвь  ,  то — гиберболический. Решение этой системы должно удовлетворять условию  ,  которое эквивалентно неравенству:

       ,

где

       ,           .   

Таким образом, уравнения ЭМГД – плазмостатики (25) являются смешанного типа системой уравнений,  эллиптической в области плотных равновесий,    и гиперболической в области разреженных равновесий,  .     Условие  ,  учитывая выражения для   ,  легко преобразуется к виду:

                                                                                    (35) 

где    – токовая скорость,  – её поперечная проекция,   – адиабатическая скорость звука. Итак, число Маха поперечной токовой скорости в области плотного равновесия всюду меньше критического значения  , вычисляемого по (35), а в области разреженного равновесия всюду больше . Разреженная и плотная плазма подчиняются разным законам равновесия, что принципиально важно для постановки краевых задач в ЭМГД – плазмостатитике.

  В концентрированном виде указанное различие проявляется для равновесия  – пинча  , реализуемых частными решениями системы (25) для  :

                                                                                                                              (36)

Рассмотрим для простоты изоэнтропические равновесия  , считая    и  . Исключая   из второго уравнения системы (36) по формуле (32) и подставляя в первое, сведем задачу о равновесии – пинча к одному уравнению:

                                                                                                                              (37)

         ,  

где     ,    ,    , и мы ищем решения (37), удовлетворяющие неравенству 

         .

Очевидно, уравнение (37) эллиптично при выборе знака  ''+''  и гиперболично при выборе знака  ''–''  .    

   Доказательство теоремы 6. Уравнение (31) задает ветви   как неявные функции от   :

      .  

Существование неявной функции гарантируется условием:

      . 

Тип дифференциального уравнения относительно  определится результатом подстановки   в производные     во второе уравнение системы (25). (Первое уравнение (25) не зависит от производных  ,

,  поэтому дифференциальный оператор старших производных этого уравнения не изменится при подстановке  и значит, совпадает с (33).) имеем:    

             .

Производные    неявной функции получаются из уравнения   : 

           ,       

           ,          

          ,        

и аналогичные вычисления для   :

         ,  

                             ,

          ,

где  . Вторые производные в уравнении для   в (25) содержатся в операторе   и в слагаемом  , причем в его части, которая образована суммой  .  Собирая вместе все вторые производные   приходим к оператору (34), ч.т.д .

Литература.

1. К.В.Брушлинский,  В.В.Савельев. Магнитные ловушки для удержания

    плазмы.  Мат. Моделирование, т.11 N 5, 1999, стр.3-36.

2. В.Д.Шафранов. В сб.: Вопросы теории плазмы. Вып.2. Под ред.

   М.А.Леонтовича.  М., Атомиздат, 1963, стр.92.

     3. М.Б.Гавриков. Линейные волны в нерелятивисткой магнитной

        гидродинамике. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша АНСССР, 1988, N199.

4.     В.С.Имшенник, Н.А.Боброва,  Динамика столкновительной плазмы.

     М., Энергоатомиздат. 1997, стр.49.

5.     В.В.Степанов. Курс дифференциальных уравнений. М.-Л., ГИТТЛ, 

1950.