Свойства модульного многогранника
( Properties of the Modulus Polyhedron
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

E-mail: bruno@keldysh.ru

Введение

В препринте [1] во введении обсуждается история цепной дроби и ее обобщений. В § 1 [1] сравниваются геометрические интерпретации цепной дроби, предложенные Клейном, Вороным и Минковским. В § 2 [1] предлагается алгоритм вычисления диагональной цепной дроби Минковского. В § 3 [1] сравниваются геометрические интерпретации многомерных обобщений цепной дроби, предложенные Клейном и Вороным, с модульным многогранником, предложенным автором [2]. В §§ 4 и 5 [1] уточняется алгоритм вычисления обобщения диагональной цепной дроби, предложенный автором [3]. В § 6 [1] уточняется алгоритм упорядочивания трех точек на плоскости.

Основное содержание препринта [1] опубликовано в виде статей [4,5]. В [1,4,5] все утверждения даны без доказательств. Здесь доказываются некоторые из них, а также - необходимые для этого вспомогательные утверждения.

§ 1. Глобальные свойства

1.1. Общие свойства. Пусть в R³ заданы три вещественные независимые однородные линейные формы

li(X)=бLi,Xс,    i=1,2,3,     det (L1L2L3) № 0,

(1.1)

где X ∈ R³, L_i=(l_i1,l_i2,l_i3) ∈ R³_*, б  · , · с означает скалярное произведение, и пространство R³_* двойственно пространству R³. Каждому набору S = (s₁,s₂,s₃), где s_i=±1, соответствует свой октант

OS={X: si бLi,Xс ≥ 0,    i=1,2,3},

ограниченный плоскостями L_i={X: l_i(X)=0}, i=1,2,3.

Пусть в R³ заданы три линейные однородные формы (1.1) и отображение M(X)=(m₁(X),m₂(X),m₃(X)), где m_i(X)=|l_i(X)|, i=1,2,3.

В [2] предложена следующая конструкция. Вектор-функция M(X) отображает пространство R³ с координатами X в пространство R³ с координатами M=(m₁,m₂,m₃), точнее - в его неотрицательный октант R³₊. При этом множество Z³\0 всех целочисленных точек X кроме X=0 отображается в некоторое множество Z³ в R³₊. Пусть M - выпуклая оболочка точек множества Z³ и ∂M - ее граница. Очевидно, что M - это выпуклый многогранник, который назван модульным, и ∂M - это выпуклая многогранная поверхность, состоящая из вершин V_i, ребер R_i и граней G_i.

Пусть V₁,V₂,V₃ ∈ Z³ и

Vj=M(Bj),     Bj ∈ Z3,    j=1,2,3.

(1.2)

Положим w(V₁,V₂,V₃)=|det(B₁B₂B₃)|. Очевидно w принимает целые неотрицательные значения. Для грани G_i поверхности ∂M определим w(G_i) как минимум w(V₁,V₂,V₃) по всем тройкам точек V₁,V₂,V₃ ∈ Z³, лежащих на грани G_i и не лежащих на одной прямой, т.е.

V1,V2,V3 ∈ Z3∩Gi    и     det (V1V2V3) ≠ 0.

Грань G_i поверхности ∂M назовем простой, если она является треугольником с вершинами (1.2) и не содержит других точек из множества Z³, и полупростой, если она является треугольником, содержащим внутри ровно одну точку множества Z³, и имеет w(G_i)=1. Для простой грани G_i с вершинами (1.2) имеем w(G_i)=|det (B₁B₂B₃)|.

Теорема 1.1 [1, 2-я часть теоремы 3.1]. Для граней G_i поверхности ∂M всегда w(G_i) ≤ 2.

Доказательство аналогично доказательству следствия из теоремы X гл. V [6]. Пусть на грани G_i имеются три точки (1.2). По определению в начале п. 2, § 2, гл. I [6] величина w(V₁,V₂,V₃)=|det (B₁B₂B₃)| является индексом I точек B₁,B₂,B₃.

Пусть в R³ через грань G_i проходит плоскость N. Она пересекается с первым октантом R³₊={M ≥ 0} по некоторому треугольнику T и отсекает от первого октанта тетраэдр S. Их прообразы в пространстве R³ суть октаэдр [(S)\tilde] и его поверхность ∂[(S)\tilde]: M([(S)\tilde])=S, M(∂[(S)\tilde])=∂S. Внутри тетраэдра [(S)\tilde] нет точек решетки Z³, а на его границе ∂[(S)\tilde] лежат точки ±B₁,±B₂,±B₃. По теореме X, гл. V [6], примененной к выпуклому телу K =[(S)\tilde], индекс I точек B₁,B₂,B₃ не превосходит 6. Рассмотрим случаи с разными значениями индекса I, спускаясь от 6 к 1.

Пусть I=6. Согласно следствию 2 теоремы I(A) § 2, гл. I [6] тогда найдется такой базис C₁,C₂,C₃ решетки Z³, что

B1=a11C1, B2=a21C1+a22C2, B3=a31C1+a32C2+a33C3,

(1.3)

где все a_ij - целые, 0 ≤ a_ij < a_ii для j < i и a₁₁a₂₂a₃₃=6.

Далее, a₁₁=1, поскольку в противном случае (1/2)B₁ или (1/3)B₁ ∈ Z³, но эти точки лежат внутри окраэдра [(S)\tilde], что невозможно. Если a₂₂=3, то a₂₁=0,1 или 2. Если a₂₁=0, то (1/3)B₂ ∈ Z³ и лежит внутри [(S)\tilde]. Если a₂₁=1, то (1/3)(B₂-B₁) ∈ Z³ и лежит внутри Z³. Если a₂₁=2, то (1/3)(B₂+B₁) ∈ Z³ и лежит внутри Z³. Следовательно, эти случаи невозможны. Если a₂₂=2, то a₂₁=0 или 1. Если a₂₁=0, то (1/2)B₂ ∈ Z³ и лежит внутри [(S)\tilde]. Если a₂₁=1, то обе точки (1/2)(B₂±B₁) ∈ Z³ и одна из них лежит внутри [(S)\tilde], что невозможно. Остается случай a₂₂=1. Тогда a₂₁=0, a₃₃=6 и 0 ≤ a₃₁,a₃₂ < 6. Если оба числа a₃₁,a₃₂ четны, то (1/2)B₃ ∈ Z³ и лежит внутри [(S)\tilde], что невозможно. Если только одно из этих чисел четно, скажем a₃₁, то обе точки (1/2)(B₃±B₂) ∈ Z³ и одна из них лежит внутри [(S)\tilde], что невозможно. Пусть теперь оба числа a₃₁,a₃₂ нечетны. Если оба они равны 3, то (1/3)B₃ ∈ Z³ и лежит внутри [(S)\tilde]. Если же только одно из них равно 3, скажем a₃₁=3 и a₃₂=1, то (1/3)(B₃-B₂) ∈ Z³ и лежит внутри [(S)\tilde]; если же a₃₂=5, то (1/3)(B₃+B₂) ∈ Z³ и лежит внутри [(S)\tilde]. Если ни одно из нечетных чисел a₃₁,a₃₂ не равно 3, то одна из точек (1/6)(B₃±B₂±B₁) ∈ Z³ и лежит внутри [(S)\tilde], что невозможно. Итак, случай I=6 невозможен.

Пусть I=5. Тогда найдутся такие целые, не делящиеся одновременно на 5, числа a₁,a₂,a₃, что

D=  1 5 (a1B1+a2B2+a3B3) ∈ Z3.

(1.4)

Мы можем считать, что a₁ не делится на 5 и, взяв если нужно вместо D точку 2D, можно полагать, что

a1 ≡ ±1 (mod 5).

Поэтому, не уменьшая общности, можно прибавить к D целые кратные B₁,B₂,B₃ и считать, что

a1=±1,    |a2| ≤ 2,    |a3| ≤ 2.

Тогда точка (1.4) лежит внутри октаэдра [(S)\tilde] или на его поверхности ∂[(S)\tilde]. В последнем случае точки D,B₂,B₃ имеют индекс 1. Итак, если I=5, то имеются точки с индексом 1.

Пусть I=4. Тогда имеется представление (1.3), где a₁₁a₂₂a₃₃=4. Далее, a₁₁=1, поскольку в противном случае (1/2)B₁ ∈ Z³ и лежит внутри [(S)\tilde]. Если a₂₂ ≠ 1, то либо (1/2)B₂, либо обе точки (1/2)(B₂±B₁) лежат в Z³ и одна из них лежит внутри [(S)\tilde], что невозможно. Если a₂₂=1, то a₂₁=0, a₃₃=4, 0 ≤ a₃₁,a₃₂ < 4. Если оба числа a₃₁,a₃₂ четны, то (1/2)B₃ ∈ Z³ и лежит внутри [(S)\tilde]. Если только одно из них четно, скажем a₃₁, то обе точки (1/2)(B₃±B₂) ∈ Z³ и одна из них лежит внутри [(S)\tilde]. Если оба числа a₃₁,a₃₂ нечетны, то одна из точек (1/4)(B₃±B₁±B₂) лежит в Z³ и все эти точки лежат внутри [(S)\tilde]. Итак, случай I=4 невозможен.

Случай I=3 рассматривается аналогично случаю I=5. В этом случае имеется тройка целочисленных точек на поверхности ∂[(S)\tilde] с индексом 1.

Пусть I=2. Тогда имеется представление (1.3) с a₁₁a₂₂a₃₃=2. Аналогично случаю I=4 доказывается, что

a11=a22=1,    a33=2,    a21=0,    a31=a32=1.

(1.5)

Следовательно, обе точки (1/2)[B₃±(B₁+B₂)] ∈ Z³, но они не лежат ни в [(S)\tilde], ни в ∂[(S)\tilde]. Поскольку w(G_i) - это наименьшее значение индекса, то w(G_i) ≤ 2. Теорема доказана.

Теорема 1.2. Грань G_i с w(G_i)=2 является простым треугольником.

Доказательство проведем от противного. Предположим, что на грани G_i имеются более трех точек

Vi=M(Bi),    Bi ∈ Z3∩∂ ~ S   ,    i=1,2,…,m,    m ≥ 4.

(1.6)

По определению w(G_i) среди них имеются три точки V_j, для которых определитель из их прообразов B_j равен ±2. Пусть это первые три точки (1.2). Тогда существует такой базис C₁,C₂,C₃ решетки Z³, что справедливо разложение (1.3) со свойством (1.5). Пусть для точки B₄ имеется разложение

B4=a41C1+a42C2+a43C3

(1.7)

с целыми a_4j. Если все a₄₁,a₄₂,a₄₃ четные, то точка (1/2)B₄ ∈ Z³ и лежит внутри октаэдра [(S)\tilde], т.е. это невозможно. Если четны a₄₃ и одно из чисел a₄₁ или a₄₂, скажем a₄₁, то точки (1/2)(B₄±B₂) лежат в Z³ и хотя бы одна из них лежит внутри [(S)\tilde]. Если a₄₃ четно и оба числа a₄₁,a₄₂ нечетны, то точки (1/2)(B₄±B₃) лежат в Z³ и хотя бы одна из них лежит внутри [(S)\tilde]. Пусть a₄₃ нечетно, тогда a_4i=k_ia₄₃+l_i,    |l_i| < |a₄₃|/2,    i=1,2, где k_i и l_i - целые числа. Тогда точка [(B)\tilde]₅=(B₄-l₁B₁-l₂B₂)/a₄₃ лежит внутри или на границе октаэдра [(S)\tilde], ибо 1+|l₁|+|l₂| ≤ a₄₃, и имеет разложение [(B)\tilde]₅=k₁C₁+k₂C₂+C₃. Но det (B₁B₂[(B)\tilde]₅)=1, что противоречит условию w(G_i)=2. Итак, наличие четырех точек на грани G_i невозможно. Следовательно, грань G_i содержит только три точки V_i ∈ Z³ и является простым треугольником. Доказательство окончено.

Теорема 1.3 [1, теорема 3.1]. Если точки (1.2) лежат на одной грани G_i и w(V₁,V₂,V₃)=0, то одна из точек B₁,B₂,B₃ является суммой двух других.

Это утверждение является следствием теоремы XI(A) гл. V [6]. В частности, если грань G_i - простая и w(G_i)=0, то точки (1.2) являются ее вершинами и один из их прообразов является суммой двух других.

1.2. Точки из одного октанта O_S.

Лемма 1.1. Если три точки (1.2) лежат на поверхности ∂M и их прообразы B_i лежат в одном октанте O_S, то точки V_i не лежат на одной прямой.

Доказательство проведем от противного. Пусть три точки (1.2) лежат на одной прямой в R³, тогда они лежат на некоторой грани G_j или ребре R_j, т.е. тоже на грани. Поскольку их прообразы B_i из одного октанта O_S, то они тоже лежат на одной прямой. Ибо каждый октант O_S отображается в R³₊ своим линейным преобразованием. Поэтому w(V₁,V₂,V₃)=0. По теореме 1.2 тогда одна из точек B₁,B₂,B₃ является суммой двух других. Поскольку они из одного октанта, то тоже самое справедливо для точек V₁,V₂,V₃. Но для любых двух точек выпуклой поверхности ∂M их сумма лежит внутри множества M. Следовательно, все три точки V₁,V₂,V₃ не могут лежать на поверхности ∂M. Это противоречие завершает доказательство леммы.

Рассмотрим теперь на плоскости R² многоугольники с вершинами в целочисленных точках Z² с точностью до целочисленных сдвигов и унимодулярных преобразований. Очевидно, что выпуклый многоугольник D является выпуклой оболочкой своих вершин.

Лемма 1.2. Если замкнутый выпуклый многоугольник D с вершинами в Z² не имеет трех целочисленных точек, лежащих на одной прямой, то он эквивалентен либо

а) простому тругольнику с вершинами (0,0),(1,0),(0,1); либо

б) полупростому тругольнику с вершинами (0,0),(1,0),(2,3), содержащему внутри одну целочисленную точку (1,1); либо

в) квадрату с вершинами (0,0),(1,0),(0,1),(1,1).

Доказательство. Поскольку многоугольник D не содержит трех целочисленных точек на одной прямой, то любая его сторона не содержит других целочисленных точек, кроме вершин. Поэтому можно считать, что одна из его сторон - это отрезок x₂=0, x₁ ∈ [0,1] и для него x₂ ≥ 0. Начнем с треугольника. Пусть его третья вершина имеет целые координаты (m,n), где n > 0. Если n=1, то этот треугольник эквивалентен треугольнику а) (рис. 1). Если n > 1, то достаточно рассмотреть случаи 0 ≤ m < n. Но при m=0 и m=1 имеется вертикальная сторона, которая содержит более двух точек решетки. Поэтому достаточно считать, что

1 < m < n,

(1.8)

т.е. n ≥ 3. Для n=3 имеем единственный случай m=2. Это треугольник б) (рис. 2).

Для n ≥ 4 каждый треугольник со свойством (1.8) содержит внутри точку (1,1) (рис. 3). Если m < n/2, то треугольник D содержит также точку (1,2). В этом случае он содержит три точки (1,0), (1,1) и (1,2), лежащие на одной прямой. Если m ≥ n/2, то треугольник D содержит также точку (2,2) и три его точки (0,0), (1,1) и (2,2) лежат на одной прямой. Следовательно, треугольник может быть только вида а) или б).

Пусть теперь многоугольник D не является треугольником, тогда он включает два разных треугольника D₁ и D₂ с общим основанием x₂=0, x₁ ∈ [0,1]. По доказанному треугольник D₁ может быть одним из двух треугольников а) или б). Пусть D₁ - треугольник а). Пусть у треугольника D₂ третья вершина есть (m,n), n > 0. Если n=1, то m=±1 - и получаем квадрат в) (рис. 4). Если n > 1 и n ≠ 3, то по доказанному треугольник D₂ содержит три точки решетки на одной прямой. Если n=3 и m=2+3k, где k ∈ Z, k ≠ -1, то треугольник D₂ благополучен, но четырехугольник с вершинами (0,0),(1,0),(0,1),(2+3k,3) содержит на одной прямой три точки (0,1),(1,1),(2,1), если k ≥ 1 (рис. 5, k=0); точки (-2,1),(-1,1),(0,1), если k ≤ 3; точки (0,1),(1+3k/2,2),(2+3k,3) при k=0 и k=-2. Доказательство окончено.

Пусть на грани G_i поверхности ∂M лежат несколько (больше двух) точек V_i ∈ Z³, прообразы которых B_i из одного октанта O_S. Тогда все B_i лежат в одной плоскости N, согласно леммам 1.1 и 1.2 их может быть три или четыре и их выпуклая оболочка относится к одному из трех случаев а)-в) леммы 1.2. Пусть три вектора C₁,C₂,C₃ ∈ N∩Z³ таковы, что разности C₁-C₃ и C₂-C₃ образуют базис в N∩Z³; r = |det(C₁C₂C₃)| называется расстоянием плоскости N от начала координат.

Лемма 1.3. Если три точки B₁,B₂,B₃ ∈ Z³ лежат в одном октанте O_S и на своей плоскости N являются вершинами треугольника, а их образы V_i=M(B_i), i=1,2,3 лежат на одной грани поверхности ∂M, то r(N) ≤ 2.

Доказательство. Можно считать, что все точки B_i, i=1,2,3 лежат на плоскости x₃=r и разности B_i-B₃, i=1,2 образуют там базис, т.е. имеют координаты B₁=(1+m,n,r), B₂=(m,n+1,r), B₃=(m,n,r). Тогда det(B₁B₂B₃)=r. В данном случае |det(B₁B₂B₃)|=w(V₁,V₂,V₃), т.е. r = w(V₁,V₂,V₃). Но w(V₁,V₂,V₃) ≤ 2 по теореме 1.1. Следовательно, r ≤ 2. Доказательство окончено.

Пример 1.1. В [7, § 10] описана многогранная поверхность ∂M для экстремальной кубической формы

h7(X)=бL1,XсбL2,XсбL3,Xс,    где    Li=(1,li2,li2-2li),    i=1,2,3

и l_i суть корни l₁ ≈ 0.8019377, l₂ ≈ 0.5549581, l₃ ≈ 2.2469796 кубического уравнения l³-2l²-l+1=0, т.е.

L1 ≈ (1,    0.6431041, 2.2469796), L2 ≈ (1,    0.3079785,- 0.8019377), L3 ≈ (1,    5.0489173, 0.5549581).

На рис. 6, соответствующем рис. 9 [7], показана логарифмическая проекция поверхности ∂M в координатах n₁=ln |l₁(X)|, n₂=ln |l₂(X)|. Из него видно, что треугольник с прообразами вершин B₁=(1,0,0), B₂=(0,1,0), B₃=(1,0,1) является гранью поверхности ∂M, а эти точки лежат в одном октанте. Очевидно, что для них w =r = 1. Следовательно, треугольник вида а) с r = 1 возможен.

Пример 1.2. Покажем, что существуют формы (1.1), для которых треугольник вида а) имеет r = 2. Пусть наши точки

B1=(1,0,0),    B2=(0,1,0),    B3=(-1,-1,2).

(1.9)

Очевидно, что для них r = 2. Рассмотрим невозмущенные формы (1.1)

l1(X)=2x1+x3,    l2(X)=2x2+x3,    l3(X)=x3.

(1.10)

Тогда

M(B1)=(2,0,0),    M(B2)=(0,2,0),    M(B3)=(0,0,2).

Эти три точки лежат на плоскости с нормальным вектором P=(1,1,1) и бP,M(B_i)с = 2. Для остальных точек X ∈ Z³, X ≠ 0, X ≠ -B_i имеем бP,M(X)с ≥ 3. Это легко проверить для x₃=0,1,2, а дальше не надо, ибо m₃=x₃ и бP,M(X)с ≥ x₃.

Теперь возмутим формы (1.10) так, чтобы все точки B₁,B₂,B₃ попали в положительный октант O₊₊₊. А именно, положим

~ l   1  (X)=l1(X)-a1x1+b1x2,   ~ l   2  (X)=l2(X)+a2x1-b2x2,   ~ l   3  (X)=l3(X)+a3x1+b3x2,

(1.11)

где a_i и b_i - малые положительные числа. Значения [(L)\tilde](B_i)[(   def) || ( = )]  ([(l)\tilde]₁(X), [(l)\tilde]₂(X),[(l)\tilde]₃(X)) суть

~ L   (B1)=(2-a1,a2,a3),   ~ L   (B2)=(b1,2-b2,b3),   ~ L   (B3)=(a1-b1,b2-a2,2-a3-b3).

(1.12)

Положительность значений (1.12) форм (1.11) означает, что

2-a1 > 0,    a2 > 0,    a3 > 0, b1 > 0,    2-b2 > 0,    b3 > 0, a1-b1 > 0,    b2-a2 > 0,    2-a3-b3 > 0,

т.е.

2 > a1 > b1 > 0; 2 > b2 > a2 > 0; 2 > a3+b3 > 0;    a3 > 0;    b3 > 0.

(1.13)

Точки (1.12) лежат в плоскости с нормальным вектором [(P)\tilde] =P+(e₁,e₂,e₃) и б[(P)\tilde],[(L)\tilde](B_i)с = 2+e, где e_i и e - малые числа. При малых a_i, b_i скалярное произведение б[(P)\tilde],[(M)\tilde](X)с > 2.5 для всех X ∈ Z³, X ≠ 0, X ≠ ±B_i, i=1,2,3. Отметим, что неравенства (1.13) могут выполняться в случае общего положения.

Лемма 1.4. Если три точки B₁,B₂,B₃ ∈ Z³ лежат в одном октанте O_S и на своей плоскости N являются вершинами треугольника типа б), а их образы M(B_i) лежат на одной грани G_i поверхности ∂M, то r(N)=w(G_i)=1.

Доказательство. Можно считать, что плоскость N задается уравнением x₃=r. Поскольку площадь треугольника типа б) равна 3/2, то |det(B₁B₂B₃)|=3r. В доказательстве теоремы 1.1 было получено, что индекс прообразов трех точек, лежащих на грани G_i, не превосходит 5, т.е. 3r < 5. Поскольку r - целое число, то r ≤ 1. Доказательство окончено.

Пример 1.3. Покажем, что треугольник типа б) с r = 1 возможен. Рассмотрим четыре точки

B1=(1,0,0),    B2=(0,1,0),    B3=(-1,-1,3),    B4=(0,0,1).

(1.14)

Очевидно, B₄=(1/2)(B₁+B₂+B₃) и все точки лежат на плоскости N={x₁+x₂+x₃=1} расстояния r = 1. Дальнейшее построение аналогично примеру 1.2. Рассмотрим сначала невозмущенный случай

l1(X)=3x1+x3,    l2(X)=3x2+x3,    l3(X)=x3.

(1.15)

Тогда

M(B1)=(3,0,0),    M(B2)=(0,3,0), M(B3)=(0,0,3),    M(B4)=(1,1,1).

(1.16)

Проходящая через эти точки плоскость имеет нормальный вектор P=(1,1,1) и бP,M(B_i)с = 3. Теперь заметим, что для каждой точки X ∈ Z³, X ≠ 0 значения l_i(X) целые, а значения бP,M(X)с - натуральные. Если при этом точка X отлична от точек ±B_i, i=1,2,3,4, то бP,M(X)с ≥ 4. Это легко проверить для x₃=0,1,2,3, а дальше не надо, ибо m₃=x₃, т.е. бP,M(X)с ≥ x₃.

Теперь возмутим формы (1.15) так, чтобы все точки (1.14) попали в положительный октант. А именно, возьмем формы

~ l   1  (X)=(3-a1)x1+b1x2+x3,   ~ l   2  (X)=a2x1+(3-b2)x2+x3,   ~ l   3  (X)=a3x1+b3x2+x3,

(1.17)

где a_i, b_i - малые положительные числа. Значения [(L)\tilde](X)[(   def) || ( = )]  ([(l)\tilde]₁(X), [(l)\tilde]₂(X),[(l)\tilde]₃(X)) для форм (1.17) в точках (1.14) суть

~ L   (B1)=(3-a1,a2,a3),   ~ L   (B2)=(b1,3-b2,b3),   ~ L   (B3)=(a1-b1,b2-a2,3-a3-b3),   ~ L   (B4)=(1,1,1).

(1.18)

Положительность значений (1.18) означает неравенства

3-a1 > 0,    a2 > 0,    a3 > 0, b1 > 0,    3-b2 > 0,    b3 > 0, a1-b1 > 0,    b2-a2 > 0,    3-a3-b3 > 0,

т.е.

3 > a1 > b1 > 0; 3 > b2 > a2 > 0; 3 > a3+b3 > 0;    a3 > 0;    b3 > 0.

(1.19)

Точки (1.18) лежат в одной плоскости с нормальным вектором [(P)\tilde] =P+(e₁,e₂,e₃) и б[(P)\tilde],[(L)\tilde](B_i)с = 3+e, где e_i и e - малые числа. При малых a_i, b_i скалярное произведение б[(P)\tilde],[(M)\tilde](X)с > 3.5 для всех X, X ≠ 0, X ≠ ±B_i, i=1,2,3,4.

Замечание 1.1. Ситуации примеров 1.2 и 1.3 не встречались для вычислявшихся нами [5] форм (1.1) с (L₁L₂L₃)=SW, где S - неособая рациональная матрица и W - матрица Вандермонда кубического многочлена l³+al²+bl+c с целыми коэффициентами. Хотя эти ситуации относятся к случаю общего положения.

Лемма 1.5. Невозможна ситуация, когда четыре точки B₁,B₂, B₃,B₄ ∈ Z³ лежат в одном октанте O_S и на одной плоскости N являются вершинами четырехугольника типа в), а их образы M(B_i), i=1,2,3,4 лежат на одной грани G_i поверхности ∂M.

Доказательство. С помощью унимодулярной замены базиса введем такую систему координат, что плоскость N задается уравнением x₃=r, а точки B_i таковы

B1=(k,l,r),    B2=(k+1,l,r),    B3=(k,l+1,r),    B4=(k+1,l+1,r),

(1.20)

где k и l - целые числа. Очевидно, унимодулярной заменой координат всегда можно свести к случаю, когда

0 ≤ k ≤ l < r.

Теперь заметим, что выпуклый конус

X= 4 ∑ i=1  mi Bi,    mi > 0

в пересечении с плоскостью x₃=r-1 содержит целочисленную точку

(k,l,r-1).

Действительно, это пересечение является квадратом

k(r-1) r ≤ x1 ≤  (k+1)(r-1) r ,      l(r-1) r ≤ x2 ≤  (l+1)(r-1) r ,

и

k(r-1) r < k ≤  (k+1)(r-1) r ,

ибо 0 < r-k-1. Аналогично для l. Следовательно, ситуация, описанная в лемме 1.5, при r ≥ 2 невозможна.

Рассмотрим эту ситуацию при r = 1. Доказательство проведем от противного. Пусть точки B_i таковы

B1=(1,0,0),    B2=(0,1,0),    B3=(0,0,1),    B4=(1,1,-1),

(1.21)

а формы (1.1) таковы

li(X)=x1+aix2+bix3,    i=1,2,3.

(1.22)

Тогда точки B_i лежат на плоскости N={x₁+x₂+x₃=1} расстояния 1 и образуют на ней квадрат типа в). Поскольку в точке B₁ все формы l_i(X) положительны, то и в остальных трех точках (1.21) они должны быть положительными. Следовательно,

ai > 0,    bi > 0,    1+ai > bi,    i=1,2,3.

(1.23)

При этом

B1+B2=B3+B4.

(1.24)

Пусть M_i=M(B_i), i=1,2,3,4. Согласно (1.21), (1.22) имеем

M1=(1,1,1),    M2=(a1,a2,a3),    M3=(b1,b2,b3), M4=(1+a1-b1,1+a2-b2,1+a3-b3)    def =     (g1,g2,g3).

(1.25)

Пусть вектор P=(p₁,p₂,p₃) > 0 с p₁+p₂+p₃=1 является нормальным к плоскости W, на которой лежат точки (1.25). Тогда

бP,M1с = p1+p2+p3=1, бP,M2с = p1a1+p2a2+p3a3=1, бP,M3с = p1b1+p2b2+p3b3=1, бP,M4с = p1g1+p2g2+p3g3=1, 1+ai=bi+gi;    pi,ai,bi,gi > 0,    i=1,2,3.

(1.26)

Замечание 1.2. Если p₁+p₂+p₃=1 и p₁,p₂,p₃ > 0, то

min i   pi < 1/3 < max i   pi

и среди p_i не более одного p_i > 1/2.

В каждой из четырех сумм бP,M_iс в (1.26) отметим слагаемое, которое больше половины. Рассморим различные случаи.

Случай 1. В каждой сумме (1.26) есть отмеченное слагаемое. Тогда имеются по крайней мере две суммы, у которых эти слагаемые имеют одинаковый индекс i. Пусть для определенности это бP,M₁с и бP,M₂с, а отмеченные слагаемые имеют индекс i=1. Пусть a₁ > 1. Рассмотрим подслучаи.

Подслучай a₂ > 1, a₃ < 1. Согласно (1.26) имеем

M(B2-B1)=(a1-1)p1+(a2-1)p2+(1-a3)p3= =a1p1+a2p2+a3p3-(p1+p2+p3)-2a3p3+2p3= =2p3(1-a3).

(1.27)

Поскольку 1 > a₃ > 0, то 0 < 1-a₃ < 1 и p₃ < 1/2. По замечанию 1.2 следовательно,

2p3(1-a3) < 1,

т.е. M(B₂-B₁) < 1 и плоскость бP,Mс = 1 не является опорной к множеству M. Пришли к противоречию.

Подслучай a₂,a₃ < 1. Согласно (1.26) имеем

M(B2-B1)=(a1-1)p1+(1-a2)p2+(1-a3)p3= =M(B1)-M(B2)+2(a1p1-p1)=2p1(a1-1).

(1.28)

Поскольку p₁ и a₁p₁ отмеченные слагаемые, то p₁ > 1/2 и a₁p₁ > 1/2. Следовательно, a₁p₁-p₁ < 1/2 и

M(B2-B1) < 1.

Опять получаем, что плоскость бP,Mс = 1 не является опорной для множества Z³, т.е. имеем противоречие с предположением.

Остальные подслучаи этого случая получаются обращением неравенств между 1 и a_i и перестановкой индексов.

Случай 2. Среди четырех сумм (1.26) имеются по крайней мере две без отмеченных слагаемых, т.е. в этих суммах все слагаемые меньше половины. Пусть это первые две суммы и a₁,a₂ > 1, a₃ < 1. Применим формулу (1.27): M(B₂-B₁)=2(p₃-a₃p₃). Поскольку p₃ < 1/2 и a₃p₃ < 1/2, то p₃-a₃p₃ < 1/2 и M(B₂-B₁) < 1. Пришли к противоречию.

Остальные подслучаи этого случая получаются заменой неравенств между 1 и a_i и перестановкой индексов.

Случай 3. Только в одной из сумм (1.26) нет отмеченного слагаемого, а в каждой из остальных трех сумм (1.26) отмеченное слагаемое есть и все эти отмеченные слагаемые имеют различные индексы. Предположим, что отмеченного слагаемого нет в первой сумме, а в сумме бP,M_iс с i > 1 отмечено слагаемое с индексом i-1.

Подслучай p₁=max_{1 ≤ i ≤ 3} p_i. Тогда 1/3 < p₁ < 1/2 по замечанию 1.2. Поскольку p₁+a₁p₁=b₁p₁+g₁p₁ и b₁p₁,g₁p₁ < 1/2, то

a1p1 < 1-p1 < 2/3.

(1.29)

Согласно (1.28) M(B₂-B₁)=2(a₁p₁-p₁), но p₁ > 1/3 и согласно (1.29) a₁p₁ < 2/3. Следовательно, a₁p₁-p₁ < 1/3 и M(B₂-B₁) < 2/3. Получили противоречие.

Подслучай p₂=max_{1 ≤ i ≤ 3} p_i, т.е. 1/3 < p₂ < 1/2. Поскольку p₂+a₂p₂=b₂p₂+g₂p₂ и b₂p₂ > 1/2, а a₂p₂,g₂p₂ < 1/2, то

b2p2-p2=a2p2-g2p2 < 1/2.

Следовательно, имеем

M(B2-B1)=2(b2p2-p2) < 1.

Опять получили противоречие.

Остальные подслучаи этого случая получаются перестановкой координат p_i и векторов B_i. Доказательство леммы закончено.

Лемма 1.6. Если точки (1,2) лежат на одной грани G_i и w(V₁,V₂,V₃)=0, то точки B₁,B₂,B₃ не лежат в одном октанте O_S.

Доказательство. Это очевидное следствие теоремы 1.3.

1.3. Случай общего положения. Тройка форм (1.1) находится в общем положении, если ее коэффициенты l_ij не связаны алгебраическим соотношением с целыми коэффициентами, однородным по компонентам каждого из векторов L_i. Например, ни одно из отношений l_ij/l_ik не является рациональным числом.

Отметим без доказательств следующие свойства поверхности ∂M в случае общего положения.

1. Для каждой грани G поверхности ∂M ее внешний нормальный вектор строго отрицателен, т.е. все его компоненты отрицательны.

2. Для каждого ребра R поверхности ∂M его направляющий вектор имеет компоненты разных знаков.

Теорема 1.4. Если формы (1.1) находятся в общем положении, то нет трех точек из Z³<∩∂M, лежащих на одной прямой.

Доказательство проведем от противного. Предположим, что на прямой R имеются три точки (1.2) из множества Z³∩∂M. Условия принадлежности трех точек

U=(u0,u1,u2),    V=(v0,v1,v2),    W=(w0,w1,w2)

(1.30)

одной прямой имеет вид

ú ú ú ú ui vi ui+1 vi+1 ú ú ú ú + ú ú ú ú vi wi vi+1 wi+1 ú ú ú ú + ú ú ú ú wi ui wi+1 ui+1 ú ú ú ú =0,    i=1,2,3,

(1.31)

где индексы берутся по модулю 3. Если не все точки лежат в одном октанте O_S, то условия (1.31) дают хотя бы одно нетривиальное квадратичное соотношение на коэффициенты форм (1.1). Но это невозможно в случае общего положения.

Если все точки B_i лежат в одном октанте, то условия (1.31) означают, что они лежат на одной прямой. Но согласно лемме 1.1 это невозможно. Теорема доказана.

Теорема 1.5. В случае общего положения если на одной грани G_i поверхности имеется больше трех точек множества Z³, то эта грань G_i - полупростой треугольник.

Доказательство проведем от противного. Пусть четыре точки из Z³

Vi=M(Bi),     Bi ∈ Z3∩pR3,    i=1,2,3,4

(1.32)

лежат на одной плоскости. Здесь pR³ означает полупространство l₃(X) ≥ 0 пространства R³. Тогда

det (V1V2V3)+ det (V2V3V4)+ det (V3V4V1)+ det (V4V1V2)=0.

(1.33)

Если не все точки B₁,B₂,B₃,B₄ лежат в одном октанте O_S, то в соотношении (1.33) неустранимо присутствуют коэффициенты l_ij форм (1.1). И это соотношение на l_ij имеет целые коэффициенты, т.е. формы (1.1) не находятся в общем положении.

Если же все 4 точки B₁,B₂,B₃,B₄ находятся в одном октанте O_S, то согласно леммам 1.2, 1.4 и 1.5 это возможно только если эти точки принадлежат треугольнику типа б) леммы 1.2 с w =1. Доказательство окончено.

Следствие 1.1 [1, теорема 3.2]. В случае общего положения все грани G_i поверхности ∂M являются простыми с w(G_i) ≤ 2 или полупростыми с w(G_i)=1.

Полупростая грань G_i естественно разбивается на три треугольника, у каждого из которых две вершины являются вершинами грани G_i, а третья вершина - внутренняя точка грани G_i, принадлежащая множеству ∂M∩Z³. Следовательно, в случае общего положения поверхность ∂M имеет естественную триангуляцию.

По определению случая общего положения, данному в начале этого пункта, кубическая форма h₇ примера 1.1 и остальные кубические формы из [7] не относятся к случаю общего положения, ибо их коэффициенты - целые числа, а каждый коэффициент кубической формы

h(X)=бL1,XсбL2,XсбL3,Xс

(1.34)

явяляется симметрическим многочленом третьей степени от компонент l_ij векторов L_i. Следовательно, между компонентами l_ij имеются соотношения третьей степени с целыми коэффициентами. Поэтому можно сузить определение случая общего положения, потребовав лишь отсутствия соотношений вида (1.31) и (1.33). При таком определении кубические формы из [5] будут относиться к случаю общего положения, но возможны кубические формы вида (1.34) с целыми коэффициентами, которые и при суженном определении не относятся к случаю общего положения. Соответствующие им поверхности ∂M могут иметь не только треугольные грани или треугольные, но не простые и не полупростые. Примеры такого типа поверхности ∂M рассмотрены в следующем пункте.

1.4. Специальные случаи. Здесь рассмотрим несколько примеров особенностей строения многогранника M.

Пример 1.4. Покажем, что у многогранной поверхности ∂M возможна грань G с пятью точками V_i ∈ Z³. Рассмотрим формы (1.1) вида

l1(X)=x1-2x2+(1+d)x3, l2(X)=-x1+x2+(1+d)x3, l3(X)=x1+x2+2(1-d)x3,

(1.35)

где 0 < d < 1. Пусть L(X)=(l₁(X),l₂(X),l₃(X)) и M(X)=(|l₁(X)|,|l₂(X)|,|l₃(X)|) . В табл. 1 в первом столбце дан номер k векторов B_K, во втором столбце - значения векторов B_k, в третьем столбце - соответствующие значения L(B_k), в четвертом столбце - значения M(B_k)=V_k и в пятом столбце - скалярные произведения бP,M(X)с[(   def) || ( = )]  D_k для P=(1,1,1). Из таблицы видно, что точки V₁,…,V₅ расположены на плоскости бP,Vс = 4. Видно также, что точки V₆,…,V₉ расположены выше этой плоскости. Нетрудно показать, что и остальные точки из Z³ расположены выше этой плоскости. Следовательно, эта плоскость является опорной к множеству M, т.е. все точки V₁,…,V₅ лежат на одной грани G, которая является их выпуклой оболочкой. На рис. 7 показаны проекции точек V₁,…,V₅ и грани G на плоскость (m₁,m₂) для d =1/4  (а), d =1/2  (б) и d =3/4  (в). Из него видно, что в случаях (а) и (б) грань G является треугольником с вершинами V₁,V₂,V₅, но содержит еще две точки V₃ и V₄, либо обе внутри (а), либо одну точку V₃ на границе. В случае (в) грань G является четырехугольником с вершинами V₁,V₂,V₃,V₅ и внутренней точкой V₄. Отметим еще, что во всех случаях три точки V₃,V₄,V₅ лежат на одной прямой, а в случае (б), другие три точки V₁,V₂,V₃ также лежат на одной прямой. Следовательно, формы (1.35) являются сильно вырожденными. Пока остаются открытыми вопросы: какое наибольшее число точек из Z³ может быть на одной грани? Какое наибольшее число вершин может иметь грань G_i поверхности ∂M? По предположению автора оба эти числа не превосходят семи.

Отметим еще одну особенность грани G этого примера. Поскольку det(B₁B₂B₄)=0, то w(G)=0. Однако, det(B₁B₂B₃)=1. А в случае (б) V₃=(1/2)(V₁+V₂) и det(V₁V₂V₃)=0. Следовательно, для точек V_i,V_j,V_k ∈ G∩Z³ функция w(V_i,V_j,V_k) принимает два разных значения: ноль и единица.

Пример 1.5 (продолжение примера 1.2). Изучим ситуацию вблизи простой грани G с w(G)=2. Как было отмечено в примере 1.2, невозмущенные формы (1.10) имеют простую грань G, вершинами которой являются точки V_i=M(B_i), i=1,2,3. бP,V_iс = 2, i=1,2,3 для P=(1,1,1) и w(G)=2. Для других точек V ∈ Z³ скалярное произведение бP,V_iс > 2. Однако имеются только четыре точки B_k с l₃(B_k) ≥ 0, для которых бP,M(B_k)с = 3. Это точки

B4=(0,0,1),  B5=(-1,0,1),  B6=(0,-1,1),  B7=(-1,-1,1).

(1.36)

Для них всех M(B_k)=(1,1,1). Однако для возмущенных форм (1.11) все четыре точки [(M)\tilde](B_k)=V_k, k=4,5,6,7, вообще говоря, различны. При любых малых возмущениях a_i,b_i (даже не удовлетворяющих неравенствам (1.13)) значения скалярного произведения

б ~ P   , ~ M   (Bk)с > м п н п о ≈ 2 для    k=1,2,3, ≈ 3 для    k=4,5,6, > 3.5 для остальных точек    Bk О Z3    с    l3(Bk) ≥ 0.

Грань G имеет три ребра

R1=[V1,V2],    R2=[V2,V3],    R3=[V3,V1].

(1.37)

Каждой из точек V₄,V₅,V₆,V₇ соответствует тетраэдр T_k с основанием G и вершиной V_k, k=4,5,6,7. Каждый из тетраэдров T_k имеет три грани D_ik, натянутых на ребро R_i и точку V_k. Из вида точек (1.9), (1.36) и ребер (1.37) получаем, что

w(Dik)    def =     | det (BiBi+1Bk)|=1,

где i=1,2,3 и B₃₊₁=B₄, а k=4,5,6,7. Следовательно, точке V_k, k=4,5,6,7 можно поставить в соответствие многогранник M\T_k, который является выпукло-вогнутым. При этом грань G с w(G)=2 заменяется тремя гранями D_ik с w(D_ik)=1.

Аналогичная ситуация имеется для произвольной поверхности ∂M. А именно, каждую грань G_j с w(G_j)=2 можно заменить тремя гранями D_ij с w(D_ij)=1. В результате получается выпукло-вогнутая многогранная поверхность, у всех граней которой w ≤ 1. Вообще говоря, для каждой грани G_i с w(G_i)=2 такую замену можно сделать четырьмя способами. Впрочем, иногда некоторые из точек V₄,V₅,V₆,V₇ могут совпадать. Тогда число способов сокращается.

§ 2. Локальные свойства

2.1. Плоская геометрия.

Лемма 2.1 [1, лемма 6.1]. Пусть на плоскости R² с координатами M=(m₁,m₂) заданы три точки A=(a₁,a₂), B=(b₁,b₂) и C=(c₁,c₂). Положим

æ = |AB|+|BC|+|CA|,

(2.1)

где

|AB|= det ж з з и a1 b1 a2 b2 ц ч ч ш .

Если æ = 0, то точки A,B,C лежат на одной прямой.

Если æ ≠ 0, то точки A,B,C являются вершинами треугольника. При обходе этого треугольника в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, эти вершины расположены в прямой последовательности A,B,C, если æ < 0, и в обратной последовательности A,C,B, если æ > 0.

Доказательство. Прямая L, проходящая через точки A и B, имеет направляющий вектор L=(a₁-b₁,a₂-b₂) и нормальный вектор D=(b₂-a₂,a₁-b₁). На прямой L

бD,Aс = бD,Bс = a1(b2-a2)+a2(a1-b1)=|AB|.

(2.2)

В то же время

бD,Cс = бD,Bс = c1(b2-a2)+c2(a1-b1)=|CB|-|CA|.

(2.3)

Согласно (2.1), (2.2) и (2.3)

æ = бD,Aс-бD,Cс.

Поэтому при æ = 0 точка C лежит на прямой L, а при æ ≠ 0 она лежит вне этой прямой.

Для вектора D обозначим через arg D угол между положительной полуосью абсцисс и этим вектором. Тогда

arg N=arg L+p/2.

Если æ < 0, то точка C лежит по ту же сторону прямой L, в которую направлен вектор D, т.е. точки A,B,C расположены в последовательности положительного обхода.

Если æ > 0, то точка C лежит по ту же сторону прямой L, которая противоположна вектору D (рис. 8). Следовательно, точки A,B,C расположены в последовательности их обхода в отрицательном направлении, т.е. по убыванию угла относительно внутренней точки треугольника ABC. Доказательство окончено.

Пусть на плоскости R² с координататми X[(   def) || ( = )]  (x₁,x₂) заданы две вещественные однородные формы

li(X)=li1x1+li2x2,    lij ≠ 0,     i,j=1,2;     det  (lij) ≠ 0.

(2.4)

В единичных векторах E₁=(1,0) и E₂=(0,1) имеем

li(Ej)=lij,     i,j=1,2.

Положим

mi(X)=|li(X)|,     i,j=1,2;    M(X)=(m1(X),m2(X))

и обозначим

Mj(X)=M(Ej)=(|l1j|,|l2j|)    def =     (m1j,m2j),    j=1,2.

(2.5)

На плоскости R² с координатами M=(m₁,m₂) прямая L, проходящая через точки (2.5), задается уравнением

lM1+(1-l)M2=M,    l ∈ R.

(2.6)

Лемма 2.2 [1, формула (2.3)]. Прямая L пересекает координатные оси m₁ и m₂ соответственно в точках (m₁^*,0) и (m₂^*,0), где

m1*=  |M1M2| m22-m21 ,    m2*=  |M2M1| m11-m12 .

(2.7)

Доказательство (см. рис. 9). Согласно (2.5) и (2.6) точка M=(m₁^*,0) удовлетворяет системе двух уравнений

l m11+(1-l) m12=m1*, l m21+(1-l) m22=0.

(2.8)

Из второго уравнения находим

l=  m22 m22-m21 .

Следовательно,

1-l=-  m21 m22-m21 .

Подставляя эти значения в первое уравнение (2.8), получаем

m22m11-m21m12 m22-m21 =m1*,

т.е. значение m₁^* в (2.7). Аналогично вычисляется m₂^*. Доказательство окончено.

В дальнейшем предполагается, что нормальный вектор D=(d₁,d₂) прямой L положителен: d₁,d₂ > 0. Тогда числа m₁^* и m₂^* также положительны (рис. 9).

Лемма 2.3 Точкам (m₁^*,0) и (0,m₂^*) плоскости M, т.е. R², на плоскости X, т.е. R², соттветствуют 4 точки ±Y и ±Z, где

Y=  d |l22|-|l21| (l22,-l21), Z=  d |l11|-|l12| (-l12,l11),

(2.9)

и

d= det   ж з з и |l11| |l21| |l12| |l22| ц ч ч ш / det   ж з з и l11 l21 l12 l22 ц ч ч ш .

(2.10)

Доказательство. Точка Y=(y₁,y₂) удовлетворяет системе уравнений

l1(Y)=m1*,    l2(Y)=0.

Согласно (2.4), решая эту систему по правилу Крамера, получаем

y1=l22m1*/D,    y2=-l21m1*/D,

где D =l₁₁l₂₂-l₁₂l₂₁. Выражая m₁^* по формуле (2.7), получаем выражение для Y в формуле (2.9). Аналогично находим выражение для Z в (2.9). Доказательство окончено.

Лемма 2.4 Треугольнику D на плоскости R²с вершинами (0,0), (m₁^*,0), (0,m₂^*) на плоскости R² соответствует параллелограмм P с вершинами ±Y, ±Z. Стороне треугольника D, натянутой на точки (m₁^*,0) и (0,m₂^*), соответствует граница параллелограмма P.

Доказательство очевидно.

Лемма 2.5 Все целочисленные точки X, лежащие внутри параллелограмма P, лежат на одной из двух прямых

x1=±x2.

(2.11)

Доказательство. Будем различать два случая: l₁₁l₁₂l₂₁l₂₂ > 0 и l₁₁l₁₂l₂₁l₂₂ < 0. В первом случае векторы (l₁₁,l₁₂) и (l₂₁,l₂₂) лежат либо в одном и том же квадранте, либо в противоположных квадрантах, и на плоскости R² прямые l₁(X)=0 и l₂(X)=0 лежат в одной паре квадрантов (рис. 10). Во втором случае эти векторы лежат в соседних квадрантах, и на плоскости R² прямые l₁(X)=0 и l₂(X)=0 лежат в разных квадрантах (рис. 11). Положим

sij=sgn lij,    i,j=1,2.

(2.12)

Теперь заметим, что

ú ú ú ú l11 l21 l12 l22 ú ú ú ú =s11s21 ú ú ú |l11| |l21| s11s21|l12| s21s22|l22| ú ú ú =s11s22 ú ú ú |l11| |l21| s|l12| |l22| ú ú ú ,

(2.13)

где s =s₁₁s₁₂s₂₁s₂₂, и рассмотрим оба случая по отдельности.

Первый случай (s =1). Из (2.13) и (2.10) видно, что |d|=1. Кроме того,

(l22,-l21)=s22(|l22|,-s21s22|l21|), (-l12,l11)=s12(-|l12|,s12s11|l11|).

(2.14)

В этом случае s₂₁s₂₂=s₁₂s₁₁. Возьмем вектор P=(1,s₂₁,s₂₂) и рассмотрим его скалярные произведения с векторами ±Y и ±Z. Согласно (2.9) получаем

бP,±Yс = ±d s22,    бP,±Zс = ±d s12,    т.е.    |бP, ±Yс|=|бP, ±Zс|=1.

Поскольку параллелограмм P является выпуклой оболочкой точек ±Y и ±Z, то для его точек X имеем

|бP, Xс| ≤1.

Это неравенство выделяет в плоскости R² полосу шириной 2 единицы вдоль прямой линии

|бP, Xс|=0.

(2.15)

Следовательно, целые точки, лежащие внутри этой полосы, лежат на линии (2.15), которая является одной из линий (2.11).

Второй случай (s =-1). Из (2.13) и (2.10) видно, что |d| < 1, ибо определитель в (2.13) равен |l₁₁||l₂₂|+|l₁₂||l₂₁|. Кроме того, справедливы формулы (2.14), но теперь s₂₁s₂₂=-s₁₂s₁₁. Поэтому точки ±Y и ±Z лежат в двух разных полосах

|x1+x2| < 1    и    |x1-x2| < 1.

Поскольку четыре стороны параллелограмма P проходят через четыре точки ±E₁ и ±E₂, то только в одной из этих полос имеются точки X ∈ P с |x₁|+|x₂| ≥ 2. Но все целочисленные точки X, лежащие в этой полосе, лежат на ее оси, т.е. на соответствующей прямой (2.11). Лемма доказана.

Следствие 2.1 [1, лемма 4.2]. Из двух точек M(E₁+E₂) и M(E₁-E₂) не более одной точки лежит по ту же сторону прямой L, что и начало координат.

2.2. Пространствення геометрия. Для трехмерной точки M=(m₁,m₂,m₃) будем чертой сверху обозначать ее проекцию на плоскость (m₁,m₂): [`(M)] =(m₁,m₂).

Лемма 2.6. Пусть в R³ заданы такие три точки A=(a₁,a₂,a₃), B=(b₁,b₂,b₃) и C=(c₁,c₂,c₃), что их проекции [`(A)],[`(B)],[`(C)], не лежат на одной прямой. Проходящая через точки A,B,C плоскость пересекает третью координатную ось m₃ в точке

m3*(A,B,C)=  |ABC| | - A     - B   |+| - B     - C   |+| - C     - A   | ,

(2.16)

где |ABC|[(   def) || ( = )]  det (ABC).

Доказательство. Точки M плоскости, проходящей через точки A,B,C, имеют вид

M=A+l(B-A)+m(C-A),    l,m ∈ R.

(2.17)

Точка этой плоскости (0,0,m₃^*), лежащая на оси m₃, удовлетворяет системе двух уравнений

m1=0=a1+l(b1-a1)+m(c1-a1), m2=0=b2+l(b2-a2)+m(c2-a2).

Из этой системы находим, что

l=  a2c1-a1c2 æ = | - C     - A   | æ ,    m =  a1b2-a2b1 æ = | - A     - B   | æ ,

где æ = (b₁-a₁)(c₂-a₂)-(b₂-a₂)(c₁-a₁)=|[`(A)][`(B)]|+|[`(B)][`(C)]|+|[`(C)][`(A)]|. При этих значениях l и m третья компонента m₃ в (2.17) есть

m3*=a3+l(b3-a3)+m(c3-a3)= =[(| - A     - B   |+| - B     - C   |+| - C     - A   |)a3+| - C     - A   |(b3-a3)+| - A     - B   |(c3-a3)]/æ = =[(| - B     - C   |a3+| - C     - A   |b3+| - A     - B   |)c3]/æ.

Последняя формула совпадает с (2.16), ибо в квадратных скобках стоит разложение определителя |ABC| по последней строке. Лемма доказана.

Пусть в R³ заданы три линейные однородные формы (1.1) и отображение M(X)=(m₁(X),m₂(X),m₃(X)), где m_i(X)=|l_i(X)|, i=1,2,3. Пусть A=M(E₁), B=M(E₂) и L - прямая на плоскости R², проходящая через точки [`(A)] и [`(B)]. Предположим, что нормальый к L вектор D > 0. Множество точек

F=kE1+lE2,    k,l ∈ Z,    |k|+|l| > 1,

для которых точки [`(M)](F) лежат левее прямой L, обозначим F.

Теорема 2.1. Минимум положительных значений величины

m3*(A,B,M(F))    по    F ∈ F

достигается на той точке F=E₁+E₂ или F=E₁-E₂, которая принадлежит множеству F.

Доказательство. Согласно лемме 2.5, если множество F не пусто, то все его точки лежат на одной из прямых (2.11), т.е. имеют вид

F=k G,    k ∈ Z,    |k| > 0,

где G=E₁+E₂ или G=E₁-E₂. Поскольку M(kG)=|k|M(G), то для таких F по лемме 2.6

m3*(A,B,M(F))=  |k| |ABC| | - A     - B   |+|k| (| - B     - C   |+| - C     - A   |) ,

(2.18)

где C=M(G). Теперь заметим, что определители |ABC| и |[`(A)][`(B)]| имеют один и тот же знак, а сумма |[`(B)][`(C)]|+|[`(C)][`(A)]| имеет противоположный знак.

Действительно, для расположения рис. 8, где A=[`(A)], B=[`(B)], C=[`(C)], имеем |[`(A)][`(B)]| > 0 и по лемме 2.1 æ = |[`(A)][`(B)]|+|[`(B)][`(C)]|+|[`(C)][`(A)]| < 0. Следовательно, |[`(B)][`(C)]|+|[`(C)][`(A)]| < 0. Поскольку для рис. 8 векторы A,B,C сохраняют ориентацию базисных векторов, то |ABC| > 0.

Если векторы A и B поменять местами, то все определители изменят знак. Итак, формула (2.18) имеет вид

m3*(A,B,M(F))=  |k| a b-|k| g ,

(2.19)

где a,b,g > 0. Кроме того, по условию теоремы эта величина положительна, т.е. b-|k|g > 0. Очевидно, что минимум величины (2.19) достигается при |k|=1. Доказательство окончено.

Согласно теореме 2.1 в алгоритме из [1], обобщающем цепную дробь, на каждом переходе к другому базису в качестве кандидатов на новый базисный вектор вместо всех векторов множества F достаточно рассмотреть два вектора E₁+E₂ и E₁-E₂.

 

Список литературы

1.     Брюно А.Д. Алгоритм обобщенной цепной дроби // Препринт N 45. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2004. 32 с.

2.     Брюно А.Д. Правильное обобщение цепной дроби // Препринт N 86. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2003. 17 с.

3.     Брюно А.Д. К обобщениям цепной дроби // Препринт N 10. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2004. 31 с.

4.     Брюно А.Д. Структура наилучших диофантовых приближений // ДАН, 2005, т. 402, N 4, с. 439-444.

5.     Брюно А.Д. Алгоритм обобщенной цепной дроби // ДАН, 2005, т. 402, N 6, с. 732-736.

6.     Касселс Дж.В.С. Введение в теорию диофантовых приближений. М.: Изд-во иностр. лит., пер. с англ., 1961. 422 с.

7.     Брюно А.Д., Парусников В.И. Многогранники модулей троек линейных форм // Препринт N 93. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2003. 20 с.

8.     Парусников В.И. Многогранники Клейна для седьмой экстремальной кубической формы // Препринт N 79. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 1999. 32 с.

9.     Парусников В.И. Многогранники Клейна для трех экстремальных форм // Матем. заметки, 2005, т. 77, N 4, с. 566-583.

 

Таблица 1. Значения M(X) для форм (1.35).

 

File translated from T_EX by T_TH, version 3.40.
On 03 Oct 2005, 15:57.