Динамика твердого тела в газе, сорбирующемся на его поверхности

( The Dynamics of Solid in Gas Sorbing on its Surface

Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Введение

Задача описания движения твердого тела в газе, молекулы которого могут осаждаться на его поверхности, возникла из приложения. В 90 гг. группой, возглавляемой И. В. Мелиховым, было открыто явление, названное хемореактивным движением [9]. Оно заключалось в том, что в газе при неоднородном по поверхности твердой частицы химическом процессе тело приходило в дополнительное движение. Позже на основании их идей в ESA (European Space Agency) был поставлен эксперимент [12], в котором в условиях микрогравитации наблюдалось движение растущих кристаллов уротропина. Траектории частиц оказались спиралевидными.

В работе [6] была предложена простейшая модель, позволившая на основании кинетического подхода получить уравнения, среди приближенных решений которых были спиралевидные траектории, что позволило качественно объяснить эксперимент.

Эти идеи получили дальнейшее развитие в [2,3] где на основании кинетического подхода были выведены уравнения динамики твердого тела произвольной выпуклой формы в газе  при наличии сорбции. В том числе был предложен способ учесть изменение геометрии поверхности и геометрии масс.

В §1 содержится описание модели, в §2 получены основные уравнения. В §2 обсуждается необходимое условие применимости модели – финитность решения, которое обеспечивается диссипативностью линейной части системы, а также устанавливается существование стационарного решения. В §3 найдено условие единственности и глобальной устойчивости стационарного решения. В §4 устанавливается вид асимптотики координатных траекторий при условии глобальной устойчивости стационара.

§1  Описание модели

Рассмотрим твердое тело, движущееся в разреженном газе. Пусть - его масса,  - координаты центра масс,  - импульс, - тензор инерции относительно центра масс, ,, - единичные векторы, направленные вдоль главных осей инерции,  - кинетический момент. Наряду с импульсом и кинетическим  моментом будут использованы связанные с  ними величины: - поступательная скорость центра масс и  - угловая скорость. Стандартно:  и . (Рис. 1)

Обозначим обобщенное произведение двух векторов как: . Тогда если   - главные центральные моменты инерции, то тензор инерции тела можно представить в виде: .

Если  -  трехмерный вектор, сопоставим ему в соответствие объект . Тогда обычное векторное произведение .

Будем учитывать три типа взаимодействия молекул газа с поверхностью[6,7]: зеркальное или упругое отражение, диффузное отражение и сорбция. Будем обозначать слагаемые, соответствующие каждому типу взаимодействия индексами  (elastic)- зеркальный тип,  (diffuse)- диффузный тип,  (sorption) - сорбция.

Силы и моменты действующие на твердое тело в газе [2,3]:

(1)    

Здесь функции ,   есть веса, указывающие относительную долю соударений каждого типа. В принципе их аргументами могут быть координата поверхности , относительная скорость  и нормаль  к поверхности в точке падения молекулы газа: , но мы будем рассматривать упрощенную ситуацию, при которой функции  зависят только от координаты  поверхности: . Координата поверхности задается в собственной (связанной с телом) системе координат. Весовые функции  должны удовлетворять условию неотрицательности ,  и в сумме давать тождественную единицу при всех допустимых значениях аргументов: .

Пусть  - функция распределения молекул газа по пространственной координате и импульсу [7,11]. Тогда дифференциальная частота столкновений молекул газа с телом есть число молекул в  элементарном фазовом объеме падающих за единицу времени на тело извне его границы. Она  определяется выражением:

(2)     .

где - внутренняя нормаль в точки поверхности тела , а - относительная скорость: . (Рис. 2)

Геометрическое сечение столкновений  в случае тела с выпуклой границей, заданной уравнением , где - кусочно-гладкая функция в , может быть записано в виде [2,3]:

(3)     .

Укажем изменения динамических величин для различных типов взаимодействий [2, 3]. При упругом (зеркальном ) отражении:

(4')   

При диффузном отражении:

(4")    ,   .

При сорбции:

(4'")   ,   ,

Сделаем следующие предположения:

         I.   Функция распределения молекул газа – максвелловская [7,11]:

(5)     .

II.  Модифицированное  число  Маха      и  число Струхаля  [4] малы по сравнению с единицей. Здесь  - тепловая скорость молекул газа, - характерный линейный размер тела,  - максимальный главный момент инерции.

III. Либо ,  либо изменение массы  и геометрии масс пренебрежимо  малы  по  ходу  процесса.  Малость  изменения геометрии      масс     при     сорбции      подразумевает,     что     тело     не обладает динамической симметрией: , причем  во всех точках , где  принимает ненулевые значения.[1]

Условие I, с одной стороны является физически естественным для движения в разреженном газе. С другой стороны, вместе с тем допущением, что функции  зависят только от координаты  поверхности, это условие позволяет провести интегрирование по скоростям в выражениях для силы и момента сил (1). Условие II обеспечивает возможность линеаризовать силу и момент по динамическим переменным. Условие III позволяет пренебречь изменением массы и геометрии масс в уравнениях динамики [2,3].

§2  Основные уравнения

Итак, найдем силу и момент сил в линейном приближении (вывод см. дополнение):

(6)    

Здесь члены нулевого порядка:

(7)    

где ;

матрицы коэффициентов в членах первого порядка:

(8)    

где .

В неподвижной системе координат динамическая система будет иметь вид:

(9)    

Здесь третья часть системы отражает зависимость матриц коэффициентов (8) и тензора инерции от времени из-за вращения собственной системы координат.

Воспользуемся условием III и перейдем в собственную систему координат, базис которой составляют орты, направленные вдоль собственных осей. Такой переход есть линейное преобразование   , определяемое матрицей Грамма , компоненты которой есть проекции векторов главных осей на орты неподвижного базиса . Опустим штрихи во избежание громоздкости записей, в следующем и всех дальнейших выражениях полагая (если не оговорено противное) все величины заданными в собственной системе координат.  Итак, получим динамическую систему:

(10)  

где векторы  и , а также все матрицы коэффициентов постоянны.

Замечание. Если в системе (10) ,  или  наложена связь , то уравнение на кинетический момент  с точностью до постоянного члена (и обозначений) совпадает с уравнением для динамики твердого тела в сопротивляющейся среде [5].

(10’) 

Авторы книги [5] указали на возможный случай, когда уравнение на кинетический момент может совпадать с известной системой Лоренца. Однако, следует уточнить, что указанное ими условие диссипативности линейной части – отрицательность следа соответствующей матрицы  – является недостаточным, а лишь необходимым. В действительности критерием диссипативности является отрицательная определенность матрицы  (легко убедиться что матрица , определенная в (8)  этому критерию удовлетворяет).

Тем не менее, система Лоренца

    ,

действительно может быть получена из (10’) преобразованием сдвига , если:

,                    ,

,               

Здесь параметр  выбирается следующим образом: если , то   произвольное число из интервала ,  если , то   берется из интервала .

Этот факт может служить иллюстрацией того, что в общем случае система (10) может обладать довольно сложным поведением.

§3  Финитность и существование стационара

По определению механическая энергия системы есть:

(11)  

Исследуем вопрос об убывании энергии в силу линейной части уравнения:

Условием диссипативности линейной части является существование положительной константы:

(12)  

Введем вектор :  . И определим матрицу: . Тогда , и условие диссипативности линейной части запишется в виде:

(13)   :  .

Замечание. Рассмотрим квадратичную форму:

(3.13')         .

из (3.8) получим:

Таким образом, квадратичная форма (3.13') может быть представлена в виде суммы двух, одна из которых строго отрицательно определенная, а другая линейно зависит от коэффициента сорбции. Получим, что если  достаточно мало, так что норма первой больше, чем второй, то линейная часть диссипативна.

Нетрудно заметить, что если , то   Таким образом, перекрестные коэффициенты, соответствующие зеркально-диффузному взаимодействию, удовлетворяют принципу симметрии Онзагера. Коэффициенты, соответствующие сорбции ему не удовлетворяют, что объясняется тем, что сорбция – процесс принципиально неравновесный.

Также при  энергия убывает в силу линейной части для любой геометрии тела. Если , то это, вообще говоря, не так, и зависит от геометрии системы.

Заметим, что в силу эйлеровой части уравнений (квадратичные члены, возникшие за счет  перехода во вращающуюся систему координат) энергия сохраняется. Поэтому, в тех случаях, когда линейная часть диссипативна, всякое решение уравнений (10) финитно. Строгое доказательство этого факта дает следующая теорема.

Теорема 1. Если линейная часть системы (10) диссипативна, т.е. существует константа , то любое решение её финитно (заключено в некоторой  ограниченной области).

Доказательство:

Предположим, что энергия превышает некоторое пороговое значение:   , тогда квадрат модуля  удовлетворяет неравенству:

Отсюда легко получить оценку на скорость изменения энергии по времени:

Таким образом, если энергия системы больше, чем , то она убывает в силу динамической системы. Следовательно, для любого решения, начиная с некоторого момента времени, решение будет принадлежать множеству, на котором . Поскольку энергия есть положительно определенная квадратичная форма динамических переменных, решение системы финитно. ▲

Следствие 1. Если система финитна, то у нее, согласно теореме о трансверсальной поверхности векторного поля [8,  гл. 3, §14] существует стационарное решение. В данном случае трансверсальной поверхностью к векторному полю скоростей системы (10) является поверхность уровня энергии .

Будем рассматривать только финитные системы, у которых энергия убывает в силу линейной части, так как в случае неограниченного роста решения выбранное приближение станет неприменимым.

§4  Условие глобальной устойчивости стационара.

Обозначим  -  стационарную точку в пространстве скоростей, соответствующую стационарным значениям импульса  и кинетического момента . Из теоремы 1 следует, что для стационарного решения справедлива оценка: 

(15)   ,    где   

Найдем условие, при котором стационарное решение будет устойчиво.

Рассмотрим функцию:

(16)  

Продифференцируем ее по времени в силу системы (10).

где ,   .

Теорема 2. (Достаточное условие глобальной устойчивости) Пусть для системы (10) существует , и верно неравенство:

(17)  

Тогда стационарное решение единственно и глобально устойчиво.

Доказательство: Выполним оценку, используя неравенство (16):

Здесь  .

Отсюда и из неравенства (17) следует[2], что . Следовательно  , причем ноль достигается только в стационарной точке. Поскольку функция - выпуклая функция своих аргументов, она стремится к своему единственному минимуму, а решение, соответственно,  к стационарной точке, в которой этот минимум достигается.

§5   Вид траекторий в координатном пространстве.

Рассмотрим случай, когда система финитна, постоянная сила и момент (7) не равны нулю одновременно и выполнено условие (17). Тогда,  в собственной системе координат все траектории системы (10) сходятся к единственной точке . Найдем асимптотику траекторий в координатном пространстве. Предельные значения скорости и угловой частоты в собственной системе координат  и . Тогда в неподвижной системе:

Интегрируя, получим, что с точностью до аддитивной постоянной:

,

где ,  . Такое движение есть движение по цилиндрической спирали с шагом  и радиусом . В частных случаях полученная спираль может вырождаться в окружность или прямую, если соответственно ее шаг или диаметр соответственно станет равным нулю.

Заключение

         В данной работе были получены и исследованы уравнения, описывающие динамику твердого тела в газе под действием сил возникающих при неоднородном по поверхности взаимодействии газа с телом.

         Найдено условие типа неравенства, обеспечивающее сходимость к сравнительно простому движению: вращению с постоянной угловой скоростью и поступательное движение центра масс вдоль цилиндрической спирали.

         Фактически найденное условие единственности и глобальной устойчивости стационара есть условие малости постоянных компонент силы и момента по отношению к диссипативным силам и моментам, или, что то же самое, это есть ограничение на вклад неоднородности и неравновесности поверхностных процессов. При невыполнении этого условия следует ожидать более сложного поведения системы, что представляет большой интерес для дальнейших исследований.

         Автор благодарит В. В. Веденяпина, М. В. Масленникова и Ю. Н. Орлова, чьи советы и замечания в значительной мере содействовали этой работе.

Литература

1.  Арнольд В. И., Математические методы классической механики.  М.: Эдиториал УРСС, 2000.

2.  Батищева Я. Г. «К выводу уравнений динамики твердого тела в газе, реагирующем с ним неоднородно по поверхности»// Комплексный анализ и математическая физика.  Сборник научных трудов посвящ. 100-летию профессора А.А. Темлякова. М.: Изд. МГОУ, 2003. С.57-64.

3.  Батищева Я. Г. «К выводу уравнений динамики твердого тела в газе, реагирующем с ним неоднородно по поверхности». Препринт ИПМ РАН №18, 2003.

4.  Белецкий В. В., Яншин А. М. Влияние аэродинамических сил на вращательное движение спутников.  Киев, Наукова думка, 1984.

5.  Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела.  Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

6.  Веденяпин В. В., Батищева Я. Г., Мелихов И. В., Горбачевский А. Я.   О  движении  твердого тела в газе с неоднородными поверхностными химическими  процессами  //  Мат.моделирование, 2003г. Т. 15, №6. С. 6-10.

7.  Веденяпин В. В., Кинетические уравнения Больцмана и Власова. – М.: Физматлит, 2001.

8.  Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. Геометрия и топология многообразий. Т. 2.  М.: Эдиториал УРСС,  2001.

9.  Мелихов И. В., Симонов Е. Ф., Ведерников А. А. Хемореактивное движение частиц катализатора в газовой среде при гетерогенном катализе //  Ж. Физ. Хим., 1998. Т 72, №12. С. 2300 - 2306.

10. Пярнпуу А. А. Взаимодействие газов с поверхностями.  М., "Наука", 1974.

11. Черчиньяни К. Теория и приложение уравнения Больцмана.  М., "Мир", 1978.

12. Willneff J., Maas H.-G. Design and calibration of four-headed camera system for use in microgravity research.// IAPRS, Vol. XXXIII, Amsterdam, 2000. P 894-899.

Рисунки

Дополнение

Вычисление сил и моментов, действующих на тело в газе с максвелловской функцией распределения, в линейном приближении по поступательной и угловой скоростям.

Итак, требуется в линейном приближении по поступательной и угловой скоростям вычислить интегралы (1):

Где дифференциальная частота столкновений:

зависит от геометрической формы поверхности через геометрическое сечение ,  и функции распределения молекул газа, которая выбрана максвелловской:

         .

Микроскопические изменения импульса и момента представлены в табл. 2 стр. Линейное приближение по скоростям означает, что искомые выражения могут быть представлены в виде:

(п1)                                   

где векторы  и матрицы  не зависят от динамических переменных. Для вычисления этих величин выполним разложение подынтегральных множителей - дифференциальной частоты столкновений:

(п3)            ,

,

                   ,

,

и микроскопических изменений импульса  кинетического момента. При упругом взаимодействии:

(п4)             _,            ,

_,                    ,

_,                  ,

_{,                  .}

где .

При диффузном отражении:

(п4')            _,          ,

_,              ,

_,                         ,

_{,                       .}

_{При сорбции:}

(п4")           _,            ,

_,                                  ,

_,                                   ,

_{,                                  .}

Для вычисления нулевых и первых членов разложения сил и моментов сил нам понадобятся значения интегралов вида , где , и , где .  Во-первых, заметим, что в силу симметрии функции распределения относительно поворотов:

(п5)             , .

Вычислим интеграл:

(п6)           

Получим:

(п7)             ,    ,    

(п8)             ,   .

Перейдем к вычислению нулевых членов разложения  сил и моментов. Для сил:

Для моментов:

Итак, получим (7):

Итак, получим:

Итак, получим:

,

где .

Отсюда с учетом (п1) найдем матрицы коэффициентов в линейных членах разложения (8):

,