Аннотация

Рассматривается стационарный пространственный осесимметричный поток вязкой сжимаемой теплопроводной жидкости вдоль полубесконечной иглы. Он описывается системой трех дифференциальных уравнений в частных производных с граничными условиями в бесконечности и на игле. Ее укороченная система, описывающая поток в пограничном слое, была отобрана методами степенной геометрии. После введения автомодельных координат укороченная система сводится к системе двух ОДУ. На ее инвариантном многообразии она сводится к одному ОДУ. Анализ его решений методами степенной геометрии и численно показал существование решений, удовлетворяющих всем граничным условиям и имеющим вблизи иглы степенную или логарифмическую особенность.

Abstract

We consider the stationary spatial axisymmetric flow of the viscous compressible heat conductive fluid along a semi-infinite needle. It is described by a system of three partial differential equations with boundary conditions in infinity and on the needle. Its truncated system, describing the flow in the boundary layer, was selected by methods of Power Geometry. After introducing self-similar coordinates, the truncated system is reduced to a system of two ordinary differential equations. It has an invariant manifold, where it can be reduced to a second order differential equation. Analysis of its solutions, made by methods of Power Geometry and numerically, shows the existence of solutions satisfying all boundary conditions and having a power or logarithmic singularity near the needle.

E-mails: bruno@keldysh.ru, shadrina@keldysh.ru

Введение

Рассматривается стационарный пространственный осесимметричный поток вязкой жидкости вдоль полубесконечной иглы. Поток описывается системой уравнений Навье-Стокса [], которая приводится к системе дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными x (по оси симметрии) и r (расстояние от оси, x) []. Игла задается как x │ 0, r=0.

Сначала рассматривался поток вязкой несжимаемой жидкости вдоль иглы. Задача описывается системой двух дифференциальных уравнений в частных производных для функции тока y и давления p с граничными условиями на бесконечности и на игле

y = y₀r², p=p₀, при x = -е, y₀,p₀= const ,

(1)

╢y/╢x = ╢y/╢r = ╢²y/╢x╢r = ╢²y/╢r²=0 при x │ 0, r=0.

(2)

Решения этой задачи были исследованы методами степенной геометрии []. Было показано, что эта система не имеет физически осмысленного решения, удовлетворяющего обоим граничным условиям (1), (2) (см. [6, 13]). Так что было решено рассмотреть модель с большим количеством переменных.

В качестве такой модели, здесь взят стационарный пространственный осесимметричный поток вязкого сжимаемого теплопроводного газа потому, что его уравнения были выписаны в []. Это система трех дифференциальных уравнений в частных производных для функции тока y, плотности r и энтальпии h (аналог температуры) с граничными условиями в бесконечности

y = y₀r², r = r₀, h=h₀ при x = -е, y₀,r₀,h₀= const ,

(3)

и на игле (2). Для этой задачи укороченная система уравнений, описывающая поток в пограничном слое для xо +е была отобрана методами степенной геометрии []. Для ее автомодельных решений rh = const . После введения автомодельных координат [] y = xG(x), x = r²/x укороченная система приводится к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений для G(x) и H(x)=h(x). У этой системы выделено инвариантное многообразие, на котором система сводится к одному ОДУ второго порядка. Асимптотический анализ ее решений методами степенной геометрии [3, 12] показал, что система имеет решения, которые удовлетворяют граничным условиям на бесконечности и на игле, т.е. при xо 0 имеют асимптотики вида

G ~ const x^1-l, H ~ const x^l, n=0, l < 0;

(4)

G ~ const x/|lnx|^1/n, H ~ const |lnx|^1/n, n ╬ (0,1];

(5)

где постоянная n ╬ [0,1] - показатель степени в степенном законе связи m/m₀ = (T/T₀) ⁿ между динамическим коэффициентом вязкости m и абсолютной температурой T. Для таких асимптотик (4), (5) автомодельные решения укороченной системы удовлетворяют граничным условиям (2) на игле. Кроме того, численное решение ОДУ показывает существование дополнительных решений с особенностями (4), (5) и

G ~ const x/|lnx|^1/(n+1), H ~ const |lnx|^1/(n+1), n ╬ [0,1],

(6)

которые удовлетворяют граничным условиям на бесконечности. При фиксированных параметрах задачи решения с асимптотиками (4) и (5) образуют двупараметрические семейства, а решения с асимптотиками (6) - однопараметрические семейства, которые являются границей семейств (4) и (5). Характер особенностей (4)-(6) подтверждает, что модель этой задачи с меньшим числом зависимых переменных не имеет решения.

Примерно 100 лет тому назад Прандтль [] и Блазиус [] создали теорию пограничного слоя на полубесконечной пластине в стационарном потоке вязкой несжимаемой жидкости. Однако аналогичная теория пограничного слоя на полубесконечной игле не создана до сих пор. Теория погранслоя на цилиндре, предложенная Глауэртом и Лайтхиллом [] (см. также [8, § 35]), не дает предела, если устремить радиус цилиндра к нулю.

В § 6 гл. VI книги [] изложена теория пограничного слоя на пластине с точки зрения степенной геометрии. При этом было дано чисто математическое обоснование теории пограничного слоя, не использующее какие-либо механические или физические соображения, как было раньше. Здесь развивается этот подход.

§ 1. Теория

Здесь кратко объясняются некоторые понятия степенной геометрии [], которые используются в § 2 и § 9. Пусть x₁, x₂ - независимые переменные и x₃, x₄, x₅ - зависимые. Обозначим X = (x₁, ╝, x₅) . дифференциальный моном a (X) это произведение обычного монома c x₁^r₁x₂^r₂╝x₅^r₅[( def) || ( = )] c X^R, где c=const и R=(r₁,╝,r₅) ╬ R⁵, и конечного числа частных производных ╢^l x_m/╢x₁^l₁╢x₂^l₂, l=l₁+l₂, m=3,4,5. Каждому дифференциальному моному a(X) ставится в соответствие его векторный показатель степени Q(a) ╬ R⁵ по следующим правилам: Q(cX^R)=R; Q(╢^l x_k/╢x₁^l₁╢ x₂^l₂)=-l₁E₁-l₂E₂+E_k, где E_j обозначает j-ый единичный вектор; Q(a₁a₂)=Q(a₁)+Q(a₂), где a₁ и a₂ - дифференциальные мономы. Конечная сумма дифференциальных мономов

f(X)=

a_k(X)

(1.1)

называется дифференциальной суммой. В R⁵ сумме (1.1) соответствует носитель S(f)={Q(a_k)}, который является набором всех векторных показателей степени ее мономов. Выпуклая оболочка G(f) носителя S(f) называется многогранником суммы (1.1). Ее граница ╢G(f) состоит из граней G_j^(d), где d=dim(G_j^(d)). Каждой грани G_j^(d) соответствует укороченная сумма

(d)
j

(X)=

a_k(X) по k:Q(a_k) ╬ G_j^(d).

Пусть R_*⁵ обозначает пространство, двойственное к пространству R⁵ так, что определено скалярное произведение сP,Qё[( def) || ( = )] p₁q₁+╝+p₅q₅ для P=(p₁,╝,p₅) ╬ R_*⁵ и Q=(q₁,╝,q₅) ╬ R⁵. Для каждой грани G_j^(d) многогранника G(f), существует такой вектор P ╬ R_*⁵, что сP,Qвё = сP,Q"ё > сP,Q"вё для любых Qв,Q" ╬ G_j^(d) и Q"в ╬ G\G_j^(d). В R⁵ гиперплоскость сP,Qё = const=сP,Qвё является опорной для многогранника G(f) и вектор P это вектор внешней нормали к грани G_j^(d), т.е. от нее он направлен наружу многогранника G(f). Укорочение [^(f)]_j^(d)(X) - первое приближение суммы f(X), когда x_m = c_mt^p_m, где c_m ╣ 0 - произвольные постоянные, и параметр tое, m=1,...,5.

Рассмотрим систему трех дифференциальных уравнений

f_i(X)=0, i=1,2,3,

(1.2)

где f_i(X) - дифференциальные суммы. Каждой из них соответствует ее носитель S(f_i), многогранник G(f_i), набор граней G_ij^(d) и набор укороченных уравнений [^(f)]_ij^(d)(X)=0. Система укороченных уравнений

(d_i)
ij_i

(X)=0, i=1,2,3,

(1.3)

называется укороченной системой, если существует общий внешний нормальный вектор P ╬ R_*⁵ к граням G_{ij_i}^(d_i) многогранников G(f_i) для i=1,2,3. На самом деле, для каждого вектора P ╣ 0 существует соответствующая укороченная система (1.3) с упомянутым свойством. Пусть для x₁ое система (1.2) имеет решение вида

x_m=x₁^g_mj_m(x)+O(x₁^g_m-e), m=3,4,5,

где x = x₂x₁^-g₂, e > 0, j_m(x) ╣ 0 для x из интервала I ╠ R и

g_m=p_m/p₁, m=2,3,4,5,

(1.4)

т.е. векторы -g_mE₁+E_m ортогональны вектору P. Тогда укороченное решение

x_m=x₁^g_mj_m(x), m=3,4,5,

(1.5)

является решением укороченной системы (1.3). Укороченная система (1.3) квазиоднородна, т.е. три грани G_1j₁^(d₁), G_2j₂^(d₂), G_3j₃^(d₃) могут быть перенесены в линейное подпространство B ╠ R⁵ посредством параллельных переносов. Пусть пространство B является двумерным подпространством с базисом B₁,B₂ ╬ R⁵, и мы имеем граничные условия

x₃=c₃x₂^n₃, x₅=c₅x₂^n₅ при x₂ое, c₃,c₅=const

(1.6)

для укороченной системы (1.3). Тогда укороченная система (1.3) имеет автомодельное решение (1.4), (1.5), (1.6) с вектором P = (p₁, ..., p₅) , который ортогонален векторам B₁, B₂, -n₃E₂+E₃, -n₅E₂+E₅ и имеет p₁ > 0, потому что x₁ое. Следовательно, вектор P пропорционален внешнему (векторному) произведению указанных векторов, то есть

P= const

щ
ъ
ъ
ъ
ы

B₁

B₂

-n₃E₂+E₃

-n₅E₂+E₅

∙
·
·
·
√

(1.7)

где звездочка означает транспонирование.

Теперь надо проверить, что укороченная система (1.3) является укорочением системы (1.1) по вектору P, вычисленному по формуле (1.7). Для этого надо вычислить скалярные произведения сP,Q_k ё и выбрать те Q_k, в которых оно максимально для фиксированного уравнения. Если все граничные условия имеют вид (1.6) с одинаковыми фиксированными n₃ и n₅, отличаясь только константами c₃, c₅ и знаками x₂, то надо показать, что укороченная система (1.3) имеет решение (1.5), удовлетворяющее всем этим граничным условиям вида (1.6). Если кроме граничных условий вида (1.6) имеются еще дополнительные граничные условия C₁,...,C_t, то надо показать, что укороченная система (1.3) имеет решение (1.5), удовлетворяющее всем этим граничным условиям.

Пусть A_s это множество векторов P ╬ R⁵_*, соответствующих значениям решения вблизи границы s-го граничного условия C_s, s=1,...,t. Надо еще доказать, что для каждого P ╬ A_s укорочения [^(f)]_iP(X) многочленов f_i(X) являются подсуммами укороченных многочленов [^(f)]_{ij_i}^(d_i)(X). Другими словами, надо показать что для каждого i=1,2,3 и каждого P ╬ A_s скалярное произведение сP, Q_kё для Q_k ╬ S(f_i) достигает максимума только на Q_k ╬ G_{ij_i}^(d_i). Только в этом случае укороченная система (1.3) соответствует также дополнительным граничным условиям C₁,...,C_t.

Пусть множество D_s векторов P ╬ R⁵_* соответствует дополнительному граничному условию C_s. Очевидно A_s ╠ D_s. Если удастся показать наличие указанного свойства для всех P ╬ D_s, то его можно не проверять для конкретного решения.

Этот метод позволяет выбирать укороченные системы (1.3) и находить их автомодельные решения, которые удовлетворяют заданным граничным условиям и дают асимптотики решений исходной системы (1.2).

§ 2. Система уравнений в частных производных

Согласно [1, 2], стационарный осесимметричный поток вязкого сжимаемого теплопроводного газа описывается системой трех уравнений

f₁

def
=

щ
ы

╢y

╢x

╢

╢r

ц
ш

╢y

╢x

Ў
°

╢y

╢r

╢

╢x

ц
ш

╢y

╢x

Ў
°

∙
√

-A

╢

╢r

(rh) +

щ
ы

Cⁿ

╢

╢r

ц
ш

hⁿ

╢

╢r

ц
ш

╢y

╢x

Ў
°

Cⁿ

╢

╢r

ц
ш

hⁿ

╢

╢x

ц
ш

╢y

╢r

Ў
°

2Cⁿ

╢

╢r

ц
ш

hⁿ r

╢

╢r

ц
ш

╢y

╢x

Ў
°

+Cⁿ

╢

╢x

ц
ш

hⁿ

╢

╢r

ц
ш

╢y

╢r

Ў
°

2Cⁿ hⁿ

rr³

╢y

╢x

∙
√

- Cⁿ

╢

╢x

ц
ш

hⁿ

╢

╢x

ц
ш

╢y

╢x

Ў
°

=0,

(2.1)

f₂

def
=

щ
ы

╢y

╢x

╢

╢r

ц
ш

╢y

╢r

Ў
°

╢y

╢r

╢

╢x

ц
ш

╢y

╢r

Ў
°

∙
√

-A

╢

╢x

(rh) +

щ
ы

Cⁿ

╢

╢x

ц
ш

hⁿ

╢

╢r

ц
ш

╢y

╢x

Ў
°

Cⁿ

╢

╢x

ц
ш

hⁿ

╢

╢x

ц
ш

╢y

╢r

Ў
°

Cⁿ

╢

╢r

ц
ш

hⁿ r

╢

╢x

ц
ш

╢y

╢x

Ў
°

+2Cⁿ

╢

╢x

ц
ш

hⁿ

╢

╢x

ц
ш

╢y

╢r

Ў
°

∙
√

Cⁿ

╢

╢r

ц
ш

hⁿ r

╢

╢r

ц
ш

╢y

╢r

Ў
°

=0,

(2.2)

f₃

def
=

щ
ы

╢y

╢x

╢h

╢r

╢y

╢r

╢h

╢x

╢y

╢x

╢(rh)

╢r

╢y

╢r

╢(rh)

╢x

∙
√

щ
ы

2Cⁿ hⁿ

ц
ш

╢

╢r

ц
ш

╢y

╢x

Ў
°

+2Cⁿhⁿ

ц
ш

r²r

╢y

╢x

Ў
°

+2Cⁿhⁿ

ц
ш

╢

╢x

ц
ш

╢y

╢r

Ў
°

∙
√

щ
ы

Cⁿhⁿ

ц
ш

╢

╢x

ц
ш

╢y

╢x

Ў
°

-Cⁿhⁿ

╢

╢x

ц
ш

╢y

╢x

Ў
°

╢

╢r

ц
ш

╢y

╢r

Ў
°

Cⁿhⁿ

ц
ш

╢

╢r

ц
ш

╢y

╢x

Ў
°

4Cⁿhⁿ

╢

╢r

ц
ш

╢y

╢x

Ў
°

╢

╢x

ц
ш

╢y

╢r

Ў
°

Cⁿhⁿ

ц
ш

╢

╢x

ц
ш

╢y

╢r

Ў
°

∙
√

+Cⁿhⁿ

ц
ш

╢

╢r

ц
ш

╢y

╢r

Ў
°

Cⁿ

╢

╢r

ц
ш

r hⁿ

╢h

╢r

Ў
°

Cⁿ

╢

╢x

ц
ш

hⁿ

╢h

╢x

Ў
°

=0,

(2.3)

где координата x направлена по оси симметрии, r - расстояние от оси x (это независимые переменные), зависимые переменные: y - функция тока, r - плотность, h - энтальпия, и константы A, C, s > 0, n ╬ [0,1]. Здесь s - число Прандтля, давление p=Arh (согласно уравнению Клапейрона) и динамический коэффициент вязкости m = Cⁿhⁿ, где n ╬ [0,1] . При этом r │ 0, h > 0 и

Cⁿ > 0, hⁿ > 0.

(2.3в)

В обозначениях § 1 здесь x₁=x, x₂=r, x₃ = y, x₄ = r, x₅=h.

Результаты вычислений с носителями этих уравнений представлены в табл. 1, которая организована следующим образом. Первый столбец содержит номер i уравнения f_i=0, второй столбец содержит номер k точки Q_k носителя, третий столбец содержит векторы (или точки) Q_k, четвертый столбец содержит значения сдвинутых векторов Q_kв=Q_k-T_i для T₁=Q₁, T₂=Q₅ и T₃=Q₉, пятый столбец содержит трехмерные координаты [(Q)\tilde]_kв точек Q_kв в базисе Q₂в,Q₃в,Q₄в, шестой столбец содержит скалярные произведения с[(P)\tilde],[(Q)\tilde]_kвё для [(P)\tilde]=(1,0,-1), в седьмом столбце (T) знак "+" отмечает максимальные значения с[(P)\tilde],[(Q)\tilde]_kвё для данного i (соответствующие члены суммы f_i включены в укорочение [^(f)]_i2^(d_i)), последний восьмой столбец содержит значения скалярных произведений сP, Q_kё для P=(2,1,2,0,0). Мы видим, что все три многогранника M₁=G(f₁), M₂=G(f₂), M₃=G(f₃) трехмерны и могут быть перенесены в одно и то же трехмерное линейное подпространство L с базисом Q₂в,Q₃в,Q₄в в R⁵ посредством параллельных переносов. Пусть M₁в, M₂в,M₃в ╠ L так параллельно сдвинутые многогранники M₁, M₂, M₃ соответственно. Они могут рассматриваться как многогранники [(M)\tilde]_iв в [(R³)\tilde]=L (см. столбец 5 табл. 1).

Таблица 1. Выделение укороченной системы.

Здесь [(D)\tilde]_k[( def) || ( = )] с[(P)\tilde],[(Q)\tilde]_k^вё, D_k[( def) || ( = )] сP,Q_k ё.

i	k	Q_k	Q_k^в	[(Q)\tilde]_k^в	[(D)\tilde]_k	T	D_k
1	1	-2, -3, 2, -1, 0	0	0	0		-3
	2	0, -1, 0, 1, 1	2, 2, -2, 2, 1	1, 0, 0	1	+	-1
	3	-1, -3, 1, -1, n	1, 0, -1, 0, n	0, 1, 0	0		-3
	4	-3, -1, 1, -1, n	-1, 2, -1, 0, n	0, 0, 1	-1		-5
2	5	-1, -4, 2, -1, 0	0	0	0	+	-2
	6	-1, 0, 0, 1, 1	0, 4, -2, 2, 1	1, -1, 1	0	+	-2
	7	-2, -2, 1, -1, n	-1, 2, -1, 0, n	0, 0, 1	-1		-4
	8	0, -4, 1, -1, n	1, 0, -1, 0, n	0, 1, 0	0	+	-2
3	9	-1, -2, 1, 0, 1	0	0	0	+	-2
	10	-2, -4, 2, -2, n	-1, -2, 1, -1, n-1	-1, 1, 0	-1		-4
	11	-4, -2, 2, -2, n	-3, 0, 1, -2, n-1	-1, 0, 1	-2		-6
	12	0, -6, 2, -2, n	1, -4, 1, -2, n-1	-1, 2, -1	0	+	-2
	13	0, -2, 0, 0, n+1	1, 0, -1, 0, n	0, 1, 0	0	+	-2
	14	-2, 0, 0, 0, n+1	-1, 2, -1, 0, n	0, 0, 1	-1		-4

Многогранник [(M)\tilde]₂в - тетраэдр. Мы берем его грань G₂₂⁽²⁾, натянутую на точки [(Q)\tilde]₅в, [(Q)\tilde]₆в, [(Q)\tilde]₈в, вектор [(P)\tilde]=(1,0, -1) - внешний нормальный вектор к этой грани и соответствующее укорочение уравнения (2.2)

(2)
22

def
=

╢y

╢x

╢

╢r

ц
ш

╢y

╢r

Ў
°

╢y

╢r

╢

╢x

ц
ш

╢y

╢r

Ў
°

-A

╢

╢x

(rh) +

Cⁿ

╢

╢r

ц
ш

hⁿ r

╢

╢r

ц
ш

╢y

╢r

Ў
°

=0.

(2.4)

Согласно шестому столбцу, опорная плоскость к многограннику [(M)\tilde]₁в с внешним нормальным вектором [(P)\tilde] пересекает [(M)\tilde]₁в только по вершине G₁₂⁽⁰⁾=[(Q)\tilde]₂в. Эта точка G₁₂⁽⁰⁾ = [(Q)\tilde]₂в определяет для (2.1) укороченное уравнение

(0)
12

def
=

-A ╢(rh)/╢r=0 (или ╢(rh)/╢r=0).

(2.5)

Опорная плоскость к многограннику [(M)\tilde]₃в с внешним нормальным вектором [(P)\tilde] пересекает [(M)\tilde]₃в по грани G₃₂⁽²⁾, cодержащей точки [(Q)\tilde]₉в,[(Q)\tilde]₁₂в, [(Q)\tilde]₁₃в (см. шестой столбец). Грани G₃₂⁽²⁾ соответствует укорочение уравнения (2.3)

(2)
32

def
=

╢y

╢x

╢h

╢r

╢y

╢r

╢h

╢x

╢y

╢x

╢(rh)

╢r

╢y

╢r

╢(rh)

╢x

+ Cⁿhⁿ

ц
ш

╢

╢r

ц
ш

╢y

╢r

Ў
°

Cⁿ

╢

╢r

ц
ш

r hⁿ

╢h

╢r

Ў
°

=0.

(2.6)

Теперь заметим, что функции

y = y₀ r², r = r₀, h=h₀; y₀, r₀, h₀= const

(2.6в)

анулируют каждый из членов в уравнениях (2.1) - (2.3). Следовательно, функции (2.6в) являются решением любой укороченной системы для системы (2.1) - (2.3). Поэтому при x < 0 и rое выражения (2.6в) являются граничным условием, которое продолжает граничное условие (3). Более того, оно продолжается и для x > 0. Поэтому в дальнейшем мы ищем решение граничной задачи (2.1) - (2.3) и

y = y₀r², r = r₀, h=h₀; y₀,r₀,h₀= const , rо е,

(2.7)

╢y/╢x = ╢y/╢r = ╢²y/╢x╢r = ╢²y/╢r²=0 при x │ 0, r=0.

(2.8)

Как указано, условия (2.7) следуют из условия (3) аналогично следствию из леммы 1 и теореме 1 [6], см. также [3, гл. VI, § 6]. Граничные условия (2.8) даны на игле. Грань G₂₂⁽²⁾ параллельна двум векторам B₁=Q₆в=(0,4,-2,2,1), B₂=Q₈в=(1,0,-1,0,n) ╬ R⁵. Согласно (1.7) получаем вектор P=(2,1,2,0,0), ортогональный векторам B₁, B₂, -2E₂+E₃, E₅. Так что автомодельные решения укороченной системы (2.4) - (2.6) имеют вид

y = xG(x), r = P(x), h=H(x),

(2.9)

где x = r²/x.

Прямое вычисление, приведенное в восьмом столбце, подтверждает что несущая гиперплоскость к многогранникам M₁, M₂, M₃ с внешним нормальным вектором P=(2,1,2,0,0) пересекает их точно по граням G₁₂⁽⁰⁾, G₂₂⁽²⁾, G₃₂⁽²⁾ соответственно. Таким образом, решения (2.9) это асимптотики решений краевой задачи (2.1) - (2.3), (2.7), (2.8).

§ 3. Система ОДУ

Согласно (2.5) и (2.9) видно что, P(x)H(x)= const =C₀[( def) || ( = )] r₀ h₀ ╣ 0. Поэтому

P(x)=C₀/H(x).

(3.1)

После замены (2.9), (3.1) в уравнениях (2.4) и (2.6), мы получаем систему ОДУ

F₂

def
=

G(GвH )в+2Cⁿ[ Hⁿ(GвH)вx]в=0,

F₃

def
=

2GHв+16CⁿC₀^-2xHⁿ((GвH)в)²+4Cⁿs^-1(xHⁿHв)в=0,

(3.2)

где в[( def) || ( = )] d/dx, с граничными условиями

G=y₀x, H=h₀ при xо +е,

(3.3)

G=dG/dx = 0 при x = 0.

(3.4)

Теперь заметим, что уравнение

(GвH)в=0

(3.5)

или

GвH=c₁= const ,

(3.6)

где c₁ - произвольная постоянная, выделяет инвариантное многоообразие полной системы (3.2). На нем первое уравнение системы выполнено тождественно, а второе, после сокращения на 2, принимает вид:

GHв+2Cⁿs^-1(xHⁿHв)в=0.

(3.7)

Итак, получили систему двух уравнений (3.6) и (3.7). Нас интересуют ее решения с граничными условиями (3.3), (3.4). Чтобы нормировать константы сделаем линейную замену координат

x =

Cⁿh₀ⁿ

sy₀

, G=

Cⁿh₀ⁿ

, H=h₀

Тогда, опуская тильды у переменных, получаем систему уравнений

GвH=

= const ,

(3.8)

GHв+2(xHⁿHв)в=0

(3.9)

с граничными условиями (3.4) и

G=x, H=1 при xо+е.

(3.10)

Из граничного условия (3.10) следует, что в уравнении (3.8) [(c)\tilde]₁=1 и оно имеет вид

GвH=1.

(3.11)

Итак, получили систему (3.11), (3.9) с граничными условиями (3.10) и (3.4). Сложим уравнения (3.11) и (3.9) и сумму проинтегрируем, получим

GH+2xHⁿHв=x+2c₂,

(3.12)

где c₂ - произвольная постоянная. Сведем теперь систему уравнений (3.11), (3.12) к одному уравнению для H, исключив G. Из (3.12) получаем

G=-2xH^n-1Hв+(x+2c₂)H^-1.

Отсюда

Gв=-

2(xHⁿHв)в

2(xHⁿHв)Hв

H²

(x+2c₂)Hв

H²

(3.12в)

Согласно (3.11) Gв=1/H. Поэтому в последнем уравнении члены Gв и 1/H взаимно уничтожаются. Умножая уравнение (3.12в) на -H², получаем уравнение

D = 2(xHⁿHв)вH-2xHⁿHв²+(x+2c₂)Hв=0

(3.13)

с граничным условием

H=1 при xо+е.

(3.14)

Кроме того, согласно § 2 из физического смысла энтальпии имеем h > 0; следовательно, нас интересуют только те решения H(x) уравнения (3.13), у которых согласно (2.9) и (2.3в)

H(x) > 0 и Hⁿ > 0 для x ╬ (0,е).

(3.15)

Заметим, что уравнение (3.13) всегда имеет постоянные решения

H= const

def
=

H₀.

(3.16)

Лемма 3.1. В любой точке x = x⁰= const , H=H⁰= const с x⁰ ╬ (0,е), H⁰ ╣ 0 непостоянное решение H(x) уравнения (3.13) монотонно.

Доказательство. Перепишем уравнение (3.13) в виде

H"=

2(1-n)Hв²

Hв

(x+2c₂)Hв

2xHⁿ⁺¹

(3.17)

Согласно теореме Коши в любой точке x = x⁰= const , H=H⁰= const , Hв=Hв⁰= const с x⁰ ╬ (0,е), H⁰ ╣ 0 решение H(x) уравнения (3.13) аналитично. Следовательно, оно имеет в этой точке экстремум, только если Hв⁰=0. Но согласно (3.17) тогда в этой точке H"=0. Дифференцируя уравнение (3.17), получаем, что в этой точке и все дальнейшие производные H^(k) равны нулю. Аналитическая функция H(x), у которой в некоторой точке все производные равны нулю, является постоянной. Доказательство окончено.

Дальнейшее изучение решений (3.15) уравнения (3.13) основано на методах степенной геометрии, развитых для одного обыкновенного дифференциального уравнения [12,15-17], и излагается ниже в §§ 4-7.

§ 4. Решения уравнения (3.13) вблизи нуля

Случай c₂ ╣ 0. В этом случае носитель уравнения (3.13) состоит из трех точек Q₁=(-1,2+n), Q₂=(0,1) и Q₃=(-1,1). Носитель S(D), многоугольник G(D) и его грани G_j^(d) для уравнения (3.13) показаны на рис 4.1а, а их нормальные конусы U_j^(d) - на рис. 4.1б.

Picture Omitted

Picture Omitted

Рис. 4.1. Носитель S(D), многоугольник G(D) и его грани G_j^(d)

для уравнения (3.13) при c₂ ╣ 0 (а) и их нормальные конуса (б)

Изучим решения уравнения (3.13) при xо 0. Тогда w = -1. В этом случае конус задачи есть p₁ < 0. Согласно рис. 4.1б с ним пересекаются только нормальные конуса U₃⁽⁰⁾, U₁⁽⁰⁾ и U₁⁽¹⁾. Рассмотрим соответствующие им грани и укороченные уравнения.

Вершине G₃⁽⁰⁾ соответствует укороченное уравнение

(0)
3

def
=

2c₂Hв=0.

(4.1)

Его характеристический многочлен 2c₂r имеет корень r=0, но вектор w(1,r)=(-1,0) не лежит в нормальном конусе U₃⁽⁰⁾. Cледовательно, вершине G₃⁽⁰⁾ не соответствует никакое подходящее решение.

Вершине G₁⁽⁰⁾ соответствует укороченное уравнение

(0)
1

def
=

2(xHⁿHв)вH-2xHⁿHв² = 2Hⁿ[(n-1)xHв²+xHH"+HHв]=0.

(4.2)

Лемма 4.1. Все решения уравнения (4.2) суть

H=(c₄lnx+c₅)^1/n при n ╣ 0,

(4.3)

H=c₄x^l при n=0,

(4.4)

где c₄, c₅ и l - произвольные постоянные.

Доказательство. Приравняв нулю квадратные скобки из уравнения (4.2) и разделив их затем на xHHв, получаем уравнение

(n-1)

Hв

=0.

Интегрируя его по x, получаем уравнение

(n-1)lnH+lnHв+lnx = c₂₀,

где c₂₀ - произвольная постоянная. Это уравнение эквивалентно уравнению

H^n-1Hв=c₂₁/x,

где c₂₁ ╣ 0 - произвольная поостоянная. Интегрируя это последнее уравнение, получаем

Hⁿ=c₂₁lnx+c₂₂ при n ╣ 0,

lnH=c₂₁lnx+c₂₂ при n=0,

где c₂₂ - произвольная постоянная. Эти выражения эквивалентны формулам (4.3) и (4.4). Доказательство окончено.

Для решений (4.3) при xо 0 порядок r=0 и им соответствует вектор P=w(1,r)=-(1,0), который не лежит в нормальном конусе U₁⁽⁰⁾. Следовательно, при n ╣ 0 вершине G₁⁽⁰⁾ не соответствует никакое подходящее решение (4.3).

Для решений (4.4) при xо 0 порядок r=l. Вектор P=w(1,r)=(-1,-l) ╬ U₁⁽⁰⁾, если l < 0, что в дальнейшем предполагается. Следовательно, при n=0 выражение (4.4) с l < 0 дает степенные асимптотики решений уравнения (3.13). Найдем степенные разложения этих решений вида

H=c₄x^l+

х
s

b_sx^s, s > l, s ╬ K.

(4.5)

Первая вариация уравнения (4.2) при n=0 есть

(0)
1

= -4xHв

+2xH"+2xH

d²

dx²

+2Hв+2H

На кривой (4.4) она дает оператор

L(x) = 2c₄x^l-1

щ
ы

-2lx

+l(l-1)+x²

d²

dx²

+l+x

∙
√

\not ║ 0.

Характеристический многочлен дифференциальной суммы L(x)x^k есть

n(k)=2c₄[-2lk+l(l-1)+k(k-1)+l+k] = 2c₄(k-l)².

Он имеет один двукратный корень k₁=l = r, который не является критическим числом, ибо не удовлетворяет неравенству k₁ > r. Для вычисления множества K воспользуемся леммой 1.1 из [18]. Здесь R^*=(1,0), R_*=(1,-1). Поэтому

r^*

def
=

сR^*,(1,r)ё = 1, r_*

def
=

сR_*,(1,r)ё = 1-l.

Следовательно,

K={s=l+l+m(1-l); целые l,m │ 0, l+m > 0}.

(4.6)

В разложениях (4.5), (4.6) все коэффициенты b_s постоянны и однозначно определены; они сходятся для достаточно малых |x| ╣ 0. Их семейство обозначим G₁⁽⁰⁾ Итак получена

Лемма 4.2. При фиксированном c₂ ╣ 0, n=0 и xо 0 уравнение (3.13) имеет двупараметрическое семейство G₁⁽⁰⁾ решений (4.5), (4.6) с l < 0.

Ребру G₁⁽¹⁾ соответствует укороченное уравнение

(1)
1

def
=

2(xHⁿHв)вH-2xHⁿHв²+2c₂Hв=0.

(4.7)

Это уравнение имеет инвариантное многообразие

xHⁿHв=c₂,

(4.8)

следовательно, HⁿHв=c₂/x. Интегрируя по x это уравнение, получаем

Hⁿ⁺¹/(n+1)=c₂lnx+c₃,

где c₃ - произвольная постоянная. Итак,

H=[ (n+1)(c₂lnx+c₃)]^1/(n+1).

(4.9)

Согласно (4.9) для вещественности решений (4.6) надо, чтобы c₂ < 0, ибо lnx < 0 при xо 0.

Уравнение (4.7) имеет также постоянные решения (3.16), которые при H₀ ╣ 0 можно рассматривать как степенную асимптотику. Найдем решения уравнения (3.13) вблизи (3.16) при xо 0. Согласно (4.2) первая вариация уравнения (4.7) есть

(1)
1

= 2n(n-1)xH^n-1Hв²+4(n-1)xHⁿHв

+2xH"+2(n+1)H"+

+2xHⁿ⁺¹

d²

dx²

+2(n+1)HⁿHв+2Hⁿ⁺¹

+ 2c₂

На решении (3.16) с H₀ ╣ 0 она дает оператор

L(x) = 2xH₀ⁿ⁺¹

d²

dx²

+2H₀ⁿ⁺¹

+2c₂

Характеристический многочлен дифференциальной суммы L(x)x^k есть

n(k)=2H₀ⁿ⁺¹k(k+c₂/H₀ⁿ⁺¹).

Он имеет два корня k₁=0 и k₂=-c₂/H₀ⁿ⁺¹. Корень k₁=r=0 не является критическим числом, корень k₂ является критическим числом только при -c₂/H₀ⁿ⁺¹ > 0. Поскольку H₀ и H₀ⁿ⁺¹ > 0, то это означает, что c₂ < 0.

Если нет критических чисел, то из точки x = 0, H=H₀ ╣ 0 выходит единственное решение уравнения (3.13) и это решение есть (3.16). Если есть одно критическое число k₂, то из точки x = 0, H=H₀ ╣ 0 выходит однопараметрическое семейство решений уравнения (3.13) с разложением

H=H₀+

х
s

g_sx^s, s ╬ K(k₂) = {l+mk₂, целые l,m │ 0, l+m > 0},

где коэффициенты g_s суть многочлены от lnx, коэффициент g_k₂ содержит произвольную постоянную, а остальные g_s однозначно определены. Итак, получена

Лемма 4.3. При c₂ > 0 из точки x = 0, H=H₀= const ╣ 0 выходит только одно решение (3.16) уравнения (3.13). При c₂ < 0 из точки x = 0, H=H₀= const ╣ 0 выходит однопараметрическое семейство решений уравнения (3.13).

Следовательно, при c₂ > 0 уравнение (3.13) имеет однопараметрическое семейство решений (3.16), а при c₂ < 0 оно имеет двупараметрическое семейство решений, которые при xо 0 стремятся к постоянным H₀ ╣ 0. Это семейство обозначим F₁⁽¹⁾1.

Изучим теперь все остальные решения укороченного уравнения (4.7). Согласно [12,§ 5 и 17] сделаем логарифмическое преобразование

a = lnx

и производную по a будем обозначать точкой: [ \dot] [( def) || ( = )] d/da. Тогда Hв=[(H)\dot]/x и уравнение (4.7) принимает вид

def
=

╫

[Hⁿ

╫

]

H-2Hⁿ

╫

+2c₂

╫

=0.

(4.10)

Его носитель S(W) состоит из двух точек Q₄=(-2,2+n) и Q₅=(-1,1). Многоугольник G(W) является отрезком, их соединяющим. Его номальный вектор N₄=(1,1/(n+1)). Его грани G_j^(d) показаны на рис. 4.2а, а их нормальные конуса - на рис. 4.2б.

Picture Omitted

Picture Omitted

Рис. 4.2. Грани G_j^(d) многоугольника уравнения (4.10) при c₂ ╣ 0 (а)

и их нормальные конуса (б)

При этом G_j⁽⁰⁾=Q_j. Здесь aо-е т.е. w = 1, и конус задачи есть p₁ > 0. С ним пересекаются все три нормальных конуса U_j^(d). Рассмотрим решения, соответствующие граням G_j^(d).

Вершине G₄⁽⁰⁾ соответствует укороченное уравнение

(0)
4

def
=

╫

[Hⁿ

╫

]

H-2Hⁿ

╫

= 2[(n-1)Hⁿ

╫

+Hⁿ⁺¹

╫╫

]=0.

(4.11)

Его характеристический многочлен есть

2r(nr+r-1)-2r²=2r(nr-1).

Он имеет два корня r=0 и r=1/n. Соответствующие векторы w(1,r) суть P₁=(1,0) и P₂=(1,1/n). Вектор P₁ не лежит в нормальном конусе U₄⁽⁰⁾, а вектор P₂ лежит в U₄⁽⁰⁾, ибо 1/n > 1/(n+1). Следовательно, при n ╣ 0 укороченнное уравнение (4.11) имеет степенные решения

a^1/n,

(4.12)

где [(c)\tilde] ╣ 0 - произвольная постоянная. Найдем их критические числа. Согласно (4.11) первая вариация

(0)
4

= 2

щ
ы

(n-1)nH^n-1

╫

+2(n-1)Hⁿ

╫

+ (n+1)Hⁿ

╫╫

+Hⁿ⁺¹

d²

da²

∙
√

(4.13)

На кривой (4.12) она дает оператор

L(a) = 2

n+1

a^(1-n)/n

щ
ы

n-1

n+1

ц
ш

-1

Ў
°

n-1

+a²

d²

da²

∙
√

Характеристический многочлен дифференциальной суммы L(a)a^k есть

n(k)=2

n+1

щ
ы

k(k-1)+

2(n-1)

1-n

n²

∙
√

Он имеет два корня k₁=1/n и k₂=(1-n)/n=k₁-1. Здесь конус задачи k < r=1/n. Поскольку корень k₁=r, то он не является критическим чилом, но k₂=r-1 < r, поэтому k₂ - критическое число. Согласно [12, § 3 и 16] здесь множества

K={s=-l/n, целые l │ 0},

K(k₂)={s=1/n-l/n-m, целые l,m │ 0, l+m > 0}.

Если n ╣ 1, то k₂=-1+1 ╧ K и уравнение (4.10) имеет семейство G₄⁽⁰⁾ степенных разложений решений

a^1/n+

b_sa^s, s ╬ K(k₂),

(4.14)

где b_s - постоянные коэффициенты, [(c)\tilde] и b_k₂- произвольны, а остальные коэффициенты b_s однозначно определены. Разложение (4.14) сходится для достаточно больших |a|. Если положить b_k₂=0, то разложение (4.14) имеет вид

a^1/n+

е
х
l=0

b_l a^-l/n,

(4.15)

где [(c)\tilde] - произвольная постоянная, а постоянные b_l однозначно определены. Так,

b₀=

nc₂

(n-1)

, b₁=

n(n-1)b₀²

2(2-n)

n³c₂²

2(2-n)(n-1)

2n+1

(4.16)

Согласно (4.9) разложение (4.14) дает двупараметрическое семейство F₁⁽¹⁾G₄⁽⁰⁾ нестепенных асимптотик решений уравнения (3.13)

H ~

(lnx)^1/n+

b_s(lnx)^s, s ╬ K(k₂).

(4.17)

Если n=1, то k₂=0 ╬ K и уравнение (4.10) имеет семейство степенно-логарифмических разложений вида (4.15), где коэффициенты b_l являются многочленами от lna, коэффициент b₀ содержит произвольную постоянную, а остальные коэффициенты b_l однозначно определены. Это семейство также обозначим G₄⁽⁰⁾. Ему также соответствует двупараметрическое семейство F₁⁽¹⁾G₄⁽⁰⁾ нестепенных асимптотических решений уравнения (3.13). Итак, доказана

Лемма 4.4. При фиксированных c₂ ╣ 0, n ╣ 0 и xо 0 уравнение (3.13) имеет двупараметрическое семейство решений F₁⁽¹⁾G₄⁽⁰⁾ с нестепенными асимптотиками вида (4.17). При n ╣ 1 коэффициенты b_s постоянны, при n=1 они являются многочленами от ln|lnx|.

Вершине G₅⁽⁰⁾ соответствует укороченное уравнение [^(W)]₅⁽⁰⁾[( def) || ( = )] 2c₂[(H)\dot]=0. Его характеристический многочлен c(r)=2c₂r имеет только один простой корень r=0. Вектор P=w(1,r)=(1,0) ╬ U₅⁽⁰⁾ (см. рис. 3.2б). Соответствующие степенные укороченные решения (3.16) нам не подходят, ибо для них граничное условие (3.4) не выполнено. Поэтому решения, соответствующие вершине G₅⁽⁰⁾ нам не подходят.

Ребру G₄⁽¹⁾ соответствует все уравнение (4.10). Поскольку нормальным к ребру G₄⁽¹⁾ является вектор N₄=(1,1/(n+1)), то ищем решения уравнения (4.10) в виде

a^1/(n+1).

(4.18)

Для [(c)\tilde]₀ получаем определяющее уравнение

n+2
0

n+1

ц
ш

n+1

-1

Ў
°

n+2
0

(n+1)²

+c₂

n+1

=0.

Из него получаем, что [(c)\tilde]₀ⁿ⁺¹=(n+1)c₂, т.е.

=[(n+1)c₂]^1/(n+1).

(4.19)

Следовательно,

H=[(n+1)c₂lnx]^1/(n+1).

При xо 0 имеем lnx < 0, поэтому эти решения со свойством (3.15) имеются только при c₂ < 0 и отсутствуют при c₂ │ 0.

Найдем теперь критические числа укороченного решения (4.18). Согласно (4.10) и (4.13) первая вариация есть

= 2

щ
ы

(n-1)nH^n-1

╫

+2(n-1)Hⁿ

╫

+ (n+1)Hⁿ

╫╫

+Hⁿ⁺¹

d²

da²

+c₂

∙
√

На кривой (4.18) она дает оператор

L(a)=2

ь
э
ю

n+1
0

щ
ы

(n-1)n

(n+1)²

a^-1+

2(n-1)

n+1

(n+1)

ц
ш

n+1

-1

Ў
°

a^-1+a

d²

da²

∙
√

+c₂

№
¤
■

Согласно (4.19) характеристический многочлен дифференциальной суммы L(a)a^k есть

n(k)=2c₂

ь
э
ю

(n+1)

щ
ы

(n-1)n

(n+1)²

(n+1)n

(n+1)²

2(n-1)

n+1

k+k(k-1)

∙
√

№
¤
■

= 2c₂(n+1)

ь
э
ю

(n+1)²

n-2

n+1

k+k²

№
¤
■

Его корни суть k₁=2/(n+1) и k₂=-n/(n+1). Здесь конус задачи s < r=1/(n+1). Корень k₁ > r и не является критическим числом. Корень k₂ < r и является критическим числом.

Выражение (4.18), (4.19) является точным решением уравнения (4.10).

Согласно [12, § 3 и 16] уравнение (4.10) имеет также однопараметрическое семейство G₄⁽¹⁾ степенных разложений

a^1/(n+1)

щ
ы

е
х
l=1

b_la^-l

∙
√

(4.20)

где коэффициенты b_l постоянны, причем b₁ - произволен, а остальные b_l однозначно определены. Разложение сходится для достаточно больших |a|.

С другой стороны, уравнение (4.10) на инвариантном многообразии (4.5) имеет однопараметрическое (по c₃) семейство решений (4.6). Сравнение его с семейством (4.19), (4.20) показывает, что они совпадают. Итак, доказана

Лемма 4.5. При фиксированных n ╬ [0,1], c₂ < 0 и при xо 0 уравнение (3.13) имеет однопараметрическое семейство F₁⁽¹⁾G₄⁽¹⁾ нестепенных асимптотик (4.6). Оно разделяет семейства F₁⁽¹⁾G₄⁽⁰⁾ и G₁⁽¹⁾1.

Picture Omitted

Picture Omitted

Рис. 4.3. Носитель и многоугольник уравнения (3.13) при c₂=0 (а)

и нормальные конуса его граней (б)

Случай c₂=0. В этом случае носитель S(D) уравнения (3.13) состоит из двух точек Q₁=(-1,n+2) и Q₂=(0,1), многоугольник G(D) является отрезком. На рис. 4.3а показаны носитель и многоугольник уравнения (3.13) при c₂=0, а на рис. 4.3б - нормальные конуса его граней. Здесь конус задачи p₁ < 0. С ним пересекаются все три конуса U₁⁽⁰⁾, U₂⁽⁰⁾ и U₂⁽¹⁾. Рассмотрим соответствующие грани и укорочения.

Вершине G₁⁽⁰⁾ соответствует укороченное уравнение (4.2). Все его решения описаны в лемме 4.1. Для решений (4.3) вектор P₁=w(1,0)=(-1,0) лежит в нормальном конусе U₁⁽⁰⁾. Поэтому выражения (4.3) являются нестепенными асимптотиками решений уравнения (4.13) при xо 0. Кроме того, выражения (4.3) дают также степенные асимптотики решений вблизи x = 0, H=H₀= const .

Вершине G₂⁽⁰⁾ соответствует укороченное уравнение xHв=0. Его решения суть (3.16). Для них вектор w(1,r)=(-1,0) не лежит в нормальном конусе U₂⁽⁰⁾. Поэтому этой вершине не соответствуют решения уравнения (3.13) при xо 0.

Ребру G₂⁽¹⁾ соответствет укороченное уравнение

(1)
2

def
=

2(xHⁿHв)вH-2xHⁿHв²+xHв =

= 2(n-1)xHⁿHв²+2xHⁿ⁺¹H"+2Hⁿ⁺¹Hв+xHв=0.

(4.21)

Поскольку вектор N=(1,1/(n+1)) является нормальным к ребру G₂⁽¹⁾, то ищем решения уравнения (4.21) в виде

x^1/(n+1),

= const > 0.

(4.22)

Подставляя это выражение в уравнение (4.21), после привидения подобных членов получаем определяющее уравнение для постоянной [(c)\tilde]

n+1

+1=0.

Оно не имеет решения с [(c)\tilde] > 0 и [(c)\tilde]ⁿ > 0. Итак, доказана

Лемма 4.6. При c₂=0 и при xо 0 непостоянные решения уравнения (3.13) образуют двупараметрическое семейство, которое при n ╣ 0 представлено нестепенными асимптотиками семейства F₁⁽⁰⁾ вида (4.3) с c₄ ╣ 0, а при n=0 - семейством разложений G₁⁽⁰⁾ вида (4.5) с c₄ ╣ 0.

Основной итог этого параграфа сформулируем так.

Теорема 4.1. У уравнения (3.13) с фиксированными n ╬ [0,1] и c₂ решения (3.15), уходящие в +е при xо 0 образуют два двупараметрических семейства G₁⁽⁰⁾ с разложением (4.5) при n=0; F₁⁽¹⁾G₄⁽⁰⁾╚F₁⁽⁰⁾ с нестепенными асимптотиками (4.17) и (4.3); и одно однопараметрическое семейство F₁⁽¹⁾G₄⁽¹⁾ с нестепенными асимптотиками (4.9), которое существует только при c₂ < 0 и является границей предыдущих двупараметрических семейств.

§ 5. Решения уравнения (3.13) вблизи бесконечности

Теперь заметим, что H=1 является решением уравнения (3.13) и при xое изучим близкие решения, используя методы из [12, 15-17]. В уравнении (3.13) положим H=1+y и рассмотрим уравнение

S(x,y)

def
=

D(x,1+y)

def
=

2[x(1+y)ⁿyв]в(1+y)-2x(1+y)ⁿyв²+(x+2c₂)yв=0.

(5.1)

Оно имеет тривиальное решение y=0. Многоугольник G(S) имеет горизонтальное ребро G₁⁽¹⁾ с q₂=1. Соответствующее укороченное уравнение есть

S₁⁽¹⁾

def
=

2[xyв]в+(x+2c₂)yв=0,

т.е.

S₁⁽¹⁾

def
=

2xy"+[x+2(c₂+1)]yв=0.

(5.2)

Его решения имеют вид

yв=c₁₀x^se^-x/2, yв=c₁₀

є
ї

x^se^-x/2dx,

(5.3)

где s=-c₂-1 и c₁₀ - произвольная постоянная. Решения (5.3) с yо 0 при xое являются асимптотиками решений уравнения (5.1). Для них справедливо асимптотическое разложение

y=-2c₁₀e^-x/2

щ
ы

x^s+

е
х
l=1

2^ls(s-1)...(s-l+1)x^s-l

∙
√

(5.4)

При целых неотрицательных s, т.е. для

c₂=-1, -2, ..., -n, ...

(5.5)

сумма в квадратных скобках в (5.4) является конечной, т.е. это многочлен степени s. Итак, доказана

Лемма 5.1. При фиксированных n и c₂ и при xое уравнение (3.13) имеет однопараметрическое семейством M решений с Hо 1. Их асимптотики даются формулами (5.3), (5.4).

При фиксированном n на плоскости c₂, c₁₀ семейству M соответствуют все точки, кроме прямой c₁₀=0.

§ 6. Решения уравнения (3.13) вблизи точки x⁰ > 0

Сделаем в уравнении (3.13) подстановку

x = x⁰+

(6.1)

где x⁰= const > 0. Тогда уравнение (3.13) примет вид

,H)

def
=

D(x⁰+

,H) = 2

щ
ы

(x⁰+

)HⁿHв

∙
√

вH-2(x⁰+

)HⁿHв²+

+(x⁰+

+2c₂)Hв = 2(n-1)(x⁰+

)HⁿHв²+2(x⁰+

)Hⁿ⁺¹H"+

+2Hⁿ⁺¹Hв+(x⁰+

+2c₂)Hв=0.

(6.2)

Если x⁰+2c₂ ╣ 0, то его носитель состоит из точек Q₁, Q₂, Q₃ и точки Q₆=(-2,2+n), многоугольник является параллелограммом (рис. 6.1). Нас интересуют решения уравнения (6.2), у которых [(x)\tilde]о 0 и Hое, т.е. конус задачи есть p₁ г 0, p₂ │ 0. С ним пересекаются только два нормальных конуса U₆⁽⁰⁾ и U₆⁽¹⁾ (рис 6.1б). Рассмотрим соответствующие грани и укороченные уравнения.

Picture Omitted

Picture Omitted

Рис. 6.1. Носитель и многоугольник уравнения (6.2) (а)

и нормальные конуса его граней (б)

Вершине G₆⁽⁰⁾ соответствует укороченное уравнение

(0)
6

def
=

2(n-1)x⁰HⁿHв²+2x⁰Hⁿ⁺¹H"=0.

(6.3)

Все его решения имеют вид

Hⁿ=c₃₀

+c₃₁, при n ╣ 0,

lnH=c₃₀

+c₃₁, при n=0,

(6.4)

где c₃₀ и c₃₁ - произвольные постоянные. При [(x)\tilde]о 0 эти решения не уходят в бесконечность.

Ребру G₆⁽¹⁾ соответствует укороченное уравнение (4.2). Все его решения имеют вид (4.3) и (4.4). При [(x)\tilde]о 0 они стремятся к конечным значениям H=(c₄lnx⁰+c₅)^1/n и H=c₄(x⁰)^l, т.е. не уходят в бесконечность.

Если x⁰+2c₂=0, то укороченные уравнения, соответствующие граням G₁⁽⁰⁾, G₆⁽⁰⁾ и G₆⁽¹⁾ не меняются.

Итак, доказана

Лемма 6.1. Решения уравнения (3.13) не уходят в бесконечность и не приходят из бесконечности при любом конечном x > 0.

§ 7. Решения (3.14), (3.15) уравнения (3.13)

при c₂ │ 0

Теорема 7.1. При фиксированных c₂ │ 0 и n ╬ [0,1] уравнение (3.13) имеет однопараметрическое семейство решений (3.14), (3.15), с асимптотиками при xо0

H ~ const |lnx|^1/n при n ╣ 0,

H ~ const x^l, l < 0 при n=0.

(7.1)

Доказательство. У уравнения (3.13) согласно лемме 5.1 имеется однопараметрическое (по c₁₀) семейство решений с асимптотикой (5.3). При c₁₀ < 0 эти решения отличны от постоянных и убывают при xое. Согласно лемме 3.1 они монотонно убывают при x > 0 к значению H=1. Согласно лемме 6.1 эти решения не приходят из бесконечности при любом x > 0. Согласно леммам 4.3 и 4.6 ни одно из этих решений не стремится к конечному значению при xо 0. Следовательно, согласно леммам 4.2, 4.4 и 4.6 при xо 0 все эти решения уходят в бесконечность с асимптотиками (7.1). Доказательство окончено.

Замечание 7.1. Решения уравнения (3.13) со свойствами (3.14), (3.15) и асимптотиками (7.1) удовлетворяют граничному условию (3.4), ибо согласно (3.11) для них при xо 0 имеем G ~ x/H, т.е.

G ~ const x/|lnx|^1/n при n ╣ 0,

G ~ const x^1-l, l < 0 при n=0.

Введем семейства

M₀=M╟(G₁⁽⁰⁾╚F₁⁽¹⁾G₄⁽⁰⁾╚F₁⁽⁰⁾);

M₁=M╟F₁⁽¹⁾G₄⁽¹⁾.

К ним относятся все те решения (3.14), (3.15) уравнения (3.13), которые уходят в +е при xо 0. При этом подсемейство M₁ имеется только при c₂ < 0 и является границей подсемейства M₀. Теорема 7.1 означает, что при c₂ │ 0 подсемейству M₀ соответствует четверть { c₂ │ 0, c₁₀ < 0} плоскости c₂, c₁₀.

§ 8. Решения (3.14), (3.15) уравнения (3.13)

при c₂ < 0

При c₂ < 0 решения с асимптотикой (5.3) и с c₁₀ < 0 при уменьшении x от бесконечности также монотонно возрастают и не уходят в бесконечность при конечных x согласно леммам 3.1 и 6.1. Но теперь согласно лемме 4.3 они могут иметь конечный предел при xо 0. Для анализа решений уравнения (3.13) при c₂ < 0 использовались две схемы численного счета.

Схема 1. Уравнение (3.13) записывается в виде

╫

[Hⁿ

╫

]

H-2Hⁿ

╫

+(e^a+2c₂)

╫

=0,

(8.1)

где a = lnx. При больших отрицательных значениях a₀ задаются начальные значения H₀ и [(H)\dot]₀ и решение считается методом Рунге-Кутта до больших положительных значений a_N.

Схема 2. Для большого x = x₀ вблизи бесконечности берем начальные значения H=1+y, Hв=yв согласно формулам (5.3) (5.4). При этом бесконечная сумма в формуле (5.4) заменяется ее начальным отрезком, а значения постоянной c₁₀ < 0 берутся из некоторой сетки на R. Методом Рунге-Кутта просчитывается решения уравнения (3.13) до малого x_N > 0.

Для значений

n=0, 1/4, 1/2, 3/4, 1

(8.2)

и фиксированных значений c₂ < 0 сначала вычислялись решения подсемейства M₁. Для схемы 1 брались начальные данные по формуле (4.9) и постоянная c₃ менялась так, чтобы при aо+е выйти на H=1. Для этого решения, по первой формуле (5.3) находилось значение постоянной c₁₀. Затем для контроля по второй схеме просчитывалось решение с этими значениями постоянных c₂ и c₁₀ и получались соответствующие начальные данные первой схемы. Результаты этих вычислений по сетке c₂=-1(-1)-10 представлены в табл. 2 и 3 и на рис 8.1 показаны графики функций c₃(c₂) и c₁₀(c₂) для значений (8.2). Оказалось, что на подсемействе M₁ при убывании c₂ значения постоянной c₃ монотонно возрастают, а значения постоянной c₁₀ имеют минимум. В табл. 4 приведены значения c₂, c₃, c₁₀ в точках минимума c₁₀ на подсемействе M₁. На рис. 8.2 показаны графики решений H(x) и G(x) для n=0 и n=1 для значений c₂, c₃ и c₁₀, соответствующих минимуму c₁₀, т.е. из табл. 4. Поскольку подсемейство M₁ является границей подсемейства M₀, то при значениях постоянной c₁₀ меньших, чем ее значения на подсемействе M₁, решение принадлежит подсемейству M₀ и при xо 0 имеет асимптотику (4.3), (4.4). С асимптотикой (4.3) все ясно, но для асимптотики (4.4) интересно знать значения показателя l. При n=0 для разных значений c₂ и c₁₀ < 0, соответствующих подсемейству M₀, вычислялись решения по второй схеме и при xо 0 вычислялся предел отношения lnH/lnx = l. Результаты представлены в табл. 5. На рис. 8.3 показаны графики решения H(x) для n=0 и 1, c₂=0 и 10, c₁₀=-1.

§ 9. Проверка соответствия найденных решений

укороченной системе

Таблица 6. Проверка граничного условия на игле

для найденных решений

i	k	Q_k	сP₀,Q_kё	max	сP₀,Q_kё	max
1	1	-2, -3, 2, -1, 0	-2+p₂		-2+p₂+3(l-6lp₂)
	2	0, -1, 0, 1, 1	-p₂	+	-p₂	+
	3	-1, -3, 1, -1, n	-1-p₂		-1-p₂+2(l-2lp₂)
	4	-3, -1, 1, -1, n	-3+p₂		-3+p₂+2(l-2lp₂)
2	5	-1, -4, 2, -1, 0	-1		-1+3(l-2lp₂)
	6	-1, 0, 0, 1, 1	-1		-1
	7	-2, -2, 1, -1, n	-2		-2+2(l-2lp₂)
	8	0, -4, 1, -1, n	-2p₂	+	-2p₂+2(l-2lp₂)	+
3	9	-1, -2, 1, 0, 1	-1		-1+2(l-2lp₂)
	10	-2, -4, 2, -2, n	-2		-2+4(l-2lp₂)
	11	-4, -2, 2, -2, n	-4+p₂		-4+2p₂+4(l-2lp₂)
	12	0, -6, 2, -2, n	-2p₂	+	-2p₂+4(l-2lp₂)	+
	13	0, -2, 0, 0, [`(n)]	-2p₂	+	-2p₂+l-2lp₂	+
	14	-2, 0, 0, 0, [`(n)]	-2		-2+l-2lp₂

Для проверки соответствия найденных решений укороченной системе (2.4)-(2.6) надо вычислить скалярные произведения сP₀,Q_kё, где вектор P₀ берется исходя из значений найденных решений вблизи иглы.

Если n ╣ 0, то вблизи иглы xое, т.е. p₁ │ 0; rо 0, т.е. p₂ г 0; y ~ r², т.е. p₃=2p₂; h ~ lnx, r ~ lnx, т.е. p₄=p₅=0. Следовательно, P₀=(p₁,p₂,2p₂,0,0), где p₁ │ 0, p₂ г 0. Возьмем p₁=1, тогда P₀=(1,p₂,2p₂,0,0), где p₂ г 0. Значения скалярных произведений сP₀,Q_k ё приведены в четвертом столбце табл. 6. В пятом столбце знаком "+" отмечены максимумы сP₀,Q_kё для каждого i.

Если n=0, то вблизи иглы xое, т.е. p₁ │ 0; rо 0, т.е. p₂ г 0; y ~ x(r²/x)^1-l = x^l r^2(1-l), т.е. p₃=lp₁+2(1-l)p₂; h ~ (r²/x)^l, т.е. p₄=-lp₁+2lp₂; p ~ (r²/x)^-l, т.е. p₄=lp₁-2lp₂, где l < 0. При p₁=1 имеем P₀=(1, p₂, l+2(1-l),-l+2lp₂, l-2lp₂), где p₂ и l < 0. Значения скалярных произведений сP₀,Q_kё приведены в шестом столбце табл. 6. В седьмом столбце знаком "+" отмечены максимумы сP₀,Q_kё для каждого i.

Согласно этой таблице для каждого из носителей уравнений (2.1), (2.2) и (2.3) максимальное скалярное произведение достигается на точках: Q₂ для первого уравнения, Q₈ для второго, Q₁₂ и Q₁₃ для третьего. Таким образом, максимум достигается в каждом уравнении только на тех точках носителя, которые соответствуют членам, вошедшим в укороченную систему (ср. табл. 1). Это означает, что решение лежит в той области пространства, в которой укороченная система является первым приближением полной системы.

ЛИТЕРАТУРА

230

Таблица 2. Значения c₃ на подсемействе M₁

c₂	n=0	n= [ 1/4]	n= [ 1/2]	n= [ 3/4]	n=1

-1	2.05931	1.923155	1.847601	1.80526	1.78265
-2	3.93106	3.87528	3.87168	3.89454	3.93164
-3	6.21466	6.2403	6.30959	6.3998505	6.49607
-4	8.78254	8.88927	9.03119	9.18598	9.34386
-5	11.56874	11.755944	11.96998	12.19021	12.40807
-6	14.53258	14.7996	15.08518	15.37037	15.6478
-7	17.64631	17.9925	18.34908	18.69877	19.03536
-8	20.8898	21.31453	21.74162	22.15536	22.55071
-9	24.24772	24.755045	25.74162	25.72491	26.17866
-10	27.70802	28.28825	28.8549	29.3955	29.90729

Таблица 3. Значения c₁₀ на подсемействе M₁

c₂	n=0	n= [ 1/4]	n= [ 1/2]	n= [ 3/4]	n=1

-1	-0.73231	-0.80337	-0.88023	-0.96351	-1.05338
-2	-0.41359	-0.47024	-0.53505	-0.60844	-0.69183
-3	-0.11085	-0.12877	-0.15048	-0.17571	-0.20536
-4	-1.94·10^-2	-2.29·10^-2	-2.73·10^-2	-3.25·10^-2	-3.88·10^-2
-5	-2.51·10^-3	-3.01·10^-3	-3.63·10^-3	-4.41·10^-3	-4.36·10^-3
-6	-2.57·10^-4	-1.29·10^-4	-3.83·10^-4	-4.71·10^-4	-5.82·10^-4
-7	-2.19·10^-5	-2.69·10^-5	-3.33·10^-5	-4.15·10^-5	-5.21·10^-5
-8	-1.59·10^-6	-1.98·10^-6	-2.47·10^-6	-3.11·10^-6	-3.95·10^-6
-9	-1.01·10^-7	-1.27·10^-7	-1.59·10^-7	-2.03·10^-7	-2.61·10^-7
-10	-0.57·10^-8	-0.72·10^-8	-0.91·10^-8	-1.17·10^-8	-1.52·10^-8

Таблица 4. Минимумы c₁₀ на подсемействе M₁

n	с₂	с₃	c₁₀
0	-1.034	2.11366	-0.733023
1/4	-1.059	2.0226	-0.805886
1/2	-1.088	2.003022	-0.88612
3/4	-1.117	2.02054	-0.974637
1	-1.15	2.06913	-1.07229

Таблица 5. Значения -l при n=0 на подсемействе M₀

c₂

c₁₀

-5

-4

-3

-2

-1

11.4

7.22

3.69

1.23

0.337

0.591

1.35

2.27

3.24

4.23

5.23

-2

11.6

8.33

4.77

2.15

0.894

0.899

1.54

2.41

3.35

4.33

5.31

-3

12.2

8.98

5.38

2.69

1.27

1.12

1.67

2.50

3.43

4.39

5.37

-4

13.7

9.43

5.82

3.08

1.56

1.28

1.77

2.57

3.48

4.43

5.40

-6

14.3

10.1

6.43

3.63

1.97

1.54

1.92

2.67

3.56

4.50

5.46

-8

14.8

10.5

6.86

4.02

2.27

1.73

2.04

2.75

3.62

4.55

5.51

-10

15.1

10.9

7.19

4.31

2.51

1.89

2.14

2.82

3.67

4.59

5.54

File translated from T_EX by T_TH, version 3.40.
On 14 May 2004, 17:11.

Осесимметричный пограничный слой на игле

Axisymmetric Boundary Layer on a Needle
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Брюно А.Д., Шадрина Т.В.
(A.D.Bruno, T.V.Shadrina)

ИПМ им. М.В.Келдыша РАН

Москва, 2003
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 02-01-01067)

Аннотация

Abstract

Осесимметричный пограничный слой на игле Axisymmetric Boundary Layer on a Needle Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Брюно А.Д., Шадрина Т.В. (A.D.Bruno, T.V.Shadrina) ИПМ им. М.В.Келдыша РАН

Москва, 2003 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 02-01-01067)

Аннотация

Abstract

Осесимметричный пограничный слой на игле

Axisymmetric Boundary Layer on a Needle
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Брюно А.Д., Шадрина Т.В.
(A.D.Bruno, T.V.Shadrina)

ИПМ им. М.В.Келдыша РАН

Москва, 2003
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 02-01-01067)