Асимптотически близкие решения обыкновенного дифференциального уравнения
( Asymptotically Close Solutions to an Ordinary Differential Equation
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

E-mail: bruno@keldysh.ru

§ 1. Теория

1.1. Постановка задачи. Сначала напомним некоторые понятия и результаты степенной геометрии [1,2] и препринта [3]. Пусть x - независимая и y - зависимая переменные, x,y ∈ C. Положим X=(x,y). Дифференциальным мономом a(x,y) называется произведение обычного монома cx ^r₁y ^r₂, где c=const ∈ C, R=(r₁,r₂) ∈ R², и конечного числа производных вида d^ly/dx^l,    l ∈ N. Каждому дифференциальному моному a(X) ставится в соответствие его (векторный) показатель степени Q(a)=(q₁,q₂) ∈ R². Сумма дифференциальных мономов

называется дифференциальной суммой. Множество S(f) показателей степеней Q(a_i) всех дифференциальных мономов a_i(X), входящих в дифференциальную сумму (1.1), называется носителем суммы f(X). Очевидно, S(f) ∈ R². Замыкание выпуклой оболочки G(f) носителя S(f) называется многоугольником суммы f(X). Граница ∂ G (f) многоугольника G(f) состоит из вершин G_j⁽⁰⁾ и ребер G_j⁽¹⁾. Их называют (обобщенными) гранями G_j^(d) , где верхний индекс указывает размерность грани, а нижний - ее номер. Каждой грани G_j^(d) соответствует укороченная сумма

Пусть плоскость R_*² сопряжена плоскости R² так, что для P=(p₁,p₂) ∈ R_*² и Q=(q₁,q₂) ∈ R² определено скалярное произведение б P,Q с [(   def) || ( = )]  p₁q₁+p₂q₂. Каждой грани G_j^(d) в плоскости R_*² соответствует свой нормальный конус U_j^(d).

Пусть задано обыкновенное дифференциальное уравнение

где f(X) - дифференциальная сумма. Каждой грани G_j^(d) многоугольника G(f) соответствует укороченное уравнение

Пусть x → 0, тогда w = -1, или x →∞ , тогда w = 1. Степенные решения уравнения (1.3)

с w(1,r) ∈ U_j^(d) являются степенными асимптотиками решений полного уравнения (1.2). Согласно [3, § 1] решению (1.4) уравнения (1.3) соответствуют: оператор

и его критические числа

Согласно [3, § 3] можно продолжить степенную асимптотику (1.4) в виде степенно-логарифмических разложений

решений уравнения (1.2), где b_s суть многочлены от lnx с комплексными коэффициентами, показатели степени r,s ∈ R и ws < wr.

Задача 5. Найти все такие разложения вида

и вида

что сумма y=j(x)+y(x) соответствует разложению решений уравнения (1.2). Здесь g_s суть многочлены от lnx.

В дальнейшем изложении используются понятия, методы и результаты из [3].

1.2. Степенные добавки. Здесь опишем все добавки вида (1.8) к решению (1.7).

Теорема 1.1. Все добавки (1.8) к решению (1.7) имеют такие показатели s, что sw ≤ wk_i, где k_i - критическое число (1.6) степенной асимптотики (1.4). При этом g_ki(lnx) - произвольный многочлен степени l_i-1, где l_i - кратность критического числа k_i.

Замечание 1.1. Наличие или отсутствие добавок (1.8) определяется по укороченному уравнению (1.3), т.е. не требует больших вычислений.

1.3. Экспоненциальные добавки. Здесь опишем все добавки (1.9) к решению (1.7). После подстановки

уравнение (1.2) принимает вид

где M(x) - линейный дифференциальный оператор и у всех точек Q=(q₁,q₂) носителя S(g) координата q₂ ≥ 2. Так что z=0 является решением уравнения (1.10), соответствующим решению (1.7) уравнения (1.2).

Лемма 1.1. В уравнении (1.10) оператор

т.е. M(x) это первая вариация дифференциальной суммы (1.1), вычисленная на решении (1.7).

Согласно [3] логарифму lnx приписываем нулевой показатель степени. Так что произведение b(lnx)x^r₁z^r₂, где b - многочлен от lnx имеет показатель степени Q=(r₁,r₂). Теперь дифференциально-логарифмическая сумма [(f)\tilde] имеет носитель S([(f)\tilde]) и многоугольник G([(f)\tilde]). Многоугольник G([(f)\tilde]) уравнения (1.10) имеет горизонтальное ребро G₁⁽¹⁾ с q₂=1, соответствующее сумме M(x)z, т.е. G₁⁽¹⁾=G(M(x)z). Поэтому здесь применима техника пункта 5.4 из [3].

Лемма 1.2. При логарифмическом преобразовании

для l > 0 имеем

где штрих означает дифференцирование по z и P_l-1 - многочлен степени l-1 от указанных переменных с постоянными коэффициентами.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.2 гл. VI [2].

Для анализа решений укороченного уравнения

соответствующего ребру G₁⁽¹⁾ с нормальным конусом U₁⁽¹⁾={P: p₁=0,  p₂ < 0}, сделаем логарифмическое преобразование (1.11). Тогда уравнение (1.12) перейдет в уравнение

Разберемся в его специфике подробнее. Пусть точка Q=(q,1) ∈ S(Mz). В Mz ей соответствует сумма

где m=m_q ≥ 0 и b_k=b_k,q суть многочлены от lnx. Согласно лемме 1.2 после логарифмического преобразования (1.11) сумма (1.14) перейдет в

где многоточие означает члены по z′,… ,z^(m-1) степени меньшей m. Поскольку p₂ < 0 в нормальном конусе U₁⁽¹⁾, то z → 0 и lnz →∞ . Следовательно, у векторов [(P)\tilde]=([(p)\tilde]₁,[(p)\tilde]₂) из конуса задачи [(K)\tilde] для x,z координата [(p)\tilde]₂ > 0. Поэтому для нахождения подходящих укорочений [^(h)] =0 уравнения (1.13) существенны лишь точки [(Q)\tilde] =([(q)\tilde]₁,[(q)\tilde]₂) носителя S(h), имеющие наибольшее значение координаты [(q)\tilde]₂ при фиксированной координате [(q)\tilde]₁=q. Но таким точкам соответствуют как раз части x^q b_m(lnx)(z′x)^m z, выписанные в (1.15). Следовательно, подходящие укорочения [^(h)]_j^(d) суммы h(x,z) в (1.13) содержат лишь члены вида

Если d=0, то укорочение [^(h)]_j⁽⁰⁾ состоит из одного члена (1.16). Соответствующее укороченное уравнение [^(h)]_j⁽⁰⁾=0 имеет только решение z′=0, т.е. z =const, для которого нормальные вектора его носителя [(P)\tilde] = ± (1,0) не лежат в конусе задачи [(K)\tilde]. Поэтому справедлива

Лемма 1.3. Укороченные уравнения [^(h)]_j⁽⁰⁾=0, соответствующие вершинам, не дают нужных решений и их можно не рассматривать.

Если d=1, то укорочение [^(h)]_j⁽¹⁾ является суммой нескольких членов вида (1.16), носители которых (q,m)=[(Q)\tilde] лежат на одном отрезке [(G)\tilde]_j⁽¹⁾ с нормальным вектором (w,p), где p > 0. Поэтому укороченное уравнение [^(h)]_j⁽¹⁾(x,z)=0 имеет n решений вида

где n равно разности между наибольшим и наименьшим значениями m, т.е. второй координаты точек на ребре [(G)\tilde]_j⁽¹⁾, а a_i - некоторые алгебраические функции от lnx. Решение уравнения (1.17) с нормальным конусом в [(U)\tilde]_j⁽¹⁾ имеет вид

Следовательно, решения уравнения (1.2), близкие к решению (1.7), имеют вид

Если во всех членах вида (1.16), входящих в укорочение [^(h)]_j⁽¹⁾, коэффициенты b_m постоянны, то в равенстве (1.17) функция a_i является постоянной и выражение

является подходящей степенной асимптотикой решений уравнения (1.13). Вычислим его критические числа. Укорочение [^(h)]_j⁽¹⁾ имеет вид x^qz′^lP_n(z′x^1-p w), где q и l - некоторые вещественные постоянные, а P_n - многочлен степени n с постоянными коэффициентами. Первая вариация

На решении (1.20) она дает оператор L(x)=const x^v d/dx. Поэтому его характеристический многочлен n(k)=const k и справедлива

Лемма 1.4. Степенная асимптотика (1.20) решений уравнения h(x,z)=0 имеет только одно собственное число k=0, которое является простым. Оно всегда является критическим.

Действительно, поскольку p > 0 и w ± 1, то w(w p)=p > 0.

Теперь методами [3, § 3] можно получить семейство степенно-логарифмических разложений

решений уравнений (1.13), где g₀ содержит произвольную постоянную, а остальные g_s однозначно определены. Для решений уравнения (1.2) это дает однопараметрическое семейство асимптотик

близких к решению (1.7).

Для дифференциальной суммы f(X) через p(f) обозначим наибольший порядок производной от y по x, имеющийся в сумме f(X). Аналогично, для дифференциального оператора L(x) через p(L) обозначается наибольший порядок дифференцирования по x, имеющийся в операторе L(x).

Теорема 1.2. Решение (1.7) уравнения (1.2), соответствующее оператору (1.5), имеет в точности p(f)-p(L) однопараметрических добавок вида (1.19) или (1.21).

Следствие. Решение (1.7) уравнения (1.2), соответствующее укороченному уравнению [^(f)]_j^(d)(X)=0, может иметь экспоненциальные добавки (1.19) только при p(f_j^(d)) < p(f).

Если p(L)=p(f) и разложение (1.7) степенное, т.е. все b_s=const, то согласно теореме 1.2 из [4] разложение (1.7) сходится и согласно теореме 1.2 не имеет добавок вида (1.19) или (1.21). Если же p(L) < p(f), то разложение (1.7), как правило, расходится, но зато имеет p(f)-p(L) однопараметрических добавок вида (1.19) или (1.21).

Замечание 1.2. Для нахождения всех асимптотических добавок вида (1.19) достаточно вычислить отрезок оператора M(x), содержащий член с максимальной производной порядка p(f). Как правило, в силу леммы 1.1 этот член является первой вариацией того дифференциального монома a_i(X) суммы (1.1), который содержит производную от y наибольшего порядка p(f), вычисленной на степенной асимптотике (1.4). Если Q(a_i)=(q₁,q₂), то в M(x) искомый член имеет показатель q₁+(q₂-1)r.

Замечание 1.3. Здесь был рассмотрен вариант нахождения добавок (1.9) для разложения (1.7) с вещественными показателями r,s. Для комплексных r и s все сказанное выше сохраняется, только теперь w Re s < w Re r и w Re k_i < w Re r.

§ 2. Примеры

Покажем, как вычислять экспоненциально малые добавки (1.9).

2.1. Пример 1. Рассмотрим уравнение (2.1) из [3]

где a - вещественный параметр. Очевидно p(f)=2. В [3] на рис. 1 показан многоугольник G(f), который является треугольником. Из трех его вершин двум соответствуют алгебраические укороченные уравнения, которые не имеют степенных решений, а одной вершине G₁⁽⁰⁾ соответствует укорочение [^(f)]₁⁽⁰⁾ с p([^(f)]₁⁽⁰⁾)=2. По следствию теоремы 1.2 решения, соответствующие укороченному уравнению [^(f)]₁⁽¹⁾=0, не имеют экспоненциальных добавок (1.9). Из трех ребер треугольника G(f) два содержат вершину G₁⁽⁰⁾, поэтому для соответствующих им укорочений [^(f)]_j⁽¹⁾ имеем p([^(f)]_j⁽¹⁾)=2 и по следствию теоремы 1.2 для них нет добавок (1.9). Наконец, ребру G₃⁽¹⁾ соответствует укороченное уравнение

с нормальным конусом U₃⁽¹⁾={P=l(1,1),  l > 0}, т.е. w =1 и x →∞ . Очевидно, p([^(f)]₃⁽¹⁾)=0 < 2=p(f).

Согласно [3, п. 4.6] укороченному уравнению (2.2) соответствуют два разложения (4.18) из [3]

где c₁= ± 1 и все c_-2k однозначно определены для фиксированного c₁. Согласно теореме 1.2 для каждого разложения (2.3) имеются две однопараметрических добавки вида (1.21). Найдем их начальные отрезки. Вычислим первую вариацию

Согласно лемме 1.1 на разложении (2.3) вариация (2.4) дает оператор M(x). Вычислим все те дифференциальные мономы a(x,z) суммы M(x)z, у которых векторные показатели степени Q(a)=(q₁,1) имеют q₁ > 0, и их сумму обозначим через N(x)z. Согласно (2.4) и (2.3) получаем

Произведем дальнейшие вычисления, используя оператор N(x) вместо оператора M(x). Уравнение N(x)z=0 после логарифмического преобразования (1.11) и сокращения на 2c₁xz принимает вид

Его носитель S([(h)\tilde]) и многоугольник G([(h)\tilde]) показаны на рис. 1. Из него видно, что с конусом задачи [(K)\tilde]={[(P)\tilde] =([(p)\tilde]₁,[(p)\tilde]₂): [(p)\tilde]₁,[(p)\tilde]₂ > 0} пересекаются только нормальные конуса наклонного ребра и его вершин. Но согласно лемме 1.3 укорочения, соответствующие вершинам, не дают подходящих решений. Наклонному ребру соответствует укороченное уравнение [^(h)] =-x²z′²+x²=0. Его решения суть z′=[(c)\tilde]₁ и

где [(c)\tilde]₁= ± 1. Поскольку сдвинутый носитель уравнения

расположен в решетке с базисом (2,0), (0,1), а сдвинутый носитель укороченного решения z =[(c)\tilde]₁x это вектор (-1,1), то все они расположены в целочисленной решетке Z². Поэтому соответствующие (2.7) разложения решений уравнения h=0 имеют вид

Вычислим коэффициент g₀, соответствующий критическому числу k=0. Подставим z =[(c)\tilde]₁x+g₀(x) в уравнение (2.6) и, приравнивая нулю коэффициенты при x² и x, получим для g₀ уравнение xc₁-2x²c₁g₀ ^′ =0. Из него находим, что g₀ ^′ =1/(2x). Следовательно, g₀=(1/2)lnx+c, где c - произвольная постоянная. Поэтому в разложении (2.8) все g_k с k > 0 суть определенные многочлены степени k+1 от lnx. Итак, решения, близкие к разложениям (2.3), имеют вид

где [(c)\tilde] - произвольная постоянная и

поскольку добавка должна стремиться к нулю при x →∞ .

2.2. Пример 2. В [4, § 4] были получены все степенные разложения первого уравнения Пенлеве [5]

Здесь p(f)=2. Согласно следствию из теоремы 1.2 и результатам из [4] только одно укороченное уравнение

может иметь решения с экспоненциальными добавками. Его нормальный конус U₂⁽¹⁾={P=l(1,1/2),  l > 0}, т.е. x →∞ и w =1. Согласно результатам из [4] укороченному уравнению (2.10) соответствуют два степенных разложения решений уравнения (2.9) [4, (4.12)] G₂⁽¹⁾l:

где все c_k=const и однозначно определены. Согласно теореме 1.2 каждое из них имеет два однопараметрических семейства экспоненциальных добавок. Первая вариация

На разложении (2.11) она дает оператор

После логарифмического преобразования (1.11) и сокращения на z уравнение M(x)z=0 приобретает вид

Носитель S(h) и многоугольник G(h) показаны на рис. 2. Здесь опять конус задачи [(K)\tilde]={[(P)\tilde] =([(p)\tilde]₁,[(p)\tilde]₂): [(p)\tilde]₁,[(p)\tilde]₂ > 0}. Только одно ребро (наклонное) многоугольника G(h) имеет нормальный конус в конусе задачи [(K)\tilde]. Ему соответствует укороченное уравнение

Оно имеет два степенных решения

Сдвинутый носитель уравнения (2.12) расположен в решетке с базисом (5/2,-1) и (0,1), а сдвинутый носитель решения (2.13) это вектор (5/4,-1). Поэтому все они расположены в решетке с базисом (5/4,0), (0,1). Следовательно, разложения решений уравнения (2.12) с асимптотиками (2.13) имеют вид

Вычислим g₀. Подставляя z =[(c)\tilde]x^5/4+g₀ в уравнение (2.12) и, приравнивая нулю коэффициент при x^-3/4, получаем уравнение (5/16)[(c)\tilde]+2[(c)\tilde](5/4)g₀ ^′ x=0. Из него получаем уравнение g₀ ^′ =-1/(8x). Следовательно, g₀=-(1/8)lnx+c, где c - произвольная постоянная, и разложения решений уравнения (2.12) имеют вид

где g_k - многочлены от lnx. Итак, уравнение (2.9) вместе с разложениями решений (2.11) имеет разложения решений вида

где c^* - произвольная постоянная, Re ([(c)\tilde]x^5/4) →-∞ и

Литература

1.     Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. 256 c.

2.     Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Физматлит, 1998. 288 c.

3.     Брюно А.Д. Асимптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения. Препринт N 9. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2003. 39 с.

4.     Брюно А.Д. Степенные разложения решений одного алгебраического или дифференциального уравнения. Препринт N 63. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2000. 22 с.

5.     Розов Н.Х. Пенлеве уравнение // Математическая Энциклопедия. М.: Советская Энциклопедия, 1984, т. 4, с. 233-234.

File translated from T_EX by T_TH, version 3.40.
On 02 Mar 2005, 19:29.