Решение нелинейной монотонизированной разностной схемы К.И.Бабенко (<квадрат>)

Аннотация

Работа посвящена получению решения нелинейной монотонизированной разностной схемы К.И.Бабенко ('квадрат') для одномерного уравнения переноса со знакопеременной скоростью. Показано, что решение нелинейных уравнений, определяющих неизвестные на верхнем временном слое, существует и единственно. Получены точные выражения для решений.

Abstract

The paper is dedicated to construction of the solution of the nonlinear monotonized K.I.Babenko difference scheme for 1D advection equation with sign-alternative velocity. The analysis has shown that the solution exists and is unique. The formula of the exact solution has been obtained.

1. Постановка задачи

Для определения решения смешанной задачи на отрезке

для одномерного уравнения переноса со знакопеременной ограниченной скоростью , , с начальным условием и граничными условиями ,

в [1] предложена нелинейная монотонизированная разностная схема К. И. Бабенко («квадрат») [2]. Особенность схемы заключается в различии нелинейных разностных уравнений на участках знакопостоянства скорости и в окрестностях точек перемены ее знака. Уравнения имеют следующий вид.

3. При , , , , , (перемена знака скорости типа (–, +)):

4. При , , , , , (перемена знака скорости типа (+, –)):

где , , , , , – соответственно временной и пространственный шаг разностной сетки, а функция определена в [1] и имеет вид

В первых двух случаях неизвестной является соответственно либо , либо , а в последних двух случаях обе неизвестные и подлежат определению. Окончательно, , .

Представляет интерес найти расчетные формулы для точного решения нелинейной разностной схемы. Альтернативой рассматриваемого ниже прямого метода является итерационный метод.

2. Разностное решение при сохранении знака скорости

2.1. В случае , , неизвестная величина удовлетворяет нелинейному уравнению

где – известное значение. Уравнение является дробно-рациональным и имеет решение следующего вида:

где & – логическое «и», | – логическое «или». Очевидно, что решение существует и единственно для любых значений известных величин и .

2.2. В случае , , неизвестная величина удовлетворяет нелинейному уравнению

Решение существует и единственно для любых значений известных величин и .

3. Решение задачи в окрестности точки перемены знака скорости типа (–, +)

В случае , , , , , необходимо определить неизвестные величины и из независимых нелинейных уравнений

которые всегда имеют единственное решение вида:

Отметим, что при неизвестная , а при величина .

4. Точное решение в окрестности точки перемены знака скорости типа (+, –)

В окрестности точки типа (+, –) неизвестные величины , удовлетворяют следующей системе нелинейных уравнений

Поэтому ниже будем искать лишь неизвестную , которую обозначим через . Поиск точного решения системы нелинейных уравнений выполняется по следующей схеме.

2. Приведение исходной системы к уравнению для неизвестной .

3. Выполнение отбора решений нелинейных уравнений.

4. Нахождение области существования различных ветвей решения.

5. Получение окончательного выражения для решения в окрестности точки перемены знака скорости типа (+, –).

4.1. Функция

где булевы переменные и имеют следующий вид:

Графики качественно различных зависимостей представлены на рис. 1: а) ; b) ; c) , ; d) ; e) ; f) .

Отметим, что может быть отрицательным лишь при выполнении неравенства

При выполнении этого неравенства отрицательная ветвь зависимости существует при () на отрезке (). На этих отрезках имеет максимальное значение и минимальное значение . Минимум достигается в центре указанного отрезка . Максимум достигается на концах отрезка и . На отрезке

при выполнении условия (9) функция может быть определена более просто (следует из (7))

1. Пусть , . Тогда решение системы (5) имеет следующий вид:

2. Пусть , . Тогда решение удовлетворяет одному из пяти уравнений:

Найдем в ( ) области 1, 2, 3, 4, 5, в которых решение исходной задачи определяется соответственно одним из перечисленных уравнений 1) – 5).

Область 1. Анализ свойств функции показывает, что неравенство справедливо при выполнении условия

При выполнении условия (13) решение системы (5) имеет вид (12).

Области 2 – 5 существует либо при , , либо при , .

Область 3. В этой области решение находится по формуле

Для определения области 3 необходимо решить следующие системы неравенств 1) – 4):

Граница областей 2 и 3 в представляет собой фрагменты плоскостей :

Граница областей 3 и 4 в представляет собой фрагменты плоскостей :

Решение неравенств 1) – 4) определяет область 3:

Область 5. В этой области решение находится по формуле

Для определения области 5 необходимо решить следующие системы неравенств 1) – 4):

Граница областей 4 и 5 в представляет собой фрагменты плоскостей :

Решение неравенств 1) – 4) определяет область 5

В области 2 существуют три подобласти 21/3, 22, 24, в которых решение находится различным образом.

определяет решение в области 21/3. Эта область определяется решением неравенств

Точка принадлежит этой области, если выполняется условие

неизвестная величина удовлетворяет уравнению

Корень дает решение задачи в области 22, которая определяется неравенствами

Решение этой группы неравенств определяет область 22. Точка принадлежит этой области, если выполнено условие

Корень дает решение задачи в области 24, определяемой неравенствами

Точка принадлежит области 24 при выполнении условия

Область 4. Область 4 определяется условием

В области 4 существуют подобласти 46/8, 47, 49, в которых решения находятся с помощью разных выражений.

определяет решение в области 46/8. Область 46/8 определяется решением неравенств:

Точка принадлежит области 46/8 при выполнении условия

неизвестная величина удовлетворяет уравнению

На рис. 2 схематически представлены области применимости формул (14), (18), (22), (24.1), (24.2), (30.1), (30.2) в в частном случае , .

3. Аналогично определяется решение для частного случая , .

4.3. Редукция исходной системы уравнений

Пусть , . В зависимости от значение принадлежит одной из пяти областей: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . В каждой из областей исходная система уравнений принимает специфический вид. Так, в областях 1, 3, 5 система (5) является линейной (не зависит от ), а в областях 2 и 4 сводится к квадратному уравнению относительно .

Область 2. В этой области система принимает вид:

При выполнении условия (33) сводится к квадратному уравнению с коэффициентами

Дискриминант уравнения положителен в рассматриваемой области, так как и .

При коэффициенты квадратного уравнения имеют вид:

Его дискриминант положителен в рассматриваемой области, так как и . Корни вычисляются по формуле (35) с использованием (36).

Область 4. В этой области исходные уравнения имеют вид:

Разрешая эту систему относительно , получаем аналог уравнения (33) со следующими коэффициентами

рассматриваемой области при выполнении условия

При условии коэффициенты квадратного уравнения (38) вычисляются по формулам:

рассматриваемой области при выполнении условия (40). Корни уравнения имеют вид (41) с коэффициентами (42).

Область 5. В этой области исходные уравнения принимают вид:

Редукция исходной системы завершена. Предстоит отобрать подходящие корни квадратных уравнений в областях 2 и 4.

4.4. Отбор корней нелинейных уравнений

Отбор корней в областях 2 и 4 выполним, исходя из требования непрерывности решений системы (5) на границах областей 2, 3, 4, 5.

Область 2. На границе областей 2 и 3 значение неизвестной равно ( ) при выполнении условия (). Поэтому из требования непрерывности решение (34), (35) ((35), (36)) должно принимать значение ( ) при условии

Анализ показывает, что при выполнении () этому условию удовлетворяет корень при и ( и ) или корень при и ( и ). Таким образом, решение в области 2 имеет вид:

Область 4. На границе областей 3 и 4 значение неизвестной равно ( ) при (). Поэтому решение (39), (41) ((41), (42)) должно принимать то же значение при условии

( ). Анализ показывает, что при () в области 4 следует выбрать корень при и ( и ) или корень при и ( и ).

На границе областей 4 и 5 значение равно ( ) при (). Описанный выше выбор корней в области 4 обеспечивает непрерывность решения на этой границе. Поэтому решение в области 4 имеет вид:

4.5. Точные выражения для решения и области их применимости

До сих пор границы областей 1 – 5 определялись в терминах величины . Для определения зависимости решения системы (5) от параметров , , , , следует выразить границы областей 1 – 5 в терминах , а затем, воспользовавшись решением, найти границы в терминах параметров задачи.

1. Из (7), (8) следует, что величина неотрицательна при выполнении условия для любого действительного . Она положительна при для любого , не принадлежащего отрезку . Поэтому система (5) имеет единственное решение вида (12)

Условия (46) определяют область 1 в , (см. рис. 3).

2. Решение системы (5) принадлежит области 2 и определяется по формулам Ф1, Ф2, Ф3, Ф4, если, соответственно, выполнены неравенства:

Граница между областями 2 и 3 определяется одним из следующих уравнений при соответствующих условиях:

Решения уравнений (48) – (51) относительно дают следующее значение , определяющее границу :

3. Решение системы (5) принадлежит области 3 и определяется по формуле Ф5:

Граница между областями 3 и 4 определяется следующими равенствами:

Решения уравнений (54), (55) относительно дают значение , определяющее границу :

4. Решение системы (5) принадлежит области 4 и определяется по формулам Ф6, Ф7, Ф8, Ф9, если, соответственно, выполнены неравенства:

Граница между областями 4 и 5 определяется одним из следующих уравнений:

Решение уравнений (58) – (61) относительно дает значение , определяющее границу :

5. Решение системы (5) принадлежит области 5 и вычисляется по формуле Ф10:

6. Области 21, 22, 23, 24 применимости формул Ф1 – Ф4 определяются решением неравенств (47). Решение этих неравенств дает следующие результаты.

6.1. Решение системы (5) находится по формуле Ф1, если Здесь

6.2. Решение системы (5) вычисляется по формуле Ф2, если Здесь

6.3. Решение системы (5) определяется по формуле Ф3, если Здесь

6.4. Решение системы (5) находится по формуле Ф4, если Здесь

7. Область применимости формул Ф5 определяется неравенствами (53). Решение этих неравенств дает следующий результат. Формула Ф5 используется, если

8. Область применимости формул Ф6 – Ф9 определяется решениями неравенств (57). Решение этих неравенств дает следующие результаты.

8.1. Решение системы (5) находится по формуле Ф6, если Здесь

8.2. Решение системы (5) вычисляется по формуле Ф7, если . Здесь

8.3. Решение системы (5) определяется по формуле Ф8, если . Здесь

8.4. Решение системы (5) находится по формуле Ф9, если . Здесь

8.5. Решение системы (5) находится по формуле Ф10, если

На рис. 4 схематически изображены области формул Ф1 – Ф10 в для случаев , .

Отметим, что при формулы (22), (24.1), (24.2), (14), (28), (30.1), (30.2), (18) являются частными случаями формул Ф1, Ф2, Ф4, Ф5, Ф6, Ф7, Ф9, Ф10 соответственно.

Анализ построенных точных решений и условий их применимости показывает, что для любых значений , и любой точки в построено единственное решение системы уравнений (5). Это решение определяется с помощью соответствующих формул.

Заключение

В работе показано, что нелинейная монотонизованная разностная схема Бабенко имеет единственное решение. Найдены формулы, определяющие это решение и области их применимости.

Считаю своим приятным долгом выразить благодарность М.П. Галанину за многочисленные полезные советы и обсуждения.

Литература

1. М. П. Галанин, Т. Г. Еленина. Нелинейная монотонизация схемы К. И. Бабенко («квадрат») для уравнения переноса. Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, № 4, 2002, 26 с.

2. К. И. Бабенко, Г. П. Воскресенский. Численный метод расчета пространственного обтекания тел сверхзвуковым потоком газа.// ЖВМиМФ, 1961, т. 1, № 6, с. 1051 - 1060.

Приложение