Бесконечномерные обобщенные цепные дроби, суммы символов Лежандра и распределение квадратичных вычетов и невычетов

Infinite-dimensional generalized continued fractions, sums of Legendre symbols and distribution of quadratic residues and non-residues
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Пустыльников Л.Д.
(L.D.Pustylnikov)

ИПМ им. М.В.Келдыша РАН

Москва, 2000
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№ 99-01-01063 и 00-01-00583)

Аннотация

Построена новая теория обобщенных цепных дробей для бесконечномерных векторов с целочисленными координатами. Результаты теории применяются к классическим проблемам об оценках сумм символов Лежандра и распределении квадратичных вычетов и невычетов по простому модулю. Результаты основаны на изучении эргодических свойств некоторых бесконечномерных преобразований.

Abstract

A new theory of generalized continued fractions for infinite-dimensional vectors with integer components is constructed. The results of this theory are applied to the classical problems on the estimates of sums of Legendre symbols and on the distribution of quadratic residues and non-residues modulo a prime number. The proofs are based on the study of ergodic properties of some infinite-dimensional transformations.



E-mail: lpustyln@spp.keldysh.ru
Введение
В работах [1]-[5] было введено понятие обобщенной (A,w)-цепной дроби для произвольного вещественного n-мерного вектора, которое зависит от преобразования A   n-мерного вещественного пространства и вектора   w, принадлежащего n-мерному тору. В настоящей работе концепция построения (A,w)-цепной дроби ([3], [5]) применяется для определения обобщенной (A,p,w)-цепной дроби для бесконечномерного вектора x=(x1,x2,╝) с целочисленными координатами xn (n=1,2,╝), которая зависит от некоторой последовательности p=(p1,p2,╝), состоящей из натуральных, взаимно простых чисел pn (n=1,2,╝). Для того, чтобы применить эту концепцию, в первую очередь нужно определить целую и дробную части такого вектора x. Это делается с помощью последовательности p следующим образом: целая часть x есть бесконечномерный вектор [[x]]=([[x]]1,[[x]]2,╝) с координатами [[x]]n=[xn/pn], а дробная часть x есть бесконечномерный вектор {{x}}=({{x}}1,{{x}}2,╝) с координатами {{x}}n=xn-pn[[x]]n, где n=1,2,╝, а [xn/pn] - целая часть числа xn/pn. Из этого определения следует, что вектор {{x}} принадлежит бесконечномерному тору T, который есть прямое произведение счетного числа дискретных окружностей Sn={0,╝,pn-1}, состоящих из вычетов 0,╝,pn-1 по модулю pn. Поэтому в связи с общей концепцией (операции 1)-3), введения из [3] и [5]) естественно предположить, что вектор w = (w1,w2,╝), который участвует в определении (A,w)-цепной дроби, должен также принадлежать этому тору T, а отображение A должно быть выбрано так, чтобы при проекции на тор T оно переходило в эргодическое преобразование [`(A)] относительно некоторой инвариантной меры mes. Мера mes на T определяется, как прямое произведение мер mn на дискретных окружностях Sn таких, что мера mn каждого элемента окружности Sn равна p-1n, и она есть продолжнение меры mes, заданной на цилиндрах Ck1,╝,ks, которая равна мере mk1,╝,ks соответствующего множества ck1,╝,ks на торе Tk1,╝,ks (определения 1, 2, замечание 1, § 2). Отображение же A в связи с приложениями к теории чисел (§§ 5, 6) имеет вид
A: x=(x1,x2,╝)о xв=(x1в,x2в,╝),
где xnв=xn+gn, а число gn взаимно просто с pn (n=1,2,╝). Согласно этому определению отображение
A
 
 :w = (w1,w2,╝)о
w
 
 = (
w
 
1 
 ,
w
 
2 
 ,╝)
тора T в себя задается сравнениями [`(w)]n=wn+gn  mod  pn (n=1,2,╝), [`(A)] сохраняют меру mes на T, и важная задача, имеющая самостоятельное значение, состоит в изучении эргодических свойств отображения [`(A)] на торе T. Это исследование проведено в § 2, где доказано (теорема 1), что преобразование [`(A)] эргодично на T, а для характеристической функции любого цилиндра эргодическая теорема Биркгофа справедлива всюду (а не только почти всюду). При этом главное условие для эргодичности [`(A)], которое используется в теореме 1, это - взаимная простота любых двух чисел, входящих в последовательность p=(p1,p2,╝), и при каждом n взаимная простота числа pn и числа gn, входящего в определение отображения A. В противном случае отображение [`(A)] может быть не эргодическим.
Благодаря теореме 1 и ее следствию, согласно которому любая траектория преобразования [`(A)] в естественном смысле всюду плотна на T, всю теорию (A,w)-цепных дробей для бесконечномерных векторов x с целочисленными координатами и указанными отображением A и вектором w ╬ T (§§ 3, 4) можно построить аналогично теории (A,w)-цепных дробей из [3], [5], и в этой теории справедливы все основные результаты работ [3], [5]. Введенные обобщенные дроби названы здесь, как (A,p,w)-цепные дроби, в связи с тем, что они дополнительно зависят от последовательности p. Эти дроби также могут быть как конечные, так и бесконечные (§ 3), для бесконечных дробей также можно построить теорию подходящих дробей (§ 4), а свойство конечности (A,p,w)-цепных дробей справедливо для почти всех относительно меры mes векторов x ╬ T при некотором w, принадлежащем подмножеству тора T положительной меры mes , и для всех x ╬ T при некотором w, принадлежащем цилиндру (теорема 5, § 3).
Построенная теория в § 5 применяется к задаче о распределении квадратичных вычетов и невычетов по простому модулю, восходящей к Эйлеру и Гауссу. Со времен Эйлера известно, что если [(p)\tilde] - простое число, большее чем 2, то среди вычетов 1,2,╝,[(p)\tilde] -1 количество квадратичных вычетов по модулю [(p)\tilde] совпадает с количеством квадратичных невычетов по модулю [(p)\tilde] ([11]). Проблема, связанная с хорошо известной гипотезой И.М.Виноградова ([11], [9]), окончательное решение которой в настоящее время не получено, состоит в доказательстве аналога этого утверждения при [(p)\tilde]ое для сколь угодно медленно возрастающих с ростом [(p)\tilde] длин r[(p)\tilde] отрезков X[(p)\tilde]=(x[(p)\tilde]+1,╝,x[(p)\tilde]+r[(p)\tilde]) последовательно расположенных целых чисел x[(p)\tilde]+1,╝,x[(p)\tilde]+r[(p)\tilde]. Это означает, что при [(p)\tilde]ое количество Qв[(p)\tilde] квадратичных вычетов и количество Q"[(p)\tilde] квадратичных невычетов по модулю [(p)\tilde], содержащихся внутри отрезка X[(p)\tilde], имеют вид

Qв[(p)\tilde]=  r[(p)\tilde]
2
 +o(r[(p)\tilde]),   Q"[(p)\tilde]=  r[(p)\tilde]
2
 +o(r[(p)\tilde]),
(*)
где lim[(p)\tilde] о еo(r[(p)\tilde])/r[(p)\tilde]=0. Результатов, полученных в направлении решения указанной проблемы - весьма немного. Прежде всего отметим, что, если последовательность r[(p)\tilde] - ограничена при [(p)\tilde]ое, то для бесконечного количества отрезков X[(p)\tilde] при [(p)\tilde]ое равенства (*) не справедливы ([12]). Если же r[(p)\tilde]=[[(p)\tilde]e], то для e > 1/4 равенства (*) доказаны в [10] для отрезков X[(p)\tilde] с любым значением x[(p)\tilde], причем первоначально это утверждение было доказано в [9] для e > 1/2. Главным результатом этой работы является теорема 8 (§ 5), в которой дано доказательство равенств (*) для сколь угодно медленно возрастающей функции y([(p)\tilde])=r[(p)\tilde], для любой подпоследовательности простых чисел pn (вместо всех простых чисел [(p)\tilde]), скорость возрастания которой при nое больше некоторой функции, зависящей от функции y([(p)\tilde]), и для почти всех наборов отрезков Xpn с точки зрения меры mes на торе T. При этом утверждение теоремы 8 касается любой совокупности отрезков Xpn, но конкретные длины rpn этих отрезков определяются в результате разложения вектора x=(xp1,xp2,╝) ╬ T, у которого n-тая координата есть xpn, в (A,p,w)-цепную дробь, для которой A=A* - некоторое конкретное бесконечномерное преобразование, p=(p1,p2,╝) - последовательность, состоящая из простых чисел pn, а вектор w ╬ W, где W - некоторое подмножество тора T, явно построенное в § 5. Если при некотором w ╬ W   (A*,p,w)-цепная дробь вектора x - конечная (это имеет место для почти всех x ╬ T), то равенства (*) справедливы для всех элементов pn последовательности p, а, если при w ╬ W   (A*,p,w)-цепная дробь вектора x - бесконечная, то равенства (*) справедливы для некоторого начального отрезка чисел последовательности p, который определяется с помощью (A*,p,w)-подходящей дроби вектора x, причем длина этого начального отрезка стремится к бесконечности при увеличении длины аппроксимирующей вектор x подходящей дроби. Теорема 8 есть следствие теоремы 7 (§ 5) об оценках коротких сумм символов Лежандра с помощью (A,p,w)-цепных дробей, имеющей самостоятельное значение.
Основные результаты главы 4 опубликованы в [6], а доказательство эргодичности преобразования [`(A)] для важного частного случая A=A*дано в [7]. Это доказательство, а также доказательство более слабой теоремы о распределении квадратичных вычетов и невычетов, данное в [7], распространяется на случай произвольного отображения и приводят к теоремам 7 и 8 этой работы.
§ 1. Общие определения и обозначения
Введем следующие объекты:
1) последовательность p = (p1, p2, ╝), состоящую из бесконечного числа попарно различных, взаимно простых натуральных чисел pn (n=1,2,╝);
2) последовательность g = (g1, g2, ╝), состоящую из целых чисел gn, таких что при любом n=1,2,╝ число gn взаимно просто с pn;
3) дискретную окружность Sn, состоящую из вычетов 0, 1, ╝, pn-1 по модулю pn, и такую меру mn на Sn, что мера каждого элемента из Sn равна pn-1;
4) тор T, являющийся декартовым произведением окружностей Sn по всем n=1,2,╝, точка которого есть такой вектор w = (w1, w2, ╝), что wn ╬ Sn (n=1,2,╝), и меру mes на T, являющуюся произведением мер mn по всем n;
5) преобразование A, переводящее вектор x = (x1, x2, ╝) в вектор xв = Ax = (x1в, x2в, ╝) с координатами xnв = xn + gn (n=1,2,╝);
6) преобразование [`(A)] тора T, переводящее вектор w = (w1,w2, ╝) ╬ T в вектор [`(w)]n = [`(A)]w = ([`(w1)],[`(w2)], ╝) с координатами [`(w)]n=wn + gn mod pn (n=1,2,╝);
7) преобразование [^(A)] тора T, обратное к [`(A)], которое переводит вектор w = (w1, w2, ╝) ╬ T в вектор [^(w)] = [^(A)] w = ([^(w)]1, [^(w)]2,╝) с координатами [^(w)]n = wn - gn mod pn   (n=1,2,╝);
8) для любого вещественного числа z символами [z] и { z } обозначаются соответственно целая и дробные части этого числа;
9) для любого вектора x = (x1, x2, ╝) с целочисленными координатами xn (n=1,2,╝) вводим вектора [[x]] = ([[x]]1, [[x]]2, ╝), {{ x}} = ({{ x }}1, {{ x }}2, ╝), у которых при n=1,2,╝ координата [[x]]n = [xn/pn], а координата {{ x }}n = xn - pn [[x]]n;
10) утверждение, справедливое всюду на T означает, что оно выполняется для всех векторов x ╬ T , а утверждение, которое справедливо для почти всех x ╬ T означает, что оно выполнено для всех x ╬ T, кроме множества, мера mes которого равна нулю.
§2. Эргодические свойства отображения [`(A)]
Пусть s-натуральное число, и k1, ╝, ks - попарно различные натуральные числа.
Определение 1. Введем s-мерный тор Tk1, ╝, ks = Sk1 ×╝×Sks, как прямое произведение дискретных окружностей Sk1, ╝, Sks, и меру mk1, ╝, ks на Tk1, ╝, ks, как прямое произведение мер mk1, ╝, mks.
Определение 2. Пусть ck1, ╝, ks - подмножества тора Tk1, ╝, ks. Введем цилиндр Ck1, ╝, ks ╠ T, как подмножество тора T, состоящее из всех таких векторов x = (x1, x2, ╝) ╬ Ck1, ╝, ks, для которых s-мерный вектор xk1, ╝, ks=(xk1,╝,xks) с координатами xk1, ╝, xks принадлежит подмножеству ck1, ╝, ks.
Замечание 1. Из определения тора T и меры mes на T следует, что s-алгебра измеримых относительно mes подмножеств T порождена цилиндрами Ck1, ╝, ks для всевозможных конечных наборов натуральных чисел k1, ╝, ks, и для любого цилиндра Ck1, ╝, ks справедливо равенство mes Ck1,╝, ks = mk1, ╝, ks (ck1, ╝, ks).
Определение 3. Характеристической функцией множества называется функция, которая принимает на этом множестве значение, равное 1, а в остальных точках значение, равное 0.
Лемма 1. Пусть W ╠ T, W-измеримое относительно меры mes множество. Тогда множество [`(A)](W) mes-измеримо на T и mes W = mes [`(A)](W).
Доказательство. Если W - цилиндр, то утверждение леммы 1 непосредственно следует из определения преобразования [`(A)] в § 1 и определения 2, а для произвольного mes-измеримого множества утверждение леммы 1 есть следствие замечания 1. Лемма 1 доказана.
Определение 4. Отображение, действующее в пространстве с конечной мерой и сохраняющее эту меру называется эргодическим, если оно не имеет инвариантных множеств, мера которых отлична от нуля или меры всего пространства.
Сформулируем необходимую для дальнейшего эргодическую теорему Биркгофа применительно к преобразованию [`(A)], действующему на торе T с мерой mes.
Эргодическая теорема Биркгофа ([8]). Пусть f(x) - интегрируемая по модулю функция на T относительно меры mes. Тогда для почти всех x ╬ T существует limnое (1/n) хnk=1 f([`(A)]k x) = [`(f)] (x), а, если преобразование [`(A)] эргодично, то функция [`(f)](x) есть константа, равная интегралу от функции f(x) вдоль тора T по мере mes.
Далее, мы докажем теорему 1, из которой следует, что отображение [`(A)] - эргодично, и, следовательно, имеет место вторая часть теоремы Биркгофа.
Теорема 1. Преобразование [`(A)] тора T - эргодично относительно меры mes, и для него и для характеристической функции цилиндра эргодическая теорема Биркггофа справедлива всюду.
Доказательство.
Лемма 2. Пусть k1, ╝, ks - различные натуральные числа, числа pk1, ╝, pks - отличны от 1, tkn (n = 1, ╝, s) - целые числа, такие что 1 г tkn г pkn - 1. Тогда сумма Rk1, ╝, ks = хsn = 1 gkntkn/pkn не может быть целым числом.
Доказательство леммы 2. Разделив числитель и знаменатель правильной дроби [(tkn )/(pkn )] на наибольший общий делитель, получим правильную дробь [(an )/(bn )] = [(tkn )/(pkn )], у которой числитель an и знаменатель bn - взаимно простые числа. Поэтому, в силу того, что числа gn и pn - взаимно простые и числа pk1, ╝, pks - попарно взаимно простые, величина Rk1, ╝, ks = хsn = 1gkn an/bn = (gk1a1 ╒sn = 2 bn + L)/(b1 ╝bs) - дробь, в которой знаменатель делится на b1 ╣ 1, а числитель на b1 не делится, так как его первое слагаемое не делится на b1, а второе слагаемое L - на b1 делится. Лемма 2 доказана.
Согласно замечанию 1, сформулированному в начале этого параграфа, ортогональный базис пространства L2 на T относительно меры mes образуют функции
fk1, ╝, ks (x) = exp ц
ш 		2pi ц
ш 		 xk1 tk1
pk1
 + ╝+  xks tks
pks
 Ў
° 		Ў
° 		 ,
(1)
 где x = (x1, x2, ╝) ╬ T; k1, ╝, ks - попарно различные натуральные числа; 0 г tkn г pkn - 1; tkn - целые числа; n = 1, ╝, s. Рассмотрим унитарный оператор U, сопряженный [`(A)], который действует в L2 на T, переводя функцию f(x) ╬ L2 в функцию (U f) (x) = f([`(A)]x). Из определения [`(A)] в § 1 следует, что функции fk1, ╝, ks (x) из (1) являются собственными для оператора U, их собственные значения lk1, ╝, ks = exp(2pi Rk1, ╝, ks), где Rk1, ╝, ks - числа, введенные в лемме 2, и, согласно лемме 2, если числа pk1, ╝, pks отличны от 1, а числа tk1, ╝, tks отличны от нуля, то lk1, ╝, ks ╣ 1. Поэтому в L2 на T не существует функции, отличной от константы, которая была бы инвариантна относительно оператора U. Это и доказывает эргодичность [`(A)] ([8]).
Докажем теперь, что для преобразования [`(A)] и характеристической функции ck1, ╝, ks (x) цилиндра Ck1,╝,ks эргодическая теорема Биркгофа справедлива всюду. Согласно определениям 1,2 и замечанию 1 это означает, что для любого вектора x ╬ T

lim
nое 
  1
n
 n
х
k=1 
 ck1, ╝, ks(
A
 
 k
 
 x) = mes Ck1, ╝, ks = mk1, ╝, ks (ck1, ╝, ks) ,
(2)
 где ck1, ╝, ks - подмножество тора Tk1, ╝, ks, соответствующее цилиндру Ck1, ╝, ks согласно определению 2. Ввиду того, что любая функция от конечного числа переменных xk1, ╝, xks, принимающих конечное число значений xkn ╬ Skn (n = 1,╝, s), представляется в виде конечной линейной комбинации функций fk1, ╝, ks (x), введенных в (1), для доказательства равенства (2), достаточно доказать, что, если числа pk1, ╝, pks - отличны от 1, а tk1, ╝, tks - целые числа, удовлетворяющие неравенствам
1 г tkn г pkn - 1        (n = 1, ╝, s),
(3)
 то функция fk1, ╝, ks(x) удовлетворяет равенствам

lim
nое 
  1
n
 n
х
k=1 
 fk1, ╝, ks(
A
 
 k
 
 x) = 0 ,
(4)
є
ї

Tk1, ╝, ks 
 fk1, ╝, ks(xk1, ╝, xks) d mk1, ╝, ks = 0 ,
(5)
 где fk1, ╝, ks(xk1, ╝, xks) - функция , введенная в (1), рассматриваемая, как функциия только от аргументов xk1, ╝, xks.
Для доказательства равенства (5) воспользуемся леммой 2, согласно которой число Rk1, ╝, ks = a/b есть несократимая дробь (a, b - целые числа), отличная от целого числа (b ╣ 1), и равенством
fk1, ╝, ks(
A
 
 k
 
 x) = exp(2pi k Rk1, ╝, ks) fk1, ╝, ks(x) .
 В силу этого равенства для любого натурального числа m сумма хm+b-1k=m fk1, ╝, ks([`(A)]k x) = 0. Поэтому существует константа M, зависящая только от функции fk1, ╝, ks(x), такая что при всех n справедливо неравенство |хnk=1 fk1, ╝, ks([`(A)]k x) | < M, из которого равенство (4) очевидно следует. Что же касается равенства (5), то оно следует из определения 1 меры mk1, ╝, ks и условия, согласно которому числа pk1, ╝, pks отличны от 1, а числа tk1, ╝, tks удовлетворяют неравенствам (3), так как в этом случае
є
ї

Tk1, ╝, ks 
 fk1, ╝, ks(xk1 ╝, xks) dmk1, ╝, ks =

= s
╒
n = 1 
 ц
ш 		pkn-1 pkn-1
х
xkn=0 
 exp ц
ш 		2pi  xkn tkn
pkn
Ў
° 		Ў
° 		= 0 .
 Теорема 1 доказана.
Следствие 1. Любая траектория отображения [`(A)] всюду плотна на торе T в следующем смысле: эта траектория проходит через любой цилиндр.
§ 3. Разложение бесконечномерного вектора с целочисленными координатами в обобщенную цепную дробь
Пусть x = (x1, x2, ╝) - вектор , у которого при любом натуральном числе n координата xn - целое число. Представим его в виде (A,p,w)- цепной дроби, которая может быть как конечной, так и бесконечной. Конечная (A,p,w)- цепная дробь будет обозначаться через x = [ q(0), ╝,q(m)]A,p,w, а бесконечная - через x = [ q(0), q(1) ╝, ]A,p,w.
Пусть x(0) = x, q(0) = [[ x(0) ]], d(0) = { { x(0) } } (см. п.9), § 1). Если d(0) = w, то процесс построения цепной дроби на этом заканчивается, (A,p,w)- цепная дробь вектора x - конечная и имеет вид x = [ q(0) ]A,p,w. Если же d(0) ╣ w, то полагаем x(1) = A d(0). Предположим теперь, что при некотором целом k │ 0 построены n-мерные вектора q(0), q(1), ╝, q(k) с целочисленными координатами и n-мерные вектора x(0), ╝, x(k+1), такие что при s = 0, ╝, k    q(s) = [[ x(s) ]] и d(s) = {{ x(s) }} ╣ w. Пусть q(k+1) = [ [ x(k+1) ] ], d(k+1) = {{ x(k+1)}}. Если d(k+1) = w, то процесс построения (A,p,w) - цепной дроби заканчивается, (A,p,w)-цепная дробь вектора x - конечная и имеет вид x = [ q(0), ╝, q(k+1)]A,p,w. Если же d(k+1) ╣ w, то полагаем x(k+2) = A d(k+1). Если d(k) ╣ w для всех k │ 0, то (A,p,w)-цепная дробь вектора x - бесконечная и имеет вид x = [ q(0), q(1), ╝]A,p,w. Представление вектора x в виде (A,p,w)-цепной дроби полностью описано. Из конструкции (A,p,w)-цепной дроби следует, что для ее определения достаточно иметь отображение A только множества T\w. Если же n=1, x - действительное число, [[ x ]] = [ x ] - целая часть x, {{ x }} = { x } - дробная часть x, а A - отображение интервала 0 г y < 1, имеющее вид A : y о1/y, то указанная конструкция приводит к обычным цепным дробям [1].
Теорема 2. (A,p,w)- цепная дробь вектора x-конечная тогда и только тогда, когда вектор { { x } } принадлежит траектории [^(A)]k w (k = 0,1,╝), где [^(A)] - отображение, введенное в п.7) § 1, а [^(A)]0 - тождественное отображение.
Доказательство. Предположим, что (A,p,w)- цепная дробь вектора x - конечная и имеет вид x = [ q(0), ╝, q(m)]A,p,w. В силу определения отображения [`(A)] в п.6) § 1 при k = 0,╝, m имеем: d(k) = [`(A)]k {{ x }}, d(m) = w, где d(k) - величины, введенные в процессе построения (A,p,w)- цепной дроби. Поэтому согласно определению отображения [^(A)] в п.7) § 1 {{ x }} = [^(A)]m w. Обратно, пусть при некотором m │ 0 {{ x }} = [^(A)]mw, а при любом неотрицательном целом s < m [^(A)]s w ╣ {{ x}}. Тогда d(m) = w, а при s < m d(s) ╣ w, что и доказывает конечность (A,p,w)-цепной дроби вектора x. Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Разным векторам соответствуют разные (A,p,w)-цепные дроби.
Доказательство. Пусть [`(x)] = ([`(x)]1, [`(x)]2, ╝) и [`([`(x)])] = ([`([`(x)])]1, [`([`(x)])]2, ╝) два различных вектора с целочисленными координатами. Полагаем [`(q)] = [[ [`(x)]]], [`(d)] = {{ [`(x)]}}, [`([`(q)])] = [ [ [`([`(x)])]]], [`([`(d)])] = {{ [`([`(x)])]}}, где [`(q)] = ([`(q)]1, [`(q)]2, ╝), [`([`(q)])] = ([`([`(q)])]1, [`([`(q)])]2, ╝), [`(d)] = ([`(d)]1, [`(d)]2, ╝), [`([`(d)])] = ([`([`(d)])]1, [`([`(d)])]2, ╝). Пусть разложение в (A,p,w)-цепную дробь хотя бы одного из векторов [`(x)], [`([`(x)])] - конечное. Если [`(q)] ╣ [`([`(q)])], то утверждение теоремы 3 следует из построения (A,p,w)-цепной дроби. Если же [`(q)] = [`([`(q)])], то [`(d)] ╣ [`([`(d)])]. Поэтому, предполагая, что (A,p,w)-цепные дроби векторов [`(x)] и [`([`(x)])] совпадают, в силу теоремы 2 и ее доказательства имеем: [`(d)] = [`([`(d)])] = [^(A)]k w, где k - некоторое натуральное число. Полученное противоречие доказывает теорему 3 в случае, когда (A,p,w)-цепная дробь хотя бы одного из векторов [`(x)], [`([`(x)])] - конечная.
Пусть теперь (A,p,w)-цепные дроби векторов [`(x)], [`([`(x)])] - бесконечные, [`(x)] = [ [`(q)](0), [`(q)](1), ╝]A,p,w, [`([`(x)])] = [ [`([`(q)])](0), [`([`(q)])](1), ╝]A,p,w, и при любом целом k │ 0    [`(q)](k) = ([`(q)](k)1,[`(q)](k)2,╝), [`([`(q)])](k) = ([`([`(q)])](k)1,[`([`(q)])](k)2,╝). Предполагая, что (A,p,w)-цепные дроби векторов [`(x)] и [`([`(x)])] совпадают, получим, что при всех целых k │ 0     [`(q)](k) = [`([`(q)])](k), [`(q)] = [`([`(q)])] и, следовательно, [`(d)] ╣ [`([`(d)])]. Пусть s - такое наименьшее натуральное число, что [`(d)]s ╣ [`([`(d)])]s. При k = 0,1,╝ введем вектора [`(d)](k) = [`(A)]k [`(d)] = ([`(d)](k)1, [`(d)](k)2, ╝), [`([`(d)])](k) = [`(A)]k [`([`(d)])] = ([`([`(d)])]1(k), [`([`(d)])]2(k), ╝) и вектора [`(x)](k) = ([`(x)](k)1, [`(x)](k)2, ╝), [`([`(x)])](k) = ([`([`(x)])]1(k), [`([`(x)])]2(k), ╝), у которых при любом натуральном числе n координаты [`(x)](k) и [`([`(x)])](k) имеют вид [`(x)]n(k) = pn [`(q)](k)n +[`(d)](k)n, [`([`(x)])]n(k) = pn [`([`(q)])](k)n +[`([`(d)])](k)n. Из построения (A,p,w)-цепной дроби и определения отображения A в п.5) § 1 следует, что при любом k = 1,2,╝
x
 
 (k)
 
 = A
d
 
 (k-1)
 
 =
d
 
 (k-1)
 
 + g,      
x
 
 (k)

 
 = A
d
 
 (k-1)

 
 + g,

ps
q
 
 (k)
s 
 г
x
 
 (k)
s 
 < ps
q
 
 (k)
s 
 + ps,       ps
q
 
 (k)

s 
 г
x
 
 (k)

s 
 < ps
q
 
 (k)

s 
 + ps,

x
 
 (k)
s 
 -
x
 
 (k)

s 
 =
d
 
s 
 -
d
 

s 
 ╣ 0 ,
(6)
так как согласно предложению [`(q)]s(k)=[`([`(q)])](k)s. Предположим для определенности, что
d
 
s 
 >
d
 

s 
  .
(7)
Применяя следствие 1 теоремы 1 (§ 2), согласно определению векторов [`(d)](k) получим, что существует такое натуральное число k0, что
d
 
 (k0)
s 
 <
d
 
s 
 -
d
 

s 
  .
(8)
 Но так как при всех k │ 1
x
 
 (k)
s 
 = ps
q
 
 (k)
s 
 +
d
 
 (k)
s 
 ,
x
 
 (k)

s 
 = ps
q
 
 (k)

s 
 +
d
 
 (k)

s 
 = ps
q
 
 (k)
s 
 +
d
 
 (k)

s 
 ,
то в силу (6) и (7) имеем: [`(d)](k0)s - [`([`(d)])](k0)s = [`(d)]s - [`([`(d)])]s > 0, что противоречит (8). Теорема 3 доказана.
Теорема 4. Бесконечная (A,p,w)-цепная дробь x = [ q(0), q(1), ╝]A,p,w вектора x не может быть периодической, то есть не существуют такие натуральные числа k0 и h, что для любого натурального числа k │ k0 выполнено равенство q(k+h) = q(k).
Доказательство. Предположим противное, то есть что бесконечная (A,p,w)-цепная дробь x = [ q(0), q(1), ╝]A,p,w такова, что q(k+h) = q(k) при k │ k0. Из определения последовательности p в п.1) § 1 следует, что существует такое натуральное число s, что ps > 1, а, если n │ s, то число pn взаимно просто с числом h. Для этого числа s и для любых векторов [`(x)] = ([`(x)]1, [`(x)]2, ╝) ╬ T, [`([`(x)])] = ([`([`(x)])]1, [`([`(x)])]2, ╝) ╬ T, у которых координаты [`(x)]s, [`([`(x)])]s удовлетворяют равенствам [`(x)]s = 0, [`([`(x)])]s = ps -1, их образы [`(y)] = ([`(y)]1, [`(y)]2, ╝) = A[`(x)], [`([`(y)])] = ([`([`(y)])]1, [`([`(y)])]2, ╝) = A[`([`(x)])] при отображении A удовлетворяют неравенству
щ
ъ
ы
y
 
s 
ps
 ∙
·
√ 		╣ щ
ъ
ы
y
 

s 
ps
 ∙
·
√ 		 .
(9)
Введем вектора d = {{x}}, d(k) = [`(A)]k d, и два множества [`(M)] ╠ T, [`([`(M)])] ╠ T, такие что
M
 
 = { y = (y1, y2, ╝) : ys = 0 },
M
 
 = { y = (y1, y2, ╝) : ys = ps -1},
(10)
тор T(s), являющийся декартовым произведением окружностей Sn (см. п.3), § 1) по всем n=s,s+1,╝, большим, чем s-1, и преобразование [(A)\tilde] тора T(s), которое переводит произвольный вектор y = (ys, ys+1, ╝) ╬ T(s) в вектор [(y)\tilde] = [(A)\tilde] y = ([(y)\tilde]s, [(y)\tilde]s+1, ╝) с координатами [(y)\tilde]n = yn + hgn mod pn, где (n │ s). Так как согласно определению чисел gn в п.2) § 1 и определению числа s при n │ s число hgn взаимно просто с pn, то к преобразованию [(A)\tilde] на торе T(s) можно применить следствие 1 теоремы 1 (§ 2). Поэтому в силу этого следствия существуют натуральные числа [`(n)] и [`([`(n)])], такие что
A
 
 h[`(n)]
 
 d(k) ╬
M
 
  ,      
A
 
 h[`([`(n)])]
 
 d(k) ╬
M
 
  .
(11)
Но из построения (A,p,w)-цепной дроби следует, что векторы
q(h[`(n)]+ k +1) = (q1(h[`(n)]+ k + 1), q2(h[`(n)]+k+1), ╝),

q(h[`([`(n)])]+k+1) = (q1(h[`([`(n)])]+k+1), q2(h[`([`(n)])]+k+1), ╝),
входящие в (A,p,w)-цепную дробь x=[ q(0), q(1),╝]A,p,w связаны с векторами x(h[`(n)]+k+1) = (x1(h[`(n)] +k+1), x2(h[`(n)]+k+1), ╝) = A[`(A)]h[`(n)] d(k), x(h[`([`(n)])]+k+1) = (x1(h[`([`(n)])]+k+1),x2(h[`([`(n)])]+k+1), ╝) = A[`(A)]h[`([`(n)])] d(k) с помощью следующих равенств:
qn(h[`(n)]+k+1) = щ
ы 		 xn(h[`(n)]+k+1)
pn
∙
√ 		 ,       qn(h[`([`(n)])]+k+1) = щ
ы 		 xn(h[`([`(n)])]+k+1)
pn
∙
√ 		 ,
n = 1,2,╝. Поэтому в силу (9), (10) и (11) qs(h[`(n)]+k+1) ╣ qs(h[`([`(n)])]+ k + 1),q(h[`(n)]+k+1) ╣ q(h[`([`(n)])]+k+1), что противоречит предположению о периодичности бесконечной (A,p,w)-цепной дроби вектора x. Теорема 4 доказана.
Теорема 5. Пусть W ╠ T, W - mes - измеримо и mes W > 0. Тогда выполняются следующие утверждения:
1) для почти всех x ╬ T существует такое w = w(x) ╬ W, что (A,p,w)-цепная дробь вектора x - конечная ;
2) если множество W - цилиндр, то утверждение 1) справедливо для всех x.
Доказательство. Пусть
c(y) = ь
э
ю
1
if
y ╬ W
0
if
y ╧ W.
Применяя теорему 1 (§ 2) к преобразованию [`(A)] и функции c(y), для почти всех x получим:

lim
nое 
  1
n
 N
х
k=1 
 c(
A
 
 k
 
 x) = mes W > 0 .
(12)
Поэтому утверждение 1) следует из теоремы 2. Для доказательства утверждения 2) достаточно показать, что в случае, когда W - цилиндр, предел в (12) существует для всех x ╬ T. Но этот факт также следует из теоремы 1. Теорема 5 доказана.
§ 4. Бесконечномерные обобщенные подходящие дроби и их свойства
Определение 5. Пусть x = [ q(0), q(1), ╝]A,p,w - (A,p,w)-цепная дробь вектора x. При n = 0,1,╝ введем (A,p,w)- подходящие дроби S(n) = [ q(0), ╝, q(n)]A,p,w вектора x следующим образом: S(n) = (S(n)1, S(n)2, ╝) - бесконечномерный вектор, у которого при n=0,1,╝ координата
S(n)n = qn(0) pn + (╝(-gn + q(n-1)n pn +(-gn+ qn(n) pn + wn))╝) ,
(13)
где q(k)n и wn (k=0,╝,n) - координаты векторов
q(k) = (q(k)1, q(k)2, ╝)  ,        w = (w1,w2,╝) .
Теорема 6. Пусть дана бесконечная (A,p,w)-цепная дробь вектора x, S(n) = (S(n)1, S(n)2, ╝) - (A,p,w)-подходящие дроби вектора x (n = 0,1,╝), N и m - натуральные числа, UN (x) = { y = (y1, y2, ╝) ╬ T :yn = xn, 1 г n г N} - цилиндр, DN,m (x) - количество таких n в ряду 1,╝, m , что S(n) ╬ UN(x). Тогда limmое (DN,m(x))/m = (p1, ╝, pN)-1.
Доказательство. В силу построения (A,p,w)-цепной дроби в § 3 и определения отображения A в п.5) § 1 координату xn (n │ 1) вектора x=(x1,x2,╝) можно представить в виде выражения
x = q(0)n pn + (╝(-gn + qn(n-1) pn +(-gn + q(n)n pn + d(n)n ))╝) ,
(14)
где q(k)n и d(n)n - координаты векторов q(k) = (q(k)1, q2(k), ╝), d(n) = (d1(n), d2(n), ╝). Поэтому согласно равенствам (13) и (14) x - S(n) = d(n) - w. В силу этого равенства величина DN,m (x), введенная в формулировке теоремы 6, совпадает с величиной QN,m (x), которая определяется следующим образом: QN,m (x) есть количество таких чисел n в ряду 1,╝, m, что d(n) ╬ UN (w), где цилиндр UN (w) при w = x также определен в формулировке теоремы 6. Применяя теорему 1 и эргодическую теорему Биркгофа (§ 2) к преобразованию [`(A)] и к характеристической функции c(y) цилиндра UN(w) ╠ T, в силу равенства d(n) = [`(A)]n {{ x}} получим равенство

lim
mое 
  QN,m (x)
m
 =
lim
mое 
  1
m
 m
х
k=1 
 c(
A
 
 k
 
 d(0)) = є
ї

T 
 c(y) dy = (p1,╝, pN)-1 ,
из которого следует утверждение теоремы 6. Теорема 6 доказана.
Следствие 2. Вектор x=(x1,x2,╝), у которого [`(A)]-цепная дробь - бесконечная, есть предельная точка своих (A,p,w)-подходящих дробей S(n) = (S(n)1, S(n)2, ╝) (n = 0,1,╝) в следующем смысле: для каждого натурального числа N существует такое n, что у вектора S(n) координата S(n)n = xn, если 1 г n г N.
§ 5. Оценки сумм символов Лежандра и распределение квадратичных вычетов и невычетов по простому модулю
Определение 6. Пусть [(p)\tilde] - простое число. Целое число называется квадратичным вычетом по модулю [(p)\tilde], если оно не делится на [(p)\tilde] и сравнимо с квадратом целого числа по модулю [(p)\tilde]. Целое число, не делящееся на [(p)\tilde], которое не сравнимо с каким-либо квадратом целого числа по модулю [(p)\tilde], называется квадратичным невычетом по модулю [(p)\tilde].
Определение 7. Пусть [(p)\tilde] - простое число, d - целое число. Определим символ Лежандра ( [(d)/([(p)\tilde])]) числа d по отношению к [(p)\tilde] следующим образом: этот символ равен 1, если d - квадратичный вычет по модулю [(p)\tilde], равен -1, если d - квадратичный невычет по модулю [(p)\tilde], и равен 0, если число d делится на [(p)\tilde].
Определение 8. Введем отображение A*, переводящее бесконечномерный вектор x = (x1, x2, ╝) в вектор x* = A* x = (x*1, x*2, ╝) с координатами x*n = xn+1, (n=1,2,╝).
Замечание 2. Отображение A* совпадает с отображением A (п.5) § 1), если в его определении положить gn = 1  (n = 1,2,╝).
Введем следующие объекты:
r - натуральное число;
e - вещественное число, удоввлетворяющее неравенству 0 < e < 1/2;
y(n) - произвольная вещественная функция, такая что при всех натуральных n │ 1    y(n) │ 1, limnое y(n) = е и [ y(n)]r г c ╓n, где c - константа, не зависящая от n;
p = (p1, p2, ╝) - последовательность, состоящая из попарно различных простых чисел pn (n=1,2,╝), такая что хеn=1 [y(pn)]-r(1-2e) < е;
n0 - такое натуральное число, что при n │ 0    y(pn) < pn и хеn=n0 [y(pn)]- r (1-2e) < ((2r)r + 4r c)-1;
Gn - подмножество дискретной окружности Sn (п.3),§ 1), состоящее из таких чисел k ╬ Sn, для которых справедливо неравенство |х[ y(pn)]m=1 ( [(k+m)/(pn)]) | │ [ y(pn)]1-e;
Pn - цилиндр на торе T, такой что, если x = (x1, x2, ╝) ╬ Pn, то xn ╬ Gn.
Определение 9. Введем множества P и W на торе T, такие что
P = е
╚
n=n0 
 Pn ,        W = T \P .
Теорема 7. Для любого вектора x = (x1, x2, ╝) ╬ T выполняются следующие утверждения:
1) если существует такой вектор w ╬ W, что (A*,p,w)-цепная дробь вектора x - конечная и имеет вид
x = [ q(0), ╝, q(n)]A*,p,w,
(15)
то при всех n │ n0 справедливо неравенство
| n+[ y(pn)]
х
k=n+1 
 ц
ш 		 xn+k
p
 Ў
° 		| < [ y(pn )]1-e,
(16)
 и множество векторов x ╬ T, для которых справедливы соотношения (15) и (16) имеют в T дополнение, мера mes которого равна нулю;
2) если при w ╬ W вектор x разлагается в бесконечную (A*,p,w)-цепную дробь и S(n) = (S(n)1, S(n)2, ╝) - такая (A*,p,w)-подходящая дробь, что при n0 г n г N выполняется равенство S(n)n = xn, то неравенство (16) справедливо при n0 г n г N.
Доказательство.
Лемма 3([10]). Пусть [(p)\tilde] - простое число, k - целое число, l - целое число из интервала (0,[(p)\tilde]), r - натуральное число, Dl (k) = хlm=1 ( [(k+m)/([(p)\tilde])] ). Тогда х[(p)\tilde]-1k=0 D2rl (k) < (2r)r [(p)\tilde]lr + 4r ╓{[(p)\tilde]}l2r.
Лемма 4. Пусть [(p)\tilde] - простое число; l - целое число из интервала (0,[(p)\tilde]); e - произвольное число, удовлетворяющее неревенству 0 < e < [ 1/2]; Nl,[(p)\tilde](e) - количество целых чисел k, принадлежащих отрезку 0 г k г [(p)\tilde]- 1, для которых справедливо неравенство |хlm=1 ( [(k+m)/([(p)\tilde])] ) | │ l1-e. Тогда при любом натуральном числе r справедливо неравенство
Nl,[(p)\tilde](e) < (2r)r
~
p
lr-2er
 + 4r   ц
╓
~
p
 
 l2e[(p)\tilde].
Доказательство леммы 4. Согласно лемме 3 имеем неравенство
Nl,[(p)\tilde](e) l2r -2er < (2r)r
~
p
 
 lr+ 4r   ц
╓
~
p
 
 l2r ,
из которого и следует утверждение леммы 4. Лемма 4 доказана.
Применяя лемму 4 в случае [(p)\tilde] = pn, l = [ y(pn)] и используя определение меры mn на дискретной окружности Sn (§ 1), получим, что мера mn множества Gn, введенного в начале этого параграфа, удовлетворяет неравенству
mn (Gn) <  (2r)r
[ y(pn)]r(1-2e)
 +  4r [ y(pn)]2er

╓
pn
  .
Поэтому согласно определениям функции y(n), числа n0 и цилиндров Pn в начале этого параграфа, определению 9 и определению меры mes на торе T (§ 1) имеем следующие неравенства:
mes P < е
х
n=n0 
 mn (Gn) < е
х
n=n0 
  (2r)r + 4r c
[ y(pn)]r(1-2e)
 < 1 ,

mes  W > 0 .
(17)
Из неравенства (17) и теоремы 5 (§ 3) следует, что для почти всех векторов x ╬ T существует такой вектор w = (w1, w2, ╝) ╬ W, что (A*, p, w)-цепная дробь вектора x - конечная и имеет вид (15), а согласно определениям преобразований [`(A)] и [^(A)] (§ 1) и теореме 2 (§ 3) в этом случае справедливо равенство w = [`(A)]*n x, которое в силу определения 8 эквивалентно соотношениям
wn ║ xn + n mod pn ;        n=1,2,╝ .
(18)
Но из определения 9 множества W следует, что для любой координаты wn (n = 1,2,╝) вектора w ╬ W
| [ y(pn)]
х
m=1 
 ц
ш 		 wn + m
pn
 Ў
° 		| < [ y(pn)]1-e.
(19)
 Теперь утверждение 1) теоремы 7 непосредственно вытекает из соотношений (18) и (19).
Докажем утверждение 2). Из определения 5 (A*, p, w)-подходящей дроби S(n) вектора x = (x1, x2, ╝) и теоремы 2 следует, что
A
 
 n
* 
 {{ S(n) }} = w .
(20)
Поэтому, если (A*,p,w)-подходящая дробь S(n) = (S(n)1, S(n)2, ╝) такова, что при n0 г n г N справедливы равенства S(n) = xn, то из равенства (20) и определения 8 преобразования A* следует, что имеют место сравнения
wn = xn + n mod pn  ; n0 г n г N .
(21)
Но так как для всех координат wn вектора w выполняются неравенства (19), то из соотношении (21) и (19) непосредственно следует утверждение 2). Теорема 7 доказана.
Теорема 8. Для любого вектора x = (x1, x2, ╝) ╬ T выполняются следующие утверждения:
1) если существует такой вектор w ╬ W, что (A*,p,w)-цепная дробь вектора x - конечная и имеет вид (15), то при всех n │ n0 среди целых чисел z, расположенных в области
xn < z < xn + [ y(pn)] + n+ 1 ,
(22)
содержатся (n+[ y(pn)])/2 + qвn (n+[y(pn)]1-e) квадратичных вычетов по модулю pn и (n+ [ y(pn)])/2 + qnвв( n+ [ y(pn)]1-e) квадратичных невычетов по модулю pn, где qвn и qввn - константы, удовлетворяющие неравенствам |qвn | г 1, |qввn | г 1;
2) множество векторов x ╬ T, для которых существует такой вектор w ╬ W, что справедливы равенство (15) и утверждение 1), имеет в T дополнение, мера mes которого равна нулю;
3) если при w ╬ W вектор x разлагается в бесконечную (A*,p,w)-цепную дробь и S(n) = (S(n)1, S(n)2, ╝) - такая (A*,p,w)-подходящая дробь, что при n0 г n г N выполняется равенство Sn(n) = xn, то утверждение 1) справедливо, если n0 г n г N.
Доказательство. Для доказательства утверждений 1) и 2) теоремы 8 мы используем утверждение 1) теоремы 7, а для доказательства утверждения 3) теоремы 8 - используем утверждение 2) теоремы 7. В обоих случаях из неравенства (16) следует оценка
ъ
ъ 		n+[y(pn)]
х
k=1 
 ц
ш 		 xn + k
pn
 Ў
° 		ъ
ъ 		< n+[ y(pn)]1-e .
(23)
Обозначим через Qвn - количество целых числе z, содержащихся в области (22) и являющихся квадратичными вычетами по модулю pn, а через Qввn - количество чисел z в области (22), являющихся квадратичными невычетами по модулю pn. В силу определения 7 символа Лежандра имеем равенство
Qвn - Qввn = n+[y(pn)]
х
k=1 
 ц
ш 		 xn +k
pn
 Ў
° 		 ,
(24)
 а из определения чисел Qвn, Qввn, n0 при n │ n0 следует равенство
Qвn + Qввn = Qn ,
(25)
где величина Qn принимает одно из двух значении
Qn = ь
я
э
я
ю
n+ [ y(pn)] ,
если в области (22) нет чисел  z,
делящихся на  pn,
n+ [ y(pn)]-1 ,
если в области (22) есть число z,
делящееся на  pn.
Теперь, складывая и вычитая между собой соотношения (24) и (25) и используя (23), мы получаем все утверждения теоремы 8. Теорема 8 доказана.
Замечание 3. В силу следствия 2 теоремы 6 (§ 4) утверждения 2) теоремы 7 и утверждения 3) теоремы 8 справедливы при сколь угодно большом числе N.




Список литературы

[]
Пустыльников Л.Д. Обобщенные цепные дpоби и оценки сумм Вейля и остаточного члена в законе pаспpеделения дpобных частей значений многочлена //Матем. заметки. Т. 56. N 6. (1994) С. 144-148.
[]
Pustyl'nikov L.D. Ergodic Theory and Some Number Theory Problems. Preprint. Forschungsinstitut für Mathematik. ETH Zürich. July. 1994.
[]
Пустыльников Л.Д. Обобщенные цепные дроби и дифференциальные уравнения//Пpепpинт No 96. Институт пpикл. матем. РАН. Москва. 1997.
[]
Пустыльников Л.Д. Обобщенные цепные дpоби, связанные с преобразованием Гаусса // Препринт N 35. Институт прикладной матем. РАН. Москва. 1998.
[]
Pustyl'nikov L.D. Generalized continued fractions and ergodic theory// Journal of Mathematical Sciences. 1999. T.95. N 5. P. 2552 - 2563.
[]
Пустыльников Л.Д. Бесконечномерные обобщенные цепные дроби, квадратичные вычеты и невычеты и эргодическая теория//УМН. 1997. Т. 52. N 2. С. 183-184.
[]
Пустыльников Л.Д. О распределении квадратичных вычетов и невычетов и об одной динамической системе// Успехи математ. наук. 1993. N. 1. С. 179 - 180.
[]
Коpнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эpгодическая теоpия. М.: Hаука. 1975.
[]
Виноградов И.М. О распределении степенных вычетов и невычетов // Журнал физ-мат. общества при Пермском университете. 1918. N 1. С. 94 - 98.
[]
Burgess D. The distribution of quadratic residues and non-residues// Mathematika 4. 1957. P. 106 - 112.
[]
Гельфонд А.О., Линник Ю.В. Элементарные методы в аналитической теории чисел. М.: Изд-во физ. мат. лит. 1962.
[]
Davenport H. On the distribution of quadratic residnes (mod.p.)// Journ. of London Math. Soc. 1938. 8. P. 46-52.


File translated from TEX by TTH, version 3.40.
On 30 Sep 2003, 17:54.