Инициация микроволнового стримерного разряда в газе

( Initiating of the Microwave Streamer Discharge in Gas
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

   Введение

     Явление пробоя с последующим развитием газоразрядного процесса давно является предметом исследования традиционной физики в связи с широким спектром приложений. Каждый частотный диапазон электромагнитных полей (от постоянноточного до лазерного) обладает своим своеобразием развития газоразрядного процесса. Особенно ярко это своеобразие проявляется в микроволновом диапазоне (длины волн излучения от миллиметров до дециметров). Развитие техники генерирования мощного излучения и создание областей с весьма высокой плотностью потока энергии в сантиметровом диапазоне (порядка МВт/cм²) позволило наблюдать пробой и газовый разряд искрового типа при среднем давлении (доли атмосферного) в фокусе излучения [1,2] и при высоком давлении (до нескольких атмосфер) - в микроволновом открытом резонаторе [3]. Разряд в фокусе проходящего излучения представляет собой запутанную сеть очень тонких плазменных нитей [4], заполняющую область фокуса и распространяющуюся в сторону источника. Этот объект весьма сложен для подробного изучения в силу отмеченных особенностей пространственного распределения. Напротив, разряд в фокусе резонатора возникает в виде уединенного регулярного образования. Это - тонкая яркая нить, вытянутая вдоль вектора электрического поля, с длиной, близкой к полудлине волны излучения [5]. Геометрическая простота такого объекта уже открывает некоторые возможности изучения детальной физики явления.

      Поскольку микроволновый разряд обладает способностью развиваться в области с допробойным значением поля, было сформулировано представление о ведущей роли стримерного механизма в этом процессе [6]. Дальнейшие исследования подтверждают это предположение. Однако работа по построению теоретической модели встретилась со значительными трудностями. Конечно, модель должна включать процессы электронного баланса – ионизацию электронным ударом, рекомбинацию, прилипание, электронную диффузию и пр. Протекание электрического тока по плазме вызывает быстрый нагрев с последующими бурными газодинамическими событиями [7]. И, что особенно усложняет модель, развитие плаз­мен­ного образования сильно искажает первоначальное, невозмущенное, поле. Собственно это искажение и обусловливает проявление стримерного эффекта. Решение самосогласованной электродинамической задачи приходится искать  в волновом приближении, поско­ль­ку длина объекта сопоставима с длиной волны, а, как известно, дифракция излучения на тонком длинном объекте представляет собой весьма непростую математическую задачу.

     Приведенная в §1 математическая модель учитывает по минимуму все отмеченные факторы и, подтверждая полученные ранее результаты, существенно дополнила представления, в том числе и качественные.

      Содержание  §2 носит методический характер и оказывается очень полезным для понимания начальной стадии разряда.
     Основные результаты расчетов описываются в  §3.

                                              §1 Постановка задачи
 
       Взаимодействие  высокочастотного электромагнитного поля  E0exp(-iwt)  с проводящим  плазменным  облаком описывается  системой  Максвелла  для амплитуд возмущения поля  E, H
                        
                        
В качестве единиц измерения используются  [x]=c/w, [s]=w/4p, [t] - харак­тер­ное время изменения s. Проводимость s(t,x) определяется уравнением непрерывности для электронной компоненты ионизуемого газа

                       
где
                       
                                 
n – концентрация  газа,  E =|E0+E | –  амплитуда  поля, ns    пропорцио­нально  концентрации   электронов.   В  качестве  единиц  используются  характерные  значения [n] и [E]. наконец, состояние самого газа опи­сывается  уравнениями гидродинамики
                                  
                                
                        
Наличие множителя q  дает свободу в выборе [t],  g=1.4.  В  расчетах константы имеют следующие значения: w[t] »10⁶, F₀=800, f=25, D₀ =0.16, q=166.Они соответствуют  давлению  воздуха  200 Torr  и  длине  волны  излучения 9 см. Зависимость (4) аппроксимирует экспериментальные данные  по ионизации и прилипанию (см., например, [8]). в зависимости  (5) модельно учтен  переход на  фронте  иониза­ции от  свободной электронной  диффузии к амбиполярной  [9].
      Cамым существенным элементом в рассматриваемой модели  (1)-(8) является нормированная частота ионизации  -  функция   nF(n,E)  (4). Представление о ней дает рис.1, где она изображена как функция  различных,  указанных на рисунке, аргументов: a) при фиксирован­ном значении  E=0.5,  b)  и  c)  при фиксированном n=1.

                     
    Рис.1 Нормированная частота ионизации nF(n,E): a) при E=0.5,  b) и с) при  n=1.

      Отметим,  что  nF  меняет  знак  в  районе n=E и достигает максимума при

n » E/5.3.

                                    §2 Одномерный  вариант  
  
      Некоторые вопросы, в особенности касающиеся начального этапа, можно выяснить  уже  на  одномерном,  сферически симметричном, варианте задачи. Пос­кольку возмущение поля ( уравнения (1)-(2) )  такой симметрией обладать не мо­жет, пренебрежем им и величину поля Е будем считать заданной.

      В качестве начальных данных естественно использовать непод­виж­ную одно­родную среду с  n=1, v=0, w=1, s=0, E=E0, возмущен­ную наличием при r<r0 электронной компоненты, так что количест­во электронов S = т nsr²dr  в началь­ный момент равно S0>0. если E0>1, т.е. E>n, то везде F>0  и  препятст­вий для лавинной иониза­ции  и последующего развития разряда  нет. Здесь мы рассмотрим противоположный случай, когда E0<1, т.е. E<n, F<0, и на начальной стадии концентрация электронов должна умень­шать­ся.

      Однако имеющийся при r<r0 источник нагрева  qsE² >0 создаст избыточное давление, выталкивающее газ из центральной области.  Падение плотности  здесь  может  оказаться  значительным  и  привести  к ситуации, когда она станет  меньше  E, т.е. F станет  положительным  и  количество электронов  S  начнет расти. Расчеты под­тверждают это. На рис.2а дана зависимость от времени коли­чес­­т­­ва электро­нов S(t) = т nsr²dr для варианта  с е0=0.5,  r0=0.03  и начальным значением ns0=200(1-(r/r0)²), что соответствует S0=0.0007. здесь же  пунктиром  дана энергия   нагрева  W(t) = т n(w-1)r²dr,  умень­шен­ная в 100 раз.

Рис2. a) Зависимость от времени количества электронов  S(t)=т nsr²dr,
              при Е0=0.5,  r0=0.03, ns0=200(1-(r/r0)²).
              Пунктир - энергия  нагрева W(t)=т n(w-1)r²dr.
          b) Траектория фронта ионизации R(t) и его скорость V(t).

отчетливо видны фазы поведе­ния  S:  падение  с  образованием  разре­жен­ной полости, резкий всплеск  и медленное немоно­тон­ное нарас­тание.

     На первом этапе, после падения плотности газа и практического исчез­новения электронной компоненты, происходит некоторый ква­зистацио­нарный процесс, внешне себя не проявляющий. Чтобы пред­ставить себе происходящее на этой стадии, рассмотрим простейшую модель уравнения (3) вида 

                                                      (3*) 

При  постоянных  D,  nF  она  имеет  решения  u=exp(lt-ikx), l=nF-Dk².   это означает,  что  длинноволновые  возмущения   (с малыми к)  могут нарастать. Полагая k=1/L, где L - характерный размер области с nF>0, получаем условие неустойчи­вос­­ти нулевого решения уравнения (3*)     
                                     l=nF -- D/L² > 0          (*)
Это  -  известное  условие  пробоя [8]. Очевидно,  оно  же  является  усло­вием инициирования процесса малыми возму­щениями электронной концентрации. Как  видим  (рис.2), ожидание  выполнения этого усло­вия  и  его последствий может длиться довольно долго (до t=0.1).

      Вторая   стадия  –  результат   ионизации   сразу    во  всем  объеме   r<r0, приводящая  к существенному  нагреву,  разлету и разрежению. Разре­жение и прекращает эту фазу, т.к.  nF  приближается внутри кавер­ны  к нулю.

      Поверхност­ный  слой   с  nF>0   отрывается   от  объема,  образуя    фронт ионизации.  Траектория  его  движения  R(t)  и  скорость  V(t)  изо­б­­ра­жены  на рис.2b. Что происходит на этой, основной, стадии демонстрируют рис.3-7, на которых даны распределения величин на момент t=0.2.

Рис.3 Концентрация электронов и проводимость при t=0.2

Рис.4 Плотность энергии при t=0.2

Рис.5 Импульс и скорость при t=0.2

Рис.6 Плотность газа n и интенсивность ионизации d =ns(nF-fns), при  t=0.2
      
Как видно, все происходит в узком слое между разлетающейся ударной волной и следующей  за ней  волной разрежения, в  которой плотность газа падает на несколько порядков. Ситуацию внутри слоя демонстрирует рис.7, на котором совмещены оба графика  рис.6 - радиальные распределения n и правой части (3)  d=ns(nF-fns),  в растянутом  (по r)  масштабе. Как видно, фронт ионизации, где d >0, еще на порядок тонь­ше и располагается на тыловой поверх­ности волны разрежения, где концентрация газа минимальна. Перед ним, в самой волне разреже­­ния, d<0, происходит прилипание элект­ро­нов, появившихся здесь, очевидно, только благодаря диффузии.

        
       Рис.7. То же, что на рис.6, но в укрупненном масштабе в области слоя.

      Специфическая конфигурация d(r) со временем не меняется, но  среднее значение d  колеблется около нуля, определяя скорость из­ме­не­ния S:       dS/dt= тdr²dr. Нетрудно заметить, что d  на рис.7 напоми­на­ет рис.1а, что неудивительно, так как на них изображена факти­чес­­ки одна и та же зависимость. Отличие лишь в аргументах: в пер­вом - n, во втором - r. Ясно, что ширина слоя ионизации определяет­ся градиентом концентрации газа в волне разрежения.

      Представленный вариант расчета, определяемый набором пара­мет­ров: E0=0.5, r0=0.03, S0=0.0007 является критическим. Если умень­шить S0, оставляя неизменными E0, r0, то инициация не прои­с­­ходит, фронт не образуется, процесс экспоненциально затухает, S(t)0. Увеличение же S0, естественно, все ускоряет и усиливает.

      Интересно, что это значение S0=0.0007 оказывается критическим и для других r0, в диапазоне 0.01< r0 <0.04, при сохранении E0=0.5. Не отличаются существенно и остальные результаты расчетов из это­го диапазона. За исключением крайнего варианта с r0=0.01. Здесь процесс протекает вяло, с уменьшением S(t) на два порядка, c малой скоростью фронта V=0.5 и превышением n и nw их начальных значе­ний всего на 20%. Объяснение этому факту – условие (*). Действи­тель­но, используя характерные значения параметров, получаем L²>D/nF=10^--4, т.е. условие на радиус r0=L>0.01. И в расчетах, при r0<0.01, получить положительный результат не удается. Более того, расчеты с другими значениями коэффициента диффузии D подтвер­ж­дают справедливость условия (*).

      В описанном сценарии принципиальным элементом является ло­каль­ное падение плотности газа, которое может происходить и по другим причинам. Поэтому имеет смысл рассмотреть задачу, задав n<1 при r<r0 уже в начальный момент и исследовать последствия только этого фактора.

     Положим n=n0+(1-n0)(r/r0)² при r<r0. Характерным значением радиуса следует считать при этом не само r0, а несколько меньшее - то, при котором n=E/5.3 или n=E. Первое соответствует максимуму nF, второе - смене его знака. Среднее значение плотности, при этом, равно 0.6+0.4n0. Увеличение значения параметра S0 будет, конечно, способствовать интенсификации процесса. Но, не желая смешивать роли различных факторов, возьмем, например, S0=10^--15.

     Так как наличие полости с nF> 0 обеспечено уже в начальных дан­ных, условие (*) применимо непосредственно и определяет крити­чес­кий размер полости. Грубая оценка, по порядку величин, дает и в этом случае L=0.01. Общая картина решения в этой, второй, поста­нов­ке задачи не меняется. Рис.8, аналог рис.2, демонстрирует для ва­ри­анта r0=0.05, n0=0.1 поведение тех же величин S(t), W(t), R(t),V(t).

Рис.8. a)Зависимость от времени количества электронов S(t)=тnsr²dr, при 
              Е0=0.5, r0=0.05, n0=0.1. Пунктир - энергия  нагрева  W(t)=т n(w-1)r²dr.
           b)Траектория фронта ионизации R(t) и его скорость V(t).

     И качественно, и количественно все очень похоже на прежний ва­ри­ант постановки задачи, и представленные на рис.3–7 конфигура­ции практически не меняются. Сокращается первая стадия, посколь­ку разреженная полость уже готова.

     Происходящую здесь эволюцию демонстрирует рис.9, на котором изображены профили плотности (а) и частоты ионизации (b) на ин­тер­­вале времени, когда происходит  всплеск S(t).

Рис.9. Радиальные профили  плотности (a) и частоты ионизации (b)   

     Критическим оказывается радиус r0=0.03, при котором иницииро­вания не происходит. Противоречия с L=0.01 нет, учитывая отме­чен­­ную выше неоднозначность определения критического значения.

     На рис.10a изображены  траектории  фронта  ионизации при раз­лич­ных r0, указанных на рисунке, для фиксированного n0=0.1.

     На рис.10b – наоборот, при различных n0 для r0=0.05.

     Рис.10. Траектории фронта ионизации:
             a) при различных r0, для n0=0.1, b) при различных n0, для r0=0.05.

     Зависимость результата от параметра n0 простая. При n0=0.25 про­цесс затухает. От глубины падения плотности, в диапазоне 0<n0<0.2, характеристики решения зависят несущественно. Заметим, что изме­не­ние n0 в этих пределах меняет среднее значение плотности газа в пределах от 0.6 до 0.7.

               §3 Двумерный цилиндрически-симметричный вариант

 
      Этот  вариант  позволяет   рассмотреть  задачу  (1)-(8)  в  полном  объе­ме.  Внешнее  поле  в  этом  случае  является   стоячей волной  с от­лич­ной от нуля амплитудой  осевой  компоненты  E_z =E0×J₀(r)  –  функ­цией  Бес­селя нулевого порядка. Ввиду малости коэффициента 1/w[t] при про­из­водных по времени  в уравнениях (1)-(2) пренебрежем эти­ми чле­на­ми  и будем решать  полученную стационарную,   при   каждом     t,   за­да­чу   с    асимптотикой   Зоммерфельда (exp(i|x|)/|x|)  на бесконечности.
     Попытка   инициировать  пробой   локальным   возмущением  электрон­ной  плотности ( ns>0 при r,|z|< r₀ ) дает тот же результат, что и  в рассмотренном  одномерном  случае.  Возмущение «тратится» на наг­рев и разлет газа.  Увеличение поля на полюсах (n/E<1) несуществен­но и  полностью  компенсируется уменьшением его внутри проводя­щей полости (n/E>>1). К тому же эта ситуация   кратковременна – возмущение  поля  быстро  исчезает вместе с проводимостью. Таким образом,  необходимым  этапом  при  инициировании  пробоя  остается появление в газе каверны – полости с малой плотностью и  не слиш­ком малого размера.

      В качестве исходных данных используем однородную среду с n=w=1, v=s=0, E0=0.5, возмущенную наличием шаровой полости радиуса » 0.03 , где n < 0.5, S << 1. Область расчета: r>0, z>0 с оче­вид­ными условиями симметрии на осях. На начальном этапе повто­ря­ется один из вариантов описанной выше одномерной задачи. Пос­коль­ку проводимости практически нет, то поле не возмущено и сфе­ри­ческая симметрия сохраняется. Отличия начинаются при t ˜0.03. Здесь опять происходит взрывное экспоненциальное нарастание пол­ного числа электронов. Однако оно гораздо слабее. Во-первых, появляющееся возмущение поля снижает E, т.е. повышает n/E, за­мед­ляя темп ионизации. Во-вторых, эта же причина, отодвигая n/E от нуля, ликвидирует резкий спад S. В результате имеем монотон­ный рост S(t). Все это демонстрируют рис.11-14. На первом из них изображены S(t), она же в логарифмическом масштабе ( lnS(t) - щтрих-пунктиром) и энергия нагрева W(t) – пунктиром.

Рис.11 Зависимости от времени   Рис.12 Линии уровня E(r,z)=const при t=0.05.

   полного числа электронов S и
   энергии нагрева W
        
Линейность функции lnS(t) свидетельствует  об экспоненциальном  характере  нарастания  S(t)  с резкой  сменой показателя – логарифми­чес­кой производной dlnS/dt, уменьшением его при t ˜0.03 в тридцать раз (с 1000 до 30).

      На рис.12 изображены линии уровня E(r,z)=const при t=0.05,

     Рис.13. Профили E(r,0), E(0,z).                     Рис.14. Профили d(r,0), d(0,z).

       На  рис.13–14  даны  профили E(r,0), E(0,z) и d(r,0), d(0,z), соот­вет­ственно, вдоль осей  на момент t=0.05. Налицо сущес­т­венное отли­чие в распределе­нии этих величин от сферической симметрии.

       Но главное - отрыва фронта ионизации не происходит, так как в ты­лу его она не прерывается, d  здесь не исчезает. Последнее и обус­лов­­ливает более интенсивную ионизацию. Концентрация и проводи­мость на этой стадии практически сохраняют сферическую симмет­рию.

      Следующий этап – спокойное вытягивание проводящего облака вдоль оси   z - демонстрируют рис.15-16. На первом показано положе­ние фронта ионизации (линии уровня s=1) в указанные моменты времени. Эти линии совпадают с границей волны разрежения, следу­ющей за ударной волной. На втором – даны профили n(0,z), E(0,z)  в два момента времени. Заметим, что в волне разрежения отношение n/E близко к единице, а внутри проводящего облака меньше 1.

Рис.15.Положение фронта ионизации Рис.16. Профили плотности и амплитуды поля
                    (линии уровня s=1)

        Стоит  отметить  следующее. К моменту  t=0.15  ( рис.16 )  в картине процесса  появляется существенная деталь – возмущение поля обго­ня­ет  ударную волну, здесь возникает ситуация n/E<1, означающая появление второго очага ионизации. Представление о распределении величин в пространстве  на  этом этапе  дают  рис.17-19,  на  которых  изображены линии уровня  n, s, E на момент t=0.2.  Качественно  распределения  концентрации и проводимости пока сохраняют свои квазиодномерные конфигурации.

        Рис.17,18,19. Линии уровня n, s, E, соответственно, на момент t=0.2.

      Следующий этап процесса демонстрируют рис.20-22. На первом изображены положения линии уровня n=1.1 для шести последова­тель­ных моментов вре­мени (от 0.2 до 0.3). Он показывает эволюцию сжатого (n>1.1 ). слоя. Имевший до t=0.2 правильную простую фор­му он около оси расслаивается на два, а затем и вовсе прорывается. Объяснение этому дает рис.21, демонстрирующий форму проводя­щей (s >1) области для тех же моментов. Причина – в отмеченном выше появлении нового очага ионизации на оси. Возникнув, он дает новый импульс процессу.

Рис.20. Положения линии уровня n=1.1 для шести последовательных моментов времени (от 0.2 до 0.3, через 0.02).
             

         Рис.21 Положения фронта ионизации для шести моментов времени.

Рис.22 аналогичным образом показывает эволюцию формы области, где E>1.

Рис.22. Положения линии уровня E=1 для шести последовательных моментов времени (от 0.2 до 0.3, через 0.02).

     Некоторые особенности процесса на этой стадии можно увидеть на рис.23- 24. Первый показывает n(0,z) и E(0,z) на оси для двух момен­тов t=0.24 и t=0.28 (пунктиром). Существенное отличие от прежнего – ионизация происхо­дит в плотном газе, где E>n=1, а не только в раз­­ре­женной полости.

   Рис.23. Профили n(0,z) и E(0,z)  для          Рис.24. Распределение действительной   
    двух моментов t=0.24 и t=0.28 (пунктир)      и мнимой части амплитуды тока  
                                                                                 через сечения z=const.

        Рис.24 для тех же моментов дает распределение действительной и мнимой части  тока  через  сечения  z=const. Здесь  также заметно  появ­ление второго очага ионизации. Отметим, что за интервал  Dt=0.04  размер  (по z)  проводящей области удваивается. Собственно, только на этом этапе можно говорить, что инициация произошла и пробой состоялся.

     На рис.25-26, изображающих поведение S(t),W(t) и токa j0(t) через сечение z=0, также хорошо виднa интенсификация процесса после пробоя. В частности, характеристический показатель – логарифми­чес­кая производная S(t) – после медленного долгого падения от 30 до 15 на последнем интервале времени t=0.2–0.28 резко возрастает до 40. То же и со скоростью фронта ионизации, траектория которого Z(t) изображена на рис.27. Она возрастает на порядок, от 1 до 10.

 Рис.25. Зависимость от времени   Рис.26. Зависимость от времени
  полного числа электронов S(t) и                 токa j0(t) через сечение z=0
  энергии нагрева W(t).                                                                                             .

                                        Рис.27. Траектория фронта ионизации Z(t).
                                                     

                                                    Заключение

      Проведенное исследование позволяет сделать некоторые выводы.

      Подтверждена  стримерная  природа  микроволнового  разряда  и его спо­­­собность развиваться в поле, меньшем пробойного ( критическо­го).

      Показано, что для инициации разряда в докритическом поле  необ­ходимо создать  каверну  плотности  с  радиусом, не меньшем некото­рого. На дне каверны должен выполняться положительный баланс  для электронов  в  невозмущенном поле.

      Плечи стримера развиваются в основном за счет увеличения поля на концах стримера и только позднее за счет нагрева канала. Горячая область стримера заметно короче проводящих плечей.

     Сферическая ударная волна, зарождающаяся на начальной стадии, по мере роста  плечей  превращается  в  цилиндрическую.  Перед  головкой  стримера  ударной волны нет.

    Расчет остановлен в момент времени, когда размер стримера еще не достиг резонансного размера (половина длины волны). Резонанс­ный этап привнесет много новых особенностей и потребует специ­аль­ных дополнительных исследований.

                                                Литература

    [[1]]  Г.М.Батанов, С.И.Грицинин, И.А.Коссый и др. СВЧ-разряды высокого

     давления. //Труды ФИАН. 1985. Т.160, С.174-203.
    [2]  Л.П.Грачев,  И.И.Есаков    Г.И.Мишин,  М.Ю.Никитин,  К.В.Ходатаев.

     Безэлектродный разряд в воздухе при средних давлениях. //ЖТФ. 1985.   

     Т.55, Вып.2, С. 389-391.                         

    [3]  Л.П.Грачев, И.И.Есаков, Г.И.Мишин, К.В.Ходатаев. Разряд в воздухе
          в квазиоптическом СВЧ резонаторе. // ЖТФ. 1994.Т.64, Вып.2, С.26-37  

    [4]  Л.П.Грачев, И.И.Есаков, Г.И.Мишин, К.В.Ходатаев. Стадии  развития

          безэлектродного СВЧ разряда. //ЖТФ. 1996. Т.66, Вып.7, С.32-45

    [5]  Л.П.Грачев, И.И.Есаков, К.В.Ходатаев. Особенности развития импуль-
          сных   СВЧ   разрядов  в  квазиоптическом  пучке  в  различных   газах.
          //ЖТФ. 1998. Том.68, №4, С.33-36.

    [6]  В.Б.Гильденбург, И.С.Гущин, С.А.Двинин, А.В.Ким. Динамика высоко-
          частотного стримера. //ЖЭТФ. 1990. Т.97, Вып.4, С.1151-1158.

    [7]  К.В.Ходатаев. Гидродинамические процессы в плазме  сверхмощного­
          высокочастотного разряда. //Химическая физика, 1993, Т.12, Вып.3,

          С.303 - 315   

    [8]. А.Мак-Доналд. Сверхвысокочастотный пробой в газах. “Мир”, Москва
          1969. С.38-40.

    [9]  К.В.Ходатаев,  Б.Р.Горелик.  Диффузионный   и   дрейфовый  режимы­
          распространения  плоской  волны  ионизации  в  СВЧ-поле.

          //Физика Плазмы. 1997, Т.23, №3, C.236-245.